人教版初二(上)数学第26讲：用函数观点看方程(组)与不等式(教案教学设计导学案)

用函数观点看方程（组）与不等式

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1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；

2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；

3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.

1．一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转为（为常数，）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.

2. 一次函数与不等式

由于任何一元一次不等式都可以转为或（为常数，）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围.

3．一次函数与二元一次方程组

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.

参考答案：

1. 相应的自变量

2. 大（小）于0

3. 交点

1、解一次函数与一元一次方程

【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？

【解析】应用一次函数的与一元一次方程的方法即可求解.

解法1：设再过秒物体的速度是17米/秒，列方程得

解法2：速度（单位：米/秒）是时间（单位：秒）的函数

由

∴

由下图可看出直线与轴的交点为（6,0），得

总结：

解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.

练1. 将方程全部的解写成坐标的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（）上.

A. B. C. D.

【解析】将方程转化成直线的形式，即可求解.

解：∵

∴

故选C.

练2.（2015春•启东市校级月考）一次函数和的图像的交点坐标是_____________.

【解析】采用带入法，将其中一个一次函数带入另一个，即可求解坐标.

解：将代入，得

∴

∴交点坐标为（2，-3）.

2．解一次函数与一元一次不等式

【例2】用画函数图像的方法解不等式.

【解析】化简不等式，再画出一次函数图像，结合图像即可求解.

解法1：原不等式为，画出直线，可看出，当时这条直线上的点在轴的下方，即这时，所以不等式的解集为.

解法2：将原不等式为的两边分别看作两个一次函数，画出直线与，可看出，它们的交点的横坐标为2，当时，对于同一个，直线上的点在直线上相应点的下方，这时，所以不等式的解集为.

总结

把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，数形结合即可求解.

练3.如图，直线与轴交于点（-4,0），则时，的取值范围是______.

【解析】结合图象，满足时，即直线位于轴的上方部分，即可求解.

解：∵直线与轴交于点（-4,0），

结合图象特点，

∴当时，.

练4.（2014春•江宁区校级月考）一次函数的图象如下图，则当________时，.

【解析】根据函数图象特殊点（-2,4），即可求解.

解：由图象可知，直线过点（-2,4），

∴当时，.

3．一次函数与二元一次方程组

【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？

【解析】计费与上网时间有关，所以可设上网时间为分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等．

解：设上网时间为分

方式A的计费元；按方式B的计费元.

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像.

两个函数的图象交于点（400,40），这表示当时，两个函数的值都等于40.

因此，上网时间为400分，两种方式的计费相等（都是40元）.

总结

方程组、不等式与函数之间的相互联系，用函数观点可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.

练5.如下图，反映了某公司的销售收入与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（）

A.小于3吨

B. 小于4吨

C. 大于3吨

D. 大于4吨

【解析】根据图象两直线交点的坐标，赢利时即为的值大于的的值.

解：由题意可知，要使得公司赢利，

即的值大于的的值

∴

∴选D.

练6.（2015春•天一学校期中）一次函数与的图象如下图，则当____时，；当_____时，;当_______时，.

【解析】根据两个函数图象的交点坐标，即可求解.

解：由图象可知，两函数的交点坐标为（1，-3）

当时，;

当时，;

当时，.

【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（）.

A．B．C．D．

【解析】根据函数图象特殊点坐标，即可求解．

解：由图象可知，两个函数均过点（2,-2）

且直线L1过点（1,0），直线L2过点（-2，0）

∴将点坐标带入选项中的一次函数，即可得，

故选D.

练7．如下图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为_____________.

【解析】根据图象交点坐标，求出直线在直线上方的部分即可．

解：由图象交点横坐标可知，时，两直线的值相等，

∴当时，.

练8．（2015•济宁市联考）如图，一次函数的图象经过A,B两点，则的解集是（）.

A. B. C. D.