人教版初二(上)数学第26讲：用函数观点看方程(组)与不等式(教案教学设计导学案)

用函数观点看方程（组）与不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.1．一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转为（为常数，）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.2. 一次函数与不等式由于任何一元一次不等式都可以转为或（为常数，）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围.3．一次函数与二元一次方程组一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.参考答案：1. 相应的自变量2. 大（小）于03. 交点1、解一次函数与一元一次方程【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？【解析】应用一次函数的与一元一次方程的方法即可求解.解法1：设再过秒物体的速度是17米/秒，列方程得解法2：速度（单位：米/秒）是时间（单位：秒）的函数由∴由下图可看出直线与轴的交点为（6,0），得总结：解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.练1. 将方程全部的解写成坐标的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（）上.A. B. C. D.【解析】将方程转化成直线的形式，即可求解.解：∵∴故选C.练2.（2015春•启东市校级月考）一次函数和的图像的交点坐标是_____________.【解析】采用带入法，将其中一个一次函数带入另一个，即可求解坐标.解：将代入，得∴∴交点坐标为（2，-3）.2．解一次函数与一元一次不等式【例2】用画函数图像的方法解不等式.【解析】化简不等式，再画出一次函数图像，结合图像即可求解.解法1：原不等式为，画出直线，可看出，当时这条直线上的点在轴的下方，即这时，所以不等式的解集为.解法2：将原不等式为的两边分别看作两个一次函数，画出直线与，可看出，它们的交点的横坐标为2，当时，对于同一个，直线上的点在直线上相应点的下方，这时，所以不等式的解集为.总结把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，数形结合即可求解.练3.如图，直线与轴交于点（-4,0），则时，的取值范围是______.【解析】结合图象，满足时，即直线位于轴的上方部分，即可求解.解：∵直线与轴交于点（-4,0），结合图象特点，∴当时，.练4.（2014春•江宁区校级月考）一次函数的图象如下图，则当________时，.【解析】根据函数图象特殊点（-2,4），即可求解.解：由图象可知，直线过点（-2,4），∴当时，.3．一次函数与二元一次方程组【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？【解析】计费与上网时间有关，所以可设上网时间为分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等．解：设上网时间为分方式A的计费元；按方式B的计费元.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像.两个函数的图象交于点（400,40），这表示当时，两个函数的值都等于40.因此，上网时间为400分，两种方式的计费相等（都是40元）.总结方程组、不等式与函数之间的相互联系，用函数观点可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.练5.如下图，反映了某公司的销售收入与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（）A.小于3吨B. 小于4吨C. 大于3吨D. 大于4吨【解析】根据图象两直线交点的坐标，赢利时即为的值大于的的值.解：由题意可知，要使得公司赢利，即的值大于的的值∴∴选D.练6.（2015春•天一学校期中）一次函数与的图象如下图，则当____时，；当_____时，;当_______时，.【解析】根据两个函数图象的交点坐标，即可求解.解：由图象可知，两函数的交点坐标为（1，-3）当时，;当时，;当时，.【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（）.A．B．C．D．【解析】根据函数图象特殊点坐标，即可求解．解：由图象可知，两个函数均过点（2,-2）且直线L1过点（1,0），直线L2过点（-2，0）∴将点坐标带入选项中的一次函数，即可得，故选D.练7．如下图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为_____________.【解析】根据图象交点坐标，求出直线在直线上方的部分即可．解：由图象交点横坐标可知，时，两直线的值相等，∴当时，.练8．（2015•济宁市联考）如图，一次函数的图象经过A,B两点，则的解集是（）.A. B. C. D.【解析】根据一次函数直线特殊点坐标，求出直线位于轴上方的部分，即可求解．.解：由图象可知，直线过点A（-3,0），B（0，2）要使，即故选C.【例5】已知如图，一次函数的图象与轴交于点M，则点M的横坐标_______.（1）若，则当时，_____0；当时，_____0；（2）若，则当时，_____0；当时，_____0；【解析】根据函数图象，与轴交点坐标，及为当时，求出方程的解即可．解：由函数图象可知，当时，即，故（1）若，则当时，；当时，；（2）若，则当时，；当时，总结：利用一次函数直线与轴的交点坐标，即可求出与0的大小关系.练9．已知直线和，若它们的交点在第四象限内，求的取值范围.【解析】可以根据已知条件列出方程组解题．解：依题意有则解得因为两条直线的交点在第四象限内，∴∴，即的取值范围是练10．已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【解析】由点在直线上，可以得到一个关于的方程，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，由三角形面积为可列出第二个方程，由两个方程组成的方程组可以解出的值．解：∵直线过点，∴∵直线与轴、轴的交点坐标分别为（O为原点），∴，由①和②组成的方程组解得，∴，则所求直线的解析式为或．4. 实际应用题【例6】．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示.（1）求时随变化的函数关系式.（2）求时随变化的函数关系式.（3）每分钟进水、出水各多少升？【解析】根据容器内每分钟水量=进水量-出水量建立关系式，再根据前4分钟只有进水，即可得到进水的函数关系式，结合图象特殊点坐标，即可求解．解：由函数图象可知，（1）当时，直线过点（0,0）、（4,20）；∴（2）当时，直线过点（4,20）、（12,30）∴（3）每分钟进水量=L；每分钟出水量=L.练11．如图，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完，该公司对第一批A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系.（1）试写出第一批A产品的市场日销售量与上市时间的关系式：（2）第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？【解析】根据图象特殊点坐标，对应的变化范围建立函数关系式，即可求解．解：（1）由甲图可知，图象过点（30，6）第一批A产品的市场日销售量与上市时间的关系式为：当时，当时，（2）结合甲、乙两图可知，∵日销售利润=日销售量×每件产品销售利润∴当时，（万元）..练12．（2015春•德州市期中）某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓库储存费用700元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.【解析】根据题意建立一次函数关系式，再采用数形结合法，即可求解．解：设商场投资元，月初出售获利：∴月末出售获利：在直角坐标系中画出两个函数的图象：两图象的交点坐标为(20000，5300)∴方程组的的解是∴由图象可知：当时，，选择在月初出售；当时，，两种方式任意选；当时，，选择在月末出售.1．若一次函数中，的取值为，则的取值范围是___________；若的取值为，则的取值范围是___________．2．一次函数y=kx+3，当x减少2时，y的值增加6，则此函数的解析式为___________．.3．已知直线y=kx+3和y=3x+p交于(-)，则k=_______________,p=____________．4．用作图象的方法解方程组5. 已知：如图，y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则3x＋b＞ax－3的解集是____. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.已知直线y=kx与直线y=-平行，则k=_________．2. 直线y=(3k-2)x+b-12与y=kx-3-2b重合，则k=_____________，b=____________．3．一次函数y=mx+n(m≠0)的图象过点(-2，3)，且m：n=2：3，那么这个图象的函数解析式为_______________．4．两个函数y1=2x+1和y2=4x-7，当x__________时，y2＞y1．5. 用作图象的方法解方程组.6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，3）．一次函数图象上的两点P，Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点在y轴正半轴上，若△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式．参考答案：当堂检测1．-≤y≤0 -1≤x≤5 分析：由题意得x=，所以-2≤≤2，解得-≤y≤0，同理，由-4≤≤4得-1≤x≤5．2．答案：y=-3x+3 分析：函数y=kx+3经过点(0，3)，又因为x减2时y的值增加6，故该一次函数还经过点（-2，9），把（-2，9）代入y=kx+3得k=-3，所以解析式为y=-3x+3．3．答案：分析：把（-）代入两个解析式，得k=．4．答案：.5. 答案：．家庭作业1.-.2. 1 3 分析：两直线重合，即两直线为同一条直线，所以有.3. 答案：y=-6x-9. 分析：把点（-2，3）代入y=mx+n得-2mm+n=3，又因为m：n=2：3，解得m=-6，n=-9，故解析式为y=-6x-9．4. 答案：x＞4 分析：由y2＞y1得4x-7＞2x+1，解得x＞4．5. 答案：6. 解析：三角形的面积=×底×高，由图象可知|AO|=3，|BO|=3，则本题解析式可求．解：根据图象和已知条件有S△QAB=3，即·|BQ|·|AO|=3，由|AO|=3，可知|BQ|=2，因为S△PQB=3，即·|PA|·|BO|=3，由|BO|=3，可知|PA|=2再因为P、Q两点在直线AB同侧，所以P点坐标为(-5，0)．设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有则所以所求一次函数解析式为y=x+5．。