连续性方程
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是流体力学中的一个重要定律。
它表明物质的流动是连续的，即它是恒定的，不会失去或添加。
连续性方程定义了流体力学中影响流动的主要变量，即流体密度，速度
和压力。
它可以用一个公式来描述：ρ/ t + (ρv/ x ) + (ρvv/ y ) + (ρwz / z ) = 0。
这个方程描述了流体在时间和空间上的变化，即随着时间的推移，物质的流动越来越慢，可以用来研究气体和液体的流动。
可以用来评估各种变量，如流体密度、速度、压力和其
他变量的影响。
在应用连续性方程时，必须考虑在流体的混合阶段，如随着时间的推移，物质中必须有交换力存在，以使其不减少或增加。
在流体力学中，能量方程和动量方程也可以用来研究流体的运动。
当应用连续性方程时，可以考察不同变量对流体动力学的影响，比如不同密度和速度的流
体如何影响液体的压力，以及流体在某一时刻的运动行为等。
这可以帮助科学家们更好地
理解流体的运动。
总的来说，连续性方程是流体力学中重要的定律，可以用来描述和研究气体和液体的流动状态。
它考察的变量如浓度，速度和压力的影响可以帮助科学家们更好地理解流体的运动
特性。
连续性方程则是流体力学中重要的定律，也是在研究流体动力学时必不可少的方程。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
连续性方程的原理和应用
连续性方程的原理和应用1. 连续性方程的概述连续性方程是描述流体运动中物质守恒的基本方程之一。
它表明在一个密闭系统中，物质的质量在任何一个时刻都是守恒的，在物质的进出过程中，质量的变化与流体流速和流量之间存在一定的关系。
2. 连续性方程的表达形式连续性方程可以用数学表达式来表示，其表达形式如下：\[ \frac{{\partial \rho}}{{\partial t}} +abla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，\(\rho\)表示流体的密度，\(\mathbf{v}\)表示流体的速度矢量，\( abla \cdot (\rho \mathbf{v})\)表示速度矢量的散度。
3. 连续性方程的原理连续性方程的原理可以归纳为以下几个方面：1.质量守恒：连续性方程表明在任何一个时刻，流体中的质量不会发生净变化。
2.流体流动：连续性方程表明流体在运动过程中，不会出现局部堆积或空洞的情况，流体是连续不断的。
3.质量流量守恒：连续性方程表明质量流量进出过程中的变化与流体的速度和密度有关，保证了质量的守恒。
4. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学、热力学、电磁学等领域中有广泛的应用。
以下是连续性方程在不同领域的应用示例：4.1 流体力学中的应用•流体力学中的连续性方程可以用于描述液体或气体在管道、河流、空气动力学等流动过程中的质量守恒，进而计算流速、流量等物理量。
•在航空航天工程中，连续性方程被用来研究飞机气动特性和流体力学性质，以及优化飞行器的设计和性能。
4.2 热力学中的应用•热力学中的连续性方程可用于描述热传导、热对流和热辐射等过程中的能量守恒。
•在能源工程中，连续性方程被用来研究热能转换和传递，以及优化能量系统的设计和效率。
4.3 电磁学中的应用•电磁学中的连续性方程可用于描述电荷守恒和电流的流动。
•在电力系统工程中，连续性方程被用来研究电力传输和配电网的稳定性和效率。
第五章-连续性方程
p t
Dp
2 p x2
p
p x
p
p
x
gp
p
p
扩散部分
漂移部分
产生部分
复合部分
同样，对于P型材料，少子连续方程：
n t
Dn
2n x2
n
n x
nn
x
gn
n
n
2．连续性方程的应用
(1) 稳态少子连续性方程
假设材料为N型材料，均匀掺杂，内部也没 有其它产生，沿x方向加光照后，并加均匀电 场，求达到稳态时少子的分布规律。
2L2p
显然： L2p ( ) 4L2p Lp ( )
1 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
2 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2L2p
0
对很厚的样品： p() 0
x ,
0 Ae1 Be2
A=0， p(x) Be2x
x 0,
p(0) p0
p(x) poe2x
均匀掺杂的N型半导体，光均匀照在半导体
上，其内部均匀地产生非子，没有电场，内 部也没有其它产生，求光照停止后的衰减方 程。
●均匀掺杂，均匀光照：
dp d( p0 p) 0
dx
dx
●无 电 场：E=0 ●内部无其它产生：gp=0
dp p
dt t
p(t) Ae p
t=0，停止光照，p(0)=p0，A=p0
(2)求出简化方程的通解 (3)确定边界条件和初始条件，由此求出积分常数，
从而求出符合条件的特解
3.少子的电流连续方程(区分各部分的意义）
（1） N型：
p t
Dp
2 p x2
5.8 连续性方程(雨课堂课件)
上式表示，电场很强，扩散运动可以忽略时，由表面注入的非平
衡载流子深入样品的平均距离是牵引长度 Lp
E
，而不是扩散长
二、稳态连续性方程及其解(续)
度Lp。
2、电场很弱， Lp E Lp ,
Lp E L2p E 4L2p
2
2L2p
0
2
1 Lp
,
（5-141）
p p ex / LP 0
一、扩散运动和漂移运动同时存在时，连续性方程的建立
研究对象：以n 型半导体为例 对象所处的环境：表面光注入，E 沿x 方向。如图5-18。
目标：建立非平衡少数载流子的运动方程-连续性方程。 运用的物理规律： 扩散定律、复合理论、 欧姆定律(微分形式) 连续性方程建立采用的方法：微元、建立微分方程。
1012 1013 ed Lp , ed Lp 10
d Lp ln10 2.3 Dp 1.72102 cm
第九节 硅的少数载流子寿命与扩散长度 课后阅读
第五章作业布置(p156)
解题分析：要求出离表面多远处过剩空穴密度等于1012 cm-3，
首先要求出恒定光照条件下的非平衡载流子的分布情况，p x
然后，根据已知的浓度求位置x。 因此，解决此问题的关键是从连续性方程出发，得出给定条件 下的非平衡载流子的分布。
解： 第一步，建立连续性方程(没有电场)
p t
Dp
2 p x2
S p xdx S p x
• S dSp dx • S dx
➢ 单位时间单位体积内净流入的粒子数： dSp x ，它与空穴电
dx
流密度的关系是
一、扩散运动和漂移运动同时存在时，连续性方程的建立(续)
dSp x 1 d qSp x 1 dJ p
连续性方程公式
连续性方程公式
连续性方程公式是一种基本的方程，它描述了不受外力影响，封闭系统中物质的连续流动。
连续性方程公式表明，物质的流动受到物质密度、流速和压力等物理量的影响。
这个方程公式为科学家提供了深入了解物质流动规律的重要方法。
连续性方程公式是微分方程的一种，它是高等数学中关于流体动力学的核心理论。
连续性方程的一般形式为：
T/t + VT=(λT)
其中，T代表一个物质的总数，t时间，V物质的流速，λ物质的导热系数，代表的是梯度算子。
连续性方程的特点是它表明物质的流动受到物质的产品因子（即流速）和物质之间的相互作用（即压力）的影响。
连续性方程公式在工程中同样重要，其用于解释流体系统中的动量和能量传输，以及热传导和物理过程中物质的流动。
解决连续性方程可以帮助科学家们更好地掌握物质流动的规律，例如连续性方程可以用来解释流体中的热传导及其作用。
在飞机设计方面，连续性方程也有重要意义。
在飞机翼的设计中，连续性方程被用来模拟气动流动，以保证飞机翼的低阻力性能、高抗性性能和低摩擦系数等。
当飞机在空中飞行时，连续性方程可以帮助飞行员准确地控制飞机的垂直和水平姿态，同时实现最佳油耗。
在热力学和化学方面，连续性方程也拥有重要的应用。
例如，连续性方程可以用来解释气体的扩散和流动，以及物质在某一温度压力
下的变化。
连续性方程还可以用来求解流体的稳定性，解释温度的变化以及流体环境中的热量传递。
总之，连续性方程是物理学、工程学和化学中一类重要的方程。
它具有丰富的实际应用，为研究物质流动提供了有力的支持。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
高量6--连续性方程
i q * [ (r ' , t )' (r ' , t )] 2m i q * (r , t ) (r r ' ) (r , t ) d 3 r 2m
利用分部积分法，有 * (r , t ) (r r ' ) (r , t ) d3 r * (r r ' ) (r , t ) (r , t ) d 3 r * (r ' , t ) (r ' , t ) 所以 iq * * J [ (r ' , t )' (r ' , t ) (r ' , t )' (r ' , t )] 2m
I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] t
式中
I S H0 H0 , H1I U0 1 (t )H1S (t )U0 (t )
以下两式
i | (t ) I H1I | (t ) I t
I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] t
(x' ) q (X x' ) q j(x' ) [ ( X x' )P P ( X x' )]
2m
写成HP下的形式是
1
H (x' , t ) q (XH x' )
H q J (x' , t ) [ ( X H (t ) x' )P H (t ) P H (t ) ( X H (t ) x' )] 2m
IP中态矢量和算符的运动方程可以对以下两式
| (t ) I e AI (t ) e
流体力学常用公式
流体力学常用公式流体力学（Fluid Mechanics）是研究流体（液体和气体）运动规律的科学。
它在物理学和工程学中都有广泛的应用。
以下是流体力学常用的一些公式：1.流体速度和流量：在流体运动中，流速（Velocity）是指单位时间内流体通过一些截面的体积。
流量（Flow rate）是指单位时间内通过一些截面的质量或体积。
流速和流量的关系由以下公式给出：流量=流速×截面积Q=Av其中，Q表示流量，A表示截面积，v表示流速。
2.可压缩流体速度和流量：对于可压缩流体，流速和流量的关系由以下公式给出：流量=流速×截面积×密度Q=Avρ其中，Q表示流量，A表示截面积，v表示流速，ρ表示流体密度。
3.连续性方程：连续性方程描述了流体的质量守恒原理，即在稳态流动和不可压缩条件下，流体质量在流动过程中是不会凭空消失或增加的。
连续性方程可以表示为：流量的入口=流量的出口A1v1=A2v2其中，A1和A2分别表示入口和出口的截面积，v1和v2分别表示入口和出口的流速。
4.压力方程：压力方程是描述压强（Pressure）随深度变化的方程，可通过以下公式表达：ΔP = ρgh其中，ΔP表示在高度h上的压力变化，ρ表示流体密度，g表示重力加速度。
5.伯努利方程：伯努利方程描述了在理想流动条件下，流体的能量守恒原理，即在没有外力作用的情况下，流体速度、压力和高度之间存在关系。
伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P表示压力，v表示速度，ρ表示密度，g表示重力加速度，h 表示高度。
6.流动的雷诺数：雷诺数（Reynolds Number）是用来判断流体的流动状态的参数，可通过以下公式计算：Re=(ρvL)/μ其中，Re表示雷诺数，ρ表示密度，v表示速度，L表示特征长度，μ表示动力粘度。
7.流体的扩散：流体的扩散可以通过热量传递或质量传递来实现。
扩散速率可以使用以下公式计算：质量传递速率=D×A×(C2-C1)/L其中，D表示扩散系数，A表示扩散面积，C2和C1分别表示扩散物质在两个位置上的浓度，L表示扩散路径的长度。
流体运动的控制方程连续性动量守恒和能量守恒
流体运动的控制方程连续性动量守恒和能量守恒流体运动的控制方程：连续性、动量守恒和能量守恒流体运动是物理学中研究流体在外力作用下的运动规律的一门学科。
通过对流体运动的描述和分析，可以揭示流体中的运动规律并解决实际问题。
在流体运动的研究中，控制方程是非常重要的工具，其中包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将对这三个方程进行详细的讲解。
一、连续性方程连续性方程描述了流体在运动过程中的质量守恒规律。
它是基于质量守恒定律和物质的连续性原理推导出来的。
连续性方程的数学表达形式如下：∂ρ/∂t +∇·(ρv) = 0其中，ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表流体的速度矢量。
∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算。
这个方程表示了单位时间内单位体积内的质量变化率与流体速度的散度之间的关系。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体在运动过程中的动量守恒规律。
它是基于牛顿第二定律和动量守恒定律推导出来的。
动量守恒方程的数学表达形式如下：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⃗v) = -∇P + ∇·τ + F其中，P代表静压力，τ代表剪切应力，F代表外力。
这个方程表示了单位时间内单位体积内的动量变化率与压力梯度、应力散度以及外力之间的关系。
三、能量守恒方程能量守恒方程描述了流体在运动过程中的能量守恒规律。
它是根据能量守恒定律推导出来的。
能量守恒方程的数学表达形式如下：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -P∇·v + ∇·(k∇T) + q其中，e代表单位质量的内能，T代表温度，k代表热传导系数，q代表单位质量的热源项。
这个方程表示了单位时间内单位质量内能的变化率与压力梯度、热传导以及热源之间的关系。
结论通过以上对流体运动的控制方程的讲解，我们可以看到连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程对于分析和求解流体运动过程中的相关问题起到了十分重要的作用。
3-第3讲 连续性方程
u
dx
•
B
u
u dx x
B
u dxdt x
图 6-2 线变形速率
•
明显看出，经过 dt 时间后，沿 x 轴方向 B 点比 A 点多移动了 于 AB 线拉伸的伸长量。故单位长度单位时间的伸长率为 x 的拉伸变形速率。 同理， y 和 z 分别代表沿 y 和 z 方向的拉伸变形速率。
C C’
β α u
图 6-3
D’ D
v dxdt x
x
dx
u(x+dx, y,z) v(x+dx,y,z)
角变形速率与转动
图 6-3 中 A 点的速度分量为 u 和 v，在 D 点的速度分量为
u ( x dx, y, z ) u
u dx x v v( x dx, y, z ) v dx x
中，由于控制体是任意选定的，方程中第一项可写成
dVc dVc V V c c t t
由于
V ui vj wk dA i dydz j dxdz k dxdy
以及高斯公式，方程中第二项可写成
Ac
V dA (udydz vdxdz wdxdy )
显然不满足连续性方程，故不存在这样的流动。 第3节 流体微团运动分解定理
流体微团在运动过程中不断受到外部压力和剪切力的作用， 在这些力的作用下不断的进 行着移动、转动和变形运动。流体微团的运动是一个连续的复杂的运动过程，为此我们将微 团运动的过程进行分析和分类，这就是流体微团运动的分解。 在流场中任取一个流体微团如图 6-1 所示。在微团中任选一个点 A，位于 ( x, y, z ) ，再 任取另外一个点 B，位于 ( x dx, y dy, z dz ) ，下面以 A 为基点，分析 B 点相对于基点 A 的运动过程。
连续性方程
柱坐标与球坐标系的连续方程
柱坐标系：
•化工中处理的 流体大多为管道 或容器内的流动， 因此采用柱与球 坐标系较方便。
4
1 r
r
rur
1 r
u
z
uz
0
式中 为时间，r为径向坐标，z为轴向坐标， 为方位坐标， 分别 为流速在柱坐标上的分量。
球坐标系
1 r2
r
r 2ur
r
s
1 in
u
sin
r
1 sin
0
r —径向坐标
—余纬度
—方位角
ur , u , u
—流速在球坐标系（）方向上分量 —时间
谢谢
2016年3月30日
连续性方程的推导
•连续性方 程的推导采 用欧拉观点
2
流场中的空间点M（X,Y,Z)处取一微控制体dV=dxdydz, 其相 应的各边与坐标轴平行。设M点处流体的速度u,密度e，且u e 都是空间和时间的函数。 流出的质量流率-流入的质量流率+累计质量速率=0
x方向流出与流入微元控制体的质量流率之差
x
y
z
向量形式为：
• u D 0 D
此为流体流动时的微分质量衡算方程，即连续性 方程
对连续性方程的分析
将上式展开可得
x x
y y
z z
x
x
y
y
z
z
0
上式又可写成
• u D 0
3
D
密度对时间的倒数 由两部分组成:一为密度随时间的局部导 数 ，表示密度在口空间的一个固定点随时间的变化；另一个 为密度的对流导数 ，表示密度由一点移动到另一点时所发 生的变化，
5.4 连续性方程
5.4 连续性方程1. 连续性方程n内空穴的变化：dV连续性方程——扩散和漂移同时存在时，少子所遵守的运动规律。
n 型半导体，x 方向施加电场；光注入非平衡载流子。
① 扩散造成的空穴积累② 漂移造成的空穴积累③ 载流子的产生④ 载流子的复合22p p p p p p p p E p D E p G t x x x ∆μμτ∂∂∂∂=--+-∂∂∂∂Ø连续性方程空穴浓度随时间的变化率：22n n n n n n n n E n D E n G t x x x ∆μμτ∂∂∂∂=+++-∂∂∂∂电子浓度随时间的变化率：扩散漂移复合产生Ø稳态连续性方程：220p p p p pp p E p D E p G x x x ∆μμτ∂∂∂--+-=∂∂∂220n n n n n n n E n D E n G x x x ∆μμτ∂∂∂+++-=∂∂∂稳态时载流子浓度的分布不随时间变化：0p t∂=∂ 连续性方程反映了半导体中少数载流子运动的普遍规律，它是研究半导体器件工作原理的基本方程之一。
0n t ∂=∂2. 连续性方程的应用22p p p p p p p p E p D E p G t x x x ∆μμτ∂∂∂∂=--+-∂∂∂∂（1）光激发的载流子衰减条件：光照在均匀半导体中均匀产生非平衡载流子； 无电场；t =0时刻，停止光照p p t τ∂∆∆=-∂0()()t p t p e τ-∆=∆22pp p p p p p p E p D E p G t x x x ∆μμτ∂∂∂∂=--+-∂∂∂∂22p pp p pD t x ∆∆∆τ∂∂=-∂∂（2）少子脉冲在电场下的漂移条件：局部的光脉冲照射均匀半导体；无外加电场； t =0时刻，停止光脉冲。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∆p p p p t t D x t D N p τπ4exp 4222p p p p p p p D E t x x ∆∆∆∆μτ∂∂∂=--∂∂∂22pp p p p p p p E p D E p G t x x x ∆μμτ∂∂∂∂=--+-∂∂∂∂ 条件：局部的光脉冲照射均匀半导体；t =0时刻，停止光脉冲。
第五章 连续性方程
? ? Lp (?) ?
L2p (?) ? 4L2p
2L2p
显然： L2p (?) ? 4L2p ? Lp (?)
?1 ? Lp (?) ?
L2p (?) ? 4L2p
2 L2p
?0
?2 ? Lp (?) ?
L2p (?) ? 4L2p
2L2p
?0
对很厚的样品： ? p(? ) ? 0
x? ?,
0 ? Ae?1? ? Be?2?
连续性方程的建立：
粒子流密度矢量的散度的负值即为其积累率，
故有：
积累率＝－
????
1 q
?????
? JP
连续性方程： (非平衡载流子在未达到稳定
状态前，载流子随时间的变化率必须等于其
产生率加上积累率再减去复合率)
对空穴
?p ?t
＝?? ?
g
p－
?p
?
??－ ?
1 q
?
?J
对电子
?n ?t
＝?? ?
? A=0， ? p(x) ? Be?2x
x ? 0,
? p(0) ? ? p0
? ? p(x) ? ? poe ?2x
?2 ?
L p (?) ?
L2p (?) ? 4L2p
2L2p
?0
● 电 场 很 强（漂移起主要作用）
? p??p ? Lp (?) ? ? Lp
??L2p (?)
?
4
L2p
1/
光照均匀掺杂的N型半导体，无电场，无 其它产生时的稳态方程。
E=0，gp=0， 稳态 dp ? 0 dt
均匀掺杂：
d2p dx2
?
d2? p dx2
流体力学连续性方程和伯努利方程
流体力学连续性方程和伯努利方程流体力学是研究液体和气体运动行为的学科，其中连续性方程和伯努利方程是两个重要的基础概念。
本文将介绍流体力学中的连续性方程和伯努利方程，并讨论它们在实际应用中的意义和应用场景。
一、连续性方程连续性方程是流体力学中描述流体质量守恒的基本方程之一。
它通过描述在稳态流动中，流体通过不同截面处的流量相等来表达流体质量守恒的原理。
在一维流动的情况下，连续性方程可以通过以下公式表示：$$A_1v_1 = A_2v_2$$其中，$A_1$和$A_2$分别表示两个截面的面积，$v_1$和$v_2$表示两个截面处的流速。
该方程表明，在稳态流动中，流经任意截面的流体质量是相等的。
连续性方程的应用十分广泛，尤其在液体和气体输送领域中具有重要的意义。
例如，在管道输送液体时，通过连续性方程可以计算出不同截面处的流速和流量，从而帮助实际工程中的设计和运行。
二、伯努利方程伯努利方程是流体力学中描述流体动能和静压力之间关系的方程，它基于能量守恒的原理。
伯努利方程适用于无黏流体在稳态流动中的情况。
在一维流动的情况下，伯努利方程可以通过以下公式表示：$$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{常数}$$其中，$P$表示流体的静压力，$\rho$表示流体的密度，$v$表示流体的流速，$g$表示重力加速度，$h$表示流体的高度。
该方程表明，无论在流动的位置怎样变化，该项常数保持不变。
伯努利方程的应用非常广泛，如飞机飞行原理、涡轮机械的工作原理以及水力工程中的水泵和水轮机等。
通过应用伯努利方程，可以帮助解释和优化实际工程中的流体力学问题。
三、连续性方程和伯努利方程的关系连续性方程和伯努利方程是流体力学中两个重要的基本定律，它们是相辅相成的关系。
首先，连续性方程表明了在一维流动中，流体通过截面处质量守恒的原理。
而伯努利方程则描述了静压力、动能和重力势能之间的关系。
这两个方程相结合，可以提供完整的流体力学运动描述。
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达式。
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达式。
质量守恒定律在流体力学中的表达式，即连续性方程，是一条相对
简单但十分重要的物理定律。
这表明，任何时刻在一个区域内流体总
质量不变，即不论质量流出或流入，总质量要保持不变。
它可以用来
研究电磁场和微观粒子的流动，在流体动力学和热力学中有着重要的
应用。
一般的连续性方程可以表示为：
∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0，
其中ρ表示密度，u表示速度，t表示时间，∇为水平和垂直梯度算子，其中·表示对速度的散度。
所有这些符号都定义在某一特定时间特定空
间中。
连续性方程代表质量守恒定律，它表示，没有外力，总质量不
会有变化。
连续性方程广泛用于流体力学中，它是描述流体和液体流动的基本方程，有助于研究流体流动的总体特征，如压力场的变化、流速的变化等。
它通过定义流体的密度、流速和其它变量的场表示，来描述流体
的变化规律。
此外，在本次研究中，连续性方程还被用来描述涡旋流体流动，即流
体中有微小而复杂的涡旋流场，流体的涡旋性质决定了流体的流动特性，从而开启了流体动力学的新篇章。
总的来说，连续性方程对研究流体力学有着十分重要的意义，它不仅可以用来描述流体和液体流动的复杂性质，而且可以应用到涡旋流体的研究中，由此可以看得出，连续性方程是流体动力学中不可缺少的重要方程，值得进一步研究。
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也是调和函数
例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy= － 2xy，是否满足连续 性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函 数？并写出流函数。
解：（1）ux uy 2x 2x 0
x y
满足连续性方程
（2） z
1 2
u y x
ux y
0
是无旋流
（3）无旋流存在势函数：
d
uxdx
u ydy
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
a→0：偶极流
φ=C Ψ=C
源流和源流的叠加
离心泵的叶片形状
源流和环流的叠加 （流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
速度势函数
1.速度势函数
无旋
有势
类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能
无旋条件：
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
AA'
u y x
xdt
u y
dt
x
x
x
ux ydt
BB' y
ux dt
y
y
y
微团的旋转： 1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1 2
u x z
u z x
x
1 2
uz y
u y z
取（x0，y0）为（0，0）
(
x,
y)
y
0
x2
y2
dy
x2y
y3 3
几种简单的平面势流
1.均匀平行流
速度场 速度势函数 等势线 流函数 流线
ux a uy b （a,b为常数）
uxdx uydy ax by
c
ya xc
b
uxdy uydx ay bx
y
c
y b xc a
xi
y
j
zk
1 2
u
1 2
rotu
4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度
微团的角变形：
1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
u x y
是微团在xoy平面上的角变形速度
同理
x
1 2
u z y
u y z
y
1 ux 2 z
u z x
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
得：
ux
x
uy
y
uz
z
u grad
（ φ的梯度）
2.拉普拉斯方程
由不可压缩流体的连续性方程
ux uy uz 0 x y z
将
ux x
uy
y
uz z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
代入得
即
2 0
——拉普拉斯方程
2为拉普拉斯算子， φ称为调和函数 ——不可压缩流体无旋流动的连续性方程
要条件
d uxdy uydx
函数ψ称为流函数
有旋、无旋流动都有流函数
由函数ψ的全微分： d dx dy
x
y
得：
ux
y
uy x
流函数的主要性质：
（1）流函数的等值线是流线；
证明： c d 0 uxdy uydx 0
dx dy ux uy
——流线方程
（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；
证明：dq
u
ndl
ux
cos(n,
x)dl
u
y
cos(n,
y)dl
uxdy u ydx d
q ABd B A
（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程
证明：
z
1 2
u y x
u x y
0
则： uy ux 0 x y
在无旋流动中
将
ux
y
,uy
x
代入
得：
2
x 2
2
y2
0
2 0
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等 于流出断面2的流体质量，则
1Q1dt 2Q2dt 1Q1 2Q2
1v1A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
不可压缩流体 分流时 合流时
c
Q Qi Qi Q
Q1 Q2
v1A1 v2 A2
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转 流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）
x
x0
ux (x,
y0 )dx
y
y0
uy (x,
y)dy
取（x0，y0）为（0，0）
(x, y) x x2dx y 2xydy 1 x3 xy2
0
0
3
（4）2 2
x2 y 2
ux u y x y
2x (2x) 0
满足拉普拉斯方程， 是调和函数
（5）流函数
d uxdy uydx x2 y2 dy 2xydx
注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程
3.极坐标形式（二维） (r, )
ur r
u r
2
2 r 2 2
2
r 2
1 r
r
0
流函数
不可压缩平面流场满足连续性方程：
即：
ux uy 0 x y ux u y x y
由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u
)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
解：流线方程：
dx ky
Hale Waihona Puke dy kxx2y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： x y 0
（无线变形）
角变形： z 0
（无角变形）
旋转角速度：
z
1 2
k
k
k
（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0
0
即： x 0
y 0
z 0
uz u y y z ux uz z x u y ux x y
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
势流叠加原理
21 0 22 0 1 2 也满足 2 0 ——势流叠加原理 同理，对无旋流： 2 0