连续性方程

取（x0，y0）为（0，0）
(
x,
y)
y
0
x2
y2
dy
x2y
y3 3
几种简单的平面势流
1.均匀平行流
速度场 速度势函数 等势线 流函数 流线
ux a uy b （a,b为常数）
uxdx uydy ax by
c
ya xc
b
uxdy uydx ay bx
y
c
y b xc a
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
也是调和函数
例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy= － 2xy，是否满足连续 性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函 数？并写出流函数。
解：（1）ux uy 2x 2x 0
x y
满足连续性方程
（2） z
1 2
u y x
ux y
0
是无旋流
（3）无旋流存在势函数：
d
uxdx
u ydy
注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程
3.极坐标形式（二维） (r, )
ur r
u r
2
2 r 2 2
2
r 2
1 r
r
0
流函数
不可压缩平面流场满足连续性方程：
即：
ux uy 0 x y ux u y x y
由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
x
x0
ux (x,
y0 )dx
y
y0
uy (x,
y)dy
取（x0，y0）为（0，0）
(x, y) x x2dx y 2xydy 1 x3 xy2
0
0
3
（4）2 2
x2 y 2
ux u y x y
2x (2x) 0
满足拉普拉斯方程， 是调和函数
（5）流函数
d uxdy uydx x2 y2 dy 2xydx
解：流线方程：
dx ky
dy kx
x2
y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： x y 0
（无线变形）
角变形： z 0
（无角变形）
旋转角速度：
z
1 2
k
k
k
（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0
0
即： x 0
y 0
z 0
uz u y y z ux uz z x u y ux x y
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
AA'
u y x
xdt
u y
dt
x
x
x
ux ydt
BB' y
ux dt
y
y
y
微团的旋转： 1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1 2
u x z
u z x
x
1 2
uz y
u y z
证明：dq
u
ndl
ux
cos(n,
x)dl
u
y
cos(n,
y)dl
uxdy u ydx d
q ABd B A
（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程
证明：
z
1 2
u y x
u x y
0
则： uy ux 0 x y
在无旋流动中
将
ux
y
,uy
x
代入
得：
2
x 2
2
y2
0
2 0
, 3 , r y Q
22
4u0
, rs
xs
Q
2u0
0,2,r , 流线以 y Q 为渐进线
2u0
外区——均匀来流区；内区——源的流区（“固化”、半体）
源流和汇流的叠加
当a→0，q→∞，2qa→常数M
偶极流
利用三角函数恒等式、级数展开，化简
M
2
x x2 y2
M y 2 x2 y2
线角旋平变转移形
流体微元的速度：
1.平移速度：ux，uy，uz
2.线变形速度：
x方向线变形
u x
ux x
x dt
u x dt
ux x
xdt
xxdt
x
ux x
是单位时间微团沿x方向相 对线变形量（线变形速度）
同理
y
u y y
z
uz z
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度
要条件
d uxdy uydx
函数ψ称为流函数
有旋、无旋流动都有流函数
由函数ψ的全微分： d dx dy
x
y
得：
ux
y
uy x
流函数的主要性质：
（1）流函数的等值线是流线；
证明： c d 0 uxdy uydx 0
dx dy ux uy
——流线方程
（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u
)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
xi
y
j
zk
1 2
u
1 2
rotu
4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度
微团的角变形：
1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
u x y
是微团在xoy平面上的角变形速度
同理
x
1 2
u z y
u y z
y
1 ux 2 z
u z x
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
Fra Baidu bibliotek
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
得：
ux
x
uy
y
uz
z
u grad
（ φ的梯度）
2.拉普拉斯方程
由不可压缩流体的连续性方程
ux uy uz 0 x y z
将
ux x
uy
y
uz z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
代入得
即
2 0
——拉普拉斯方程
2为拉普拉斯算子， φ称为调和函数 ——不可压缩流体无旋流动的连续性方程
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
速度势函数
1.速度势函数
无旋
有势
类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能
无旋条件：
ψ3 ψ2
ψ1
o
x
φ3
u
φ2
φ1
当流动方向平行于x轴 uy 0
ψ2 ψ1 φ1 φ2
当流动方向平行于y轴 ux 0
ax by
ay bx
ψ2 ψ1 φ2 φ1
如用极坐标表示： x r cos
y r sin
by br sin
bx brcos
（2）汇流 流量 Q Q
a→0：偶极流
φ=C Ψ=C
源流和源流的叠加
离心泵的叶片形状
源流和环流的叠加 （流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
势流叠加原理
21 0 22 0 1 2 也满足 2 0 ——势流叠加原理 同理，对无旋流： 2 0
将驻点坐标代入流函数，得
s
Q 2
则通过驻点的流线方程为
u0r sin
Q
2
Q 2
给出各θ值，即可由上式画出通过驻点的流线
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等 于流出断面2的流体质量，则
1Q1dt 2Q2dt 1Q1 2Q2
1v1A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
不可压缩流体 分流时 合流时
c
Q Qi Qi Q
Q1 Q2
v1A1 v2 A2
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转 流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）
0
uz u y y z
ux uz z x
u y ux x y
由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在
的充要条件
d(x, y, z) uxdx uydy uzdz 函数φ称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动
由函数φ的全微分： d dx dy dz
x y z