等差数列前项和的公式
等差和等比数列前n项和公式
等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。
下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。
等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。
由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。
等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。
由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。
以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。
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等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
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(完整版)等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系总结
(完整版)等差数列的前n项和与首项、末
项之间的关系总结
一、定义：
等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
它的一般
形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, ...，其中a₁为首项，d为公差。
二、前n项和的计算：
等差数列的前n项和可以通过以下公式求得：
Sn = (n/2)(a₁ + an)
其中，Sn表示前n项和，a₁为首项，an为末项（第n项）。
三、首项、末项与前n项和的关系：
1. 首项和末项的关系：
首项a₁和末项an之间的关系可以表示为：
an = a₁ + (n-1)d
其中，d为公差。
2. 前n项和与首项、末项之间的关系：
根据前n项和的计算公式，可以得出以下关系：
Sn = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + nd - d)
= n(a₁ + (n-1)d)/2
四、应用示例：
假设有等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，其中首项a₁=2，公差d=3。
计算该数列前n项和的步骤如下：
1. 根据首项和公差，确定该数列的末项计算公式：an = 2 + (n-
1)3。
2. 根据前n项和的计算公式，将首项a₁、末项an代入计算：Sn = n(2 + (n-1)3)/2。
以上就是对等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系进行总结的内容。
注意：本文档的内容仅供参考，不涉及法律问题。
等差数列公式大全及解题方法
等差数列公式大全及解题方法等差数列是数学中一种重要的数列形式，其性质和求解方法在数学及相关领域具有广泛的应用。
本文将为您详细介绍等差数列的公式大全及解题方法。
一、等差数列的定义等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。
通常表示为：a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。
二、等差数列的基本公式1.通项公式：a_n = a_1 + (n-1)d2.求和公式：（1）前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)（2）前n项和公式（首项与末项已知）：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) = n/2 * (a_1 + a_1 + (n-1)d)（3）前n项和公式（项数与公差已知）：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)3.项数公式：n = (a_n - a_1) / d + 14.中项公式：a_{(n/2)} = (a_1 + a_n) / 2三、等差数列的解题方法1.求通项公式：根据已知的首项和公差，代入通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，求解第n 项的值。
2.求前n项和：（1）已知首项和末项，代入前n项和公式S_n = n/2 * (a_1 + a_n)求解。
（2）已知首项和项数，代入前n项和公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)求解。
3.求项数：根据已知的末项和首项，代入项数公式n = (a_n - a_1) / d + 1求解。
4.求中项：根据已知的首项和末项，代入中项公式a_{(n/2)} = (a_1 + a_n) / 2求解。
四、等差数列的应用等差数列在现实生活中有广泛的应用，如：工资、人口增长、存款利息等。
掌握等差数列的公式和解题方法，有助于解决生活中的实际问题。
总结：本文详细介绍了等差数列的公式大全及解题方法，希望对您的学习和工作有所帮助。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
求和公式是通过将数列中的每一项相加来计算数列的和。
等差数列的求和公式有两个主要形式，分别是差数列和面积数列的求和公式。
1.差数列求和公式：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，等差数列的求和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)。
解析：等差数列的求和公式可以通过计算首项和末项之和的平均值，再乘以项数得到。
首项和末项之和的平均值相当于每一项的平均值，再乘以项数就得到了等差数列的和。
2.面积数列求和公式：对于等差数列an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数，等差数列的求和公式为Sn = a * n + (n * (n-1) * d) / 2解析：面积数列求和公式是等差数列的另一种形式，在计算的过程中使用了等差数列的几何意义。
等差数列的每一项可以看作是由前一项移动d距离得到的，将数列展开成“梯形”的形式，然后计算各个梯形的面积，最后相加得到等差数列的和。
下面通过一个例子来说明如何使用等差数列的求和公式。
例子：我们有一个等差数列，首项为2，公差为3，现在要计算前100项的和。
1.使用差数列求和公式：a1 = 2，d = 3，n = 100，代入公式Sn = n/2 * (a1 + an)，得到：2.使用面积数列求和公式：a=2，d=3，n=100，代入公式Sn=a*n+(n*(n-1)*d)/2，得到：总结：等差数列的求和公式是通过对数列中的每一项相加来计算数列的和。
差数列和面积数列是等差数列的两种常用求和公式，可以根据实际情况选择使用。
在应用中，根据已知条件，将相关值代入公式中即可计算得到等差数列的和。
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式等差数列是数学中常见且有一定规律的数列，其中每一项与前一项之间的差值保持恒定。
等差数列的求和是一种基本的数学问题，其中一个重要的公式是等差数列的前n项和公式。
本文将详细介绍等差数列以及其前n项和公式。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
等差数列的性质如下：1. 等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
2. 等差数列的首项为a，公差为d，末项为a + (n-1) * d。
3. 等差数列的任意两项之和等于首项与末项之和的一半，即an + a= 2a + (n-1) * d。
4. 等差数列的前n项和可表示为Sn = n * (a + an) / 2。
5. 当n为正整数时，等差数列的前n项和Sn = n * a + (n * (n-1) * d) / 2。
二、等差数列的前n项和公式推导为了推导等差数列的前n项和公式，我们首先将等差数列的前n项和Sn表示为Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)，可以观察到每一项与首项之差都是d。
我们可以将等差数列的前n项和倒序排列，即Sn = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a。
将两式相加，我们有2Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
根据等差数列的性质3，等式右边的每一项都等于2a + (n-1)d，共有n项。
则2Sn = n * (2a + (n-1)d)，整理得到Sn = n * (a + an) / 2。
三、等差数列的前n项和公式应用举例为了更好地理解和应用等差数列的前n项和公式，我们来举一个实际的例子。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法求和公式是数列中常用的一个工具，用于计算数列中一定数量的项的和。
在数学中，有七种不同的方法可以使用求和公式。
1.求等差数列的和：等差数列的求和公式是：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。
这个公式的核心思想是将数列分成两部分，每部分的和都是数列的首项和末项之和的一半。
2.求等比数列的和：等比数列的求和公式是：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn是数列前n 项和，a1是数列的首项，r是数列的公比，n是数列的项数。
这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。
3.求等差数列的和差：等差数列的和差公式是：Sa=Sn-S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。
这个公式的思想是将数列分成两部分，分别计算它们的和，然后将后一部分的和减去前一部分的和，即可得到和差。
4.求等比数列的和差：等比数列的和差公式是：Sa=Sn/S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。
这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。
5.求调和数列的和：调和数列的求和公式是：Sn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)，其中Sn是数列前n项和，a1，a2，...，an是数列的各项。
这个公式的思想是将数列的各项的倒数相加，然后再取它们的倒数。
6.求幂和数列的和：幂和数列的求和公式是：Sn=(a^(n+1)-1)/(a-1)，其中Sn是数列前n项和，a是数列的公比，n是数列的项数。
这个公式利用了幂和数列的特性，即每一项都是公比的幂次。
7.求有限项数列的和：有限项数列的求和公式是：Sn = (n / 2) * (a1 + an)，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。
等差数列首项公式
等差数列首项公式
等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。
前n项和公式为：sn=n*a1+n(n-1)d/2或sn=n(a1+an)/2 。
注意：以上整数。
通项公式：an=am+(n－m)d
m指本数列的某一项,n指数列于的最后一项,他们之间差距n-m项,也就是高了n-m个公差,所以公式就获得了
其实公式是这样得到的：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
……
an-a（n-1）=d等式相乘就是an-a1=(n-1)d
明白了通项公式,后面的求和公式就好理解了
握个两个例子来说
第一个：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……
这个数列存有偶数项,你可以辨认出（1+19）、（2+18）、（3+17）、（4+16）……都成正比,都等同于9+11等同于首项加末项,因为这就是两两相乘,所以必须除以项数的一半,就获得公式s=（首项加末项）项数/2
第二个例子1、3、5、7、9、11、13、15、17
这个数列存有奇数项,你可以辨认出（1+17）、（2+5）、（3+13）……成正比而且等同于9的两倍,等差中项嘛,把九拎上开,这样的一共存有（n-1)/2项,这样一来就是 s=（n-1)/2*9*2+9———每一项都等同于九的两倍嘛!而9又等同于（a1+an）/2,代入刚才那个式子就出了,还是（首项加末项）*项数/2。
如何求等差数列前n项和公式
如何求等差数列前n项和公式等差数列是数学中常见的数列形式，它的每一项与前一项之差都相等。
求等差数列前n项和是数学中的一个重要问题，下面将介绍如何通过公式来求解等差数列的前n项和。
我们来回顾一下等差数列的定义。
一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
现在我们来推导等差数列前n项和的公式。
设等差数列的前n项和为Sn，我们将等差数列从首项到第n项的和分别与从第n项到首项的和相加，可以得到：2Sn = (a + an) + (a+d + an-d) + (a+2d + an-2d) + ... + (an + a)根据等差数列的通项公式，将等式中的an替换为a + (n-1)d，可以得到：2Sn = n(a + an)= n(a + a + (n-1)d)= n(2a + (n-1)d)将等式两边都除以2，可以得到等差数列前n项和的公式：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)这就是等差数列前n项和的公式。
通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐个相加。
下面我们通过一个例子来说明如何使用等差数列前n项和的公式。
假设有一个等差数列的首项a为1，公差d为2，我们来计算前n 项和。
我们需要确定首项a和公差d的值，a为1，d为2。
然后，我们根据公式Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)来计算前n项和。
假设我们要计算前10项的和。
代入公式，可以得到：S10 = 10/2 * (2*1 + (10-1)*2)= 5 * (2 + 9*2)= 5 * (2 + 18)= 5 * 20= 100因此，等差数列的前10项和为100。
通过以上的例子，我们可以看到，使用等差数列前n项和的公式可以快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐个相加。
这样的计算方法在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题，它有一个简洁的求和公式可以帮助我们高效地解决这个问题。
本文将详细介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
一、等差数列定义及性质等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+nd，...其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 通项公式：第n项an = a + (n-1)d；2. 前n项和Sn = (a + an) * n / 2。
二、等差数列求和公式的推导过程为了推导等差数列的求和公式，我们先来考虑一个等差数列的和S1和S2的关系。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：S1 = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)，(1)S2 = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + a。
(2)将式子(2)的每一项与式子(1)的对应项相加，可得：S1 + S2 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
(3)上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：S1 + S2 = n * (2a + (n-1)d)。
(4)由等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，可以将式子(4)进一步化简为：S1 + S2 = n * (a + an)。
(5)另一方面，根据等差数列前n项和的定义，可以得到：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d。
将式子(1)乘以2，再与式子(1)相加，可以得到：2S1 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：2S1 = n * (2a + (n-1)d)。
求前n项和公式的常用方法
求前n项和公式的常用方法
1.等差数列的前n项和：
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
设等差数列首项为a，公差为d，则其前n项和公式为：
Sn=(n/2)*[2a+(n-1)d]
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。
2.等比数列的前n项和：
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
设等比数列首项为a，公比为r，则其前n项和公式为：
Sn=a*(1-r^n)/(1-r)
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。
3.平方数数列的前n项和：
平方数数列是指其每一项都是一些正整数的平方的数列。
设平方数数列的首项为1，则前n项和公式为：
Sn=(n/6)*(2n+1)*(n+1)
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。
4.等差数列与等比数列混合的前n项和：
在一些问题中，数列既具有等差又具有等比的规律。
设数列的前n项和公式为：
Sn = (a1 * r^n - an) / (r - 1)
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，an表示前n项的末项。
5.其他特殊数列的前n项和：
除了上述常用的数列，还有其他特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列等。
它们的前n项和公式可以通过递归、推导等方法得到。
综上所述，求前n项和的公式主要是根据数列的特点和规律进行推导得出的。
通过掌握不同类型数列的性质和规律，可以得到相应的前n项和公式，从而更快地求解数学问题。
等差数列前项和公式
金融领域
在金融领域，等差数 列前n项和公式可以 用于计算贷款、储蓄 、投资等的总和。例 如，在计算定期存款 的本息合计时，我们 可以使用等差数列前 n项和公式来快速得 到结果
统计学
在统计学中，等差数列前n项和公式可以用 于计算一系列数据的总和。例如，在计算一 组数据的平均值时，我们可以先使用等差数 列前n项和公式来计算总和，然后再除以数 据的个数
Sn = na1 + n(n-1)d/2
假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么 第n项an可以通过等差数列的通项公式表示 为
等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计 算
或者
这两个公式都可以用来计算等差数列的前n 项和，其中第一个公式是最常用的
推导过程
首先，我们定义等差数列的第n项为an，那么根据等差数列的定义，我们有 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d an = a1 + (n-1)d 前n项和可以表示为 Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 我们可以使用公式an = a1 + (n-1)d将所有的an表示为a1和d的函数，这样就可以很容易 地求和。我们有 Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... +
[ a1 + (n-1)d] =n a1 + [d + 2d + ... + (n-1)d]Markdig.Syntax.Inlines.LineBreakInline= n
a1 + [ d n (n-1)/2
]1 = n/2 * (2a1 + (n-1)d) 2
等差数列的前n项和的性质
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. „„12分
方法二：先求出公差 d=-2（同方法一），„„„6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
1 n 13 2 n 1） 0 25 （ 2 解得 , 25 2n 0 n 12 1 2 1 1 即12 n 13 . 又n∈N*
或利用二次函数Sn=an2+bn(a,b为常数)
求Sn的最值。
举例应用:
【例1】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和
a5 S 7n 2 n 分别为Sn和Tn，若 . ，求 b5 Tn n 3
【解答】方法一：
a 5 2a 5 b5 2b5
S9 T9 93
65 . 12
d<-3 a 3 +4d<0 a7 <0 24 24 - <d<-3 7 a6 +a7 >0 2a 3 +7d>0 d> 7
例3.
a6 a7 0 S12 0 2)分析： 注意： S13 0 a7 0
解：
练习：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9， 求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn 的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公 式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等 于零的项.
已知n, a1 , d , an中的三个.
引入:
d 2 d Sn =na1 + d= n + a1 - n 2 2 2 可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次 函数，其二次项系数是公差的一半。
等差数列的前n项和公式
故a1=5
例3
n(a1 an ) 公式 S n 和S n 2
n ( n 1) na1 d 2 2)在等差数列中，a1=-2,S10=-11,求d
分析:若a1 = -2, S10 =-11, n=10,求d,活用公式2
解: S10=-2X10+10(10-1)d/2
所以-11=-20+45d
思考:
n(a1 an ) Sn 2
又因为an=a1+(n-1)d，代入上式 这个式子化简又变成什么呢?
n(n 1) S n na1 d 2
于是得到了求等差数列前n项和的两 个公式：
思考:(1)这两个公式有那些相同的参数,不同的? 可以得到什么结论 ?(2) 每个公式中至少要知道 几个参数,才能求任意的一个? 注意:1) 相同点: 已知a1和n; 不同点:一个已知 an,一个已知d 2) 知三求一
书295页Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，4，5 B组1，2
先 把 公 式 抄 三 遍 哦
每个人都有一双隐形的翅膀,努力就会成功!
谢谢指导！
感谢高一(1)班的同学!!
答案:500, 做对了吗?
答案: 8900 对了吗?
n ( n 1) n(a1 an ) 公式 Sn 2 和 S n na1 2 d 例3 (1)在等差数列中，a20=15,S20=200, 求a1?
分析：对公式1活用，注意n=20 解: 因为sn=n(a1+an)/2 故S20 =20(a1+a20)/2 200=20(a1+15)/2 =>20= a1+15
三.讲解新课
一般地，把一个数列的前n项和，记做Sn
即有Sn=a1+a2+a3+……+an
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解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当 知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
得 10n n(n 1) 4 54
na1 +
n( n 2
1) d
2
整理后, 得n2 - 6n- 27 = 0
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和 是54.
n(n 1)d Sn na1 2
看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？ d Sn 2
n2
(a1
d 2
)n
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ；
②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ；
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
(1 21) 21
s21
2
21
1
问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
例4 等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
根据等差数列前n项和公式： sn =
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
知三求二
（1） 1+2+3+…+n= （2） 1+3+5+…+（2n-1）= （3）2+4+6…+2n=
Sn = n（n+1）/2 Sn = n2
Sn= n（n+1）
上面习题的答案在以后会经常用到。
1.将等差数列前n项和公式
解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
S10
(a1
a10) 10 2
10 10 2
50
（2）由等差数列的通项公式，得
14.5+(n1)0.7=32 n=26
S26
(14.5 32) 26 2
604.5
例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相 同 大 小 的 圆 宝 石 镶 饰 而 成 ， 共 有 100 层 （见左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
即 Sn=n(a1+an)/2
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
n(n 1) Sn na1 2 d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式，得
S120
120 (1120) 2
7
260
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
例2：在等差数列{an}中，
（1）a3= -2，a8=12，求S10
（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题， 不能简单模仿偶数个项求和的 办 法 ， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
探究发现
③是{一an个}为关等于差n数的列没有Sn=常an数2+项bn
，这 的
“ 二次函数 ”
（ 注意 a 还可以是 0）
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有:
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1), 式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10 岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题，可看成是求等差数列 1，2， 3，…，n，…的前100项的和。