二次根式公开课教学课件
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《二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (3)
∠1是∠3的
，两边分别在同一条直线上.因
此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边 延长
得到的没有公共边的角
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且 ∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线.
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶 点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两 个角叫做对顶角.
动手操作 问题：怎么样画已知直线的垂线？
1.用三角尺画垂线
(1)如图，已知直线 L,作L的垂线.
A
问题：
1靠、 2画线、
这样画L的 垂线可以
O
L
画几条？
无数条
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的
垂线.
问题： 这样画L的 垂线可以
B 则所画直线AB是过
点A的直线L的垂线.
画几条？
L
A
什么叫做平方根？
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用a(a0)表 示 .
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
如图所示的值表示正方形的面积，
生活拓展
C观A察下Oa列各BD图A，C寻Ob找对D顶BACG角（E不FOc含平DH角B )
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角 ⑵ 如图b，图中共有 对对顶角 ⑶ 如图c，图中共有 对对顶角 ⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之 间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成
对对顶角 ⑸ 若有2008条直线相交于一点，则可形成 对 对顶角.
E
最新 公开课课件 新湘教版数学八年级上册5.1《二次根式》课件(共15张PPT)
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
ａ ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
掌握二次根式的概念
定义:
0 形如 a a 的式子 叫做二次根式，其 中 根号下的数 a叫做被开方数。
注意 在实数范围内，a< 0时，
意义，只有当 a 0 时，
a
没有
a 有意义。
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
ａ ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
掌握二次根式的概念
定义:
0 形如 a a 的式子 叫做二次根式，其 中 根号下的数 a叫做被开方数。
注意 在实数范围内，a< 0时，
意义，只有当 a 0 时，
a
没有
a 有意义。
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
16.1 二次根式课件ppt
$sqrt{2} + sqrt{3} = sqrt{2} + sqrt{3}$（无法进一步化简）； $sqrt{8} / sqrt{4} = 2sqrt{2} / 2 = sqrt{2}$。
05
二次根式的综合题解析
知识点串联的综合题
知识点串联
这类题目将二次根式的知识点与 其他数学知识点结合，如与勾股 定理、一元二次方程等知识点相 结合，考察学生的综合运用能力
示例
$(sqrt{2} times sqrt{3})^2 = (sqrt{2})^2 times (sqrt{3})^2 = 2 times 3 = 6$。
二次根式的混合运算
总结词
详细描写
示例
掌握二次根式的混合运算法则是解决 复杂二次根式问题的必备技能。
二次根式的混合运算包括加、减、乘 、除等基本运算。在进行混合运算时 ，需要注意运算顺序和化简步骤，以 避免出现复杂的表达式。例如，在计 算 $sqrt{a} + sqrt{b}$ 时，可以先化 简再相加；在计算 $sqrt{a} / sqrt{b}$ 时，可以先化简再相除。
04
二次根式的运算技能
乘法分配律在二次根式中的应用
01
总结词
理解并掌握乘法分配律在二次根式中的运用，是解决复杂二次根式问题
的关键。
02 03
详细描写
乘法分配律是数学中的基本运算律，它允许我们将一个根式与一个数相 乘，然后分配给另一个根式。例如，对于表达式 $sqrt{a} times sqrt{b}$，我们可以将其简化为 $sqrt{a times b}$。
。
解题思路
解答这类题目需要学生熟练掌握二 次根式的相关知识点，同时还需要 具备一定的综合运用能力和解题技 能。
二次根式课件(超经典)
加减乘除法
二次根式的加减法、乘法和除法有什么规则？在本节课中，我们将深入探讨 这些运算规则，并通过实例演示如何运用它们。
解二次方程
二次根式在解二次方程中有着重要的应用。我们将学习如何使用完全平方公 式和求根公式来解二次方程，并通过实例进行深入分析。
应用实践
二次根式不仅仅在数学中有应用，还广泛应用于几何、物理和其他学科。在本节课中，我们将探索这些应用领 域。
二次根式课件(超经典)
欢迎进入超经典的二次根式课件！本课程将深入讲解什么是二次根式以及二 次根式的定义和性质，帮助你轻松掌握这一重要数学概念。
引言
什么是二次根式？本节将介绍二次根式的概念和基本性质，？这节课将详细讲解如何合并同类项、分解因数和有理化 分母，并教你如何求解二次根式。
总结
在本次课程中，我们将回顾重点难点，探讨二次根式与其他学科的联系，并 进行动手练习，巩固所学知识。
参考资料
为了帮助你更好地理解二次根式，我们提供了一些优质的参考资料，包括书籍、网站、视频教程等。
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
16.1《二次根式》课件(共37张PPT)
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
×
（2） a+10（a ＞ 0）； √
（3） a2+1；
√
（4） -x（x ≤ 0）．
√
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3-4x
；（2）
x x-1
；
（3） -x2 ； （4） x-2- 2-x ．
（1） 2=（ ）2 ；（2）3=（ ）2．
综合运用
练习2 根据性质 a2 =a（a≥0），可得：（-5）2=5 ． 你认为，当a＜0时， a2 = _________，并说明理由： ____________．
综合运用
练习3 性质（ a）2=a（a≥0）和 a2 =a（a≥0）有什 么区别和联系？
• 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
（ 4 ）2 = __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（
1 ）2 = 1 （ 3 __3___；
0）2 Байду номын сангаас___0__．
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示： （ a ）2 =a（a≥0）．
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 __0_，__3_，__4___.
课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？ 一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号． （2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
范围是什么？ a 中的a≥0； a≥ 0． 双重非负性
《二次根式》PPT(第1课时)
，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
《二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (27)
所以只能取__1_3_,_1_4_,1_5_,_1_6_,1_7_,_1_8_
(2)把所取的的值代入方程左边的代数式 2 x 12 14 ,求出代
的一个较小的取值范 围，逐一将这些可取
数式的值，如下表：
3
的值代入方程进行尝
x
13 14
15 16 17 18 …
试检验.能使方程左右 两边相等的未知数的
北
东
课堂检测：
1、C 2、D 3、C
4、x 1且x 2 5、±3 2
6、2
7、3
8、 5
火眼金睛:
已知a、b为实数，且满足 a2b112b1
求a 的值。
作业:
必做：1、作业本 2、预习并完成自主导学
选做：1、课本 课后练习 2、特训。
例题学习 2
例2 (1)当x= –4时，求二次根式 1 2 x 的值。
2cm a cm
那么直角三角形的斜边长是 a2 4 cm。
试一试
2S
a2 4
随堂练习 1
1. 判断，下列各式中哪些是二次根式？
7，
1 2
，
x 2 y (y 0)， x2 y2 ，3 8 .
二次根式根号内字母的取值范围必须满足
被开方数大于或等于零
方程小史
“方程”一词来源于我国古算书《九章算术》.在这 部著作中，已经会列一元一次方程.
2x 12 14
设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为____3_______
0.8x72
观察你所列的方程，这些方
340 1 x500 10.33
程之间有什么共同的特点？
★方程两边都是整式；
2x 12 14 3
★方程中只含有一个未知数； ★未知数的指数是一次。
《二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (2)
1．(3 分)下列各式中 15， 3a， 62－1， a2＋b2， m2＋20， －144，
二次根式的个数有( A )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．(3 分)(2014·武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范
围是( C )
A．x＞0
B．x＞3
C．x≥3
D．x≤3
3．(3 分)对任意实数 a，则下列等式一定成立的是( D )
A. a＝a
B. a2＝－a
C. a2＝±a
D. a2＝a
4．(3 分)使 12n是整数的最小正整数 n＝___3____．
5．(3 分)下列各式：①
2；②
1 ；③ 3
8；④
1x(x＞0)中，最简二次
根式有( A )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．(3 分)把 500化为最简二次根式其结果为__1_0__5_____．
(π取 3.14)
解：2 2 cm
10．(2014·巴中)要使式子 mm－＋11有意义，则 m 的取值范围是( D )
A．m＞－1
B．m≥－1
C．m＞－1 且 m≠1
D．m≥－1 且 m≠1
11．下列计算正确的是( Cb3)2＝2a2b6
C．2xy＋3xy＝5xy D. a43＝2a a
A
40°
80°
B C
A′
40°
B′
60 °
C′
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
∠A=40°，AB=3 ，AC=6
∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A
《二次根式》PPT课件1
（3） 21 ；
2 x （4） +1 ； √
3
≥2 （a ）； √ （ 5） a - 2
（ a＜ b）． （ 6） a - b
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
初步应用 巩固知识
例2 a 取何值时，下列根式有意义？ （ 2）
2 （a-1 ）
（1） a +1 ；
创设情境
提出问题
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h t= 5 ． _____
合作探究 形成知识
h 上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， ． 5
1 2 x 1 0 x 解得， 2 1 2 x 0 y 3 1 3 xy 3 2 2
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
创设情境
提出问题
问题： 3 ，面积为 （1）面积为3 的正方形的边长为_______ S ． S 的正方形的边长为_______
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 65 m． m2，则它的宽为______
第十六章二次根式
16.1 二次根式(1)
学习目标： 1．掌握二次根式的定义，知道被开方数必须是非负数的 理由，并会应用此定义判断一个根式是否为二次根式； 2．会运用二次根式的双重非负性，求被开方数中字母的 取值范围。
2 x （4） +1 ； √
3
≥2 （a ）； √ （ 5） a - 2
（ a＜ b）． （ 6） a - b
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
初步应用 巩固知识
例2 a 取何值时，下列根式有意义？ （ 2）
2 （a-1 ）
（1） a +1 ；
创设情境
提出问题
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h t= 5 ． _____
合作探究 形成知识
h 上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， ． 5
1 2 x 1 0 x 解得， 2 1 2 x 0 y 3 1 3 xy 3 2 2
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
创设情境
提出问题
问题： 3 ，面积为 （1）面积为3 的正方形的边长为_______ S ． S 的正方形的边长为_______
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 65 m． m2，则它的宽为______
第十六章二次根式
16.1 二次根式(1)
学习目标： 1．掌握二次根式的定义，知道被开方数必须是非负数的 理由，并会应用此定义判断一个根式是否为二次根式； 2．会运用二次根式的双重非负性，求被开方数中字母的 取值范围。
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做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
4．
2：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x 的取值必须满
足 想什一么想条：件假？如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意
义，字母 x 的取值必须满足什么条件x？≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
观察： 上面几个式子中，被开方数 的特点？
被开方数是非负数
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
上面得到的式子，分别表示什么意义？
它们有什么共同特征？
想一想： 正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16 ,81,
0 ,
1 ,
104 ,
0.04 ;
49
a
2。理解二次根式 a a≥0
例 1：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足什么
条件？
解：由 x-2≥0，得 x≥2。
问题1 当是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？呢？
理解二次根式 ≥0 问题1 你能比较与0的大小吗？
通过分 和这两种情况的讨论，比较与0的 大小， 引导学生得出≥0的结论，强化学生对
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
6．布置作业： 教科书习题16.1第1，3，5， 7， 10题．
16.1 二次根式 (第1课时）
1.二次根式的概念
问题1：教科书的第2页“思考”,你能用带有 根号的的式子填空吗？
（1）面积为3 的正方形的边长为_______， 面积为S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积 为130m?，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处，，自由落下， 落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落 下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．