江苏专转本第四章向量代数与空间解析几何

运算律 : 结合律 分配律
(
a)
(
a)
a
( (a
)a
b)
a a
a b
若 a
0, 则有单位向量
a
1 a
a.
因此 a
a
a
结论：设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b a ( 为唯一实数)
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
AB OB OA (bx ax ,by ay ,bz az )
6. 已知点A ( ax , a y , az ), B ( bx , by , bz )
AB (bx ax , by a y , bz az )
（终点坐标减去起点 坐标）
五、两向量的数量积
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
（3）两向量的夹角公式
当 a , b为非零向量时, 由于a b a b cos , 得
cos a b
axbx ayby azbz
ab
ax2
a
2 y
a
2 z
bx2 by2 bz2
例4-1. 已知向量 a (1,0,1),b (1. 2,1) ，则 a b与 a 的夹角为——————
记作
a b cos
a b 为a与b的数量积 (点积) .
2. 性质
a b a b cos
(1) a a a 2
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
ab
3. 运算律
(1) 交换律 a b b a
(2) 结合律 ( , 为实数) ( a ) b a ( b) ( a b)
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
ห้องสมุดไป่ตู้
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
xoy面 z 0 yoz面 x 0 zox面 y 0
坐标轴 :
y
x轴
y0 z0
y轴 z 0 x0
z轴 x 0 y0
记作
a
5.零向量: 模为 0 的向量, 记作 0，或 0 .
M2 M1
6.若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
7.与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
8.若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
9.因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
三角形法则:
b ab a
ab b
a
2. 向量的减法
a
b a b (a ) ba
b
ba
a
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
a a
)
,
为实数，则
2. a ( ax , ay , az )
3.平行向量对应坐标成比例:
b
a
b
a
4.a
ax2 ay2 az2
bx ax
by ay
bz az
bx ax by ay
bz az
a b (ax bx )2 (ay by )2 (az bz )2
5. 已知向量 OA ( ax , ay , az ), OB (bx ,by ,bz )
2. 向量的坐标表示
以在空i ,间j ,直k 分角别坐标表系示下x,,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z
OM ON NM OA OB OC C
OA x i , OB y j, OC z k
r
x
i
a∥ b
3. 运算律
(1) a b b a (2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的坐标表示式
设
a
(
ax
,
a
y
,
az
),
b
(bx ,by ,bz ),
则
向量积的行列式计算法
i jk
( a ) ( b) a ( b) (a b) (3) 分配律 a b c a c b c
4设. 数a量积( a的x ,坐ay标, a表z )示, b (bx ,by ,bz ), 则 （1） a b axbx ayby azbz
（2） a b
ab 0
axbx ayby azbz 0
ab ax ay az
bx by bz
ay az , ax az , ax ay
by bz
bx bz bx by
第四章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a
向量的模 : 向量的大小, 记作 M1M 2 , a
2.向径 (矢径): 起点为原点的向量.
3.自由向量: 与起点无关的向量.
4.单位向量: 模为 1 的向量,
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
ko i
j
r
M B y
A
此x i式, y称j 为, z 向k 称量为r 的向坐量标r 分沿解三式个坐, 标轴方向x 的分向量N .
四、利用坐标作向量的线性运算
1.
设
a
a b
( ax (ax
,a
y, bx
az ), ,ay
b by
(bx , az
,by ,bz bz )
六、两向量的向量积 1. 定义
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作 c a b (叉积)
思考: 右图三角形面积
S＝
1 2
ab
a b
设a,b的夹角为，
定 c a,c b a,b
c
向 量模 :方 向 :义,即 垂b c a b sin
直
向a 量 c ab
所 在 的 平
2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0