信号与系统常用公式

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信号与系统常用公式

一、周期信号的傅里叶级数

1．三角函数形式的傅里叶级数：0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞

==++∑，其中

01

011()t T t a f t dt T +=⎰，010112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰，01

112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰

。

2．指数形式的傅里叶级数：11()()jn t

n f t F n e ωω∞

=-∞

=∑，其中0110111()()t T jn t t F n f t e dt T ωω+-=⎰。 二、傅里叶变换

1．傅氏正变换：()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞--∞==⎰

2．傅氏逆变换：11

()[()]()2j t f t F F F e d ωωωωπ

∞

--∞

==⎰

3

三、拉普拉斯变换

1．拉氏正变换：0

()[()]()st F s L f t f t e dt ∞

-==⎰

2．拉氏逆变换：11()[()]()2j st j f t L F s F s e ds j

σσπ+∞

--∞==⎰

2

3

四、z 变换

1．z 正变换：0

()[()]()k k X z Z x k x k z ∞

-===∑

2．z 逆变换：111

()[()]()2k C

x k Z X z X z z dz j π--==⎰

3．z 1．连续时间信号的卷积：121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞

∞

-∞

-∞

*=-=-⎰⎰

2．离散时间信号的卷积：()()()()()()n n x k h k x n h k n h n x k n ∞

∞

=-∞

=-∞

*=-=-∑∑

3．卷积定理：

（1）1212[()()]()()F f t f t F F ωω*=⋅ （2）12121[()()]()()2F f t f t F F ωωπ

⋅=*

（3）1212[()()]()()L f t f t F s F s *=⋅ （4）12121[()()]()()2L f t f t F s F s j π⋅=*

（5）[()()]()()Z x k h k X z H z *= （6）1

[()()]()()2C

z dv Z x k h k X v H j

v v

π⋅=⎰