信号与系统常用公式

信号与系统重点概念公式总结

信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

信号与系统-公式

r 2

C1k C0
k
j
Z域尺度变换
z ak f k F , a z a a
k m f k z
f k k m
1,2 a jb
e j
k C cos k D sin k 或A k cos k , 其中Ae
z
1

km
Pm k Pm 1k
m r m
m 1

m 1
Pk P0 1
k Pm k Pm 1k
Pa
k
k

Pk P0 1
时域积分
f
1
t F 0
F j j
不等于特征根时等于特征单根时
t
尺度变换
f at
1 a
F j
a
F j
1,2 j
C cos t D sin t 或A cos t , 其中Ae
j
C jD
时移特性
f t t0 e
jt0
r 重共轭复根
r 1 r 2 Ar 1t cos t r 1 Ar 2t cos t r 2
t A0t r 2 cos t 0 e
频移特性
f t e
j0 t
F j 0
微分方程激励 f t
微分方程特征根单实根
不同特征根所对应的齐次解齐次解
yh t
对称性
傅里叶变换的性质
时域f t F j 频域 F jt 2 f

信号与系统中的常见公式

信号与系统中的常见公式
1.傅里叶变换的公式：
记X(ω)为一个时域信号x(t)的傅里叶变换，那么傅里叶变换的公式为：
X(ω) = ∫x(t)e^{-jωt}dt
其中，ω表示变换后的信号的频率变量，j=√-1
2.回路分析公式：
对电路进行回路分析时，基本公式可以表达为：
V=IR
即电压V等于电流I乘以电阻R。

3.滤波器的公式：
滤波器在信号处理中起着重要作用，其核心公式是：
H(s)=A(s)B(s)
其中，H(s)表示滤波器的传输函数，A(s)为滤波器的输入函数，B(s)为滤波器的输出函数。

4.模拟到数字的公式：
模拟到数字转换是信号处理中的重要组成部分，将模拟信号转换为数字信号需要用到的公式为：
y[n] = ∫ x(t)p(t-nT)dt
其中，x(t)是原始模拟信号，y[n]是转换得到的数字信号，T为采样周期，p(t)为采样函数。

5.传输函数的公式：
信号系统中的传输函数是衡量系统性能的重要指标，传输函数的表达式为：
H(s)=X(s)Y(s)
其中。

(完整版),信号与系统-公式总结,推荐文档

an (s p1)(s p2 )(s pn ) (s p1) (s p2 )
(s pn )
k i (s pi )F (s) |s pi
(i 1, 2,n)
变变变变变变变变变变
et ut 1
s α
z变变变变变变变
z
z
a
a n u( n) anu(n
1)
za za
⑵留数法
留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留数的运算，即
an
1
, a 1
n0
1 a
第二章傅立叶变换
1 正变换： F () f (t)e jtdt
2 傅立叶变换的性质性质 ※时移
※时频展缩
※※频移
逆变换： f (t) 1 F ()e jtd
2
时域
f (t t0 )
f (at) a 0 f (at b) a 0
f (t)e j0t
信号
名称
f (t)
波形图
F () F () e j()
频谱图
※※ 矩形
脉冲 E[u(t ) u(t )]
E
Sa(
)
2
冲激
脉冲
E (t)
E
※※
直流
E
函数
2 E ()
※ 冲激序列
T 1 (t )
1 1 ( )
1
2 T1
第三章拉普拉斯变换
1 定义
双边拉普拉斯变换 F (s) f (t)estdt
z
z i0 z pi
根据收敛域给出反变换
N
A： if z R ，则 f (n) 为因果序列（右边序列），即 f (n) Ai pinu(n) i 1

信号与系统的公式汇总分类

称
值
s→∞
值
z→∞
z→∞
帕斯
∫ ∫ E = ∞ | f (t) |2dt = 1 ∞ | F ( jω) |2 dω
−∞
2π −∞
帕
终
f (∞) = lim sF (s), s = 0 在收敛域
s→0
终
f (∞) = lim(z −1)F (z) （右边信号）斯
瓦
值
值
z→1
瓦
内
尔
尔
∑ ∫ ∞ | f (k) |2 = 1 | F (e jθ ) |2 dθ
域 f (k + 1) ↔ zF (z) − zf (0)
积
时
微
f ′′(t) ↔ s 2 F (s) − sy(0− ) − y′(0− )
差
f (k + 2) ↔ z2F (z) − z2 f (0) − zf (1)
时
域
分 f ′(t) f (n) (t) ↔ jωF( jω) ( jω)n F ( jω)
1 n! s 2 s n+1
1
1
s +α (s +α)2
kε (k) akε (k)
z (z −1) 2
z z−a
(k + 1)akε (k) kak −1ε (k)
cos(βt)ε (t) sin(βt)ε (t) cosh(βt)ε (t) sinh(βt)ε (t) e−αt cos(βt)ε (t) e−αt sin(βt)ε (t)
s s2 +β 2
β s2 +β 2
s s2 −β 2
β s2 −β 2
s+α (s +α)2 + β 2

信号与系统公式大全

信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。

在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。

同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。

如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。

信号与系统概念公式总结

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

《信号与线性系统分析》重要公式汇总

《信号与线性系统分析》重要公式汇总信号与线性系统分析是电子信息工程及相关学科中的重要课程，对于学习者来说，熟悉和掌握相关公式是非常重要的。

下面是《信号与线性系统分析》中一些重要的公式汇总。

一、信号的基本概念与性质：1.单位冲激函数：δ(t)2.单位阶跃函数：u(t)3.奇偶性质：f(-t)=-f(t)，f(t)是偶函数；f(-t)=f(t)，f(t)是奇函数4.时域的线性性质：y(t)=a1f1(t)+a2f2(t)5.周期函数的性质：f(t+T)=f(t)，T为周期6. 时域尺度变换：y(at) = f(bt)7.时域平移变换：y(t-t0)=f(t)8.频域的线性性质：y(t)=a1f1(t)+a2f2(t)9. 延迟性质：F(s) = e^(-st0)F(s)10. 尺度变换：F(as) = (1/a)F(s/a)11.卷积定理：F[f*g]=F[f]×F[g]12.等式性质：F[e^(-at)f(t)] = F[s + a]二、线性时不变系统与系统概念：1.连续时间系统输出的表达：y(t)=∫[h(t-τ)x(τ)]dτ2.离散时间系统输出的表达：y[n]=∑[h[n-k]x[k]]，k取值范围∈(-∞,+∞)3.时不变系统输出与输入的傅里叶变换关系：Y(s)=H(s)X(s)4.线性系统的性质：系统的输出是输入的线性组合；系统对信号的平移不敏感；系统对信号幅度的线性变化三、连续时间系统的传递函数与频率响应：1.传递函数的定义：H(s)=Y(s)/X(s)2.传递函数与输出信号的拉氏变换关系：Y(s)=H(s)X(s)3.传递函数与等效电路：H(s)=Y(s)/X(s)=R(s)/S(s)4.系统的无穷大增益：，H(jω)，→∞5.零极点：分子多项式中令H(s)=0的根和分母多项式中令H(s)=∞的根6.频率响应：H(jω)=，H(jω)，e^(jθ)，θ为相位四、离散时间系统的传递函数与频率响应：1.离散时间线性时不变系统的传递函数：H(z)=Y(z)/X(z)2.离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应：h[n]=Z[x[n]]3.离散时间线性时不变系统的输出：y[n]=∑[h[n-k]x[k]]，k取值范围∈(-∞,+∞)4.离散时间线性时不变系统的传递函数与频率响应的关系：H(z)=X(z)e(z)/Y(z)5.频率响应：H(e^(jω))=，H(e^(jω))，e^(jθ)，θ为相位五、线性系统的稳定性与有限长度冲激响应(LTI)系统：1.有限长度冲激响应(LTI)系统的定义：输出的响应是输入信号与冲激响应的线性组合2.LTI系统的单位脉冲响应：h[n]={1,n=0;0,n≠0}3.稳定性的定义：输入有界时，输出也有界4.必要稳定性条件：系统的传递函数的所有极点都在单位圆内以上是《信号与线性系统分析》中的一些重要公式的汇总。

信号与系统公式大全

线性时移
1 f (k ) = 2π
jθ
)e jθk dθ
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) f (t ± t 0 ) ↔ e ± jωt0 F ( jω )
af1 (k ) + bf 2 (k ) ↔ aF1 (e jθ ) + bF2 (e jθ ) f (k ± m) ↔ e± jθm F (e jθ ) e ± jkθ 0 f (k ) ↔ F (e j (θ θ 0 ) ) f ( k / n) f ( n ) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f ( − k ) ↔ F ( e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ ) f1 (k ) f 2 (k ) ↔ 1 2π
a k sin( βk )ε (k )
az sin β z 2 − 2az cos β + a 2
sgn(t )
1
β3
1 2β 3
[ βt − sin( βt )]ε (t )
a k cosh( βk )ε (k )
a k sinh( βk )ε (k )
az sinh β z 2 − 2az cosh β + a 2
∞ f (t ) ↔ F (η )dη s t
∫
f (k ) ↔ zm k+m
F (η )
f (0) = lim F ( z ) , f (1) = lim [ zF ( z ) − zf (0)]
z →∞
F ( jt ) ↔ 2πf (−ω )
∞
f (0 + ) = lim sF ( s ), F ( s ) 为真分式

信号与系统-公式总结

4复频域微分
5复频域积分
※6时域卷积
※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法
复频域，
⑵留数法留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留数的运算，即
其中（为一阶极点）或（为阶极点）
第四章 Z变换
1. Z变换定义
正变换：双边：
单边：
2. Z变换收敛域ROC：满足的所有z值
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC为的圆外； ★ 左边序列的ROC为的圆内； ★ 双边序列的ROC为的圆环。 ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面（可能除去z = 0 和z = ）；
冲激脉冲
※※
直流函数 ※ 冲激序列
第三章拉普拉斯变换
1 定义双边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边变换收敛条件：
拉普拉斯反变换称为收敛域。
2 常见函数的拉普拉斯变换
公式序号
原函数，
※1
※2
※※3
像函数
频谱图
※※4 ※5 ※6
3 拉普拉斯的基本性质
性质
时域
※※1时间平移
※2频率频移
※3时域微分
1 差分方程的一般形式
前向差分：后向差分： 2 卷积法（1）零输入响应：激励时初始状态引起的响应 Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式或；
Step3 初始条件代入，确定系统；（12）零状态响应：初始状态为零时外加激励引起的响应方法1：时域分析法方法2：变换域分析法
Step1: 差分方程两边Z变换（注意初始状态为零）；左移位性质
第六章第七章第八章连续系统时域、频域和复频域分析
1 线性和非线性、时变和非时变系统判别（1）线性和非线性先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算

信号与系统重要公式总结

周期信号与非周期信号连续时间信号：()()f t f t kT =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 离散时间信号：()()x n x n kn =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅000()j t j t T e e ωω+=002T πω=00()j n j n N e e ωω+=02N k πω=为整数能量信号和功率信号连续时间信号2|()|E f t dt ∞-∞=⎰2221|()|T T P f t dt T =⎰（周期信号） 2221|()|lim TT T f t T P dt →∞-=⎰（非周期信号）离散时间信号2|()|n E x n ∞=-∞=∑21|()|21N n N P x n N =-=+∑（周期信号） 21()21lim Nn NN P x n N =-→∞=+∑（非周期信号） 1、能量信号：E 有限0E <<∞，0P =； 2、功率信号：P 有限0P <<∞，P =∞；3、若E P →∞→∞，，则该信号既不是能量信号也不是功率信号；4、一般周期信号是功率信号。

线性系统)()()()()()()()(221122112211t y a t y a t x a t x a t y t x t y t x +→+→→，则，若 )()()()()()()()(221122112211n y a n y a n x a n x a n y n x n y n x +→+→→，则，若时不变系统)()()()(00t t y t t x t y t x -→-→，则若 )()()()(00t n y n n x n y n x -→-→，则若系统时不变性：1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2方程分析：系数是否随时间而变3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移i关系狄利克雷（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以利用傅里叶级数展开）（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。

信号与系统公式大全

k en-r+1t nr 1
knr2te0t kntn1e0t t 0
yx(t) e1t[k1 cos(1t) k1' sin(1t)] eit[ki cos(it) ki' sin(it)] t 0
y0(n) 的表达式
y0
(n)
c11n
c22n
ck
n k
y0(n) (c1 c2n cqnq1)1n
A 0
t 0 t0
1. t A ( )d Au(t)
2. A ( ) d [Au(t)] dt
t 0 处可以定义为0, 1 ,1(个别点数值差别不会导致能量的改变) 2
斜坡信号 Ar(t) 性质
Ar(t)
At 0
t 0 t0
1.
t
Au(t)dt
Ar(t)
2.
Au(t)
d dt
[
Ar(t
序列的累加序列的差分序列的移位
y(n) x(k) k
一阶前向： x(n) x(n 1) x(n)
一阶后向： x(n) x(n) x(n 1)
单位超前算子： Ek x(n) x(n k)
单位延迟算子： Ek x(n) x(n k)
十.信号的分解
○1 直流分量与交流分量
f (t) fD fA(t)
交换率分配率结合率
f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t) f2(t) f1(t) f3(t) [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)]
奇异信号卷积特性
单位元特性 f (t) (t) f (t)
判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果

信号与系统公式大全带公式证明

3.1 周期信号的的傅里叶变换......................................................................................................14 3.2 非周期信号的傅里叶变换（频谱函数）.................................................................................14 3.3 傅里叶变换的性质................................................................................................................ 15 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换...............................................................................................17 第三章拉普拉斯变换............................................................................................................................... 18 一、最常用的拉普拉斯变换............................................................................................................... 18 二、拉普拉斯变换的基本性质............................................................................................................ 18 三、拉普拉斯变换的几个重要性质的证明.......................................................................................... 18 四、常见信号的双边拉普拉斯变换..................................................................................................... 19 五、常见函数拉普拉斯变换的证明..................................................................................................... 20 六、常见的单边拉普拉斯逆变换........................................................................................................ 21 第四章激励与响应的关系........................................................................................................................ 23

信号与系统常用公式

常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时正弦序列仍具有周期性，其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n nat t a a δδ=001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。

信号与系统常用公式集

2)(10}Re{),(jw a a t u te at+↔>-natn jw a a t u e n t )(10}Re{),()!1(1+↔>---0,21)],()([sin 11000==-=+--↔-k a ja a w w w w t w δδπkk k t jkw k k akw w a e a ),(200-↔∑∑∞-∞=∞-∞=δπ其余k a a kw w e k tjkw ,0,1),(2100==-↔πδ0,21)],()([cos 11000===++-↔-k a a a w w w w t w δδπ0,1),(21)(0==↔=k a a w t x πδπππk T kw kw c T w k T kw T t T T t t x k 1010101011sin )T (sin sin 22||,0||,1)(=↔⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=∑∞-∞=级：k ,1),2(2)(对全部T a T k w T nT t k k n =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδw wT T t T t t x 111sin 2||,0||,1)(↔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><=↔W w Ww jw X tWt ||,0||,1)(sin π1)(↔t δ)(1)(w jw t u πδ+↔0)(0jwte t t -↔-δjw a a a t u e at+↔>-1}Re{),(连续时间傅里叶变换 ∑∑∞-∞==-↔k k n N jk N k k a Nkw e a ),2(2)/2()(πδππ⎩⎨⎧±±==--↔∑∞-∞=kNm N m m k a l w w e k l n jw 其余级数,02,,,1:)2(200πδπ⎩⎨⎧±±±±±==-++--↔∑∞-∞=其余级数,02,,,1:)}2()2({cos 000Nm N m m k a l w w l w w n w k l πδπδπ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±--=-±±==-----↔∑∞-∞=k ,0,,212,,,21:)}2()2({s 000其余级数Nr r k j N r N r r k j a l w w l ww jn inw k l πδπδπ⎩⎨⎧±±==-↔=∑∞-∞=k,02,,0,1)2(21][其余NN k a l w n x k l πδπNN k NN a Nk k N k N N N k a N k w a N n N N n n x k kk k 2,,0,12,0,]2/2sin[)]2/1)(/2sin[()2(22/||,0||,1][1111±±=+=±=≠+-↔⎩⎨⎧≤<≤=∑∞-∞=πππδπk 1:)2(2][对于全部级数Na N kw N kN n k k k k =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδ0][0jwn en n -↔-δ2)1(11||],[)1(jw n ae a n u a n --↔<+离散时间傅里叶变换jwn ae a n u a --↔<111||],[)2/sin()]2/1(sin[||,0||,1][11w N w N n N n n x +↔⎩⎨⎧>≤ππππππ2,||,0||0,1)(0),(sin sin =⎩⎨⎧≤<≤≤=↔<<=T w W Ww w X W Wc W n W n n 1][↔n δ∑∞-∞=--+-↔k jw k w e n u )2(11][ππδrjw n ae n u a r n r n )1(11][)!1(!)!1(--↔<--+)()()()(jw bY jw aX t by t ax +↔+线性：)()(00jw X e t t x jw t -↔-时移：)(()(00w w j X t x e t jw -↔频移：)()(**jw X t x -↔共轭：)()(jw X t x -↔-时间反转：)(||1)(a jw X a at x ↔尺度变换：)()()(*)(jw Y jw X t y t x ↔卷积：)(*)(21)()(jw Y jw X t y t x π↔相乘：)()(jw jwX t x dtd ↔时域微分：⎰+↔∞)()0()(1)(t -w X jw X jwdt t x δπ积分：)()(jw X dwdjt tx ↔频域微分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-=--∠=∠↔)()(|)(||)(|)}(Im{)}(Im{)}(Re{)}({Re )()()(*jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X t x 实共轭对称：ωπd jw X dt t x 22-|)(|21|)(|⎰⎰∞∞-∞∞=帕斯瓦尔：连续时间傅里叶变换性质)()(][][jw jw e bY e aX n by n ax +↔+线性：)(][00jw jwn e X e n n x -↔-时移：)(][)(00w w j n jw e X n x e -↔频移：)(][**jw e X n x -↔共轭：)(][jw e X n x -↔-时间反转：)(X k n 0k n ],/[][)(jkw k e k n x n x ↔⎩⎨⎧=的倍数不为，的倍数为若时域扩展：)()(][*][jw jw e Y e X n y n x ↔卷积：θπθθπd e Y e X n y n x w j j )()(21][][)(2-⎰↔相乘：）时域差分：jw jw e X e n x n x ()1(]1[][--↔--∑∑∞-∞=--∞=-+-↔k j jw jw k k w e X e X e k x )2()((11][0n πδπ）累加：dwe dX jn nx jw)(][↔频域微分：dwe X n x jw n 222|)(|21|][|⎰∑=∞-∞=ππ帕斯瓦尔定理：离散时间傅里叶变换性质S,1)(全部↔t δ0}Re{,1)(>↔s st u 0}Re{,1)(<↔--s st u 0}Re{,1)()!1(1>↔--s st u n t n n 0}Re{,1)-()!1(1<↔--s st u n t n n as sa t u e at ->+↔-}Re{,1)(as sa t u e at -<+↔--}Re{,1)(-as a s t u e n t n at n ->+↔---}Re{,)(1)()!1(1as a s t u e n t nat n -<+↔---}Re{,)(1)-()!1(-1S,T )-t (全部s T e -↔δ0}Re{,)(][cos 220>+↔s w s st u t w 0}Re{,)(][sin 20200>+↔s w s wt u t w 212121),()()()(R R s bX s aX t bx t ax 至少线性：+↔+Rs X e t t x s t ),()(00-↔-时移：]ROC R )([),(][:s 000中中，则就于在若的平移域平移s s R s s X t x e t s --↔]ROC s R s/a [/),(||1)(中就位于中，则在若时间尺度变换：aR a sX a at x ↔Rs X t x ),()(***↔共轭：212121),()()(*)(R R s X s X t x t x 至少卷积：↔R),(至少时域微分：s sX xt dtd↔Rs X dsdt tx s ),()(↔-域微分：}0}{Re{s R [)(1)()(t->↔⎰∞至少时域积分：s X sd x ττa s w a s as t u t w e at->+++↔-}Re{,)()(]cos [2020a s w a s w t u t w e at ->++↔-}Re{,)()(]sin [22000}Re{,1)]([)(>↔=-s st u t u n n 拉普拉斯变换njw N k ktjkw k k e a n x ea t x 00)()(->=<∞-∞=∑∑==∑∑>=<∞-∞===N k njkw kjw ktjkw k keeH a n y ejkw H a t y 000)()()()(0LTI 输入周期信号为x(t)或x(n),其输出y(t)或y(n)如下：∑⎰∞-∞=--∞∞-==n nstzn h z H dt et h s H )()()()(tjkw k kea t x 0)(∑∞-∞==dte t x Ta t jkw Tk 0)(1-⎰=连续时间级数 dwe e X n x jwn jw )(21][2⎰=ππ∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X ][)( 离散时间级数∑>=<=N k njkw kea n x 0][∑>=<-=N k njkw k en x Na 0][1 离散时间级数连续时间傅里叶dwejw X t x jwt)(21)(⎰∞∞-=πdte t x jw X jwt-∞∞-⎰=)()(。

信号与系统常用公式汇总_

信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。

2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。

3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。

4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。

5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。

6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。

7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。

8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。

9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。

10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。

11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。

12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。

13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。

14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。

信号与系统重点公式

第一章绪论所有的信号与系统包含两个基本的共同点：即作为一个或几个独立变量函数的信号都包含了有关某些现象性质的饿信息；而系统总是对所给的信号做出响应，从而产生另外的信号，或产生某些所需的特性。

三种重要的信号1.信号具有有限的总能量，信号的平均功率必须为0.连续时间情况下：离散时间情况下：2.平均功率有限，总能量=∞连续时间情况下：离散时间情况下：3.和都不是有限的，一个例子就是信号离散时间单位脉冲(单位样本)和单位阶跃序列u[n]离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，离散时间阶跃是单位样本的求和函数连续时间单位阶跃和单位冲激函数连续时间单位冲激可看成连续时间单位阶跃u(t)的一次微分，连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数第二章线性时不变系统线性时不变系统之所以能够被深入分析的主要原因之一就是具有叠加性质。

这样，能够将线性时不变系统的输入用一组基本信号的线性组合来表示，就可以根据该系统对这些基本信号的响应，然后利用叠加性质求得整个系统的输出。

无论在离散时间或连续时间情况下，单位冲激函数的重要特性之一就是一般信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。

这个事实，再与叠加性和时不变性结合起来，就能够用线性时不变的单位冲激响应来完全表征任何一个线性时不变系统的特性。

这样一种表示，在离散时间情况下称为卷积和，在连续时间情况下称为卷积积分，这种表示方式在分析线性时不变系统时提供了极大的便利。

在建立了卷积和与卷积积分之后，再用这些特性来分析线性时不变系统的某些其他性质。

然后讨论由线性常系数微分方程所描述的连续时间系统，由线性常系数差分方程所描述的离散时间系统。

线性空间里，讲了怎么把信号(离散和连续)表示成一组基（移位单位脉冲和移位单位冲激）的线性组合。

用脉冲表示离散时间信号：把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是x[k]。

离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应及卷积和表示y[n] = ，这个结果称为卷积和，或叠加和。