画角的和差倍(俞琼)
6.7 角的和差(课件)七年级数学上册(浙教版)
两条线段AM与BM，点M叫做这条线段的中点.
A
M
B
1
这时AM=BM= AB.（或AB=2AM=2BM）.
2
B
如图：如果∠1=∠2，
C
1
思考：射线OC与∠AOB的位置关系？
2
O
A
讲授新课
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两
个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
解得x＝15，
所以∠AOD＝8×15°＝120°，
所以∠BOD＝60°.
课堂小结
1.角的和、差、倍、分关系
2.借助一副三角尺可以画出15°倍数的角.
课堂小结
角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，
叫做这个角的平分线.
B
应用格式：
C
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
1
当堂检测
4.过∠AOB的顶点作射线OC，下列条件中：①∠AOC=BOC；②∠AOB=2∠AOC；
③∠AOB=2∠BOC；④∠AOC+∠BOC=∠AOB．其中能判断射线OC为∠AOB的平分
线的个数是（
）
A. 0个
D. 3个
B. 1个
C. 2个
解：①.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOC=BOC；但OC不是∠AOB的平分线，
图中有几个角？它们之间有什么关系？
C
B
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：
O
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
沪教小学数学六年级下册《7.5画角的和、差、倍》word精品教案 (2)
7.5(2) 画角的和、差、倍（第二课时）教学目标1. 理解角平分线的概念，掌握用量角器画角平分线的方法，体验类比的数学思想.2. 初步体会角平分线的几何符号表示方法，感知几何符号语言的简洁性，初步感知因果关系形式的几何说理方法.3．会用尺规作出已知角的平分线，探究用尺规法作出45度、90度等特殊角的方法，初步会用几何作图的基本语言写出作法.教学重点1. 理解角平分线的概念，掌握角平分线的画法，.2. 会用尺规作出已知角的平分线以及正确完整地写出作法.教学难点：1． 完整规范地写出用尺规方法作出角平分线的作法.2． 探究用尺规画出30度、45度、60度等特殊角的方法.教学设计流程教学过程 一．情景引入：思考：问题1. 什么是线段的中点？问题2：如果C 是线段AB 的中点，那么AB=__AC ，BC=___AB课堂小结创设情景提出问题引发思考 角平分线的定义及几何表示方法 实践操作 观察归纳 实践操作 画角平分线实验操作：用纸片作材料任意剪一个角，折叠这张纸片，使角的两边叠合在一起，再展开摊平.思考：中间的折痕我们把它称作什么？如果把角的两边无限延伸，那么这条折痕是直线、线段还是射线？如何给角平分线下定义？二．学习新课.1．角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（教师板书）2．角平分线的几何表示：如果OC是∠AOB的平分线，那么也可以说成1∠AOB 或∠是OC平分∠AOB，就有下列等式：∠AOC=∠BOC=2AOB=2∠AOC=2∠BOC. D C三．例题分析：例题1：如图，∠AOD=80°， B∠COD=30°，OB是∠AOC的平分线，那么∠AOC=（）°，O A∠AOB=（）°.说明：此题让学生应用角平分线的性质解决一些简单的角的度数计算问题，可以让学生模仿说理几何的要求，简单写出解题过程，体验几何学习的重点是说清理由，而不是只要一个结果.3：用量角器画已知角的平分线：例题：如图，已知∠ABC，画出它的角平分线.说明：教师与学生一起回忆线段中点的画法，此例题让学生自己思考，教师在学生讨论、交流的基础上，与学生一起归纳出完整、规范的画法.重点指出画图过程的先后顺序，画什么，写什么，特别提出在∠ABC的内部画射线BM，否则在∠ABC的外部也可以画出∠ABM=24度，反复让学生体验数学学习中应该具有严谨的学习态度.4．角平分线的尺规画法：已知∠ABC，求作的平分线.5．思考并操作：如何用尺规作出90度直角以及45度角？说明：教师可以安排学生先进行思考，提出解决问题的方法；一般学生难以想出解决问题的方法，教师可以先作出角平分线，然后可以再请学生比较与线段中点作法的异同.同时在书写作法时，截取线段时要明确在什么已知射线（或直线、线段）上，还可以回忆截取线段就是以顶点为圆心，以适当长度为半径作弧，与角的两边交于两点，体验同圆半径相等的性质；作弧必须要交待以什么点为圆心，半径长是多大，强调两弧在角的内部相交，让学生体验几何作图的严谨性.最后教师还可以通过把∠ABC转换成一个平角，学生容易看出作线段中点的过程，其实也作出了平角的平分线；在此基础上学生不难想出作45度交的方法.6．操作与理解：如图，（1）分别作出∠A、∠B的平分线，并作出它们的交点O；（2）如果∠A的平分线与BD相交于E点，通过测量，判断△ABE 的形状.A CB D说明：本题着重让学生熟练角平分线的尺规作法，以及尝试作法的书写，在学生相互交流的基础上归纳出较为规范的作法.另外此图形中，故意假定AC与BD平行，是在练习7.4第4题的基础上增加了一个问题，教师可以将AC饶A点进行旋转，让学生观察△ABE形状的变化，为今后学习平行线、等腰三角形、轴对称等数学知识留下一些印象.四．课堂小结：今天我们学习到了什么？你感兴趣的是什么？五．布置作业：习题7.5说明：本节课中通过与线段中点学习过程的比较，相类比地进行新知识的学习，能够让学生比较地学习数学，进而体验类比思想经常用于数学学习过程中，有利于学生对新旧知识的理解与掌握.另外，本节课要重视学生的动手操作，让学生能够得到充分的体验，进而加深对作法的理解，为今后尺规作图打下扎实的基础.。
微专题八线段及角的和差倍分计算人教版七级数学上册优秀ppt
微专题八 线段及角的和差倍分计算-2020秋人教版 七年级 数学上 册课件 (共26 张PPT)
(2)∵点 C 为线段 AB 的中点， ∴AC＝12AB＝12×17＝127， 又∵AE＝AC＋CE， ∴AE＝127＋121＝14， ∵点 D 为线段 AE 的中点， ∴DE＝12AE＝12×14＝7；
[2019·丹东期末]如图 3，已知数轴上有两点 A，B，它们对应的数分别 为 a，b，其中 a＝12.
图3 (1)在点 B 的左侧作线段 BC＝AB，在 B 的右侧作线段 BD＝3AB(要求尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若点 C 对应的数为 c，点 D 对应的数为 d，且 AB＝20，求 c，d 的值； (3)在(2)的条件下，设点 M 是 BD 的中点，N 是数轴上一点，且 CN＝2DN， 请直接写出 MN 的长．
微专题八 线段及角的和差倍分计算-2020秋人教版 七年级 数学上 册课件 (共26 张PPT)
微专题八 线段及角的和差倍分计算-2020秋人教版 七年级 数学上 册课件 (共26 张PPT)
(3)分情况讨论：①点 N 在线段 CD 上， 由(2)得 CD＝52－(－28)＝80，点 B 对应的数为 12－20＝－8， ∴BD＝52－(－8)＝60， ∵点 M 是 BD 的中点， ∴点 M 对应的数为 52－30＝22， ∵CN＝2DN，∴DN＝13CD＝830， ∴点 N 对应的数为 52－830， ∴MN＝52－830－22＝130；
微专题八线段的和差倍分计算 (教材 P128 练习第 3 题) 如图 1，点 D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AD 的中点，若 AB＝4 cm，求线 段 CD 的长度．
图1
解：∵D 是线段 AB 的中点，AB＝4 cm， ∴AD＝BD＝2 cm. ∵C 是线段 AD 的中点， ∴CD＝AC＝1 cm.
沪教版小学数学六年级下册教学设计《7.5画角的和、差、倍》教案
沪教版小学数学六年级下册教学设计7.5 画角的和、差、倍教学目标1.理解角的和、差的意义及性质，会用数学式子表示角的和、差，掌握用量角器画角的和、差、倍的方法，体会类比的思想方法.2.探究用一副三角尺画出特殊角的特征（15°角的整数倍角），提高动手实践能力，初步养成分类讨论的习惯，初步感知书写画法的过程.教学重点1.理解角的和、差的意义及性质，会用数学式子表示角的和、差，会用量角器画角的和、差.2.会用一副三角尺画特殊角.教学难点：1．完整规范地书写画法.2．探究用一副三角尺画特殊角的特征.教学设计流程：教学过程一．情景引入思考：线段可以相加减，角可以相加减吗？操作：如何用圆规（作为角的模型）来演示一下，怎样表示两个角相加及相减？说明：在学生操作基础上引出角的(和差)的意义及性质.这样设计，主要让学生体验数学知识中存在许多的类比性，知识之间有着极为相似的地方，有利于学生理解新知识，同时也适当复习旧知识.另外让学生合作操作，既让每个学生动能够得到实践体会，也能够增强他们的协作意识.二．学习新课：角的和、差的意义和性质.（板书）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）.例题1：如图，图中共有多少个角？ A B它们之间有什么等量关系？ O C此题由学生思考回答，并上黑板写出三个等量关系式. 例题2：如图，已知∠α、∠β，用量角器画一个角，使它（1）等于∠α+∠β；（2）等于2∠α- 说明： 然后每个学生自己再画出两个大小不相等的角，用量角器画出它们的和及差；学生一般会有两种方法，一种用量角器量出∠α、∠β的度数，计算出它们度数的和、差，再用量角器画出等于它们度数和、差的角；另一种用量角器在∠β外画出∠α，再请学生讨论如何书写画图的过程.教师在学生描述的基础上逐渐进行补充，特别在画出一个角后，要重点强调3个要素不能少一个，即以B为顶点，以射线BC 为一边，在∠ABC的外部画出∠CBD=∠β，最后要回答哪个角就是所要画的角.强调数学解题的完整性、严密性、规范性，体验学习数学需要有严谨的科学态度.而2∠α-∠β则让学生独立完成.三．练习与巩固1.如图，已知∠AOB=62°， B∠1=(3x-2)°，∠2=(x+8)°求∠1、∠2的度数说明：此题在理解角的和、差的意义上，通过建立方程来求出最后的结果，让学生体验方程法是解决实际问题的一种常用的数学方法.2.如图，已知∠AOB=∠COD=m°， D C∠BOC=n°（1）用m、n的代数式分别表示∠AOC、∠BOD的大小； B（2）比较∠AOC和∠BOD的大小. O A四．应用与探究思考：用一幅（两块）三角尺可以画出怎样的特殊角？这些角具有什么特殊性？说明：教师要敢于放手，让学生自己去尝试解决问题的方法，也培养他们的动手操作的能力，让每个同学在纸上画出所有能够画出的特殊角，然后进行相互交流，探讨，然后请学生在投影仪上展示他们的画图（从角的个数少的逐渐到个数多的），让学生说出为什么少画了，当时有没有按规律进行两个角相加或相减（学生往往是杂乱无章的把两个角相加或相减，这里指出学生思考问题缺乏规律性、系统性的结症所在），最后让学生总结这些角的特殊性，提高他们的探究规律和概括归纳的能力.例题3：小明从点A出发向南偏东30°方向走了3m到点B，小林从点A出发向北偏东20°方向走了6m到点C．那么∠BAC等于多少度？并画出相应的图形，确定出A、B、C三点的位置(用1cm表示3m)．并从图上求出B点到C点的实际距离．说明：此例题同样由学生先独立思考，再画出图形，并得出结论.这样可以帮助学生将本章的知识贯穿起来，完善知识结构的，又会用新知识解决一些简单的实际问题，让学生体验数学与生活紧密相关.四．课堂小结今天我们学习到了什么知识？你感受最深的是什么？五．布置作业：习题 7.5。
浙教版数学七年级上：6.7角的和差课件(38张PPT)
• 【解析】 ∵∠AOB＝∠CODC＝180°.
•
∵∠AOD是∠BOC的5倍，
•
∴5∠BOC＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝30°.
• 【答案】30°
14
拓展提升：
• 如图1是一副三角尺拼成的图案：(所涉及角度均小于或等于180度) • (1)∠EBC的度数为________度； • (2)将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度(0°＜α＜90°)能否使∠EBC＝2∠ABD？若能，则求
•
∴∠BOC＝30°.
• 【答案】A
8
1.两角的和与差
• 【练】如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝ ()
•
A．90°
B．120°
•
C．160°
D．180°
• 【练】如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，
•
则∠BOC的度数为( )
•
A．30°
名师课件免费课件下载优秀公开课课 件浙教 版数学 七年级 上：6.7 角的和 差课件 (38张P PT)
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名师课件免费课件下载优秀公开课课 件浙教 版数学 七年级 上：6.7 角的和 差课件 (38张P PT)
解析：
名师课件免费课件下载优秀公开课课 件浙教 版数学 七年级 上：6.7 角的和 差课件 (38张P PT)
出α的值；若不能，说明理由．(图2、图3供参考)
15
解析：
• 【解析】(1)∵∠EBD＝90°，∠ABC＝60°，∴∠EBC＝∠EBD＋∠ABC＝90°＋60°＝150°.
•
故答案为：150.
•
(2)能；
•
①逆时针旋转：90°＋60°－α＝2α，解得：α＝50°；
著名机构数学教案讲义六年级春季班第17讲：角-教师版
角内容分析角是初中数学六年级下学期第3章第2节的内容．同学们要理解角、余角和补角的概念，掌握角的表示方法、角的大小的比较的方法，理解两个角的和、差、倍的意义，会用量角器画角，并学会用尺规作角及角的和、差，理解角的平分线的意义，并会用尺规作已知角的平分线，还要掌握角度的单位换算及相关运算．知识结构1/ 242 / 24顶点边 边始边终边ABOBA C D O1、 角的概念角是具有公共端点的两条射线组成的图形．如下左图所示，公共端点叫做角的顶点，两条 射线叫做角的边．我们还可以这样理解角：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形．如上右图所示，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内．通常角的内部用不 带箭头或带箭头的弧线表示，如下图所示．其中，中图，右图中的阴影部分是角的外部，简 称角外．2、 角的表示 （1）大写英文字母：角一般用三个大写英文字母表示，如下左图所示，记作AOB ∠．其中表示顶点的字母O 必 须放在三个字母中间．如果以点O 为顶点的角只有一个，那么这个角可以用表示顶点的字母表示．上左图中，AOB ∠ 可以记作O ∠．如果以点O 为顶点的角有多个（如上右图所示），那么其中任何一个角都必 须用三个大写英文字母表示，而不能记作O ∠．模块一：角的概念与表示知识精讲内部内部外部外部3 / 24BA C DO123北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°（2）小写希腊字母：有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α，β，γ等；在上右图中，AOC ∠、 COD ∠、DOB ∠可以分别记作α∠、β∠、γ∠（或α、β、γ）．（3）数字：有时为了方便，也可以在角的内部标上一个数字，如1，2，3 等；如右图所示，AOC ∠、COD ∠、DOB ∠可以分别记作1∠、2∠、3∠．3、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例1】 如图，分别用三种形式表示图中的角． 【难度】★【答案】12ABC B MON O AOB O α∠∠∠∠∠∠∠∠∠，，；，，；，，． 【解析】根据角的三种表示方法，所以可得对应的表示方法为： 12ABC B MON O AOB O α∠∠∠∠∠∠∠∠∠，，；，，；，，． 【总结】考察角的表示方法，注意各种方法的不同表示．例题解析A BCONMOAB1 24 / 24ABCD 【例2】 写出图中射线OA 、OB 表示的方向．（1）OA 表示的方向是____偏_____ ____°； （2）OB 表示的方向是____偏_____ ____°． 【难度】★【答案】（1）北偏东32°；（2）南偏西63°． 【解析】根据方位角的表示方法，可得：（1）OA 表示的方向是__北__偏___东32__°； （2）OB 表示的方向是__南__偏___西63__ °． 【总结】考察方位角的基本概念及表示．【例3】 如图，点D 在AB 上．（1）图中共有几个角（小于平角的角）？ （2）写出图中能用一个大写字母表示的角．（3）写出图中只能用三个大写字母表示的角（小于平角的角）． 【难度】★★【答案】（1）7个；（2）A B ∠∠，；（3）CDB BCD ACB ACD CDA ∠∠∠∠∠，，，，． 【解析】（1）由图知共有7个小于平角的角，分别为： CDB BCD ACB ACD CDA A B ∠∠∠∠∠∠∠，，，，，，；（2）能用一个字母表示角是指以角的顶点为顶点的角只有一个，符合条件的有A B ∠∠，； （3）若几个角公用一个顶点，则只能用三个大写字母表示这些角，所以符合条件的角有 CDB BCD ACB ACD CDA ∠∠∠∠∠，，，，． 【总结】考察角的识别与表示方法．【例4】 在AOB ∠的内部引1条射线，一共有几个角？引2条射线呢？引3条射线呢？引4条射线呢？引n 条射线内？ 【难度】★★★【答案】3个；6个；10个；15个；()()212n n ++．【解析】通过画图可知，在AOB ∠的内部引1条射线，一共有3个角；引2条射线，一共 有6个角；引3条射线，一共有10个角；引4条射线，一共有15个角；从而可推导出引n 条射线，一共有()()212n n ++个角．【总结】考察角的基本概念及找规律，综合性较强．O 北AB32°63°5 / 241、 角的大小的比较（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小．（2）叠合法：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，两个角的另一条边都落叠合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边” 的位置情况． 如图，已知AOB ∠，如果移动EDF ∠，使顶点O 和顶点E 、边ED 与边OA 叠合，边EF 与边OB 在它们的同侧．这时EF 对于AOB ∠而言，有几种可能的位置关系？请完成下列表格：图形 EF 对于AOB ∠的位置符号表示情况一边EF 在AOB ∠的内部DEF AOB ∠<∠（或AOB DEF ∠>∠）情况二边EF 在AOB ∠的外部DEF AOB ∠>∠（或AOB DEF ∠<∠）情况三边EF 与AOB ∠的一条边重合=DEF AOB ∠∠（或=AOB DEF ∠∠）2、 锐角、直角、钝角、平角、周角0°< 锐角 < 90°， 直角 = 90°， 90°< 钝角 <180°， 平角 = 180°， 周角 = 360°．A （D ）BO （E ）FA （D ） FO （E ）B模块二：角的大小的比较 画相等的角知识精讲B （F ）O （E ）A （D ）6 / 24AB C D ONM【例5】 根据图形填空：（1）比较角的大小：因为OB 和OB 是公共边，边______在BOD ∠的内部，所以BOC ∠____BOD ∠； 因为OA 和OA 是______，边OC 在AOB ∠的外部，所以AOC ∠____AOB ∠． （2）确定角的边的位置：因为OC 和OC 是公共边，BOC AOC ∠<∠，所以边OA 在BOC ∠的______； 因为边OM 与边______叠合，=MON AOC ∠∠，所以边ON 与边__________ 【难度】★【答案】（1）OC ，<，公共边，>；（2） 外部，OA ，OC 边重合． 【解析】（1）重合法比较角的大小，可知因为OB 和OB 是公共边，边__OC ____在BOD ∠的内部， 所以BOC ∠__<__BOD ∠；因为OA 和OA 是___公共边___， 边OC 在AOB ∠的内部，所以AOC ∠__>__AOB ∠．(2)因为OC 和OC 是公共边，BOC AOC ∠<∠，所以边OA 在BOC ∠的___外部___； 因为边OM 与边_OA ___叠合，=MON AOC ∠∠，所以边ON 与边_OC 重合___． 【总结】考察角的大小比较方法．【例6】 下列说法中正确的是（ ）A ．锐角都相等B ．直角都相等C ．钝角都相等D ．角的大小与角的边长的长短有关【难度】★ 【答案】B【解析】A 选项中，小于90°的角都是锐角，所以错误；B 选项中，正确，直角的概念，所有直角都是90°；C 选项中，大于90°小于180°的角都是钝角，所以错误；D 选项中，角的大小与角的边长的长短没有关系，所以错误． 综上，选B ．【总结】考察锐角，直角，钝角的基本概念及特征．例题解析7 / 24【例7】 判断题：（1）大于90°的角是钝角．（ ） （2）钝角一定大于它的补角．（ ） （3）直线MN 是平角．（ ） （4）角的边越长，角的度数越大．（ ） （5）大于直角的角是钝角．（ ） 【难度】★【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）×． 【解析】（1）钝角是大于90°小于180°的角；（2）正确，互补的两个角之和是180°，可知钝角一定大于它的补角；（3）错误，根据角的定义，角是由公共顶点的两条射线组成的图形，而直线没有顶点； （4）错误，角的大小跟角的边长长短没有关系； （5）错误，同（1）．【总结】考察角的基本概念及其特征，注意进行辨析．【例8】 如图，已知α∠，用量角器画AOB ∠，使得=AOB α∠∠． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】方法如下：（1）用量角器测出α∠的度数；（2）画射线OB ；（3）以O 为顶点，OB 为角的一边，量角器的中心与O 点重合，零刻度线与OB 重合， 在量角器上找出α∠的度数的刻度处，记为A ；（4）过点A 做射线OA ．AOB ∠即为所求． 【总结】考察用量角器度量法画角方法．【例9】 如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使得=COD β∠∠． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）画一条射线OB ；（2）用圆规取定长，以β∠的顶点为圆心，做弧，交β∠ 的两边于E 、F 两点；（3）以O 为圆心，相同的长度为半径在OB 上作弧，交OB 于点D ； （4）以点M 为圆心，EF 的长为半径作弧，与前弧的交于点C ； （5）过点C 作射线OC ，COD ∠即为所求．【总结】考察用尺规作图法画角的方法，注意画图语言的准确描述．8 / 24ABC O12【例10】 如图，已知1∠、2∠，用尺规作图法比较它们的大小． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）用圆规取定长，以1∠的顶点为圆心定长为半径，作弧，交1∠的两边于E 、F 两点； 不动圆规，同样的方法，以2∠的顶点为圆心， 定长为半径作弧，交2∠的两边于A 、B 两点；分别用圆规取E 、F 两点间的距离EF ，和A 、B 两点间距离AB ； 如果线段EF=AB ，则1∠=2∠；如果线段EF>AB ，则1∠>2∠； 如果线段EF<AB ，则1∠<2∠．【总结】考察尺规法比较角的大小，注意对方法的总结．1、 角的和差如图，共有AOB ∠、COB ∠、AOC ∠共3个角，它们有如下等量关系：AOC COB AOB ∠+∠=∠， AOB AOC COB ∠-∠=∠， AOB COB AOC ∠-∠=∠．概括：两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）． 2、 角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．模块三：画角的和、差、倍知识精讲9/ 2412ABCDO【例11】用一副三角尺可以直接画出30°、45°、60°、90°的角，试利用角的和、差意义，画出15°、75°、105°、135°和150°的角．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）15°= 45°- 30°；75°= 45°+ 30°；105°= 60°+ 45°；135°= 90°+ 45°；150°= 90°+ 60°．（2）以15°为例，先用三角板的一个45°的角画出45AOB∠=︒，然后再以点O为顶点，OB为公共边在AOB∠内部用30°角的三角板画出30COB∠=︒，从而15COA∠=︒；以75°为例，先用三角板的一个45°的角画出45AOB∠=︒，然后再以点O为顶点，OB为公共边在AOB∠外部用三角尺的一个30°角画出30COB∠=︒，从而75COA∠=︒．【总结】考察用三角尺画特殊角的和差的方法．【例12】如图，已知1∠、2∠，用量角器画一个角，使它等于1+2∠∠．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）分别用量角器测量出1∠、2∠的度数，并求出两角之和；（2）画射线OA；（3）以O为顶点，OA为角的一边，量角器的中心与O点重合，零刻度线与OA重合，在12∠+∠的度数的刻度处点下B；（4）过点B作射线OB，AOB∠即为所求．【总结】考察用量角器画角的和的方法．【例13】如图，根据图形填空：（1）BOC AOD∠=∠-______-______=______AOB-∠=______DOC-∠；（2）BOD AOD∠=∠-______=DOC∠+______．【难度】★【答案】（1）BOA COD COA BOD∠∠∠∠，，，；（2）BOA BOC∠∠，．例题解析10 / 24ABC DO【解析】观察图形，由角的和差可知（1）BOC AOD ∠=∠-_BOA ∠_-COD ∠__=_COA ∠__AOB -∠=__BOD ∠DOC -∠； （2）BOD AOD ∠=∠-___BOA ∠___=DOC ∠+_BOC ∠_____． 【总结】考察角的和差的基本概念．【例14】 已知射线OD 平分AOB ∠，40AOD ∠=︒，AOB ∠=______． 【难度】★ 【答案】80°．【解析】根据角平分线的定义，可知+280AOB AOD DOB AOD ∠=∠∠=∠=o ． 【总结】考察角平分线的性质及角的和差计算．【例15】 已知35α∠=︒，45β∠=︒，则()12αβ∠+∠=______． 【难度】★★ 【答案】40°． 【解析】由题可知：()()1135+45=4022αβ∠+∠=o o o ． 【总结】考察角的和差计算．【例16】 如图，已知AOB DOC ∠=∠，56AOC ∠=︒，DOB ∠=______． 【难度】★★ 【答案】56°．【解析】由题可知：56DOB DOC COB AOB COB AOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=o ． 【总结】考察角的和差的计算，注意根据图形找出角度间的数量关系．【例17】 已知180A B C ∠+∠+∠=︒，::2:3:4A B C ∠∠∠=，求A ∠、B ∠、C ∠的度数． 【难度】★★【答案】A ∠=40°，B ∠=60°，C ∠=80°．【解析】设A B C ∠∠∠，，三个角分别为2α，3α，4α，由题可知2α+3α+4α=180°，解得:α=20°，从而可知=40=60=80A B C ∠∠∠o o o ，，．【总结】考察角的和差的基本运算．12AB O 【例18】 两个角的度数之比为3 : 5，且两角之差为40°，求这两个角的度数． 【难度】★★【答案】60°，100°．【解析】设两个角分别为3α，5α，由题可知5340αα-=o ，解得：α=20°， 从而可知这两个角分别为60°，100°．【总结】考察角的和差的基本运算，注意用方程的思想去求解．【例19】 尺规作图：如图，已知1∠和2∠，求作12AOB ∠=∠+∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）画一条射线OE ；（2）用圆规取定长，以1∠的顶点为圆心，作弧，交1∠的两边为E 、F 两点； （3）以O 为圆心，相同的长度为半径在OE 上做一弧，交OE 于点B ； （4）以点B 为圆心，E 、F 间的长为半径作弧，与原来的弧的交于点C ； （5）过点C 作射线OC ，则1COB ∠=∠；（6）用同样的方法，以点O 为顶点，OC 为一边，在COB ∠的外部画2AOC ∠=∠， 则12AOB AOC COB ∠=∠+∠=∠+∠； （7）故AOB ∠即为所求．【总结】考察利用尺规作图法画角的和的方法．【例20】 尺规作图：如图，已知AOB ∠，求作AOB ∠的平分线OC ． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）在OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使OD OE =；（2）分别以点D 、E 为圆心，以大于12DE 的同一长度为半径作弧，两弧交于AOB ∠内的一点C ； （3）作射线OC ．OC 就是所求作的角的平分线．【总结】考察角平分线的作法，注意作图语言的准确运用．AB C DOO【例21】 尺规作图：已知AOB ∠、COD ∠，求作：()12AOB COD ∠-∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）画一条射线OE ；（2）用圆规取定长，以AOB ∠的顶点为圆心，作弧，交AOB ∠的两边于M 、N 两点；（3）以点O 为圆心，相同的长度为半径在OE 上做一弧，交OE 于点F ； （4）以点F 为圆心，M 、N 的长为半径作弧，与原来的弧的交点记为G ； （5）过点G 作射线OG ，则GOF AOB ∠=∠；（6）用同样的方法，以O 为顶点，OG 为一边，在GOF ∠的内部画GOH COD ∠=∠， 使HOE GOE GOH AOB COD ∠=∠-∠=∠-∠；（7）以点O 为圆心，以任意长为半径在HOE ∠的两边画弧，分别交OH 、OE 于点P 、Q ，再分别以点P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧交于HOE ∠的内部一点R ，过点R 作射线OR ，则射线OR 即为HOE ∠的平分；则()()111222HOR ROE HOE GOE GOH AOB COD ∠=∠=∠=∠-∠=∠-∠即为所求．【总结】考察尺规作图法画角的差与角平分线的方法，注意作图语言的表述．【例22】 如图，1215∠=∠=︒，3430∠=∠=︒，求图中所有的角的度数的和． 【难度】★★★ 【答案】480°．【解析】由图知一个小角各算一个的有四种：1234∠∠∠∠，，，；两个角合一起拼成要给角的有三种：()()1+33+4∠∠∠∠，，()4+2∠∠； 三个角合在一起拼成一个角的有两种：()()1+3+43+4+2∠∠∠∠∠∠，； 四个角合在一起拼成一个角的有一种：()1+3+4+2∠∠∠∠；所以，各个角的和为：1+2+3+4+∠∠∠∠()()()1+3+3+4+4+2+∠∠∠∠∠∠()()1+3+4+3+4+2+∠∠∠∠∠∠()1+3+4+2∠∠∠∠=()41+2+3+4+∠∠∠∠()23+4=480∠∠o ．【总结】考察角的综合运用，注意先找出所有的角再计算，综合性较强．12 3 41、 余角如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余．其中一个角称为另一个角的余角． 2、 补角如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补．其中一个角称为另一个角的补角． 3、 角的度量度量单位：度（记作：“︒”），分（记作：“'”），秒（记作：“''”）． 角的度量单位度、分、秒的关系：160'︒=，1'60''=． 4、 同角（或等角）的余角相等．同角（或等角）的补角相等．【例23】 已知20A ∠=︒，则A ∠的余角=______，补角=______； 已知2634'α∠=︒，则α∠的余角=______，补角=______． 【难度】★【答案】70°，160°，6326'︒，15326'︒．【解析】A ∠的余角=__90°-20°_=_70°_，补角=___180°-20°=160°___； 已知2634'α∠=︒，则α∠的余角=_902634'=6326'︒-︒︒_____， 补角=__1802634'=15326'︒-︒︒___．【总结】考察余角补角的基本概念，注意角度间的数量关系．模块四：余角、补角知识精讲例题解析ABCD O【例24】 下列说法正确的是（ ）A ．180°的角是补角B ．110°和90°的角互为补角C ．10°、20°、60°的角互为余角D ．若90αβ∠=︒-∠，则α∠、β∠互为余角 【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项中，补角的概念是若两个角的和是180°，则这两个角互为补角，错误．B 选项中，110°与90°的和不是180°，错误；C 选项中，余角的概念是若两个角的和是90°，则这两个角互为余角，非三个角，错 误；D 选项中，符合余角的概念，正确． 【总结】考察余角和补角的基本概念．【例25】 如图，90AOC BOD ∠=∠=︒，若3514'AOB ∠=︒，则COD ∠=______． 【难度】★ 【答案】3514'︒．【解析】由AOC BOD ∠=∠，而AOC AOB BOC ∠=∠+∠， BOD DOC BOC ∠=∠+∠，可得=DOC AOB ∠∠=3514'︒． 【总结】考察角的单位换算与计算．【例26】 （1）35°的余角的补角是_____°；（2）若一个角的余角是x °，那么这个角的补角是______°． 【难度】★★【答案】（1）125°；（2）90x +o o ．【解析】（1）35°的余角是903555-=o o o ，则55°的补角是18055125-=o o o ；（2）由题可知这个角是90x -o o ，故这个角的补角是180(90)90x x --=+o o o o o ．【总结】考察角的单位换算与计算，注意互余与互补的概念．【例27】一个角的余角与它的补角互补，则这个角的2倍一定是（）A．锐角B．钝角C．直角D．平角【难度】★★【答案】C【解析】这个角为α，依据题意可列90-α+180-α=180，解得：2α=90，所以选C．【总结】考察角的余角和补角的应用．【例28】单位换算：4415'︒=______°；71.36︒=______°______'______''．【难度】★★【答案】44.25°；71，21，36．【解析】1515'=0.2560=o，所以4415'44.25︒=︒；0.360.366021.6'0.6'0.66036''︒=⨯==⨯=，，所以4415'︒=_44.25___°；71.36︒=_71___°___21___'__36____''．【总结】考察角的单位换算与计算．【例29】计算：（1）1244'5324'︒+︒；（2）3325'18''1434'26''︒-︒；（3）3455'41''2︒⨯；（4）1101425'15''2534'45''︒-︒+︒．【难度】★★【答案】（1）668'︒；（2）1850'52''︒；（3）6951'22''︒；（4）1219'30''︒．【解析】（1）1244'5324'=6568'=︒+︒︒668'︒；（2）3325'18''1434'26''=3284'78''1434'26''=︒-︒︒-︒1850'52''︒；（3）3455'41''2=68110'82''=︒⨯︒6951'22''︒；（4）1101425'15''2534'45''110119'30''︒-︒+︒=︒+︒=1219'30''︒．【总结】考察角的单位换算与计算，注意度数之间是“逢60进1”．【例30】一个角的补角比这个角的余角的3倍大14°，求这个角的度数？【难度】★★【答案】52°．【解析】设这个角为α，依据题意可列方程180°-α=3（90°-α）+14°，解得：α=52°．【总结】考察余角、补角在角度计算中的应用．【例31】 已知x 、y 是正整数，1∠的度数等于()35x +︒，2∠的度数等于()32y -︒，且1∠与2∠互为补角，则x 、y 的和是多少？【难度】★★ 【答案】59°．【解析】依据题意可列方程：()35+x +︒()32=180y -︒︒，整理方程得()3177x y +=o，解得：59x y +=o ．【总结】考察角度之间的计算，注意用整体思想去计算．【例32】 已知70AOB ∠=︒，BOC ∠与AOB ∠互余．（1）若OP 是AOC ∠的平分线，计算BOP ∠的度数；（2）若BOD ∠与AOB ∠互补，OE 平分COD ∠，画出所有符合条件的图形，并直接写 出AOE ∠的度数． 【难度】★★★【答案】（1）25°或者45°；（2）5°、25°、115°、135°．【解析】（1）由题意，知=20BOC ∠o ．由于点C 可以在OB 的两侧，所以=9050AOC ∠o o 或者， 又因为OP 平分AOC ∠，当=90AOC ∠o 时，11=90202522BOP COP COB AOC COB ∠∠-∠=∠-∠=⨯-=o o o ，当=50AOC ∠o ，11=20504522BOP BOC COP COB AOC ∠∠+∠=∠+∠=+⨯=o o o ，所以BOP ∠的度数是25°或者45°．（2）由题意，知=110BOD ∠o ．由于点D 可以在OB 的两侧，加上（1）中点C 本身有 两种位置，所以COD ∠共有四种情况可分别画图，又OE 平分COD ∠， 对应可得AOE ∠的度数共有5°、25°、115°、135°四种情况． 【总结】考察角度的综合计算，综合性较强，注意多种情况的分类讨论．ABCOABCDO【习题1】 图中有几个角？怎么表示． 【难度】★【答案】3个；AOB AOC BOC ∠∠∠，，．【解析】通过观察可以图中共有3个角，分别为AOB AOC BOC ∠∠∠，，． 【总结】考察角的表示．【习题2】 下列说法一定正确的是（ ）A ．角是由两条射线组成的图形B ．用放大镜看一个角，角的度数变大了C ．三条共顶点的射线组成两个角D ．平角大于钝角【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项中，角是由具有公共顶点的两条射线组成的图形，所以错误；B 选项中，用放大镜看一个角，角的度数不变，所以错误；C 选项中，三条共顶点的射线组成3个角，所以错误；D 选项中，正确．综上，选D ． 【总结】考察角的基本概念．【习题3】 如图，在横线上填上适当的角．AOC COD ∠+∠=______； AOC AOB ∠-∠=______；AOB AOD ∠=∠-______-_______．【难度】★【答案】AOD BOC BOC COD ∠∠∠∠，，，．【解析】由图观察根据角的和差可知：AOC COD ∠+∠=__AOD ∠____；AOC AOB ∠-∠=__BOC ∠____；AOB AOD ∠=∠-__BOC ∠____-__COD ∠_____． 【总结】考察角的基本概念及角之间的数量关系．随堂检测【习题4】 （1）13012'∠=︒，24316'∠=︒，则12∠+∠=______；（2）160∠=︒，23316'∠=︒，则12∠-∠=______； （3）11226'∠=︒，则31∠=______；（4）16545'30''∠=︒，则213∠=______．【难度】★★【答案】（1）7328'︒；（2）2644'︒；（3）3718'︒；（4）4350'20''︒． 【解析】（1）12∠+∠=3012'+︒4316'︒=7328'︒；（2）12∠-∠=60︒-3316'=5960'-3316'︒︒︒=2644'︒；（3）31∠=31226'=⨯︒3678'=3718'︒︒；（4）213∠=226545'30''=63165'30''=42110'20''=4350'20''33⨯︒⨯︒︒︒．【总结】考察角的单位换算与计算．【习题5】 钟面上从3点50分到4点30分，时针转了______°． 【难度】★★ 【答案】20°．【解析】3点50分到4点30分，共40分钟，因为时针一小时走30°，所以40分钟走20°． 【总结】考察角的应用，钟面上时针与分针运动的综合应用．【习题6】 射线OA 位于南偏东20°方向，射线OB 位于北偏东25°方向，AOB ∠的度数为______．【难度】★★ 【答案】135°．【解析】由方位图可知：()()90259020135AOB ∠=-+-=o o o o o ． 【总结】考察方位角的应用．【习题7】 已知α∠的余角为5341'︒，则α∠的补角=______． 【难度】★★ 【答案】14341'︒．【解析】一个角的补角等于它的余角加上90°，所以α∠的补角为14341'︒． 【总结】考察角的单位换算与计算．ABCD EO 【习题8】 一个角的补角与它的余角的和是平角的76，求这个角的度数． 【难度】★★ 【答案】30°．【解析】设这个角为α，依据题意可以列方程180-α+90-α=180×76，解得：α=30°． 【总结】考察角的应用及计算，注意对余角和平角的理解．【习题9】 已知120AOB ∠=︒，自点O 在AOB ∠内部引射线OC ，OD 、OE 分别是AOC ∠、BOC ∠的平分线，求DOE ∠的度数．【难度】★★ 【答案】60°．【解析】由题可知()+2+2AOB AOC COB DOC COE DOE ∠=∠∠=∠∠=∠， 又因为120AOB ∠=︒，所以=60DOE ∠o ． 【总结】考察角度的计算，注意准确理解角平分线．【习题10】 如图，已知A 、O 、B 三点共线，120AOC ∠=︒，OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠．（1）图中相等的角有______对，分别是_________________； （2）图中互余的角有______对，分别是________________； （3）图中互补的角有______对，分别是________________； 【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题可知，=6030AOD COD COB COE BOE ∠=∠=∠∠=∠=o o ，， 120AOC BOD ∠=∠=o ．（1）相等的角分别是：AOD COD COE BOE AOC BOD ∠=∠∠=∠∠=∠，，， BOC COD BOC AOD ∠=∠∠=∠，，所以共有5对；（2）909090AOD BOE AOD COE COD BOE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=o o o ，，，909090COD COE BOC COE BOC BOE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=o o o ，，，故互余的有6对；（3）180180180AOD DOB AOC COB AOE EOB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=o o o ，，， 180180180AOC DOC DOC DOB AOE COE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=o o o ，，，180AOD AOC ∠+∠=o ，故互补的共有7对．【总结】考察角的互余和互补的概念，注意互余和互补只需满足数量关系即可．ABCDE O【习题11】 如图，已知45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，请问图中不大于90°的角有几个？它们的和是多少？ 【难度】★★★ 【答案】10个，450°．【解析】由图观察可知，不大于90°的角共10个，分别是： AOB BOC COD DOE AOC ∠∠∠∠∠，，，，， BOD COE AOD BOE AOE ∠∠∠∠∠，，，，．他们的和是：+++++AOB BOC COD DOE AOC ∠∠∠∠∠+BOD COE ∠∠+++AOD BOE AOE ∠∠∠()42AOE BOC COD =∠+∠+∠490245450=⨯+⨯=o o o ．【总结】考察角度的计算，综合性较强，注意对不大于的准确理解．【习题12】 在MON ∠内部引10条射线，则一共多少个角？ 【难度】★★★ 【答案】66．【解析】在角的内部引n 条射线，共有()()212n n ++个角，当10n =时，一共有()()102101662++=个角．【总结】考察与角有关的规律总结，综合性较强，注意对规律进行总结．【作业1】判断：（1）由两条射线组成的图形叫做角．（）（2）所有的角都可以用一个大写英文字母表示．（）（3）若12AOC AOB∠=∠，则OC平分AOB∠．（）（4）钝角没有余角．（）（5）一个角的余角是锐角．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√．【解析】（1）角是由有公共顶点的两条射线组成的图形，所以错误；（2）只有以定点字母为顶点的角只有一个，才能用表示顶点的一个大写英文字母表示，故错误；（3）射线OC在AOB∠的内部，成立，若射线OC在AOB∠的外部，则不成立，所以故错误；（4）正确；（5）正确，注意在这里通常不考虑零度角．【总结】考察角的基本概念，注意对概念进行辨析．【作业2】一副三角尺不能画出的角度是（）A．15°B．75°C．85°D．105°【难度】★【答案】C【解析】一副三角尺的锐角有30°，45°，60°．所有只有85°不能直接画出，故选C．【总结】考察利用三角尺画特殊的角的方法．【作业3】点A在点B的北偏东70°方向，则点B在点A的______方向．【难度】★★【答案】南偏西70°．【解析】画对应的方位图可知，以A为中心点，在B在A的南偏西70°方向．【总结】考察方位角基本概念．课后作业【作业4】 若2424'A ∠=︒，24.24B ∠=︒，则A ∠______B ∠（填“>”，“=”，“<”）． 【难度】★★ 【答案】>．【解析】242424'=24+=24+0.6=24.624.2460A ∠=︒︒︒︒︒︒>︒. 【总结】考察角的单位换算与计算以及大小比较．【作业5】 已知1∠比2∠大24°，1:23:1∠∠=，12∠+∠=______°． 【难度】★★． 【答案】48°．【解析】设13α∠=，则2=α∠，根据题可得：324αα-=o ，解得：α=12°， 故12∠+∠=4α=48°．【总结】考察角度的计算，注意利用方程的思想去求解．【作业6】 填空：（1）已知2444'A ∠=︒，则A ∠的余角为______，A ∠的补角为______； （2）一个角的补角比这个角的余角大______； （3）3530'72.4︒+︒=______；（结果用度表示）（4）3612'43''5454'18''︒+︒=______．（结果用度、分、秒表示） 【难度】★★【答案】（1）6516'︒，15516'︒；（2）90°；（3）107.9︒；（4）917'1''︒．【解析】（1）902444'6516'1802444'15516'A A ∠︒-︒=︒∠︒-︒=︒的余角为：，的补角为：； （2）设这个角为ɑ，则 这个角补角为180°-ɑ，这个角的余角为90°-ɑ， 而()(180990)0αα︒--︒-=︒；（3）3530'72.435.572.4︒+︒=︒+︒=107.9︒； （4）3612'43''5454'18''9066'61''917'1''︒+︒=︒=︒． 【总结】考察角的基本计算与概念，注意最终的结果表示．A BC DE O【作业7】 如图，BOC ∠的余角是______；DOE ∠的补角是______．【难度】★★【答案】AOB EOD ∠∠、；DOB EOA ∠∠、． 【解析】因为90=AOC BOC AOB ∠=∠+∠o ， 所以BOC ∠的余角是 AOB ∠， 又因为AOB EOD ∠∠与为对顶角， 所以BOC ∠的余角是AOB EOD ∠∠、；由图观察可知：+180+180DOE DOB DOE EOA ∠∠=∠∠=o o ，， 所以DOE ∠的补角是DOB EOA ∠∠、． 【总结】考察余角和补角的应用．【作业8】 9点15分的时候，分针与时针的夹角为______°． 【难度】★★ 【答案】172.5．【解析】9点15分时，分针指向3，时针在9和10之间，所以时针和分针之间夹角为1518030172.516︒-⨯︒=︒．【总结】考察角在钟面上的应用，注意分析清楚时针与分针的角度关系．【作业9】 一个角的余角比它的补角的14还少20°，求这个角的度数． 【难度】★★ 【答案】2603o．【解析】设这个角为α，根据题意可列方程：18090204αα--=-o oo ，解得：2603α=o ，即这个角的度数是2603o．【总结】考查对余角和补角的理解及相关计算的运用．ABCDE F 【作业10】 图中一共多少个角？将它们一一表示出来． 【难度】★★★【答案】15个，具体见解析．【解析】观察图可知，图中共有15个角，分别是：BAD BAC DAC ABE ABC EBC ADB ∠∠∠∠∠∠∠，，，，，，， ADC C AEB CEB AFB AFE DFB DFE ∠∠∠∠∠∠∠∠，，，，，，，． 【总结】考察角的基本概念与表示方法．【作业11】 已知27AOB ∠=︒，45AOC BOC ∠=∠，求AOC ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】108°．【解析】依据题意，可知OA 在BOC ∠内部，AOC AOB BOC ∠+∠=∠，可知15AOB BOC ∠=∠，所以=4=427=108AOC AOB ∠∠⨯o o ．【总结】考察角度的计算，注意分析角度间的关系．【作业12】 如图，已知12∠=∠，34∠=∠．（1）若所有的角的角度和为630°，求AOB ∠的度数； （2）若所有的角的角度和为n °，求AOB ∠的度数； 【难度】★★★【答案】（1）126°；（2）15n °．【解析】（1）所有的角之和为：1+2+3+4+∠∠∠∠()()()1+2+2+3+3+4+∠∠∠∠∠∠()()1+2+3+2+3+4+∠∠∠∠∠∠()1+2+3+4=∠∠∠∠()41+2+3+4+∠∠∠∠()22+3∠∠()51234630=∠+∠+∠+∠=o ，可得()1+2+3+4=126∠∠∠∠o，即126AOB ∠=o ；（2）由（1)可知，5=AOB ∠n °，解得：AOB ∠=15n °．【总结】考察角的综合应用，注意在找所有角时不要遗漏．2 ABO1 3 4。
上海初中六年级下数学7.5(1)画角的和、差、倍(含答案)
7.5（1） 画角的和、差、倍姓名一、填空题1、两个角可以相加或 ，它们的 或差也是一个角，它的度数等于 。
2、将一个平角n 等分，每份是15°，那么n 等于________。
3、如图，从点O 出发有4条射线OA 、OB 、OC 、OD ，图中共有 个角。
它们的关系是：（1）∠AOC= +（2）∠AOC= -（3）∠COD=∠AOD -（4）∠AOB= - -∠COD 4、射线 OA 位于北偏东25°方向，射线OB 位于南偏东70°方向，则∠AOB= 度。
5、已知∠1+∠2=180°，∠1-∠2=90°，则∠1的度数为 。
6、已知∠A+∠B+∠C=180°，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则∠A= 。
7、（1）把钟表盘面分成12等份，每一份是 度。
（2）时钟在8点30分时，时针和分针的夹角是 度。
8、如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O ，则∠AOB+∠DOC=____。
二、选择题9、一副三角板不能拼出的角的度数是(拼接要求：既不重叠又不留空隙) …………( )（A ）75° （B ）105° （C ）120° （D ）125°10、一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x °∠2=y °，那么可得到方程组为…………………………………………………………………（ ）（A ）⎩⎨⎧=+=-18050y x x y ； （B ）⎩⎨⎧=+=-18050y x y x ； （C ）⎩⎨⎧=+=-9050y x x y ； （D ）⎩⎨⎧=+=-9050y x y x ．三、简答题11、已知∠α和∠β，（1）利用量角器画出∠AOB ，使∠AOB=∠α+∠β（2）利用尺规作图的方法画出∠DEF ，使∠DEF=2∠α-∠β12、如图,COB AOD ∠=∠，又︒=∠20AOC ，求DOB ∠的度数，写出简要过程．7.5（1）画角的和、差、倍一、1、相减；和；这两个角的度数的和或差。
角的比较与补(余)角课件沪科版数学七年级上册
三、概念剖析
想一想
（1）已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3.
三、概念剖析
（2）已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等 吗？为什么？
∴∠COD=∠AOD=
1 2
∠AOC
∠COE=∠BOE=
1 2
∠BOC
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90° ∴∠DOB的补角：∠AOD、∠COD．
而∠AOB=180°
∠BOE的余角：∠AOD、∠COD；
【当堂检测】
1. 关于下图的说法正确的是（ C ） A. ∠AOC是∠DOC的补角 B. ∠COB是∠AOD的余角 C. ∠AOC是∠BOC的补角 D. ∠DOC是∠AOD的余角
五、课堂总结
1.角的大小比较方法：①度量法；②叠合法。 2.角的平分线：从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射 线,叫这个角的平分线,角平分线必须是一条射线.
3.余角和补角 （1）如果两个角的和等于180°,那么我们就称这两个角互为补角,简称互补. （2）如果两个角的和等于90°,那么我们就称这两个角互为余角,简称互余.
∴∠1=90°﹣50°=40°，
∵∠2的补角是150°，
∴∠2=180°﹣150°=30°，
∴∠1＞∠2.
四、典型例题
例题3：一个角比它的余角大25°，那么这个角的补角的度数是？
【分析】不明确这个角的具体度数，我们可以假定一个值，然后根据补角、余角的 定义表示出它的补角、余角就能快速解题了。
解：设这个角为a， 则x=90°-x+25°， 解得：x=57.5°， 这个角的补角=180°-57.5° =122.5°．
第32课角的和差(学生版)七年级数学上册讲义(浙教版)
第32课角的和差目标导航学习目标1.了解角的和差的概念。
2.会表示两个角的和、差,会在图形中辨认角的和差，会用量角器作两个角的和差.3.理解角平分线的概念,会用量角器画一个角的平分线.4.会进行有关的角的和差、倍分的简单计算.知识精讲知识点01 角的和差如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.知识点02 角的平分线角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.能力拓展考点01 角的和差【典例1】下面是初一（2）班马小虎同学解的一道数学题．题目（原题中没有图形）：在同一平面上，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．解：根据题意画出图形，如图所示，∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣15°＝55°∴∠AOC＝55°若你是老师，会判马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请指出错误之处，并给出你认为正确的解法．【即学即练1】从O点引三条射线OA、OB、OC，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，则∠AOC的度数是多少？（画出图形并解答）．考点02 角的平分线【典例2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°＜∠AOC＜90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠FOB+∠DOC的度数．【即学即练2】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°分层提分题组A 基础过关练1.如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20°B．30°C．35°D．45°2.如图，若∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则①∠BOC＝；②∠DOC＝2∠BOC；③；④∠COD＝3∠BOC．正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④3.如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°4.已知∠AOB＝60°，∠AOC＝18°，则∠BOC的度数为（）A．78°B．42°C．78°或42°D．102°或48°5.计算：35°49'+44°26'＝．6.以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2，若∠AOB＝17°，∠AOP的度数为．7.如图所示，点O在直线AB上，∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．（1）求∠COE的度数；（2）若∠BOC＝20°，求∠AOD的度数．8.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°＜∠AOC＜90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠FOB+∠DOC的度数．题组B 能力提升练9.如图，∠AOB＝∠COD，若∠AOD＝110°，∠BOC＝70°，则以下结论正确的个数为（）①∠AOC＝∠BOD＝90°；②∠AOB＝20°；③∠AOB＝∠AOD﹣∠AOC；④∠AOB＝∠BOD．A．1个B．2个C．3个D．4个10.已知∠1：∠2：∠3＝2：3：6，且∠3比∠1大60°，则∠2＝（）A．10°B．60°C．45°D．80°11. 已知三条射线OA、OB、OC，∠AOB＝60°，若∠AOC＝2∠BOC，则∠AOC＝度．12.将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF，GF为两条折痕，若∠1＝51°，∠2＝20°，∠3的度数．13.如图是一副三角尺拼成的图案，其中∠ACB＝∠EBD＝90°，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDB＝45°．若∠EBC＝4∠ABD，则∠ABD的度数为．14.如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝度．15. 如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）16.如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝°；（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝°；（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．题组C 培优拔尖练17.如图用一副三角板可以画出15°的角，用它们还可以画出其它一些特殊角，不能利用这副三角板直接画出的角度是（）A．55°B．75°C．105°D．135°18.α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（）A．26°B．50°C．72°D．90°19.已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是．20.如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ 绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN 的“巧分线”时，t的值为．21.定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD ＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．22.有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．23.已知∠AOB和∠COD是直角．（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF 的度数；若不存在，请说明理由．。
微专题八线段及角的和差倍分计算人教版七年级数学上册完美课件
微专题八 线段及角的和差倍分计算-2020秋人教版 七年级 数学上 册课件 (共26 张PPT)
(2)∵∠CON＝30°－α＝90°－β， ∴β＝α＋60°； (3)∵OC 平分∠MON，∠MON＝90°， ∴∠CON＝∠COM＝45°， 设∠AON＝5t，∠AOC＝30＋8t， ∵∠AOC－∠AON＝∠CON， ∴30＋8t－5t＝45，解得 t＝5， ∴经过 5 秒 OC 第一次平分∠MON.
微专题八 线段及角的和差倍分计算
一 二
一 线段的和差倍分计算 (教材 P128 练习第 3 题) 如图 1，点 D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AD 的中点，若 AB＝4 cm，求线 段 CD 的长度．
图1
解：∵D 是线段 AB 的中点，AB＝4 cm， ∴AD＝BD＝2 cm. ∵C 是线段 AD 的中点， ∴CD＝AC＝1 cm.
[2019 秋·罗山期末]如图 7①，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺(∠M＝30°)的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方．
图7
(1)若将图①中的三角尺绕点 O 以每秒 5°的速度沿顺时针方向旋转 t 秒，当 OM 恰好平分∠BOC 时，如图②.
[2019 秋·和平区期末]点 O 为直线 AB 上一点，在直线 AB 同侧任作射 线 OC，OD，使得∠COD＝90°.
图6 (1)如图 6①，过点 O 作射线 OE，当 OE 恰好为∠AOC 的平分线时，另作射 线 OF，使得 OF 平分∠BOD，则∠EOF 的度数是____135 ______度；
(i)求 t 的值； (ii)试说明此时 ON 平分∠AOC. (2)将图①中的三角尺绕点 O 顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当 ON 在∠AOC 内部时，试求 α 与 β 的数量关系； (3)若将图①中的三角尺绕点 O 以每秒 5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射 线 OC 也绕点 O 以每秒 8°的速度沿顺时针方向旋转，如图③，那么经过多长时间， 射线 OC 第一次平分∠MON？请说明理由．
沪教小学数学六年级下册《7.5画角的和、差、倍》word精品教案 (1)
7.5 (1) 画角的和、差、倍（第一课时）教学目标1. 理解角的和、差的意义及性质，会用数学式子表示角的和、差，掌握用量角器画角的和、差、倍的方法，体会类比的思想方法.2. 探究用一副三角尺画出特殊角的特征（15°角的整数倍角），提高动手实践能力，初步养成分类讨论的习惯，初步感知书写画法的过程. 教学重点1.理解角的和、差的意义及性质，会用数学式子表示角的和、差，会用量角器画角的和、差.2.会用一副三角尺画特殊角.教学难点：1． 完整规范地书写画法.2． 探究用一副三角尺画特殊角的特征.教学设计流程：教学过程 一．情景引入思考：线段可以相加减，角可以相加减吗？操作：如何用圆规（作为角的模型）来演示一下，怎样表示两个角相加及相减？课堂小结 创设情景提出问题引发思考 角的和、 差的意义、性质 实践操作 观察归纳 理解巩固 书写画法 创设情景 提出问题 引发探究用三角尺画特殊角归纳总结说明：在学生操作基础上引出角的(和差)的意义及性质.这样设计，主要让学生体验数学知识中存在许多的类比性，知识之间有着极为相似的地方，有利于学生理解新知识，同时也适当复习旧知识.另外让学生合作操作，既让每个学生动能够得到实践体会，也能够增强他们的协作意识.二．学习新课：角的和、差的意义和性质.（板书）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）.例题1：如图，图中共有多少个角？ A B它们之间有什么等量关系？ O C此题由学生思考回答，并上黑板写出三个等量关系式. 例题2：如图，已知∠α、∠β，用量角器画一个角，使它（1）等于∠α+∠β；（2）等于2∠α-∠β.说明： 此题让学生说出解题思路， 然后每个学生自己再画出两个大小不相等的角，用量角器画出它们的和及差；学生一般会有两种方法，一种用量角器量出∠α、∠β的度数，计算出它们度数的和、差，再用量角器画出等于它们度数和、差的角；另一种用量角器在∠β外画出∠α，再请学生讨论如何书写画图的过程.教师在学生描述的基础上逐渐进行补充，特别在画出一个角后，要重点强调3个要素不能少一个，即以B 为顶点，以射线BC 为一边，在∠ABC 的外部画出∠CBD=∠β，最后要回答哪个角就是所要画的角.强调数学解题的完整性、严密性、规范性，体验学习数学需要有严谨的科学态度.而2∠α-∠β则让学生独立完成.三．练习与巩固βα1.如图，已知∠AOB=62°， B∠1=(3x-2)°，∠2=(x+8)°. C 求∠1、∠2的度数. O A说明：此题在理解角的和、差的意义上，通过建立方程来求出最后的结果，让学生体验方程法是解决实际问题的一种常用的数学方法.2.如图，已知∠AOB=∠COD=m °， D C∠BOC=n °（1）用m 、n 的代数式分别表示∠AOC 、∠BOD 的大小； B（2）比较∠AOC 和∠BOD 的大小. O A四．应用与探究思考：用一幅（两块）三角尺可以画出怎样的特殊角？这些角具有什么特殊性？说明：教师要敢于放手，让学生自己去尝试解决问题的方法，也培养他们的动手操作的能力，让每个同学在纸上画出所有能够画出的特殊角，然后进行相互交流，探讨，然后请学生在投影仪上展示他们的画图（从角的个数少的逐渐到个数多的），让学生说出为什么少画了，当时有没有按规律进行两个角相加或相减（学生往往是杂乱无章的把两个角相加或相减，这里指出学生思考问题缺乏规律性、系统性的结症所在），最后让学生总结这些角的特殊性，提高他们的探究规律和概括归纳的能力.例题3： 小明从点A 出发向南偏东30°方向走了3m 到点B ，小林从点A 出发向北偏东20°方向走了6m 到点C ．那么∠BAC 等于多少度？并画出相应的图形，确定出A 、B 、C 三点的位置(用1cm 表示3m)．并从图上求出B 点到C 点的实际距离．21说明：此例题同样由学生先独立思考，再画出图形，并得出结论.这样可以帮助学生将本章的知识贯穿起来，完善知识结构的，又会用新知识解决一些简单的实际问题，让学生体验数学与生活紧密相关.四．课堂小结今天我们学习到了什么知识？你感受最深的是什么？五．布置作业：习题 7.5。
三角函数 角的和差、倍角公式及高考题
角的和差公式讲课时间：知识点：诱导公式、和差公式及倍角公式 考点：诱导公式的灵活运用，三角的降次公式 一、诱导公式：奇变偶不变、符号看象限 例1：求下列三角函数的值0240sin )1(； 45c o s )2(π； )67sin()3(π-； 00450s i n 300t a n )4(+（6）化简4cos 4sin 21- 练习：35cos)1(π；)150cos()2(0-；47sin )3(π求值：)1011sin()310cos()631sin()1(πππ----00000855tan )1050sin()1020cos(1290cos )1200sin()2(+-⋅-+⋅-二、角的和差公式βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( ±=±=±±=±例2：（1）已知71tan ,21)tan(-==-ββα，且),0(,πβα∈，求βα-2的值 （2）若20,2,32)2sin(,91)2cos(πβπαπβαβα<<<<=--=-，求2cosβα+与)cos(βα+的值。
（3）sin cos sin cos sin sin 71587158o o oo o o+-·· 练习：075sin )1(；0105cos )2(；（3）求000022sin 23sin 22cos 23cos -的值. （4）若1)cos(,43cos cos -=+-=βαβα，求sin αsin β. （5）已知βα、为锐角，且71tan ,53sin ==βα，求βα+的值 辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，常见=+ααcos sin =+ααcos sin=+ααcos sin 3=-ααcos sin 3=+ααcos 3sin =-ααcos 3sin 练习化简50sin 10cos )310(tan ⋅- 三、倍角公式：x x x cos sin 22sin =，xxx 2tan 1tan 22tan -=22cos 1sin ;212cos cos sin 211cos 2sin cos 2cos 222222x x x x xx x x x -=+=-=-=-= 例3：（1）ααααcos 1cos 2cos 12sin +∙+ （2）︒︒︒︒60cos 40cos 20cos 10sin（3）已知x x f +=1)(，化简：)2sin ()2(sin --f f （4）求)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的值域练习：已知4-<k ，求函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值 求函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值 基础题型：1.下列四个命题中可能成立的一个是（ ）A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 2.若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值是 3.若2cos sin =+αα，则=+ααcot tan 4.=+︒︒450sin 300tan5.在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形6.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）)45,()2,4.(ππππ⋃A ),4.(ππB )45,.(ππC )23,45(),4.(ππππ⋃D 7.函数)43cos(3)43sin(4ππ+++=x x y 的最小正周期是8.已知θ是第三象限角，若954cos 4sin =+θθ，求θ2sin 9.已知),0(,51cos sin πθθθ∈=+，求θcot 的值 中等题型：10.计算：00080cos 40cos 20cos ⋅⋅ 11.若21)3cos(-=+απ，且23π＜α＜2π，则)10sin(απ-的值为 12.设函数)cos()sin()(βπαπ-++=x b x a x f ，其中βα,,,b a 均为非零实数，若1)2008(-=f ，则)2009(f 的值为 13.若sin 2x >cos 2x ，求x 的取值范围14.如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则=a15.=⋅++000040tan 20tan 340tan 20tan16.若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限17.若B A 、是锐角ABC ∆的两个内角，则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在（ ）A.第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D .第四象限 18.若)22(cot tan sin παπααα<<->>，则∈α（ ）)4,2.(ππ--A )0,4.(π-B )4,0.(πC )2,4.(ππD19.函数y =2sin x 的单调增区间是21.设)223(ππ，∈x ，化简 xxxx x x sin 1sin 1cos 1cos 1cos 1cos 1-+++--++-.20.已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈. (I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3()4f α=，求s i n2α的值.拔高题型：21.设锐角βα、满足3cos 2cos 3,sin 2sin 3=+=βαβα，则2αβ+的值为( )(A)6π (B)4π (C)2π (D)3π 22.设锐角βα、满足21)tan(-=-βα，则αcos 的取值范围是 ( ) (A)55(，1) (B)23(，1) (C)22(，1) (D)21(，1)23.已知)(x f 是定义在)3,0(上的函数，)(x f 的图象如图所示，求不等式0cos )(<x x f 的解集连接高考：6．（2003全国理，广东）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．24.（2007江苏）函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 9．（2005全国Ⅰ卷文、理）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( ) （A ）2（B ）32 （C ）4 （D ）3423.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ）A.tan2θ>cot 2θB.tan2θ<cot 2θC.sin 2θ>cos 2θ D.sin2θ－cos 2θ 23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ. 24.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ .31.（2000全国理，17）已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?31.解：（1）y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 ＝41（2cos 2x －1）＋41＋43（2sin x cos x ）＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45 ＝21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45＝21sin （2x ＋6π）＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝6π＋k π，k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π，k ∈Z ｝.（2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值.33.解：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41 ＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43－21sin70°＋21sin70°＝43.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 37. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间15.（2006福建文、理）已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 可以由函数sin 2()y x x R =∈经过怎样的变换得到？ 16．（2005广东）化简)23sin(32)2316cos()2316cos()(x x k x k x f ++--+++=πππ，),,(Z k R x ∈∈并求函数)(x f 的值域和最小正周期.。
【初三】线段、角的和差倍分
初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
一.转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶17.有关比例线段定理二.用代数恒等式的证明1.由左证到右或由右证到左2.左右两边分别化简为同一个第三式3.证明左边减去右边的差为零4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高求证：DC＝AB＋BD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。
∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
44线段及角的和差倍分计算
如图4，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别 是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长．
图4 解：设AC，CD，DB的长分别为3a，4a，5a， ∴CM＝2a，AB＝12a，AN＝6a， ∴MN＝AN－AM＝6a－(3a＋2a)＝a＝2 cm， ∴AB＝12a＝24 cm.
如图5，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为 5∶11，已知CD＝10 cm，求AB的长．
∴∠α＝80°，∠β＝100°.
如图10，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD， OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE， ∠EOF＝140°，求∠COD的度数．
解：设∠COD为x， ∵∠EOF＝140°， ∴∠EOD＋∠FOC＝140°－x. ∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD， ∴∠BOC＋∠AOD＝2(140°－x)． ∵绕点O一周的角度是360°， ∴有2(140°－x)＋100°＋x＝360°. 解得x＝20°， ∴∠COD＝20°.
交流总结
本节课学会了： 1、两根线段的和差仍然是线段
两角的和与差仍是一个角，
2、会进行有关线段、角的简单的推理说明
课堂检测
1、如图，OC平分∠AOB，下列说法错误的是( D )
A.∠1=∠2
B. ∠AOB=2∠1
C.∠1+∠2=∠AOB
D. ∠1=∠AOB
A
C
1
2
O
B
2、下列说法中正确的是( B )
综上，在CD之间(含C、D点)建一个加油站M时，所行驶的总路程最 少，所行驶的总时间最少．
如图3，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D， E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝9，求线段DE的长．
和差角公式几何证明
和差角公式几何证明咱先来说说和差角公式哈。
和差角公式这玩意儿，在咱们数学学习中那可是相当重要！比如说正弦的和差角公式：sin（α+β）=sinαcosβ + cosαsinβ，sin（α - β）=sinαcosβ - cosαsinβ；余弦的和差角公式：cos（α+β）=cosαcosβ -sinαsinβ，cos（α - β）=cosαcosβ + sinαsinβ 。
那这些公式咋来的呢？咱从几何角度来瞅瞅。
就拿正弦的和差角公式来说吧，我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上画了两个角，一个是α，一个是β，然后把它们拼在一起，形成了一个新的角α + β 。
我问同学们：“大家想想看，这个新角的正弦值怎么表示呢？”这时候那个有趣的学生站起来说：“老师，我感觉这就像拼积木，把两个小角拼成了一个大角，可这正弦值咋找呢？”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来。
”我在黑板上画出了单位圆，然后以 x 轴正半轴为始边，分别画出了角α和角β。
接着，我们找到了角α终边上的一点 A，它的坐标是（cosα，sinα）；角β终边上的一点 B，坐标是（cosβ，sinβ）。
当我们把角α和角β拼在一起形成角α + β 时，在角α + β 的终边上找一点 C，坐标设为（x，y）。
那这时候，sin（α + β）就等于 y 啦。
咱们再通过一些三角形的相似关系，就能推导出 sin（α + β）=sinαcosβ + cosαsinβ 这个公式。
其实啊，数学里很多公式就像一个个神秘的宝藏，咱们得一点点去挖掘，去探索。
再来说说余弦的和差角公式。
咱们还是用单位圆来帮忙。
想象一下，在单位圆上，角α、β和α +β 对应的线段长度和坐标之间的关系。
通过一系列的计算和推理，就能得出 cos（α + β）=cosαcosβ - sinαsinβ 。
这就好像我们在走一条有点曲折的小路，虽然过程中可能会有点绕，但只要咱们坚持走下去，就能走到终点，找到那个神奇的公式。
浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学上册 6.7角的和差课件(2) 浙教版
三. 角的和与差
因为∠ABC = 700 ，∠DEF=300，
所以∠ABC —∠DEF
=700—300
=400
所以∠ABC — ∠DEF
=∠7A00BD
B
C
E
D 300
F
三. 角的和差
1
3
2
⌒
∠3= ∠2- ∠1 ∠1= ∠2-∠3 ∠2= ∠1+∠3
观察
如图， 图中共有几个角？它们之间有什么关系？
讨论你们的比较方法:
一：观察法
1周角=3600 1平角=1800 钝角：900< ∠α<1800
1直角=900 锐角:00<∠β<900
1周角>1平角>钝角>1直角>锐角
二. 叠合法
1.将两个角的顶点及一边重合
2. 两个角的另一边落在重合一边的同侧
3.由两个角的另一边的位置确定两个角
的大小 E
B
你选择从哪一面上山呢？
成功永远属于肯攀高峰的人
A B
D C
∠ABC＞∠DCB
我们清晰的记得怎么样比较 两条线段的长短方法？
1、观察法
2、度量法 即用刻度尺测量线段的 长度的方法。
3、重叠比较法 即将其中一条线段移到 另一条上作比较。
思考
如何比较下列两个角的大小？
A
A′
O
B
O′
B′
活动一： 请每个学习小组的同学每人任意画出 两个角 ，比较这两个角的大小,并
∠ BOC=( ∠ BOD) － (∠ COD )
=
( D∠
AOC
)－ C
(∠ AOB
)
B O
A
七年级数学上册6.7角的和差突破“角的运算”素材浙教版(new)
突破“角的运算"亲爱的同学，你能熟练地进行角的运算吗？这里结合具体例子进行说明，以帮助你全面突破这一难点.一、关于角的换算 例1 解答下列各题：(1)用度、分、秒表示56.32o; （2）用度表示10o25/12"。
解：（1）56.32o=56o+0。
32×60/=56o+19.2/=56o+19/+0。
2×60"=56o+19/+12”=56o19/12”；(2）因12"=//2.0)6012(=，25.2/= 42.0)602.25(=，故10o 25/12”=10.42o。
点评:角的换算有两种情况，一是由度化为度、分、秒的形式，即由高位向低位化，此时需乘以60；二是由度、分、秒化为度的形式，即由低位向高位化,此时需除以60。
应注意：①由度化为度、分、秒时，要先把度的小数部分化成分,再把分的小数部分化成秒，用公式1o=60/,1/=60"；②由度、分、秒化为度时，要先把秒化成分，再把分化成秒,用公式///)601(1=, )601(1/=。
二、关于角的加减乘除运算 例2 计算下列各题： （1）62o42/+18o31/; （2)26o58/-23o17/36”； （3）53o25/28”×5; （4）120o53/÷5。
解:（1）原式=80o73/=81o13/;（2)原式=26o57/60”-23o17/36”=3o40/24”；(3)原式=265o 125/140"=267o 7/20"； （4）原式=120o50/180"÷5=24o10/36”。
点评:进行角的加减乘除运算，遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时,先乘再进位;遇到除法时,先借位再除.三、关于图形中角的度数的求法例3 如图1所示,∠AOB =70o，∠BOC =55o，求∠AOC 的度数。
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B
比较∠AOC和 BOD的大小 的大小. （2）比较∠AOC和∠BOD的大小.
பைடு நூலகம்
D β
α
C 解：①用量角器画出∠ABC＝ ∠α; 用量角器画出∠ ＝ 以点B为顶点 射线BC为一边 为顶点， 为一边， ②以点 为顶点，射线 为一边， 的外部用量角器画∠ 在∠ ABC的外部用量角器画∠CBD 的外部用量角器画 ＝ ∠β 。 就是所要画的角. ∠ABD就是所要画的角 就是所要画的角
B
A
二、新授画角的和、差、倍 新授画角的和、
例题１ 如图，已知∠ 例题１：如图，已知∠α、∠β，画一个角， 画一个角， 使它（ 等于∠α+∠β． ）等于∠ ∠ 使它（1）等于∠α+∠β． 2）等于∠α-∠β （
D β
α
C 解：①用量角器画出∠ABC＝ ∠α; 用量角器画出∠ ＝ 以点B为顶点 射线BC为一边 为顶点， 为一边， ②以点 为顶点，射线 为一边， 在∠ ABC的 外部 用量角器画 的 内部 ∠CBD＝ ∠β 。 ＝ 就是所要画的角. ∠ABD就是所要画的角 就是所要画的角
7.5 画角的和、差、倍(1) 画角的和、
授课人： 授课人：华漕中学 俞琼 2008年 预（１） 2008年5月7日
一、回顾线段和差倍的画法和意义
两条线段的和（或差）也是一条线段 两条线段的和（或差）也是一条线段;
形
其长度等于这两条线段的长度的和（或差）。 其长度等于这两条线段的长度的和（或差）。 数 a o
B
A C β α B A D
试一试：如果要画一个角等于2∠α ∠β呢 2∠α试一试：如果要画一个角等于2∠α-∠β呢？
四、作业
1、书102页 1(1)、3 、 页 、 2、练习册7.5 1、2、3 、练习册 、 、 3、选做： 如图，已知∠α、 ∠α-∠β ，画一个 、选做： 如图，已知∠ 使它等于∠ 角，使它等于∠β．
B
b
p A B 线段OB就是所要画的线段 就是所要画的线段a+b 线段 就是所要画的线段 p A 线段OB就是所要画的线段 就是所要画的线段a-b 线段 就是所要画的线段
二、新授画角的和、差、倍 新授画角的和、
用一副（两块）三角尺可以画出哪些度数的角？ 用一副（两块）三角尺可以画出哪些度数的角？
二、新授画角的和、差、倍 新授画角的和、
α
α- β
三、角的和、差、倍意义的简单应用 角的和、
A 根据图形，填空。 根据图形，填空。 (1)∠ABC= ∠ ＋ (2)∠ADC－∠ADB=_______ ∠ － (3)∠BDE＋ =∠BDC ∠ ＋ ∠ D
B
E
C
三、角的和、差、倍意义的简单应用 角的和、
2.如图，已知∠AOB=∠COD=m° 2.如图，已知∠AOB=∠COD=m°， 如图 BOC=n° ∠BOC=n°. （1）用m、n的代数式分别表示 AOC、 BOD的大小 的大小； ∠AOC、∠BOD的大小；
例题１ 如图，已知∠ 例题１：如图，已知∠α、∠β，画一个角， 画一个角， 使它（ 等于∠α+∠β． 使它（1）等于∠α+∠β．
α
β
二、新授画角的和、差、倍 新授画角的和、
例题１ 如图，已知∠ 例题１：如图，已知∠α、∠β，画一个角， 画一个角， 使它（ 等于∠α+∠β． 使它（1）等于∠α+∠β．