第6章 不确定下的选择

例6.C.2续 安全资产和风险资产的资产组合问题。 假设有两个人，他们的伯努利效用函数分别为u1和 U2。1* ,2* 分别表示他们在风险资产上的最优投资。 我们将证明，如果u2比u1更规避风险，则 * *
2 1
不同财富水平之间的比较
定义6.C.4 如果rA(x,u)是x的递减函数，则 称货币伯努利效用函数u显示出递减的 绝对风险规避。 命题6.C.3 下述性质是等价的： 1. 伯努利效用函数u显示出递减的绝对风 险规避； 2. 只要x2<x1，u2(z)=u(x2+z)就是 u1(z)=u(x1+z)的凹变换。
具有期望效用形式的效用函数
代表彩票空间上偏好的效用函数U，有一种特殊 函数形式的效用函数。 定义6.B.5 如果我们赋予N个结果一组数值 (u1 ,, uN ) ，使得对于每个简单彩票 L ( p1 ,, pN ) 我们都有 U ( L) u1 p1 uN pN 我们就称效用函数U具有期望效用形式。具有期 望效用形式的效用函数U称为v.N-M期望效用函 数。
命题6.B.1 一个效用函数U，当且仅当它是线性的 时，它具有期望效用形式。
U ( k Lk ) kU ( Lk )
k 1 k 1
K
K
期望效用函数形式只有在递增线性变化下才能被 保持。 命题6.B.2 假设U是一个v.N-M期望效用函数，那么 ~ 当且仅当存在ß>0和γ，使得 U (L) U ( L) ~ 对于所有L成立时，U 是另一个v.N-M效用函数。 如果偏好关系可以由具有期望效用函数形式的效用 函数U代表，则偏好满足独立性公理。
D
*
不管损失是否发生，最终财富是
w D
例6.C.2 对风险资产的需求
资产是一种对未来金融收益的可分的索取权。有 两种资产，一种是安全资产，投资1美元可收 益1美元；一种是风险资产，投资1美元可收益 z美元的随机收益。随机收益z的分布函数F(z)， 1 假设该分布满足 zdF ( z ) ；也就是说， 其期望收益大于安全资产。 个人可用于投资的初始财富为w，可以在两种资 产之间进行分配。
rA ( x) u ''( x) / u '( x)
个人之间的比较
给定两个伯努利效用函数u1和u2，u2比u1 更规避风险？ 1. 对于每个x，都有rA(x,u2)≥rA(x,u1) 2. 存在一个递增凹函数ψ，使得u2(x)= ψ(u1(x))；也就是说，u2是u1的一个凹 变换 3. 任意F，c(F,u2)≤c(F,u1)
u( x z )dF ( z ) u( x )
1 1
习题6.C.8 假设伯努利效用函数u显示出递减的绝对 风险规避。则对例6.C.2中的资产组合模型，随着 初始财富w的增加，最优资产组合意味着将更多的 财富投入到风险资产上（风险资产是一种正常品）。
递减绝对风险规避的假设可以导出许多其他的关于 风险承担行为的结果。
u ( x)dF ( x) u ( xdF ( x))
Jensen不等式，凹函数的定义
(6.C.2)


风险规避等价于u()的凹性，严格风险规 避等价于u()的严格凹性。 当且仅当货币的伯努力效用函数u是线性 的时，决策者是风险中性的。
定义6.C.2 给定一个伯努力效用函数u()，我们定义 下述概念： 1. F()的确定性等价－c(F,u)－是一笔货币，它使得 个人在彩票F和确定性数量c(F,u)之间是无差异的。


从数个风险备选项中进行选择 每个风险备选项都可能导出数个可能结果中的 一个，但选择时，并不能确定哪些结果真正发 生。 C代表所有可能结果的集合。（货币支付的形 式） 本节中假设C中可能结果的数目是有限的，
n 1,, N
假设由任一选定的备选项所导致的各种结果的 概率是客观已知的。 彩票，是代表风险备选项的正式工具。 定义6.B.1 一个简单彩票L是一个表列，
预期财富
w D ( q)
max(1 )u ( w q ) u ( w q D )
0
一阶条件
q(1 )u '(w *q) (1 q)u '(w D * (1 q)) 0
保险价格q在精算意义上是公平的。 q
第6章 不确定下的选择
6.A 引言


许多经济决策都涉及到风险因素 用彩票来描述风险备选项 定义在彩票空间的偏好和效用函数 期望效用定理 货币彩票 风险规避
6.B 期望效用理论

将风险模型化的正式工具 研究个人在有风险的备选项上的偏好 建立期望效用定理
风险备选项的描述

max u ( z )dF ( z )
, 0
s.t. w
等价于
0 w
max u ( w ( z 1))dF ( z )
库恩－塔克条件
( * ) u '( w *[ z 1])( z 1)dF ( z )
6.C 货币彩票和风险规避

风险备选项：结果为一定量货币（连续 变量）
货币彩票和期望效用框架



用连续变量x代表货币的数量。（这是一 个确定性的结果） 分布函数F代表一张货币彩票。其密度函 数为f(x)。 彩票空间L定义为非负货币数量上所有分 布函数的集合。


（确定性）货币x的效用值u(x)，称为伯努力效 用函数。 如果具有v.N-M期望效用形式的效用函数，则
例6.C.1 保险
一个严格风险规避的决策者，其初始财富 为w，他面临损失D美元的风险。损失的 概率为π，决策者可以购买保险。1单位 保险的成本是q美元，当损失发生时，提 供1美元的补偿。因此，若决策者购买α 单位保险，那么若损失未发生，其个人 财富为w- αq；若损失发生，其个人财富 为w- αq-D+ α。决策者如何选择最优水 平的α。
4. 任给x和ε， ( x, , u2 ) ( x, , u1 ) 5. 只要u2觉得彩票F和确定性结果x至少一样好，则 U1也觉得F至少和x一样好。
u ( x)dF ( x) u ( x ) u ( x)dF ( x) u ( x )
2 2 1 1
命题6.C.2 上述5个定义的更风险规避关系是等价的。
3. 对于任意一个风险F(z)，将风险z加到财富水平x上 的彩票的确定性等价，就是 u (cx ) u ( x z )dF ( z ) 的 Cx，使得(x-cx)在x上是递减的。也就是，x越高，个 人愿意为消除风险而付出的代价越小。 4. 概率溢价 ( x, , u) 在x上是递减的。 5. 任给一个F，如果 u ( x2 z )dF ( z ) u ( x2 ), x2 x1 则

L ( p1 ,, pN ) 且对于所有n，有 pn 0, pn 1
n
式中pn代表结果n出现的概率。 退化彩票
一张彩票对应了可能结果的一个概率分布。离散的或连续的。
定义6.B.2 给定k个简单彩票
Lk ( p ,, p ), k 1,K 以及概率
k 1 பைடு நூலகம் N
k
是闭的，则称在简单彩票空间上的偏好关系≥是 连续的。 连续性意味着代表偏好≥的效用函数U的存在。 对U施加更多的结构限制。
独立性公理
定义6.B.4 如果对于所有L, L’, L’’和α∈(0,1)，有： 当且仅当 我们就称简单彩票空间L上的偏好关系满足独立 L (1 ) L' ' L'(1 ) L' ' , L L' 性公理。 独立性公理是不确定性下的选择理论的核心。
定义6.C.5 给定一个伯努利效用函数u，在x处的相对 风险规避系数为 rR ( x, u) xu ''( x) / u '( x) xrA ( x, u)
命题6.C.4 对于一个定义在货币数量上的伯努利效用 函数u而言，下述条件是等价的： 1. rR(x,u)在x上递减； 2. 只要x2<x1, u2(t)=u(tx2)就是u1(t)=u(tx1)的一个凹 变换。 3. 任给t>0上的一个风险F(t)，确定性等价 u (cx ) u (tx)dF (t ) 使得x/cx在x上是递减的。
期望效用定理

如果决策者对彩票的偏好满足连续性和 独立性公理，那么他的偏好就可以由一 个具有期望效用形式的效用函数来代表。
命题6.B.3 （期望效用定理）假定彩票空间L上的理性 偏好关系≥满足连续性和独立性公理，则≥容许一个 期望效用形式的效用表示。
期望效用理论的讨论

技术上的，在分析上是极其方便的。 规范性的，期望效用可以提供一个有价 值的行动指导。
u (c( F , u )) u ( x)dF ( x)
(6.C.3)
2. 对于任意一个固定货币金额x和正数ε，用π(x, ε, u)表示的概率溢价，是获胜概率超出公平概率的那 部分差额，而公平概率使得个人觉得确定结果x和在 x+ ε和x- ε这两个结果之间的彩票是无差异的。也就 是说 1 1 u ( x) ( ( x, , u )) u ( x ) ( ( x, , u )) u ( x ) 2 2
0, k 1
k
复合彩票 ( L1 ,, LK ;1,, K ) 是这样的风险备选项， 它以 k 的概率产生简单彩票Lk。 对于任何复合彩票，都可以计算一个相应的约简彩票。 L ( p1 ,, pN ) 它是一个简单彩票，将导出与复合彩票 相同的最终结果分布。
在彩票上的偏好



基本假设：对于任何风险备选项而言， 决策者关心的仅仅是定义在最终结果上 的约简彩票。 备选项集合：结果集合C上的所有简单彩 票的集合，L 决策者在L上有理性偏好关系：完备性和 可传递性。