柯西函数

若函数()x f 在其图象上存在不同的两点()()

2211,,,y x B y x A ，其坐标满足条件：

222221212121y x y x y y x x +•+-+的最大值为0，则称()x f 为“柯西函数”，则下列函数①()();0,1〉+=x x

x x f ②()();30ln 〈〈=x x x f ③()x x f cos =;④()12-=x x f ,其中为“柯西函数”的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

解：由已知条件可得0222221212121=+•+-+y x y x y y x x ，即

222221212121y x y x y y x x +•+=+，两边平方，得

()()()

2222212122121y x y x y y x x ++=+，整理，得()k x y x y y x y x y x y x ==∴=-∴=-2

211122121221,0,0为斜率，故点O,A,B 三点共线，设其直线方程为kx y =，则其与“柯西函数”图象必有二个交点。易知③，④符合。 对于①()();0,1〉+

=x x x x f 由x x kx 1+=，可得(),112x g x k =-= 由(),023〈-='

x

x g 在()∞+，0上k 与()x g 只有唯一交点，不符合条件; 对于②()();30ln 〈〈=x x x f 由()x x

x k x kx g ln ,ln ==∴=， 由()2ln 1x x x g -='，()x g 在()e 0，上单调递增，在()3,e 单调递减，故]1,33ln (e k ∈与()x g 存在二个交点，符合条件。综上所述，故选C 项。