内蒙古鄂尔多斯市康巴什新区第二中学八年级数学下册 16.3.1 二次根式课后作业课件 (新版)新人教版
内蒙古鄂尔多斯市东胜区八年级数学下册 16 二次根式 1
《16.1.1 二次根式》班级 姓名一． 学习目标：目标A:了解二次根式的定义，会判断一个代数式是否为二次根式目标B: 理解二次根式有意义的条件，会求二次根式中字母的取值范围 目标C ：二次根式的非负性质的运用 二． 问题引领： 问题A:二次根式的概念1.用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点？(1) 面积为3的正方形的边长为 ，面积为s 的正方形的边长为 ．(２)一个长方形的围栏，长是宽的２倍，面积为１３０ｍ２，则它的宽为 ｍ．(３)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间ｔ（单位：ｓ）与开始下落时离地面的高度ｈ（单位：ｍ）满足关系ｈ＝５ｔ２．如果用含有ｈ的式子表示ｔ，那么ｔ＝ ．2．归纳：象上面写出的这些式子 ， ， ， ，它们表示一些正数的算术平方根. 3. 二次根式的概念：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
a 叫做被开方数。
注意：二次根式须同时满足以下两个条件： （1） 必须含有二次根号“”；（2） 被开方数a 必须是非负数，即a ≥0的式子才是二次根式。
练习：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？①13； ②a ； ③2)8(-； ④310； ⑤6151-; ⑥x -3(x ≤3). 问题B:二次根式有意义的条件:1.当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2-x ； （2）2x ； （3）3x ； （4）121-x ；（5）xx --21. （6）3+x +x -6；归纳：对于二次根式a ，只有当被开方数为非负数，即a ≥0时，式子a 才叫做二次根式.因为负数没有平方根，所以当a<0时，a 就不能叫做二次根式，因此，当a ≥0时，a 有意义；当a<0时，a 无意义. 问题C:二次根式的非负性质的运用1．比较a 与0的大小.2.已知23++-b a =0，求b 2-a 的值.归纳：二次根式具有双重非负性，即当a ≥0时，a ≥0， 三．训练测评1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？(1) x -(x>0); (2) 2)1(-a ; (3) 52--x ; (4) 2)(b a -(ab>0) 2. 当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) 12+x (2) ()21-x (3)x 1 (4) 11+x3.已知b a -+b 2-4b+4=0,求a b的值.四．课堂小结：（1） 二次根式的概念：a （a ≥0）（2） 二次根式有意义的条件：a （a ≥0） （3） 关于二次根式的非负性的运用 五．课后作业1. 给出下列式子：16，a 2，a +1，22b a +，12+n ，40，3-.其中是二次根式的有 （ ） A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个2. 使式子x x -+-21有意义的x 的取值范围是 （ ）A.x ≥-1B.1≤x ≤2C.x ≤2D.-1<x<23. 下列说法错误的是 （ ）A.0和负数都没有算术平方根B. 22b a +是一个非负数，也是一个二次根式C. 162+x 的最小的值为4D. ()21--x 的值一定为零4. 当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) x 43-； (2)1-x x； (3)a - ； (4) 2x -.5.求当二次根式24x 的值等于4时x 的值.6.若xyy x 311+--有意义，则点A （x,y ）在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 (能力提升题)： 7.（1）已知n -18是整数，求自然数n 所有可能的值;（2）已知n 24是整数，求正整数n 的最小值.。
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。
内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第一中学八年级数学下册《16.1 二次根式》学案1(无答案)(新版)新人教版
16.1二次根式学习时间： 【学习目标】 1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式.2.掌握二次根式有意义的条件.【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习难点】二次根式有意义的条件.【学习过程】一、知识链接这些知识你还记得吗？ 1.如果对于任意数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数.2.如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数.3.正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______.二、探究新知1.面积为3的正方形的边长_______，面积为s 的正方形的边长_______.2.一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______ 米 .3.一个物体从高处落下，落到地面所用的时间为t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系式中 ，用含有h 的式子表示t ，则t 为 .观察以上各式，它们有什么共同特点？归纳定义：一般地，我们把形如_______（a ≥0）的式子叫做二次根式，“_______”称为二次根号.1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？2）判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，，12+x3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 .4）下列各式一定是二次根式的是（ ）A 、12+xB 、12-xC 、1--xD 、x总结：二次根式应满足的条件： .三、例题精讲例1当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？教与学 25t h =0)aa ≥教与学思考：当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 四、当堂练习1.下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？2，33，x 1，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x≥0,y≥0）2.当x 是怎样的实数时，13-x 在实数范围内有意义？3.若230a b -+-=，则 2a b -= .【补充练习】1.式子112-+x x 有意义的x 的取值范围是 .2.已知：y xx x y 求,522+-+-=的值.五、总结反思六、板书设计。
人教版数学八年级下册16.3.1二次根式的加减运算(教案)
1.教学重点
-理解并掌握二次根式的加减运算规则，能够准确进行相关计算。
-学会化简二次根式，提高运算速度和准确度。
-将二次根式的加减运算应用于解决实际问题。
举例解释：
-重点一：讲解并练习如何将不同二次根式进行加减，如√18 + √50，要求学生掌握合并同类项的方法，理解根号内数的分解对简化运算的重要性。
2.提高学生的逻辑思维能力和运算能力，通过化简二次根式和计算二次根式加减，锻炼学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的数感和符号意识，让学生在二次根式加减运算过程中，更加熟悉数学符号的使用，增强对数学表达式的理解和运用。
4.培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论和互助学习，使学生学会倾听、交流、分享，提高合作解决问题的能力。
-在运算过程中，保持对数的敏感度和对运算符号的准确使用。
举例解释：
-难点一：学生对合并同类项时，如何处理根号内数的分解和合并感到困惑，例如将√18和√50合并时，需要先将√18分解为√9×√2，√50分解为√25×√2，然后再进行合并。
-难点二：在解决应用题时，学生可能难以将问题中的长度、宽度等转化为二次根式，例如需要将长方形的长度和宽度表示为√20 cm和√15 cm。
人教版数学八年级下册16.3.1二次根式的加减运算（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册16.3.1二次根式的加减运算。本节课主要内容包括：
理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学习二次根式的加减运算规则，能够正确进行二次根式的加减运算。
3.掌握化简二次根式的方法，提高运算速度和准确度。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了二次根式的加减运算，整个教学过程让我有了以下几点思考。
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.激发学生的自主学习与合作探究：鼓励学生在课堂中积极参与讨论，学会与他人合作探究，培养自主学习和团队协作能力。
本节课将紧扣核心素养目标，关注学生能力的全面发展，提高学生数学学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义及其性质：理解二次根式的概念，掌握其性质，如√a（a≥0）。
-二次根式的加减法则：熟练运用加减法则进行同类项合并和不同类项化简，如√a±√a=±2√a。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解二次根式的加减。首先，通过日常生活中的实例导入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在实际操作中，我发现同学们对这个问题产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习打下了良好的基础。
在理论介绍环节，我尽量用简洁明了的语言解释二次根式的定义和性质，让学生易于理解。然而，我也注意到，部分学生在理解不同类项的化简和符号处理上还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过设计更多有针对性的练习和实例，帮助他们突破这个难点。
在新课讲授的案例分析环节，我选取了一个与学生生活密切相关的例子，希望能够让他们更好地体会到二次根式在实际中的应用。从学生的反馈来看，这个案例确实帮助他们加深了对二次根式加减的理解。但在实践活动和小组讨论中，我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题解决时，仍然显得有些吃力。这可能是因为他们对二次根式的掌握还不够熟练，需要在今后的教学中加强练习。
最新人教版数学八年级下册第16章《二次根式》全章教学案含解析
人教版数学八下第16章《二次根式》全章教案含解析第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).3.掌握²=(a≥0,b≥0),=²(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容,它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.本章内容分为三节,第一节主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.【重点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式乘除法的法则及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.【难点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.1.通过前面的学习,我们已经知道了平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.2.对于一些重要结论,要注意经历观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.3.熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.单元概括整合1课时16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,,,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.[设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A. B.C. D.(其中a<0)〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C 中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时,在实数范围内有意义.【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易错分析]容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.[设计意图]通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.[知识拓展](1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3³,-表示-³,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.2.(2014²南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.二、课后作业【基础巩固】1.若是二次根式,则下列结论正确的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同号D.≥02.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2015²遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是.【能力提升】5.当x 时,+在实数范围内有意义.6.(2015²攀枝花中考)若y=++2,则x y=.7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n满足关系式+=²,试确定m的值.【答案与解析】1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.练习(教材第3页)1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a²2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3cm,宽取2cm.2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义. (2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义. (4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.当x=±2时,y=-3.①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2³(-3)=-4;②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2³(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解题策略]根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.已知(3a-6)2+=0,求b a的值.〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此时b a=32=9.[解题策略]本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.[设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一2()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22³()2=4³5=20.[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4³3=12.[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2二次根式的性质2:=(≥0),,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出: ()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=. (2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出: ()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.[设计意图]学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2³()2=25³2=50.==.-=-=-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22³()2=44,(3)2=32³()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.母也是代数式式1.计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故选B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3. +的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x 时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9. (2)(2)2=22³()2=12. (3)=(-2)2³=2.(4)(-)2=(-1)2³()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015²杭州中考)若k<<k+1(k是整数),则k等于()A.6B.7C.8D.94.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是.6.在实数范围内分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n+9n=.7.列出下列代数式:(1)面积为3的圆的半径;(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化简,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?【答案与解析】1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)4.C(解析:观察图可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b.故选C.)5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22³5,所以正整数m 的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1). (2)宽:3;长:5.8.解:(1)=. (2)(3)2=32³()2=18. (3)=(-2)2³=. (4)-=-=-3π. (5)==.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32³()2=9³2=18.2.解:(1)=0.3. (2)=. (3)-=-π. (4)=10-1=.习题16.1(教材第5页)1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a ≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.。
部审人教版八年级数学下册教学设计16.3 第1课时《二次根式的加减》
部审人教版八年级数学下册教学设计16.3 第1课时《二次根式的加减》一. 教材分析人教版八年级数学下册第16.3节《二次根式的加减》是建立在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础之上。
本节内容主要让学生掌握二次根式的加减运算法则，并能够灵活运用这些法则解决实际问题。
教材通过具体的例子引导学生总结出二次根式加减的法则，并配有丰富的练习题供学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质、运算法则以及实数的运算。
但是对于部分学生来说，对于二次根式的加减运算仍然存在一定的困难，特别是在理解二次根式加减的法则和将其应用到实际问题中。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过具体例子和练习题让学生加深对二次根式加减运算法则的理解。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减运算法则。
2.培养学生将二次根式的加减运算应用到实际问题中的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式的加减运算法则。
2.教学难点：理解二次根式加减的法则，并将其应用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索二次根式的加减运算法则，激发学生的学习兴趣和主动性。
同时，结合具体的例子和练习题，让学生在实践中掌握二次根式的加减运算方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT或者黑板。
2.准备一些具体的例子和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引导学生回顾二次根式的性质和运算法则，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过具体的例子，引导学生总结出二次根式的加减运算法则。
可以使用PPT或者黑板展示例子，让学生直观地看到二次根式的加减过程。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些关于二次根式加减的实际问题。
可以设置不同难度的问题，以满足不同学生的需求。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固刚刚学到的二次根式的加减运算法则。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式加减》教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：回顾平方根的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式加减》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握二次根式的概念，能够正确书写和识别二次根式。
-学生能够理解二次根式表示的是平方根，掌握二次根式的性质和运算规则。
-学生能够运用二次根式解决实际问题时，能够准确识别问题中的二次根式并进行相应的运算。
2.学会进行二次根式的加减运算，掌握运算步骤和法则。
-学生能够掌握合并同类项的原则，将含有相同根式的代数式进行加减运算。
-学生能够解决含有二次根式的复合运算问题，如加减混合运算，并掌握运算顺序。
3.能够应用二次根式的加减运算解决实际生活中的问题，如面积、体积计算等。
（二）过程与方法
1.通过直观教具和实际例子的展示，引导学生观察、分析二次根式的特点，培养学生从具体到抽象的思维能力。
-学生在解题过程中，教师进行巡回辅导，关注学生的解题方法和技巧，及时纠正错误。
-对学生的练习情况进行点评，强调易错点和关键点，指导学生掌握解题策略。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学的内容进行总结，巩固学生的知识体系。
2.教学过程：
-让学生回顾本节课所学的二次根式的定义、性质、加减运算规则，并进行自我总结。
3.采用问题驱动的教学策略，激发学生的探究欲望，鼓励学生主动参与，提高解决实际问题的能力。
-教师设计不同难度的问题，引导学生自主探究二次根式的性质和运算方法。
内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第一中学八年级数学下册16.3二次根式的加减学案2(无答案)(新版)新人教版
二次根式的加减
【学习目标】1．能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算；
2．会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正 确性．
【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算。
【学习难点】综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算
一、知识链接
1．填空
（1）整式混合运算的顺序是： .
（2）二次根式的乘除法法则是： .
（3）二次根式的加减法法则是： .
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2．计算：
（1）6·a 3·b 31
（2）161
41÷ （3）50
51
1221
832++-
二、例题精讲
例3 计算(提示：类比整式的运算法则.)
（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-
例4 计算：
（1）)52)(32(-+ （2）()()3535-+
三、当堂练习
1.计算：
（1）12)32
3242731(⋅-- （2）)32)(532(+-
（3）2)3223(+ （4））（
2.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-÷-x y y x 111，其中
23,23-=+=y x 。
3. 已知12,12+=-=b a ，求（1）22b a - ；（2）22ab b a +的值.
4.已知122,122-=+=b a ，求b a
a b
+的值.
四、总结反思
五、板书设计。
内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第一中学八年级数学下册《16
16.3 二次根式的加减（2）
学习时间____________
【学习目标】1．能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算；
2．会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正 确性．
【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算。
【学习难点】综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算
一、知识链接
1．填空
（1）整式混合运算的顺序是： . （2）二次根式的乘除法法则是： . （3）二次根式的加减法法则是： . （4）写出已经学过的乘法公式： ① ②
2．计算：
（1）6·a 3·b 31 （2）161
41÷ （3）50
511221832++-
二、例题精讲
例3 计算(提示：类比整式的运算法则.)
（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-
例4 计算：
（1）)52)(32(-+ （2）()()3535-+
三、当堂练习
1.计算：
（1）12)32
3242731
(⋅-- （2）)32)(532(+-
教与学
教与学
（3）2)3223(+ （4）（10-7）（-10-7）
2.先化简，再求值：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-x y y x 11
1，其中23,23-=+=y x 。
3. 已知12,12+=-=b a ，求（1）22b a - ；（2）22ab b a +的值.
4.已知122,122-=+=b a ，求b a
a b
+的值.
四、总结反思
五、板书设计。
内蒙古鄂尔多斯市东胜区八年级数学下册 16 二次根式 16.1 二次根式 16.1.3 二次根式的化
《16.1.3 二次根式的化简》班级 姓名一：学习目标目标A:巩固二次根式的定义及性质,代数式的定义 目标B ：能利用二次根式的性质对二次根式进行化简 目标C:综合运用知识解决问题 二：问题引领 问题A:知识链接（1）一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式， 叫做二次根号. （2）二次根式有意义的条件是 .（3）a 是一个 ，被开方数a 也是一个 ，所以二次根式a 具有双重非负性. （4）二次根式具有如下性质：1.()2a = ； 2.2a = .（5）我们学过的式子，如4； a ； a+b ； ab ；ts ； x 3；a (a ≥0)；7，它们都是用基本运算符号把数或表示数的字母连起来的式子，我们称这样的式子为 . 问题B:利用二次根式的性质解决问题1.二次根式的非负性： (1) 已知b a ++-71=0，则a+b=（ ） A.-8 B.-6 C.6 D.8(2)已知x,y 为实数，且y=2299x x ---+4，则x-y= . 2.二次根式的性质：()2a =a(a ≥0)计算：（1）()22= ； （2）231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ； （3）()252= ； （4）2212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= . 3.二次根式的性质：2a =a =⎩⎨⎧-≥)0()0(<a a a a化简：（1）9= ； （2）()24-= ； （3）25= ； （4）()28-= ；(5)()223-= ; (6)()214.3π-= ; (7) ()()2233+-= .问题C:综合运用 1. 当a<-4时，化简()222+-a2.先化简，再求值：()()()(),14121222+--+++x x x x x 其中x=23.如图所示，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：.4.把下列各式在实数范围内分解因式：（1）a 2-11; (2)2a 2-6; (3)a 4-7a 2+10三．专题训练 1.下列式子是二次根式的有 个.①a ； ②12+a ； ③21a； ④2a -； ⑤()237-2.13+-x x =13+-x x成立的条件是 （ ） A.x ≥-1 B. x ≤3 C.-1≤x ≤3 D.-1＜x ≤3 3.下列各式中不是代数式的是（ ）A. x1B. π5632+-a aC.л÷3D. л≈3.144.如果式子()212-+-x x 化简结果为2x-3，那么x 的取值范围是 （ ）A.x ≤1B.x ≥2C.1≤x ≤2D.x>0 5．观察：①311+=231； ②412+=341； ③513+=451…… （1） 根据以上的规律，按顺序写出第四个式子；（2） 用含自然数n(n ≥1)的式子表示你观察到的规律.6. 先化简再求值：当a=9时，求a+221a a +-的值，甲乙两人的解答如下:2甲的解答：原式=a+2)1(a -=a+（1-a ）=1 乙的解答：原式= a+2)1(a -=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 四．课堂小结：1.巩固二次根式的性质2.会对一些特殊的二次根式进行化简 五．课后作业 1.计算： （1）()()()392332222--⨯-+-； （2）2)52(-+2)53(-2.(1)当a<0时，化简23a a --= ； （2）当x=-6时，x 37-的值为 .（能力提升题）3.先阅读下列的解答过程，然后再解答：对于形如n m 2±的化简，只要我们能找到两个数a,b ，使a+b=m,ab =n ，使得()()22b a +=m ，b a ∙=n ，那么便有： ()b a ba n m ±=±=±22(a>b).例如：化简.347+解：首先把.347+化为1227+，这里m=7,n=12，由于4+3=7，4⨯3=12， 即()()2234+=7，34⨯=12，所以.347+=1227+=()234+=34+=2+3利用上面的方法化简：（1）42213-； （2）549+。
内蒙古鄂尔多斯市东胜区八年级数学下册 16 二次根式 1
《16.3.2 二次根式的混合运算》班级 姓名一：学习目标目标A:巩固二次根式的乘、除法的法则，巩固二次根式加减法的法则目标B:掌握二次根式的混合运算的运算顺序，能熟练进行二次根式的混合运算 目标C:培养学生综合运用知识的能力，通过训练提高学生解决问题的能力 二：问题引领问题A:复习巩固学习过的运算法则 1. 计算：（1） （2x+y ）·2x （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy（3）（2x+3y ）（2x-3y ） （4）（2x+1）2+（2x-1）2.计算：（1）27122- (2))681(5.024+--（3）（4）（）÷说明：从有理数的运算到整式的运算，再到二次根式的运算，运算的顺序、运算的性质以及运算律都是一致的，体现了“数式通性”的原则. 问题B:二次根式的混合运算 3.计算：（1）（27)64148÷+ （2））（（3））） （4）2)23(+4.计算：（1）)74)(74(-+ （2）)26)(26(-+（3）2)252(+问题C:能力提高5.（1）当15-=x 时，求代数式x 652-+x 的值；（2）已知x=2-3，求代数式()2347x ++()332++x 的值.6.已知n 是正整数，n 189是整数，求n 的最小值.三．专题训练： 1．的值是（ ）． A ．203．23C ．23．2032．（-122的计算结果（用最简根式表示）是________． 3．若，则x 2+2x+1=________． 4.计算：（1）（)632)(632-+； （2）6)273482(÷-； (3) ()()23222--5.已知x=13,13-=+y ,求下列各式的值：（1）222y xy x ++ ； （2）22y x - 6.计算：（1）（24-21）（81+6）； （2）()23322+； （3）241132123⎪⎪⎭⎫⎝⎛-()(1-+（4）7.计算：32-（6124-2312）+（2-3）（2+3）.（结果保留小数点后两位，2≈1.414，3≈1.732.）四．课堂小结：谈谈这节课你的收获怎么样？ 五．课后作业：1 ）．A ．2B ．3C ．4D ．12．（）（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．已知a 2b-ab 2=_________．4.计算： ① 2543122÷⨯； ② 2)5235(+； ③ )2332()2332(-+（能力提升题）5.已知101=+aa ，求a a 1-的值6.若最简二次根式52103-+-y x x 和113+-y x 可以合并成一个二次根式，求（y-x ）2015的值.7. a, b 分别是6-5的整数部分和小数部分.（1）分别写出a, b 的值. （2）求3a-b 2的值.。
内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除(第2课时)教案 (新版)新人教版-(
（3）二次根式 的计算结果是（）
A．2 B．-2 C．6 D．12
7.选择题
（1）若 ，则 =（）A．4 B．2 C．-2 D．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（）
A． =（-2）×（-4）=8
B．
C．
D
8.不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1) -3 (2)
3.学习课本例1后，依照例题进行计算：
（1） × （2）2 ×3
（3） · （4） · ·
(5) × (6) × ；
(7) 2 × (8) × .
4.学习课本例2后，依照例题进行化简：
（1） （2）
（3） （4）
(5) (6) ；
(7) (8) .
5.下列计算：（1） =2 ，（2） =x–1, (3) = 6, (4) • = 6，
9.比较大小：(1)3 ________6 ；(2)－3 ________－2 .
10.下列各数中，与2 的积为有理数的是()A．2B．3C. D.
11．若计算
分析
讨论
填空
通过形式不同的练习使学生进一步理解公式，进一步熟练应用公式.
作
业
1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6.选择题（1）等式 成立的条件是（）
A．x≥1 B．x≥-1
填空
练习
思考
考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力.
使学生学会化简二次根式，双向使用公式，并能熟练进行计算.
教师活动
学生活动
呼和浩特市赛罕区八年级数学下册 16 二次根式(第2课时)教案
第16章二次根式课题第16章二次根式课时第2课时课型复习课作课时间教学内容分析本节课学习错误!的化简以及如何利用＝a(a≥0）解题。
教学目标1.结合二次根式的非负性,通过例题和习题掌握（错误!）2＝a(a≥0)，a2＝a(a≥0），并能利用这一结论进行计算。
2.通过对a2的化简，培养学生分类讨论的思想.重点难点灵活掌握错误!＝|a｜＝错误!的应用教学策在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母的符号．对于形如错误!的式子的化简，首先应化成｜a｜的形式，再根据a的取值进行计算．略选择与设计学分析法，讨论法生学习方法教无具教学过程教师活动学生活动设计意图知识点二次根式性质的应用对于错误!的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值，即｜a|，然后再根据a的符号进行化简．也就是a2＝｜a|＝错误!【例题教学】例1：计算：错误!×错误!。
解:由题意知－错误!≥0，∴x〈0，∴错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!×（－x)＝错误!×（－x)＝错误!×（－x）＝错误!。
例2：已知x<1，则化简错误!的结果是（）A．x－1 B．x ＋1C．－x－ 1 D．1－x分析：错误!＝错误!＝｜x－1｜.∵x<1，∴x－1〈0,∴原式＝1－x.【归纳总结】在化简被开方数中含有字母的二次根式时,首先要判总结记忆分析讨论分析讨论回顾本节课的知识，使学生形成知识网络。
在化简被开方数中含有字母的二次根式时,首先要判断字母的符号．对于形如a2的式子的化简，首先应化成｜a|的形式,再根据a的取值进行计算．取值进行计算．【针对训练】1．已知a＝2－错误!,则错误!＝（) A．1－错误!B。
错误!－1C．3－错误!D.错误!－32．当a＜错误!且a≠0 时，化简错误! =____．3．当a＜－8时，化简｜错误!－4｜。
4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2－4c＋4－错误!。
呼和浩特市赛罕区八年级数学下册 16 二次根式(第3课时)教案
第16章二次根式课题第16章二次根式课时第3课时课型复习课作课时间教学内容分析本节课学习二次根式的非负性的应用.教学目标借助二次根式的双重非负性（常与a2，｜a｜相结合）的概念及性质解题重点难点应用二次根式的非负性2a=｜a｜进行化简教学策略选利用2a=｜a|化简，知道二次根式和以前见过的平方，绝对值类似，均具备非负性。
求一个方程中含有多个未知数的一般形式有如下几种：x＋错误!＝0;错误!＋|y｜＝0；错误!＋y2＋|z|＝0。
这些题均需利用非负数的性质确定各未知数的大小．择与设计学生学习方法观察法,分析法，讨论法教具无教学过程教师活动学生活动设计意图知识点二次根式的非负性的应用由a≥0，b≥0且a＋b＝0得到a＝b＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几种：错误!＋错误!＝0;错误!＋｜y|＝0;错误!＋y2＋｜z|＝0等．【例题教学】例1: 已知△ABC的三边a,b，c 静听分析讨论知识的综合与拓展，体验知识的生成过程。
利用这两教师活动学生活动设计意图即错误!＝2015。
所以a＝20152＋2016.故错误!＝错误!＝2016。
【针对训练】1．若实数a,b满足|a＋2|＋错误!＝0，则错误!= __________ ．［解析］由｜a＋2｜＋错误!＝0可得a＋2＝0，b－4＝0.解得a＝－2,b＝4.所以错误!＝1.1．若错误!＋b2＋2b＋1＝0，则a2＋错误!－错误!= __________［解析］依题意,得错误!＋（b＋1)2＝0，所以错误!所以a＋错误!＝3,b＝－1,所以a2＋错误!＝错误!错误!－2＝32－2＝7，所以a2＋错误!－｜b|＝7－1＝6.3. 若a，b,c为三角形的三边，则错误!＋错误!＝________．4。
已知y＝错误!＋错误!,则x＋y2的值为( )A．0 B．1 C．2 填空分析应用迁移巩固提高从习题上真正巩固非负性的应用。
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例题
计算
2 5
(a b)(a b) a b
2
平方差公式
2
2 3 2 3
2
2 5 2 15
5 3 5 3 5 3
2 2
2 2 2 15
13 2 2
53
2
注意
观察算式，找出特征，利用多项式乘法 法则和乘法公式求解。
∴ 木板够长，可以截出这两个正方形木板。
同类二次根式
2 2 3 2 2 7
7 7
2 3
6 3
几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式。
注意 判断一组式子是否为同类二次根式，只需看
化为最简二次根式后的被开方数是否相同， 与最简二次根式前面的因式及符号无关。
2
18 xy
4
2. 下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 √ 50 27 √ 3 2b
5 3
√
√ √
2 10
3 9
4 b 2ab 3
√
3 2ab
√
归纳
8 18 2 2 3 2
（2 3） 2 5 2
9 5 20 5
平方差公式
如果分母是含二次根式的两个因式的和 或差，采用分子、分母同乘以分母的有理化 因式的方法进行化简。
例题
化简
1 1 （3 2 2） 3 2 2 3 2 2 2 2 98 （2 2） 3 2 2 （3 2 2） （3 2 2） 3
有理化因式
3 2 2
A P
B
Q
C
A
P Q 2 cm/s 解：设 x 秒后△PBQ 的面积为35 cm2 ，
则有 PB = x，BQ = 2x 。 1 由题意得， x 2 x 35 2
1 cm/s B
C
x 2 35
x 35
PQ PB 2 BQ 2 x 2 4 x 2 5 x 2 5 35 5 7
解： 原式
a 2 a 1 a 3
2
3 a 1 a2 1 a
a2
a 1 a 3
3 a 1 a2 1 a
∵ 3－ a ≥ 0
a≤3
1－ a > 0 ∴ a － 2 ≤－ 1 a － 1≤ 0 a － 3≤ － 2
a < 1
a < 1
9 5 2 5 5
(9 2 1) 5
6 5
知识要点
二次根式加减时，可以先将二 次根式化成最简二次根式，• 再将被 开方数相同的二次根式进行合并。
抢答
3 2 5
下列算法正确吗？
a
a
× b a b × b a b ×
a a b a (a b) a
1 1 3a 3 2 2a
分析 这两块正方形木板的边长分别为 8、18。
8
18
8 5，18 5
∴ 木板够宽。
5 dm
8
18
那么木板够长吗？
7.5 dm
8
18
5 dm ？ 这两块正方形边长的和为（ 8 18） < 7.5
8 18 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
（2 3） 2 （分配律） 5 2 5 2 7.5
2ab b 6b
2 3
2
2
b (2a b 6) b
2a b 6
则
3a b
4a 3b 与 b 2a b 6
a=1
是同类二次根式。
3a－ b = 2
4a＋ 3b = 2 a－ b＋ 6
b=1
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
知识链接
计算
（1） 2 x 3x 5 x
（2） 2 x 3x 5x 4 x
2 2 2
2
（3） x 2 x 3 y
（4） 3a 2a a
2 2 3
3x 3 y
a a
2
3
以上，是我们以前所学的整式加减—— 同类项合并。同类项合并就是字母不变，系 数相加减。
2 2 3 2 2 7
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式;
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2).
7 7
2 3
6 3
题组训练
1. 说出2 2x 的三个同类二次根式。
2a x
2
2y x
a b。
（2）出现和、差形式的：如 a b 的有理化因式为
随堂练习
1. 计算。
（） 1 （2） （3） （4）
6 10 80 40 5 4 2 2 5 3 5 2 11 5 5 a b 3 a b 3a 2 ab b
对比
9 5 2 5 5 9x 2x x
(9 2 1) 5
6 5
在有理数 二次根式的加减 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立。
(9 2 1) x
6x
整式的加减
自主合作:
实际问题
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能 否在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2 和18 dm2 的正方形木板？
原式
a － 2 ≤－ 1 a － 1≤ 0 a － 3≤ － 2
a2
a 1 a 3
3 a 1 a2 1 a
2a 3 a 1 1 a 3 a a 2 1 a
a2 1 1 1 a a 2 1 a
1 1 1 a 1 a
2 a 2 ab b a b （ a b） （ a b） （ a b） 2 2 a b a b （ a b） （ a b） （ a） （ b）
有理化因式
辨别是否互为有理化因式
3 2 3 与 3 2 3
√
a 1 与
a 1
a b 与
a 1 与
√
×
a a 0
例题
（ 1） 4
计算
5 2 5 5
4 2 1 5
3 5
注意
（1）如果几个二次根式的被开方数相同， 那么可以直接根据分配律进行加减运算。
（ 2）
12 20
3 5
交换律在 二次根式运算 中仍然成立。
2 32 5 3 5 2 3 32 5 5
a 20
b 5
c 9 5 20 5
二次根式 的加减法，该 如何运算？
自主探究:
我们可以这样来计算
？
a 20
c 9 5 20 5
b 5
9 5 2 5 5（化成最简二次根式）
(9 2 1) 5 （分配律）
6 5
二次根式 的加减类似于 什么运算？
课堂小结
1. 同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式。
2. 二次根式加减运算的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式。 （2）找出其中的同类二次根式。
一化
二找
（3）合并同类二次根式。
三合并
3. 有理化因式：
（1）单独一项
a 的有理化因式就是它本身 a。
回顾
怎样化简？
如果分母是二次根式，采用分子、分母 同乘以分母的的方法进行化简。 （依据分式的基本性质）
3 2 2 、 a b 3 2 2 a b
如果分母是含二 次根式的两个因式的 和或差，怎样化简？
1 a b 、 3 2 2 a b
(a b)(a b) a b
2
2
分母乘以什 么样的式子，就 能将分母的根号 去掉？
知识链接
部分运算律
加法交换律：a + b = b + a 乘法交换律：a × b = b × a
加法结合律：a + b + c = (a + b )+c= a + (b +c) 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 左分配律：c · (a + b ) = (c · a) + (c · b) 右分配律：(a + b) · c = (a · c ) + (b · c)
4. 两个圆的的圆心相同，它们的面积 分别是 12.56 cm2 和 25.12 cm2 ，求圆环的 宽度 d（π取 3.14，精确到 0.01 cm）。 解： 设大圆半径为 R，小圆半径为 r ， 则宽度d = R－r 。
R
r
d
由圆面积公式 S =πR2 ，
12.56 r 42 d R r 2 2 2 2 1.414cm
3 3 5
注意
（2）如果所给的二次根式不是最简二 次根式，应该先化简，再进行加减运算。
二次根式加减运算的步骤
（1）将每个二次根式化为最简二次根式。 （2）找出其中的同类二次根式。 （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并