降落伞安全性问题

论文题目：降落伞在下降过程中安全性问题分析摘要
本案例研究的是降落伞在下降过程中的安全性问题。

目的是建立降落伞下降过程的动力学模型，找出影响降落伞安全性的因素，并定性定量的分析这些因素与降落伞安全性之间的关系。

在实际中，跳伞是一个多阶段运动过程，主要包括人员出舱，引导伞打开，主伞打开，稳定下落着陆等阶段。

对于整个跳伞过程，我们以阻滞平抛的基本物理模型为基础，并对人伞系统的不同阶段建立了描述系统状态的微分方程。

模型一是依据理想情况而建立的基础模型，将运动过程归结为一个初速度为零，只受重力和空气阻力的竖直下落过程；模型二，考虑到人具有出舱速度，因此以阻滞平抛为模型基础，而且对充气过程做了简化处理，即认为充气瞬间完成，伞面完全展开；模型三中，考虑到实际中更多的降落伞采用二次充气的展开方式，对充气过程做了精确化处理。

在各模型的基础上，我们运用matlab对各个模型进行了仿真数据模拟，采用控制变量法，分析研究了各种与安全性相关的因素，并将它们的定量关系绘于图中，一目了然。

对于非线性的微分方程，应用龙格-库塔法求解微分方程。

最后，对于之前提出的各种安全条件进行了可行性分析和评价，并提出模型改进的方向。

关键词：多阶段运动过程阻滞平抛微分方程二次充气模型龙格-库塔法matlaB仿真数据模拟
一、问题重述研究背景，降落伞广泛应用于航空航天事业，军队作战任务，同时也是许多人喜爱的一项极限运动。

因此，降落伞性能的好坏直接关系到跳伞人员的安全，飞行设备的安全，对降落的性能提出了极高的要求，就有必要对降落伞的性能进行研究，抓住各种影响安全的因素，以减少人员伤亡以及重大损失等。

在实际中，跳伞高度一般在1000至5000米，而在保证安全跳伞高度的前提下，希望此距离尽量减少，以减少不确定因素对安全问题的影响。

出舱后，降落伞需要5至10秒才能打开，为保证人员安全，落地速度不能超过5米每秒。

1、参照所给图像，人体和伞衣之间由四根弹性绳连接，从一定高度处降落。

忽略降落伞的重力，考虑人体的重力、伞的空气阻力(与受力面积成正比)，弹性绳的拉力。

各参数自拟，通过受力分析，进行合理假设，建立人体竖直方向的运动模型，并得到相应的运动方程。

2.通过该模型，讨论在不同参数下，对系统的运动情况进行分析。

3.考虑到人员的安全性，分析该系统在何种条件下可以让人员安全降落。

4.对于你所提出的安全条件进行可行性分析和评价。

二、问题的分析为了探讨安全性，我们就得研究与其相关的因素。

一般来说，我们会认为降落伞安全性可能与落地速度，跳伞高度，人员质量，下降时间，伞面积，伞绳性能有关。

由于影响因素诸多，我们首先建立理想条件下的竖直方向的运动模型一，但是考虑到实际中人员下降会有初速度，所以我们又以阻滞运动为基础建立模型二，为了更为贴切实际我们考虑到降落伞的两次充气过程，于是建立了降落伞下降的二次充气模型三并基于此模型在不同参数下对系统运动进行了分析，而且用计算机实现仿真数据模拟，得到有关降落伞性能方面和安全条件的降落伞面积，最佳收口比，伞绳最大承载力等。

三、符号说明与基本假设
1、符号说明
H为下落高度
V为人员出舱速度
S
伞降落伞的迎风投影面积S
人
跳伞人员的迎风投影面积（相对于S
伞
很小可忽略）
C
伞为伞的风阻系数（由降落伞伞的形状决定）C
人
为人的风阻系数可近似取1
V为人伞系统的速度θ为速度与水平方向的转角
t为时刻ρ为空气密度m为人的质量F为伞面所受空气阻力f为人所受的空气阻力T为伞绳的承载力2、基本假设
（1）忽略伞绳的重力，则伞面所受空气阻力等于伞绳的承载力，即F=T （2）忽略温度压强对空气密度的影响，即ρ为常数（3）假设人伞下落过程中始终保持轴对称状态
四. 模型的建立
模型一：
假设人出舱瞬间伞已经完全打开，不考虑人的出舱速度，则可得到一个理想化模型，即初速度为零的竖直下落运动，其间我们只考虑了物体重力（G=mg ）和伞面所受空气阻力（f=kSv ，k=1/2ρC 伞）
k 空气阻力系数 运动方程：
22()
d H t mg kSv dt m -= ()
()dH t V t dt =
初始条件：
(0)0H = 0()
0t dH t dt ==
得： 222222()kSt m m g
mgt m g
H t e k S kS k S
-=+-
()()kSt m dH t mg mg V t e dt kS kS -==-+ 当空气阻力和人的重力平衡时，有：
0m g kSv a m -== 可得： m g v kS
= 假设人得质量确定，则落地速度由s 决定
'm g
v v kS =≤ ∴ m g
S kv ≥
假设S 已确定，则落地速度与人的质量有关
'kSv
m g ≤
模型二
由于人出舱时具有一定的水平初速度，因此以阻滞平抛运动作为建立模型的基础更为合理。

并且，我们将充气过程做了很大程度的简化，即认为充气瞬间完成，伞面达到最大程度。

由牛顿第二定律，沿速度方向有：
m sin ()dv
g F f m dt θ-+= （1）
轨迹角方程：
cos d g dt v θ
θ=
（2） 其中 21/2F C S v ρ=伞伞，21/2f C S v ρ=人人，C 伞=1.4 ，C 人=1
模型三
在实际情况中，跳伞多采用二次充气的方式，以减少伞绳承载力，保证跳伞过程的安全，因此我们对二次重启过程进行了精确化处理，即与模型二的区别在于给出了降落伞不同阶段迎风投影面积的分段形式，数据如表格中所给：
S 伞在不同阶段的表示式
t 时刻
0t 5≤≤ 5t 5.5≤≤ 5.5t 15≤≤ 15t 15.5≤≤ 15t 20≤≤ S 伞 0 (5)0.5t kS -伞 kS 伞 (15)(1)0.5t kS S k -+-伞伞 S 伞
运动方程与模型二中完全相同，如下：
由牛顿第二定律，沿速度方向有：
m sin ()dv
g F f m dt θ-+= （1）
轨迹角方程：
cos d g dt v θ
θ=
（2） 其中 21/2F C S v ρ=伞伞，2
1
/2f C S v ρ=人人，C 伞=1.4 ，C 人=1
给定条件，跳伞人员从高度h=1000处下落，出舱速度为v=100m/s,要求着陆速度不大于5m/s ，则甲、乙、丙三人的质量如图表所示，求得最小伞面积、最大伞绳承载力如图表1所示：
跳伞人员
/m kg 2/S m m ax T 甲
70 30
从图中可以得出的结论是，在t=5s 时，降落伞打开，伞绳承载力突然增大，反向加速度突然增大，水平速度迅速减为零，很快进入竖直下落的稳定状态。

因此，在这个开伞时刻出现了伞绳承载力的峰值
同样地，给定条件，跳伞人员从高度h=1000处下落，出舱速度为v=100m/s,要求着陆速度不大于5m/s ，则甲、乙、丙三人的质量如图表所示，求得最小伞面积、最佳收口比和两次伞绳承载力峰值如图表1所示： 跳伞人员
/m
kg
2/S m k m ax 1/T N m ax 2/T N 甲
70 30 0.0338
甲的速度、高度、水平位移、承载力在0-20s 之间的变化情况
由以上分析可知，影响着安全的主要因素是着陆速度和伞的最大承载力。

一方面，着陆速度主要由伞的面积和人得质量决定；另一方面，伞的最大承载力由弹性绳本身的性能决定，不得小于跳伞过程中所出现的伞绳承载力的峰值，而跳伞过程中所出现的伞绳承载力的峰值可以通过对最佳收口比的调节达到一个较理想的值。

由此我们可以的得出影响跳伞安全的主要因素有：最小伞面积、人质量、伞绳承载力和最佳收口比。

（1） 最小伞面积S
足够大的伞面积能保证装备安全落地，但是增加了制造成本和维护难度，因此在保证安全的前提下伞面积应尽量小。

考虑到降落伞着陆之前已达稳定降落的状态，则有关系式：
21/2mg C S v ρ=伞伞 可得：
22m g S C v
ρ=伞伞
（2）伞绳承载力T 的峰值
在伞开始充气后，装备受到重力mg 、空气阻力f 和伞绳承载力T 的共同作用而减速，根据受力分析，并且注意到T 、f 和a 的方向为速度的反方向，有：
sin T f mg ma θ+-=
则伞绳的承载力为：
sin T ma mg f θ=+-
（3）最佳收口比k
伞绳承载力的2 个峰值大小与收口比有关。

收口比的改变会造成2 个峰值此消彼长的变化。

从降落伞的设计角度考虑，应使2 个峰值都尽量小，并且两者的差也应该尽量的小。

计算表明，通过调节收口比，可以使得两个峰值彼此相当，因此我们通过搜索不同的收口比，计算对应的m ax 1T 和max 2T ，则对应{}{}max 1max 2min max ,T T 的收口比，就是最理想的收口比
（4）人的质量
随着人的质量的增加，为了提供更大的空气阻力，伞面积需要增大
五、模型的改进方向
1、在实际情况中，随着高度的改变，空气密度并不是一个常量，而是随高度变化的，受到温度、压强等因素的影响，因此应对空气密度ρ的值做一定的修正，经查阅相关资料得如下计算公式：
4.2600(1)h D h T ρρ=-
其中30 1.293/kg m ρ=，0273T K =，=0.0065K /M D
当h=0时，31.293/h kg m ρ=
当h=1000时，31.167/h kg m ρ=
可见，随着下降高度的不同，空气密度是有变化的，所以之前建立的模型当中把空气密度当做常量的假设具有一定的误差，为了与
实际更加符合，在改进模型时应将此因素考虑进去。

（2）风阻系数C 伞和C 人也不是一个定值，它们会随降落伞形状的改变而改变，随着下落时间和高度的不同，风阻系数随降落伞形
状的改变而改变。

（3）在实际情况中，我们需考虑不确定的气象因素对模型的影响，在之前的模型中，我们假设大气是不运动的，忽略了风向对人伞模型的影响，因此，在改进模型中，应设法把此不确定的因素考虑进去，具体地，可以用随机函数模拟风向的不确定性。