线性代数 行列式

第一章 行列式

1. 排列与逆序数

(1)排列

把n 个不同的元素排成一列， 就叫作这n 个元素的全排列，简称排列。 比如231645就是这6个元素的一个排列.

注：不同的n 级排列共有n!个。 (2)逆序、逆序数、对换 ①在一个n 级排列n j j 1中，若一对数t s j j ,，大前小后，即t s j j >，则t s j j ,构成了一个逆序。一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为)(1n j j τ。如231645的逆序数为4，记作τ(231645)=4，τ(123) =0。

②排列n j j 1中，交换任两个数的位置，其余不变,则称对排列做了一次对换。 ③逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。

注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。

2. n 阶行列式的定义

行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则

n

i i i i i nj j j j j nn

n n n n n n ij n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D 1)

(1)

(21222121

2111121121)

1()

1()(ττ∑∑-=-==

∆=⨯

计算步骤;

(1)取数相乘，来自不同行不同列

(2)冠以符号，)(21)1(n j j j τ-

(3)全部相加，n n nj j j j j n a a 1211)

(!

)

1(τ∑-、

注：(1)当n=1时，定义11111a a D ==

(2)n D 是一个数值，是n!项的代数和

(3)nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的nn a a a ,,,2211 称为主对

角元。另一条对角线称为行列式的副对角线。

3. 行列式的性质

(1) 转置：行列式行与列互换，行列式的值不变（互换后的行列式叫做行列式的转置）

nn

n n n n

nn

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2

1

22221112

11212221212111=

(2) 交换（反对称性质）：行列式的两行(或列)对换，行列式的值变号。

nn

n n in

jn

i j i j n

nn

n n jn in j i j i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

212

211112

1121

221111211-= 注：行列式中两行对应的元素全部相等，则其值为0。

(3) 倍乘：行列式中某行(或列)有公因子k(k ≠0)，可把k 提到行列式的外面。或者说，行列式中某行(或列)元素都乘以k(k ≠0)，则等于行列式的值也乘以k 。

nn

in n

n i n i nn in n n i n i a a a a a a a a a k a ka a a ka a a ka a

1221211

11

12

2121

111= 注：某行元素全为0的行列式值为0。

(4) 拆分：若行列式某行(或列)的元素皆为两数之和，则其可拆分为两个行列式之和。

nn

in n

n i n i nn in n n i n i nn in in n n i i n i i a b a a b a a b a a a a a a a a a a a b a a a b a a a b a a

1221211111221211

11

12

2

2121

1111+=+++ 注：

2

12

12121212121212212

2122122122112211d d b b c d a b d c b a c c a a d c d b a b d c c b a a d c d c b a b a +

++=

+++

++=++++

(5) 倍加：在行列式中，某行(或列)各元素分别乘非零参数k ，再加到另一行(或列)的对应元素上,行列式的值不变。

nn

n n jn

i in

j i i j i i n nn n n jn in j i j i n a a a a ka a a ka a a ka a a a a a a a a a a a a a a a a

21

2222

111112

1121221111211+++= 注： 行列式中两行对应元素成比例，其值为0。

4. 展开定理

(1) 余子式与代数余子式

ij j i ij M A +-=)1(其中ij M 是D 中去掉ij a 所在的第i 行第j 列全部元素后，按原顺序排成的n- 1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式。

注:①余子式和代数余子式都是比原行列式低一阶的行列式，其值只与ij a 的位置有关，而与ij a 的取值无关。

②ij ij A M ,最多差一个符号。

(2)行列式的展开定理

Th 行列式某一行(或列)的元素乘以该行(或列)对应元素的代数余子式之和等于行列式的值；行列式某一行(或列)的元素乘以另一行(或列)对应元素的代数余子式之和等0。

⎩

⎨⎧≠==++++++j i j

i A A a A a A ora A a A a A a nj ni j i j i jn in j i j i ,0,22112211

即E A A A AA ==**，其中A 的伴随

nn

n n

n n A A A A A A A A A A

212

2212

1

2111

*

=

注：(1) 运用展开定理降阶时，一般先用性质化某行（或列）只剩下一两个非零元。

(2) in n i i n A k A k A k k k k +++=

221121

5. 特殊的行列式

(1) 关于主对角线

∏===

=

=

n i ii nn

nn n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 1

22

1121221211

2221

21

11

0000000

00

(2) 关于副对角线

112)

1(1

1

,212

121,211

1,221

11211

)1(0

000

0n n n n n n n

nn

n n n n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a a a a a a D

-----====

(3) 范德蒙行列式