线性代数 行列式
线性代数1.2行列式的性质
如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
线性代数行列式基本概念
目录一、行列式1二、矩阵特征值1三、正定矩阵2四、幺模矩阵3五、顺序主子阵4六、正定二次型6七、矩阵的秩6八、初等变换〔elementary transformation〕7一、行列式见ppt。
二、矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，那么称m 是A的一个特征值〔characteristic value)或本征值〔eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于〔对应于〕特征值m 的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。
|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，那么|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 那么矩阵A的特征值m 一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。
三、正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵)，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵〔或厄米矩阵〕也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的。
非奇异矩阵的定义：假设n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，那么称A为非奇异矩2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
线性代数-行列式(完整版)
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶
性20 ，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.
||
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 一 半, 各 为n! . 2
32
例２
2
3
设 D
,
31
(1)当 为何值时， D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解 2 3 0 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 称为三阶行列式. a31 a32 a33
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1a2 j2 anjn 并冠以符号 (1)N ( j1 j2 jn ) 的项的和.
((决ii)i)定行a1每j标1a一2按j2项自的然an符j顺n 是号序取；排自列不，同列行标、排不列同的列奇的偶n性个元N(素j1的j2 乘j积n ) ； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
线性代数：矩阵行列式
线性代数：矩阵⾏列式1、矩阵的⾏列式定义矩阵的⾏列式，determinate，是基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的⾏列式假设矩阵A为n维的⽅阵，定义Aij为从A中删除第i⾏、第j列之后剩下的n-1维⽅阵。
可以沿着A的第⼀⾏来求取⾏列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是⼀个递归的定义，包含n项，每⼀项的正负号等于（-1)的(i+j)次⽅。
实际上可以对A的任意⼀⾏、任意⼀列按上⾯的⽅法来求取⾏列式，可以挑选包含0⽐较多得⾏(列)。
3、矩阵标量乘法的⾏列式当矩阵的某⼀⾏（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次⽅ * det(A)。
4、矩阵⾏列式的⼀些规律1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)2)如果矩阵A有两⾏（列）相等则，det(A) = 03)如果矩阵A将两⾏交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)4)如果矩阵A进⾏⾏变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过⾏变换达到3)的效果，这个过程中会发⽣-1数乘某⾏。
5、上三⾓矩阵的⾏列式所谓上三⾓矩阵，就是对⾓线以下的位置全部为零（aij=0 if i>j）；上三⾓矩阵的⾏列式等于 a11*a22*...*ann；基于这个特性，可以通过⾏变换，把矩阵转换为上三⾓矩阵，再求⾏列式。
6、⾏列式与平⾏四边形⾯积两个⼆维向量v1，v2，可以作为平⾏四边形的临边来定义⼀个平⾏四边形。
两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平⾏四边形的⾯积 = det(A)的绝对值。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
线性代数行列式
行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。
在行列式中，ij a 也称为元素。
为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。
定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。
()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。
例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。
而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。
定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。
n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。
用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。
上式称为行列式按第i 行展开。
可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。
例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。
解 按第1行展开。
因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
线性代数-行列式(完整版)
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
线性代数 行列式
a11 a21 ⋯ an1
det AT=
a11 a12 ⋯ a1n = a21 a22 ⋯ a2 n ..................... an1 an 2 ⋯ ann
= det A
a12 a22 ⋯ an 2 ..................... a1n a2 n ⋯ ann
据此推论可知， 据此推论可知，对行列式的 “行” 成立的一般 性质， 性质，对 “列” 也成立.
例如 值为零. a11
a12 ⋯ a1n ka12 ⋯ ka1n an 2 ⋯ ann = 0.
a23 = k a21 a22
ka11 an1
....................
推论 3 对 n 阶 矩阵 A 有 det kA = ( k ) det A
n
定理 4 若将 detA的某一列 (或行) ai 写成两个向
1+ 2
a 23 a 33
1+ 3
+ a 12 (− 1 )
a 21 a 31
a 23 a 33
+ a13 (− 1)
a 21 a 31
a 22 a 32
1+ 2
= a11 ( a22 a33 − a23a32 ) − a12 ( a21a33 − a23 a31 ) + a13 ( a21a32 − a22 a31 )
第三章
主要内容
行 列 式
行列式是个有用的工具， 行列式是个有用的工具，利用行列式不仅可 表述 n 阶矩阵为非退化阵的条件； 阶矩阵为非退化阵的条件；而且可导出逆 阵公式以及著名的克拉默 ( Cramer ) 法则等； 法则等；今 后还将用以定义许多重要的概念 . 本章用展开方 式定义 n 阶行列式的概念， 阶行列式的概念，介绍常用的性质、 介绍常用的性质、计 算方法并较为集中地概述它的一些应用.
线性代数行列式的概念和性质
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
线性代数-行列式
例2 计算行列式 2 2
解
1 2 2
1
2 4 1
3 4 2
按对角线法则，有
2 4
1 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 3 4 2
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
a12 a22 b1
a21 b2
D2 x2 D
例1 计算下列行列式： （1） 3 2 3 1 (2) 2 7 2 1 （2）
a b c d
ad bc
三阶行列式
三阶行列式定义为
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32
Pn n· (n 1)3· 2· 1 n ！ n 2.逆序数： t t1 t 2 t n ti
i 1 奇排列：逆序数为奇数 偶排列：逆序数为偶数 二、对换 定理1：一个排列中任意两个元素对换，排列改变 奇偶性 推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数
1 2 3
（2） 正负号与列标排列的性质相关：偶排列为正， 奇排列为负
三阶行列式可写为：
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 (1) t a1 p1 a2 p2 a3 p3 a33
依次类推，可得到n阶行列式的定义
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n (1) t a1 p1 a2 p2 anpn an 2 ann
大学线性代数行列式的定义
1
c3
3
1
对于行列式来说，最为重要的是它代表一个数，这个 数称为行列式的值，行列式代表数（行列式的值）怎样规定 为此需要引入余子式、代数余子式的概念。
定义2: 把 aij 所在的第i行和第j列划去后，留下的n-1
阶行列式, 称为 aij 的余子式, 记为 M ij . 记
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
一 n 阶行列式
定义1: n n 个数排成n行n列并记为如下形式
a11 a12 L a1n
D
a21 M
a22 L M
a2n M
an1 an2 ann 称其为n阶行列式（determinant)。
通常用大写字母D来表示行列式。
a11 a12 L a1n n阶行列式 D a21 a22 L a2n
问题是什么时候加或减？需要以下概念。
1排列与逆序数
通常把1, 2, …,n组成的一个有序数组称为一个排列， 每一个数在排列中仅出现一次.
在一个排列中，如果有一对数的前后位置是大数排在 小数之前，则称这一对数构成一个逆序,一个排列中逆序的 总数，称为该排列的逆序数， 记为
( j1 j2 jn )
a33
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 每一条虚线上的三个元素的乘积带负号, 所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式.
a11 a12 L 一般的 a21 a22 L
MM an1 an2 L
a1n
a2n M
a11 A11 a12 A12 L
a1n A1n
ann
依次展开其结果是：取自不同行不同列的元素（n个）作 积后，这样的积共n ！个（因有n ！取法）然后作加或减。
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第一章 行列式
1. 排列与逆序数
(1)排列
把n 个不同的元素排成一列， 就叫作这n 个元素的全排列，简称排列。
比如231645就是这6个元素的一个排列.
注：不同的n 级排列共有n!个。
(2)逆序、逆序数、对换 ①在一个n 级排列n j j 1中，若一对数t s j j ,，大前小后，即t s j j >，则t s j j ,构成了一个逆序。
一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为)(1n j j τ。
如231645的逆序数为4，记作τ(231645)=4，τ(123) =0。
②排列n j j 1中，交换任两个数的位置，其余不变,则称对排列做了一次对换。
③逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。
注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。
2. n 阶行列式的定义
行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则
n
i i i i i nj j j j j nn
n n n n n n ij n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D 1)
(1)
(21222121
2111121121)
1()
1()(ττ∑∑-=-==
∆=⨯
计算步骤;
(1)取数相乘，来自不同行不同列
(2)冠以符号，)(21)1(n j j j τ-
(3)全部相加，n n nj j j j j n a a 1211)
(!
)
1(τ∑-、
注：(1)当n=1时，定义11111a a D ==
(2)n D 是一个数值，是n!项的代数和
(3)nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的nn a a a ,,,2211 称为主对
角元。
另一条对角线称为行列式的副对角线。
3. 行列式的性质
(1) 转置：行列式行与列互换，行列式的值不变（互换后的行列式叫做行列式的转置）
nn
n n n n
nn
n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2
1
22221112
11212221212111=
(2) 交换（反对称性质）：行列式的两行(或列)对换，行列式的值变号。
nn
n n in
jn
i j i j n
nn
n n jn in j i j i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
212
211112
1121
221111211-= 注：行列式中两行对应的元素全部相等，则其值为0。
(3) 倍乘：行列式中某行(或列)有公因子k(k ≠0)，可把k 提到行列式的外面。
或者说，行列式中某行(或列)元素都乘以k(k ≠0)，则等于行列式的值也乘以k 。
nn
in n
n i n i nn in n n i n i a a a a a a a a a k a ka a a ka a a ka a
1221211
11
12
2121
111= 注：某行元素全为0的行列式值为0。
(4) 拆分：若行列式某行(或列)的元素皆为两数之和，则其可拆分为两个行列式之和。
nn
in n
n i n i nn in n n i n i nn in in n n i i n i i a b a a b a a b a a a a a a a a a a a b a a a b a a a b a a
1221211111221211
11
12
2
2121
1111+=+++ 注：
2
12
12121212121212212
2122122122112211d d b b c d a b d c b a c c a a d c d b a b d c c b a a d c d c b a b a +
++=
+++
++=++++
(5) 倍加：在行列式中，某行(或列)各元素分别乘非零参数k ，再加到另一行(或列)的对应元素上,行列式的值不变。
nn
n n jn
i in
j i i j i i n nn n n jn in j i j i n a a a a ka a a ka a a ka a a a a a a a a a a a a a a a a
21
2222
111112
1121221111211+++= 注： 行列式中两行对应元素成比例，其值为0。
4. 展开定理
(1) 余子式与代数余子式
ij j i ij M A +-=)1(其中ij M 是D 中去掉ij a 所在的第i 行第j 列全部元素后，按原顺序排成的n- 1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式。
注:①余子式和代数余子式都是比原行列式低一阶的行列式，其值只与ij a 的位置有关，而与ij a 的取值无关。
②ij ij A M ,最多差一个符号。
(2)行列式的展开定理
Th 行列式某一行(或列)的元素乘以该行(或列)对应元素的代数余子式之和等于行列式的值；行列式某一行(或列)的元素乘以另一行(或列)对应元素的代数余子式之和等0。
⎩
⎨⎧≠==++++++j i j
i A A a A a A ora A a A a A a nj ni j i j i jn in j i j i ,0,22112211
即E A A A AA ==**，其中A 的伴随
nn
n n
n n A A A A A A A A A A
212
2212
1
2111
*
=
注：(1) 运用展开定理降阶时，一般先用性质化某行（或列）只剩下一两个非零元。
(2) in n i i n A k A k A k k k k +++=
221121
5. 特殊的行列式
(1) 关于主对角线
∏===
=
=
n i ii nn
nn n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 1
22
1121221211
2221
21
11
0000000
00
(2) 关于副对角线
112)
1(1
1
,212
121,211
1,221
11211
)1(0
000
0n n n n n n n
nn
n n n n n
n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a a D
-----====
(3) 范德蒙行列式
∏≤<≤----------=------==n
i j j i n n n n n n
n n n
n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 11223113121
1
322331
2
1
1222121
1
13
1
2
1122322
2
1321)()()()()())((11111
111
(4) 分块行列式
n m mn n
m
n
m n
m n m n
m
n m
n m
B A C
B A O O B A
C O B A O B A B O C
A B C O A B O O A )1(-======
6. 抽象方阵的行列式
A,B 为n 阶方阵，k 为任意数，则
(1) A A T = (2) A k kA n = (3) B A AB = (4) 1
*-=n A
A
(5) A 可逆，则1
1--=A A
(6) A 可逆 n A r A =⇔≠⇔)(0 ；A 不可逆 n A r A <⇔=⇔)(0 (7) ∏==n
i i A 1λ
(8) 若A,B 相似，则B A =
7. 克莱姆法则
n 个未知数n 个方程的非齐次线性方程组（系数矩阵为方阵）⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********，若
系数行列式不为0，即021222121
21
11
≠=
nn
n
n n n n a a a a a a a a a D
，则非齐次线性方程组有唯一解
n j D
D x j j ,,2,1, ==。
其中nn
j n n
j n n n j j n j j j a a b a a a a b a a a a b a a D
1
,1,1
21,221,22111,11
1,111+-+-+-=。