数值分析5
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版第5章习题答案
.精品精品第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0k kka = 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkk a ≠，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。
最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，因此高斯消去法需要选主元，因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计以保证计算的进行和计算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
可以不用选择主元。
可以不用选择主元。
计算时一般选计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U ，一个为下三角矩阵L 。
用LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A 需要满足的条件是，顺序主子式（需要满足的条件是，顺序主子式（1,21,21,2，…，，…，，…，n-1n-1n-1）不为零。
）不为零。
3、楚列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU 分解的一种，当限定下三角矩阵L 的对角元素为正时，的对角元素为正时，楚列斯基分解具楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
数值分析第5章习题
1. 过点),(),...,,(),,(551100y x y x y x 的插值多项式P(x)是（）次的多项式 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 考查知识点：插值多项式的基本概念 答案：B2. 通过点),(),,(1100y x y x 的拉格朗日插值基函数)(),(10x l x l 满足（） A. 0)(,0)(1100==x l x l B. 1)(,0)(1100==x l x l C. 0)(,1)(1100==x l x l D. 1)(,1)(1100==x l x l 考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质 答案：D3. 设)(x L 和)(x N 分别是)(x f 满足同一插值条件的n 次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别是)(x r 和)(x e ，则（B.） 考查知识点：插值多项式的存在唯一性 A.)()(),()(x e x r x N x L =≠B.)()(),()(x e x r x N x L ==C.)()(),()(x e x r x N x L ≠=D.)()(),()(x e x r x N x L ≠≠解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。
4. =∇+∆k k y y _______ 考查知识点：差分的概念 答案：11-+-k k y y5. ]2,,2,2[]2,,2,2[,13)(817147f f x x x x f 和则+++=为 与[][]!80!8)(22221!7!7!7)(222)8(8710)7(710===⋯⋯===⋯⋯ξξf f f f ，，，，，，，根据差商和导数关系6. 的二次插值多项式为则时当)(4,3,0)(2,1,1x f ，x ，f x -=-= （拉格朗日插值） 解： 4,3,2,1,110210=-===-=y y x x x ，Lagrange 这里插值公式利用二次得,42=y)()()()(2211002x l y x l y x l y x L ++=3723653)1)(1(406)2)(1(32-+=-+⨯++--⨯-=x x x x x x7. 设2)(x x f =，则)(x f 关于节点2,1,0210===x x x 的二阶向前差分为_2_。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e∗（x为准确值）：e∗=x∗−x近似值的误差限ε∗：|x∗−x |≤ε∗近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：e r∗=e∗x≈e∗x∗近似值相对误差限εr∗：εr∗=ε∗|x∗|函数值的误差限ε∗(f(x∗))：ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：ε∗=12×10m−n+1εr∗=ε∗|x∗|≤12a1×10−n+1第二章：插值法1.多项式插值P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1⋮a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值L n(x)=∑y k l k(x)nk=0=∑y kωk+1(x)(x−x k)ωn+1′(x k) nk=0n次插值基函数：l k(x)=(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n),k=0,1,⋯,n引入记号：ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)3.牛顿插值多项式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1]x n−x0余项：R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）：P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+⋯+t(t−1)⋯(t−n−1)n!∆n f0n阶差分：∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项：R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1(n+1)!f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n)5.泰勒插值多项式：P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nn阶重节点的均差：f[x0,x0,⋯,x0]=1n!f(n)(x0)6.埃尔米特三次插值：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为：P′(x1)=f′(x1)7.分段线性插值：Iℎ(x)=x−x k+1x k−x k+1f k+x−x kx k+1−x kf k+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：S(x)=∑a jφjnj=02.范数：‖x‖∞=max1≤i≤n |x i| and maxa≤i≤b|f(x)|‖x‖1=∑|x i|ni=1 and∫|f(x)|badx‖x‖2=(∑x i2ni=1)12 and (∫f2(x)badx)123.带权内积和带权正交：(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)mi=0 and ∫ρ(x)f(x)φk(x)badx(f(x),g(x))=∫ρ(x) f(x)g(x)dxba=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（∞-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖∞=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖∞最佳平方（2-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖22=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖22最小二乘拟合（离散点）P∗(x)：‖f−P∗‖22=minP∈Φ‖f−P∗‖225.正交多项式递推关系：φn+1(x)=(x−αn)φn(x)−βnφn−1(x)φ0(x)=1,φ−1(x)=0αn=(xφn(x),φn(x))(φn(x),φn(x)),βn=(φn(x),φn(x))(φn−1(x),φn−1(x))6.勒让德多项式：正交性：∫P n(x)P m(x)dx 1−1={0 ,m≠n22n+1, m=n奇偶性：P n(−x)=(−1)n P n(x)递推关系：(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )−nP n−1(x)7．切比雪夫多项式：递推关系：T n+1(x )=2xT n (x )−T n−1(x )正交性：∫n m √1−x 21−1=∫cos nθcos mθπdx ={0 , m ≠n π2 , m =n ≠0π , m =n =0T n (x )在[−1，1]上有n 个零点：x k =cos2k −12nπ,k =1,⋯,n T n+1(x )在[a,b ]上有n +1个零点：（最优一致逼近）x k =b −a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a2,k =0,1,⋯,n 首项x n 的系数：2n−18.最佳平方逼近：‖f (x )−S ∗(x)‖22=min S(x)∈φ‖f (x )−S(x)‖22=min S(x)∈φ∫ρ(x)[f (x )−S (x )]2dx ba法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交函数族的最佳平方逼近：a k ∗=(f,φk )(φk ,φk )9.最小二乘法：‖δ‖22=min S(x)∈φ∑ω(x i )[S (x i )−y i ]2mi=0法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交多项式的最小二乘拟合:a k∗=(f,P k )(P k ,P k )第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有m 次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立∫f(x)dx b a=∑A k f(x k )nk=02.插值型求积公式I n =∫L n (x)dx b a=∑∫l k (x)dx baf(x k )nk=0=∑A k f(x k )nk=0R [f ]=∫[f (x )− L n (x)]dx ba =∫R n (x)dx ba =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x)dx ba3.求积公式代数精度为m 时的余项R [f ]=∫f (x )dx ba −∑A k f (x k )nk=0=1(m +1)![∫x m+1dx ba−∑A k x k m+1nk=0]4.牛顿-柯特斯公式：将[a,b ]划分为n 等份构造出插值型求积公式I n =(b −a)∑C k (n)f(x k )nk=05.梯形公式：当n=1时，C 0(1)=C 1(1)=12T =b −a 2[f (a )+f(b)],R n (f )=−b −a12(b −a )2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0(2)=16,C 1(2)=46,C 2(2)=16S =b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f(b)],R n (f )=−b −a 180(b −a 2)4f (4)(η) 7.复合求积公式：ℎ=b−a n,x k =a +kℎ,x k+1/2=x k +ℎ2复合梯形公式：T n =ℎ2[f (a )+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 12ℎ2f ′′(η)复合辛普森公式：S n =ℎ6[f (a )+4∑f(x k+1/2)n−1k=0+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 180(ℎ2)4f (4)(η)8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：（1）求高斯点（x k ）：令 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )与任何次数不超过n 的多项式p(x)带权ρ(x)正交，即则∫p(x)ωn+1(x )ρ(x)dx ba =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1⋯x n 。
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
数值分析第5版
数值分析第5版简介数值分析是研究利用计算机进行数值计算的一门学科。
它包括了近似计算、数值解法、误差分析等内容，广泛应用于科学计算、工程计算以及其他领域。
《数值分析第5版》是数值分析领域的经典教材，由Richard L. Burden和J. Douglas Faires共同撰写。
内容概述本教材共分为12个章节，从基础概念开始，逐步介绍各种数值计算方法和技术。
以下是每个章节的简要介绍。
第1章：导论本章介绍了数值分析的基本概念和应用领域。
阐述了数值计算的重要性，并介绍了课程所涉及的主要内容和学习方法。
第2章：误差分析本章讲解了数值计算中的误差类型和误差分析方法。
包括绝对误差和相对误差的定义与计算、舍入误差、截断误差等。
第3章：插值与多项式逼近本章介绍了数值计算中的插值和多项式逼近方法。
包括拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
讲解了这些方法的原理和实现过程。
第4章：数值积分与数值微分本章讲解了数值计算中的数值积分和数值微分方法。
包括梯形法则、辛普森法则、数值微分的定义和计算过程。
第5章：非线性方程的数值解本章介绍了求解非线性方程的数值解法。
包括二分法、牛顿法、割线法等。
讲解了这些方法的原理和应用。
第6章：线性代数方程组的数值解法本章讲解了求解线性代数方程组的数值解法。
包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
详细讲解了这些方法的原理和计算过程。
第7章：矩阵特征值问题本章介绍了求解矩阵特征值问题的数值解法。
包括幂法、反幂法、QR方法等。
讲解了这些方法的原理和实现过程。
第8章：常微分方程的数值解本章介绍了求解常微分方程的数值解法。
包括欧拉法、龙格-库塔法、多步法等。
讲解了这些方法的原理和应用。
第9章：偏微分方程的数值解本章讲解了求解偏微分方程的数值解法。
包括有限差分法、有限元法等。
详细讲解了这些方法的原理和实现过程。
第10章：函数逼近与数据拟合本章介绍了函数逼近和数据拟合的方法。
包括最小二乘法、曲线拟合等。
数值分析5LU分解法
数值分析5LU分解法LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于解线性方程组。
本文将详细介绍LU分解法的原理、算法步骤、优缺点以及应用领域，以期能够全面地掌握这一方法。
一、LU分解法原理LU分解法是将一个方程组的系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积的形式，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，通过分解可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的基本思想是将原始方程组Ax=b分解为Ly=b和Ux=y两个方程组，其中L和U是通过A分解得到的矩阵。
二、算法步骤1.首先，将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U。
L是下三角矩阵，主对角线元素均为1，而U是上三角矩阵。
2.然后，将原始方程组Ax=b转化为Ly=b，求解y的值。
3.最后，将解y代入Ux=y，求解x的值，即可得到方程组的解。
三、算法优缺点1.优点：LU分解法将原始方程组的系数矩阵分解为两个形式简单的矩阵，简化了方程组的求解过程。
对于重复使用系数矩阵A的情况，只需要进行一次LU分解，然后根据新的b值求解新方程组，提高了计算效率。
2.缺点：LU分解法需要进行矩阵分解计算，计算量较大，因此对于规模较大的方程组计算效率较低。
此外，当系数矩阵A存在奇异性或病态时，LU分解法可能会失败。
四、应用领域LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组方面。
例如，在工程领域中，常需要通过数值方法求解复杂的结构力学问题，此时可以使用LU分解法求解由有限元方法离散得到的大规模线性方程组。
另外，LU分解法还可以用于解非线性方程组、求逆矩阵、计算矩阵的行列式等。
总结：LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于求解线性方程组。
通过将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积形式，可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的优点是提高了方程组的求解效率，适用于重复使用系数矩阵A的情况。
然而，LU分解法也存在一定的缺点，如计算量较大、对奇异性和病态问题的处理较为困难。
LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，可以用于求解工程问题中的大规模线性方程组，解非线性方程组，求逆矩阵等。
《数值分析》第5讲：常微分方程数值解
1 2
y(3) ( xn )2 p2h3
o(h4 )
对照
y( xn1 )
yn
y'( xn )h
1 2
y''( xn )h2
第五章：常微分方程数值解
得
212 p2
1
1
可解得
yn1 yn h(1K1
K1 f ( xn , yn )
2
K
2
)
K
2
f ( xn p , yn
phK1 )
12
第五章：常微分方程数值解
§5.3 Lunge-Kutta方法
依据精度要求的待定系数法
x xn
x n p n1
1、二阶Lunge-Kutta方法（P114-P116)
令 xn p xn ph( xn, xn1), 0 p 1 yn1 yn h(1K1 2 K2 ) 加权平均斜率
K1 f ( xn , yn ) y(x) 在点 ( xn , 的yn斜) 率
例 P107
初值问题
y' y 2x / y
y(0)
1
0 x 1
补 充 ： 一 阶 线 性 方 程dy P( x) y Q( x)的 解
dx
常数变易法
y e p( x)dx
Q( x)e
p( x )dx
dx
C
非线性方程 dy P( x) y Q( x) yn Bernoulli型方程 dx
yn1 yn h(1K1 2 K 2 )
yn h[1 y'( xn ) 2 y'( xn p )]
yn
h1 y'( xn ) 2h
1 y'( xn ) 1
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
数值分析第五版
数值分析第五版1. 简介数值分析是一门研究如何用数值方法来求解数学问题的学科。
它主要关注数值计算方法的设计、分析和实现。
《数值分析第五版》是一本经典的数值分析教材，由Richard L. Burden 和J. Douglas Fres合著，已经出版了多个版本。
2. 内容概述《数值分析第五版》的内容主要涵盖以下几个方面：2.1 数值计算的基础•数值计算的误差与收敛性•计算舍入误差分析•稳定性与条件数2.2 数值线性代数•线性方程组与矩阵运算•泛函与内积空间•最小二乘问题•特征值与特征向量2.3 非线性方程求根•近似求解法•迭代法和收敛性•多项式插值2.4 数值微积分•数值积分•微分方程初值问题的数值解•边值问题与本征值问题2.5 优化问题•无约束优化•线性规划3. 主要特点《数值分析第五版》具有以下几个主要特点：3.1 理论与实践相结合本书在理论讲解的，也会介绍实际问题的求解方法，并通过具体的例子帮助读者理解和运用数值计算方法。
3.2 算法深入浅出书中详细介绍了各种数值计算方法的算法原理和实现细节，并提供了众多算法的伪代码和MATLAB代码。
3.3 常用数值工具的介绍本书介绍了常用的数值计算工具，如MATLAB、等，以及相应的数值计算库和函数。
3.4 实例与习题丰富书中包含了大量实例和习题，帮助读者巩固所学知识，并通过实践提高数值计算的能力。
4. 资源推荐除了《数值分析第五版》这本教材外，还有一些相关的推荐资源：•《数值分析》（高级）王天浩，郭中杰•《数值计算方法》（第3版）何书进•网课资源：Coursera、edX等平台提供了一些优秀的数值分析课程5.《数值分析第五版》是一本全面而深入的数值分析教材。
它不仅覆盖了数值计算的基础知识，还介绍了数值线性代数、非线性方程求根、数值微积分和优化问题的相关内容。
这本教材以理论与实践相结合的方式呈现，通过丰富的实例和习题帮助读者理解和应用数值计算方法。
如果你对数值计算感兴趣或者需要用数值方法解决实际问题，《数值分析第五版》是一本值得推荐的书籍。
数值分析第五版课后答案
数值分析第五版课后答案(ii )2/（x ） = Imr0.40.50.60.7 0.8 lar一 0.916 291 一 0.693 147 一 0・ 510826-0. 356 675-0.223 144用线性插值及二次插值计算InO. 54的近似值•解 依据插值误差估计式选距离0. 54较近的点为插值节点，并建立差商 表如下:一 0.693 147-0.510 826 - 0.916 291写出Newton 插值多项式M(H ) =- 0.693 147 + 1.823 210Q — 0.5)N2)= M (_r) + (—0.204 115〉(工一0. 5)匕一0・6)计算近似值Ni (0. 54) =一 0.693 147+ 1.823 210(0. 54 — 0. 5) =—0.620 218 6弘(0.54) = N 】(0.54) — 0.204 115(0. 54 - 0.5X0. 54-0.6) =-0.616 8394・设门为互异节点（j = 0.1 ■…山）.求证：A（I ）三卫（上=0, 1 ■…，Q;n（ii ）心一工）铅（门三o 仏=1. 2. •••■" 证明 （i ）令fS 』工X 若插值节点为X/7 - 0,1 则/<x ）的n次播值多项武为["（工）=工球丿3插值余项为R”（王〉=/（X ）— L n （X ）= /—（/）（n + 1）!/X—Ti-CkXVZ又因为k < 所以严）（0 = 0,R 心）二 0x 0 = 0. 5 X] = 0. 6工2 = 0. 4二＞ -0.204 1151.823 2102. 027 325所以丿・0 1 -n L'? /xsr ("卜；(_"“(/〉 r —0 丿•()L ' r / SCOg ( . ) (一 x)k -'x' =(彳一 Qi 三 05.设 /(x) 6 C 2[a, 6]且 /(a) = fib) = 0.求证： max | f(x) £(b —a)，max | /z (j) \ a^r^ib .O心疋6证明 令x = a 和工=人以此为插值节点•则插值多项式为Li (工)= /(a) -—； + f(b) Y —- 三 0<2—o b — a应用插值余项公式有y*7(^) (X — a)(.x — 6) Wmax | /(g) I max | (x — a)(x — b) | / Wb a<jfCZ> _（6 — a ）2 max | fXx ） | O aM 临 b6.在一 4<x<4上给出r （T ）= e 『的等距节点函数表，若用分段二次插值求e 「的近似值，要使截断误差不超过10一&,问使用函数表的步长h 应取多少？解 若插值节点为IT , r 和工沖则分段二次插值多项式的插值余项为式中Ml = Xi — h,工沖=$ +札\R ：(r) l^ye 1max | （文—刀_）） （_r —兀）〈工—J7°j ）丨 0插值点个数< W 6 得 A < 0.006 5&是奇数，故实际可采用的函数值表步长7•若必=2S 求及解 根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解£（：）（-】〉1巧” =£（：）（-1）-皿=孑y” = （F? — F~T ）°y” = （E"r ）*（E — IYy n =「2$% = L （%） = g = 2—8.如果fl 工、是刃次多项式，记= f （j--T-h ） —/（T ）.证明/（x ）的 &阶差分Nfa ）（0W 是rn-k 次多项式，并且A^7（T> = 0（/为正 蔓牧）.证明 对加次多项式/（才）应用Taylor 公式有A/（x ） = /（z + A ） —/（j ） = /（ J ）A H- rr/^x ） + ••• 4- Jf"' （x ）Z! 初！即△/（/）为m- 1次的多项式・= △（△/&）），对加一 1 > 0次多项式应用上述推理过程知 △（△/（工））=庄只工）是加一2次的多项式.依此过程递推，知A7<^X0<Xr<r«）为m-k 次多项武. 所以必工）为常数，故 s = 0（/为正整数）.9. 证明 A （/*g* ） = /* Ag* 4-A/*.证明 A/igJ = /n-ign-i ~ Ag* = /n-igHi - fkgkn 十/*gi - fkgk = gtrl （人+1 — 人> + fk（g^l 一创）=g 屮+ 介厶®15.证明两点三次Hermite 摘值余项是尺3（刃='‘4 ；目（工—九）'（H —）？， E €（N ，才屮）并由此求出分段三次Henniw 猶值的课差限・证明 若工W ［工―文屮］・且插值多项式满足条件円3 ｛竝）=/（竝几 H3（X H -1）=产（工屮）H ； （ Z* ） = f （x> ） * H3' （J T H -I ）=（.r*41）1 4-(- 4) 十 0. 006 581 268 冬 1 217 旦 N4 —(—4) F T8T2162 0. 006 579知插值余项RQ） = /（文）一耳（工> 有二重零点g和文卄故设R（攵）=以文）0 —比）？（文一攵申〃确定函数恥才几当JC = X*或工屮时來工）取任何有限值均可I当才H忑，J•屮时“&（仏°文屮），构造关于变量t的函数g（r） == /（［）—丹3（『）一总（才）（〔一=*）2（（— X*+l ）2 显然有g（文▲）= 0. g（i?） = 0. ） = og'（r*.〉= 0, £心屮）=0在S ,工］和Dr, z*+l J上对g（T）使用Rolle定理，存在® €（无，才〉及少W （w, x*-ti）使得&'（》）=0, g'（%）= 0在a ,巾），Cyl *罪），<72« x*+i）上对g'（=）使用Rolle定理，存在供| € 5，巾），巾？€（6，%）和阻屮6（%，XHI）使得g"（知）=g"（?!2）= g"（少.屮）=0再依次对g（0和g"（“使用Rolle定理，知至少存在（比，工屮）使得gW（E）=而g⑷⑺=一虹小4!,将"弋入•得到£€5 •工屮）推导过程表明W依赖于工点，及=•综合以上过程可知R（T）= “（&（a■一忑）2（工一卫^）2下面建立分段三次Hermite插值的谋差限.记h （小为/Cr）在［a,刃上的基于等距节点的分段三次Hermite插值函数.x k = a+kh 4 = 0, !••• ♦ n）, h = b — a■n在小区间［去，/小］上有I /（x）— /A<x）| —右 | 严（£）|（X— X*）-（X— XH-1）2 <7f max \尸4）（力））max （_r —业）？（工一z屮尸而最值0 才=十妙 ]max （工一及）■（工一 z>+! 「L l 「• , maxs"（5 ― l ）2h 4 = r k n<<<! 16进而得误差估计1 /（文）-越空简|八(如】6・求一个次数不离于4次的多项式PCr 〉•使它满足P(0) = P(0) = 0, P(l) =P71) = HP(2) = 1.解法一 利用Hermite 插值可得到次数不高于4的多项式几== 1；为==打 W f > = 0 •加I = 1H 3（X ）=（才）+ /（文）◎（才）=（1 一 2 三「卫■）（才二空）2 =（1 + 2刃1）2氐—XI 竝一 4G&） = （1-2 J ~-r| ）（ - ）2 = （3 — 2&）疋Jj —竝 XI — To仇（工）=兀（工一 1）?向=（工一 1）JT 2所以Hj （2） = （3 — 2x ）x 2 + （1* — 1 ）J -? =— T 3 + 2z~设 = H 3（X ）4-A （T -^）2（J —T ））2,其中・A 为待定常数，令 F （2）=1得于是P3十一尸这样可写岀Newton 插值公式P （x ） = 0 + 0（乂一0）十 1（工一0）? — 1（広一0）?（工一 1） +— 0）'（$ — l ）? =— 1） + 4-工?（&一 1）?=解法二(带重节点的Newton 插值法)建立如下差商表:-124 4J-x 2 （r ~ 3）: 417 •设f （.C 二厂丄g 在一 5€工€5上取"=10•按等矩节点求分施线1 f JT性插值函数ha ）・计算各节点间中点处Z A （J -）与/（x ＞的值，并佑计课差.解 若 = 5,r lc = 5,则步长 A = ------------- ---- -- -- = I =— 5+ ih = — 5 +n2（ow?w 10）.在区间Cx-上•分段线性插值瓯数为/1°(X )= /(X,)工汁】一広+工一 rTT7T F+不分段线性插值函数定义如下:各节点间中点处函数值及插值函数值如下所示：估计谋差：在区间[乙，刀+门上lf （jr ）—击厂（。
数值分析第五版习题答案清华大学出版社
1．设 x 0 , x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。
解：近似值
*
x 的相对误差为
* e* x * x
= er
x*
x*
而 ln x 的误差为 e ln x *
ln x * ln x
1 e*
x*
进而有 (ln x*)
2．设 x 的相对误差为 2%，求 xn 的相对误差。
解：设 f ( x )
cos x 的近似
值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当 0 x 90 时，
令 f ( x ) cos x
1 取 x0 0, h ( )
60
1 60 180
令 xi x 0 ih , i 0,1,..., 5400
10800
则 x5400
3
2．给出 f ( x ) ln x 的数值表
X
0.4
lnx
-0.916291
用线性插值及二次插值计算
解：由表格知，
0.5
0.6
-0.693147
-0.510826
ln 0.54 的近似值。
x0 0.4, x1 0.5, x 2 0.6, x3 0.7, x4 0.8; f ( x 0 ) 0.916291, f ( x1 ) 0.693147 f ( x 2 ) 0.510826, f ( x3 ) 0.356675 f ( x 4 ) 0.223144
2 1.41
( y 0 *)
1
2
10
2
又 y n 10 yn 1 1
y1 10 y0 1
( y1*) 10 ( y 0 *) 又 y 2 10 y1 1
数值分析第5版课后答案
数值分析第5版课后答案该科目：数值分析适合年级：研究生及以上题型一：选择题1. 数值分析的主要研究对象是：A. 数值计算方法B. 数值计算机器C. 数值计算结果D. 数值计算过程2. 数值计算方法不可以解决的问题是：A. 导数的计算B. 积分的计算C. 微分方程的求解D. 等式的求解3. 下述哪个数值计算方法的计算机程序与解析方法的计算机程序相同：A. 数值逼近法B. 插值法C. 求解非线性方程的法D. 数值微积分4. 下述哪个数值计算方法不属于插值法：A. 牛顿插值法B. 拉格朗日插值法C. 分段插值法D. 辗转相消插值法5. 下述哪个数值计算方法不属于数值微积分：A. 数值积分B. 复化求积公式C. 龙贝格求积公式D. 杜汉求积公式答案：1-A、2-D、3-C、4-D、5-D题型二：填空题1. 理解复化求积公式，对于数值积分的准确度影响较大的主要有两个因素。
一是∆x的大小，这个因素可以通过增加______的数量来得到优化，即可以用增加区间的方法来降低误差；二是f(x)在所积区间上的变化率，如果f''(x)变化范围大，则误差大，误差变化规律主要是______型。
2. 当计算公式为∫f(x)dx时，为了防止舍入误差的产生，通常都采取尽可能多的方式使用对偶的数字，这种方法叫______。
3. 当使用拉格朗日插值公式求解区间[3,4]内f(x)=e^x , 求在x=3.5处的插值多项式P(x)，则带入拉格朗日的插值公式，得到答案为P(3.5)=______。
4. 如果插值用的插值点的横坐标相等，这样的插值称为______插值。
5. 当区间划分的精度x越小，则时域精度τ也会________。
答案：1-∆x、振荡、2-对偶数码（Baud complement）、3-e^3.5-0.0881(2)、4-重复、5-增加。
题型三：判断题1. 龙贝格求积公式在划分区间上使用的步长是解析式算出的（）。
数值分析试卷5
数值分析模拟5
2009-2010 第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
注意: 所有的答题内容必须答在答题纸上, 凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（10 分）设求A的Doolittl分解, 并由分解式求行列式(A( 。
二、（14 分）设方程组Ax = b为
(1)写出Jacobi 迭代及Gauss-Seidel 迭代格式, 并证明Gauss-Seidel 迭代收敛；
(2)求矩阵A 的条件数Cond(A)∞。
三、（12 分）确定常数a, b, c, 使迭代式局部收敛到x* , 并有尽可能高的收敛阶数, 并指出这个阶数。
四、（12 分）已知数据
设求常数a、b, 使得
五、（14分）已知y=f (x)的数据如下:
（1）求f (x)的Hermite 插值多项式H（3）；
为求的值, 采用算法: , 试导出截断误差R。
六、（12 分）定义内积, 计算得, 对k, j=0, 1, 2…n有
对给定的连续函数f (x), 求f (x)在区间[-π, π]上形如的最佳平方逼近元素。
七、（12 分）已知Legendre(勒让德)正交多项式) Ln(x)有递推关系式:
据此确定常数A i、x i使求积公式
的代数精度尽可能高, 并问是否是Gauss 型公式。
八、（14 分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法:
（1）验证它是二阶方法；
（2）确定此单步法的绝对稳定域。
数值分析第5版插值法
第一节 引言
n 一、 插值问题 设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多项式Pn(x)
使其满足
从几何意义来看,上述 问题就是要求一条多项 式曲线 y=Pn(x), 使它通
过已知的n+1个点(xi,yi)
(i=0,1, … ,n),并用Pn(x) 近似表示f(x).
2
二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x0 , x1] f [ x1, x2 ] x0 x2
称为函数f (x)在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
25
一般地，n-1阶差商的差商
还应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无 关。
14
例1 已知 y x , x0 用4,线x1性插9,值求 近
7
似值。
解 y0 2, y1 3, 基函数分别为:
l0 ( x)
x9 49
1(x 5
9), l1( x)
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1 ( x)
y0l0 ( x) y1l1 ( x) 2
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
研究生数值分析(5)---牛顿迭代法
内有唯一实根 x* 。
条件（4）表明曲线 y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形
y
y
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '' (x) 0 f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
因为 x*是 f(x)=0在(a,b)内的单根，
所以 f(x*)=0 且 f '(x*)≠0 x* (a, b)
由条件（2），必存在区间(c,d)，
x* (c, d ) 使 g ' (x) 在(c,d)连，且 g'(x) 1
根据定理2，牛顿迭代公式在 x* 附近局部收敛。
定理6 设 x*是方程 f(x)=0 的根，在包含 x*的某 个开区间内 f "(x) 连续且 f '(x)≠0，
牛顿迭代公式
xk 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
计算结果如下
(k 0,1, 2,
) 收敛
x1 0.750364 x2 0.739113 x3 0.739086 x4 0.739085
因为 x4 x3 0.000001105，所以 x4 0.739085 为满足精度要求的近似根。
是曲线
y=f(x)在
(xk , f (xk ))处的切线方程，迭代公式就是切线与 x 轴
交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
（2）牛顿迭代法收敛的充分条件
当
f '(x) 0
时，方程 x x
f (x) f '(x)
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三对角与块三对角方程组课程设计一、基于高斯消元法的三对角方程组求解三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵，在数学计算和工程计算中有广泛应用。
例如，二阶常微分方程边值问题数值求解，一维热传导方程数值求解，以及三次样条函数计算等都会涉及到三对角方程组求解。
由于三对角矩阵的稀疏性质，用直接法求解三对角方程组的算法效率较高，很有实用价值。
考虑n 阶三对角矩阵和n 维向量A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n n αγβαγβα122111 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n f f f f 21 求解方程组 Ax = f 的高斯消元法的程序如下function f=triGauss(gama,alpha,bata,f)%Solving TriDiag(gama,alpha,bata)systems by Gauss method n=length(alpha); for k=1:n-1m=gama(k)/alpha(k);alpha(k+1)=alpha(k+1)-m*bata(k); f(k+1)=f(k+1)-m*f(k); endf(n)=f(n)/alpha(n); for k=n-1:-1:1f(k)=(f(k)-bata(k)*f(k+1))/alpha(k); end由程序知，对于n 阶三对角方程组，高斯消元法只用到 5n –4 次乘法和除法。
例1．求二阶常微分方程边值问题⎩⎨⎧==∈=+''-0)1(,0)0()1,0(,y y x x y y 数值解，并与解析解：1sinh sinh )(xx x y -=作对比。
解：对正整数n ，取h= 1/(n + 1)，令x j = jh ，（ j = 0，1，2，……，n+1），y j ≈ y ( x j )。
由2112hy y y y j j j j +-+-≈'' 得差分方程j j j j j x y h y y y =++--+-2112整理，得– y j-1 + (2 + h 2 ) y j – y j+1 = h 2 x j ( j = 1，…，n )根据边界条件，有y 0 = 0，y n+1 = 0形成三对角方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+--+--n n n n x x x x h y y y y h h h h 121212122222112112112取n=9，得数值解和解析解的最大误差为：4.4146e-005，将数值解和解析解数据绘图如下图1.数值解与解析解比较程序如下n=input('input n:='); h=1/(n+1); x=0:h:1;ux=x-sinh(x)./sinh(1); alpha=(2+h*h)*ones(n,1); bata=-ones(n-1,1);gama=bata; f(1:n)=h*h*x(2:n+1);uk=triGauss(gama,alpha,bata,f); Uk=[0,uk,0];error=max(abs(ux-Uk)) plot(x,ux,x,Uk,'ro')二、迭代法求解三对角方程组数值分析介绍的三种迭代格式用于例1中三对角方程组： 1． JACOBI 迭代][21)(1)(122)1(k j k j j k j u u x h hu +-++++= 2． SEIDEL 迭代][21)(1)1(122)1(k j k j j k j u u x h hu ++-++++=3． SOR 迭代][2)1()(1)1(122)()1(k j k j j k j k j u u x h hu u ++-+++++-=ωω 由于JACOBI 迭代矩阵的谱半径h h B J πρcos 22)(2+=SEIDEL 迭代矩阵的谱半径h hB S G πρ222cos )22()(+=- 根据，的结果，取SOR 迭代松驰因子为2)(112J B ρω-+=SOR 迭代矩阵的谱半径22)(11)(111)(J J SOR B B B ρρωρ-+--=-=-8较简单，但迭代法的效率不如直接法。
程序如下n=input('input n:='); h=1/(n+1);x=0:h:1; y=x-sinh(x)/sinh(1); hh=h*h;rr=2+hh; u0=zeros(size(x)); u=u0;k1=0;error=1.0; %----Jacobi 迭代 while error>1.0e-8 error=0; for j=2:n+1temp=(hh*x(j)+u(j-1)+u(j+1))/rr; error=max(error,abs(temp-u(j))); v(j)=temp; endu=[v,0];k1=k1+1; enderror1=max(abs(u-y)); k1u=u0;error=1;k2=0; %----Seidel 迭代 while error>1.0e-8 error=0; for j=2:n+1 temp=u(j);u(j)=(hh*x(j)+u(j-1)+u(j+1))/rr; error=max(abs(temp-u(j)),error); endk2=k2+1; enderror2=max(abs(u-y)); k2u=u0;error=1;k3=0; %----SOR 迭代 ro=2*cos(h*pi)/rr;omiga=2/(1+sqrt(1-ro*ro)); omiga1=1-omiga; while error>1.0e-8 error=0; for j=2:n+1 temp=u(j);u(j)=omiga1*temp+omiga*(hh*x(j)+u(j-1)+u(j+1))/rr; error=max(abs(temp-u(j)),error); endk3=k3+1; enderror3=max(abs(u-y)); k3[error1,error2,error3] [ro,ro*ro,-omiga1]三、块三对角方程组的迭代方法拉普拉斯(Laplace)是法国著名数学家和天文学家。
他用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。
1796年，他发表《宇宙体系论》，因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父。
拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
对于二维拉普拉斯方程问题，方程的解是二元函数。
对给定的边界条件，求数值解需要解块三对角方程组。
例2．正方形区域上狄利克莱边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====<<=+y y u x u x u y u y x u u yy xx πsin ),1(0)1,()0,(),0(1,0,0 准确解：y sh xsh y x u πππsin ),(=。
取正整数n ，记h=1/(n+1)，对区域做网格剖分：x i = i h ( i = 0，1，……，n+1 ) y j = j h ( j = 0，1，……，n+1)在点(x i ，y j ) 处记u ij = u (x i ，y j )。
离散拉普拉斯方程，可得常见的的五点处差分格式u i-1, j + u i , j-1 – 4 u ij + u i +1, j + u i , j+1= 0 ( i ，j = 1，…，n )u 0,j = 0，u n , j = sin(πj /n ) ( j = 1，…，n ) u i ,0 = 0，u i , n = 0 (i = 1，…，n )该方程组的系数矩阵是块三对角矩阵，与三对角矩阵相比，仍然具有稀疏性。
但问题的规模比较大了。
对于n=4，其矩阵是16阶方程，矩阵非零元分布如下图所示图2. 块三对角矩阵非零元分布图1．五点差分格式的Seidel 迭代方法][41)(1,)(,1)1(1,)1(,1)1(,k j i k j i k j i k j i k j i u u u u u +++-+-++++=，( i ，j = 0，1，…，N )2．SOR 迭代算法：][4)1()(1,)(,1)1(1,)1(,1)()1(,k j i k j i k j i k j i k ij k j i u u u u u u +++-+-+++++-=ωω，( i ，j = 0，1，…，N )其中，最佳松驰因子为hπωsin 12+=超松驰迭代法，取最佳松驰因子：hπωsin 12+=法。
但两种方法的数值解误差几乎是一样的。
迭代计算绘图显示如下图3.二维拉普拉斯方程边值问题解图形由于边界条件中，右侧边界条件非零，而其余边界条件均为零，故有此图形。
图中红色区域表示对应的函数值数值大，蓝色区域部分则表明对应的函数值数值小。
附：MATLAB程序1．五点差分格式的seidel迭代法程序：n=input('n=');h=1/(n+1);x=0:h:1;y=x';u=zeros(n+2,n+2);u(:,n+2)=sin(pi*y);k=0;er=1;t=cputime;while er>1e-008er=0;k=k+1;for i=2:n+1for j=2:n+1s=(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j-1)+u(i,j+1))/4;er=max(er,abs(s-u(i,j)));u(i,j)=s;endendendktimes=cputime-tpcolor(u)w=sin(pi*y)*sinh(pi*x)/sinh(pi);error=max(max(abs(w-u)))2．五点差分格式SOR迭代程序n=input('n=');h=1/(n+1);x=0:h:1;y=x';u=zeros(n+2,n+2);u(:,n+2)=sin(pi*y);w=2/(1+sin(pi*h));w1=1-w;k=0;er=1;t=cputime;while er>1e-008er=0;k=k+1;for i=2:n+1for j=2:n+1s=u(i,j);u(i,j)=w1*s+w*(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j-1)+u(i,j+1))/4;er=max(er,abs(s-u(i,j)));endendendktimes=cputime-t%surf(u)%figure,pcolor(u)z=sin(pi*y)*sinh(pi*x)/sinh(pi);error=max(max(abs(z-u)))实验题1．求下列二阶常微分方程数值解π≤≤-=+''-x x x e x u x u x 0),cos 2(sin )()(0)(,0)0(==πu u 该问题解析解为：u (x )= e xsin x2．求正方形区域上的泊松方程数值解222y x u +=∇，0< x ，y < 1边界条件u (x ，0)=0，221)1,(x x u =，0< x < 1 y y u πsin ),0(=，221sin ),1(y y e y u +=ππ，0< y < 1 精确解：2)(21sin ),(xy y e y x u x+=ππ。