26[1].3二次函数与实际问题(1)最大利润
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则y=（2+x）（100-10x）=-10x2+80x+200 =-10（x-4）2+360， ∴ 当x=4时，利润y最大，此时售价为14元， 每天所赚利润为360元。
四、自主拓展
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
2）截止到10月末公司累积利润可达到30万元； 3）求第8个月公司所获利润是多少
万元？ 3 解: 把t = 7代入 : 2 1 1 s= ×72－2×7 =10.5 2 0 1 2 3 4 5 -1 t（月） 把t = 8代入 : -2 1 s= ×82－2×8=16 2 ∴16－10.5=5.5 关键点： 3）要认真审题，准确理解题意。体会第8 个月利润与累计利润的区别和如何求取？（应用二次 答：第8个月公司获利润5.5万元 函数的对应关系）
练习：某商人若将进货单价为8元的商品按每件 10元出售，每天可销售100件。现在他为了增 加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元， 其销售量就减少10件。请你应用已学知识帮他 决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚 利润最大？并预算出最大利润。
解：设这种商品涨了x元，(X为正整数）每天所赚利 本题是确定提高利润的最佳方案问题。 润为y元，
设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 可表示为（20+x） 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 （300-10x） (20+x)( 300-10x) 元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出 10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价 为多少元？ 若设定价每件x元，那么每件商品的利润可表 示为（x-40） 元，每周的销售量可表示 为 [300-10(x-60) ]件，一周的利润可表示 为 (x-40)[300-10(x-60)] 元，要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .
20x 2 100x 6000(0≤x≤20)
2
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最 大利润为6250元.
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销 售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内 获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
例1：某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件，市场 调查反映：每涨价1元，每星期少 卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润 最大？ 请大家带着以下几个问题读题:
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值，是 -1 。 5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 。
本题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。 问题2：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上
定价:60+5=65（元）
y 10x 2 100x 6000 (0≤X≤30)
b 4ac b 2 x 5时，y最大值 6250 2a 4a
5 5 当x = ________时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，
即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________. 65 6250元
b 直线x 轴是 2a ，顶点坐标是
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 2抛物线 ，它的对称
b 4ac b , 2a 4a
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 4ac b 2 是 4a 。
基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最 小 值是 5 。
S（万元）
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理， 如何定价才能使商场获得最大利润呢？
26.3 实际问题与二次函数
第１课时
如何获得最大利润问题
自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调 整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获 得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 分析：没调价之前商场一周的利润为 6000元；
在上题中,若商场规定试销期间获利不得低 于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时， 商场可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设商品售价为x元，则x的取值范围 为40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%) 即56≤x≤64
若涨价促销,则利润 y=(x-40)[300-10(x-60)] =(x-40)(900-10x) =-10x2-1300x-36000 =-10[(x-65)2-4225]-36000 =-10(x-65)2+6250 ∵60≤x≤64 ∴由函数图像或增减性知当 x=64时y最大,最大值为6240元 若降价促销,则 利润y=(x-40)[300+20(60-x)] =(x-40)(1500-20x) =-20(x2-115x+3000) =-20(x-57.5)2+6125 ∵56≤x≤60 ∴由函数图像或增减性知 当x=57.5时y最大,最大 值为6125元
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出 （300+20x)件，销售额为(60-x)(300+20x)元，买进商品需付 40(300+20x)元，因此，得利润
y 60 x 300 20x 40300 20x
当x b 5 5 5 时，y最大 20 100 6000 6125 2a 2 2 2 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
3 2 1
解得: t1=10, t2=－6 (舍)
0 1 2 3 4 5 t（月）
-1 -2
答：截止到10月末公司累积 利润可达到30万元
关键点： 2）实际问题必须考虑自变量t的取值范围，并
结合实际决定计算结果中t值的取舍；
1）累积利润s（万元）与时 间t（月）之间的函数关系
1 式为 s= t2─2t 2
综上x=64时y最大,最大值为6240元
三、自主展示
(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件50 元销售，一周能售出500件；若销售单价每 涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价 为x元(x≥50)，一周的销售量为y件． (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数 关系式，并确定当单价在什么范围内变化时， 利润随着单价的增大而增大？ (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的 情况下，使得一周销售利润达到8000元，销 售单价应定为多少？
1.什么样的函数叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
的函数叫二次函数
2.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的最值？有哪几种方法？写出求二 次函数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值
b 4ac-b 当x=- 时，y有最大（小）值 2a 4a
2
课前练习
1.当x= 1 有最大值. 2.已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1,那 么m的值为 10 . 时，二次函数y=－x2＋2x－2
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
. 当a>0时，抛 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
0
1 2 3 4 5
的函数关系式； 2）求截止到几月末公司累
t（月）
积利润可达到30万元； 3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
1）由已知图象上的三点坐标求累积利润s（万元）与时
间t（月）之间的函数关系式； 解： 设s与t的函数关系式为 s=at2+bt+c S（万元） ∵图像过点(０,０),(1, -1.5 ) ,(2, - 2) a+b+c=－1.5 3 ∴ 4a+2b+c=－2 2 1 c=0
解：（1）y=500－10(x－50) =1000-10x(50≤x≤100) （2）S=(x－40)(1000-10x) =－10x2＋1400x-40000 =－10(x－70)2+9000 当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大.
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情 况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单 价应定为多少？ 解：（3）－10x2＋1400x-40000=8000 解得：x1=60,x2=80 当x=60时，成本=40×[500－10（60－50）] =16000＞10000不符要求,舍去. 当x=80时，成本=40×[500－10（80－50）] =8000＜10000符合要求． 所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利 润达到8000元的同时，投入不超过10000 元．
0
-1 -2
-3
1 2 3 4 5
t（月）
1 a= 2
解得
b=－2 c=0
1 ∴s= 2 t2─2t，
（１≤t ≤ １２的整数）
关键点：1）观察二次函数的部分图像，用哪三点坐标
解题更简便？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1）累积利润s（万元）与时 间t（月）之间的函数关系
1 式为 s= t2─2t 2
2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； 1 2 解: 把s=30代入 s= t －2t 2 S（万元） 1 得: 30= 2 t2－2t
y\元
6250 6000
(5,6250)
0
5
30
x\元
可以看出，这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点， 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时，这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商 品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。 10x (300-10x) 涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,销 售额为 (60+x)(300-10x) 元，买进商品需付 40(300-10x) 元, y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 因此所得利润为 元
市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数
图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润s（万元）
与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s
与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题： 1）由已知图象上的三点坐标求累积
S（万元）
利润s（万元）与时间t（月）之间
3 2 1 -1 -2
y 10x 2 100x 6000 即
(0≤X≤30)
怎样确定x的 取值范围？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10［(x-5)2-25-600］ =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250.
四、自主拓展
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
2）截止到10月末公司累积利润可达到30万元； 3）求第8个月公司所获利润是多少
万元？ 3 解: 把t = 7代入 : 2 1 1 s= ×72－2×7 =10.5 2 0 1 2 3 4 5 -1 t（月） 把t = 8代入 : -2 1 s= ×82－2×8=16 2 ∴16－10.5=5.5 关键点： 3）要认真审题，准确理解题意。体会第8 个月利润与累计利润的区别和如何求取？（应用二次 答：第8个月公司获利润5.5万元 函数的对应关系）
练习：某商人若将进货单价为8元的商品按每件 10元出售，每天可销售100件。现在他为了增 加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元， 其销售量就减少10件。请你应用已学知识帮他 决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚 利润最大？并预算出最大利润。
解：设这种商品涨了x元，(X为正整数）每天所赚利 本题是确定提高利润的最佳方案问题。 润为y元，
设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 可表示为（20+x） 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 （300-10x） (20+x)( 300-10x) 元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出 10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价 为多少元？ 若设定价每件x元，那么每件商品的利润可表 示为（x-40） 元，每周的销售量可表示 为 [300-10(x-60) ]件，一周的利润可表示 为 (x-40)[300-10(x-60)] 元，要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .
20x 2 100x 6000(0≤x≤20)
2
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最 大利润为6250元.
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销 售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内 获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
例1：某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件，市场 调查反映：每涨价1元，每星期少 卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润 最大？ 请大家带着以下几个问题读题:
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值，是 -1 。 5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 。
本题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。 问题2：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上
定价:60+5=65（元）
y 10x 2 100x 6000 (0≤X≤30)
b 4ac b 2 x 5时，y最大值 6250 2a 4a
5 5 当x = ________时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，
即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________. 65 6250元
b 直线x 轴是 2a ，顶点坐标是
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 2抛物线 ，它的对称
b 4ac b , 2a 4a
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 4ac b 2 是 4a 。
基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最 小 值是 5 。
S（万元）
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理， 如何定价才能使商场获得最大利润呢？
26.3 实际问题与二次函数
第１课时
如何获得最大利润问题
自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调 整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获 得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 分析：没调价之前商场一周的利润为 6000元；
在上题中,若商场规定试销期间获利不得低 于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时， 商场可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设商品售价为x元，则x的取值范围 为40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%) 即56≤x≤64
若涨价促销,则利润 y=(x-40)[300-10(x-60)] =(x-40)(900-10x) =-10x2-1300x-36000 =-10[(x-65)2-4225]-36000 =-10(x-65)2+6250 ∵60≤x≤64 ∴由函数图像或增减性知当 x=64时y最大,最大值为6240元 若降价促销,则 利润y=(x-40)[300+20(60-x)] =(x-40)(1500-20x) =-20(x2-115x+3000) =-20(x-57.5)2+6125 ∵56≤x≤60 ∴由函数图像或增减性知 当x=57.5时y最大,最大 值为6125元
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出 （300+20x)件，销售额为(60-x)(300+20x)元，买进商品需付 40(300+20x)元，因此，得利润
y 60 x 300 20x 40300 20x
当x b 5 5 5 时，y最大 20 100 6000 6125 2a 2 2 2 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
3 2 1
解得: t1=10, t2=－6 (舍)
0 1 2 3 4 5 t（月）
-1 -2
答：截止到10月末公司累积 利润可达到30万元
关键点： 2）实际问题必须考虑自变量t的取值范围，并
结合实际决定计算结果中t值的取舍；
1）累积利润s（万元）与时 间t（月）之间的函数关系
1 式为 s= t2─2t 2
综上x=64时y最大,最大值为6240元
三、自主展示
(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件50 元销售，一周能售出500件；若销售单价每 涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价 为x元(x≥50)，一周的销售量为y件． (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数 关系式，并确定当单价在什么范围内变化时， 利润随着单价的增大而增大？ (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的 情况下，使得一周销售利润达到8000元，销 售单价应定为多少？
1.什么样的函数叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
的函数叫二次函数
2.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的最值？有哪几种方法？写出求二 次函数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值
b 4ac-b 当x=- 时，y有最大（小）值 2a 4a
2
课前练习
1.当x= 1 有最大值. 2.已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1,那 么m的值为 10 . 时，二次函数y=－x2＋2x－2
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
. 当a>0时，抛 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
0
1 2 3 4 5
的函数关系式； 2）求截止到几月末公司累
t（月）
积利润可达到30万元； 3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
1）由已知图象上的三点坐标求累积利润s（万元）与时
间t（月）之间的函数关系式； 解： 设s与t的函数关系式为 s=at2+bt+c S（万元） ∵图像过点(０,０),(1, -1.5 ) ,(2, - 2) a+b+c=－1.5 3 ∴ 4a+2b+c=－2 2 1 c=0
解：（1）y=500－10(x－50) =1000-10x(50≤x≤100) （2）S=(x－40)(1000-10x) =－10x2＋1400x-40000 =－10(x－70)2+9000 当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大.
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情 况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单 价应定为多少？ 解：（3）－10x2＋1400x-40000=8000 解得：x1=60,x2=80 当x=60时，成本=40×[500－10（60－50）] =16000＞10000不符要求,舍去. 当x=80时，成本=40×[500－10（80－50）] =8000＜10000符合要求． 所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利 润达到8000元的同时，投入不超过10000 元．
0
-1 -2
-3
1 2 3 4 5
t（月）
1 a= 2
解得
b=－2 c=0
1 ∴s= 2 t2─2t，
（１≤t ≤ １２的整数）
关键点：1）观察二次函数的部分图像，用哪三点坐标
解题更简便？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1）累积利润s（万元）与时 间t（月）之间的函数关系
1 式为 s= t2─2t 2
2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； 1 2 解: 把s=30代入 s= t －2t 2 S（万元） 1 得: 30= 2 t2－2t
y\元
6250 6000
(5,6250)
0
5
30
x\元
可以看出，这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点， 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时，这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商 品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。 10x (300-10x) 涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,销 售额为 (60+x)(300-10x) 元，买进商品需付 40(300-10x) 元, y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 因此所得利润为 元
市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数
图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润s（万元）
与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s
与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题： 1）由已知图象上的三点坐标求累积
S（万元）
利润s（万元）与时间t（月）之间
3 2 1 -1 -2
y 10x 2 100x 6000 即
(0≤X≤30)
怎样确定x的 取值范围？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10［(x-5)2-25-600］ =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250.