2018考研数学常见出证明题
山东大学2018年数学分析考研试题及解答
1)
−
sin
x,
即fn(x)逐
点收敛于f (x) = sin(x + 1) − sin x.下面按定义来说明fn(x)一致收敛于f (x).
n
k
n
k
n1 1
|fn(x) − f (x)| =
cos(x + t) − cos x +
dt
k−1
n
= → 0, (n → ∞). n2 n
k=1 n
k=1
1
f
2 x
, 0<x
1,并且设g(0) = 0. 那么,当2m
2 x
< 2m + 1,
m
∈
Z,
即2 2m+1
<x
g(x)
=
0.
类似地,
当1 m
<
x
2 2m+1
,
m ∈ Z时,
g(x) = 1.
1 m
时,
上面定义的g(x)是[0, 1]上的有界函数, 并且容易看出g(x)在[0, 1]上Riemann可积. 而对于任
意一个在[0, 1]上Riemann可积的函数g(x)均有:
limn→∞
1 n
n k=1
g
k n
=
1 0
g(x)
dx,通过做
差就能证明. 综合前述两点, 就能得到
原式 = lim 1 n g k
n→∞ n
n
k=1
1
= g(x) dx
0 ∞
=
m=1
2
1
−
2m + 1 m + 1
∞ (−1)k−1 =2
2018考研高数重要定理证明：求导公式
2018考研高数重要定理证明：求导公式2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。
该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。
利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。
这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。
之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。
再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。
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北京大学2018年数学分析试题及解答
在 (0, 0)
点局部
2 阶连续可微,
∇f (x, φ(x)) =
0,
(
)
∂ijf (0, 0) 2×2
为半正定非 0 阵. 证明 f 在 (0, 0) 点取得极小值.
6.
(20
分)
证明:
e−x
+ cos(2x) + x sin x
=
0
在区间
(
)
(2n − 1)π, (2n + 1)π
恰有两个根
x2n−1
+
)) 1
sin(xn) − xn ∑ ∞ (−1)k−1 (xn)2k−2 ∑ ∞ (−1)k (xn)2k
=
=
xn
(2k − 1)!
(2k + 1)!
k=2
k=1
∫ 1 sin(xn) − xn dx = ∑ ∞
(−1)k
0
xn
(2k + 1)!(2nk + 1)
k=1
∑ ∞ ⩽
1
(2k + 1)!(2n + 1)
x4
∈ (0, 1).
证明:
对任意
λ
∈
(α, β),
存在
x5,
x6
∈
(0, 1),
使得
λ
=
f (x6) x6
− −
f (x5) . x5
3. (10 分) 设 γ 是联结 R3 中两点 A, B 且长度为 L 的光滑曲线, U 是 R3 中包含 γ 的开集, f 在 U 上连续可
微, 梯度 ∇f 的长度在 γ 上的上界为 M . 证明:
(−1)k 2k(2k+1)!
2018考研数学：易出证明题的知识点总结_毙考题
2018考研数学：易出证明题的知识点总结
要命的数学每年都会难倒一大批考研党，各位考研党可得在数学上多下功夫了。
今天小编整理了一下容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。
【干货】2018考研数学可能考的公式及定理的证明
【干货】2018考研数学可能考的公式及定理的证明
1.叙述并证明函数极限的局部保号性定理。
2.叙述并证明函数极限的局部有界性定理。
3.叙述并证明有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
4.叙述并证明数列的夹逼准则。
5.叙述并证明等价无穷小的充要条件。
6.叙述并证明费马定理。
7.判别极值的第一和第二充分条件。
8.叙述并证明罗尔定理。
9.叙述并证明柯西中值定理。
10.叙述并证明牛顿-莱布尼茨公式。
11.叙述二元函数在一点可微的必要条件并证明，同时写出全微分形式。
12.叙述若二元函数在一点可偏导，其取得极值的必要条件并证明。
13.证明一阶线性微分方程的通解公式。
14.证明正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界（仅数一、三）
15.叙述并证明幂级数绝对收敛的阿贝尔定理（仅数一、三）
16.叙述并证明格林公式（仅数一）
证明过程如下：
【注】。
2018年考研数学三真题及解析
2018年考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim lim x x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x xx x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导.2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()1011.0.22f x dx f f ⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018考研数学二真题及答案解析
2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。
以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。
【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。
解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。
解方程得到：4a + 2b + c = 3。
(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。
对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。
带入 x = 1，得到 2a + b = 3。
(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。
因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。
【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。
现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。
解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。
根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。
解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。
因此，学生总数 N 约为 17857人。
【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。
解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。
2018年理数真题分类训练专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案
专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案部分< a 1 a 2a 3 1，所以 a 4 < 1，又a 11，所以等比数列的公比而 4 a 2 a 3 > a 1 1，所以 In(a 1 a 2 a 3) 0 ,表示的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点•直线 ax y 4与直 线X ay 2互相垂直，显然当直线ax y 4的斜率 a 0时，不等式ax y 4表1. B 【解析】解法一因为Inx < x1 (x 0)，所以 a i a2 a3 a4 In (a i a 2 a 3)右 q w 1，则 a 1a ? a 3 a 4印(1 q)(1 q 2) < 0 ,所以a 1 a3， a2a 4，故选B.解法二 因为e x> x1, a1a 2 a 3 a 4 In (a 1 a 2 a 3),所以e® a2a 3 a 4■a1a ? a 3 > a 1 a2a s a 4 1, 则a 4 w又a 11，所以等比数列的公比 q 0.若q w 1，则 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1(1 q)(1 q 2) w 0 ,而 4 a 2 a 3 > a 1 1，所以 In(a 1 a 2a3)与1门（印a2a 3)3]a ? a 3 a 4w 0矛盾，所以1 q 0，所以 a 1 a 3 a 1(1 q 2) 0 ,a2a 4 a 1q(2所以1 0，所以 a 1 a 3 a 1(1 q )0 , a 2 a 4 a 1q(1q 所以a 1a 3, a 2a 4，故选 B.1q 2)与1门（印 a2a 3) q a 2 a 3 a 4 < 0 矛盾, q 2)2. D 【解析】 解法一 点（2,1）在直线X y 1上，axy 4表示过定点（0,4）,斜率为 a的直线, 当a 0时，X ay 2表示过定点（2,0）1,斜率为1的直线，不等式x ay < 2a3示的区域不包含点（2,1），故排除 A ;点（2,1）与点（0,4）连线的斜率为 -，当2a -，即a 3时，ax y 4表示的区域包含点 （2,1），此时x ay 2表示的 2 23 34的斜率 a -，即a -时,2 2 ax y 4表示的区域不包含点（2,1）,故排除C ,(2,1) A .故选 D .区域也包含点（2,1），故排除B ；当直线ax y解法二若（2,1） A ,则2a2 1 4，解得aa < 23,所以当且仅当a<-时，2 23. 27【解析】所有的正奇数和 2n(n ）按照从小到大的顺序排列构成 {a n },在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即 a 2i CO2 , a 382 .当 n 1 时，S 1 12a 2不符合题意；当n 2时，S23 12a 3 36 ,不符合题意；当n 3时， S 3 6 12a4 48，不符合题意;n 4时，S 410 12a 5 60，不符合题意;当 n 26 时，S 2621^ 22 (1 2)= 441 +62= 503< 12a 27516 ,不符合题1 2意；当 n 27 时，S 2722 (143) 2 (125)=484 +62=546>12a 28 =540，符合题意.故使得S n 12a n 1成立的n 的最小值为27. 4.[解析】(1)因为 (1,1,0),（0,1,1），所以M(, )-[(1 1 |1 1|) (1 1 |1 1|) (0 0) |0 0|)] M(,)2[(1 0 |10|) (1 1 |1 1|) (0 1 |0 1|)]⑵设(X 1,X 2,X 3, X 4)则 M ( , ) X 1 X 2 X 3 X 4 .由题意知 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 € {0 , 1}，且 M (,)为奇数, 所以x 1, X 2 , X 3 , X 4中1的个数为1或3 . 所以B{(1 , 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1),3 (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1 , 0)}.将上述集合中的元素分成如下四组：所以集合 B 中元素的个数不超过 4．(k 1,2, ,n) ，所以B 中元素的个数不超过 n 1.令B （06, ,e ni ）US n US ni ，则集合B 的元素个数为 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.5.【解析】 ⑴记（abc ）为排列abc 的逆序数，对1, 2, 3的所有排列，有(123)=0， (132)=1， (213)=1， (231)=2， (312)=2， (321)=3 ， 所以 f 3(0) 1， f 3(1) f 3(2) 2.对 1， 2， 3， 4的排列，利用已有的 1， 2， 3的排列，将数字 4添加进去， 4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此， f 4(2) f 3(2) f 3(1) f 3(0)5.⑵对一般的n （n > 4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12 n ,所以人（0） 1 .（1，0，0，0），（1，1，1，0）；（0， 10，0），（1，1，0，1）； （0，0，1，0），（1，0， 1，1）；（0，0，0，1），（0，1，1， 1)． 经验证，对于每组中两个元素，均有 M （ , ） 1．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．又集合 ｛（1 ，0，0，0），（0，1，0， 0），（0，0，1， 0），（0，0， 0，1）｝ 满足条件， 所以集合 B 中元素个数的最大值为4．(3)设 S k {( x 1, x 2, , x n )|(x 1,x 2, ,x n ) A,x k1, X 1 X 2 X k 1 0}S n 1 {( X 1, X 2, , X n ) | X 1x 2 xn0}，则 A S 1 U S 2 U U S n 1．对于 S k ( k 1,2, , n 1 ）中的不同元素，经验证， M( , ) > 1.所以 S k ( k 1,2,,n 1 ）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素.取 e k (X 1,X 2, ,X n ) S k 且 X k 1x n 0(k 1,2, ,n 1).n 1 ，且满足条件.2 2逆序数为1的排列只能是将排列12 n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列, 所以 f n (1) n 1为计算f n 1(2)，当1, 2,…，n 的排列及其逆序数确定后， 将n 1添加进原排列，n 1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f n l (2) f n (2) f n (1) f n (O) f n (2) n .f n (2) [f n (2) f n l (2)] [f n1 (2) 2(2)]…[f 5(2) f 4(2)] f 4(2)(n 1) (n 2)f 4(2)因此,n > 5时，f n (2)2 2。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。
中国科学技术大学2018年数学分析考研试题及解答
证明: ak = o(k2), k → +∞.
2. 设 Φ(x) 为周期为 1 的黎曼函数.
(1) 求 Φ(x) 的连续点和间断点的类型.
(2) 计算积分
1 0
Φ(x)
dx.
3. 已知 Ω 为 R3 中的有界域, ⃗n 为单位向量. 求证: 存在以 ⃗n 为法向量的平面平分 Ω 的体积.
4. 已知 f (x) 为周期等于 2π 的奇函数, 当 x ∈ (0, π) 时, f (x) = −1. 试利用 f 的 Fourier 级数计算
t
2−t
=2
(f ′(x − t))2 + (g′(x + t))2 dx.
t
dF (t) dt = −2
(f ′(2 − 2t))2 + (g′(x))2
−2
(f ′(0))2 + (g′(2t))2
2−t
+2
−2f ′(x − t)f ′′(x − t) + 2g′(x + t)g′′(x + t) dx
7. 已知 Dt = {(x, y) ∈ R2 : (x − t)2 + (y − t)2 ⩽ 1, y ⩾ t} , f (t) = Dt x2 + y2 dx dy, 计算 f ′(0). 8. 已知 u(x) ∈ C[0, 1], u(x) ∈ C2(0, 1), u′′(x) ⩾ 0, 令 v(x) = u(x) + εx2, ε > 0.
t
= −4 (g′(2t))2 − 4 (f ′(2 − 2t))2 ⩽ 0.
计算上述积分时会用到
f ′(x)f ′′(x) dx =
f ′(x) df ′(x)
2018考研数学一真题及答案解析
2018考研数学一真题及答案解析2018年考研数学一真题及答案解析2018年考研数学一真题及答案解析是考研考生备考过程中非常重要的一部分。
通过对真题的分析和解答，考生可以更好地了解考试的难度和重点，有针对性地进行复习和训练。
本文将对2018年考研数学一真题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握考试内容。
第一部分：选择题选择题是考研数学一考试的重点和难点，也是考生们普遍关注的部分。
2018年的数学一选择题主要涉及概率与统计、线性代数和高等数学等内容。
下面将分别对每道题进行解析。
第1题：概率与统计该题考察了条件概率的计算。
题目给出了两个箱子，每个箱子里有两个球，一个红球和一个白球。
从第一个箱子中随机取出一个球放入第二个箱子，然后从第二个箱子中随机取出一个球。
问从第二个箱子中取出的球是红球的概率是多少。
解析：根据条件概率的定义，我们可以得出答案。
设事件A表示从第二个箱子中取出红球，事件B表示从第一个箱子中取出红球。
根据题意，我们需要求解的是P(A|B)，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
根据条件概率的公式，我们有P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
根据题目中给出的信息，我们可以得出P(A∩B) = 1/4，P(B) = 1/2。
将这些值代入公式，我们可以得出P(A|B) = 1/2。
第2题：线性代数该题考察了矩阵的特征值和特征向量。
题目给出了一个3阶方阵A，要求求解其特征值和对应的特征向量。
解析：根据线性代数的相关知识，我们知道特征值和特征向量是方阵的重要性质。
我们可以通过求解方程|A-λI|=0来求解特征值，其中A表示方阵，λ表示特征值，I表示单位矩阵。
将方阵A代入该方程，我们可以得到一个关于λ的多项式。
通过求解该多项式的根，我们可以得到方阵A的特征值。
然后，我们可以通过代入特征值求解线性方程组(A-λI)x=0来求解特征向量。
将特征值代入方程组，我们可以得到一组关于特征向量的线性方程组。
2018考研数学一真题及答案
2018 考研数学一真题及答案3．函数 f(x,y,z) x 2y z 2在点 (1,2,0)处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为的速度曲线 v v 1(t ) (单位：米 /秒)，虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) (单位：米 / 秒)， 三块阴影部分的面积分别为 10,20,3 ，计时开始后乙 追上甲的时刻为 t 0 ，则( ) (A ) t 0 10(B )15 t 0 20、选择题 1 — 8小题．每小题 4 分，共 32分．1 cos x１．若函数 f (x)ax b,,x 0在 x 0处连续，则x0A )1 ab2B ) ab1( C )ab 0 D ) ab 2详解 】lim x 0 处连续，cos x ax1必须满足 b ab2af (x)lim 1 x01x lim 2 x 0ax 1 ．所以应该选( A )21 2a， lim f(x) b f (0) ，要使函数在 x02．设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，则A )f (1)f ( 1) (B )f (1)f( 1) (C )f (1) f ( 1) D )f (1) f ( 1)详解 】设 g(x) 2(f(x))2，则g (x) 2f(x)f (x) 0，也就是 f (x)22是单调增加函就得到 f(1) 22f ( 1) 2f (1) f ( 1) ，所以应该选( C )A )12 (B ) 6(C ) 4D ) 2详解 】x2xy, f y x 2, f 2z ，所以函数在点 (1,2,0) 处的梯度为 gradf 4,1,0 ， z所以f (x,y,z)2xy 2 z 2在点 (1,2,0) 处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为 uur f r gradf n 0 n4,1,0 1 (1,2, 2) 2 应该选( D )3４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲(C ) t 0 25 (D ) t 0 25T2【详解 】由定积分的物理意义： 当曲线表示变速直线运动的速度函数时， S(t)2v(t)dt 表T1示 时 刻 T 1,T 2 内 所 走 的 路 程 ． 本 题 中的 阴 影 面 积 S 1, S 2,S 3 分 别 表 示在 时间 段0,10 , 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 t 25 时乙追上甲，应该C )．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则特征值为情况．000017．设 A,B 是两个随机事件，若 0 P(A) 1，0 P(B) 1，则 P(A/ B) P(A/ B)的充选 5．A ) ET不可逆B ) E T不可逆C ) E 2 T 不可逆D )E 2T不可逆T,ET,E 2 T ,E 2T的 特 征 值 分 别 为 0,1,1,L 1 ； 2,1,1,L ,1 ；1,1,1,L ,1 ； 3,1,1,L ,1．显然只有 存在零特征值，所以不可逆， 应该选(A )．2 6．已知矩阵 A 000 10 1000 2 0 ，则 0101002A ) A,C 相似， B,C 相似B ) A,C 相似， B,C 不相似 C ) A,C 不相似， B,C 相似D ) A,C 不相似， B,C 不相似详解 】矩阵 A,B 的特征值都是22, 31．是否可对解化，只需要关心 2的00对于矩阵 A ， 2E A 0 0，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2存在两个线性无关的特征向量， 也就是可以对角化，也就是A~C ．对于矩阵 B ， 2E B0 1 00 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值2只有个线性无关的特征向量， 也就是不可以对角化，当然B,C 不相似故选择( B )．类似，由 P(AB) P(A)P(B/ A), P( AB) P(A)P(B/ A) 可得所以可知选择( A )．列结论中 不正确 的是( )是正确的；Xn X 11 22n2 1 ~ N (0,1) 2(X n X 1)2 ~ 2(1)，所以( B )结论是错误的，应该选择( B )二、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分. 把答案填在题中横线上)1 9．已知函数 f (x) 12 ，则 f (3)(0) ．1 x 2(A ) P(B/ A) P(B/ A) (B )P(B/ A) P(B/ A)(C )P(B/ A)P(B/ A)(D ) P(B/ A)P(B/ A)详解】由乘法公式： P(AB)P(B)P(A/ B), P( AB ) P(B)(P(A/ B) 可得下面结论分必要条件是P(A/B) P(A/ B) P P ((A B B )) P P ((A B B )) P(1A) P P (B (A )B)P(AB) P(A)P(B)P(B/ A) P(B/ A)P(AB) P(AB) P(B) P(AB)1 P(A)P(A) P(A)P(AB)P(A)P(B)8．设 X 1,X 2,L ,X n (n2) 为来自正态总体 N( ,1)的简单随机样本， 若X nX i ，则i1 nA )(X ii1)2服从 2分布B ) 2 X n2X 1 服从2分布nC ) (X ii1X)2 服从 2 分布D ) n(X22)2 服从 2 分布解 ：( 1 ) 显 然 (X i)~ N (0,1) (X i22)2~ 2(1),i1,2,L n 且相互独立，所 以n(X ii1)2 服从 2(n) 分布，也就是( A )结论是正确的；2)2(X i X)2(n i11)S 2 (n 1)S22(n 1) ，所以( C )结论也是正确的；3)1注意 X ~ N( , )nn(X )~ N(0,1) n(X )2 ~ 2(1)，所以( D )结论也4)对于选项( B )：(X nX 1)~ N (0, 2)解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f (0) x n ，知 f (n)(0) n!a n ，其中 a n 为展 n 0 n! 开式中 x n 的系数．12 4 n 2n (3)由于 f(x) 2 1 x 2 x 4 L ( 1)n x 2n L ,x 1,1 ，所以 f (3) (0) 0．1x10．微分方程 y 2y 3y 0 的通解为 ．【详解 】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 2 2r 3 0有一对共共轭的 根 r 1 2i ，所以通解为 y e x (C 1 cos 2x C 2 sin 2x)具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有11 ． 若 曲 线 积 分L xdx aydyx 2在区域1(x, y)|x 2 y 21 内与 路径无 关， 则详解 】设 P(x,y)x 22 xy1,Q(x,y)ay2y，显然 1P(x, y),Q(x,y)在区域内12．幂级数( 1)n 1 nx在区间 ( 1,1) 内的和函数为n1详解 】n1) n1nx(n1n 1 n1) (x )n 1 n( 1) x n11x(11x)2所以 s(x)2,x(1 x)21,1)13．设矩阵 A13为线性无关的三维列向量， 则向量组 A 1,A 2 ,A 3的秩为详解 】对矩阵进行初等变换11 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于123为线性无关，所以向量组 A 1,A2,A3的秩为 2．x414．设随机变量 X 的分布函数 F(x) 0.5 (x) 0.5 ，其中 (x) 为标准正态分 2布函数，则 EX(t) dt 2三、解答题15．(本题满分 10 分)y f ( e x ,cos x ) ，求dy| dxsin xe x f 21 (e x ,cos x)sin 2xf 22(e x ,cos x)16．(本题满分 10 分)求 limk2 lnnk 1 n 2详解 】由定积分的定义17．(本题满分 10 分)详解 】在方程两边同时对 x 求导，得在( 1)两边同时对 x 求导，得nk k 1nk klim 2 ln 1 lim ln 1 nk 1 n nnn k 1 n n 11 2 10 ln(1 x)dx 2204 1x ln(1 x)dx详解 】随机变量 X 的概率密度为 f (x) F ( x) 0.5 (x) E(X) xf ( x)dx 0.5 x ( x)dx 0.25 x40.25 ( ) ，所以24)dxx (x 2 0.25x ( x 4) dx2 0.25 2 (2t 4) (t) dtd2y|x0．2 x 0dx详解 】dy dxf 1 (e x ,cos x)e x f 2 ( e x ,cos x)( sin x) ， dy |x 0 dx(1,1)；d 2y dx 2e xf 1(e x ,cosx) e x ( f 11(e x ,cos x)e x sinxf 12(e x ,cos x)) cos xf 2 ( e x ,cos x)设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，d 2ydx2 |x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．已知函数 y(x) 是由方程 x 33 y 33x 3y 2 0 ．223x 3 y y 3 3 y 01)222x 2y(y )2 y 2y y 0也就是y2(x y(y ) )21 y令y0 ，得x1 ．当x 11时， y 1 1 ；当 x 2 1时， y 2 0当x 11时， y0 ，y 1 0 ，函数y y(x) 取极大值 y 1 1； 当x21时，y 0 ， y 1 0 函数 y y(x) 取极小值 y 2 0． 18．(本题满分 10 分)设函数 f(x)在区间 0,1 上具有二阶导数，且 f(1) 0， lim f(x)0，证明： x 0 x(1)方程 f (x) 0 在区间 0,1 至少存在一个实根；22)方程 f(x)f (x) (f (x))2 0在区间 0,1 内至少存在两个不同实根．实根；(0, ) ，使得 f ( )19．(本题满分 10 分)设薄片型 S 是圆锥面 z x 2 y 2 被柱面 z 2 2x 所割下的有限部分， 其上任一点的密度为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．证明：( 1)根据的局部保号性的结论，由条件lim f (x) x 0x0 可知，存在 0 1，及x 1 (0, )，使得 f (x 1)0 ，由于 f ( x) 在 x 1,1 上连续， 且f (x 1) f (1) 0 ，由零点定理， 存在(x 1,1) (0,1) ，使得 f ( ) 0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 至少存在一个2)由条件 lim f (x)x 0x0 可知 f (0) 0 ，由 1 )可知 f ( ) 0，由洛尔定理，存在 设 F(x) f(x) f (x)条件可知F ( x) 在 区 间0,1 上可导，且F(0) 0,F( ) 0, F(0， 分别在区间 0, 上对函数 F (x) 使用尔定理，则存在1(0, ) (0,1), 2 (,) (0,1), 使 得12, F ( 1) F( 2) 0，也 就是方 程2f(x)f (x) ( f (x))20 在区间 0,1 内至少存在两个不同实根．1)求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程； 2)求 S 的质量 M . 详解 】(1)交线 C 的方程为 z x z 22 x 2 y 2，消去变量 z ，得到 x 2 y 2 2x 所以 C 在xOy 布上的投影曲线的方程为 y 2 2x0 2)利用第一类曲面积分，(x, y, z)dS得 9 x 2 y 2 z 2 dS x 2 9 x 2 y 2 x 2 y 2 2 x y 2 1 2 x 2x2y 2 2 dxdy x 2y 220．(本题满分 11 分) 设三阶矩阵 A 18 x2 y 2 2 x x 2 y 2dxdy 64 2 , 3 有三个不同的特征值，且 1)证明： r( A) 2； 2)若 123 ，求方程组 Ax 的通解． 详解 】( 1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是假若 r( A) 1时，则 r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r( A)r( A) 1． 2，又因为12 2 0 ，也就是123线性相关， r(A) 3 ，也就只有 r (A) 22) 因为 r ( A) 2 ，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．12 0 ，所以基础解系为 x2； 1又由 3，得非齐次方程组Ax 的特解可取为 1 ；1方程组 Ax的通解为 x k 211 ，其中 k 为任意常数．21．(本题满分 11 分)2 2 2设二次型f(x 1,x 2,x 3) 2x 1 x 2 ax 3 2x 1x 2 8x 1x 3 2x 2 x 3在正交变换 x Qy 下的标22准形为 1y 1 2y 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q ．2 1 4 详解 】二次型矩阵 A1 1 1 41 a1y 12 2y 22 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A 0，故 a 2.141 1 ( 3)( 6) 12令 E A 0得矩阵的特征值为 1 3, 2 6, 3 0．通过分别解方程组 （ i E A ）x 0 得矩阵的属于特征值 11）求概率 P （ Y EY ）；2）求 Z X Y 的概率密度．12 2 详解 】（1） EY yf Y （ y ）dy 2y 2dy . 03因为二次型的标准形为3 的特征向量 1属于特征值特征值26 的特征向量 20113 0 的特征向量 3 2611 1 132 6 1 所以Q 1 , 2 , 30 2 2为所求正交矩阵 6 1 1 1 32622．（本题满分 11 分）P{ X 2}1， Y 的概率密度2为 f (y)2 y,0 y 1 0,其他 1设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P X 02所以 P Y EY P Y 232) Z X Y 的分布函数为F Z (z) P Zz P X Yz PX Y z,X 0 P X Y z, X 2 PX 0,Y zPX 2,Y z21P{Yz} 12 P Y z 22 21 1F Y (z) F Y ( z 2)2 故 Z X Y 的概率密度为1f Z (z) F Z (z) f (z) f(z 2)2z, 0 z 1 z 2, 2 z 30, 其他23．(本题满分 11 分)某工程师为了解一台天平的精度， 用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量2是已知的，设 n 次测量结果 X 1,X 2,L ,X n 相互独立且均服从正态分布 N( , 2).该工程师 记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i X i,(i 1,2,L , n) ，利用 Z 1,Z 2,L ,Z n 估计参数1)求 Z i 的概率密度；2) 利用一阶矩求 的矩估计量； 3) 求参数 最大似然估计量．详解 】( 1)先求 Z i 的分布函数为当 z 0时，显然 F Z (z) 0； 当 z 0时， F Z ( z)P Z i zPX i zPX iz2 z 1 ；2 2 z22．所以 Z i 的概率密度为f Z (z) F Z (z)2e , z0, z0032 ydyF Z (z) P Z i z P X iX i2）数学期望EZ i2 2z 2 2z f (z)dz ze 2dz0 02令EZ Z 1 Z i ，解得的矩估计量n i122 Z 2 n．Z i．2n i 1 i3)设Z1,Z2,L , Z n的观测值为z1,z2,L ,z n ．当z i 0,i 1,2,L n时似然函数为L( ) f (z i ,2n) ( 2 )n e2 2 i 1zi取对数得：ln L ( nln2 2n ln(2 ) nln22 n2zi i1令d ln L( d )n 1n3i1z i2 0 ，得参数最大似然估计量为1n2 z i ．n i1。
2018数一真题解析与答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1、下列函数中，在0x =处不可导的是（）（A ）()||sin ||f x x x =（B）()||sin f x x =（C ）()cos ||f x x =（D）()f x =【答案】：（D ）【分析】因为对选项（A ），2200000()(0)||sin ||||lim lim lim lim lim 0(0)x x x x x f x f x x x x x f x x x x →→→→→-'======对选项（B ），000()(0)lim lim lim lim 0(0)x x x x f x f f x →→→→-'===（无穷小乘以有界量）对选项（C ），200001||()(0)cos ||112lim lim lim lim 0(0)2x x x x x f x f x x f x x x →→→→--'=====对选项（D ），0000()(0)1||2lim lim lim lim2x x x x f x f x x x x→→→→-===不存在因此选择（D ）2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与22z x y =+相切的平面方程为（）（A ）0z =与1x y z +-=（B ）0z =与222x y z +-=（C ）y x =与1x y z +-=（D ）y x =与222x y z +-=【答案】：（B ）【分析】设切点坐标为(,,)x y z ，则法向量为{2,2,1}x y -，故切平面的方程为2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=，因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故法向量与向量{1,1,0}-垂直，因此有220x y -=，即y x =…………………………………………①将y x =带入22z x y =+中，有22z x =…………………………………………………②将点(1,0,0)带入平面方程有222220x x y z --+=……………………………………③由①②③可得0,0,0x y z ===或者1,1,2x y z ===带回2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=中，可确定平面方程为0Z =或者222X Y Z +-=。
中山大学考研数学分析2018年真题及答案
中山大学2018年数学分析真题题目一、解答下面各题（每小题9分，共54分） 1. 求极限：lim x→0(1+tan x )2018x。
2. 若已知函数f(x)的二阶导数存在，f ′(x)≠0且存在x =f −1(y)，求(f −1)′′(y)。
3. 求极限：lim n→∞(1n +1n+1+ (1)2n)。
4. 设f (x,y )=xy 2z 3，函数z (x,y )满足 x 2+y 2+z 2=3xyz ，求ðfðx |(1,1,1)。
5. 计算∬(√x +√y)dxdy √x+√y≤1。
6. 计算∮x 2yzdx +(x 2+y 2)dy +(x +y +z)dz C，其中L 为曲面x 2+y 2+z 2=5与曲面z =1+x 2+y 2的交线，从z 轴正向看过去时顺时针方向。
二、（10分）判断级数∑n√n+(−1)n∞的收敛性。
三、（10分）求f (x,y,z )=xyz 在约束条件x 2+y 2+z 2=1与x +y +z =0下的极值。
四、（10分）证明：∑1n 2+1∞n=1<12+π4。
五、（10分）设f (x )在(−∞,+∞)上连续，且lim x→−∞f(x)与lim x→+∞f(x)存在，证明f (x )在(−∞,+∞)上一致连续。
六、（20分）f (x )在(x 0−1,x 0+1)上连续，在(x 0−1,x 0)∪(x 0,x 0+1)上可导，且lim x→x 0f ′(x)=a 。
证明：f ′(x 0)存在，且f ′(x 0)=a 。
七、（10分）求级数∑(1+12+···+1n )x n 的收敛域。
八、（10分）求f (x )=e x +e −x +2cos x 的极值。
九、（10分）判断f (x )=xsinx 14在[0,+∞)上的一致连续性。
十、（10分）讨论∑x n nlnn ∞n=2在[0,1)上的一致收敛性。
浙江大学2018年数学分析考研试题及解答
{xn} 收敛到 x0. 由 f (xn) = 0 以及 f (x) 的连续性, 取极限得 f (x0) = 0, 因此 x0 ∈ (0, 1). 前面的数列 {xn} 可以取成单调数列, 用罗尔定理可以得到一个趋于 x0 的单调数列 {yn}, 使得 f ′(yn) = 0. 如果 f ′(x0) = 0, 则得到矛盾. 最后用反证法来证明前一句话, 从而完成证 明.
|f ′(x) − f ′(y)| < L|x − y|.
证明: (f ′(x))2 < 2Lf (x).
2
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浙江大学 2018 年数学分析试题参考解答
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浙江大学 2018 年数学分析考研试题参考解答
1. (1) 因为 故 于是
(2) (3)
sin kπ = kπ + O n2 n2
.
(3) 求
Rxdydz + (z + R)2dxdy
,
Σ
x2 + y2 + z2
其中 Σ 为 x2 + y2 + z2 = R2 的下半球面的上侧, R 为一常数.
2. (10 分)
(1) 用极限定义叙述 limx→+∞ f (x) ̸= +∞.
(2)
证明
limx→+∞
x√sin x x+1
̸=
+∞.
原式 = 1
Rx dy dz + (z + R)2 dx dy
RΣ
1 =−
Rx dy dz + (z + R)2 dx dy + 1
R Σ∪{z=0}
R
1 =−
[R + 2(z + R)] dx dy dz + πR3
2018年考研数学一真题及答案解析
2018年考研数学一真题及答案解析2018年考研数学一真题及答案解析2018年考研数学一真题是考研数学考试中的一道难题，涉及到了多个数学知识点，需要考生具备扎实的数学基础和解题能力。
本文将对2018年考研数学一真题进行详细的解析，帮助考生更好地理解和掌握这道题目。
题目要求考生证明一个等式，具体的等式如下：∫(0到π/2) [xsin(x)]^2 dx = (π^3 - 8)/12首先，我们可以将被积函数展开为幂级数，即sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...然后，我们将被积函数的平方展开为两个幂级数的乘积，即[xsin(x)]^2 = (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...)^2接下来，我们将幂级数的乘积展开，得到[xsin(x)]^2 = x^2 - 2x^4/3! + 2x^6/5! - 2x^8/7! + ...现在，我们可以对等式两边进行积分，得到∫(0到π/2) [xsin(x)]^2 dx = ∫(0到π/2) (x^2 - 2x^4/3! + 2x^6/5! - 2x^8/7!+ ...) dx我们可以逐项积分，得到∫(0到π/2) x^2 dx - 2∫(0到π/2) x^4/3! dx + 2∫(0到π/2) x^6/5! dx - 2∫(0到π/2) x^8/7! dx + ... = (π^3 - 8)/12接下来，我们来计算等式左边的每一项积分。
首先，计算∫(0到π/2) x^2 dx，根据积分的基本公式，我们有∫(0到π/2) x^2 dx = [x^3/3] (从0到π/2) = (π^3 - 0^3)/3 = π^3/3然后，计算∫(0到π/2) x^4/3! dx，同样根据积分的基本公式，我们有∫(0到π/2) x^4/3! dx = [x^5/5! × 3] (从0到π/2) = (π^5/5! × 3 - 0^5/5! ×3)/3 = π^5/5! × 3/3 = π^5/5!接下来，计算∫(0到π/2) x^6/5! dx，同样根据积分的基本公式，我们有∫(0到π/2) x^6/5! dx = [x^7/7! × 5] (从0到π/2) = (π^7/7! × 5 - 0^7/7! ×5)/5 = π^7/7! × 5/5 = π^7/7!最后，计算∫(0到π/2) x^8/7! dx，同样根据积分的基本公式，我们有∫(0到π/2) x^8/7! dx = [x^9/9! × 7] (从0到π/2) = (π^9/9! × 7 - 0^9/9! ×7)/7 = π^9/9! × 7/7 = π^9/9!将以上结果代入等式，我们得到π^3/3 - 2(π^5/5!) + 2(π^7/7!) - 2(π^9/9!) + ... = (π^3 - 8)/12我们可以观察到，等式左边的每一项都是π的幂次的阶乘的倍数，而等式右边是一个有限的数。
2018年考研数二第八题
2018年考研数二第八题
2018年考研数学二第八题为：
在椭圆 C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 上取一点 P，将 P 与椭圆的两焦点 F₁，F₂相连，证明：PF₁ × PF₂的面积最大值为 a^2。
要证明这一点，我们可以按照以下步骤进行：
第一步，设椭圆上的点为 P(x₀, y₀)，焦点 F₁(-c, 0)，F₂(c, 0)，其中 c = sqrt(a^2 - b^2)。
第二步，根据椭圆的定义，我们知道 PF₁ + PF₂ = 2a。
第三步，利用椭圆的焦半径公式，我们可以计算出 PF₁和 PF₂的长度。
第四步，根据基本不等式，我们知道 (PF₁ - PF₂)^2 ≥ 0，进一步推导得到PF₁ × PF₂ ≤ a^2。
第五步，因此，PF₁ × PF₂的面积最大值为 a^2。
综上所述，我们证明了在椭圆 C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 上取一点 P，将 P 与椭圆的两焦点 F₁，F₂相连，PF₁ × PF₂的面积最大值为a^2。
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2018考研数学常见出证明题
要命的数学每年都会难倒一大批考研党，各位考研党可得在数学上多下功夫了。
在此整理了容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强, 涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1. 零点定理和介质定理；
2. 微分中值定理；
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3. 微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。