理论力学1.1力和力矩
理论力学中的力矩与力的计算与分析
理论力学中的力矩与力的计算与分析力矩是力在物体上产生转动的效果。
在理论力学中，力矩是一种重要的物理量，它可以帮助我们分析和计算物体的平衡状态和运动情况。
本文将介绍力矩的概念、计算方法以及力和力矩的关系，并通过一些实际例子来说明它们的应用。
1. 力与力矩的定义和计算力是物体受到的作用，可以引起物体的形变或运动。
力的大小用牛顿（N）来表示，方向用箭头表示。
在力的作用下，物体会产生力矩。
力矩的计算公式是：力矩 = 力 x 杠杆臂。
杠杆臂是力矩的重要参数，它是指力线与转轴之间的垂直距离。
力的方向和杠杆臂的方向相互垂直时，力矩最大，力对物体的转动效果最明显。
力矩的单位是牛顿米（N·m）。
2. 力矩与平衡条件在物体处于平衡状态时，力矩的总和为零。
这是力学中的一个基本原理，即力矩平衡条件。
根据力矩平衡条件，我们可以计算出物体所受力的大小和方向。
例如，一个杆上挂着两个质量相同的物体A和B，物体A与支点的垂直距离为d1，物体B与支点的垂直距离为d2。
在物体A和B的重力作用下，杆会受到一个向下的重力（由于重力的作用点在杆的中心）。
根据力矩平衡条件，我们可以得到：物体A产生的力矩：M1 = m·g·d1物体B产生的力矩：M2 = m·g·d2杆受到的重力产生的力矩：M3 = 2m·g·(d1 + d2)由于处于平衡状态，力矩总和为零，即M1 + M2 + M3 = 0。
通过解方程可以计算出物体A和B所受重力的大小和方向。
3. 力矩在静力学中的应用力矩在静力学中有广泛的应用。
例如，我们可以使用力矩来分析平衡悬挂物体的情况。
考虑一个悬挂在两个绳子上的物体，绳子的夹角为θ。
当物体处于平衡状态时，绳子所受张力的大小和方向可以通过力矩平衡条件来计算。
假设绳子A的张力为T1，绳子B的张力为T2，物体的重力为G。
根据力矩平衡条件，我们可以得到：绳子A产生的力矩：M1 = T1·d1绳子B产生的力矩：M2 = T2·d2物体的重力产生的力矩：M3 = G·h在平衡状态下，力矩总和为零，即M1 + M2 + M3 = 0。
理论力学答案完整版(清华大学出版社)1
本章要点：
一、 三个概念：力、力矩和力偶 1 力： 力的定义、力的三要素、集中力、分布力；
力的投影：直接投影法和二次投影法；力在平行轴上的投影都相等； 力的合成：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则； 合力投影定理 2 力矩：力对点之矩的定义、力对点之矩的三要素、对点的合力矩定理； 力对轴之矩的定义、力对轴之矩和对点之矩的关系、对轴的合力矩定理； 3 力偶：力偶的定义、力偶的三要素、力偶的等效条件； 力偶系的合力偶等于分力偶的矢量和.
解：ξ 轴与 y 轴的交点为 B，合力对 B 点的力矩为 M B = FRx 3k − FRz 3i ；
ξ 轴方向的单位向量为：ξˆ = 1 (3i − 2k )。
13
利用力对点吱矩与力对轴之矩的关系有：
Mξ = M B ⋅ξˆ = −513.4 (N) 。
1-4 图示平面 Π 在各坐标轴上的截矩分别为 a,b, c ，且 a = b 。计算图示力 F 和力偶 M
解：（a）图示三铰拱，BC 半拱为二力构件，约束力一定是沿 BC 连线作用，铰链 A 处的约 束力方向由三力平衡汇交定理确定。
题 1-7（a）图 （b）图示三铰拱，铰链 A、B 和 C 三处的约束力方向都不能确定，因此用两个分力力表示。
3
题 1-7（b）图 （c）图示三铰拱，BC 半拱为二力构件，约束力一定是沿 BC 连线作用，AC 半拱上除约束 力外仅有力偶作用，因力偶只能与力偶平衡，因此 A、C 处的约束力必互相平行并组成力偶。
题 1-9（d力的大小为：
其中： cosϕ1
=
3 13 13
， cosγ 2
=
22 11
；ϕ2
=
45o
。
FR = FR2x + FR2y + FR2z = 645 (N) ；
理论力学-力的分解与力的投影以及平面力系中的力矩
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
F R F 1 F 2 L L F nF
F R F x i F y j,F i F x ii F y ij( i 1 ,2 ,L n )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2Fy217.31N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0 .754
FR
cos F y 0 .656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F2 y
三、力在空间坐标轴上的投影
力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算
直接投影法
z
Fx F cos
F
y
F
cos
F z F c o s
F
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
O
y
x
第一章 静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
理论力学中的力矩与力矢量分析
理论力学中的力矩与力矢量分析理论力学是研究物体运动原理和力学性质的学科，其中力矩和力矢量是重要的概念。
力矩描述了力对物体的转动效应，而力矢量则描述了力的方向和大小。
本文将介绍力矩和力矢量的定义、性质和在理论力学中的应用。
一、力矩的定义与性质力矩是由力对物体的转动产生的效应。
它的定义为力矩=M=rFsinθ，其中M代表力矩，r代表力对物体转轴的垂直距离，F代表力的大小，θ代表力与转轴之间的夹角。
力矩的单位是牛顿·米(N·m)。
力矩具有以下性质：1. 力矩的大小与施力点到转轴的距离成正比。
当固定一力的大小和方向时，力矩随着施力点到转轴的距离增加而增加。
2. 力矩的大小与力的大小成正比。
当施力点到转轴的距离固定时，力矩随着力的大小增加而增加。
3. 力矩的方向由力和转轴之间的夹角决定。
当转轴可以看作一根轴时，力矩遵循右手定则：将右手的四指放在转轴上，四指的方向与力的方向相同，然后大拇指的方向即为力矩的方向。
4. 处于平衡状态的物体受到的合力矩为零。
当物体所受力矩的和为零时，物体处于平衡状态。
二、力矢量的定义与性质力矢量是用于描述力的方向和大小的物理量。
它可以用箭头表示，箭头的长度代表了力的大小，箭头的方向代表了力的方向。
力矢量具有以下性质：1. 力矢量的大小由力的大小决定。
力的大小越大，力矢量的长度越长。
2. 力矢量的方向由力的方向决定。
力的方向越变化，力矢量的方向越随之变化。
3. 多个力的合力可以通过力矢量的几何求和得到。
将每个力的力矢量放在同一起点，然后将他们相加，得到的结果即为合力的力矢量。
4. 力矢量满足平行四边形法则。
将两个力的力矢量按照顺序相连，形成一个平行四边形，那么对角线的力矢量就是合力的力矢量。
三、力矩与力矢量在理论力学中的应用力矩和力矢量在理论力学中被广泛应用，具有重要的意义。
以下是它们在理论力学中的应用：1. 刚体的平衡条件：根据力矩的定义，刚体处于平衡状态时，合力矩为零。
《理论力学》基本力系
接触点处受到法向约束力的作用。
03
铰链约束
铰链约束是指两个构件通过销钉或铰链连接在一起，并能绕销钉或铰链
相对转动。这种约束只能限制物体沿垂直于销钉轴线的运动，而不能限
制物体绕销钉的转动。
平衡条件及求解方法
平面力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和主矩都为零。即所有各力在x轴和y轴 上的投影的代数和分别等于零；所有各力对任意一点之矩的代数和也等于零。
汇交力系平衡条件应用
平衡条件
汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零，即力多边形自行封闭。
应用
在静力学中，汇交力系平衡条件可应用于求解未知力、判断物体是否平衡等问题 ；在动力学中，可用于分析物体的运动状态及受力情况。
04 平面任意力系简化与平衡
平面任意力系简化方法
向一点简化
选择适当的一点，将力系中的各 力向该点平移，得到一个等效的 平面汇交力系和一个平面力偶系。
主矢和主矩
平面任意力系向作用面内任一点 简化时，一般可得到一个力和一 个力偶，这个力称为该力系的主 矢，这个力偶的矩称为该力系对
简化中心的主矩。
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内 任一点之矩，等于力系中各分力
对于同一点之矩的代数和。
简化结果分析
当主矩为零时，主矢也为零
01
说明该力系本身是平衡的，或者可以合成为一个合力。
合力矩
主矩表示原力系对物体的 总体转动效应，其大小和 方向由主矩矢量确定。
平衡条件
当且仅当主矢和主矩都为 零时，空间任意力系才处 于平衡状态。
空间任意力系平衡条件应用
静力学问题
利用空间任意力系的平衡条件，可以解决各种静力学问题， 如物体的平衡、刚体的平衡等。
理论力学自学全部教程
○集中力—集中作用于物体上一点的力.
中新口腔
分 布 力
中新口腔
F1
F2
集 中 力
中新口腔
实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能 的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力， 一切真实力都是分布力。
P
A
B
C
集中力只是分布力在一定条件下的理想化模 型。能否进行这种简化主要取决于我们所研究的 问题的性质。
h
Plane determined by O and F
MO (F)通常被看作为一个定位矢量，习惯 上总是将它的起点画在矩心O处，但这并不 意味着O就是MO (F)的作用点。
中新口腔
力矩矢的三要素
力矩矢的三要素为大小、方向和矩心。 MO (F)的大小即它的模
MO(F) = r F Frsin Fh
O●
h r
MO(F) Fh
F 中新口腔
O●
h
MO(F) = ± Fh
F
正负号通常规定为:
+
逆时针为正
–
顺时针为负
中新口腔
平面问题 —矢量表达式
z
MO(Fxy)=(rxy× Fxy) ·k
k
Fxy
y
O
h
rxy
x
中新口腔
力矩的单位在国际单位制(SI)中为牛顿·米 (N·m)或千牛顿·米(kN·m)。
中新口腔
吊车梁的变形
δ
• 吊车梁在起吊重 物时所产生的最 大挠度 δ 一般不 超过梁的跨度的 1/500
中新口腔
这种小变形对于两端支承力的影响是微不足 道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可 简化为刚体。
但在研究吊车梁的强度问题时，就不能这 样简化了。
理论力学力和力矩
32
例1 一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图所示。已知 F1=2000N，水平向左；F2=2500N，与水平成30°角； F3=1500N，铅垂向下，试用解析法求合力的大小和 方向。
2019/11/19
33
解：以三力的交点O为坐标原点，分别计算各力的投影 F1x F1 2000,F1y 0 F2x F2 cos 30 2500 0.866 2165(N ), F2y F2 sin 30 2500 0.5 1250(N ) F3x 0,F3y F3 1500(N )
F1
F2
2019/11/19
27
● 分布力(distributed force) 与集中力(concentrated force)
○分布力
表面力(surface forces): 连续作用于物体的某一面积上的力. 体积力(body forces): 连续作用于物体的某一体积内的力.
○集中力—集中作用于物体上一点的力.
度和稳定性。
固体力学
弹性力学： 研究非杆结构在弹性阶段
的强度、刚度和稳定性。
流体力学： 研究流体受力与运动规律。
2019/11/19
9
绪论
4、理论力学的研究对象和内容
理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学
静力学：研究受力物体在力系作用下的平衡；
运动学：从几何角度研究物体的运动；
动力学：研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
作用在物体上同一点的两个力的合力仍作用于该点,其 合力矢等于该二力的矢量和。
FR F1
F2 A
FR = F1 + F2
F3
力 的
力和力矩
F
sin sin( 180 )
2020年3月27日 11
理论力学CAI
作用和反作用公理
作用力与反作用力同时存在，大小相等、方向 相反、沿同一作用线分别作用与不同的物体。
作用力与反作用力
2020年3月27日 12
理论力学CAI
2020年3月27日 13
理论力学CAI
刚化公理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成 刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
2020年3月27日 10
理论力学CAI
力的平行四边形公理
在同一作用点上作用的两个力，其合力的大小与 方向由平行四边形的对角线来确定。
合力计算用余弦定理
F F12 F22 2F1F2 cos
合力方向用正弦定理：
F1
3. 力的三要素：大小，方向，作用点
F
力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 千牛顿(kN)
2020年3月27日 6
理论力学CAI
二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 |
方向相反、作用线共线， F1 = –F2
作用于同一个物体上。
2020年3月27日 3
理论力学CAI
若作用于同一刚体的两组不同力系能使该刚体的运动 状态产生完全相同的变化，则称这两组力系互为等效。 一个力系用其等效力系来代替，称为力系的等效替换。
用一个简单力系等效替换一个复杂力系，称为力系的简化。
若力系与一个力等效，则称后者为该力系的合力。 平衡力系也可定义为简化结果为零的力系。
理论力学概念整理-第1章
∴ F=
P
2(1+ cosθ )
这说明绳索所受拉力与两绳夹角有关，夹角愈大，拉力愈大，可知图(b)绳 索易断。
力的投影，力矩与力偶
10、如图 1.10 所示，长方体棱边受力 F，计算力对 AC 轴之矩 M (F)时， AC
[M
A(F )]
≠
AC
[M
C (F )] AC
，对吗？
C
F
A
图 1.10
7
答：不对。力对轴之矩，等于力对该轴上任一点之矩在此轴上的投影。故
A
B
C
(a)
P
D
FB
B
(b)
C
FC
13
FBy FBx
B
FCy
C
FCx
(c)
FAx
FAy
FB'
A
B
(d)
图 1.22
M A FAy FB'
FAx
A
B
(e)
杆 AB 受力图。有两个错误：(1)丢了约束力偶矩 M A ；(2) FB' 的指向应与 F B 反向。正确表示如图(e)。
25．如图 1.23(a)所示结构的整体受力图有下列几种画法，哪种正确？
G
G
FN'
FN
示意图 3
5
6．如图 1.6(a)所示，AC 杆和 BC 杆受力图(b)对吗？
A
C
B
P
（a）
A
FA
B
FB
C
C FC FC'
P
（b）
图 1.6
答：AC 杆受力图正确。但 AC 与 BC 之间在 C 点处的约束力不符合作用与
理论力学题目,力和力矩
解： 1.取整体为研究对象。 取整体为研究对象。 取整体为研究对象
FAy FAx
FCx FCy
G
∑M (F) = 0,
C
5r *G − 2r * FAx = 0
FAx = 2.5G
解得
2.取杆AB为研究对象 取杆AB为研究对象 取杆AB
FAy FAx FE FBx FBy
∑M (F) = 0,
B
D
4m 2m 2m 2m D
FDx
M + F sin 60°×4 + F cos 60°×4 − FBy ×6 − FBx ×4 = 0
FDy
FBx = 20.75 k N
FBy
F
60° C B
∑F =0
x
FBx
E
FBx − F cos 60° − FDx = 0
2m
M
4m 2m 2m D
FDx = 13.25 k N
B
F
60°C 2m E M 4m 4m 2m 2m 2m D
∑M
C
=0
2 2
A
α
M −FD 4 + 2 = 0 −F
C
FD = 8.95 kN
FC 4m α 2m M D FD
F
2.再取 为研究对象， 再取BC为研究对象 再取 为研究对象， 受力分析如图。 受力分析如图。
A
B
60°C 2m E M 4m
Gr = 10G1 , R
Fr = F tan α = 3.64G1 FBy = G + G2 + F = 32G1
FBx = Fr = 3.64G1 ,
2. 再取 轮为研究对象， 再取Ⅰ轮为研究对象 轮为研究对象， F′ 受力分析如图所示。 受力分析如图所示。
理论力学题目力和力矩
不计, 求三根杆所受的约束力。
3
2
C
M
B
φ A
a
1
∑MA = 0 －F2·a cos φ －M = 0
F3
3
C M
φ
a
A
∑MB = 0F1 1 Nhomakorabea2
B F2
－F3 ·a sin φ －M = 0 ∑MC = 0
－F1sin φ ·acos φ －M = 0
三矩式
D
解：1. 选取整体研究对象， FA
受力分析如图所示。
K
A
由平衡方程
C
FEy
BⅠ
M E F 0,
FA
2 2l + G 5 l 0 2
E
FEx
Fx 0, FA cos 45 + FEx 0
Fy 0, FA sin 45 + FEy G 0
G
得
FA
5 8
2
G
FEx
5G 8
FEy G FA sin
解： 1.取整体为研究对象。
FAy FAx
FCx FCy
G
MC F 0, 5r *G 2r * FAx 0
解得
FAx 2.5G
2.取杆AB为研究对象
FE
FAy FAx
FBx FBy
MB F 0, 2r * FAx 2r * FAy r * FE 0
FAy 2G
Ⅱ R
r BⅢ
平面力系平衡方程的各种形式
Rx 0 Ry 0
➢ 一矩式 (标准形式)
MO 0
Rx 0 M A 0 M B 0 ➢ 二矩式 (AB连线不与x轴垂直)
力的单位 国际单位制牛顿(N)千牛顿(kN)
F Fk r OD ai ck 设对角线OC的单位矢量为e，则有
e (ai bj ck) / a2 b2 c2 M OC (F ) M0 (F ) e r F e
Fab/ a2 b2 c2
2019年5月16日 27
2019年5月16日 11
理论力学CAI
二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
Fx F sin cos Fxy cos F cos cos
Fy F sin sin Fxy sin F cos sin
理论力学CAI
2019年5月16日 16
理论力学CAI
2019年5月16日 17
理论力学CAI
MO( F ) r F
MO( F ) r F sin( r,F ) F h
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。
2019年5月16日 18
理论力学CAI
理论力学CAI
1.2 力矢量的坐标表示 F Fx i Fy j Fz k Fx F i F cos( F，i )
F Fx 2 Fy 2 Fz 2
2019年5月16日 10
理论力学CAI
一次投影法（直接投影法）
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos
2019年5月16日 8
理论力学CAI
F1 F2 W 或 F1 F2 W 0
则 F1 ，F 2 和 W 必组成封闭的力三角形（见图b）， 利用几何关系导出
F1
理论力学课件 力矩、主矩、力的作用量、力偶
力对轴之矩正负由右手法则确定，从轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
FxFyr三、平面上力对点的矩平面上力对点的矩为代数量。
()()kF r F M xy xy O v v vv ⋅×=例1-9 已知α，AO =h ，OC =r ，求水平力F 对C 点的矩。
()ααcos sin Fh Fr r F h F F M y x C −=+−=vxFyF 解F v分解力αcos F F x =αsin F F y =板式的、均匀的，且沿翁。
绘出不倒翁的重心大体在什么范围才能保证不倒翁真正不倒？门轴略内倾。
这种柜子可以自动关门，定性说明其原因。
思考题1、如图所示的楔形块A、B自重不计，接触处光滑，则A、B的平衡情况是怎样的？不平衡2、根据力的可传性,可以将力F沿其作用线移至那里?A，B二、力偶的特征量0v v v v =′+=F F F V F r F r r OB OA v v v v v ×=×−=)()(F r F r OB OA v v v v −×+×=力偶的主矢为对任意点主矩恒等于矢量积，而与矩心的位置无关。
F r v v ×主矩与矩心无关,力偶只能使刚体转动主矢为零.力偶不能使刚体移动力偶对任意点O 的主矩为F r F r M OB OA O v v v v v ′×+×=力偶矩矢量是自由矢量（大小、方向）4.01+×−×=F F F m。
建筑力学-第2章 力、力矩、力偶
解 由式（1-2）可得出各力在x、y轴上的投影为
F1x =F1cos45=100N×0.707=70.7N F1y =F1sin45 =100N×0.707=70.7N
y A。2
F1
F2x=-F2cos30=-150N×0.866=-129.9N F2 60
F2y=-F2sin30=-150N×0.5=-75N F3x =F3cos90=0
第二章 力、力矩、力偶 理论力学部分
刚体 and 质点
第1节 力和力偶
力的概念
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态
发生变化（运动效应），或者使物体的形状发生改变（变形效
应）。 力的效应
运动效应 变形效应
平动效应 转动效应
力的三要素
大小 方向 作用点
力的单位
牛顿（N） 千牛（kN）
F' d
力偶的性质
必须指出，力偶的搬移或用等效力偶替代，
1)力力偶偶对作物为体一只种产特生殊对转力物动系体效，的应具运，有动而如效不下应产独没生特有移的影动性响效质，应：但，影因响此对，物一体个 力偶既不能用一个力代的替变，形也效不应能。和一个力平衡（力偶在任何一个
坐标轴上的投影等于零）。力与力偶是表示物体间相互机械作用的
力的性质
力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。 通过力作用点并沿着力方向的直线，称为力的作用线。
F
A 50N
F2 D F
B
A F1 C
作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也 作用于该点，合力的大小、方向由这两个力为邻边所构成的平行 四边形的对角线来表示。
力的平行四边形法则
F=F1+F2
解 （1）构件的简化。 （2）支座的简化。 （3）荷载的简化。
空间力系—力对点的矩和力对轴的矩(理论力学)
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理 1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理 3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即FR=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
理论力学第1章-力系的简化
几何静力学: 刚体: 力: 力系: 等效力系: 平衡力系: 平衡条件: 基本任务:
用矢量方法研究物体的平衡规律。 不变形的物体、任意两点距离保持不变 相互作用、产生外或内效应、三要素（矢量） 平面 (一般、平行 、汇交) 一组力： 空间 具有相同的外效应（力系的等效、简化） 作用在平衡物体上的力系、与零力系等效 平衡力系满足的条件 力系的简化与力系的平衡
合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。 (2)对轴 上式在任意轴投影 M x (FR ) M x (Fi ) 上述证明是对汇交力系完成的，但是合力矩定理 适用于合力存在的任意力系！
1.2.3 力偶 1.力偶的概念 1)实例:
F
F
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 ( F , F )
a
z
M
n
a
o
a
y
x
3 Mx My Mz M 3
1.2.3 力偶 3.合力偶矩定理 1)对点:
z
z
M1
Mn
M
M2
Mn
M1 M2
o
M n-1
x y
o
M n-1
x
M3
M3
y
M Mi
合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
1.2.3 力偶 2)对轴:
上式投影
M x M ix M y M iy M z M iz
1.1 静力学公理 推论1 (力对刚体的可传性）
B A
加
F
B
F
减
B
F
A
A
F F 力对刚体为滑移矢量。作用点
作用线
适用:
同一刚体
1.如图，力F滑移，改变哪些受力与变形?
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2. 理论力学的力学模型
质点(particle) 质点系(system of particle ) 刚体(rigid body) 刚体系(system of rigid body)
2020/3/6
5
3、学习理论力学的目的
简单力学问题－ 大部队过桥时不能齐步走
高等力学问题－ 冲击载荷的概念： 人跑步时脚上的力量有多大？ 损伤累积与结构寿命 与跑步的次数有关
2020/3/6
3
人跑步时脚上的力量有多大？
脚上的力量
12500N
6000N
3000N
2020/3/6
3500N
4500N
假设人体重量为750N
4
绪论
1. 理论力学的仼务
F2 A
FR = F1 + F2
F3
力
的
F'R FR
三 F1 角
形
法
A
F2
则
力的多边形法则
2020/3/6
F'R = F1 + F2 + F3
25
力的分解
F1
F = F1 + F2
F1
力的分解不是唯一的。
力的正交分解
A
F
F2 F2
Fy
F
F = Fx + Fy
A
Fx
2020/3/6
26
● 作用力和反作用力
2020/3/6
40
规定F与h的乘积作 为力F使扳手绕支点O转 动的效应的度量，称为力 F对O点之矩，用符号 M0(F)表示，即
M 0 (F ) Fh 2ABO
若力F使物体绕 O点逆时针转动,力矩为正;反之为负。 力矩的单位：N.m 或 kN.m
2020/3/6
41
MO(F)=r×F
度和稳定性。
固体力学
弹性力学： 研究非杆结构在弹性阶段
的强度、刚度和稳定性。
流体力学： 研究流体受力与运动规律。
2020/3/6
9
绪论
4、理论力学的研究对象和内容
理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学
静力学：研究受力物体在力系作用下的平衡；
运动学：从几何角度研究物体的运动；
动力学：研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
● 力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空间任意一点O的力矩 定义为
MO(F) = rF
式中O点称为矩心(center of moment)，r为矩心 O引向力F的作用点A的矢径，即力对点的矩 (moment of a force about a point)定义为矩心到 该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
理论力学
主讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2020/3/6
1
假设小鸟的质量为100克，飞机的飞行 速度为200米/秒，小鸟与飞机的碰撞时 间为0.001秒。小鸟在空中的速度很小， 可以看成为零。因此，在飞机上看来， 小鸟在空中的速度约为200米/秒。
飞鸟与空中飞机机翼相撞
2020/3/6
ห้องสมุดไป่ตู้
2
－力学素质的重要性 －从简单力学问题到高等力学问题。
力学上习惯将作用力与反作用力用同一个字母表示，在反 作用力上加“＇”以示区别。即作用力用F1表示，反作用 力用F1＇表示。
2020/3/6
17
力的三要素及其表示：
力的作用线
F
（1）力的大小，
A
力的三要素： （2）力的方向，
（3）力的作用点。
F
F0
可用一矢量表示F
（定位矢量或固定矢量）
力的单位 N（牛顿）、kN（千牛）
○分布力
表面力(surface forces): 连续作用于物体的某一面积上的力. 体积力(body forces): 连续作用于物体的某一体积内的力.
○集中力—集中作用于物体上一点的力.
2020/3/6
28
2020/3/6
分 布 力
29
F1
F2
2020/3/6
集 中 力
30
实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能 的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力， 一切真实力都是分布力。
Fy 2 F2 cos 60 0 500 N
F 0 2020/3/6 z2
38
对F3 应采用二次投影法
Fx F sin cos Fy F sin sin
Fz F cos
sin BC
42 32
0.8944
AB
4 2 32 2.52
力的另一重要性质是由牛顿第三定律 (Newton’s third law)所描述的作用力和反作用 力之间的关系，即:
两个物体之间的作用力与反作用力总是同时 存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线， 并分别作用在两个不同的物体上。
F1
F2
2020/3/6
27
● 分布力(distributed force) 与集中力(concentrated force)
z F
y
x
Fxy
2020/3/6
36
已知力F在各坐标轴上的投影，则可求得力F的大 小和它相对于各轴的方向余弦，即
cos(F, i) Fx / F
cos(F, j) Fy / F
cos(F, k)
Fz
/
F
2020/3/6
37
练习2 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，求：各力在坐
FRx Fx 2000 2165 0 4165(N ) FRy Fy 0 1250 1500 2750(N )
FR FRX 2 FRY 2 (4165)2 (2750)2 4991(N ) 合力FR 应在第三象限
2020/3/6
F y F sin sin 1 5 0 0 0 .8 9 4 4 0 .8 1 0 7 3 N
F z F co s 1 5 0 0 0 .4 4 7 2 6 7 1 N
2020/3/6
39
1.1.2 力对点的矩
力矩(moment of a force)是用来量度力使物体 产生转动效应的概念。
为解决工程实际问题打下一定的基础。
计算机硬盘驱动器
给定不变的角加速 度，从启动到正常运 行所需的时间以及所 需经历的转数。
已知转台的质量及
其分布，当驱动器到
达正常运行所需角速
度时，驱动马达的功
率如何确定?
2020/3/6
6
有助于培养正确的分析问题和解决问题的能力，为 今后解决生产实际问题、从事科学研究工作打下基础。
13
第一篇 静力学
※ 物体的受力分析 ※ 力系的等效替换（或简化） ※ 建立各种力系的平衡条件
2020/3/6
14
第1章 静力学基础
※ 静力学基本概念及静力学基本概念公理 ※ 约束和约束反力 ※ 物体的受力分析和受力图 ※ 结论与讨论
2020/3/6
15
1.1 力和力矩
1.1.1、力的概念
力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的 机械运动状态发生变化，或者使物体产生变形。 作用方式：
h
力臂
Plane determined by O and F
MO (F)通常被看作为一个定位矢量，习惯 上总是将它的起点画在矩心O处，但这并不
意味着O就是MO (F)的作用点。
圈操
C vC ω
艺术体操运动员使圈高速转动，并在地面上向 前抛出，不久圆圈可自动返回到运动员跟前。我 们应该怎样来解释这种现象
2020/3/6
7
为学好后续课程做好准备。
后续课程：材料力学 结构力学 砌体结构 钢筋混凝土结构
2020/3/6
8
理论力学：研究质点系机械运动一般规律。
一般力学
材料力学： 研究杆状构件的强度，刚 度和稳定性 。 结构力学： 研究杆系结构的强度，刚
F4
F2
F3
F1
平衡力系(force system of equilibrium) —使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。
2020/3/6
22
平衡条件(equilibrium conditions) —平衡力系所要满足的数学条件。
刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止 状态，它也可能处于某种惯性运动状态。
反之，已知力的投影，也可 以求力的大小和方向
2020/3/6
F X 2 Y 2
cos(F , i) X / F
32
例1 一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图所示。已知 F1=2000N，水平向左；F2=2500N，与水平成30°角； F3=1500N，铅垂向下，试用解析法求合力的大小和 方向。
(3)基本问题： ● 物体的受力分析； ● 力系的等效替换及简化； ● 力系的平衡条件及其应用。
2020/3/6
23
力矢量在
图中的正确 表示
A
C
D
FD
FC
A F1
×
2020/3/6
A
FC
F1 FD
24
● 平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力的合力仍作用于该点,其 合力矢等于该二力的矢量和。
FR F1
集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。 能否进行这种简化主要取决于我们所研究的问题 的性质。
2020/3/6
31
2. 力的投影
Y