利息理论——第二章2.2
[经济学]第二章 利息
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2、按利率在借贷期内是否调整，利率分为固 定利率和浮动利率。
固定利率 (fixed rate) 是指在整个借贷期间
内按事先约定的利率计息而不作调整的利率。
浮动利率(floating rate)是指在借贷期间内
随市场利率的变化而定期进行调整的利率。
3、按利率是否考虑了通货膨胀的因素，即真实水 平利率分为名义利率和实际利率。 名义利率(nominal interest rate)是指包括了通货 膨胀因素的利率，通常金融机构公布或采用的利 率都是名义利率。 实际利率(real interest rate)是指货币购买力不变 条件下的利率，通常用名义利率减去通货膨胀率 即为实际利率。 实际利率 = 名义利率 — 通货膨胀率：Rr = Rn - P 正利率和负利率 :当名义利率高于通货膨胀率、实 际利率大于0时，即为正利率；反之则为负利率。
利中 率央 银 行
商业银行在中央银行 的存款利率
再贴现率（基准利率） 变 动
资 金 量
构其 商 利 它 业 居民及企业的存款利率 率 金 银 金融债券利率 融行 机 及 银行同业拆借利率 市 场 利 率
经济单位及个人之间的 借贷利率
企业债券利率 政府债券利率
银行贷款利率 资金余缺的指示器
政府买卖有价证券
本利和（S）=P:
复利是单利的对称，是指将按本金计算出来的利息 额再加入本金，一并计算出来的利息。
▲复利的利息计算公式为： R
P[( 1 r ) n 1]
▲复利法是指按复利计算利息的方法，即在计息
时把按本金计算出来的利息再加入本金，一并计
5、按信用行为的期限长短，利率分为长期利 率和短期利率。 6、按照利率是否具有优惠性质，可划分为： 一般利率和优惠利率。
利息理论第二章
a ′ (t ) = a (t ).a ′ (0 ) ⇒ a ′ (0 ) = ⇒ a ′ (0 ) = [ln a (t )]′ a (t )
a ′ (0 ) = [ln a (t )]′
积分： 在等式两端从 0－ t积分：
∫ [ln a (s )]′ds = ∫
t 0
t
0
a ′ (0 )ds
ln a (t ) − ln a (0 ) = ta ′ (0 )
a (t ) = 1 + it ( t = 0 ,1, 2 ...)
称为单利率． 其中 i称为单利率．
问题：单利率是否就为实际利率？ 问题：单利率是否就为实际利率？
为 a (t + 1 ), 则从时点 t开始的一个时期内的实 际利率 i t 应为 :
为单利利率， 令 i为单利利率，在时点 t的累积值为 a (t ), 在时点 t + 1的累积值
a (t )
复利
单利
(1,1 + i ) (0,1)
0
t
2、在初始本金一定的条件下单利在相等的时间区间内有相等的 、 利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。 利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。
例如在时间区间 (t, t + s )内：
单利利息的绝对增量： 单利利息的绝对增量： 复利利息的相对增量： 复利利息的相对增量： a (t + s ) − a (t ) = 1 + i (t + s ) − 1 − it = is [ a (t + s ) − a (t )] / a (t )
1 t=3 3
三、复利 复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息,即 －－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息 复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息 即 利滚利” “利滚利”． 为整数时， 当t为整数时，复利条件下的累积函数为： 为整数时 复利条件下的累积函数为：
利息理论
99.49
15
设rn为n期的短期利率，fn为n期的远期利率， 对于以上债券，有
96.15 = 100 1 + r1
92.19
=
100 (1+ y2
)2
99.45 = 8.5 + 8.5 + 108.5 1 + r1 (1 + y2 )2 (1 + y3 )3
16
由此可以得到各期“零息票债券”的到期收益率 y1= …… y2= …… y3= …… ……
z 预期假说解释了利率期限结构随着时间 不同而变化的原因。
¾ (1) 收益率曲线向上倾斜时，短期利率预期在 未来呈上升趋势。
¾ (2) 收益率曲线向下倾斜时，短期利率预期在 未来呈下降趋势。
¾ (3) 当收益率曲线呈水平状态时，短期利率预 期在未来保持不变。
26
二、市场分割假说
z 市场分割假说 (Segmented Markets Hypothesis)
(2) 投资者对不同期限的债券具有不同的偏好。如 果某个投资者对某种期限的债券具有特殊偏好， 那么，该投资者可能更愿意停留在该债券的市场 上，表明他对这种债券具有偏好停留
(Preferred Habitat)。
(3) 投资者的决策依据是债券的预期收益率，而不 是他偏好的某种债券的期限。
31
三、流动性偏好假说的前提假定
z 流动性偏好假说的基本命题是：长期债券的利 率水平等于在整个期限内预计出现的所有短期 利率的平均数，再加上由债券供给与需求决定 的期限溢价 (Term premium)。
30
5
三、流动性偏好假说的前提假定
(1) 期限不同的债券之间是互相替代的，一种债券 的预期收益率确实会影响其他不同期限债券的利 率水平。
第二章 利息理论基础
m
m
余 额：1
i (m) 1
m
(1 i (m) ) 2
…
(1 i (m) ) m1
m
m
图(1-2A) 名义利率图
(1 i (m) ) m 1 i m
名义贴现率
用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名 义贴现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每 1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。
(1-16A) (1-16B) (1-16C)
相同度量期内等价的名义利率与名义贴现率有如下 的关系（m，p可以不相同）
1） (1 i(m) )m (1 d ( p) ) p
m
p
2) 若m p,则有
(1 i(m) )m (1 d (m) )m
m
m
例（1）求与实质利率8％等价的每年计息2次的 年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率；
2. 短期两者差异不大，长期两者显著差异
3. 复利几乎用于所有的金融业务，单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一个度量期上的实质贴现率为该度量期 内产生的利息金额与期末的积累值之 比。通常用字母d来表示实质贴现率。
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t的单位必须一致，即若利率取年利率， 时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须以 月计。
例：如果每年单利率为8％，投资额为2000 元，求（1）4年后的利息 （2）3个月后的 利息（3）4年后的本利和
解：
2利息理论讲解
139 1000 (1 5%) 1019.4 （元） 365
在复利下，还款总额为
1000 (1 5%)
139 365
1018.75 （元）
10
(3) 设借款t年后需要还款1200元。 在单利下，有
1200 1000 (1 t 5%)
解得 t=4（年） 在复利下，有
3
资金在周转中实现价值
何二从丁一处买一头猪，欠1000元
张三从何二处买四条狗，欠1000元 李四从张三处买一双皮鞋，欠1000元
王五从李四处买一套衣服，欠1000元
赵六从王五处买两套书，支付1000元 王五立即还李四，李四立即还张三，张三立即还何二，何二 立即还丁一，于是，仅用1000元，完成了5个1000元的交易， 谁也不欠谁了。
A(5) 10000 (1 2 5% 3 6%) 12800(元)
三、现值和贴现率
我们把1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称 为t年的现值。
贴现因子
13
现值和贴现率
在单利下，1元的t年现值为
1 , 1 i1 i2 it
1 当年利率 相等时，为 1 it
货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！
4
一、累积函数
(一)总额函数
本金：最初投资的滋生利息的款项。 累积额：本金经过一段时期后形成的金额称为累积额，它是 本金与利息之和，又称本利和。
A(t )
总额函数
I (t )
利息函数
I (t ) A(t ) A(0)
A(t ) A(0) I (t )
1200 1000 (1 5%)t
解得 t 3.74(年)
利息理论
《利息理论》课程教学大纲课程编号:02200023课程名称：利息理论英文名称： Theory of Interest课程类型: 选修课总学时： 72 讲课学时：60 习题课学时： 12学分： 4适用对象: 金融数学专业本科二年级先修课程：微积分一、课程简介利息理论课程是金融数学专业本科生的一门专业基础课。
本课程应用数学工具对金融业务中与利息有关的问题进行定量分析，通过介绍利息的度量方法和年金的计算等基本理论，进而通过投资收益分析、债务偿还方法，证券价值分析等内容探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用。
二、课程性质、目的和任务利息理论是金融数学专业的一门专业基础课，是证券投资学等课程的基础，是金融数学专业本科二年级学生的专业基础课。
利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。
利率也是人们最为熟悉的经济变量之一，它所牵涉到的理论及应用问题已经被归入应用数学的范畴。
它所提供的方法具有极为广泛的适用性，在投资分析、财务管理等方面都很有参考价值。
目的是学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法。
三、教学基本要求通过利息理论课程的学习，使学生全面掌握利息理论的基本内容，了解这些理论产生的基本方法，掌握利息的度量方法和年金的计算。
了解投资收益分析、债务偿还方法，证券价值分析等内容，掌握处理这些问题的基本理论和方法。
四、教学内容及要求第一章利息的基本概念§1.1利息度量；§1.2利息问题求解教学要求：掌握度量利息的一些基本方法以及它们之间的相互关系，理解实际利率与名义利率是不同的，利息强度的运用和货币时间价值与价值方程。
第二章年金§2.1年金的标准型；§2.2年金的一般型教学要求：掌握年金的概念，年金现值和终值的计算方法及二者之间的关系，未知利率和未知时间问题的计算；掌握支付频率与利息转换频率不一致的年金值的计算，递增年金和递减年金的概念和计算，连续年金和连续变额年金的概念和计算，一般变额年金的求解方法。
利息理论课后习题答案
第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。
《利息理论概述及其应用3300字》
利息理论概述及其应用1 利息理论总结1.1 新凯恩斯主义的信贷配给理论新凯恩斯主义认为，信贷配给的大量存在是金融市场的突出特征，而利率的“逆向选择效应”和“风险承担刺激效应”的存在是产生信贷配给的根本原因。
信贷配给理论要求重新认识利率机制和信贷配给机制，该理论认为，在金融市场上，利率并不能迅速调整以使市场出清，与利率机制相比，信贷配给机制更为重要些。
关于利率的决定，新凯恩斯主义认为，投资者面临的利率变动并不能简单的由资金或货币的供求来解释，“借主偿付的实际利率的主要决定因素是投资的风险项目和安全项目的概率”，即他们之间的相对风险及其变化。
关于货币政策，新凯恩斯主义认为，即使利率在“流动性陷阱”中不变，货币政策仍可通过对信贷量的影响作用于经济。
政府干预能提高信贷市场资金配置效率，降低市场风险，稳定金融。
并指出政府干预信贷的必要条件是借款人的还款概率不可观察且借款人之间的还款概率存在差异。
还款概率差异越大，政府干预市场的效果越明显。
1.2 利率结构理论预期理论是最早用来解释长短期利率关系的，该理论认为，金融市场上实际存在的利率取决于贷款的期限结构。
任何长期证券的利率都同短期证券的预期利率有关，长期利率是该期间内预期短期利率的几何加权平均数，因此，预期理论对期限不同的利率存在差异的解释是因为人们对短期利率有着不同的预期。
市场分割理论认为，债券市场可以分割为不同期限的互不相关的市场，这些市场的利率由各自的供求所决定，彼此之间并无影响。
因此，不能简单地把长期利率看成是预期的短期利率的函数，长期利率的高低应该决定于长期债券市场各自资金的供求状况。
流动性偏好利率结构理论将预期理论和市场分割理论进行了综合，认为普遍避免风险的现象和对未来利率变动的预期都会影响利率结构。
由于经济活动存在风险，对未来短期利率是不能完全预期的，因此长期债券比短期债券的利率风险要大。
投资者为了减少风险，偏好于流动性较强的短期债券，而对于流动性相对较差的长期债券，投资者则要求给予风险补偿。
利息理论总结
第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。
总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。
A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。
那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。
2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。
3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。
利息理论(第二版)
课程简介
•
• 利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，
•
应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。 美国耶鲁大学著名经济理论家欧文· 费雪(Irving Fisher) 在1930年出版的《利息理论》(The Theory of Interest) 标志着利息理论学科的诞生。费雪(I.Fisher)在其《利 息理论》中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物 品都是不同程度的耐用品，耐用品能在未来某个时段 内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构 成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉 心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用 上两百年的房子。 随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、 财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各 个领域。
• 北美精算学会①
代号
Course 1
Course 2 Course 3
课程
精算数学基础(Mathematical Foundations of Actuarial Science)
利息理论、经济学和金融学(Interest Theory, Economics and Finance) 随机精算模型(Actuarical Models)
准精算师考试科目 科目代码 A1 科目 数学 学分 考试时间 备注 3小时
A2 A3 A4
A5 A6 A7
金融数学 精算模型 经济学基础
寿险精算 非寿险精算 会计与财务
3小时 3小时 3小时
3小时 3小时 3小时
A8
精算管理
3小时
中国精算师资格考试(金融数学)
• 考试内容(结构)：
A、利息理论 (分数比例约为30%)
世界主要国家的保险精算资格考试
第二章利息理论
= 10 ，类似前一题查表知 8 < n + k < 9 ，即 n = 8 最后一次规则还款时间下一期 9，加多一个零头 f ，使得 1000 s8 × 1.04 + f = 10000 解得： f = 417.20
即 sn + k
2.1.7 年金的未知利率问题 方法：类似上一章，利用条件列出价值方程，然后求解，这里通常 可转化为求解方程： an i = k 或 sn i = k 其中 n, k 已知但 i 未知。 对方程 an i
15
f ( x0 ) ，从而得迭代公式： f ′( x0 ) f ( xs ) xs +1 = xs − f ′( xs ) 在这里可令： f (i ) = an i − k = 0 ，通过计算即可得上述迭代公式 x = x0 −
二 同理对方程 sn i 迭代公式：
= k ，我们可利用上面介绍的 Newto‐Raphson 法得
第二章 年金 1.1 年金的标准型 年金的定义：就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。 2.1.1 期末付年金 an 或 an i ：为每个期末支付 1 元，共 n 期的现值，即
an = v + v +
2
v(1 − v n ) (1 − v n ) （具体计算可查 +v = = 1− v i
5
4
10000 = 2504.56 a8 0.08 5 年共还款： 2504.56 × 5 = 12522.80 其中利息为：12522.80 − 10000 = 2522.80
R=
2.1.2 期初付年金 an 或 an i ：为每个期初支付 1 元，共 n 期的现值，即
2 n
8
第二章 利息理论Microsoft PowerPoint 演示文稿-PPT文档资料
1 1 i
1 (1 i ) 2
1
1
1
折 现 过 程
1
vt
1 (1i )t
1 (1 i ) t
复利条件下：
折现因子：
v
1 1i
折现函数：
vt v
t
贴现率
1）计息的方式。 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利 息。
及：
及：
v 1 d
a ( 1 d ) t
t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？
解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1 d
i 11 . 1 %
例一
设：at =ct2+d
(c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 求：A10、 、 i10
解：
a0=1
a5=126 得： c=5 d=1 所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233
4、单利与复利的积累函数
设年名义利率为i（m）， 年实际利率为i。 每次计息的实际利率为 i（m）/m 。 则：
所以：
i ( 1 ) 1
(m ) m i m
或：
( m )
1 m
1 i ( 1 )
(m ) m i m
i m [( 1 i ) 1 ]
《利息理论》复习提纲
?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。
利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。
实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。
等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。
(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。
(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。
(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。
例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。
(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。
例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。
习题：1、2、3、4、15、16、19、24。
第二节利息问题求解 一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。
经济学讲义-第二十二讲：利息理论(作者：本博客管理员)
按：本系列文章的作者是本博客管理员（不是张五常教授）！第二十二讲利息理论之前的学习中我们都没有涉及到时间的因素，但在现实之中，时间是有价的！而这个价格，就是利息（Interest）！因此，这一讲我们就要把时间的因素也考虑进来，所讲解的就是课本402页的第十五章《时间经济学》，实际上是关于“利息理论”的。
利息理论（或时间经济学）是金融学、投资学的基础——前面关于“信息费用”的部分讲解了以信息费用来量度风险，而除却风险之外，金融学、投资学余下的内容都属于利息理论——，主要是由费雪（I. Fisher）一人创立的。
人们不但要在同一时点上选择不同的物品来消费，也要对同样的物品选择在不同的时点上消费。
事实上，同样的物品在不同的时点上就已经是不同的物品——如课本402页中所说的谷物，现在的谷物与未来的谷物就已经是不同的谷物。
给你两个选择：现在就得到100单位的谷物，或者是一年之后才得到100单位的谷物，你愿意要哪一个？即使不存在通货膨胀的问题，你也会愿意现在就得到100单位的谷物。
为什么呢？原因有两个：其一，说句不好听的话，一年之后说不定你已经死了，人死灯灭，那时不要说给你100单位的谷物，就是把全世界的物品都给了你，你也没命去享受！也就是说，由于生命无常，而人是要活着才能享受的，所以人们会认为目前的消费所值（现在的物品的使用价值或效用）高于未来的消费所值（未来的物品的使用价值或效用）。
但是，当然了，鉴于一年之后你也不一定非死不可，因此将未来的收入提高到一定程度时——如一年之后你可以得到110单位的谷物——，你会愿意等上一年。
这增加了的10单位谷物就是利息，是用来换取你耐心地等待一年的价格（代价）。
这是从消费的方面来解释利息的存在。
利息的存在还有生产方面的原因。
现在就给你100单位的谷物，你把它们扔进一块肥沃的土地里，什么都不再管，一年之后它自己就结出多于100单位的谷物，也就是物品的价值随着时间的过去自然而然会增长。
利息理论 ppt课件
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
利息理论与应用 第二章练习题 重点练习题 1 2 5 10 12 20 27 28 39
重点练习题 1 2 5 10 12 20 27 28 39 40 44 45 48 49 54 57 60 66 69 71
§2.1 1 某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用 5 万元 如果它们前十年每年底存款 1000
元 后十年每年底存款 1000+ X 元 年利率 7 计算 X 651.72
55. 递延一年的 13 年连续年金的年金函数为 t 2 −1 利息力为 (1 + t) −1 计算现值 (84.5
n
n
∑ ∑ 56. 给出 (Ia) 和 ( Da) 的表达式
t|
t|
1
1
n(1+ i) − 2a&& n i2
|
+ nv n
;
i 2
n(1
+
n)
−
n
+
an
i2
|
§2.4
57. 现有两种永久年金 A 金额为 p 的固定期末年金 B 金额为 ,2 q ,3 q , …的递增期末
年金 分别对两种年金的现值之差为 0 和得到极大两种情况计算年利率 q ; 2q p−q p−q
58. 某零件的使用寿命为 9 年 单位售价为 2 元 另一种产品 使用寿命 15 年 单价增加 X
如果某人需要 35 年的使用期 假定在此期间两种产品的价格均以年增 4 的幅度增加
要使两种产品无差异的 X 为多少
40. 已知一年内的连续年金函数为常数 1 计算时刻 t 使得只要在该时刻一次性支付一个
货币单位 则两种年金的现值相等 1− 1 ln( i ) δδ
41. 已知 =.08 计算从现在开始每个季度存入 100 元的年金的现值
利息理论2
s
n i
—— 表示标准期末年金的所有年金金
”。
s
n i
(1 i ) n 1 (1 i ) n 2 (1 i ) 1
(1 i ) n 1 i
基本公式：
n (1 i ) 1 isn 1）
即：0 时刻一个货币单位在n 时刻的价值
= (0,n]上每次(利息)收入i的现金流终值( i s ) n
通过对现金流进行变化如何直接计算利用标准递增年金现值公式可以对一般变化年金现值进行计算标准递增年金的终值用表示即将标准递增期末年金理解为一组固定年金的组合由流程示意图可以推知结论成立递减年金decreasingannuitydaia现值用表示终值用表示可以将递减年金理解为一组固定年金的组合注意比较递增和递减两种方式一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和流程图为t1qpn1q固定年金只是所有表达式分母中的i都要换成d变化的期末永久年金现值公式为q取正数变化的期初永久年金现值公式为rainbowimmediate流程图为22n1年金的现值为pausedrainbowimmediate流程图为2n年金的现值为由现金流转换可以直观求解比例变化年金年金的金额是比例变化的
每次偿还的金额。
解：半年实利率为5%，等价的季度实利率为j
j 1.05 4 1 0.024695
2
记每次的偿还额为R，则有
Ra20 j 300000
由此可得
R=300000/15.6342=19188.70
几种典型情形的具体讨论
1）付款周期大于利息换算期
假定：付款周期（年金周期）是利率周期的整数倍 定义记号： k ——每个付款周期内的利息换算次数 n ——年金的付款总次数× k i ——每个利息换算期内的实利率(名利率/换算次 数)
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1. 付款频率低于计息频率的年金
(1)
期末付年金 设k为每个付款期间内的计息频率，n为整个 付款期的计息次数，每个计息期利率为i，并 假设n、k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也 为整数。 现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情 形见以下现金流时间图：
时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款 相隔k个区间，每个区间利率为i，则 第1次付款在0时刻的现值为：(1 i) k vk (1 i)2k v2k 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)( n/ k )k v( n/ k )k
(2.2.6)
(2.2.6)式也可以直接通过(2.2.5)式得到：
an sk (1 i)
n
sn sk
另外，每次的付款额1可以看作是k期每期期末付款额为R的 区间末的年金积累值，即有 1 R sk 1 R sk
这样，在n个计息期，就有n次额度为R的付款，则与原年金 等价的所有R形成的年金现值为 Ran 。将 R 1 sk 代入上式， 则所求年金现值为 R an sk ，同样，可以求得年金积累值 R 为： sn 1 sk sn sn sk 。 也就是说，原始年金等价于一个每期付款额为 1 sk 的n
2.2.1
变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。这里将介绍变动 利率下年金的计算。 一般有两种利率变动方式： 1. 各付款期间段的利率不同，即不同时间段的利率不同，如在第 一个付款期利率为i1 ，第二个付款期利率为i2 ，…，这样，对于n 期的期末付年金，所有付款的年金现值为：
1 000 6.8019 1.2155 4.2465 12 514.3(元)
2.2.2
付款频率与计息频率不同的年金
年金的付款频率与计息频率不同，意味着年金的 付款周期与计息周期不同，这样的年金我们称之 为广义年金。 付款频率与计息频率不同的年金不外乎两种情况： ①付款频率低于计息频率(付款周期>计息周期)；
各次付款的现值之和即为年金现值： 1 v ( n / k )k k 1 vn v k v 2 k v ( n / k )k v k 1 v (1 i ) k 1 an 1 vn i k i (1 i ) 1 sk
(2.2.5)
§2.2
年金的一般型
统计学专业专业限选课程 长春工业大学
前面介绍了年金的标准型，即付款时间间隔相 等、每次付款额度相等，整个付款期内利率不 变，计息频率与付款频率相等的年金。 这里我们将介绍年金标准型的各种变化形式， 如利率的变化、计息期或计息频率、付款频率 的变化等，这些发生了变化的年金统称为年金 的一般型。
例3 某人购房贷款3 000元，在5年内每季度末还款一 次，且每次还款额相等，倘若贷款年利率为10%，每 半年计息一次，问每季度付款的金额应为多少？ 解： 本例中，付款频率为每个季度一次，而计息频率 为每半年一次，故先进行利率的等价转换， 由于每半 年计息一次的年名义利率为10%，故每半年的实际利 率为5%， 于是与之等价的每季度的实际利率j 为：
t 1 s 0 n t 1
(2.2.2)
对于n期的期初付年金，所有付款的年金现值 为：
an 1 (1 i1 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in 1 ) 1 (1 is ) 1 (令i0 0)
②付款频率高于计息频率(付款周期<计息周期)，
只针对两种情形下每次付款额相同的均衡付款年 金进行讨论。
简单分析法
若只需计算年金现值或终值的结果，而不做分 析，我们可以分两个步骤来计算广义年金的价 值： Step 1 将利率转换为与付款频率相同的计息频 率下的利率，即通过利率的等价变换，使之变 为标准型的年金计算形式； Step 2 在上述新利率下计算年金现值或终值。 这种方式对期初付年金和期末付年金来说是一 样的，关键是计算付款期的实际利率。
各次付款的现值之和即为年金现值： 1 v ( n / k ) k 1 v n 1 v k v 2 k v n k k 1 v 1 vk an 1 vn i k i 1 v ak
(2.2.7a)
相应的年金积累值计算： 第1次付款在n时刻的积累值为： (1 i)n 第2次付款在n时刻的积累值为：(1 i)nk …… k 第n/k次付款在n时刻的积累值为：(1 i)
an (1 i1 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1 (1 is )
t 1 s 1 n t 1
(2.2.1)
年金的积累值为：
sn 1 (1 in ) (1 in )(1 in1 ) (1 in )(1 in 1 ) (1 i2 ) (1 in s 1 )(令in1 0)
期标准型期末付年金。
(2)
期初付年金 这种年金的其他条件与(1)中情形相同(即设k为 每个付款期间内的计息频率，n为整个付款期 的计息次数，每个计息期利率为i，并假设n、 k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也为整数)， 只是每次付款时间改为期初，即从时刻0开始 付款，每隔k个计息期付款一次。 现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情 形见以下现金流时间图：
(1 j)2 (1 5%) j (1 5%)1/2 1 0.024695
设每季度的付款金额为R，则有
Ra20 0.025 3 000 R 3 000 a20 0.025 3 000 15.58916 192.44(元)
例4 有一笔投资基金，在开始两年内每半年初存入3 000 元，后两年每季度出存入3 000元，每月计息，年名义利 率为12%，计算4年末该投资基金的积累值为多少？ 解：由题意知， 每月的实际利率为1% ，则每半年的实际 (1 0.01)6 1 0.0615202 利率为： 3 (1 每季度的实际利率为： 0.01) 1 0.030301
因此，4年末该投资基金的积累值为45 140.98元
代数分析法
若付款频率与计息频率不同时，不仅要求计算 年金现值或积累值，且要用已知的年金符号表 示，并做出分析和解释，使其更具一般性，需 要用到代数分析法。 代数分析法不是通过利率的转换，而是通过标 准年金符号来表示的。 因为在付款频率与计息频率不同的两种情况中, 具体的年金求值方法和最后的表达式差别很大, 因而分别按两种不同的具体方法来介绍。
第4 年末该投资基金的积累值为：
3 000 4 0.06 (1 0.01)122 8 0.03 3 000 s4 0.06 (1 0.06)(1 0.01)122 s8 0.03 (1 0.03) s s 3 000 4.37462 1.06 1.269735 8.89234 1.03 45 140.98(元)
都基于该次付款时的利率值。如，第一次付款的利率为i1 ，则 一单位期末付款在零时刻现值为(1 i1 )1，其在n时刻的积累值为 (1 i1 )n1，第二次付款的利率为i2 ，则该期末付款在零时刻现值 (1 i2 )2 ，其在n时刻的积累值为 (1 i2 )n2，…，于是n期的期 为 末付年金现值为：
t 1 n
(2.2.4)
对于n期的期初付年金现值为：
an 1 (1 i2 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) ( n 1) (1 it ) ( t 1)
t 1 n
相应的年金积累值为：
n (1 i1 ) n (1 i2 ) n 1 (1 in ) s (1 it ) n t 1
时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款 相隔k个区间，每个区间利率为i，则 第1次付款在0时刻的现值为： (1 i)0 1 (1 i) k vk 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)[(nk )/ k ]k v [( nk )/ k ]k vnk
t 1 s 0 n 1 t 1
年金积累值为
n (1 in ) (1 in )(1 in1 ) (1 in )(1 in 1 )(1 i1 ) s (1 ins 1 )
t 1 s 1 n t
2. 各次付款所依据的利率不同，即各次付款现值及积利率变化是不一样的，前一种是在时间 段(s－1~s)内的利率为 is，所有n次付款在经过(s－1~s) 段时，积累或折现都要用 is 进行，而不是 is仅针对第s 次付款；而后一种是针对第s次付款的利率is ，这个付 款无论是计算折现，还是积累值，都用利率 is 来进行， 而is 对其他各次付款无效。 在实际生活中，这两种利率变动方式下的年金的计算 都是存在的。最显著的是银行存款利率的变动，对一 个每年都存入一定款项的投资者，各笔款项有两种处 理（或计算）方法，一种就是以当时存款时的利率， 计算该笔存款的利率，另一种是每笔存款在各时段内 都要遵循该时段的利率。 有时利率的变化不是每期都有的，而是几期变化一次， 这样年金的计算并不复杂。
1 000 6.8019 1.1699 4.2465 12 203.8(元)
例2 某人每年年末存入银行1 000元，前6次付款的年实 际利率为5%，后4次付款的年实际利率 为4%，计算第 10年年末时的存款积累值。 1 解： 第6年末，前6次付款的积累值 为 000s6 0.05 ， 后4次付款的积累值为1 000s4 0.04 则10年末的存款积累值为 1 000 s6 0.05 (1.05) 4 1 000 s4 0.04