利息理论——第二章2.2

1. 付款频率低于计息频率的年金
(1)


期末付年金 设k为每个付款期间内的计息频率，n为整个 付款期的计息次数，每个计息期利率为i，并 假设n、k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也 为整数。 现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情 形见以下现金流时间图：

时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款 相隔k个区间，每个区间利率为i，则 第1次付款在0时刻的现值为：(1 i) k vk (1 i)2k v2k 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)( n/ k )k v( n/ k )k
(2.2.6)

(2.2.6)式也可以直接通过(2.2.5)式得到：
an sk (1 i)
n
sn sk

另外，每次的付款额1可以看作是k期每期期末付款额为R的 区间末的年金积累值，即有 1 R sk 1 R sk
这样，在n个计息期，就有n次额度为R的付款，则与原年金 等价的所有R形成的年金现值为 Ran 。将 R 1 sk 代入上式， 则所求年金现值为 R an sk ，同样，可以求得年金积累值 R 为： sn 1 sk sn sn sk 。 也就是说，原始年金等价于一个每期付款额为 1 sk 的n

2.2.1

变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。这里将介绍变动 利率下年金的计算。 一般有两种利率变动方式： 1. 各付款期间段的利率不同，即不同时间段的利率不同，如在第 一个付款期利率为i1 ，第二个付款期利率为i2 ，…，这样，对于n 期的期末付年金，所有付款的年金现值为：
1 000 6.8019 1.2155 4.2465 12 514.3(元)
2.2.2

付款频率与计息频率不同的年金
年金的付款频率与计息频率不同，意味着年金的 付款周期与计息周期不同，这样的年金我们称之 为广义年金。 付款频率与计息频率不同的年金不外乎两种情况： ①付款频率低于计息频率(付款周期>计息周期)；
各次付款的现值之和即为年金现值： 1 v ( n / k )k k 1 vn v k v 2 k v ( n / k )k v k 1 v (1 i ) k 1 an 1 vn i k i (1 i ) 1 sk
(2.2.5)

§2.2
年金的一般型
统计学专业专业限选课程 长春工业大学
前面介绍了年金的标准型，即付款时间间隔相 等、每次付款额度相等，整个付款期内利率不 变，计息频率与付款频率相等的年金。 这里我们将介绍年金标准型的各种变化形式， 如利率的变化、计息期或计息频率、付款频率 的变化等，这些发生了变化的年金统称为年金 的一般型。


例3 某人购房贷款3 000元，在5年内每季度末还款一 次，且每次还款额相等，倘若贷款年利率为10%，每 半年计息一次，问每季度付款的金额应为多少？ 解： 本例中，付款频率为每个季度一次，而计息频率 为每半年一次，故先进行利率的等价转换， 由于每半 年计息一次的年名义利率为10%，故每半年的实际利 率为5%， 于是与之等价的每季度的实际利率j 为：
t 1 s 0 n t 1
(2.2.2)

对于n期的期初付年金，所有付款的年金现值 为：
an 1 (1 i1 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in 1 ) 1 (1 is ) 1 (令i0 0)
②付款频率高于计息频率(付款周期<计息周期)，
只针对两种情形下每次付款额相同的均衡付款年 金进行讨论。
简单分析法
若只需计算年金现值或终值的结果，而不做分 析，我们可以分两个步骤来计算广义年金的价 值： Step 1 将利率转换为与付款频率相同的计息频 率下的利率，即通过利率的等价变换，使之变 为标准型的年金计算形式； Step 2 在上述新利率下计算年金现值或终值。 这种方式对期初付年金和期末付年金来说是一 样的，关键是计算付款期的实际利率。
各次付款的现值之和即为年金现值： 1 v ( n / k ) k 1 v n 1 v k v 2 k v n k k 1 v 1 vk an 1 vn i k i 1 v ak
(2.2.7a)

相应的年金积累值计算： 第1次付款在n时刻的积累值为： (1 i)n 第2次付款在n时刻的积累值为：(1 i)nk …… k 第n/k次付款在n时刻的积累值为：(1 i)
an (1 i1 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1 (1 is )
t 1 s 1 n t 1
(2.2.1)
年金的积累值为：
sn 1 (1 in ) (1 in )(1 in1 ) (1 in )(1 in 1 ) (1 i2 ) (1 in s 1 )(令in1 0)

期标准型期末付年金。
(2)

期初付年金 这种年金的其他条件与(1)中情形相同(即设k为 每个付款期间内的计息频率，n为整个付款期 的计息次数，每个计息期利率为i，并假设n、 k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也为整数)， 只是每次付款时间改为期初，即从时刻0开始 付款，每隔k个计息期付款一次。 现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情 形见以下现金流时间图：
(1 j)2 (1 5%) j (1 5%)1/2 1 0.024695
设每季度的付款金额为R，则有
Ra20 0.025 3 000 R 3 000 a20 0.025 3 000 15.58916 192.44(元)

例4 有一笔投资基金，在开始两年内每半年初存入3 000 元，后两年每季度出存入3 000元，每月计息，年名义利 率为12%，计算4年末该投资基金的积累值为多少？ 解：由题意知， 每月的实际利率为1% ，则每半年的实际 (1 0.01)6 1 0.0615202 利率为： 3 (1 每季度的实际利率为： 0.01) 1 0.030301
因此，4年末该投资基金的积累值为45 140.98元
代数分析法
若付款频率与计息频率不同时，不仅要求计算 年金现值或积累值，且要用已知的年金符号表 示，并做出分析和解释，使其更具一般性，需 要用到代数分析法。 代数分析法不是通过利率的转换，而是通过标 准年金符号来表示的。 因为在付款频率与计息频率不同的两种情况中, 具体的年金求值方法和最后的表达式差别很大, 因而分别按两种不同的具体方法来介绍。
第4 年末该投资基金的积累值为：
3 000 4 0.06 (1 0.01)122 8 0.03 3 000 s4 0.06 (1 0.06)(1 0.01)122 s8 0.03 (1 0.03) s s 3 000 4.37462 1.06 1.269735 8.89234 1.03 45 140.98(元)
都基于该次付款时的利率值。如，第一次付款的利率为i1 ，则 一单位期末付款在零时刻现值为(1 i1 )1，其在n时刻的积累值为 (1 i1 )n1，第二次付款的利率为i2 ，则该期末付款在零时刻现值 (1 i2 )2 ，其在n时刻的积累值为 (1 i2 )n2，…，于是n期的期 为 末付年金现值为：
t 1 n
(2.2.4)
对于n期的期初付年金现值为：
an 1 (1 i2 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) ( n 1) (1 it ) ( t 1)
t 1 n
相应的年金积累值为：
n (1 i1 ) n (1 i2 ) n 1 (1 in ) s (1 it ) n t 1

时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款 相隔k个区间，每个区间利率为i，则 第1次付款在0时刻的现值为： (1 i)0 1 (1 i) k vk 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)[(nk )/ k ]k v [( nk )/ k ]k vnk
t 1 s 0 n 1 t 1
年金积累值为
n (1 in ) (1 in )(1 in1 ) (1 in )(1 in 1 )(1 i1 ) s (1 ins 1 )
t 1 s 1 n t
2. 各次付款所依据的利率不同，即各次付款现值及积利率变化是不一样的，前一种是在时间 段(s－1~s)内的利率为 is，所有n次付款在经过(s－1~s) 段时，积累或折现都要用 is 进行，而不是 is仅针对第s 次付款；而后一种是针对第s次付款的利率is ，这个付 款无论是计算折现，还是积累值，都用利率 is 来进行， 而is 对其他各次付款无效。 在实际生活中，这两种利率变动方式下的年金的计算 都是存在的。最显著的是银行存款利率的变动，对一 个每年都存入一定款项的投资者，各笔款项有两种处 理（或计算）方法，一种就是以当时存款时的利率， 计算该笔存款的利率，另一种是每笔存款在各时段内 都要遵循该时段的利率。 有时利率的变化不是每期都有的，而是几期变化一次， 这样年金的计算并不复杂。
1 000 6.8019 1.1699 4.2465 12 203.8(元)

例2 某人每年年末存入银行1 000元，前6次付款的年实 际利率为5%，后4次付款的年实际利率 为4%，计算第 10年年末时的存款积累值。 1 解： 第6年末，前6次付款的积累值 为 000s6 0.05 ， 后4次付款的积累值为1 000s4 0.04 则10年末的存款积累值为 1 000 s6 0.05 (1.05) 4 1 000 s4 0.04
相应的年金积累值计算： 第1次付款在n时刻的积累值为：(1 i)nk 第2次付款在n时刻的积累值为：(1 i)n2 k …… 0 第n/k次付款在n时刻的积累值为：(1 i) 1
各次付款的积累值之和即为年金积累值： (1 i ) n 1 nk n2k k (1 i ) (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) k 1 sn (1 i ) n 1 i k i (1 i ) 1 sk
an (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 2 (1 in ) n (1 it ) t
t 1 n
(2.2.3)
相应的年金积累值为：
sn (1 i1 ) n 1 (1 i2 ) n 2 (1 in 1 ) 1 (1 it ) n t

例1 某人每年年末存入银行1 000元，前6年的实际利率 为5%，后4年的实际利率 为4%，计算第10年年末时的 存款积累值。 1 解： 第6年末，前6年付款的积累值 为 000s6 0.05 ， 后4年付款的积累值为1 000s4 0.04 则10年末的存款积累值为 1 000s6 0.05 (1.04) 4 1 000s4 0.04