第八章 相关与回归分析

2
1 yi2 yi n i 1 i 1
n
2
Person相关系数r
（5）
r
l xy l xx l yy
－1≤r≤1。
当 r 0 时，完全不相关；
当 r 1 时，完全正相关；
当 0 r 1 时，不完全正相关； 当 r 1 时，完全负相关；
例1、生产同种产品的六个企业的产量和单位产品 成本的资料如下：
企 业 序 号 1 2 3 4 5 6 产 量(千件)x 2 3 4 4 5 6 单位成本(元)y 52 54 52 48 48 46
求产量与单位产品成本之间的相关系数。
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解：列表计算如下：
企 业 序 号 1 2 3 4 5 6 x 2 3 4 4 5 6 y 52 54 52 48 48 46
当 1 r 0 时，不完全负相关。
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对不完全相关：
(19)
当 r 0.3 时，微弱相关；
当 0.3 r 0.5 时，低度相关； 当 0.5 r 0.8 时，中度相关； 当 r 0.8 时，高度相关。
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i 1 n 2 ˆ yi 0 1 xi
i 1


2
min SS E min
0 , 1
0 , 1
i2 ˆ
i 1 n
n
min
0 , 1
y ˆ
i 1 i
ˆ 1 xi 0

2
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例3、在相关和回归分析中，已知下列资料：
x 2，y 18，n 6， xy 400， x 2 250
ˆ ˆ 试求出直线回归方程 yc 0 1 x 。
解： 由
ˆ xy nx y 1 x 2 nx 2
ˆ ˆ 0 y 1 x
xx y y
-2 -1 0 0 1 2 2 4 2 -2 -2 -4
x x y y x x 2
-4 -4 0 0 -2 -8 4 1 0 0 1 4
y y 2
4 16 4 4 4 16
合计
24
300
-18
10
48
所以 r
x x y y x x y y
（2） ∵
ˆ 1 l xy l xx 985.5 9.74 101.2
ˆ ˆ 0 y 1 x 380 9.74 27 117.07
∴
所求回归方程为：
ˆ y 117.07 9.74 x
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（二）误差项方差的估计
SS E 对随机误差项 的方差 ，用S 估计。 n2
28158
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（1）由表可得：
r
x x y y x x y y
2
2
4.16 310 0.0625 0.945
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（2）由表可得：
ˆ 1
x y nxy
i 1 n i i
第八章
相关与回归分析
相关分析
第一节
一、相关关系的概念
确定性关系（函数关系）：
y f x
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非确定性关系（统计相关、相关关系、 相关）：
y f xi i
相关关系和函数关系的共同点：
相关关系和函数关系的区别：
相关关系和函数关系的联系：
因果关系：
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472
y
1.55 1.60 1.65 1.67 1.70 1.75 1.80 1.82
13.54
x
2
xy
77.5 83.2 94.05 93.52 102 113.75 111.6 127.4
803.02
ˆ y
1.57 1.60 1.67 1.65 1.71 1.77 1.73 1.84
ˆ y y
二、相关关系的种类
相关程度
相关方向
相 关 关 系

相关形式
相关因素 相关性质

完全相关 不完全相关 不相关 正相关 负相关 线性相关 非线性相关 单相关 复相关 偏相关 真实相关 虚假相关

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三、相关表与相关图
（一）相关表： （二）相关图：
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2 2
SS E
2
得：
ˆ 400 6 2 18 0.814 1 250 6 2 2 ˆ 18 0.814 2 16.372
0
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所以所求直线回归方程为：
yc 16.372 0.814 x
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例4、有两个变量，即亩产量 y和施肥量 x 。已知：
由微积分知识，有：

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ˆ ˆ 2 yi 0 1 xi 0 ˆ ˆ 2 xi yi 0 1 xi 0
i 1 i 1 n
n




ˆ 1
x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y
xi2 nx 2
ˆ ˆ 0 y 1 x
n
x
i 1
2 i
nx
2
803.02 8 59 1.6925 2 28158 8 59
0.0134
ˆ ˆ 0 y 1 x 1.6925 0.0134 59 0.9019
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所以回归方程为：
ˆ ˆ ˆ y 0 1 x 0.9019 0.0134 x

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第二节
一元线性回归分析
一、回归分析与相关分析的关系
回归分析： 相关分析与回归分析的联系： 相关分析与回归分析的区别： 回归分析的内容：
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二、一元线性回归模型
（一）回归模型
回归方程： 简单回归（一元回归）和复回归； 线性回归和非线性回归：
x 27，y 380，l xy 985.5，l xx 101.2，l yy 12995 试求：
（1）相关系数 解： （1）
r l xy l xx l yy 985.5 101.2 12995 0.86
r
；
（2） y 对 x 的线性回归方程。
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2
2
18 0.8216 10 48
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由计算可知，产量与单位产品成本之间 高度相关。
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（三）样本相关系数的显著性检验
否等于0进行检验。
r2 n 2 对总体相关系数 是 利用统计量 F 2 1 r
（1）建立假设：
y 0 1 x
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例如：
(10) (22)（36） Ⅱ：x x y y 0

y
Ⅰ：x x y y 0

y
Ⅲ：x x y y 0
Pi xi , yi
解：列表计算如下：
序号
y x x y y x x y y x x 2 y y 2 x
50 52 57 56 60 65 62 70 1.55 1.60 1.65 1.67 1.70 1.75 1.80 1.82 9 7 2 3 -1 -6 -3 -11 0.1425 0.0925 0.0425 0.0225 -0.0075 -0.0575 -0.1075 -0.1275 1.2825 0.6475 0.085 0.0675 0.0075 0.345 0.3225 1.4025
H 0 : 0, H1 : 0
r2 （2）构造检验统计量： F n 2 2 1 r
其中：
r2 n 2 ～ F 1, n 2 F 2 1 r
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（3）统计检验：
①根据样本观测值计算检验统计量；
②在给定显著水平 下，比较


Ⅳ： x x y y 0
x
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x
由于y是随机变量，即有：
yi 0 1 xi i，（i 1,2,, n）
0 1 xi 模型的线性部分
一元线性回归模型必须满足假设： （1） E i 0
1、 2、 、 n相互独立且 i ～ N 0， 2 （2）
Covx, y Ex Exy E y
Covx, y xy D x D y
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（二）样本相关系数
x x1 , x2 ,, xn
y y1 , y2 ,, yn
n
x和y的协方差l xy xi yi nx y
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例2、已知身高与体重的资料如下表：
身高 （米） 体重 （公斤） 50 52 57 56 60 65 62