初中数学竞赛专题：线段与角

初中数学竞赛专题:线段与角

§8．1线段与角度

8．1．1★在线段AB 上有P 、Q 两点,26AB =,14AP =,11PQ =,求BQ 的长． 解析有两种情况:点P 相邻于点A ,或点P 相邻于点B ．

(1)当点P 相邻于点A 时,如图(a)所示,此时2614111BQ AB AP PQ =--=--=．

A

B

P Q A

Q P B

图(a)

图(b)

(2)当点P 与点B 相邻时,如图(b)所示,此时26141123BQ AB AP PQ =-+=-+=． 8．1．2★如图,已知57

AC CB =,5

11

AD CB =

,AB 的长是66厘米,求CD 之长． 解析由于CD AC AD =-,AC 、AD 又与BC 有关,所以,只要求出BC 的长即可．

A

D

C

B

因为AB AC CB =+,所以

512

77

AB CB CB CB =+=．

因为66AB =（厘米）,所以,77

2

CB =

（厘米）, 55572AC CB =

（厘米）,535

112AD CB ==（厘米）,因此 5535

1022

CD AC AD =-=

-=（厘米）

． 8．1．3★如图,B 、C 、D 依次是线段AE 上的三点,已知8.9AE =厘米,3BD =厘米,则图中以A 、

B 、

C 、

D 、

E 这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？

A

B

C

D

E

解析以A 、B 、C 、D 、E 为端点的线段共十条,所以所有线段长度之和为

46AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE AB BC +++++++++=++

()()64464()64248.92341.6CD DE AB DE BC CD AE BD BD AE BD +=+++=-+=+=⨯+⨯=（厘米）．

8．1．4★★将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形．

问其中最长的一段的取值范围．

解析设AB 是所围成的五边形ABCDE 的某一边（如图）,而线段BC 、CD 、DE 、EA 则可看成是点A 、B 之间的一条折线,因此,

A

B

C

D

E

AB BC CD DE EA <+++．

设最长的一段AB 的长度为x 厘米,则其余4段的和为()10x -厘米．由线段基本性质知10x x <-,所以5x <,又

105AB BC CD DE EA x =++++≤,

所以2x ≥．即最长的一段AB 的长度必须小于5厘米且不小于2厘米． 8．1．5★若一个角的余角与这个角的补角之比是27∶,求这个角的邻补角．

解析设这个角为α,则这个角的余角为90α︒-,这个角的补角为180α︒-．依照题意,这两个角的比为()()9018027αα︒-︒-=∶∶．

所以36026307αα︒-=︒-,5270α=︒,所以54α=︒． 从而,这个角的邻补角为18054126︒-︒=︒．

8．1．6★如图,AOB ∠是钝角,OC 、OD 、OE 是三条射线,若OC OA ⊥,OD 平分AOB ∠,OE 平分

BOC ∠．求DOE ∠的度数．

A

B

C D

E O

解析设AOB θ∠=,则

2

AOD θ

∠=

,902

DOC θ

∠=︒-．

因为90COB θ∠=-︒,所以452

COE θ∠=-︒．因此,9045452

2

DOE DOC COE θθ

∠=∠+∠=︒-+-︒=︒．

8．1．7★★★ABC △中,A ∠是最小角,B ∠是最大角,且25B A ∠=∠,若B ∠的最大值是m ︒,最小值

是n ︒,求m n +的值．

解析根据题意,得A C B ∠∠∠≤≤． 因为180A B C ∠+∠+∠=︒,25B A ∠=∠,所以

2

1805

B B

C ∠+∠+∠=︒, 即71805

B C ∠+∠=︒．

7

1805

C B B ∠=︒-∠∠≤,

由此得

12

1805

B ∠︒≥,75B ∠︒≥． 又因为2

5

A B C ∠=∠∠≤,所以

277

180555

B B

C B ∠+∠∠+∠=︒≤, 即91805

B ∠︒≤,所以100B ∠︒≤． 所以75100B ︒∠︒≤≤,故

10075175m n +=+=．

8．1．8★在平面上,一个凸n 边形的内角和小于1999︒,求n 的最大值,

解析因为凸n 边形的内角和为()2180n -⋅︒,所以()21801999n -⋅︒<︒,212n -<,所以,14n <． 又凸13边形的内角和为

()13218019801999-⋅︒=︒<︒,

故n 的最大值是13．

8．1．9★如图所示,求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠．

A B

C

D E

F

G

M N

解析如图所示,可得360B BMN E G ∠+∠+∠+∠=︒,

360FNM F A C ∠+∠+∠+∠=︒,

而180RMN FNM D ∠+∠=∠+︒,