如何求圆的滚动圈数

小专题物体滚动中的圈数或者路线长

小专题(十三) 物体滚动中的圈数或者路线长类型1 直线上的滚动方法归纳：滚动中物体上某点走的路径长，实际上就是弧的长度．因此找准圆心角和半径是解决问题的关键．【例1】 (黄冈中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，求点A 经过的路线长．1．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于________．2．如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．(结果用含π的式子表示)3．(恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为( )＋12＋1 C ．π＋1 D ．π＋124．如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O′A′B′的位置，点O 到O′所经过的路线长为( )A ．π π π D ．2π5．如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚．(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转________度时，A 落在点A 1位置；(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长．类型2 折线上的滚动方法归纳：转动整数圈时，圆面上的所有点走的路程相同，通常将圆心所走的路程作为突破口解决问题．注意：拐角处，圆心走的路程分类讨论．拐角为钝角时，圆心走的路程是线段＋线段；拐角为锐角时，圆心走的路程为线段＋弧线＋线段．【例2】如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了( )A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．圈6．如图，⊙P 的半径为r ，正方形ABCD 的边长为2πr ，⊙P 在正方形外部沿正方形的边无滑动地滚动．如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿正方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．7．如图，⊙P 的半径为r ，长方形ABCD 的周长为8πr ，如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿长方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．8．如图，⊙P 的半径为r ，任意四边形ABCD 的周长为8πr ，如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿长方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．9．(芜湖中考)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z ”字型平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中AB ＝60 cm ，CD ＝40 cm ，BC ＝40 cm ，请你作出该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．参考答案【例1】图略，由A″C 1＝32＋42＝5，则AA′︵＝90π×3180＝32π，A′A″︵＝90π×4180＝2π，A″A 1︵＝90π×5180＝52π，则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，经过的路线长为AA′︵＋A′A″︵＋A″A 1︵＝32π＋2π＋52π＝6π.1．5π π＋3π 5.(1)60 (2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，点A 所经过的路径长为：l ＝AA 1︵＋A 1A 2︵＝60π·2180＋60π·23180＝2（3＋1）π3. 【例2】 A 9.如图所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段：线段OO 1，第二段：线段O 1O 2，第三段：O 2到O 3的一段圆弧，第四段：线段O 3O 4.由点O 1分别作O 1E ⊥AB ，O 1F ⊥BC ，可∠O 1BE ＝∠O 1BF ＝60°，在Rt △O 1BE 中，由勾股定理可得BE ＝1033(cm)．所以，OO 1＝AB －BE ＝60－1033(cm)；由BE ＝BF 得，O 1O 2＝BC －BF ＝40－1033(cm)；由∠O 2CO 3＝360°－120°－2×90°＝60°，可求得圆弧O 2O 3的长＝60π×10180＝103π(cm)；O 3O 4＝CD ＝40 cm.所以，圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的长度是(60－1033)＋(40－1033)＋103π＋40＝140－2033＋103π(cm)．。

关于滚圆问题的若干思考

度恒为１０．８。
１３滚动和纯滚动．
圆沿着另外一个圆的内表面滚动，比较典型的例子是１９年山西省的一道竞赛试题：９０例２如图２圆的半径为ｒ圆（的半径，，二）
为４，从图中所示位置出发绕圆（作无滑动ｒ圆）滚动．要使圆的圆心返回到原来位圆滚置，
（）；Ａ３
（）；Ｂ４
（）；Ｃ５
（）．Ｄ６
点评：这两道题目在用词上各有特点：ｉ例用
不能算作是尘埃落定，其原因主要有两个方面：（）１一些概念在表述的时候仍显得相当模糊；
（）圆问题的本质还没被大家所知晓．２滚鉴于这种状况，笔者结合物理学知识谈谈自己对滚圆问题的一些认识，供读者参考．Ｉ有关概念的界定．
２１年第１期０１０
数学数学
１ｌｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５０浙江省慈溪市育才中学初中部童浩军１０３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动，它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （）
问题在初中数学中已被讨论了二十余年（以下简称“ 圆问题”．于这场讨论笔者认为至今尚滚）关
现在来具体讨论滚圆（以下没特别说明，滚
动均指纯滚动）自转转数问题．的２沿折线型表面滚动．２１沿直线型表面滚动．如图３圆沿直线ｆ，由ｏ《位置滚动到ｏ（二）＝）位置（半径ＯＡ相应地移到《的位置）由于滚二），动时没有打滑，所以（０：Ａ二Ｂ＝Ｊ『）Ｅ的长，｝Ｃ显然

“圆形滚动”的问题探究

一
的路径等于圆周滚过的路程．
２圆在多边形外侧滚动
问题２如图，个半径为ｒ的圆。在折线Ｚ上滚动一段路程，点为Ａ，起终点为Ｂ，圆心０经过的问路径是多少？探究结论：圆心０所
般结论：圆在长方形的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于正方形的周长再加上圆的１个周长．问题４如图，个半一径为ｒ的圆０在正 △ ＡＢＣ的外侧自Ｄ点开始滚动１圈回到点Ｄ，圆心Ｏ经问过的路径是多少？探究结论：圆心０所经历的路径Ｌｏ于等正 △ ＡＢＣ的周长３ＡＢ，加上圆心０在三个再顶点处旋转经过的弧长之和（好是一个周刚长）即Ｌ一３，ｏＡＢ＋２ｒ兀．探究发现：圆心在各个顶点处旋转经过的度数刚好是它的外角，过的度数之和就等于转多边形的外角之和３０．６。问题５一个半径为ｒ的圆０在任意多边形的外侧自Ｐ点开始滚动１圈回到点Ｐ，问圆心０经过的路径是多少？般结论：圆在任意多边形的外侧滚动１圈，心所经历的路径等于多边形的周长和圆圆的周长之和．
・
４・０
数学教育研究
２００６年第２期
Ｌ。是以Ｍ为圆心，（就以Ｒ＋ｒ为半径的大圆）周长，Ｌ＝２（即。７Ｒ＋ｒ．）般结论：圆在圆周的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于这两个圆的周长之和．继续探索：在这个过程中圆Ｏ自转了多少

圆在几何图形上滚动的数学(下)

圆在几何图形上滚动的数学（下）吴乃华C 、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动例24、如图，线段AB 、BC 、CD 、DE组成右图折线，一个半径为0.5厘米的圆，沿着折线内侧按顺时针方向，无滑动地滚，从切点A 沿A — B — C — D 到E 。

如果已知AB 长9.42厘米，DE 长6.28厘米，这个圆滚动了几周？【解】：这个半径为0.5厘米的圆，其周长是：0.5×2×3.14＝3.14（厘米）这个圆从切点A 沿A — B — C — D 到E ，即圆心运动的轨迹从1O 到2O ，再到3O ，圆在弧DE 间跨过，即圆在∠DO 2E 处自身没有滚动。

在这条折线上，圆实际上滚动的距离是AB 和DE 的距离和，AB 和DE 的距离和等于O 1O 2和O 2O 3的和。

AB 和DE 的距离和为：9.42＋6.28＝15.7（厘米）所以，这个圆滚动的周数为：15.7÷3.14＝5（周）因此，我们可以这样说：圆在折线内侧滚动的圈数，等于圆心的轨迹长度除以圆的周长。

2、在圆内滚动a 、转的圈数例25、一个半径为1厘米的硬币，在一个半径为6厘米的圆中，从一点出发，贴这个圆的内周滚动一圈后回到原出发点，共转动了几圈？【解】：因为半径为1厘米的硬币，是贴着半径为6厘米的圆的内周滚动，所以滚动一周，它的圆心所形成的轨迹也是一个圆，其半径是：6－1＝5（厘米）所以，这个半径为r厘米的硬币，在半径为6r厘米的圆中，贴这个圆的内周滚动一圈转动的周长是：5×2×＝10（厘米）共转动了：10÷2＝5（圈）如果把上图沿出发时的切点处剪开，展开后就犹如例1一样，圆的运动路径就转化成了为沿直线运动。

例26、一个小圆在一个大圆内不停地滚动，大圆的半径是小圆的直径。

小圆滚动一周回到原来的位置时，小圆自己旋转了几周？【解】：设小圆的半径为r，因为大圆的半径是小圆的直径，所以小圆圆心到大圆圆心的距离也为r。

圆在几何图形上滚动的数学(上)

圆在几何图形上滚动的数学（上）吴乃华由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。

不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。

这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。

下面分五个方面来叙述：A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上是滚动2、在圆上滚动的距离．3、在圆周上滚动的圈数B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动1、在折线外侧滚动2、在正方形外滚动3、在三角形外滚动4、在凸多边形上滚动C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动2、在圆内滚动a、转的圈数b、转的长度D、圆滚动扫过的面积1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积E、综合练习A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上的滚动例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2r，桌面上的直线长6r厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6r÷2r＝3（周）观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。

它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨一问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

圆在几何图形上滚动的数学(下)

圆在几何图形上滚动的数学（下）吴乃华C 、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动例24、如图，线段AB 、BC 、CD 、DE组成右图折线，一个半径为0.5厘米的圆，沿着折线内侧按顺时针方向，无滑动地滚，从切点A 沿A — B — C — D 到E 。

如果已知AB 长9.42厘米，DE 长6.28厘米，这个圆滚动了几周？【解】：这个半径为0.5厘米的圆，其周长是：0.5×2×3.14＝3.14（厘米）这个圆从切点A 沿A — B — C — D 到E ，即圆心运动的轨迹从1O 到2O ，再到3O ，圆在弧DE 间跨过，即圆在∠DO 2E 处自身没有滚动。

在这条折线上，圆实际上滚动的距离是AB 和DE 的距离和，AB 和DE 的距离和等于O 1O 2和O 2O 3的和。

AB 和DE 的距离和为：9.42＋6.28＝15.7（厘米）所以，这个圆滚动的周数为：15.7÷3.14＝5（周）因此，我们可以这样说：圆在折线内侧滚动的圈数，等于圆心的轨迹长度除以圆的周长。

2、在圆内滚动a 、转的圈数例25、一个半径为1厘米的硬币，在一个半径为6厘米的圆中，从一点出发，贴这个圆的内周滚动一圈后回到原出发点，共转动了几圈？【解】：因为半径为1厘米的硬币，是贴着半径为6厘米的圆的内周滚动，所以滚动一周，它的圆心所形成的轨迹也是一个圆，其半径是：6－1＝5（厘米）所以，这个半径为r厘米的硬币，在半径为6r厘米的圆中，贴这个圆的内周滚动一圈转动的周长是：5×2×＝10（厘米）共转动了：10÷2＝5（圈）如果把上图沿出发时的切点处剪开，展开后就犹如例1一样，圆的运动路径就转化成了为沿直线运动。

例26、一个小圆在一个大圆内不停地滚动，大圆的半径是小圆的直径。

小圆滚动一周回到原来的位置时，小圆自己旋转了几周？【解】：设小圆的半径为r，因为大圆的半径是小圆的直径，所以小圆圆心到大圆圆心的距离也为r。

滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨一问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

圆在几何图形上滚动的数学(上)

圆在几何图形上滚动的数学（上）吴乃华由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。

不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。

这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。

下面分五个方面来叙述：A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上是滚动2、在圆上滚动的距离．3、在圆周上滚动的圈数B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动1、在折线外侧滚动2、在正方形外滚动3、在三角形外滚动4、在凸多边形上滚动C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动2、在圆内滚动a、转的圈数b、转的长度D、圆滚动扫过的面积1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积E、综合练习A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上的滚动例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2r，桌面上的直线长6r厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6r÷2r＝3（周）观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。

它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

邦德教育金牌教师刘永生论文《圆的转动圈数案例探讨》

2013年邦德教育金牌教师论文课题：圆的转动圈数案例探讨内容摘要圆的滚动问题中，圆不管是沿曲线或直线滚动，还是沿多边形的内或外滚动，其自身转动的圈数，都与其圆心经过的路程有关。

即：圆转动的圈数=圆心移动距离÷圆的周长Rolling circle in the round, either along the curve or straight line rolling, or along the polygonal inner or outer ring rolling, the number of its rotation, and through thedistance of center. That is:Circle the number of turns = center moving distance divided by the circumference of a circle关键词：圆的转动圈数; 圆心的移动距离; 路程; 多边形目录第一章前言 (3)第二章情景导入 (3)第三章探索发现 (3)3.1 圆在正三角形外滚动 (3)3.2 圆在正四边形外滚动 (4)3.3 圆在正五边形外滚动 (4)3.4 圆在圆外滚动 (5)3.5 圆在正三角形内部滚动 (5)3.6 圆在正四边形内部滚动 (5)3.7 圆在圆内滚动 (6)第四章统一方法 (6)4.1 圆在直线上滚动 (6)4.2 圆在多边形或圆外滚动 (6)4.3 结论： (7)谢辞 (8)第一章前言本内容是探讨圆1在直线上滚动到多边形及圆2的内外滚动一周后，圆1的转动圈数计算方法。

首先从直线上滚动过渡到在多边形和圆上转动圈数计算方法是不一样的。

第二章情境导入师：老师现在将两个一样的硬币紧靠在一起，其中一个硬币不动，另一个硬币围绕第一个硬币滚动一周，请问第二个硬币自转多少圈？生：1圈！师：为什么？生：因为我们学过圆的转动圈数公式是：圈数=路程÷圆的周长，而圆滚动路程=圆的周长，所以圈数是1。

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题知识聚焦当圆无滑动地滚动时，探讨圆自转的圈数是一类有趣的问题．这类问题有下列基本情形：1．圆沿直线无滑动地滚动如图①，半径为r 的圆沿一条直线无滑动地滚动，假设圆心向前移动的距离为,l 则圆滚动的圈数为⋅=rl R π22．圆沿折线无滑动地滚动如图②，半径为r 的圆沿拐角α的外部滚动，圆心0运动的路线为：线段（以点B 为圆心，r 为半径，圆心角为、)180αο线段⋅32O O如图③，半径为r 的圆沿拐角α的内部滚动，圆．心O 运动的路线为：线段.1OO 线段⋅21O O3．圆沿曲线无滑动地滚动二、用一张或几张硬纸片去盖住一个平面图形，讨论是否盖得住的问题，这就是所谓的平面图形的覆盖问题，用一张圆形纸片去覆盖一个平面图形是基本的覆盖方式．解覆盖问题常用到以下性质：1．半径较大的圆形纸片可以盖住半径较小的圆形纸片．2．如果纸片G 能覆盖区域F ，那么纸片G 的面积一定不小于区域F 的面积．例题导航【例1】如图，一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，当滚到与坡面BC 开始相切时停止．其中BC cm AB ,80=与水平面的夹角为.60o(1)求出圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度（结果保留π）； (2)当圆盘从点A 滚到与BC 开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少（精确到?)1.0cm点拨：(1)圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，根据圆的周长公式求出；(2)当圆与BC 相切时，圆与AB 、BC 都相切，且,120o ABC =∠在DEB Rt ∆中，可以求出BE ，则圆心转过的路线是AE ，在DEB Rt ∆中根据已知条件求出BE 就可以求出AE.解答：(1) ∵圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，而圆盘半径为∴,10cm 圆心经过的路线的长度是.20cm π(2)当圆转动到与BC 相切，停止的位置设为⊙,D 与AB 切于E ，连接DE 、DB ，则.AB DE ⊥在DEB Rt ∆中，-≈=AB cm DE BE o ,8.530tan .∴=-≈),(2.748.580cm BE 圆心经过的路线长约是.2.74cm点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理及利用三角函数解直角三角形等知识，有一定的综合性．【例2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律，并写出你所得到的结论（不要求证明）；(3)某地有四个村庄E、F、G、H（其位置如图②所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由.点拨：本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，中转站建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处），才能够符合题中要求．解答：(1)如图③．(2)若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．(3)此中转站应建在△EFH 的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）．理由：=∠+∠=∠GEF HEG HEF =∠=∠=+EFH FHF o o ,0.50,9.821.358.47οοEFH ∆∴,1.47ο是锐角三角形，∴其最小覆盖圆为△EFH 的外接圆，设此外接圆为⊙,P 直线EG 与⊙P 交于点E 、M ，则<=∠=∠ο0.50EHF EMF ∴∠=.8.53EGF ο点G 在⊙P 内，从而⊙P 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆．∴中转站建在△EFH 的外接圆圆心点P 即为所求，如图④所示．点评：本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长动（直角或钝角所对的边）为直径的圆，【例3】如图①～⑤，⊙O 均做无滑动滚动，⊙、1O ⊙2O 、⊙3O 、⊙4O 均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为.c 阅读理解： (1)如图①，⊙O 从⊙1O 的位置出发，沿AB 滚动到⊙2O 的位置，当c AB =时，⊙O 恰好自转1周；(2)如图②，ABC ∠相邻的补角是,︒n ⊙O 在ABC ∠外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙1O 的位置旋转到⊙2O 的位置，⊙O 绕点B 旋转的角,n 21︒=∠BO O ⊙O 在点B 处自转360n周．实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若,2c AB =则⊙0自转周；若,l AB =则⊙0自转周，在阅读理解的(2)中，若,120ο=∠ABC 则⊙O 在点B 处自转周；若,60ο=∠ABC 则⊙0在点B 处自转周；(2)如图③，.21,90c BC AB ABC o ===∠⊙O 以⊙1O 的位置出发，在ABC ∠外部沿A-B-C 滚动到⊙4O 的位置，00自转了周．拓展联想：(1)如图④，△ABC 的周长为l ⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为l ⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．点拨：实践应用：(1)读懂题意，套公式易得若,2c AB =则⊙O 自转2周；若,l AB =则⊙O 自转Cl周．在阅读理解的(2)中，若,120ο=∠ABC 则⊙.O 在点B 处自转61周；若,60O ABC =∠⊙0在点B 处自转31周；(2)因为,21,90c BC AB ABC ===∠ο则⊙0自转45411=+（周）．拓展联想：由于三角形和多边形的外角和是,360o 则⊙O 共自转了)1(+cl周．解答：实践应用：⋅31;61;;2)1(C l ⋅45)2( 拓展联想：ABC ∆Θ)1(的周长为∴,l ⊙O 在三边上自转了cl周．又Θ三角形的外角和是∴,360ο在三个顶点处，⊙O 自转了1360360=（周）．∴⊙O 共自转了)1(+cl周，)1)(2(+cl周.点评：此题主要考查多边形外角的性质，也是一道探索规律题，找准规律是关键．【例4】如图①，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．(1)在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；(2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．点拨：(1)圆在正方形中运动时覆盖的部分如图②所示；(2)设出正方形的边长和圆的半径，求出覆盖面积与圆的半径之间的函数解析式，中间正方形的面积易求得，而大正方形四角的面积可用以圆的直径为边长的小正方形的面积——一个圆的面积来求得，根据函数的性质即可判断出当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大．解答：(1)圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如图②所示．(2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大．理由：设正方形的边长为,a 圆的半径为,r 覆盖区域的面积为Θ.S 圆在正方形的内部，⋅≤<∴20ar 由图②可知，--=a a S [(2--=+--=-+20(8)20(]4)42222ar r r r r ππ∴<-<⋅-+--,220402016)204)(22a a a ar ππππΘ当π-=204a r 时，S 有最大值．∴=/-,4204a a πΘ当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大．点评：本题主要考查了正方形和圆的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识．培优训练能力达标1．如图，⊙O 沿凸多边形n n A A A A A 1321-Λ的外侧（圆与边相切）无滑动地滚动．假设⊙O 的周长是凸多边形n n A A A A A 1321-Λ的周长的一半，那么当⊙O 回到出发点时，它自身滚动的圈数为( )A ．1B ．2 C. 3 D. 42．如图，直径为1个单位长度的圆上有一点A ，与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A 与数轴上的点B 重合，则点B 表示的实数是 ( )12.-πA 1.-πB π-1.C π21.-D3．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为≥α(a 3)的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )π-2.a A2)4.(a B π-π.Cπ-4.D4．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在△ABC 中,===BC AC AB ,548，则△ABC 的最小覆盖圆的面积是( )π64.Aπ25.B π20.C π16.D5．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称圆形A 被这个圆所覆盖．如图中的三角形被一个圆所覆盖，如果边长为1的正六边形被一个半径长为R 的圆覆盖，那么尺的取值范围为．6．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆，若在△ABC 中,4,3,5,===BC AC AB 则△ABC 的最小覆盖圆的半径是；若在111C B A ∆中，,120,6,111111111o C A B C B C A B A =∠==则111C B A ∆的最小覆盖圆的半径是 .7．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径,那么称图形A 被这个圆所覆盖．如图，三角形被一个圆所覆盖，回答下列问题：(1)边长为1的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是多少？ (2)边长为1的正三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是多少？(3)半径为1的圆被边长为a 的正方形所覆盖,a 的最小值是多少？ (4)半径为1的圆被边长为a 的正三角形所覆盖，a 的最小值是多少？8．如图，正三角形ABC 的边长为,36cm ⊙O 的半径为,rcm 当圆心0从点A 出发，沿着线路CA BC AB →→运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的移动而移动． (1.)若,3cm r =求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在点0移动的过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下厂的取值范围及相应的切点个数；(3)设点0在整个移动过程中，在△ABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为,2Scm 当0>S 时，求S 关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．拓展提升9．如图，Rt△ABC 的直角边,24=AC 斜边=AB 25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是( )356.A 25.B3112.C 56.D10. 一位小朋友在一轨道上滚动一个半径为cm 10的圆盘，如图所示，其中==∠AB ABC ,120ο,40,60cm BC cm =该小朋友将圆盘从点A 滚动到点C ，则其圆心所经过的路线的长度为 .cm11.在△ABC 中，BC AC AB ,13,15==边上的高,12=AD 能完全覆盖△ABC 的圆的半径R 的最小值为 .12.猜想归纳：如图，正方形ABCD 的边长为2+πk k (是正整数），半径为1的⊙O 分别与AD 、AB 相切，沿DA CD BC AB →→→的方向使⊙O 在正方形ABCD的边上滚动．当⊙O 第一次回到起始位置时停止运动．(1)当1=k 时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；当2=k 时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；当n k =时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；(2)当n k =时，⊙O 从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？魔法赛场【例】如图①，⊙O 沿着凸n 边形Λ321A A A n n A A 1-的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置．(1)当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，求证：⊙O 自身转动了两圈；(2)当⊙O 的周长是,a 凸n 边形的周长是b 时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数.点拨：(1)根据圆自身转动的圈数=线段的长度÷圆的周长，设n A A A 12∠为钝角，可证明⊙O 滚动经过顶点,1A 自身转动的角度恰好等于顶点1A 的一个外角，即当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；(2)由上面的结果，可得⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab圈. 解答：(1) -个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数一线段的长度÷圆的周长，因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角，如图②，设n A A A 12∠为钝角，已知1A A n 是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点1A 后到⊙O '的位置，此时21A A 是⊙O '的切线，因此⊥1OA ⋅⊥2111,A A OA A A n 当⊙O 转动至⊙O '时，则r 就是⊙O 自身转动的角，,90,90οΘ=+︒=+βαβγ,αγ=∴即⊙O 滚动经过顶点,1A 自身转动的角度恰好等于顶点1A 的一个外角．对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．Θ凸n 边形的外角和为∴,360ο⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动一圈．转动的圈数是)1(+ab圈. (2)由(1)可得，⊙O 自身点评：解决本题的关键是找出圆的滚动过程中几个相关量之间的关系，有一定的难度，要仔细考虑．思考题小明在如图所示的粗糙平面轨道上滚动一个半径为cm 8的圆盘，AB 与CD 是水平的，BC 与水平方向的夹角为,45o 四边形BCDE 是等腰梯形，cm BC E EF CD 40====(1)请作出小明将圆盘从点A 滚动至点F 其圆心所经过的路线示意图；(2)求出(1)中所作路线的长度，。

小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案40圆与扇形(二)

年级五年级学科奥数版本通用版课程标题圆与扇形（二）有时竞赛题中会考查一些关于无滑滚动、杠杆原理等物理知识，其中要用到关于圆的计算。

这类题要求我们知道一些简单的物理常识，因此平时就要注意积累。

最后我们举两个关于圆的、设而不求的例子，以提高同学们的思维水平。

无滑滚动硬币在支撑面上滚动，硬币边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，称硬币做无滑滚动。

这时，硬币边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的速度为0。

一个硬币沿一条直线滚动，并且没有滑动。

此时圆心运动的距离与硬币周长的比值就是硬币滚动的圈数。

硬币沿着曲线型边缘滚动，比如沿着另一个硬币边缘滚动，这种情况下若直接计算硬币自转多少圈容易算错，这时我们可以假定硬币边缘上有一红点，利用这个红点的指向间接判断硬币自转多少圈。

例1直径l厘米的圆沿边长为4.14 厘米的正方形内侧无滑动地滚动l圈(见图)，则圆绕自己的圆心转了______圈。

分析与解：把整个过程分为4段，根据对称性知道，只要计算一段的情况就行了。

在一条边上滚动，是直线上的无滑动滚动。

用滚动距离除以圆周长就是滚动的圈数。

.4(=14÷-，故在一条边上旋转一周。

所以整个过程中圆绕自己的圆心转了4圈。

.3114)1例2半径为1的圆片绕着边长为6、7、8的三角板滚动一周，回到原位置。

圆片扫过的面积多大？分析与解：把扫过的区域分成六块，其中三块是长方形，总面积为42)876(2=++⨯；另外三块是扇形，能拼成半径是2的圆，面积是56.1214.34=⨯，所以圆片扫过的总面积是54.56。

例3 三个相同的硬币，将其中两个紧挨着固定在桌面上。

另外一个紧贴着这两个硬币滚动一周，没有滑动。

问，这个硬币自身转动几圈?分析与解：利用对称性知，只要计算滚动半周，硬币自转的圈数就可以知道了。

假设固定的两个硬币是左右相邻的，在右半周，滚动半周，硬币旋转34圈。

滚动一周，则硬币旋转38圈。

例4 试说明图中阴影部分面积与图中直角三角形面积相同。

园无滑动滚动(11)

滚动的圆研究报告有两个半径相同的圆，一个为定圆，一个为动圆，动圆与定圆相切且沿着定圆的外周作无滑动的滚动。

问：动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了几周？解：设两圆的半径为r。

关键是看转动半径，因为两圆外切，则转动半径为2r，所以动圆滚动的路程是以2r为半径的圆的周长，即4πr。

因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了4πr/2πr=2周。

下面对此题进行推广：若两圆的半径不相等，设大圆半径为R，小圆半径为r，小圆绕大圆做无滑动的滚动。

问：小圆从出发位置沿大圆滚动一周后，小圆自转了几周？解：1 若沿外周滚动，即大圆与小圆外切，则转动半径为R+r，所以动圆滚动的路程是以R+r为半径的圆的周长，即2π（R+r）。

因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了2π（R+r）/2πr=1+(R/r)周。

2 若沿内周滚动，即大圆与小圆内切，则转动半径为R-r，所以动圆滚动的路程是以R-r为半径的圆的周长，即2π（R-r）。

因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了2π（R-r）/2πr=(R/r)-1周。

令大圆的周长为C1，小圆的周长为C2，则若小圆沿外周滚动，转动的圈数为(C1/C2)+1。

若沿内周滚动，转动的圈数为(C1/C2)-1由此我们可以得到：若一圆绕另一定圆做无滑动滚动，从出发位置沿定圆滚动一周后，自转的圈数为：若动圆沿定圆的外周滚动，即两圆外切，转动的圈数=(定圆的周长/动圆的周长)+1若动圆沿定圆的内周滚动，即两圆内切，转动的圈数=(定圆的周长/动圆的周长)-1根据这一结论继续进行推广，若一圆围绕一正n边形做无滑动滚动，那么动圆从出发位置沿定正n边形滚动一周后，动圆自身转了几周？若沿正n边形外周滚动，转动的圈数=(正n边形的周长/圆的周长)+1若沿正n边形内周滚动，转动的圈数=(正n边形的周长/圆的周长)-1对此再进一步思考，若一圆沿两个，三个，……n个圆做无滑动滚动，那么动圆从出发位置沿这些定圆滚动一周后，自转的圈数是多少？。

圆绕图形无滑动滚动的问题

周长的 5 倍，问圆自身转动了几圈？
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)
小结：圆在多边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于多边形的周长加上圆的周长，所以圆转动的圈数＝多边形的周长÷圆的周长＋1。
三、曲直无别：圆在另一圆的内、外滚动 (1)外滚例 3、如图，在同一平面内，有两个大小相同的圆，其中圆 1 固定不动，圆 2 在其外围无滑
动滚动一周，则圆 2 自身转动了______周。
解答：设两小圆半径为 r。圆 2 滚动的距离就是圆 2 圆心经过的距离，即图中虚线的圆，这个圆的半径等于两圆半径的和，因此它的周长 2π(r＋r)＝4πr 也就是圆 2 圆心经过的路程。所以圆 2 转动了 4πr 除以圆的周长 2πr，转动了 2 周。
滚动圆问题
基本结论： 1、圆沿线（包括直线、曲线、折线）作无滑动滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为
一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。即在圆作无滑动滚动时，圆滚动经过路程长度与其圆心所经过的路线长度相等。 2、圆自身转动的圈数＝圆心经过的路程÷圆的周长一、由简入手：圆在直线上滚动例 1、如图，把圆放在一条长度等于其周长的线段 AB 上，从一个端点无滑动地滚动到另一个
端点，则圆将滚动________周。
解答：圆心经过的路程为一个圆周长，所以圆滚动一周。结论：(1)若线段 AB 的长度是圆周长的 n 倍，则圆将滚动 n 周。
(2)圆心 O 所经过的路线的长度等于线段 AB 的长。二、拓广范围：圆在多边形外滚动例 2、如图，圆沿着△ABC 的外侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ABC 的周长是圆