第九章 一元非线性回归分析

.
a ln a
.
. 则： Yˆ a (b)X
这是典型的直线方程形式。方称中的 a和 b
可根据下式计算：
X
Y
Y ln K Y
Y
.
x1
y1
y 1
.
x2
y2
.
y2
┇
┇
xn
yn
yn
.
.
xy 1 x y
b
n
a y bx
.
x2 1 x2 Yˆ a bX
.
n
（二）Logistic曲线方程中K值的确定
.
. .
则： Yˆ
2.827
1 19.96e 0.519964X
.
5、曲线拟合度检验
.
.
r 0.9914
yx
.
r 0.754 , r 0.874
0.05, 5
0.01, 5
相关达到了极显著，表明该资料用 logistic曲线 描述是合适的。
[实例2]某地测定1972年越冬代棉红龄虫的化蛹 进度（%），化蛹时间以 5月31日为0计，结果 . 如下表。试以Logistic生长曲线方程描述该资料
.
. . .
.
1. Y是累积生长量或繁殖量时：
.
.
y2y y 2y y y
K 2 1
3
123
y2 y y
2
13
2.Y是累积频率（%）时：K=100
三、Logistic曲线方程的应用实例
.
[实例1] 测定某肉鸡在良好饲养条件下的
.
生长过程，每两周测定一次，得结果于
.
下表，试以Logistic方程描述之。
.
.
. 该曲线称为增长曲线。a是起始量，b是 每经过一个单位时间实得量对于起始量 的平均倍数。
二、方程 Yˆ abX 的线性转换
.
. 方程 Yˆ abX通过对数转换可化为直线 方程。
.
方程 Yˆ abX 两边取对数：
lg Yˆ lg a (lg b)X
.
. 令：Yˆ lg Yˆ ( Y lg Y )
示当生长发育时间无限延长(X→∞)
.
时的累积生长量,为常数。
.
.
e =2.71828……
(二）Logistic曲线的特性 Logistic曲线
. 1. Logistic曲线的形状呈s形，曲线上下各有一
. 条水平的渐近线。
.
2.当X=0时， 起始量是 K
Yˆ
K 1a
，即生长发育时间为0的
1a
3.当X→∞时， Yˆ K，即生长发育时间无限延
Yˆ a bX
. 将直线方程中的 a和 b反转换为a和 b：
.
a lg1a
b lg1 b
将a和b代入方程 Yˆ abX中，即可得到
所要配置的指数方程。
三、方程 Yˆ abX的应用条件
.
.
. 1.因变量Y的取值均大于0；
2.对因变量Y做对数转换（ Y lg Y ），
.
（ X, Y）的散点图呈线性；
生长速度又趋于缓慢，以致终期停止生长或趋
于饱和。
二、Logistic曲线方程的建立
. （一）Logistic曲线方程的线性转换
.
Yˆ K
.
1 aebX
K Yˆ YˆaebX
.
K Yˆ Yˆ
aebX
. .
两边取自然对数：
ln(
K
Yˆ
Yˆ
)
ln
a
bX
.
令
： Yˆ
ln(
K Yˆ
Yˆ
)
，即 Y ln( K Y ) Y
第九章 一元非线性回归分析
第一节 非线性回归的基本概念 第二节 指数曲线方程的配置 第三节 Logistic曲线方程的配置 第四节 曲线拟合度检验
一、什么是非线性回归
.
（一）非线性回归分析
.
. 研究两个变量之间非线性回归关系的统 计分析方法称为一元非线性回归分析。
（二）非线性回归分析要解决的问题
.
分析步骤如下：
. 1.对因变量 Y 做对数转换（Y lg Y）。
.
. 2.计算线性回归方程Yˆ a bX：
x 121 x2 1441 x 11
.
y 5.121 y2 6.612 y 0.466
.
. xy 77.879 n 11
.
xy 1 x y
. b
.
n
4.曲线拟合度检验
.
xy 1 x y
. .
r xy
n
n 1s s
0.999
.
x
y
查相关系数检验表（附表12）：
.
r 0.602,r 0.735
.
0.05 ,9
0.01 ,9
. r 0.999达到了极显著，说明用指数方程 xy
Yˆ 0.02041.57X描述日龄与干重的非线性关
系是合适的。
. s 2.265920 xy 123.5304 n 7 y
. b 0.519964 a 2.993743
则：Yˆ 2.993743 0.519964 X
数据表
. 4、将直线回归方程 Yˆ 2.993743 0.519964 X 反
. 转换为
.
Yˆ K
1 aebX
a ln12.993743 19.96
.
6
.
7
.
8
9
10
.
11
.
12
13
.
14
15
16
0.29 0.52 0.79 1.25 1.81 2.61 4.25 7.38 11.30 18.82 28.12
-0.538 -0.284 -0.102 0.097 0.258 0.417 0.628 0.868 1.053 1.275 1.449
0.31 0.48 0.75 1.18 1.86 2.91 4.58 7.18 11.28 17.71 27.80
一、Logistic曲线方程及性质
.
.
.
Y
K
.
K
.
2
.
K
.
1a
0 ln a
∞
x
b
.
.
Yˆ K
(a、b、K 均大于0)
.
1 aebX
（一）Logistic曲线方程
.
. .
Yˆ K 1 aebX
(a、b、K 均大于0)
.
式中：X—生长发育时间；
.
Y—累积生长量；
.
.
K—极限生长量，或叫终极量，表
.
.
. 3.X, Y的相关系数达到显著。
. . .
四、方程 Yˆ abX的应用实例
. [实例] 某作物出苗后6~16天（即日龄） . 的植株地上部分干重（g）如下表，试用 . 指数方程描述之。
植株地上部分干重Y与日龄X的关系
.
日龄X 地上部干重Y Y lg Y Yˆ 0.0204(1.57 )X
.
长的终极量是K。
. . .
4育极.曲时限线间生在X长=(量b1ln的blnaa1, /时K22。，)处这有时一生个长拐量点Y，ˆ 即K2生，长恰发为
.
Logistic生长曲线对于动、植物生长或繁
殖过程的描述为：开始生长或繁殖较为缓慢，
.
随着时间推移，增长速度加快，在 X ln a处为 . 增长速度最快的时刻，而后经过一个时间b 段，
. X和Y的关系。
.
X Y(%) Y ln(100 Y) Yˆ
100
Y
1 62.0909e0.1564x
5 3.5
3.3168
3.4
.
10 6.4
2.6827
7.1
.
15 14.6
1.7663
14.4
.
20 31.4
0.7815
26.9
.
25 45.6
0.1765
44.6
. 30 60.4
-0.4222
X(周次)
Y ( kg)
Yln 2.827Y
Y
.
2
0.30
2.1310
.
4
.
0.86
0.8273
6
1.73
-0.4555
.
8
.
10
.
12
2.20
-1.2553
2.47
-1.9342
2.67
-2.8336
14
2.80
-4.6415
.
解：
1、求K值:
K
y2 2
y1 y3 2y1y2y3
y
2 2
2.对数函数曲线
.
.
3.幂函数曲线
.
.
4.双曲函数曲线
5.Logistic生长曲线
.
.
6.二次多项式曲线
.
三、非线性回归方程的配置
. 基本步骤如下：
.
. 1.做散点图，选择合适的曲线类型及回 归方程形式。
2.配置相应的非线性回归方程。
.
. 非线性回归方程的配置方法：
.
①用非线性最小二乘法配置（ 麦夸特
y1y
3
数据表
. .
2.20
2
0.30 2.8020.30
2.202 0.302.80
2.20
2.80
=2.827
.
2、计算 Y ln 2.827 Y Y
.
. 3、计算直线回归方程 Yˆ a bX
.
x 56 x2 560
x8
s 4.320494 x
. y 8.1618 y2 40.322785 y 1.165971
.
Marguardt法）。
. ②用线性最小二乘法配置。即对曲线方 . 程先进行变量代换，使之变成直线方程，
.
然后计算直线方程中的回归系数，最后 再反转换为原曲线方程。
一、方程 Yˆ abX的图像及性质
.
.
Y
a>0
.
b>1
.
.
0
X
.
.
Yˆ abx
该曲线方程在生物学研究中应用较广。例
. 如，微生物培养时间X与增殖量Y的关系。
.
.
a lg a
.
b lg b
.
. 则：Yˆ a bX
这是典型的直线方程形式。方程中的 a 和 b 可根据下式计算：
X
Y
Y ' lg Y
.
x1
y1
.
x2
y2
.
┇
┇
xn
yn
y lg y
1
1
y lg y
2
2
┇
y lg y
n
n
.
.
xy 1 x y
.
b
n
.
x2 1 x2
n
. a y bx
x 2 1 x2
0.196
n
.
a y bx 1.69
Yˆ a bX 1.69 0.196X
3.将 a和 b 转换成a和b，代入指数方程Yˆ abX；
a lg1 a lg11.690.0204
.
. b lg1 b lg10.196 1.57
.
由此，得到指数方程 Yˆ 0.02041.57X
63.7
. 35 75.2
-1.1093
79.3
.
40 90.2
-202196
89.4
45 95.4
-3.0320
94.8
50 97.5
-3.6636
97.6
本章小结：
.
. 1.用线性转换法配置曲线方程的基本步骤。
.
2.指数曲线方程与Logistic生长曲线方程在进 行线性转换时有什么区别？
.
. 3.Logistic生长曲线方程的信息分析：起始量、 . 极限量和拐点日期的计算及生物学意义。
. 1.确定两个变量之间的数量变化规律— . 非线性回归方程；
.
2. 估 计 非 线 性 回 归 关 系 的 参 数 ， 如 极 . 值、曲线拐点、渐近值等；
.
. 3.利用非线性回归方程进行预测或其它 分析。
二、非线性回归的类型
曲线类型
.
. 根据曲线的性质和特点分为以下6种类型：
.
Fra Baidu bibliotek1.指数函数曲线