高等数学同济大学数学系 第七版上册第五章课后答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±查看全部文档，请关注微信公众号：高校课后习题即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
高等数学同济第七版上册课后答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案L 求下列函数的自然定义域： ⑴ y = J3K +2; ⑶ y =—Vi- x 2；X (5) y=sin(7)y = arcsin(x-3); (9)jV = ln(x + l);解：(1)3AI + 2>0=>X >-23(2)1 -厂工 0 = JCH ±1, 即定义域为(-8, -1) U (-1/)D (1, +8) (3)/ = 0且1一/之0=4工0且产仔1 即定义域为[-1R)D(0,1](2)y = 1 - JC (4);y -1 , A /4-JT (6)y = tan(x +1); (8)J=V3-x + arctanJL; x(10)y = e e\,即定义域为「一 2,+0?(4)4-犬＞。
二＞卜|＜2即定义域为(—2,2)(5)x2 0,即定义域为［0, +oc)71(6)x +1 / kjr + 一 (% £Z), \ 2 1即定义域为x xe R^x^(k+ )兀一1k eZ(7)|x-3|< 1= 2 WxW 4,即定义域为[2,4](8)3—冗2 0且4工0,即定义域为(一8,0) u(0,3](9)x + 1 >0=>x> -1 即定义域为(-1,+8) (10)工工0,即定义域为(一双0) u (0, +oo)2,下列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)/U) = 1g g(x) =21gx(2)/U) = x, g(x)=岳(3)/(%) = #(f-丁), g(x) =(4)/(x) = l,g(x) =sec'x — tarrx解；(1)不同，因为定义域不同((2)不同，因为对应法则不同，g(M= 1—= x.x>0< 0(3)相同，因为定义域，对应法则均相同(4)不同，因为定义域不同匹斗|斗＜3 .设a“)=\ 兀3州花一11 3求0(二),夕(巴)，旗一土),0(-2),并指出函数y = Q(x)的图形6 4 41 /乃、, 7T yfl二？，以 4)= sin 耳=~^,0(_Z)= sin(--)l = =0,44 | 2(l)y=(2)y = x + In x,(0, +oo)证明：,匹、 .匹%)=sm%解:4 .试证下列函数在指定区间内的单调X \-xx 1⑴尸/W = ---- -- = T+ -- --- ,(一00』)1-x 1-x设X] <工2 < 1，因为/%)—/区)=“七方 ,〉0 (—Xi) >U1 2所以/(X2 )> /(&),即/(X)在(一8,1)内单调增加(2) y - /(x) = x + In x,(0, +8)设0<»<彳2，因为 /U） -/u） = X - x+ In 当二。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的逻辑思维和数学素养的培养起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版上册更是众多高校选用的经典教材。
课后习题作为巩固和深化知识的重要手段，其答案的准确性和完整性对于学生的学习效果有着直接的影响。
在学习高等数学的过程中，很多同学都会遇到各种各样的问题，尤其是在课后习题的解答上。
有时候，即使认真听讲、仔细阅读教材，也可能会在解题时感到困惑。
这时候，一份详细准确的课后习题答案就显得尤为重要。
首先，我们来看第一章函数与极限。
这一章的习题主要围绕函数的概念、性质以及极限的计算展开。
对于函数的定义域、值域、奇偶性等问题，需要同学们对函数的定义有清晰的理解。
而极限的计算则是这一章的重点和难点，包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换等方法求极限。
以习题 1-1 中的第 5 题为例：求函数＼（f(x) ＝＼sqrt{x^2 4}＼）的定义域。
要解决这个问题，我们需要令＼（x^2 4 ＼geq 0\），即＼（（x 2)（x ＋ 2) ＼geq 0\）。
解得＼（x ＼leq －2\）或＼（x ＼geq2\），所以函数的定义域为＼（（＼infty, －2 ＼cup 2, ＋＼infty)＼）。
再比如第一章的习题 1-5 中的第 2 题：计算＼（＼lim_{x ＼to 0}＼frac{＼sin 3x}｛x}＼）。
这道题可以利用重要极限＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\）来求解。
将原式变形为＼（3 ＼times＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛3x}＼），结果为＼（3\）。
第二章导数与微分的习题则侧重于导数的定义、求导法则以及微分的计算。
对于复合函数的求导，需要同学们熟练掌握链式法则。
比如习题 2-2 中的第 7 题：设＼（y ＝＼ln ＼sqrt{＼frac{1 x}｛1＋ x}｝＼），求＼（y'＼）。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-复习笔记-第五章 定积分【圣才出品】
上任取一点 的乘积
，作函数值 ，并作出和
，记
，如果当 λ→0 时，这和
的极限总存在，且与闭区间[a，b]的分法及点 的取法无关，则称这个极限为函数 f(x)在
区间[a，b]上的定积分，记作
，即
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b
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曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分
表示上述曲边梯形面积的负值；
（3）在[a，b]上 f(x)既取得正值又取得负值时，函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上
方，而其他部分在 x 轴下方（见图 5-1-1），此时定积分 面积减去 x 轴下方图形面积所得之差．
表示 x 轴上方图形
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称为积分上限，[a，b]称为积分区间．
（2）“ε－δ”表达式
设有常数 I，对于任意正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，
不论 在
中怎样选取，只要
δ，总有
成立，则称 I 是 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
[a，b]上的一个原函数．
2．牛顿-莱布尼茨公式
就是
在
其中 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．
三、定积分的换元法和分部积分法 1．定积分的换元法 （1）定理
设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，函数
① =a, =b ；
② 域
，则有
满足条件： 上具有连续导数，且其值
该公式称为换元公式．
和
合起来，用过
三
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章 定积分【圣才出品】
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
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-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
高等数学(同济版)上册第五章简明答案
高等数学(同济版)上册第五章简明答案习题5 11 利用定积分定义计算由抛物线y=x2 1 两直线x=a、x=b(b a)及横轴所围成的图形的面积解第一步在区间[a b]内插入n 1个分点xi a b ai(i 1 2nn 1) 把区间[a b]分成n个长度相等的小区间各个小区间的长度为xib an(i 1 2 n)第二步在第i个小区间[xi 1 xi] (i 1 2 n)上取右端点i xi ab ai nni 1作和ni 1Sn f( i) xi [(ab a2b ai) 1] nnb an22a(b a)(b a)22[a i i 1] 2ni 1nn2(b a)n(n 1)(2n 1)22a(b a)n(n 1)(b a) [na n] 2nn26na(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) (b a)[a 1]n6n22第三步令max{ x1 x2 xn} b a 取极限得所求面积nS af(x)dx lim f( i) xi0i 12bna(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)lim(b a)[a 1] 2n n6n11(b a)[a2 a(b a) (b a)2 1] (b3 a3) b a332 利用定积分定义计算下列积分(1) axdx(ab) (2) 0exdx 解(1)取分点为xi a b ai(i 1 2 n 1) 则xi b a(i 1 2nn1bn) 在第i 个小区间上取右端点i xi a b ai (i 1 2 n) 于是naxdx lim i xi lim (a b ai) b an n nnbi 1i 1nn(b a)lim[a(b a)n2(b a)2n(n 1)2n21] (b2 a2) 2(2)取分点为xi i(i 1 2 n 1) 则xi 1(i 1 2 n) 在第inn个小区间上取右端点i xi i (i 1 2 n) 于是nn1xnedx lime0n i 111nn lim(e e en) nn n1 lim n n11e[1 (e)n]11 enlim1e[1 e]1n(1 enne 1)3 利用定积分的几何意义说明下列等式(1) 02xdx 1 1(2) 01x2dx4(3) sinxdx 0 (4) 2 cosxdx 2 02cosxdx21解(1) 02xdx表示由直线y 2x、x轴及直线x 1所围成的面积显然面积为1 (2) 01x2dx表示由曲线y x2、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积即圆x2 y2 1的面积的1411x2dx 1244(3)由于y sin x为奇函数在关于原点的对称区间[ ]上与x轴所夹的面积的代数和为零即sinxdx 0(4) 2 cosxdx表示由曲线y cos x与x轴上[ , ]一段所围成的图222形的面积因为cos x为偶函数所以此图形关于y轴对称因此图形面积的一半为02cosxdx 即2cosxdx 22cosxdx 0 24 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数且有p 9 8h (kN/m2) 若闸门高H 3m 宽L 2m 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 解建立坐标系如图用分点xi Hi(i 1 2 n 1)将区间[0 H]n分为n分个小区间各小区间的长为xi H(i 1 2 n)n在第i个小区间[xi 1 xi]上闸门相应部分所受的水压力近似为Pi 9 8x il x i 闸门所受的水压力为P lim 9.8xi L xi 9.8Llimn i 1nn(n 1)HHi 9.8L H2lim 4.8L H2 n i 1nn n2nn将L 2 H 3代入上式得P 88 2(千牛) 5 证明定积分性质(1) akf(x)dx k af(x)dx (2) a1 dx adx b alim kf( i) xi klim f( i) xi k af(x)dx 证明(1) akf(x)dx0 0i 1i 1bnnbbbbblim 1 xi lim xi lim(b a) b a (2) a1 dx0 0 0i 1i 1bnn6 估计下列各积分的值(1) 1(x2 1)dx (2)54(1 sin24x)dx4(3)1xarctanxdx3(4) 2ex2xdx解(1)因为当1 x 4时2 x2 1 17 所以即2 (4 1) 1(x2 1)dx 17 (4 1) 6 1(x2 1)dx 5144(2)因为当x 5 时1 1 sin2x 2 所以44即55 51 ( ) 4(1 sin2x)dx2 ( ) 44444524(1 sinx)dx 21, 3]上的最大值4(3)先求函数f(x) x arctan x在区间[mM与最小值1xx 时f (x) 0 所以函数f (x) arctxa 2 因为当1 x3arctan x在区间[1, 3]上单调增加于是3m f(1) 1arctan1 M f() arctan36 f(x) x因此即63(31) 1xarctxadn x33(1)91xarctanxdx32323x(4)先求函数f(x) ex在区间[0 2]上的最大值M与最小值mf (x) ex2x(2x 1)驻点为x 1221 11 M e2 m ef() e 得2比较f(0) 1 f(2) e于是122e(2 0) 0ex xdx e2 (2 0)即2e210x2 xedxdx 2e27 设f(x)及g(x)在[a b]上连续证明(1)若在[a b]上f(x) 0 且af(x)dx 0 则在[a b]上f(x) 0 (2)若在[a b]上f(x) 0 且f(x) 0 则af(x)dx 0(3)若在[a b]上f(x) g(x) 且af(x)dx ag(x)dx 则在[a b]上f(x) g(x)证明(1)假如f(x) 0 则必有f(x) 0 根据f(x)在[a b]上的连续性在[a b]上存在一点x0 使f(x0) 0 且f(x0)为f(x)在[a b]上的最大值再由连续性存在[c d] [a b] 且x0 [c d] 使当x [c d]时f(x)f(x0)2bbbb于是f(x0)(d c) 0 2abf(x)dx acf(x)dx cdf(x)dx dbf(x)dx cdf(x)dxb这与条件af(x)dx 0相矛盾因此在[a b]上f(x) 0(2)证法一因为f(x)在[a b]上连续所以在[a b]上存在一点x0 使f(x0) 0 且f(x0)为f(x)在[a b]上的最大值再由连续性存在[c d] [a b] 且x0 [c d] 使当x [c d]时f(x)f(x0)2于是f(x)dx f(x)dxcdbaf(x0)(d c) 0 2因为f(x) 0 所以af(x)dx 0 假如af(x)dx 0不成立则只有af(x)dx 0根据结论(1) f(x) 0 矛盾因此af(x)dx 0 (3)令F(x) g(x) f(x) 则在[a b]上F(x) 0且aF(x)dx a[g(x) f(x)]dx ag(x)dx af(x)dx 0 由结论(1) 在[a b]上F(x) 0 即f(x) g(x)4 根据定积分的性质及第7题的结论说明下列积分哪一个的值较大(1) 0x2dx还是0x3dx？(2) 1x2dx还是1x3dx？(3) 1lnxdx还是1(lnx)2dx？(4) 0xdx还是0ln(1 x)dx？(5) 0exdx还是0(1 x)dx？解(1)因为当0 x 1时x2 x3 所以0x2dx 0x3dx1111112222bbbbbbbb11又当0 x 1时x2 x3 所以0x2dx 0x3dx11(2)因为当1 x 2时x2 x3 所以1x2dx 1x3dx22又因为当1 x 2时x2 x3 所以1x2dx 1x3dx22(3)因为当1 x 2时0 ln x 1 ln x (ln x)2 所以1lnxdx 1(lnx)2dx22又因为当1 x 2时0 ln x 1 ln x (ln x)2 所以1lnxdx 1(lnx)2dx22(4)因为当0 x 1时x ln(1 x) 所以0xdx 0ln(1 x)dx 又因为当0 x 1时x ln(1 x) 所以0xdx 0ln(1 x)dx(5)设f(x) ex 1 x 则当0 x 1时f (x) ex 1 0 f(x) ex 1 x是单调111因此当0 x 1时f(x) f(0) 0 即ex 1 x 所以0exdx 0(1 x)dx 11又因为当0 x 1时ex 1 x 所以0exdx 0(1 x)dx11习题5 21 试求函数y sintdt当x 0及x 时的导数04xxd 解y sintdt sinx 当x 0时y sin0 0dx0当x 时y sin4242 求由参数表示式x sinudu y cosudu所给定的函数y对x tt的导数dyy (t)cost 解x (t) sin t y (t) cos tdxx (t)3 求由edt costdt 0所决定的隐函数y对x的导数t0yxdy dx解方程两对x求导得eyy cosx 0 于是dycosx y dxe24 当x为何值时函数I(x) te tdt有极值？解I (x) xe x 令I (x) 0 得x 02因为当x 0时I (x) 0 当x 0时I (x) 0 所以x 0是函数I(x)的极小值点5 计算下列各导数x2d (1) t2dt dx0x3d (2) 214dt dxx tcosxd (3) cos( t2)dt dxsinxx2令x2 ududdu 22解(1) tdt tdtdx0du 0dxu2 2x 2x x4x30x3d1d1d1dt dt dt (2) 2dxx t4dx x2 t4dx 0 t4x2x3d1d1dt dt dx0 t4dx 0 t41123(x) (x) 2434(x) (x)22x3x 812 x xcosxsinxcosxddd22(3) cos( t)dt cos( t)dt cos( t2)dtdxsinxdx0dx0cos( sin2x)(sinx) cos( cos2x)(cosx) cosx cos( sin2x) sinx cos( cos2x) cosx cos( sin2x) sinx cos( sin2x) cosx cos( sin2x) sinx cos( sin2x) (sinxcosx)cos( sin2x)6 计算下列各定积分(1) (3x2 x 1)dx0a解2312a312(3x x 1)dx (x x x)| a a a 0 022a(2) (x2 14dx1x2解1)dx (1x3 1x 3)|2 1(23 2 3) 1(13 1 3) 25 2(x 1 1x*****2(3) x(1 x)dx49解942 x(1 x)dx (x x)dx (x2 1x2)|9432492***-***** (9 9) 42 142) 451 *****(4)1dx2 1 x 解dx2 arctanx1 x arctan arctan1366(5) 解2 2dx x2dx arcsinx x212 22 2arcsin1 arcsin( 1) ( )*****(6) 解adxa2 x2dx 1arctanxa2 x2aa101arctan 1arctan0aa3a(7) 解dxx21dx arcsinx1 arcsin1 arcsin0 2026 x2423x 3x 1 (8) 1x2 14203x 3x 11)dx (x3 arctanx)|0 2 (3x 解1 1 1x2 1x2 1( 1)3 arctan( 1) 14 (9) 解dx e 11 x2dx ln|1 x|| 2 ln1 lne 1e 1 e 11 x2(10) 4tan2 d解44tan2 d 4(sec2 1)d (tan )0 tan 10444(11) |sinx|dx2解2|sinx|dx sinxdx sinxdx2cosx0 cosx cos cos0 cos2 cos 4 (12) 解22x 1 x 1f(x)dx 其中f(x) 2x x 1 2211x3)|2 8 f(x)dx (x 1)dx x2dx (1x2 x)|1 (0***-*****127 设k为正整数试证下列各题(1) coskxdx 0(2) sinkxdx 0(3) cos2kxdx(4) sin2kxdx11 证明(1) coskxdx 1sinkx| sink sink( ) 0 0 0 kkk(2) sinkxdx 1coskx 1cosk 1cosk( )kkk1cosk 1cosk 0kk1 (3) coskxdx (1 cos2kx)dx 1(x 1sin2kx)|2 22k2221 (4) sinkxdx (1 cos2kx)dx 1(x 1sin2kx)|2 22k2228 设k及l为正整数且k l 试证下列各题(1) coskxsinlxdx 0(2) coskxcoslxdx 0(3) sinkxsinlxdx 01 证明(1) coskxsinlxdx [sin(k l)x sin(k l)x]dx 2[1cos(k l)x] [ 1cos(k l)x] 02(k l)2(k l)1 (2) coskxcoslxdx [cos(k l)x cos(k l)x]dx 2[1sin(k l)x] [1sin(k l)x] 02(k l)2(k l)1 (3) sinkxsinlxdx [cos(k l)x cos(k l)x]dx 2[1sin(k l)x] [1sin(k l)x] 02(k l)2(k l)9 求下列极限(1)lim (2)limxcost2dtx2x 0(etdt)2x 0tex2t2dt解(1)limx 0xt2xcost2dtx22cosx lim 1 x 01 (2)lim(edt)x 0tex2t2dtxlimt22edt (etdt)t22xxx 02x2lim2 edt ex2x 0xe2x22lim2 etdt2xx 0xex2x2e2 2 limx2 lim2x 0e 2x2exx 01 2x2x x2 x [0, 1]10 设f(x) 求(x) f(t)dt在[0 2]上的表达式0x x [1, 2]并讨论(x)在(0 2)内的连续性解当0 x 1时(x) f(t)dt t2dt 1x3003xxx1x当1 x 2时(x) f(t)dt t2dt tdt 1 1x2 1 1x2 1 ***-*****x3 0 x 1 3因此(x)x2 1 x 2 因为(1) 1 lim (x) lim1x3 1x 1 0333x 1 0 lim (x) lim(1x2 1) 1 1 1x 1 0x 1 0*****所以(x)在x 1处连续从而在(0 2)内连续x sinx 0 x 11 设f(x) 求(x) f(t)dt在( )内0 x 0或x的表达式解当x 0时(x) f(t)dt 0dt 0xx当0 x 时x(x) f(t)dt 1sintdt 1cost|0 1cosx 1002222xx当x 时x x(x) f(t)dt 1sintdt 0dt 1cost| 0 002 21cos 1cos0 1220 x 0因此(x) (1 cosx) 0 x1 x12 设f(x)在[a b]上连续在(a b)内可导且f (x) 0xF(x) 1 f(t)dtx aa证明在(a b)内有F (x) 0证明根据积分中值定理存在[a x] 使f(t)dt f( )(x a)ax于是有F (x)x11f(x) f(t)dt(x a)2 ax a1f(x) 12f( )(x a) x a(x a) 1[f(x) f( )] x a由f (x) 0可知f(x)在[a b]上是单调减少的而a x 所以f(x) f( ) 0 又在(a b)内x a 0 所以在(a b)内F (x) 1[f(x) f( )] 0x a 习题5 31 计算下列定积分(1)sin(x )dx23解sin(x )dx cos(x )3321(2)2cos4 2 11cos 0 3322dx311 2解2 (11 5x)(11 5x)35 2(11 5x)1dx1 2115116 2 1 2***-*****(3) 02sin cos3 d 解2sin cos d 2scos3 dsin311 114cos 2 cos4 cos400*****(4) 0(1 sin3 )d解0 (1 sin3 )d 0 d 0sin2 dcos 0(1 cos2 )dcos1(cos cos3 )34 3(5) 22udu6解1 1udu 1 cos2u)du u2 2221sin2u421 1 3( ) (sin sin)***-*****(6) 02 解022 x2dx令x sint22cost 2costdt 2(1 cos2t)dt 2 x2dx 0 0 1(t sin2t)22(7) 22 解(8)228 2y2dy2ydy 2222令y 2sinx4 ydy2 42cosx 2cosxdx24122 4 (1 cos2x)dx 22(x sin2y)24 x2x2442( 2)112dx解a112x2x2令x sint cost1dx sin2t costdt (sin2t 1)dt ( cott t) 2 14(9) 0x2 解0xa2a2 x2dx4令x asinta22a xdx 02asint acost acostdt 42 24a02(1 cos4t)dt 8t02sin22tdta4 8a4sin4t32a4 16(10) 13 解13dxx2xdx2令x tantx2xcost2tan2t sect sec2tdt132dtsintsint2231(11)1xdx5 4x131解1xdx令5 4x u*****(5 u)du (5u u) 3883 4x16(12) 14dx1 x 解14dx令1 xx u21111 u 2udu 2 1(1 1 u)du 2(u ln|1 u|)2 2122(1 ln)(13)13dx x 1dx***** ( 2u)du 20(1 )du 2(u ln|u 1|)10u 1u 1解13令x ux 1xdx3a xxdx3a xt221 2ln2(14) 02a 解02a (15) 01te 解0te (16) 1 解1 e212212a1d(3a2 x2) 3a2 x2 023a2 x22a022a( 1)dt dt 0e1t22t22td( ) e22t2211 edxx lnxdx1e2e21 lnx(17) 02 解x lnxdx2dlnx 2 lnxe212( 1)x 2x 200dx12x2 2x 2 21 (x 1)2dx arctan(x 1) 0 2arctan1 arctan( 1)2(18) cosxcos2xdx解cosxcos2xdx (1 2sin2222x)dsinx (sinx sin3x)32(19) 2 解2 2cosx cos3xdxcosx cosxdx 2x cos2xdx32(20) 0 解0cosx( sinx)dx32xsinxdx cosx30 232cosx34 3cos2xdxcos2xdx 0sinxdx 2cosx222 利用函数的奇偶性计算下列积分(1) x4sinxdx解因为x 4sin x在区间[ ]上是奇函数所以x4sinxdx 0 (2) 4cos4 d解(3)4cos4 d24cos4 d 01 cos2x2)d 2312 0(1 2cos2x cos22x)d 2 0( 2cos2x cos4x)d 221(3 2sin2x sin4x)4(arcsinx)2x23 21 2dx解1 2(arcsinx)2x2dx 212010(arcsinx)2x2dx 2 0(arcsinx)2d(arcsinx)12(arcsinx)33x3sin2xx 2x 1423324(4) 55dx2解因为函数ax3sin2xx 2x 1a4是奇函数所以55x3sin2xx 2x 142dx 03 证明a (x2)dx 2 0 (x2)dx 其中(u)为连续函数证明因为被积函数(x2)是x的偶函数且积分区间[ a a]关于原点对称所以有a (x2)dx 2 0 (x2)dx4 设f(x)在[ b b]上连续证明bf(x)dx bf( x)dx证明令x t 则dx dt 当x b时t b 当x b时t b 于是bf(x)dx b bbbbbaaf( t)( 1)dt bf( t)dtb而bf( t)dt bf( x)dx 所以bf(x)dx bf( x)dxbbb令x a b t 则dx d t 当x a时t b 当x b时t a 于是af(x)dx b bbabbf(a b t)( 1)dt af(a b t)dtbb而af(a b t)dt af(a b x)dx 所以af(x)dx af(a b x)dx 6 证明x2 1 xt1bbdx11dx1 x2(x 0)x1证明令x 1 则dx 1 当x x时当x 1时t 1 于是dtt 2t1111dx1( 2)dt 1dt x1 x2 21t1 t1 t111而1所以x21 x1 t21dxdt111111 x2dxdx1 x27 证明0xm(1 x)ndx 0xn(1 x)mdx证明令 1 x t 则0xm(1 x)ndx 1(1 t)mtndt 0(1 t)mtndt 0xn(1 x)mdx 即0xm(1 x)ndx 0xn(1 x)mdx 8 证明0sin 证明0sin而2 n sinn1111111nxdx 2 0sinnxdx2xdx 02sinnxdx sinnxdx令x t0nnn2xdx sin( t)( dt) 0sintdt 02sinxdxn所以0sinxd x2 0sinxd xn9 设f(x)是以l为周期的连续函数证明a 证明已知f(x l) f(x) aa 1a 1f(x)dx的值与a无关f(x)dx af(x)dx 0f(x)dx l0la lf(x)dx 0f(x)dx lla lf(x)dx 0f(x)dxa而la lf(x)dx令x t l 0af(t l)dt 0af(x l)dx 0af(x)dx 所以a因此aa 1a 1f(x)dx 0f(x)dxlf(x)dx的值与a无关x10 若f(t)是连续函数且为奇函数证明0是连续函数且为偶函数证明0 证明设F(x) 0xxf(t)dt是偶函数若f(t)f(t)dt是奇函数f(t)dt若f(t)是连续函数且为奇函数则f( t) f(t) 从而即F(x) 0xxx令t uxF( x) 0f(t)dt 0f( u)( 1)du 0f(u)dx 0f(x)dx F(x)f(t)dt是偶函数若f(t)是连续函数且为偶函数则f( t) f(t) 从而即F(x) 0 11 计算下列定积分(1) 0xe xdx11解0xe xdx 0xde x xe x101xxx令t uxF( x) 0f(t)dtf( u)( 1)du f(u)dx 0 0 0f(x)dx F(x)xf(t)dt是奇函数0e xdx e 1 e x1101 2e 1(2) 1xlnxdx解1exlnxdx 1 1elnxdx2 1x2lnx22 (3) 0tsin tdt( 为常数) 解0 (4)2e1e1e*****x dx e x 02x241(e2 1) 14etsin tdt 2 112tdcos t 21tcos t 20cos tdt 0 122dxsin t222x2sinx。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案【注意：以下是根据题目需求给出的格式，仅供参考。
具体格式请根据实际情况自行调整。
】第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.（1）解：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则有：f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -11.（2）解：设函数g(x) = 2x - 1，则有：g(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 51.（3）解：将x = 3代入f(x) = x^2 + g(x)中，得：f(3) = 3^2 + g(3) = 9 + 5 = 141.（4）解：由f(x) = 2x + g(2)可得：g(2) = f(x) - 2x = 2x + g(x) - 2x = g(x)1.（5）解：f(g(-1)) = f(2(-1) - 1) = f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) - 2 = 9 - 9 - 2 = -21.（6）解：海伦公式中，设a = BC = 3，b = AC = 4，c = AB = 5，则有：p = (a + b + c) / 2 = 6S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6(3)(2)(1)] = √[36] = 62.极限与连续性2.（1）解：根据极限的定义，当x趋于2时，有：lim(x->2)(x^2 + 3x - 2) = 2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 82.（2）解：根据极限的性质，当x趋于2时，有：lim(x->2)(2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 32.（3）解：由题意得，当x趋于3时，有：lim(x->3)(x^2 + 2x) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 152.（4）解：在x = 2处，f(x)不连续。
高数同济版第五章答案
习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx b a ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10. 解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→.(2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)4112π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ; (4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m, 宽L =2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质:(1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ; (4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 1)21(-=e f ,得1-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 1022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[a ,b ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd dc ca ba . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x . 又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x . 习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0,于是 y exdx dy cos -=.4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ;(2)⎰+32411x x dt tdx d ;(3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt tdx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x12281312xx xx +++-=.(3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x )(sin x )'+ cos(πcos 2x )( cos x )'=-cos x ⋅cos(πsin 2x )-sin x ⋅cos(πcos 2x ) =-cos x ⋅cos(πsin 2x )- sin x ⋅cos(π-πsin 2x ) =-cos x ⋅cos(πsin 2x )+ sin x ⋅cos(πsin 2x ) =(sin x -cos x )cos(πsin 2x ).6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x xaa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx x x ;解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x .(4)⎰+33121xdx;解66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx . (5)⎰--212121xdx ;解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 121121212πππ=--=--==---⎰xx dx .(6)⎰+axa dx3022;解aa a a xax a dxa a 30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. (7)⎰-124xdx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰xx dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . (9)⎰---+211e xdx;解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e .(10)⎰402tan πθθd ; 解4144tan)(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f .解38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2)⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k kk k k k k k kx k kxdx . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)xdtt xx ⎰→02cos lim;(2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdtt x xx . (2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=2212lim 22lim2020222=+=+=→→x e x e e x xx xx . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x x x ===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时, 21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx x ϕ; 当x >π时, 10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x x x . 因此 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=xadt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0. 证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有 ))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(2=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解 410cos 412cos 41cos 41sin cos cos sin 33203203203=+-=-=-=⎰⎰πϕϕϕϕϕϕπππd s d . (4)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰22cos ππudu ;解222222sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228; 解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰.(10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-22cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 23222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-2223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x . 解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-24cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-0244)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x .(3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--1021022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx x x dx x x324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是 ⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x dx x dx.证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+1112112211)1(1111x x xdt t dt t t x dx , 而⎰⎰+=+xx dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m .证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ00sin 2sin xdx xdx nn .证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n ,而 ⎰⎰⎰⎰==---=20200sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n n n 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数.证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e. (3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx ;解344344342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππx xdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx xx;解⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx xx x xd dx xx)12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d xx x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan 214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x .(7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 02-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x 2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x x x 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt et.因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1e e e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx x m (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(102π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sintdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===202000sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m m m m (用第8题结果). 根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 20)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102x x x dx x , 所以反常积分⎰-202)1(x dx发散.(9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k kk x k x d x x x dx ; 当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时, kk k k k x k x d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln kx x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散.当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !. 总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限: (1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n nn p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→1ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰x x x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim)(lim )(lima af x xf dt t f ax dt t f x dt t f a x x xa ax xa ax xa a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则).(5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx x x d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba b a b a ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222212222])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⋅++≤ba ba ba ba dx x g dx x f dx x g dx x f ,又()2212212212222])([])([])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅++ba ba b a ba b a badx x g dx x f dx x g dx x f dx x g dx x f ,所以()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f . 6. 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 且f (x )>0. 证明⎰⎰-≥⋅ba baa b x f dxdx x f 2)()()(. 证明 已知有不等式⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222, 在此不等式中, 取)(1)(x f x f =, )()(x f x g =, 则有⎰⎰⎰⋅≥⋅⋅ba ba ba dx x f x f dx x f dx x f 222])(1)([])(1[])([,即⎰⎰-≥⋅b a baa b x f dxdx x f 2)()()(.。
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高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案
高等数学（同济大学数学系第七版）上册第五章：定积分课后习题答案
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