第2章 通信系统分析基础

由 到 的变换叫傅里叶变换，而相反 的变换称为傅里叶逆变换。 傅里叶变换的运算特性及常用的傅里叶变换对 ——表2-2

连续频谱分析

连续频谱 通常，F(ω)是角频率ω的复函数，可写成：
|F(ω)|叫做f(t)的振幅连续频谱，θ(ω)叫做f(t)的相 位连续频谱。 连续频谱的奇偶性 振幅频谱是ω的偶函数,相位频谱是ω的奇函数。


上式表示 f(t) 可以用无限多个冲激函数的离散和 近似，而在t= 时刻冲激函数的强度为f() 。

频域中的冲激函数
由对偶特性，δ(t)1，得：12πδ(ω)
数学中的乘号为× 下面的*是数学中的卷积符号
卷积
卷积的定义 卷积定理与卷积特性 f 1(t ) f 2(t ) F 1( ) F 2( ) 卷积定理：时域 1 f 1(t ) f 2(t ) F 1( ) F 2( ) 频域 2 交换律： 分配律： 结合律： 任意信号与冲激函数的卷积
其中Cn=|Cn|e-jθ是n次谐波分量的幅度值，故由|Cn|与频率 关系的图形可得到此信号的离散振幅频谱。这种频谱也 叫离散频谱。
离散频谱分析
离散频谱 离散频谱的对称性与反对称性 对于实数值的周期信号f(t)，由上述可知： |Cn|=|C-n|，-θn=θ-n 这就是说，对于纵坐标，振幅频率是对称 的，为n的偶函数；相位频率是反对称的， 为n的奇函数。

信号不失真传输条件
网络（系统）的幅频特性 是一个不随频率变化的常数。 网络（系统）的相频特性 应与频率成负斜率直线关系。

H ( )
(
K
)
t0
0
(源自文库 )
( )

0

0

t0
（ a） （ b） （c） 图 3-12 图 图 图 图 - 图 图 图 ( a) 图 图 - 图 图 图 ( b) 图 图 图 图 - 图 图 图 图 ( c)
冲激函数
(t t 0) d t 1 冲激函数的定义 (t t 0) 0 t t 0
可以认为函数是：在它出现时取不定值，即在 t=t0时为无限大，而在其他时刻均为0，但其覆盖 的面积为1，或称其冲激强度为1，故它称作单位 冲激函数。 冲激函数是一个理想信号，但可以把它想象为一 个振幅很大、持续时间很短而面积为1的脉冲， 如 图2-6的矩形、三角、高斯或双边指数脉冲序 列所示。

f (t ) * (t ) f ( ) (t )d f (t )


实例分析—卷积定理的应用
求单音调制脉冲的傅里叶变换，图2-9。 图2-9(a)：余弦波cos(ω0t) 图2-9(b)：矩形脉冲rect(· ) 图2-9(c)：余弦波的傅里叶变换F1 图2-9(d)：矩形脉冲的傅里叶变换F2 图2-9(e)： cos(ω0t)×rect(· ) 的波形 图2-9(f)： F1 *F2的波形 图2-9(e)就是图2-9(f)
问题：为什么要讨论频谱？
我们总是希望信号以很快的速度来进行传输，因 此，信号的频率要越高越好； 物理信道的属性总是模拟性质的，并且一定的材 质只对某一些频率有效，而对某些频率阻碍很大； 讨论频谱可以让我们清楚的知道每种信号的频率 成分。

2.3 非周期信号的频谱

傅里叶变换 非周期信号不能直接用傅立叶级数去研究，可把 它看作周期信号周期趋于无穷的一种极限情况。 在指数形式的傅式级数展开中令 可得：
2.1 引言



在通信系统中，传输的主体是信号。信号是数据 的具体表示，数据是抽象或具体描述事实、物体、 状态等属性的数字和符号。 信号可以分为确知信号与随机信号、周期信号与 非周期信号、能量信号与功率信号等。 频域分析：采用傅里叶分析法（时域函数在频域 上的表示，即频谱）； 时域分析：主要包括卷积和相关函数。 研究对象：线性时不变系统，非线性时变系统。 反映系统传输特性的传递函数（频域）。

由单位冲激函数的取样特性，输入信号x(t)可表 示为无限多个冲激函数的离散和，当△τ0即
y(t ) x( τ )h(t τ )dτ



如果系统是物理可实现的，即对于t<0有h(t)=0， 那么上式可写为：
y(t ) x( τ )h(t τ )dτ
0


综上所述，在时域中，通信系统在输入信号x(t) 激励下，其输出响应是x与系统的脉冲响应函数 h(t)的卷积结果。
频域分析法

如果系统的输入、输出和脉冲响应的傅里叶变换存在，即 则由卷积定理可知 其中设：

传递函数H一般是一个复量，可写为
其中|H(ω) |表示线性系统的幅频特性，ψ(ω)表示线性系统 的相频特性。 低通系统的带宽定义: ，也称3分贝带宽 带通系统有类似定义。 一个系统幅频特性的均匀性是信号无畸变的必要条件之 一
2.5 信号无失真传输
信号传输失真程度依赖于信号带宽和传输系统传递函数的 关系。 无失真传输的含义：一个通信系统的输出信号除了在幅度 上可能被改变并引入一个常值的时延外，在波形上应与输 入信号准确一致。 不失真条件（式2-61：时域；式2-63：频域）： ⑴ 幅频特性|H(ω) |对所有的频率（全频率范围）来说均 应为常数，即与频率无关； ⑵ 相频特性是通过原点的直线，它的斜率为td，td表示时 延（图2-14）。 如果输入信号的频谱局限在一个频带内，那么上述条件只 要在该频带内满足就行了。 低通、带通、高通滤波器。 两种不同形式的信号畸变：幅度失真，相位失真。
实例分析

求矩形脉冲函数的频谱，如图2-4所示。 结论： 1、一般来说，F(ω)是一个复函数。本例则为实函 数，是一个特例。当F(ω) 为正时，相位为零； F(ω) 为负时，相位为±π。 2、图示为双边频谱，负频率实际上不存在。 3、对于本例的矩形脉冲来说，频谱函数的第一个 零点出现在ω=2π/τ，即f=1/τ 处。把从零频率到这 一频率的范围定义为信号f(t)的频带宽度，则 B=1/τ。 4、对于一切信号，有如下结论：“时间受限的信 号的频谱必为无限宽，而频谱有限的信号的波形 必为无限宽。”

实例分析
周期脉冲序列，图2-1
Sa(x)=sin(x)/x，图2-2
周期脉冲的傅里叶级数
频谱图
(1)相邻频率谱线的间隔与周期有关，这里等于1/T。包络第一个 零点在n/T，即n/T＝1/处。对于本例，当n=5时。即第五次 谐波的幅度为0，或没有第五次谐波。依此类推，第10次，15 次，…谐波的幅度为零。 (2)归一化的振幅频谱的包络由脉冲宽度确定。图2-3(a)把负频率 包括在内，常称它为双边频谱。所谓负频率成分，实际上是由 于使用了傅立叶级数这一数学工具带来的结果，现实中是不存 在的。 (3)从振幅频谱图看出，谐波次数越高，幅度越小。信号频率成分 大部分包含在第一个零点之内，即在0≤f≤1/频率范围内。所 以在<T时，常把信导的频带B，估计为包络第一个零点以下的 频带，即B=1/ 。也就是说，当单个脉冲波形给定时，脉冲序 列信号的频带与脉宽成反比。 (4)相位频谱值可取0或±，这由Sa(n/T)的极性决定，当极性为 正时，相角为零；极性为负时，相角为± ．由于相位频谱的 反对称性，只需画出一边的相位频谱图，就可以知道另一边的 频谱分布，如图2-3(b)所示。
2.2 周期信号的频谱
傅立叶级数 任何一个周期信号 ，只要满足狄里希莱条件， 都可以表示为傅立叶级数。 狄里希莱条件： ①在一周期内只有有限个间断点； ②在一周期内只有有限个极值点； ③绝对可积：

傅立叶级数的三种表示形式
1、傅立叶级数的三角形式： 2、傅立叶级数的另一种三角形式： 3、傅立叶级数的指数形式：

时域分析法
在时域中，线性系统是用它的脉冲响应来描述的。 脉冲响应的定义是把一个单位冲激函数δ(t)作为 输入信号时，系统所产生的输出（响应）h(t)。 时不变系统的定义

e( t ) e( t t 0 )
H
r (t ) r ( t t0 )
上图表示：脉冲响应函数h的形状与单位脉冲δ加 入系统的时间无关——时不变。


2.4 信号与系统分析的基本方法


分析一个通信系统，本质上是建立在对每一个功 能模块进行分析的基础之上的，即所谓“信号通 过系统”的问题。 在一个输入信号的作用下，可给出一个输出信号 的任何物理体系称为系统。 本节着重研究线性系统，它支持叠加定理。 非线性系统的分析一般采用近似（线性）算法和 图解法。 下面先引入冲激函数和卷积的概念。


单位冲激函数的傅里叶变换
F (t t 0) (t t 0)e jt dt e jt 0


单位冲激函数的取样特性
如果 f(t) 在 t=t0 处连续，且处处有界，则有
(t t 0) f (t ) f (t 0) (t t 0) f (t ) f ( ) (t ) d t
注意

周期信号是用级数来描述的，而级数的频率是不 连续的，所以周期信号的频谱是离散的。
非周期信号是用积分来描述的，其频率变量是连 续的，所以非周期信号的频谱是连续的。 在实际通信系统中，只取携带信号主要特征和功 率的频谱段和信号段进行通信系统的设计，因此， 这种工程上的近似处理会引起信号传输的失真。
系统带宽定义
理想低通滤波器的传播特性

分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。理想低通 滤波器的传输特性为：
矩形脉冲通过理想低通的响应
分析结论

分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。 截止频率分别取：2/，10 /， 2/5。 1、输出波形滞后于输入信号td时间。 td为滤波器的延迟。 2、输出波形已经有些失真，不再是矩形。 宜选用合适的带宽以获得最佳的输出波形。