xt08拉氏变换和状态变量.
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
数学物理方法 拉氏变换
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
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N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )
拉氏变换
)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理 若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理 （处理复杂时间函数） 若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
第九章 拉氏变换.
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得
自动控制原理课件-拉氏变换专讲
a3 an a1s a2 F ( s) s p1 s p2 s p3 s pn
1
a1s a2 s p
F ( s )s p1 s p2 s p
1
根据上述方程，令实部=实部，虚部= 虚部，可解出a1，a2
s 1 例: 求 F ( s ) 2 s s s 1 的部分分式 a3 a1 s a2 解: F ( s ) 2 s s 1 s
用拉氏变换法求解微分方程(2)
1 A a b
1 B a b
1 1 1 ba ba s a s b s a sb
用拉氏变换法求解微分方程(2)
留数法（适用于复杂函数)
s z1 s zm B( s ) 设 F ( s) A( s) s p1 s pn
a1 F (s)s 1
3 s 1
s 2s 3
2
s 1
2
用拉氏变换法求解微分方程(6)
d F ( s )s 1 a2 ds
2
3
s 1
2 s 2 s 1 0
3
1 d F ( s )s 1 a3 2 3 1! ds
2
令
A B C Y ( s) s s2 s3
2 1
0.866a1 a2 0.866
2
0.5
用拉氏变换法求解微分方程(5)
化简: a1 a2 1 求解得:
a1 a2 1
a2 0
a1 1
s 1 a3 s 1 2 s s s 1 s 0
一般线性电路的动态分析--拉氏变换法
L [ F ( s )]
2 j c j
F ( s )e ds
注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！
例：求以下函数的象函数：冲激函数； （复习相关知识） （3）指数函数。 解：（1） 单位阶跃函数 f(t) =ε(t)
st 0
2、拉普拉斯反变换
f (t )
1 2
j
c j
c j
F ( s )e ds
st
通常可以L [ ]符号表示对方括号里的时域函 数作拉氏变换；
L[ f (t )] f (t )e dt F ( s)
st 0
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作 拉氏反变换。 1 c j 1 st
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
1 d sin(t ) 解：（1） cos( t ) dt
L[sin(t )] 2 s 2
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 s 2 - 0 2 s s 2 s 2
常用函数的拉氏变换及反变换对应表
原函数f(t) cos(ωt)
e-atcos(ωt) t t e-at
象函数F(s)
s s2 2 sa ( s a) 2 2
1 s2 1 ( s a) 2
常用函数的拉氏变换表见教材。
§9.3 拉普拉斯反变换
一、部分分式展开法
电路响应的象函数通常可表示为两个实系 数的s的多项式之比，即s的一个有理分式
结论： 由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化 常用函数的拉普拉斯变换。
常用函数的拉氏变换及反变换对应表 原函数f(t)
拉氏变换详解课件
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其
象
sn
函数除以
。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
t
直接按上式求原函数太复杂，一般都用 查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)12 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
F(s)
M (s) D(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
(m
n)
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s)
总能展开成如下简单的部分分式之和
F (s) c1 c2 cn
s p1 s p2
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
拉氏变换、传递函数、数学模型
拉普拉斯变换的数学方法一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。
证明：同理可得n阶积分的拉氏变换：当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有]5、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明：由微分定理知：对等式两边取极限：则有例：已知，求f(0+)由初值定理知：6、终值定理：若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：证明：由微分定理知：令，对上式两边取极限，这个定理在稳态误差中常用。
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换及其性质
本章重点
. . . . . .
常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 复频域中的电路定律 运算阻抗和运算导纳 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 网络函数
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15. 15.1
拉普拉斯变换
一,拉氏变换(Laplace transformation)的定义 拉氏变换( )
正变换
F ( s ) = ∫ f ( t )e st dt
st
∞
∞
st
0+Байду номын сангаас
1 = s
2. f ( t ) = e at ε ( t )
1 ( s + a )t [e ] = e e dt = e ∫0 s+a 1 jωt [e ] = s jω 3. f ( t ) = δ ( t )
at at st
∞
∞
0
1 = s+a
[δ (t )] =
αt
1 例1 [te ] = ( s + α )2
αt
定理和终值(final-value)定理 六,初值(initial-value)定理和终值 初值 定理和终值 定理 处无冲激, 初值定理 若 [f(t)]=F(s),且 f(t)在t = 0处无冲激, , 在 处无冲激 则
f (0+ ) = lim f (t ) = lim sF(s) +
T
1 s(1 + e
s T 2
)
复频域平移( 五, 复频域平移(frequency shift) )
设 [ f (t )] = F(s)
则 [eαt f (t )] = F(s +α)
ω 例2 [e sinωt] = ( s + α )2 + ω 2 s +α αt 例3 [e cosωt] = ( s + α )2 + ω 2
拉氏变换及传递函数(补充内容)
c2( m1) d [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ds
(2-85)
(2-86) (2-87) 15
1 d ( m1) c21 m1 [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ( m 1)! ds
f (t )
拉氏变换逆运算称为拉普拉斯反变换,简称拉氏反变换。
(2-77)
上式所指明的拉氏反变换，由于是复变函数的积 分，计算复杂，一般很少采用。
9
拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的，大多数情 况可由拉氏变换表上查得。当表中查不到时，则需将 F ( s ) 转化成表的形式，再进行查表。 由 F ( s ) 求 f (t ) 时，通常采用的方法是部分分式法。 将F(s)分解为一系列的有理分式Fi(s)之和，
(2-92)
得到输出信号的拉氏变换Y ( s )为
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 Y ( s) n U ( s) n 1 s a n 1 s ... a1 s a0
(2-93)
21
则 Y ( s )与 U ( s )的比值为
Y ( s ) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 n U ( s) s a n 1s n 1 ... a1s a0
1 st L [ F ( s)] f (t ) F ( s ) e ds c 2j
1
(2-44)
上式为复变函数积分，积分围线c为由s=-j到 s=+j 的闭曲线。
3
2 拉氏变换的一些基本定理
(1) 线性定理 则
拉氏变换教程
第二章 系统数学模型
df (t ) limsF ( s ) f (0) 证明： lim L s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0) 又由于：
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 e dt s 0 dt s 0 dt df (t ) 0 dt f () f (0) dt 即： f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
1
L－1为拉氏反变换的符号。
第二章 系统数学模型
3、几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L 1(t ) 1(t )e
dt
0
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
第二章 系统数学模型
位移定理
Le
at
f (t ) F (s a)
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2 初值定理
at
sin t
1 1 f (t )dt t 0 0 f (t )e st dt s s
同样：
f ( 1) (0) F ( s) s s
1 1 ( 1) 1 ( n1) L f (t )dt n F ( s ) n1 f (0) f (0) s s s n
第二章 系统数学模型
拉氏变换
附录1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换，是常用的积分变换之一。
拉氏变换可用于求解常系数线性微分方程，是分析研究线性系统的有力数学工具。
通过拉氏变换，将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，使系统的分析大大简化。
这里首先复习复数、复变函数的概念，然后介绍拉氏变换及反拉氏变换的定义、性质与方法，以及一些典型时间函数的拉氏变换方法。
1 复数与复变函数1-1 复数的定义设σ和ω是任意两个实数，则j σω+称为复数，记为s j σω=+ （1-1）其中，σ和ω分别称为复数s 的实部和虚部，记为 Re()s σ=， I m ()sω=。
j 为虚数单位。
对于一个复数，只有当实部和虚部均为零时，该复数为零；对于两个复数而言，只有当实部和虚部分别相等时，两复数相等。
j σω+和j σω-称为共轭复数。
注意：实数间有大小的区别，而复数间却不能比较大小，这是复数域和实数域的一个重要的不同.1-2 复数的表示方法1） 平面向量表示法复数s j σω=+可以用从原点指向点σω（，）的向量来表示如图1-1，向量的长度称为复数s j σω=+的模，即s r == （1-2）向量与σ轴的夹角θ称为复数s 的幅角，即1tan ωθσ-= （1-3） 2） 三角表示法 由图1-1可知，cos r σθ=，sin r ωθ= 图1 -1复数的向量表示因此，复数的三角表示法为(cos sin )s r j θθ=+ （1-4）3） 指数表示法 由欧拉公式cos sin j ej θθθ=+式（1.1）可以写成j s r e θ= （1-5）分别称式（1-4）和式（1-5）分别称为复数的三角形式和指数形式，则式(1-1)称为复数的代数形式，这三种形式可相互转换。
1-3复变函数以复数s j σω=+为自变量，并按某种确定规则构成的函数()G s 称为复变函数。
复变函数()G s 可写成()()G s u j vs E =+∈ （1-6）其中,u v 分别称为复变函数的实部和虚部，点集E 称为函数的定义域，相应地()G s 取值的全体称为函数的值域。
第2章_控制系统的动态数学模型_2.3拉氏变换及反变换
p1，p2， ，pn为A( s) = 0的根，称F(s)的极点。 L
（１） F(s) 中只有不同的实数极点时
B( s ) b0 s m + b1s m −1 + ...bm−1s + b0 F ( s) = = A( s ) ( s − p1 )( s − p2 )L ( s − pn )
n kn ki k1 k2 = + +L + =∑ s − p1 s − p2 s − pn i =1 s - pi
2.3.1 拉氏变换的定义
设函数 f(t) 满足: ① t < 0 时 f(t)=0； ② t≥0 时，f(t)分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为：
F ( s) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt
0 ∞
∫
∞
0
| f (t )e − st | dt < ∞ ，
t ≥0
s +1 例 ： 求 F (s) = 的 原 函 数 f(t ) 2 s ( s + s + 1)
解：求方程s2+s+1=0的根
s = −b ± 1 2 b
2
− 4ac 3
2a ± j
1 2 1 2 −j
=
−1 ± 2
1 − 4
= −
F (s) =
2 s +1
3 2 2 α1 s + α 2 3 2 )( s + 1 2 )( s + 1 −j 3 2 3 2 ) + ) k3 s
f (t ) = L [ =L [ =(
−1
−1
100 3s 100 3s
−
拉式变换(增补)
f (t ) = t[ε (t ) − ε (t − T)] 1 e−sT F(s) = 2 − 2 s s f (t ) = tε (t ) − (t − T)ε (t − T) − Tε (t − T) 1 1 −sT T −sT F(s) = 2 − 2 e − e s s s
例3 解
求周期函数的拉氏变换 求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为第一周函数 为第一周函数
∞
−(s−c)t
dt
M = s −C
总可以找到一个合适的s值使上式积 总可以找到一个合适的 值使上式积 分为有限值， 的拉氏变换式F(s)总存 分为有限值，即f(t)的拉氏变换式 的拉氏变换式 总存 在。
典型函数的拉氏变换
F ( s) =
∫
+∞
f (t )e dt
−st
0−
单位阶跃函数的象函数
f (t) = ε (t)
微分性质
时域导数性质
若： [ f (t)] = F(s)
∫ udv = uv − ∫ vdu
则
df ( t ) dt = sF( s ) − f (0− )
∞ df (t) −st e dt = ∫ e−st df (t) ∫0− dt 0− ∞
df ( t ) 证： = dt
2
t
延迟性质
设：
注
[ f (t )] = F(s)
则： [ f (t − t0 )] = e F(s)
− st0
f (t − t0 ) = 0 当 t < t0
证：
[f(t - t0 )] = ∫0
∞ t0
−
∞
−
f (t −t0 )e−st dt
机电工程控制基础--拉氏变换讲稿
拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。
2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数，ωσj s +=其中σ、ω均为实数，分别称为s 的实部和虚部，记做Re()s σ=，)Im(s =ωj =两个复数相等时，必须且只须它们的实部和虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。
2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S 平面。
（1）点表示法（2）向量表示法复数S 用从原点指向点（ωσ,）的向量来表示。
向量的长度称为复数S 的模或绝对值。
22ωσ+==r s向量与σ轴（横轴）的夹角θ称为复数的幅角，即σωθarctan =。
（3）三角表示法：由上图可看出：cos r σθ=⋅，θωsin ⋅=r 因此复数的三角表示法为：(cos sin )s r j θθ=+（4）指数表示法：利用欧拉公式：cos sin j e j θθθ=+，复数S 也可用指数表示为：j s r e θ=⋅ 3.复变函数、极点与零点的概念以复数ωσj s +=为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：()G s u jv =+，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S 的一个给定值，G(s)就唯一被确定。
若有复变函数 1212()()()()()()()m n k s z s z s z G s s s p s p s p ---=---当12,m s z z z = 时，()0G s =,称12,z z ，〃〃〃，m Z 为G(s)的零点； 当120,,n s p p p = 时，()G s =∞，称120,,p p ，〃〃〃，m P 为G(s)的极点。
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K23 (S 1)3
K1 F(S)(S 2) S2 1
K23 F(S)(S 1s
1)3 ]
S 1
1
K21
1 2!
d2 ds2
[F
(
S
)(S
1)3 ]
S 1
1
f (t) e2t et tet t2et
S
二.
1H
E(S)
e(t)
1+ 1 u
法2：
S (S 1)(S2 2S
5)
K1 S 1
K2S K3 S2 2S 5
K2S K3 F (S )(S 2 2S 1) S12 j
F(S)
1 4
S 1
1S 5 44 S2 4S
5
1[ 1 4 S1
(S 1) 22 (S 1)2 22
]
f (t) 1 (et et cos 2t 2et sin 2t) 4
2
2
S
5)
(2) (4S 2)e2S 3 2S
(3)
(
S
S3 2)(S
1)3
解：1.
(1)5e2t (t 2) 5e4 (t 2) F (S ) 5e4e-2s
(2)L[teat
(t )]
d ds
(
s
1
) a
(s
1 a)2
(3) f(t) (t) (t 1) (2 t)[ (t 1) (t 2)] L[ f (t t0 ) (t t0 )] F (S)est0
零点为z = －2，极点为 p 1 j2
I(S) R U(S)
L (a)
零点为z = －2，极点为 p 1 j2
e3t ) (t )
若需响应 i(t ) 2et (t ) 则电压激励us应为什么函数？
+
us
零状态
_
0.5 1
i(t) 解：H (S) S 1 1 S 3
S
R(S) H (S)E(S)
2
12 16
US(S)
I(S) H(S)
S1 H(S)
2(S 3) S(1.5S 2.5)
5 S
f (t ) 1et 2 0.2795et cos(2t 63.4) 4
(2) (4S 2)e2S (2 4 )e2s
3 2S
2S 3
f (t) 2 (t 2) 2e1.5(t2) (t 2)
(3) (S
S3 2)(S 1)3
K1 S2
K21 S 1
K22 (S 1)2
拉氏变换和状态变量
要求：
1.熟练掌握拉氏正变换 (定义、性质、定理) 2.熟练掌握拉氏反变换 3.运算法解电路 4.网络函数 5.状态方程的列写
一.练习题
1.求下列函数的象函数
(1)5e2t (t 2) (2)teat (t)
(3)
f(t) 1
1 2t
2.求下列象函数的原函数
(1)
(
S
1)(
S
S
15 S5
us
12 5
16
e
5t 3
15
3
五.网络如下图(a)所示，其网络函数 Z (S ) U (S ) 的极、零点图如图(b)示，且已知Z(j0)=2， I ( S )
试求(1)R、L、C参数值。(2)求冲激响应h(t).
I(S) R
j 2
U(S)
C
L
-2 -1
(a) 解：由图(b)
-2 (b)
＝ε (t) - (t - 1)ε(t 1) (t 2)ε(t 2)
F(S)
1 S
es S2
e2s S2
2.
(1)
(
S
1)(
S
S
2
2
S
5)
K1
K2
K3
S 1 S (1 2 j) S (1 2 j)
K1
1 4
K2 0.2795 63.4
f (t) 1et 2 0.2795et cos(2t 63.4) 4
-
e(t)
1
求 u. t
解：e(t) t[ (t) (t 1)]
1
E(S)
1 S2
es S2
es S
t (t) (t 1) (t 1) (t 1)
U(S)
E(S) R SL
R
(S
1 1)
S
2
(1
es
Ses )
(S
1 1)S 2
(S
es 1)S 2
(S
es 1)S
k1 k22 k21 es ( k3 k4 )es S 1 S 2 S (S 1)S 2 S S 1
5/S U( S)
I 3( S)
1/2S
1/2S
t 10/S
5/S
2/S
I 2( S)
I2(S)
U(S) 1
5 S
3
3 8S
3
2S U(S)
2
I3(S)
1
S
3 3 8S 3
2S
i2
=
-3(t )+
3 e-38t 8
i3
=
3(t)+
3 8
e-
3 8
t
四.已知
us
(t ) 时响应
i(t) (1et 2
k1
1 S2
S 1 1
K21
d [F(S)S2] ds
S 1
1
k22
S
1 1
S0 1
K3
S
1
1
S0
1
K4
1 S
S1 1
U(S)
1 S 1
1 S2
1 S
(1 S
1
1 S2
1)e S S
eS S
eS S 1
u (et t 1) (t) (t 1) (t 1)
法2：分段拉氏变换
e(t)
uc1(0-)= uc2(0-)=5V t 0时k合向2, 求uc2.
C1
ic1
R + uc1 - + i c2 2 k
u s1
u c2 C2
C3 u s2
-
ic3
解：uc3(0－)=2V,运算电路为：
1/2S I 1(S)
2
5/S U(S)
I 3( S)
1/2S
1/2S
10/S
节点法：
5/S
2/S
I 2( S)
( 1 2S 2S )U (S ) 2 1/ 2S
U (S) 28S 12
10 5 5 2
S 2
S 1
S 1
S 1
S(3 8S) 4 4
S 8S 3
2S 2S 2S
3t
u 4 0.5e 8 uc2 uc3
uc2、 uc3
5 4
3.5
2
1/2S I 1(S )
2
(0 t 1) (t 1)
u (et t 1)[ (t ) (t 1)] e1e(t1) (t 1)
(et t 1) (t ) [et t 1 e1e(t1)] (t 1) u (et t 1) (t) (t 1) (t 1)
三、已知 us1=10V,us2=2V,R=2, C1=C2=C3=2F
1H
1
求 u.
+
e(t)
Ru
-
1t
0t 1
S
1 S2
U
(
S
)
(
S
1 1)S
2
+ 1 U(S)
-
u et t 1
I
(
S
)
(
S
1 1)S
2
i et t 1
t 1
S
iL(t 1) e1
e -1
+
U(S) e1 S 1
u e1e(t 1)
U(S)
-R
u
et t 1
e
1e
(t
1)