有理数域上多项式

课程：高等代数 第4.7.1页 §7 有理数域上多项式

教学目的 通过教学，使学生基本上掌握有理数域上不可约多项式的判别，及其有理根的求解．

教学内容

这里g (x )与h (x )是Q 上的次数小于n (当然不小于1)的多项式．设

g (x )的系数的公分母为1b ，则)(1)(11

x g b x g =，这里∈)(1x g Z [x ]，设其系数的最大公约数是a 1，则

)()(111x f b a x g =， 这里∈1

1b a Q ，且不难发现)(1x f 是一个本原多项式．同理=)(x h )(222x f b a ，其中2

2b a ∈Q ，且)(2x f 是一个本原多项式．因此 )()(11

1x f b a x f =)()()(21222x f x f s r x f b a = 这里s

r 是一个既约分数，约定s >0；且由Gauss 引理知道)()(21x f x f 是 一个本原多项式．由于f (x )∈Z [x ]，因而)()(21x f x f 的每一个系数与r 的乘积都被s 整除，但(s ，r )=1，故)()(21x f x f 的每一个系数被s 所整除．又由于)()(21x f x f 是本原多项式，且s >0，所以s =1，故得=)(x f )())((21x f x rf ．显然deg(rf 1)=deg g ，deg h =deg f 2．因此f (x )在Z 上可约．

由定理4.7.1的证明我们还得到

推论4.7.1 设f (x ),g (x )∈Z [x ], g (x )是本原多项式. 若f (x )=g (x ) h (x )，则h (x )一定是整系数多项式．

根据定理4.7.1，Q 上的多项式f (x )的可约性问题可以归纳为它所相应的整系数多项式在Z 上的可约性问题来解决．于是，怎样判别一个整系数多项式在Z 上是否可约呢？常见的有

定理4.7.2(Eisenstein 判别法) 设整系数多项式

01111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--

若存在一个素数p ，使得

1) p n a ，2)0121,,,,|a a a a p n n --，3)2p 0a ，

那么f (x )在Q 上不可约．

证 若f (x )在Q 上可约，则由定理4.7.1，f (x )可以分解为两个次数

课程：高等代数 第4.7.2页 较低的整系数多项式的乘积：

))(()(011011c x c x c b x b x b x f m m m m l l l l +++++=----

这里n m l n m l =+<,,．因此

000,c b a c b a m l n ==．

因为0|a p ，所以p 整除0b 或0c ，但p 2 0a ，所以p 不能同时整除0b 及0c ．

因此，不妨假设0|b p ，p 0c ．另一方面，因为p n a ，所以p l b ．假设l b b b ,,,10 中第一个不能被p 整除的是k b ，比较f (x )中k x 的系数，有

k k k k c b c b c b a 0110+++=-

式中01,,,b b a k k -都能被p 整除，所以0|c b p k ．又p 是一个素数，故有k b p |或o c p |．这是一个矛盾，因此f (x )在Q 上不可约．

根据定理4.7.2，对于任意的n ∈N *，多项式2+n x 在Q 上是不可约的．因此，我们得到

推论4.7.2 有理数域上任意次的不可约多项式都存在．

对于某些多项式，Eisenstein 判别法不能直接应用，但是作适当的符号(变量)替换后，就可以应用这个判别法．

例1 设p 是素数，判别多项式

1)(21++++=--x x x x f p p

在Q 上是否可约．

解 令x =y +1，则

y

y x x x f p p 1)1(11)(-+=--=)(1211y g c y c y p p p p p =+++=--- ． g (y )的系数都是整数，且除首项系数外，其余各项系数都被素数p 整除．事实上，当i

!

)1()1(i i p p p C i p +--= 的分母与p 互素，所以当将它约分化为整数时，分子中的p 不能被消

去．又g (y )的常数项p C p p

=-1，不能被2p 整除．因此，根据Eisenstein 判别法，g (y )在Q 上不可约，从而知道f (x )在Q 上不可约，因为若不然，则由)()()(21x f x f x f =有)1()1()(21++=y f y f y g 与g (y )不可约相矛盾．

请注意，Eisenstein 判别法的条件是判别Q 上不可约多项式的充分条件，因而当找不到适当的素数p 满足Eisenstein 判别法的条件时，切不要轻易地断言该多项式可约，可能还有不可约的情形发生．

7.2 有理根的求解

类似于可约性的阐述，下面我们只讨论整系数多项式有理根的求

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