有理数域上多项式
有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论
嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会学号：101010100学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：许鸿儒申请学位：学士学位嘉应学院教务处制摘要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。
判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。
本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。
关键词：有理数域, 可约, 因式分解AbstractIn polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.Key words： rational number field, reducible, factorization目录1 有理数域上的多项式基本内容 (1)1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)1.2 本原多项式 (2)1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)2 多项式的有理根及因式分解 (7)2.1多项式在有理数域上的性质 (7)2.2多项式有理根的判定 (8)2.3多项式有理根的求法及因式分解 (11)2.4因式分解的特殊解法 (13)参考文献 (15)1 有理数域上的多项式基本内容1.1 多项式因式分解的基本概念在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5315⨯=；在此基础上，通过类比,我们得到因式分解的一般定义：定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
数论中的多项式
数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。
,)(),(I x g x f ∈∀有Ix g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有Ix c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。
若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。
若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。
则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。
所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。
定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。
存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。
我们先证明一个引理。
引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。
证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。
它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。
如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。
有理数域上某类无理根多项式的若干研究
Ｐ 一 ／ ， 是、
￡
２
，…，、 ■ 的加法组合数 ，则 ： ／
＋ ￡
２ ２ ｋ
２ 十 ｔ ＋ …
＝
∑
‘一 Ｉ ２
） ｚ
一
） ＝Ｅ ∑Ｃ ｐ 一 ＞ ＋ 一 ） 丝 Ｊ Ｊ ， ２ ２ （ １ （ Ｉｌ ， ｋ １ ｉ
ｉ— ｌ 一０
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，… ，、 的加 法 组合 数 ．显 然 ，、 ， ／ ／
，… ，Ｖ 的 加法 组合
数共 有 ２ 个 ，它们 分别 是 ： “
ｔ： ｌ ＋ ＋ ．．＋ 、 ． ＋ ， ｔ 一 ２＝ ＋ ＋ … ＋ 、 ＋ ，
收 稿 日期 ：２ １ —２ ２ ０ １０ — ５
ｌ２ ，，
１ 主 要结 果
定 义 １ 将 、 ， ／ ，… ，、 的顺序 固定 ，往 、 （ ／ ／ １≤ ｉ ｎ 前 面分别 添加 ≤ ）
加 号 “ ”或 减 号 “ ” ＋ 一 ，再依 次 加起 来 ，从 而 得到 一 系列 具 有 相 同形 式 的数 ，称这 些数
为 、 ， ／
．
的极 小 多项式 ，同理 可知 厂 ） （ 也是 ｔ ， ： ，… ，ｔ ，ｔ 在有理 数 域上 的极 小 多项 式．此 时． ／ ） （
．
只有 ｔ，ｔ，… ，ｔ ． 这 ２ 个无 理 根 ，当然就 没有有 理根 ．证 毕．
推 论 ２ 当 ａ，ｏ，… ， 是 互不 相 同的质 数时 ，厂 ） 、 Ⅱ ，／ ， ，／ 的任 一 。 ， ２ 【 是 ／ 。 、Ⅱ … 、
项式及其无理根的一些联系． 关 键 词 ：有 理 系 数 多 项 式 ；有 理 数 域 ；无 理 根
中 图 分 类 号 ：（ ｌ １ ）７ ． ４ 文献 标 识 码 ：Ａ
复系数,实系数,有理系数多项式
任意一个有理系数多项式总可转化 为整系数多项式．
介绍一类重要的整系数多项式： 介绍一类重要的
1、本原多项式
设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 是一有理系数多项式. 选取适当的整数 c 乘 f (x) ， 总可以使 c f (x) 是一整系数多项式. 如果 c f (x) 的 各项系数有公因子，就可以提出来，得到 c f (x) = d g(x) ， 也即
f (α ) = anα n + an-1α n-1 + … + α0 = 0 .
定理 4.6 （实系数多项式因式分解定理）每个次数≥1 的实系数多项式 f (x) 在实数域上都可以唯一地分解 成一次因式与二次不可约因式的乘积.
证明 定理对一次多项式显然成立.
假设定理对次数 < n 的多项式结论成立. 则当 f (x) 是 n 次实系数多项式时, 由代数基本定理, f (x) 在复数域内一定有一根 α . 如果 α 是实数，那么 数域内 f (x) = (x - α ) f1(x) , 其中 f1(x) 是 n - 1 次实系数多项式.
多项式. 由归纳法假设， f1(x) 或 f2(x) 可以分解成 一次与二次不可约多项式的乘积，因此，实系数多 项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二 次不可约因式的乘积.
证毕
实系数多项式的标准分解式
f ( x) = an ( x − c1 )
l1
( x − cs ) ( x + p1 x + q1 )
2 例如， 方程 x − 2 = 0 在有理数域上没有根， 但在实数域 上有根： x = ± 2.
2 又如，方程 x + 1 在实数域上没有根，但是，在复数域上 有根：
多项式在有理数域上不可约判定，
第21卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张 卫，史滋福(湖南师范大学 数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘 要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如 命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张 卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明 因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明 设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明 设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期 张 卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明 不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈 侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。
高代第一章第9节
令f ( x ) af1 ( x ), g( x ) rg1 ( x ), h( x ) sh1 ( x ), 其中f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x )均为本原多项式, a是整数,r , s为有理数. 于是有
af1 ( x) rsg1 ( x)h1 ( x)
rs a
有理系数多项式在有理数域上的因式分解
整系数多项式在有理数域上的因式分解
整系数多项式在整数环中的因式分解
8
推论 设 f ( x ), g( x )是整系数多项式, 且g( x )是本 原的, 若f ( x ) g( x )h( x ), 其中h( x )是有理系数多项式, 那么h( x )一定是整系数多项式.
n m
a0 b0
d0
d n m 1 x
n m 1
dk
r sk
ab,
r s
k 0,1, 2,
,n m
如果h(x)不是本原多项式, 那么必有素数 p能整除
4
h(x)的所有系数. 即有素数 p,使 p | dk , k 0,1, 2, , n m
但f ( x)的有理根只能是 1. 而 f (1) 0, 所以f ( x)没有有理根. 与上述结论矛盾. 故 f ( x )在有理数域上不可约.
22
三、整系数多项式不可约的判别法
定理13 (艾森斯坦因(Eisenstein)判别法)设 f ( x ) a n x a n 1 x
因此h( x ) rh1 ( x)是整系数多项式.
9
二、有理数域上多项式的有理根及其求法
定理12 设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a0 r 是一个整系数多项式, 如果 是它的有理根,其中r , s s互素, 那么必有 (1) s | an , r | a0 . 特别地, 若an 1, 则 f ( x )的有理根 均为整数, 且为a0的因子. r (2) f ( x ) ( x )q( x ), 这里q( x )是一个整系数多 s 项式.
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
有理数域上多项式的可约性
素数p , 它能整除所有系数 c0 , c1,cmn .
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
也必须被p整除. 但p是一个素数, 所以 bs与c0中至少
有一个被p整除. 这是一个矛盾.
二、有理数域上多项式的有理根
定理2.8.3
设 f (x) a0 x n a1x n1 an
是一个整系数多项式. 若是有理数 u 是f (x)的一个根,
这里u和v是互素的整数, 那么
v
(i) u整除f (x)的最高次项系数 a0 , 而 u整除f (x) 的常
(3)
f (x) (vx u)q1(x),
这里 q1(x) rf1(x) 是一个整系数多项式. 令
q1 (x) b0 x n1 b1x n2 bn1.
那么由(3)得 a0 xn an (vx u)(b0 xn1 bn1).
f (x) g1(x)g2 (x),
这里 g1(x)和g2 (x)都是有理数域上的次数小于n的多
项.
令g1(x)的系数的公分母是 b1 . 那么 g1(x)
这里 h(x) 是一个整系数多项式.
1 b1
h(x)
，
又令 h(x) 的系数的最大公因数是 a1. 那么
g1(x)
a1 b1
f1 ( x),
方面, q (x)可以写成
a q(x) b f1 (x),
这里
a b
是一个有理数
f1(x)而是一个本原多项式.
高等代数 第三版§1.9 有理系数多项式
则称 g ( x ) 为本原多项式．
有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
f ( x ) an x n an1 x n1 a0 , 证： 设 g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b0
矛盾．
例3
证明： x n 2 在 Q 上不可约．
证：（令 p 2 即可）． (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) 例4
x2 x3 xp , 判断 f ( x ) 1 x 2! 3! p!
（ p 为素数）在 Q 上是否可约．
解： 令 g( x ) p ! f ( x ), 即
f (1) 3, f ( 1) 5.
而
矛盾．
所以 f ( x )不可约．
定理13
设
艾森斯坦因Eisenstein判别法
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,
是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1 2 3
p | an p | an1 , an 2 ,, a0 p | a0
例1
4 3 求方程 2 x x 2 x 3 0 的有理根.
1 3 解： 可能有理根为 1, 3, , , 2 2
用综合除法可知，只有1为根．
例2
f ( x ) x 3 5 x 1 在 Q 上不可约． 证明:
证： 若 f ( x ) 可约，则 f ( x ) 至少有一个一次因式， 也即有一个有理根． 但 f ( x ) 的有理根只可能是 1,
一元多项式
所以 r2 x就是 f x与 gx的最大公因式：
f x, gx x 3
定理 1.4.2
若dx 是 P[x] 的多项式 f x与 gx的最大公因 式，那么在 P[x] 里可以求得多项式 ux与vx ，
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
1.3.1 多项式的整除概念
设P是一个数域. P[x]是P上一元多项式.
定义1
设f x, gx P[x] ，如果存在 hx P[x] ，使得
f x gxhx，则称 gx整除 f x ，记为
3
虽然 a1,b1, a2,b2 Z，
不一定属于Z ，所以
不是数域.
a1aa不222 一33bb定122b2属, a于a2b221Z(3ab132b2)2
，因此 Z (
3)
定理1.1 任何数域都包含有理数域 Q. (有理数域是最小的数域).
定理1.2 若数域 P R，则P C. (实数域和复数域之间没有其它的数域).
则 (a1 a2) b1 b2 2 Q 2 ，
a1 b1 2 a2 b2 2
(a1a2 2b1b2 ) a1b2 a2b1 2 Q 2
显然，Q Q( 2) R.
再设 a2 b2 2 0, 即 a2,b2 不全为零，从
而 a2 b2 2 0 ， a1 b1 2 a1 b1 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
a 叫做 i 次项, i叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
多项式长除法精讲精练
多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷x = x2).2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) = x3− 3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。
((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项5.重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。
考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。
然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），这种变换叫做除法变换，是从算数等式.[1]得到的。
应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。
如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。
简单来说，Q(x)就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。
相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。
数论中的多项式
数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。
,)(),(I x g x f ∈∀有I x g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有I x c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。
若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。
若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。
则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。
所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。
定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。
存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。
我们先证明一个引理。
引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。
证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。
它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。
如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。
有理数域上多项式的因式分解
本科毕业论文(设计) 论文题目：有理数域上多项式的因式分解学生姓名：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：年月日有理数域上多项式的因式分解内容摘要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域多项式因式分解Rational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring目录一、多项式的相关概念 (1)（一）一元多项式和一元多项式环的概念 (1)（二）多项式整除的概念 (2)二、有理数域上的多项式的可约性 (3)（一）有理数域与实数域和复数域的区别 (3)（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 (3)（三）本原多项式的基本内容 (4)1.本原多项式的概念 (4)2.本原多项式的性质 (4)（四）判断多项式在有理数域上的可约性 (5)1.爱森斯坦(判别法 (5)2.布朗判别法 (6)3.佩龙判别法 (6)4.克罗内克判别法 (7)5.反证法 (7)6.有理法（利用有理根） (8)7.利用因式分解唯一性定理 (8)8.综合分析法 (8)三、多项式的有理根及因式分解 (9)（一）求根法 (9)（二）待定系数法 (9)（三）重因式分离法 (10)（四）应用矩阵的初等行变换法 (10)（五）利用行列式的性质 (11)四、结论 (12)参考文献 (13)序言代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）[1]，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义1设是一非负整数，表达式其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.[2]多项式可以加、减、乘，例如：根据上述式子的计算，可以看出数域上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义2 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.[3]之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域上的多项式环中进行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设接下来，我们作除法：于是，求得商为，余式为，所得结果可以写成下列形式：定理1（带余除法）对于中任意两个多项式和，其中，一定有中的多项式存在，使成立，并有或，并且这样的是唯一决定的.证明（唯一性）设另外有多项式使成立，其中或,于是有即如果，就假设，那么即可得出又因为所以上述式子不可能成立，这也证明了，同时定义 3 数域上的多项式通常称作整除，存在数域上的多项式使等式成立，我们用表示整除，用表示不可以整除.当时，就称为的因式，称为的倍式.事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数[4].所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母表示.其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母表示.再次，是写成如下形式的数，和是，是，是实数和虚数的统称，用字母表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义4 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表成数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积.定理2（因式分解及唯一性）数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些.而是指，若有那么必有,根据因式的次序适当排列得到其中属于非零常数.多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上的差异.如:分别求多项式在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.①在复数域上这个多项式的因式分解为②在实数域上这个多项式的因式分解为()③在有理数域上这个多项式的因式分解为(从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义 5 设是非零的整系数多项式，如若的系数互素，就称是本原多项式.所以，任何一个非零的有理系数多项式都能表示为一个有理数与一个本原多项式的乘积，即.由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若,且是有理数，是本原多项式，那么必定有.因为多项式和本原多项式只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，因此的因式分解问题可以归结为本原多项式的因式分解问题.所以我们可以讨论原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质1高斯引理设与为两个本原多项式，那么他们的乘积也是本原多项式.性质2设是非零整系数多项式，若分成为两个有理数域上的多项式与的乘积，且那么定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.例1：设是两个整系数多项式，且是本原多项式.证明：若，且是有理数域上的多项式，那么一定是整系数多项式.证明：根据本原多项式的性质来证明，设其中都是本原多项式，是整数，是有理数.于是有因为是本原多项式.故，即是一个整数，所以是整系数多项式.（四）判断多项式在有理数域上的可约性基于，我们需要判断它是否可约，这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点，接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.1.爱森斯坦(判别法定理3设是一个整系数多项式，若找到一个素数，使⑴与不可约；⑵与是可约的；⑶与不可约，那么多项式在有理数域上不可约.证明：如果=可找到素数满足|所以，根据爱森斯坦判别法可知，在有理数域上不可约[5].特别注意的是，爱森斯坦判别法的条件只是充分条件，即满足三个条件的多项式不可约.如：，满足爱森斯坦判别法的三个条件，故而不可约.但并不是说所有不满足定义要求的多项式都可约，因为有很多多项式不满足上述三个条件但却是不可约的，譬如.当然，也有可约的多项式，如：不满足上述的三个条件，但却可以分解为有时，对于某个多项式来说，爱森斯坦判别法不能直接应用，但我们可以把其适当变形.设和是两个有理数，且，整数系多项式在有理数域上不可约当且仅当在有理数域上不可约[6].例2：证明在有理数域上不可约.证明：因为的系数都是1，无法应用爱森斯坦判别法.因此，我们令= + 1 并把其代入，则多项式变为根据爱森斯坦判别法判别，取=3，即证上式不可约，故而可知在有理数域上不可约.2.布朗判别法定理4设为次整系数多项式，令其中表示中1的个数，表示质数的个数，令，则在上不可约.例3：证明在上不可约.证明：因为无法找到素数来判断满足爱森斯坦判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗判别法判断多项式的可约性.因此，我们可以得到：=47故而，所以得到由此根据布朗判别法可知，在有理数域上不可约.3.佩龙判别法定理5设是整系数多项式，若此系数满足，则在有理数域上不可约.例4：证明在有理数域上不可约.证明：因为无法找到素数来判断爱森斯坦判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦判别法，但是我们可以看出满足佩龙判别法的条件.因此根据佩龙判别法定理以及题目得出4>1+1+1，所以该多项式在有理数域上不可约.4.克罗内克判别法定理6设是一个整系数多项式，可以在有理数域上将分解成两个不可约多项式的乘积.例5：证明在有理数域上不可约.证明：=52，取，则有，，因此，的因子为0，的因子为1，的因子为1,2故令，，；，，应用插值多项式得由带余除法可知：不能整除，不能整除，从而得到在有理数域上不可约.此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法[7].然而，有大量的文献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不采用克罗内克方法[8]，因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大5.反证法上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数时，我们选择反证法.例6：设()是()上一个次数大于零的多项式，如果对任意，都有∈()，且()|，并且()|或者()|，那么()不可约.证明：若()可约，则有，其中，令，则()|由题可得：|或|，与前面整除矛盾，故()不可约.6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例7：在有理数域上是否可约？解：假设可约，那么至少有一个一次因子，即有一个有理根.但的有理根只可能是±1，因此带入验算得(±1)≠0.说明该多项式没有有理根，因此在有理数域上不可约.例8：在有理数域上是否可约？解：若可约必有有理根，而的有理根中只能是±1或±127.因为(±1)(±127)所以无有理根，解得在有理数域上不可约.7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例9：证明在有理数域上不可约.解：多项式在实数域上分解为不可约因式的乘积为根据可知，如果在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而.8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例10：证明（是整数）在有理数域上是否可约？解：的有理根只能是±1，且±1)≠0.所以无一次因式，如若可约，只能是两个二次因式乘积。
多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r = 其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
pdf1.7有理数域上的多项式(线性代数)
g ( x) = bn x n + 是两个本原多项式.令
h( x) = f ( x) g ( x) = cm + n x
i+ j =k
m+n
+
+ c1 x + c0 ,
其中ck = ∑ ai b j ,假设h( x)不是本原多项式, 则有素数 p 能整除 h( x)的所有系数.因为f ( x), g ( x) 都是本原多项式,故有i, j (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 使得 p | a0 ,… , p | ai 1 , p ai , p | b0 ,… , p | b j 1 , p b j .
注意到 ci + j = a0bi + j +
+ ai 1b j +1 + ai b j + ai +1b j 1 +
+ ai + j b0 ,
而且 p整除上式中除ai b j以外的所有项,因此,也 必有p | ai b j .因为 p是素数,故p | ai或p | b j ,与假设 矛盾,因此h( x)是本原多项式.
引理7.1 每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积, 而且这样的分 解在不计 ± 号时是唯一的.
证明 设f ( x)是Q上的非零多项式, 则有整数a 使得af ( x)的系数均为整数.设b是af ( x)的所有 系数的最大公因子, 则有af ( x) = bg ( x), 其中g ( x) 是一个本原多项式, 从而f ( x) = (a / b) g ( x)是 一个有理数a / b和一个本原多项式g ( x)之积.
例如, 设f ( x) = 3 x x 6 x + 2.
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课程：高等代数 第4.7.1页 §7 有理数域上多项式
教学目的 通过教学，使学生基本上掌握有理数域上不可约多项式的判别，及其有理根的求解．
教学内容
这里g (x )与h (x )是Q 上的次数小于n (当然不小于1)的多项式．设
g (x )的系数的公分母为1b ，则)(1)(11
x g b x g =，这里∈)(1x g Z [x ]，设其系数的最大公约数是a 1，则
)()(111x f b a x g =， 这里∈1
1b a Q ，且不难发现)(1x f 是一个本原多项式．同理=)(x h )(222x f b a ，其中2
2b a ∈Q ，且)(2x f 是一个本原多项式．因此 )()(11
1x f b a x f =)()()(21222x f x f s r x f b a = 这里s
r 是一个既约分数，约定s >0；且由Gauss 引理知道)()(21x f x f 是 一个本原多项式．由于f (x )∈Z [x ]，因而)()(21x f x f 的每一个系数与r 的乘积都被s 整除，但(s ，r )=1，故)()(21x f x f 的每一个系数被s 所整除．又由于)()(21x f x f 是本原多项式，且s >0，所以s =1，故得=)(x f )())((21x f x rf ．显然deg(rf 1)=deg g ，deg h =deg f 2．因此f (x )在Z 上可约．
由定理4.7.1的证明我们还得到
推论4.7.1 设f (x ),g (x )∈Z [x ], g (x )是本原多项式. 若f (x )=g (x ) h (x )，则h (x )一定是整系数多项式．
根据定理4.7.1，Q 上的多项式f (x )的可约性问题可以归纳为它所相应的整系数多项式在Z 上的可约性问题来解决．于是，怎样判别一个整系数多项式在Z 上是否可约呢？常见的有
定理4.7.2(Eisenstein 判别法) 设整系数多项式
01111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--
若存在一个素数p ，使得
1) p n a ，2)0121,,,,|a a a a p n n --，3)2p 0a ，
那么f (x )在Q 上不可约．
证 若f (x )在Q 上可约，则由定理4.7.1，f (x )可以分解为两个次数
课程：高等代数 第4.7.2页 较低的整系数多项式的乘积：
))(()(011011c x c x c b x b x b x f m m m m l l l l +++++=----
这里n m l n m l =+<,,．因此
000,c b a c b a m l n ==．
因为0|a p ，所以p 整除0b 或0c ，但p 2 0a ，所以p 不能同时整除0b 及0c ．
因此，不妨假设0|b p ，p 0c ．另一方面，因为p n a ，所以p l b ．假设l b b b ,,,10 中第一个不能被p 整除的是k b ，比较f (x )中k x 的系数，有
k k k k c b c b c b a 0110+++=-
式中01,,,b b a k k -都能被p 整除，所以0|c b p k ．又p 是一个素数，故有k b p |或o c p |．这是一个矛盾，因此f (x )在Q 上不可约．
根据定理4.7.2，对于任意的n ∈N *，多项式2+n x 在Q 上是不可约的．因此，我们得到
推论4.7.2 有理数域上任意次的不可约多项式都存在．
对于某些多项式，Eisenstein 判别法不能直接应用，但是作适当的符号(变量)替换后，就可以应用这个判别法．
例1 设p 是素数，判别多项式
1)(21++++=--x x x x f p p
在Q 上是否可约．
解 令x =y +1，则
y
y x x x f p p 1)1(11)(-+=--=)(1211y g c y c y p p p p p =+++=--- ． g (y )的系数都是整数，且除首项系数外，其余各项系数都被素数p 整除．事实上，当i <p 时，
!
)1()1(i i p p p C i p +--= 的分母与p 互素，所以当将它约分化为整数时，分子中的p 不能被消
去．又g (y )的常数项p C p p
=-1，不能被2p 整除．因此，根据Eisenstein 判别法，g (y )在Q 上不可约，从而知道f (x )在Q 上不可约，因为若不然，则由)()()(21x f x f x f =有)1()1()(21++=y f y f y g 与g (y )不可约相矛盾．
请注意，Eisenstein 判别法的条件是判别Q 上不可约多项式的充分条件，因而当找不到适当的素数p 满足Eisenstein 判别法的条件时，切不要轻易地断言该多项式可约，可能还有不可约的情形发生．
7.2 有理根的求解
类似于可约性的阐述，下面我们只讨论整系数多项式有理根的求
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