同济第五版高数习题答案

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高数第五版答案（同济）总习题十

高数第五版答案（同济）总习题十总习题十 1. 填空: (1)第二类曲线积分Γ++Rdz Qdy Pdx 化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解Γ++ds R Q P )cos cos cos (γβα, 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解dS R Q P )cos cos cos (γβα++∑, 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________. (A )xdS xdS 14∑∑=; (B )xdS ydS 14∑∑=;(C )xdS zdS 14∑∑=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分: (1)+Lds y x 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为θcos 22a a x +=, θsin 2a y =(0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x LL )()()(222022'+'?==+?θθθθππd ad a=?+=204204|2cos 2|4)cos 1(2422202022)cos cos (|cos |4a tdt tdt a dt t a =-==ππππ(2θ=t 这里令).(2)?Γzds , 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0); 解+++-?=Γ00221)cos (sin )sin (cos t dt t t t t t t t zds322)2(232002-+=+=?t dt t t . (3)?+-L xdy dx y a )2(, 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧; 解-+-?+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L22022sin a tdt t a ππ-==?.(4)?Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(, 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧; 解-??+?-=-+-Γ1223264222]3221)[(2)(dt t t t t t t t dz x yzdy dx z y351)32(164=+-=?dt t t . (5)-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (, 其中L 为上半圆周(x -a )2 +y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2,22cos cos =+-=??-??y e y e yP x Q x x. 令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式+-+-1)2cos ()2sin (LL x x dy y e dx y y e dxdy yPx Q D)(-??=?? 22a dxdy Dπ==??,-+--=-+-1)2cos ()2sin ()2cos ()2sin (2L x x L x x dy y e dx y y e a dy y e dx y y e π22020a dx a aππ=-=?.(6)Γxyzdz , 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去,沿逆时针方向.解曲线Γ的一般方程为?==++z y z y x 1222, 其参数方程为tz t y t x sin 22 ,sin 22 ,cos ===, t 从0变到2π.于是tdt t t t xyzdz cos 22cos 22cos 22cos 20=??Γπππ162cos sin 422022==tdt t .4. 计算下列曲面积分: (1)222z y x dS ++∑, 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2; 解∑=∑1+∑2, 其中221:y R x -=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=; 221:y R x --=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=, 于是22222222221z y x dS z y x dS z y x dS +++++=++∑∑∑?????? ????+-=-?+=-H R R D dz z R dy y R R dydz y R R z R xt02222222211212RH arctan 2π=. (2)dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222-+-+-∑, 其中∑为锥面22y x z +=(0≤z ≤h ) 的外侧;解这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y ,0=??+??+??zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()()()(2221=??+??+??=-+-+-Ω∑+∑dv zR y Q x P dxdy y x dzdx x z dydz z y ,而dxdy y x dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()()(222211-=-+-+-∑∑40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x hπθθθθπ=-=-∑, 所以42224)()()(h dxdy y x dzdx x z dydz z y π-=-+-+-∑. (3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑, 其中∑为半球面222y x R z --=的上侧;解设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(1+??+??=++Ω∑+∑332)32(33R R dv ππ===Ω,而00011====++∑∑dxdy zdxdy zdxdy ydzdx xdydz xyD ,所以33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑.(4)3222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++∑??, 其中∑为曲面9)1(16)2(5122-+-=-y x z (z ≥0)的上侧;解这里3r x P =, 3r y Q =, 3r z R =, 其中222z y x r ++=. 52331r x r x P -=??, 5 2331r y r x Q -=??, 52331r z r x R -=??,033)(3352352223=-=++-=??+??+??rr r r z y x r z R y Q x P . 设∑1为z =0)19)1(16)2((22≤-+-y x 的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()(32221=??+??+??=++++Ω∑+∑dv zR y Q x P z y x zdxdy ydzdx xdydz ,32223222)()(1z y x zdxdyydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑0)(0322=+=dxdy y x xyD .(5)xyzdxdy ∑, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解∑=∑1+∑2, 其中∑1是221y x z --=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧; ∑2是221y x z ---=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=-??=--=13220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xyD15212sin 103220=-=?ρρρθθπd d .5. 证明22y x ydyxdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数. 解这里22y x x P +=, 22y x y Q +=. 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且xQ y x xy y P ??=+-=??222)(2, 所以22y x ydyxdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分.C y x dy y x y dx x y x ydy xdx y x u y x y x ++=++=++=)ln(211),(220221),()0 ,1(22.6. 设在半平面x >0内有力)(3j i y x k F +-=ρ构成力场, 其中k 为常数,22y x +=ρ. 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关. 解场力沿路径L 所作的功为 dy kydx kx W L33ρρ?--=.令3ρkx P -=, 3ρky Q -=. 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且xQ xy k y P ??==??53ρ, 所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关. 7. 求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解这里∑:222y x a z --=, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}. 设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, 0==y x . 因为3222221a dxdy a dxdy z z y x a zdS xyxyD y x D π=='+'+?--=∑,222421a a dS ππ=?=∑, 所以 2223a a a z ==ππ.因此该曲面的质心为)2,0 ,0(a .8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明: (1)+?-=?L D D ds n u v dxdy v u udxdy v ) (grad grad ;(2)-??=?-?L D ds nu v n v u dxdy u v v u )()(, 其中n u ??、n v ??分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号2222yx ??+??=?称为二维拉普拉斯算子.证明设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α). (1)+??-=??-??=??L L L ds x uv y u v ds y u x u v ds n u v ]sin cos [)cos sin (ααααdxdy yu v y x u v x D )]()([??-??-=dxdy y u v y u y v x u v x u x v D)(2222??++??+=?? dxdy y u x u v dxdy y u y v x u x v DD )()(2222??+??++= udxdy v udxdy v D D ?+?=grad grad ,所以+?-=?L D D ds nu v dxdy v u udxdy v ) (grad grad . (2)dxdy yu x u v y v x v u ds n u v n v u L L )]cos sin ()cos sin ([)(αααα??-??-??-??=??- dxdy xuv x v u y u v y v u L ]sin )(cos )[(αα??-??+??+??-=?dxdy yu v y v u y x u v x v u x D )]()([??+??-??-??-=dxdy y u v y u y v y v u y v y u x u v x u x v x v u x v x u D)(22222222??--??++??--??+=?? dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u D D )()]()([22222222?-?=??+??-??+??=. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为 dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(??+??+??=++=ΦΩ∑ 33==Ωdv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为++=L xdz zdy ydx W .曲面∑的的单位法向量为)cos cos ,(cos )1 ,1 ,1(31γβα=-=n , 由斯托克斯公式有dS xz y z y x W =∑γβαcos cos cos233sin )2(2133)111(312=?==----=∑∑πdS dS .。

同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)

解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y

y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
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练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3

高等数学同济五版下册答案

习题8−11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y −1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y −2)2≤4}.解闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为{(x , y )|x 2+(y −1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y −2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22−+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅−+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x −y , xy ).解 f (x +y , x −y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x −y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2−2x +1);解要使函数有意义, 必须y 2−2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2−2x +1>0}.(2)yx y x z −++=11; 解要使函数有意义, 必须x +y >0, x −y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x −y >0}.(3)y x z −=;解要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥−y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z −−+−=; 解要使函数有意义, 必须y −x >0, x ≥0, 1−x 2−y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y −x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u −+++−−−=(R >r >0); 解要使函数有意义, 必须R 2−x 2−y 2−z 2≥0且x 2+y 2+z 2−r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +−→; 解110011lim 22)1,0(),(=+−=+−→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim)0,0(),(+−→; 解 xy y x 42lim)0,0(),(+−→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++−=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(−=++−=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(−+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(−+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(−+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xyxy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++−→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→⋅++−=++− 01sin lim cos 1lim 00==−=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:(1)y x y x y x −+→)0,0(),(lim; 证明如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(==−+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(−=−=−+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x −+→)0,0(),(lim不存在. (2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→. 证明如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),则 1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==−+→=→x x y x y x y x x xy y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),则 044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=−+→=→x x x y x y x y x x xy y x . 因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→不存在. 8. 函数xy x y z 2222−+=在何处间断？解因为当y 2−2x =0时, 函数无意义,所以在y 2−2x =0处, 函数x y x y z 2222−+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x .证明因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x yx xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 证明因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x yx y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤−+22|0|2222y x yx xy , 所以0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x −x 0|<δ时, 有|f (x )−f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x −x 0|<δ, 从而 |F (x , y )−F (x 0, y 0)|=|f (x )−f (x 0)|<ε,所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8−21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y −y 3x ;解 323y y x xz −=∂∂, 233xy x y z −=∂∂. (2)uvv u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s −=+∂∂=∂∂, 21)(v u u u v v u v v s −=+∂∂=∂∂. (3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理)ln(21xy y y z =∂∂. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅−⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y −= 根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz −=∂∂. (5)yx z tan ln =; 解 y x y y y x yxx z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂, y x y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222−=−⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(−−+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz , ]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++++=. (7)z yx u =;解 )1(−=∂∂z y x zy x u , x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂, x x zy z y x x z u z y z y ln )(ln 22⋅−=−=∂∂. (8) u =arctan(x −y )z ;解 z z y x y x z x u 21)(1)(−+−=∂∂−, z z y x y x z y u 21)(1)(−+−−=∂∂−, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(−+−−=∂∂. 2. 设gl T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解因为l g l T ⋅⋅=∂∂1π, g g g l gT 121(223⋅−=⋅−⋅=∂∂−ππ, 所以 0=⋅−⋅=∂∂+∂∂gl g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +−=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 解因为211(1xe x z y x ⋅=∂∂+−, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+−, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+−+− 4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(−+=, 求. )1 ,(x f x解因为x x x x f =−+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dxd x f x . 5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？解 242x x x z ==∂∂, αtan 1)5,4,2(==∂∂xz , 故4πα=. 6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4−4x 2y 2;解 2384xy x x z −=∂∂, 2222812y x xz −=∂∂; y x y y z 2384−=∂∂, 2222812x y yz −=∂∂; xy y x y yy x z 16)84(232−=−∂∂=∂∂∂. (2)x y z arctan=; 解 22222)(11y x y x y xy x z +−=−⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy y z +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +−=∂∂; 22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +−=+−+−=+−∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y x z x ln =∂∂, y y xzx 222ln =∂∂; 1−=∂∂x xy y z , 222)1(−−=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂−−y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, −1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,f yz (0, −1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyy x xy x z , x xy y x z 122==∂∂, 023∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z −=∂∂∂. 9. 验证:(1)满足nx e y tkn sin 2−=22xy k t y ∂∂=∂∂; 证明因为nx e kn kn nx e ty t kn t kn sin )(sin 2222⋅−=−⋅⋅=∂∂−−, nx ne x y t kn cos 2−=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222−−=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 222−−=∂∂, 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. (2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r x r −=∂∂−=∂∂, 由对称性知32222ry r y r −=∂∂, 32222r z r z r −=∂∂, 因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r −+−+−=∂∂+∂∂+∂∂ r r r r r z y x r 23)(332232222=−=++−=.习题8−31. 求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=; 解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=. (2)x ye z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=. (3) 22yx y z +=; 解因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−, 2/3222222222)(y x x y x y x y y y x z +=++⋅−+=∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=. (4)u =x yz .解因为1−⋅=∂∂yz x yz x u , x zx y u yz ln =∂∂, x yx zu yz ln =∂∂, 所以xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=− 2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分.解因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x x z, 3221=∂∂==y x y z,所以 dy dx dz y x 323121⋅+===. 3. 求函数xy z =当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时的全增量和全微分. 解因为x y x x y y z −Δ+Δ+=Δ, y x x xy dz Δ+Δ−=12, 所以, 当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=Δz , 125.0)2.0(211.041−=−+×−=dz . 4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时的全微分.解因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂= 所以, 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时,e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5. 计算33)97.1()102(+的近似值.解设33y x z +=, 由于y y z x x z y x y y x x Δ∂∂+Δ∂∂++≈Δ++Δ+3333)()(332233233y x y y x x y x +Δ+Δ++=, 所以取x =1, y =2, Δx =0.02, Δy =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y Δ∂∂+Δ∂∂+≈Δ+Δ+)(y x x x yx x y y y Δ+Δ+=−ln 1, 所以取x =2, y =1, Δx =−0.03, Δy =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z Δ+Δ+=Δ+Δ=≈Δ, 当x =6, y =8, Δx =0.05, Δy =−0.1时,05.0)1.0805.0686122−=⋅−⋅+≈Δz . 这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,ΔV ≈dV =2πRh ΔR +πR 2Δh ,当R =4, h =20, ΔR =Δh =0.1时,ΔV ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂≤≈Δ|)|||(122y y x x yx Δ+Δ+=. 令x =7, y =24, |Δx |≤0.1, |Δy |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈Δ. 令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则 55.2718021278631.0232631.023278=×××+××+××≈πδs , 82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS , %29.182.212755.27==S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55 m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂=≈Δ. 所以两数之和的绝对误差|Δu |等于它们各自的绝对误差|Δx |与|Δy |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明设u =xy , yx v =, 则Δu ≈du =ydx +xdy , 2y xdy ydx dv v −=≈Δ, 由此可得相对误差;ydy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈Δy y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤; y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v −=⋅−==Δ2y y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤.习题8−41. 设z =u 2−v 2, 而u =x +y , v =x −y , 求x z ∂∂, yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x , yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(−1)=2(u −v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而yx u =, v =3x −2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x −+−=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )2()(ln 222−+−⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x −−−−=. 3. 设z =e x −2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz . 解 dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅−⋅+=−− .)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x −=−=−− 4. 设z =arcsin(x − y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x −−−+⋅−−= 232)43(1)41(3t t t −−−=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz . 解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xx x e x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+−=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx du . 解 dxdz dz u dx dy y u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂= )sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax −⋅+−⋅+++−= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++−+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan =, 而x =u +v , y =u −v , 验证22v u v uv z u z +−=∂∂+∂∂. 证明 )()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂ )()(111)(11222y x y x y y x −⋅++⋅+=)1()()(111)(11222−⋅−⋅++⋅++y x yx y y x 22222v u v u y x y +−=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) u =f (x 2−y 2, e xy );解将两个中间变量按顺序编为1, 2号,2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy ′+′=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy ′+′−=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂. (2) ,(zy y x f u =; 解 1211)()(f yz y x f y x x f x u ′=∂∂⋅′+∂∂⋅′=∂∂, )()(21z y y f y x y f y u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂2121f z f yx′+′−=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂22f z y ′−=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅′+⋅′+⋅′=∂∂3211321f yz f y f ′+′+′=, 3232f xz f x xz f x f yu ′+′=⋅′+⋅′=∂∂, 33f xy xy f zu ′=⋅′=∂∂. 9. 设z =xy +xF (u ), 而xy u =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅)([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂′+⋅+∂∂′++= )]([)]()([u F x y u F xy u F y x ′+⋅+′−+= =xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f y z −=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222′−=⋅′⋅−=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()(′−+=−⋅′⋅−=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+′+′−=∂∂⋅+∂∂⋅211y z zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22xz ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂. 解令u =x 2+y 2, 则z =f (u ),f x xu u f x z ′=∂∂′=∂∂2)(, f y y u u f y z ′=∂∂′=∂∂2)(, f x f x u f x f xz ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ′′=∂∂⋅′′=∂∂∂422, f y f y u f y f y z ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).u f y vf y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0, vf u f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数.)()()(22u f x y uf y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=, )(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yv v u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u f y uf xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x vf u f x y y z y y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yv v f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vf x u v f v u f x u f x2222222v f v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =; 解令u =x , yx v =, 则z =f (u , v ). v f y u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1, vf y xdy dv v f y z ∂∂⋅−=⋅∂∂=∂∂2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xv v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂= 22222212v f y v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=, 1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= yv v f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂⋅∂∂∂=22211 221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂∂⋅−= ()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322vf y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅−∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1′⋅y 2+f 2′⋅2xy =y 2f 1′+2xyf 2′,z y =f 1′⋅2xy +f 2′⋅x 2=2xyf 1′+x 2f 2′;z xx =y 2[f 11′′⋅y 2+f 12′′⋅2xy ]+2yf 2′′+2xy [f 21′′⋅y 2+f 22′′⋅2xy ] =y 4f 11′′+2xy 3f 12′′+2yf 2′′+2xy 3f 21′′+4x 2y 2 f 22′′=y 4f 11′′+4xy 3f 12′′+2yf 2′′+4x 2y 2 f 22′′,z xy =2y f 1′+y 2[f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+2xf 2′+2xy [f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2y f 1′+2xy 3f 11′′+x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+4x 2y 2f 21′′+2x 3yf 22′′ =2y f 1′+2xy 3f 11′′+5x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+2x 3yf 22′′,z yy =2xf 1′+2xy [f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+x 2[f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+2x 3y f 12′′+2x 3yf 21′′+x 4f 22′′=2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+4x 3y f 12′′+x 4f 22′′.(4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1′⋅cos x + f 3′⋅e x +y =cos x f 1′+e x +y f 3′,z y =f 2′⋅(−sin y )+ f 3′⋅e x +y =−sin y f 2′+e x +y f 3′,z xx =−sin x f 1′+cos x ⋅(f 11′′⋅cos x + f 13′′⋅e x +y )+e x +y f 3′+e x +y (f 31′′⋅cos x + f 33′′⋅e x +y ) =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e x +y cos x f 31′′+e 2(x +y ) f 33′′ =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+2e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e 2(x +y ) f 33′′, z xy =cos x [f 12′′⋅(−sin y )+ f 13′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′+e 2(x +y )f 33′ =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+e 2(x +y )f 33′′, z yy =−cos y f 2′−sin y [f 22′′⋅(−sin y )+ f 23′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+ f 33′′⋅e 2(x +y ) =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−2e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′+f 33′′⋅e 2(x +y ).13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而3t s x −=, 3t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂证明因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321y u x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅−=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(2yu x u s s u s s u ∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ (23)(212222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= 2321(23)2321(212222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(2yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(232222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂−= )2123(21)2123(232222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−+∂∂∂⋅+∂∂⋅−−=22222412343y uy x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−∂∂⋅=,所以 22222222y u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8−51. 设sin y +e x −xy 2=0, 求dxdy . 解令F (x , y )=sin y +e x −xy 2, 则F x =e x −y 2, F y =cos y −2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222−−=−−−=−=.2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy. 解令xyy x y x F arctan ln ),(22−+=, 则22222222)()(11221y x y x xy x y y x x y x F x ++=−⋅+−+⋅+=,22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +−=⋅+−+⋅+=,yx y x F F dx dyy x −+=−=. 3. 设022=−++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解令xyz z y x z y x F 22),,(−++=, 则 xyz yz F x −=1, xyzxz F y −=2, xyz xyF z −=1,xy xyz xyz yz F F x z z x −−=−=∂∂, xy xyz xyz xz F F y zz y −−=−=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及yz ∂∂, 解令yz z x z y x F ln ),,(−=, 则z F x 1=, y yzyz F y 1)(12=−⋅−=, 2211z z x y y z z x F z +−=⋅−−=,所以 z x z F F x z z x +=−=∂∂, )(2z x y z F F y z z y +=−=∂∂.5. 设2sin(x +2y −3z )=x +2y −3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明设F (x , y , z )=2sin(x +2y −3z )−x −2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y −3z )−1,F y =2cos(x +2y −3z )⋅2−2=2F x , F z =2cos(x +2y −3z )⋅(−3)+3=−3F x ,313=−−=−=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=−−=−=∂∂x x z y F F F F y z ,于是 13231=+=−−=∂∂+∂∂z z z x F FF F yz x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z yy x .解因为x y F F y x −=∂∂, y z F F zy −=∂∂, z x F F x z−=∂∂,所以 1()()(−=−⋅−⋅−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F xz z yy x .7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx −az , cy −bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足c yz b x z a =∂∂+∂∂.证明因为v u uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a v u vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z−xyz =0, 求22x z ∂∂. 解设F (x , y , z )=e z −xyz , 则F x =−yz , F z =e z −xy , xye yzF F x z z x −=−=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z −−∂∂−−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y z z z −−−−+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz −−−=. 9. 设z 3−3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解令F (x , y , z )=z 3−3xyz −a 3, 则xy z yz xy z yz F F x z z x −=−−−=−=∂∂22333, xyz xz xy z xz F F y z z y −=−−−=−=∂∂22333, )()(22xyz yzy x z y y x z −∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂222)()2())((xy z x y z z yz xy z yz y z −−∂∂−−∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz y z −−−−−⋅−+=322224)()2(xy z y x xyz z z −−−=.10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设, 求⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z dx dy , dx dz; 解视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−xdx dz z dxdy y xdx dz dx dy y 3222.解方程组得)13(2)16(++−=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设, 求⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x dz dx ,dz dy ;解视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dzdx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+zdz dy y dz dx x dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x −−=∂∂, yx xz z y −−=∂∂. (3)设, 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求⎩⎨⎧−=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u x u ∂∂,x v ∂∂; 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅′+−∂∂⋅′=∂∂∂∂⋅′+∂∂+⋅′=∂∂x v yv g x u g x v x v f x u x u f x u 21212)1()( , 即⎪⎩⎪⎨⎧′=∂∂⋅⋅−′+∂∂′′′−=∂∂⋅′+∂∂−′121121)12()1(g x v g yv x u g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ′′−−′−′′′−−′′−=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ′′−−′−′−′+′′=∂∂.(4)设, 求⎩⎨⎧−=+=v u e y v u e x u u cos sin x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得, 即, ⎩⎨⎧+−=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin ⎩⎨⎧=+−=++dy vdv u du v e dxvdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (从中解出du , dv 得dy v v e v dxv v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +−−++−=, v v e u e v dx v v e u e v dv u uu u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +−+++−−=,从而1)cos (sin sin +−=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +−−=∂∂v v e vy u u ,]1)cos (sin [cos +−−=∂∂v v e u e v x v u , ]1)cos (sin [sin +−+=∂∂v v e u e v y v u.11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=. 证明由方程组可确定两个一元隐函数, 方⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y 程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dxdt t f x f dx dy ,移项得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂−x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂−=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yF t f t F x Ft f t F x f t Fx F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂−∂∂−∂∂⋅=1.习题8−61. 求曲线x =t −sin t , y =1−cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (−π处的切线及法平面方程.解 x ′(t )=1−cos t , y ′(t )=sin t , 2cos 2)(t t z =′. 因为点)22 ,1 ,12 (−π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (−π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(−π处, 切线方程为22211121−=−=−+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=−+−⋅++−⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=′, 21)(t t y −=′, z ′(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(−=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为21124121−=−−=−z y x , 即8142121−=−−=−z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=−+−−−z y x , 即2x −8y +16z −1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m −x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m −x 的两边对x 求导, 得m dx dyy22=, 12−=dxdz z , 所以y m dx dy=, z dx dz 21−=.曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m −=T , 所求的切线方程为000211z z z y m y y x x −−=−=−, 法平面方程为0)(21)()(00000=−−−+−z z z y y y m x x . 4. 求曲线在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y .解此方程组得z y z x dx dy 61015410−−−−=, z y y x dx dz 610946−−−+=. 因为169)1,1,1(=dx dy, 161)1,1,1(−=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111−−=−=−z y x , 即1191161−−=−=−z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=−−−+−z y x , 即16x +9y −z −24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x ′=1, y ′=2t , z ′=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =−1, 31−=t . 于是所求点的坐标为(−1, 1, −1)和)271 ,91 ,31(−−. 6. 求曲面e z −z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解令F (x , y , z )=e z −z +xy −3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z −1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x −2)+2(y −1)+0⋅(z −0)=0, 即x +2y −4=0,法线方程为02112−=−=−z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x −x 0)+by 0(y −y 0)+cz 0(z −z 0)=0,即 , 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++法线方程为00000cz z z by y y ax x x −=−=−.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x −y +2z =0的切平面方程.解设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, −1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =−=, 即z x 21=, z y 41−=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+−+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221∓=y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±±∓. 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+−±z y x ∓, 即 2112±=+−z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2−16, 则点(−1, −2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(−1, −2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(−1, −2, 3)=(−6, −4, 6).点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明设a z y x z y x F −++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=−+−+−z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8−71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数解因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)cos ,(cos 23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy ′=4, 解得yy 2=′. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y ′(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +−=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解令1),(2222−+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a xF F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22b a b y a x b a −=−=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ,(2222βα=+−+−=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, bb y y z b a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, 所以 222222222cos cos b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(−=−=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=−=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=−=∂∂xy z z u , 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解因为l =(9−5, 4−1, 14−2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u, 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u, 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2−1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111cos cos cos z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x −2y −6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).。

同济第五版高数下册答案

高等数学同步练习第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念1. 求定义域(1){(x,y ) 1xy e e≤≤}；(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.2.求极限(1)001)2x y →→=;(2)0 ;(3)22222002sin2lim 0()xyx y x y x y e →→+=+; (4)20sin cos lim.2x y xy xyx xy →→=.3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222222201lim 1x x k x k x k x k→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y,极限为0，不存在 ;(3)222222221100x y x y x y x y x y x y x y x y+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .4.因当220x y +≠时，2222220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.1. 求下列函数的偏导数(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 22()1()x y x y --+-. 2.6π.3.11(11xy y =+-==. 4.1222222222222222222222222222221ln()ln(),212.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+5.22002202010sin,lim (,)0(0,0),1sin00lim 10sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x yf x y f x f x x xf y y y→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆g 因为所以连续.（0，0），不存在，.1. 求下列函数的全微分解：(1)21z z dz dx dy x y x ∂∂=+∂∂-=+=.(2)1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y zyzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=++∂∂∂=++.2.解：33222222220033332222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 11x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x yx f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x yx y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==≠g g 当沿时，故不可微第四节 1.解：322235221''(1)22323(21)(5456)1(2)1(3)()ln()v vdzuv w u v w x u v x x x xdxdzdx xdz z du z duvu f x u u g xdx u dx v dx-=⋅+⋅+⋅=++-===+∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂...2.解：(1)222221121(arctan ln21()uxy xy vz z x z y u uvye xe e u vuu x u y u u v u v vv∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂∂+++.221(arctanuvz z x z y ue u vv x v y v u v v∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂+.(2)'''()(1)()()()uf x xy xyz y yzxuf x xy xyz x xzyuf x xy xyz xyz∂=++++∂∂=+++∂∂=++⋅∂3. 解：''''1212.z z zf a f b f ft x yz z za bt x y∂∂∂=⋅+⋅==∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂，，，所以，4. 解：'222'222''2222''22''22()22(()2())2()24()zf x y xxzf x y x f x yxzx f x y y xyf x yx y∂=+⋅∂∂=+++∂∂=⋅+⋅=+∂∂第五节1.解：令(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂- 2. .解：令22222222(0,0,1)2(,,)10()|1x z F x y z x y z F z x x F z z xz x z x zx z x z zzx=++-=∂=-=-∂∂-⋅--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：''11''''1212'1''12()().x z c c zx a b a b c z y a b z zab C x yφφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=∂+∂∂+=∂∂所以6.（1）解：方程两边对y 求导，得：222460222642146212622242(62)(62)2(61)(61)22(61)61dz dxx ydy dy dx dz x y z dydy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dyy y z x x zx yx ydx y z y z dyx z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++===-++-==++（3）''12''12()(1)2u u v f u x f x x x v u vg g vy x xx ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩'''121'''121''12'''''''1212121''''''''21212112''12''11''11'''''212121(1)(21)212221121122u v xf f uf x x u v g vyg g x xuf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g uy vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-7.证明：x t dy f dx f dt =+ →x tdy dtf f dx dx=+ ① 0x y t dF F dx F dy F dt =++= → x y tF dx F dydt F +=-→y x t t F F dtdy dx F F dx=--⋅ ② ②代入①，得：()(1)y x x t t t t y t x x t tt t y x t t xt t x t t x t t yF F dydy f f dx F F dx f F f Fdy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+=-+-⋅=-∴=+第六节多元函数微分学的几何应用1．解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。

高等数学同济第五版第5章答案.

习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(b>a及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a, b]内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1, 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n.第二步: 在第i个小区间[x i-1, x i] (i=1, 2, , n上取右端点, 作和.第三步: 令⎣=max{x1, x2, , x n}, 取极限得所求面积.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1(a<b;(2.解 (1取分点为(i=1, 2, , n-1, 则(i=1, 2, , n. 在第i个小区间上取右端点 (i=1, 2, , n. 于是.(2取分点为(i=1, 2, , n-1, 则(i=1, 2, , n. 在第i个小区间上取右端点(i=1, 2, , n. 于是.3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1;(2;(3;(4.解 (1表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积, 显然面积为1.(2表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2y2=1的面积的:.(3由于y=sin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[- , ]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即.(4 表示由曲线y=cos x与x轴上一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为, 即.4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小是水深h的函数, 且有p=98h (kN/m2. 若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.解建立坐标系如图. 用分点(i=1, 2, , n-1将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为(i=1, 2, , n.在第i个小区间[xi-1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为Pi=9.8x i lx i .闸门所受的水压力为.将L=2, H=3代入上式得P=88.2(千牛.5. 证明定积分性质:(1;(2.证明 (1.(2.6. 估计下列各积分的值:(1;(2;(3;(4.解 (1因为当1x4时, 2x2117, 所以,即.(2因为当时, 11sin2x2, 所以,即.(3先求函数f(x x arctan x在区间上的最大值M与最小值m.. 因为当时, f (x0, 所以函数f(x=x arctan x在区间上单调增加. 于是, .因此,即.(4先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m., 驻点为.比较f(0=1, f(2=e 2, ,得, M=e 2. 于是,即.7. 设f(x及g(x在[a, b]上连续, 证明:(1若在[a, b]上, f(x0, 且, 则在[a, b]上f(x0;(2若在[a, b]上, f(x0, 且f(x≢0, 则;(3若在[a, b]上, f(xg(x, 且, 则在[a b]上f(xg(x.证明 (1假如f(x≢0, 则必有f(x0. 根据f(x在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x00, 且f(x0为f(x在[a, b]上的最大值.再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是.这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x0.(2证法一因为f(x在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x00, 且f(x0为f(x在[a, b]上的最大值.再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是.证法二因为f(x0, 所以. 假如不成立. 则只有,根据结论(1, f(x0, 矛盾. 因此.(3令F(x=g(x-f(x, 则在[a, b]上F(x0且,由结论(1, 在[a, b]上F(x0, 即f(xg(x.4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:(1还是？(2还是？(3还是？(4还是？(5还是？解 (1因为当0x1时, x2x3, 所以.又当0x1时, x2x3, 所以.(2因为当1x2时, x2x3, 所以.又因为当1x2时, x2x3, 所以.(3因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.又因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.(4因为当0x1时, x ln(1x, 所以.又因为当0x1时, x ln(1x, 所以.(5设f(x=e x-1-x, 则当0x1时f (x =e x-10, f(x=e x-1-x是单调增加的. 因此当0x1时,f(xf(0=0, 即e x1x, 所以.又因为当0x1时, e x1x, 所以.习题5-21. 试求函数当x=0及时的导数.解, 当x=0时, y=sin0=0; 当时, .2. 求由参数表示式, 所给定的函数y对x的导数.解x(t sin t , y(t cos t , .3. 求由所决定的隐函数y对x的导数.解方程两对x求导得e y y cos x 0,于是.4. 当x为何值时, 函数有极值？解, 令I (x=0, 得x=0. 因为当x0时, I (x0; 当x0时, I (x0, 所以x=0是函数I(x的极小值点.5. 计算下列各导数:(1;(2;(3.解 (1.(2.(3=-cos( sin 2x(sin x cos( cos 2x( cos x=-cos x cos( sin 2x-sin x cos( cos 2x=-cos x cos( sin2x- sin x cos( - sin2x=-cos x cos( sin2x sin x cos( sin2x=(sin x-cos x cos( sin2x.6. 计算下列各定积分:(1;解.(2;解.(3;解. (4;解.(5;解.(6;解.(7;解.(8;解. (9;解.(10;解.(11;解 cos x|cos x|cos cos0cos2cos4. (12, 其中.解.7. 设k为正整数. 试证下列各题:(1;(2;(3;(4.证明 (1.(2.(3.(4.8. 设k及l为正整数, 且kl . 试证下列各题:(1;(2;(3.证明 (1.(2.(3..9. 求下列极限:(1;(2.解 (1.(2.10. 设. 求在[0, 2]上的表达式, 并讨论∏(x在(0, 2内的连续性.解当0x1时, ;当1x2时, .因此.因为, , ,所以∏(x在x=1处连续, 从而在(0, 2内连续.11. 设. 求在(-, 内的表达式.解当x0时, ;当0x 时, ;当x 时, .因此.12. 设f(x在[a, b]上连续, 在(a, b内可导且f (x0,.证明在(a, b内有F (x0.证明根据积分中值定理, 存在⎩[a, x], 使. 于是有.由f (x0可知f(x在[a, b]上是单调减少的, 而a⎩x, 所以f(x-f(⎩0. 又在(a, b内, x-a0, 所以在(a, b内.习题5-31. 计算下列定积分:(1;解.(2;解.(3;解. (4;解.(5;解.(6;解.(7;解.(8;解. (9;解.(10;解.(11;解.(12 ;解. (13;解. (14;解. (15;解.(16;解.(17;解. (18;解.(19;解(20.解.2. 利用函数的奇偶性计算下列积分:(1;解因为x 4sin x在区间[- , ]上是奇函数, 所以. (2;解.(3;解.(4.解因为函数是奇函数, 所以.3. 证明: , 其中∏(u为连续函数.证明因为被积函数∏(x2是x的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有.4. 设f(x在[-b, b]上连续, 证明.证明令x=-t, 则dx=-dt, 当x=-b时t=b, 当x=b时t=-b, 于是,而,所以.5. 设f(x在[a, b]上连续., 证明.证明令x=ab-t, 则dx=d t, 当x=a时t=b, 当x=b时t=a, 于是,而,所以.6. 证明: .证明令, 则, 当x=x时, 当x=1时t=1, 于是,而,所以.7. 证明: .证明令1xt , 则, 即.8. 证明: .证明,而,所以.9. 设f(x是以l为周期的连续函数, 证明的值与a无关.证明已知f(xl f(x.,而,所以.因此的值与a无关.10. 若f(t是连续函数且为奇函数, 证明是偶函数; 若f(t是连续函数且为偶函数, 证明是奇函数.证明设.若f(t是连续函数且为奇函数, 则f(-t=-f(t, 从而,即是偶函数.若f(t是连续函数且为偶函数, 则f(-t=f(t, 从而,即是奇函数.11. 计算下列定积分:(1;解.(2;解.(3(⎤为常数;解.(4;解.(5;解. (6;解.(7;解所以,于是(8;解.(9;解. (10;解法一.因为,所以.因此.解法二,故.(11;解.(12(m为自然数;解.根据递推公式,.(13(m为自然数.解因为,所以(用第8题结果. 根据递推公式,.习题5 71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1;解因为,所以反常积分收敛, 且.(2;解因为, 所以反常积分发散. (3(a>0;解因为,所以反常积分收敛, 且.(4(p>1;解因为, 所以反常积分收敛, 且.(5(p0, ω0;解,所以.(6;解.(7;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点..(8;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. 因为,而,所以反常积分发散.(9;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点..(10.解这是无界函数的反常积分, x=e是被积函数的瑕点..2. 当k为何值时, 反常积分收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k1时, ;当k=1时, ;当k1时, .因此当k1时, 反常积分收敛; 当k 1时, 反常积分发散.当k1时, 令, 则.令f (k=0得唯一驻点.因为当时f (k0, 当时f (k0, 所以为极小值点, 同时也是最小值点, 即当时, 这反常积分取得最小值3. 利用递推公式计算反常积分.解因为,所以I n= n(n-1(n-2 2I1.又因为,所以I n= n(n-1(n-2 2I1=n!.总习题五1. 填空:(1函数f(x在[a, b]上(常义有界是f(x在[a, b]上可积的______条件, 而f(x在[a, b]上连续是f(x在[a, b]上可积______的条件;解函数f(x在[a, b]上(常义有界是f(x在[a, b]上可积的___必要___条件, 而f(x在[a, b]上连续是f(x在[a, b]上可积___充分___的条件;(2对[a, +上非负、连续的函数f(x, 它的变上限积分在[a, +上有界是反常积分收敛的______条件;解对[a, +上非负、连续的函数f(x, 它的变上限积分在[a, +上有界是反常积分收敛的___充分___条件;(3绝对收敛的反常积分一定______;解绝对收敛的反常积分一定___收敛___;(4函数f(x在[a, b]上有定义且|f(x|在[a, b]上可积, 此时积分______存在.解函数f(x在[a, b]上有定义且|f(x|在[a, b]上可积, 此时积分___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1;解.(2(p>0;解.(3;解.(4, 其中f(x连续;解法一(用的是积分中值定理.解法二(用的是洛必达法则.(5.解.3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1;解计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.(2因为, 所以.解计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.(3.解不正确, 因为.4. 设p>0, 证明.证明. 因为,而, ,所以.5. 设f (x、g (x在区间[a, b]上均连续, 证明:(1;证明因为[f(x-⎣g(x]20, 所以⎣2g 2(x-2⎣f(xg(xf 2(x0, 从而.上式的左端可视为关于⎣的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即,亦即.(2,证明,又,所以.6. 设f (x在区间[a, b]上连续, 且f (x>0. 证明.证明已知有不等式, 在此不等式中, 取,, 则有,即.7. 计算下列积分:(1;解.(2;解.令则,所以.(3;解令x a sin t, 则.又令, 则,所以.(4;解.(5.解.8. 设f(x为连续函数, 证明.证明.9. 设f(x在区间[a, b]上连续, 且f(x>0, , x[a, b]. 证明:(1F (x2;(2方程F(x=0在区间(a, b内有且仅有一个根.证明 (1.(2因为f(x0, ab, 所以, ,由介值定理知F(x=0在(a, b内有根. 又F(x2, 所以在(a, b内仅有一个根.10. 设 , 求.解.11. 设f(x在区间[a, b]上连续, g(x在区间[a, b]上连续且不变号. 证明至少存在一点x[a, b], 使下式成立(积分第值定理 .证明若g(x=0, 则结论题然成立.若g(x0, 因为g(x不变号, 不妨设g(x>0.因f(x在[a, b]上连续, 所以f(x在[a, b]上有最大值M和最小值m即mf(xM,因此有m g(xf(xg(xM g(x.根据定积分的性质, 有,或.因为f(x在[a, b]上连续, 根据介值定理, 至少存在一点x(a, b, 使,即.*12.(1证明:证明=(2证明。

同济第五版高数习题答案

习题7-11. 设u =a −b +2c , v =−a +3b −c . 试用a 、b 、c 表示2u −3v .解 2u −3v =2(a −b +2c )−3(−a +3b −c )=2a −2b +4c +3a −9b +3c =5a −11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形.证明 ; ,而, ,所以.这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以、表示向量、、A3、A 4.解 ,,,.4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.解 , .5. 求平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量.解,平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量为或 . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, −2, 3); B (2, 3, −4); C (2, −3, −4); D (−2, −3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, −1, 0).解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上.8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , −c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(−a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , −b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , −b , −c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(−a , b , −c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(−a , −b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(−a , −b , −c ).9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.解在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0).在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上,点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 解因为底面的对角线的长为 , 所以立方体各顶点的坐标分别为,,,,, , , . 12. 求点M (4, −3, 5)到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即.点M 到y 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, −3, 0)之间的距离, 即.点M 到z 轴的距离就是点(4, −3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即.13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, −2, −2)和C (0, 5, 1)等距离的点. 解设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则,,.由题意,有,即解之得y=1, z=−2, 故所求点为(0, 1, −2).14. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, −1, 6)、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解因为,,,所以, .因此ΔABC是等腰直角三角形.15. 设已知两点和M(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角.2解;;, , ;, , .16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosα=0; (2)cosβ=1; (3)cosα=cosβ=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解(1)当cosα=0时,向量垂直于x轴,或者说是平行于yOz面.(2)当cosβ=1时,向量的方向与y轴的正向一致,垂直于zOx面.(3)当cosα=cosβ=0时,向量垂直于x轴和y轴,平行于z轴,垂直于xOy面.17. 设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60°, 求r在轴u上的投影.解.18. 一向量的终点在点B(2, −1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, −4, 7. 求这向量的起点A的坐标.解设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得,解得x =−2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (−2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i −4j −7k 和p =5i +j −4k . 求向量a =4m +3n −p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n −p =4(3i +5j +8k )+3(2i −4j −7k )−(5i +j −4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n −p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题7−21. 设a =3i −j −2k , b =i +2j −k , 求(1)a ⋅b 及a ×b ; (2)(−2a )⋅3b 及a ×2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3,. (2)(−2a )⋅3b =−6a ⋅b = −6×3=−18, a ×2b =2(a ×b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3) .2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是.3. 已知M 1(1, −1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.解 , .,,为所求向量.4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, −100×9. 8)=(0, 0, −980), .W =F ⋅S =(0, 0, −980)⋅(−2, 3, −6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与成角θ1的力F 1作用着;在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与成角θ1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x 1|F 1|⋅sin θ1−x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, −3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解 . 7. 设a =(3, 5, −2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ), λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0, 即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa +μb 与z 轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则, .因为,所以, ∠C =90°.9. 设已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j , 计算: (1)(a ⋅b )c −(a ⋅c )b ; (2)(a +b )×(b +c ); (3)(a ×b )⋅c . 解 (1)a ⋅b =2×1+(−3)×(−1)+1×3=8, a ⋅c =2×1+(−3)×(−2)=8,(a ⋅b )c −(a ⋅c )b =8c −8b =8(c −b )=8[(i −2j )−(i −j +3k )]=−8j −24k . (2)a +b =3i −4j +4k , b +c =2i −3j +3k ,.(3) , (a ×b )⋅c =−8×1+(−5)×(−2)+1×0=2.10. 已知, , 求ΔOAB 的面积.解根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB 的面积为因为, ,所以三角形ΔOAB 的面积为. 12. 试用向量证明不等式:,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有,于是,其中当=1时, 即a 与b 平行是等号成立.习题7−31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x −2)2+(y −3)2+(z −1)2=(x −4)2+(y −5)2+(z −6)2, 即 4x +4y +10z −63=0.2. 建立以点(1, 3, −2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解球的半径 ,球面方程为(x −1)2+(y −3)2+(z +2)2=14, 即 x 2+y 2+z 2−2x −6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2−2x +4y +2z =0表示什么曲面? 解由已知方程得(x 2−2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即,所以此方程表示以(1, −2, −1)为球心, 以为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解设点(x , y , z )满足题意, 依题意有,化简整理得,它表示以为球心, 以为半径的球面.5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解将方程中的z 换成得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解将方程中的x 换成得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2−9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2−9y 2−9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x 2+4z 2−9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面: (1) ;(2) ;(3) ;(4)y 2−z =0;(1)x =2; 解在平面解张平行于yOz 面的平面. (2)y =x +1; 解在平面解间解析几何中，y =x +1表示一张平行于z 轴的平面. (3)x 2+y 2=4; 解在平面解析x 2+y 2=4表示母线平行于z 轴, 准线为x 2+y 2=4的圆柱面. (4)x 2−y 2=1. 解在平面解析于z 轴的双曲面. 10. 说明下列 (1)1222=++zyx ;19422=+zx 绕x 轴旋转一周而形122=+−zy ;解线142=+−zy 绕y 轴旋转一周而形 z 1 面上的双曲线x 2−y 2=1x 2−z 2=1绕x 轴旋转一周(4)(z −a )2=x 2+y 2. 解这是zOx 面上的曲线(z − (z −a )2=y 2绕z 轴旋转一周 11. 画出下列方程所表示的曲面: (1)4x 2+y 2−z 2=4;习题7−41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1)⎧+=15xy ; ⎩⎧22yx22x2x解由x +z =1得z =1−x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2−2x +y 2=8, 这是母线平球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为 ⎧=+−82222yxx .5. 将下解将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即 .令 , 则z =3sin t . 故所求参数方程为,, z =3sin t .(2).解将z =0代入(x −1)2+y 2+(z +1)2=4得(x −1)2+y 2=3. 令 , 则于是所求参数方程为,, z =0.6. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为.由第三个方程得代入第一个方程得, 即 ,于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为.由第三个方程得代入第二个方程得即于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为.7. 求上半球与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax .为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax −x 2, 代入半球面方程 , 得(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4.令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题7−51. 求过点(3, 0, −1)且与平面3x −7y +5z −12=0平行的平面方程. 解所求平面的法线向量为n =(3, −7, 5), 所求平面的方程为 3(x −3)−7(y −0)+5(z +1)=0, 即3x −7y +5z −4=0.2. 求过点M 0(2, 9, −6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解所求平面的法线向量为n =(2, 9, −6), 所求平面的方程为 2(x −2)+9(y −9)−6(z −6)=0, 即2x +9y −6z −121=0.3. 求过(1, 1, −1)、(−2, −2, 2)、(1, −1, 2)三点的平面方程.解 n 1=(1, −1, 2)−(1, 1, −1)=(0, −2, 3), n 1=(1, −1, 2)−(−2, −2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为, 所求平面的方程为−3(x −1)+9(y −1)+6(z +1)=0, 即x −3y −2z =0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x =0;解 x =0是yOz 平面. (2)3y −1=0;解 3y −1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点 . (3)2x −3y −6=0;解 2x −3y −6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和−2. (4);解是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为 . (5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1. (6)x −2z =0;解 x −2z =0是通过y 轴的平面. (7)6x +5−z =0.解 6x +5−z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x −2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解此平面的法线向量为n =(2, −2, 1). 此平面与yOz 面的夹角的余弦为;此平面与zOx面的夹角的余弦为;此平面与xOy面的夹角的余弦为.6. 一平面过点(1, 0, −1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, −1, 0), 试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为,所求平面的方程为(x−1)+(y−0)−3(z+1)=0, 即x+y−3z−4=0.7. 求三平面x+3y+z=1, 2x−y−z=0, −x+2y+2z=3的交点.解解线性方程组得x=1, y=−1, z=3. 三个平面的交点的坐标为(1, −1, 3).8. 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx面且经过点(2, −5, 3);解所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为0⋅(x−2)−5(y+5)+0⋅(z−3)=0, 即y=−5.(2)通过z轴和点(−3, 1, −2);解所求平面可设为Ax+By=0.因为点(−3, 1, −2)在此平面上,所以−3A+B=0,将B=3A代入所设方程得Ax+3Ay=0,所以所求的平面的方程为x+3y=0,(3)平行于x轴且经过两点(4, 0, −2)和(5, 1, 7).解所求平面的法线向量可设为n=(0, b, c). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,所以向量n1=(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n是垂直的,即b+9c=0, b=−9c ,于是n=(0, −9c, c)=−c(0, 9, −1).所求平面的方程为9(y−0)−(z+2)=0, 即9y−z−2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z−10=0的距离.解点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z−10=0的距离为.习题7−61. 求过点(4, −1, 3)且平行于直线的直线方程. 解所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为.2. 求过两点M 1(3, −2, 1)和M 2(−1, 0, 2)的直线方程.解所求直线的方向向量为s =(−1, 0, 2)−(3, −2, 1)=(−4, 2, 1), 所求的直线方程为.3. 用对称式方程及参数方程表示直线.解平面x −y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, −1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为.在方程组中, 令y =0, 得, 解得x =3, z =−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为; 参数方程为x =3−2t , y =t , z =−2+3t .4. 求过点(2, 0, −3)且与直线垂直的平面方程.解所求平面的法线向量n 可取为直线的方向向量, 即. 所平面的方程为−16(x −2)+14(y −0)+11(z +3)=0, 即16x −14y −11z −65=0.5. 求直线与直线的夹角的余弦.解直线与的方向向量分别为, .两直线之间的夹角的余弦为.6. 证明直线与直线平行.解直线与的方向向量分别为,.因为s 2=−3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y −3z =2平行的直线方程.解因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, −3)不平行, 所以两平面相交于一直线,此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即.所求直线的方程为.8. 求过点(3, 1, −2)且通过直线的平面方程.解所求平面的法线向量与直线的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1,−2)和(4, −3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, −3, 0)−(3, 1, −2)=(1, −4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为. 所求平面的方程为8(x −3)−9(y −1)−22(z +2)=0, 即8x −9y −22z −59=0.9. 求直线与平面x −y −z +1=0的夹角.解直线的方向向量为,平面x−y−z+1=0的法线向量为n=(1, −1, −1).因为s⋅n=2×1+4×(−1)+(−2)×(−1)=0,所以s⊥n, 从而直线与平面x−y−z+1=0的夹角为0.10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)和4x−2y−2z=3;解所给直线的方向向量为s=(−2, −7, 3), 所给平面的法线向量为n=(4, −2, −2).因为s⋅n=(−2)×4+(−7)×(−2)+3×(−2)=0, 所以s⊥n, 从而所给直线与所给平面平行.又因为直线上的点(−3, −4, 0)不满足平面方程4x−2y−2z=3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)和3x−2y+7z=8;解所给直线的方向向量为s=(3, −2, 7), 所给平面的法线向量为n=(3, −2, 7).因为s=n, 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)和x+y+z=3.解所给直线的方向向量为s=(3, 1, −4), 所给平面的法线向量为n=(1, 1, 1).因为s⋅n=3×1+1×1+(−4)×1=0, 所以s⊥n, 从而所给直线与所给平面平行.又因为直线上的点(2, −2, 3)满足平面方程x+y+z=3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线和平行的平面的方程.解直线的方向向量为,直线的方向向量为.所求平面的法线向量可取为, 所求平面的方程为−(x −1)+(y −2)−(z −1)=0, 即x −y +z =0.12. 求点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影.解平面的法线向量为n =(1, 2, −1). 过点(−1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为.将此方程化为参数方程x =−1+t , y =2+2t , z =−t , 代入平面方程x +2y −z +1=0中, 得 (−1+t )+2(2+2t )−(−t )+1=0,解得. 再将代入直线的参数方程, 得,,. 于是点(−1, 2, 0)在平面x +2y −z +1=0上的投影为点.13. 求点P (3, −1, 2)到直线的距离.解直线的方向向量为. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为 −3(y +1)−3(z −2)=0, 即y +z −1=0. 解线性方程组,得x =1,,.点P (3, −1, 2)到直线的距离就是点P (3, −1, 2)与点间的距离, 即.14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离.解设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量, 根据向量积的几何意义, 以和为邻边的平行四边形的面积为,又以和为邻边的平行四边形的面积为.因此, .15. 求直线在平面4x−y+z=1上的投影直线的方程.解过直线的平面束方程为(2+3λ)x+(−4−λ)y+(1−2λ)z−9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面,令(4 −1, 1)⋅(2+3λ, −4−λ, 1−2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(−1)⋅(−4−λ)+1⋅(1−2λ)=0.解之得 .将代入平面束方程中,得17x+31y−37z−117=0.故投影直线的方程为.16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, 3x+4y+2z−12=0;总习题七 1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ]坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量的坐标为___________.解 M (x −x 0, y −y 0, z −z 0), .提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变. (2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的.解共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, −1, 10), c =b −λa , 且a ⊥c , 则λ=____________. 解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b −λa ⋅a =2×4+1×(−1)+2×10−λ(22+12+22)=27−9λ, 所以λ=3. (4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________.解 .提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ×b +b ×c +c ×a |=____________. 解36.提示: c =−(a +b ), a ×b +b ×c +c ×a =a ×b −b ×(a +b )−(a +b )×a =a ×b −b ×a −b ×a =3a ×b , |a ×b +b ×c +c ×a |=3|a ×b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, −3, 7)和点B (5, 7, −5)等距离的点. 解设所求点为M (0, y , 0), 则有 12+(y +3)2+72=52+(y −7)2+(−5)2,即 (y +3)2=(y −7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知ΔABC 的顶点为A (3,2,−1)、B (5,−4,7)和C (−1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解线段AB 的中点的坐标为 . 所求中线的长度为.4. 设ΔABC 的三边、、, 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示、、, 并证明.解 ,,.5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有,所以从而DE //BC , 且 .6. 设|a +b |=|a −b |, a =(3, −5, 8), b =(−1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, −4, 8+z ), a −b =(4, −6, 8−z ). 因为|a +b |=|a −b |, 所以,解得z =1.7. 设, |b |=1,, 求向量a +b 与a −b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^b ) ,|a −b |2=(a −b )⋅(a −b )=|a |2+|b |2−2a ⋅b =|a |2+|b |2−2|a |⋅|b |cos(a ,^b ) .设向量a +b 与a −b 的夹角为θ, 则,.8. 设a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b , 求 . 解因为a +3b ⊥7a −5b , a −4b ⊥7a −2b , 所以 (a +3b )⋅(7a −5b )=0, (a −4b )⋅(7a −2b )=0, 即 7|a |2+16a ⋅b −15|b |2=0, 7|a |2−30a ⋅b +8|b |2=0, 又以上两式可得,于是,.9. 设a =(2, −1, −2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时最小？并求出此最小值.解 .因为当时, 为单调减函数. 求的最小值也就是求的最大值. 令 , 得z =−4.当z =−4时, , 所以.10. 设|a |=4, |b |=3, , 求以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )×(a −3b )=−3a ×b +2b ×a =5b ×a . 以a +2b 和a −3b 为边的平行四边形的面积为.11. 设a =(2, −3, 1), b =(1, −2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj cr =14, 求r .解设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即 2x −3y +z =0, x −2y +3z =0. 又因为Prj cr =14, 所以 , 即2x +y +2z =42. 解线性方程组,得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与平行, 故可设r =λ(7, 5, 1).又因为Prj cr =14, 所以, r ⋅c =42, 即λ(7×2+5×1+1×2)=42, λ=2, 所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(−1, 3, 2), b =(2, −3, −4), c =(−3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c . 证明向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ×b )⋅c =0. 因为, (a ×b )⋅c =(−6)×(−3)+0×12+(−3)×6=0, 所以向量a 、b 、c 共面. 设c =λa +μb , 则有(−λ+2μ, 3λ−3μ, 2λ−4μ)=(−3, 12, 6), 即有方程组,解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, −1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解根据题意, 有,或 z 2=(x −1)2+(y +1)2+(z −2)2, 化简得(x −1)2+(y +1)2=4(z −1), 这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴: (1)z =2(x 2+y 2);解旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴. (2);解旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线, 旋转轴为y 轴.(3)z 2=3(x 2+y 2);解旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线 , 旋转轴为z 轴.(4).解旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线 , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成角的平面的方程.解设所求平面的法线向量为n =(a , b , c )., xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).按要求有,,即 ,解之得c =3a , . 于是所求的平面的方程为,即 , 或 .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, −1, 1)到直线的垂线, 求此平面方程.解直线的方向向量为s =(0, 1, −1)×(1, 0, 0)=(0, −1, −1).设点(1, −1, 1)到直线的垂线交于点(x 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(−1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即−y 0−1−y 0=0,.从而 . 所求平面的法线向量可取为,所求平面的方程为, 即x+2y+1=017. 求过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x−4y+z−10=0, 又与直线相交的直线的方程.解过点(−1, 0, 4), 且平行于平面3x−4y+z−10=0的平面的方程为3(x+1)−4(y−0)+(z−4)=0, 即3x−4y+z−1=0.将直线化为参数方程x=−1+t, y=3+t, z=2t, 代入平面方程3x−4y+z−1=0, 得3(−1+t)−4(3+t)+2t−1=0,解得t=16. 于是平面3x−4y+z−1=0与直线的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s=(15, 19, 32)−(−1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为.18. 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1), 试在z轴上求一点C, 使ΔABC的面积最小.解设所求的点为C(0, 0, z), 则, .因为,所以ΔABC的面积为.令 ,得 ,所求点为 .19. 求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程.解在xOy面上的投影曲线方程为, 即.在zOx面上的投影曲线方程为, 即.在yOz面上的投影曲线方程为, 即.20. 求锥面与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为, 即,所以, 立体在xOy 面上的投影为.锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为, 即 ,所以, 立体在yOz 面上的投影为 .锥面与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为和 , 所以, 立体在zOx 面上的投影为.21. 画出下列各曲面所围立体的图形:(2)抛物柱面x 2=1−z , 平面y =0, z =(3)圆锥yx +=2−x −y。

高等数学同济第五版第10章答案

习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为 ⎰⎰==L L ydsy x ds y x x MM x ),(),(μμ, ⎰⎰==L L x dsy x ds y x y MM y ),(),(μμ.2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L dsy x f ds y x f ds y x f .证明划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 11111),(lim),(lim),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L dsy x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+Ln ds y x )(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .x d x L ⎰x d x x d x L L⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=121022)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=1102241x d x dx x x )12655(121-+=.(4)dsey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axaaxdx e dt t a t a edx e220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧; 解 dt dtdz dt dy dtdx ds 222)()()(++= dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223s i n c o s 11dt e e t e t e ds z y x t tt t⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故y z d sx y z d s x y z d s x y z d s xCDBCAB2222⎰⎰⎰⎰++=Γ 901020030222301=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=Ldt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023c o s 1)c o s 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdy dtdx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (a t d tt t t a t t t a ds y xL ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a t d t t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==Lx x d s aMM x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕa d a ac o s 21ϕϕs i n a =,所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=.(2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=,ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(c o s 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=,ds z y x y My L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(s i n 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=,ds z y x z Mz L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3ka k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())(,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtdat a P dx y x P .2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lba dx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baLb adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-Ldx x x dx y x 242221556)()(. (2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L Lx y d xx y d x x y d x ⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π302232)s i n s i ns i n (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰. (3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202c o s πt d t R .(4)⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()(⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a⎰-=-=ππ202221dt a a.(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=10)]1211(3)21(2)1[(dtt t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故y d z dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=111)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x1514)4(2142-=-=⎰dx x x4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y .(2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1);解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰ ⎰+=Ld s y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()c o s ,(c o s 22xx x++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=Lds xy x xQ y x P 241),(2),(.(3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2xx x --=τ,单位切向量为)1 ,2()c o s ,(c o s 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧, 把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)c o s ,c o s ,(c o s 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=Lds yx yR xQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx xxy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=1012243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(101245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x , 而 d x d y x d x d y yPx Q DD )21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQ d y P d x d x d y yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界. 解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x)2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+=20200222222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x848202=-+=⎰⎰y d y x d x ,而d x d y xy y dxdy yPx Q DD)32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(2=-=⎰dx x ,所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQ d y P d x d x d y yPx Q )(.2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=Ldt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin⎰==ππ20224283c o s s i n 3a t d t t a.(2)椭圆9x 2+16y 2=144;解椭圆9x 2+16y 2=144的参数方程为 x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故 ⎰-=Ly d x x d y A 21⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d .(3)圆x 2+y 2=2ax .解圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π, 故 ⎰-=Ly d x x d y A 21⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)c o s 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-Ly x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=, )(222y x xQ +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周 l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+d x d y yPx Q Q d y P d x D l L ε, 即⎰⎰⎰+=+-=+-lL ldy Pdx Qdy Pdx QdyPdx .因此⎰⎰+-=+-l L y x x d yy d x y x x d yy d x )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222c o s s i n d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值: (1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 而且1=∂∂=∂∂xQy P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x⎰=+=2125)1(dx x .(2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQy P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx yxy⎰⎰=++-=12135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yPx Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(d x d y yPx Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰d x d y D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2c o s s i n 2()2c o s s i n 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yPx Q , 由格林公式⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰d x d y yPx Q D. (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧;解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)c o s 26()6c o s 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yPx Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-d x d y yPx Q Q d y P d x DOBOA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示. 故⎰⎰++=+AB OA L QdyPdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧. 解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y , 0)1(1=---=∂∂-∂∂yPx Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++d x d y yPx Q Q d y P d x DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示. 故⎰⎰++--=+--L OBBA dy y x dx y x dy y x dx y x)sin ()()sin ()(22222s i n 4167)s i n 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数 u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ): (1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ; 证明因为yPx Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222.(2)2xydx +x 2dy ; 解因为yPx x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C x y d x dy 0220.(3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy 解因为yPx y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+-=),()0,0(2c o s 3c o s 3c o s 3s i n s i n 4),(y x C x d y y x d x y x y x uC y x C x d y y dx x y+-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 300.(4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++ 解因为yPxy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x uC dx xy y x dy ye y xy +++=⎰⎰022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++ 解因为yPy x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个函数u (x , y )的全微分⎰⎰+-+=xyC dy y x x y xdx y x u 02)sin sin 2(2),(C y x x y ++=c o s s i n 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2.由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS , 对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dSz y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m ; 划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m +n , 则∆S 1, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且 i i i i nm m i i i i i mi i i i i nm i S f S f S f ∆+∆=∆++==+=∑∑∑),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ.令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max12i nm i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当λ→0时, 有dSz y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,d x d y d x d yz z dS y x =++=221, 故d x d y z y x f dS z y x f D ),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下: (1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 22224411++=++=. 因此d x d y y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+=πθ202241r d r r d ππ313])41(121[2202/32=+=r .(2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 22224411++=++=. 因此d x d yy x y xdS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+=πθ202241r d r r d ππ30149412222=+=⎰rdr r r .(3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 22224411++=++=. 因此dS z y x f ),,(∑⎰⎰d x d y y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰ ⎰⎰+-=πθ2022241)2(3r d r r r d ππ1011141)2(6222=+-=⎰rdr r r .5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是:(1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面; 解将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中 ∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x 2122=++=.dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d x d y y x d x d y y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ20132dr r dπππ221222+=+=.提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,d x d y d x d yz z dS y x 2122=++=, 因而πθπ922)()(32202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑r d r r d d x d y y x dS y x xyD .提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z yx 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤,d x d y z z dS y x 221++=d x d y 361=,61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdydxdy dS y x z xyxyD D .(2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,d x d y d x d yz z dS y x 3122=++=,dS z x xxy )22(2+--∑⎰⎰d x d yy x x xxy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰ ⎰⎰--+--=xdy y xy x x dx 30230)22236(3427)9103(3323-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分; 解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,d x d y z z dS y x 221++=d x d y yx a a 222--=,d x d yyx a ay x a y x dS z y x xyD 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑)(||22h a a D a a d x d y xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y yx a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdyyx a a 222--=,(4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax , dxdy dxdy z z dS y x 2122=++=,d x d yy x y x xy dSzx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰++=-θππθθθθc o s202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a)c o s s i n c o s c o s (s i n 24422554⎰-++=421564a =.提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=.7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2,d x d y y x d x d yz z dS y x 222211++=++=. 故 d x d yy x y x z d S M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+=πθ20222121r d r r r d )136(152+=π.8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,d x d y z z dS y x 221++=d x d y yx a a 222--=,d x d yyx a a y x dS y x I z 22222022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=πθμ202230adr ya r d a 4034a πμ=.提示: dxdy yx a y yx a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdyyx a a 222--=,习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:d y d z z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰d y d z z y x P d y d zz y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=. 解证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点,λ是各小块曲面的直径的最大值, 则d y d z z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰yz i i i i i i i ni S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i ni S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλdydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故d x d y z y x R d x d yz y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑, 当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号. 3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是z d x d yy x22∑⎰⎰d x d yy x R y xxyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ2022222s i n c o s r d r r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222s i n 41Rdr r r R d 71052R π=.(2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧; 解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑30112221311dy y dy y dz dydz y xdyz yzD∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故d z d x x y d z d x zxD 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=301122131dx x dx x dz .因此 y d z d x x d y d z z d x d y ++∑⎰⎰)13(212dx x ⎰-=ππ2346=⨯=.解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为 )0 , ,(1)c o s ,c o s ,(c o s 22y x yx +=γβα,由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy)cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示:dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中 f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31,31 ,31()c o s ,c o s ,(c o s -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得d x d y z z y x f d z d x y z y x f d y d zx z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰ dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑d x d ydS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中 ∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z , ∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x , ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x , 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdyx z d x d y4000∑⎰⎰+++= d x d y y x x xyD )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=110241)1(xdy y x xdx. 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz .因此 ⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x . 显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdxxydydz xzdxdyy z d z d x x y d y d z x z d x d y ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD .4. 把对坐标的曲面积分d x d y z y x R d z d x z y x Q d y d zz y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧; 解令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为: )32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n , 单位法向量为)32 ,2 ,3(51)c o s ,c o s ,(c o s =γβα,于是R d x d y Q d z d x P d y d z ++∑⎰⎰ dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰.(2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧. 解令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量 n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1), 单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)c o s ,c o s ,(c o s 22y x yx ++=γβα,于是R d x d y Q d z d x P d y d z ++∑⎰⎰ dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dSR yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式dv z y x dv zRy Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaaaa dz dy xdx xdv 040366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解由高斯公式原式dv z y x dv zRy Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ204s i n 3adr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧; 解由高斯公式原式dv y x z d zRy Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ202022s i n adr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧; 解由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv zRy Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧. 解由高斯公式原式dv y y z dv zRy Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=1010123)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量:(1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy , ⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv zxy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰d v . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a , 的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2, ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv zr y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=aaaa a dz xz x dy dx 02320)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z , ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv zRy Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度: (1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ; 解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222d i vz y x z y x zRy Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A .(2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ; 解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)s i n (2s i n d i v2xz xz xy x ye zRy Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ; 解 P =y 2, Q =xy , R =xz , x x x zRy Q x P 20d i v =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数, nu ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向的方向导数. 证明dS nu v n v udxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明由第一格林公式(见书中例3)知d x d y d z zvy v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ d x d y d z zv z u y v y u x v x u dS n v u)(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, d x d y d zzuy u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ d x d y d zzvz u y v y u x v x u dS n u v)(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得d x d y d zuy u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS nu v n v u)(.。

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案1(精品文档)

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x xy x y →→→→→→==⋅=++ 解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f yf y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高数同济第五版第十二章答案

习题12-11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ')2-2yy '+x =0; 解一阶. (2)x 2y '-xy '+y =0; 解一阶. (3)xy '''+2y '+x 2y =0; 解三阶. (4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0; 解一阶. (5)022=++C Qdt dQ Rdt Q d L; 解二阶(6)θρθρ2sin =+d d . 解一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy '=2y , y =5x 2; 解 y '=10x . 因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解 (2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ; 解 y '=3cos x +4sin x . 因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0, 所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ; 解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=. 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 21222211λλλλ+=''. 因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+==0, 所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ; 解将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0, 即 (x -2y )y '=2x -y , 所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ). 解将y =ln(xy )的两边对x 求导得 y yx y '+='11, 即x xy y y -='. 再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y yxx xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''. 注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx, 所以)2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-='', 从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件: (1)x 2-y 2=C , y |x =0=5; 解由y |x =0=0得02-52=C , C =-25, 故x 2-y 2=-25. (2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y '|x =0=1; 解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x . 由y |x =0=0, y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C , 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x -C 2), y |x =π=1, y '|x =π=0. 解 y '=C 1cos(x -C 2). 由y |x =π=1, y '|x =π=0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ, 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C , 解之得C 1=1, 22π=C , 故)2sin(π-=x y , 即y =-cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ', 由条件y '=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分. 解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y '-1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(-x , 0), 从而有y x x y '-=+-10, 即yy '+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比. 解2TPk dT dP =, 其中k 为比例系数. 习题12-21. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得⎰⎰+=dx x x dy )53(52,即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数.(3)2211y y x -='-; 解分离变量得2211xdx ydy -=-,两边积分得⎰⎰-=-2211xdx ydy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y '-xy '=a (y 2+y ');解方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得dx x a a dy y --=112,两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112, 即 1)1l n (1C x a a y----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数.(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0;解分离变量得dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xxy y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .(6)y x dx dy+=10; 解分离变量得10-ydy =10xdx , 两边积分得⎰⎰=-dx dy xy1010, 即10ln 10ln 1010ln 10Cx y +=--, 或 10-y =10x +C ,故通解为y =-lg(C -10x ).(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx ,分离变量得dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xxy y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y-1)=C . (8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0; 解分离变量得dx x x dy y y sin cos sin cos -=, 两边积分得⎰⎰-=dx xxdy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C , 故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdyy ; 解分离变量得 (y +1)2dy =-x 3dx ,两边积分得⎰⎰-=+dx x dy y 32)1(,即 14341)1(31C x y +-=+,故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1). (10)ydx +(x 2-4x )dy =0. 解分离变量得dx xx dy y )411(4-+=, 两边积分得⎰⎰-+=dx x x dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C , 故通解为y 4(4-x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y '=e 2x -y , y |x =0=0; 解分离变量得e y dy =e 2x dx , 两边积分得⎰⎰=dx e dy e x y 2, 即 C e e xy +=221, 或 )21l n (2C e y x +=. 由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C ,所以特解)2121ln(2+=x e y . (2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ;解分离变量得tan y dy =tan x dx , 两边积分得⎰⎰=xdx ydy tan tan , 即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cosπ, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2π;解分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1, 即 C x y ln )2ln(tan )ln(ln +=, 或 2t a n xC ey =. 由e y x ==2π得4tan πC ee =, C =1, 所以特解为2tan xe y =.(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4|0π==x y ;解分离变量得dx e e dy y y x x +=-1cos sin , 两边积分得⎰⎰+=-dx ee dy y y xx1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x+1)+ln |C |, 或 cos y =C (e x+1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=xe y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1. 解分离变量得dx x dy y 21-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21,即 ln y =-2ln x +ln C , 或 y =Cx -2. 由y |x =2=1得C ⋅2-2=1, C =4, 所以特解为24xy =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV)9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=, 故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯, 即 dxx dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC , 故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此v tF 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系. 解由题设知, R dtdR λ-=, 即dt RdR λ-=, 两边积分得ln R =-λt +C 1,从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ. 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt. 又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R eR R 000433.0010002ln 0--==. 6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x y x y -=--2002, 故曲线满足微分方程: xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6. 7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdxv -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h -at )dt , 积分得 C t ka kaht x +-=3223121. 由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=. 习题12-31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=---'x y y y x ; 解原方程变为1)(2--=xyx y dx dy . 令x y u =, 则原方程化为12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=-,两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12,将x y u =代入上式得原方程的通解Cx x yx y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+.(2)xyy dx dy xln =; 解原方程变为x y x y dx dy ln =. 令xyu =, 则原方程化为 u u dxdu xu ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0; 解这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx xudu 1=, 两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C ). (4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0; 解这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-,两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312x Cu -=, 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx . (5)0ch 3)ch 3sh2(=-+dy xyx dx x y y x y x ;解原方程变为x y x y dx dy +=th 32. 令xyu =, 则原方程化为 u u dxdu x u +=+th 32, 即dx xdu uu 2sh ch 3=,两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x y u =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=. (6)0)1(2)21(=-++dy y x e dx e yx yx. 解原方程变为yx yxee y xdydx 21)1(2+-=. 令yxu =, 则原方程化为u ue eu dy du y u 21)1(2+-=+, 即uu e e u dy du y 212++-=,分离变量得dy y du eu e uu 1221-=++, 两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u)=C , 将yxu =代入上式得原方程的通解C e y x y y x=+)2(, 即C yex yx=+2.2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1; 解这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=--, 或dx x du u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3. 由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3. (2)xyy x y +=', y |x =1=2; 解令x y u =, 则原方程化为u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212, 将xyu =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ). 由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1. 解这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0, 即dx x du u u u u u 1112232-=+++-+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+-+, 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2). 由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O上任一点P (x , y ),曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程.解设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x =-⎰,两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--, 即 4-='xy y . 令x yu =, 则有4-=+u dx du xu , 即dx xdu u 41-=, 两边积分得u =-4ln x +C . 将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx . 由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1) )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅++⎰=⎰-])23([1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=⎰⎰ xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3) )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰. (4) )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰-⎰+⋅=)c o s 1c o s s i n 2(c o s C dx xx x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x .(5)原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x+⎰⋅-⎰=⎰--- )(s i n 11])1(1c o s [112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6) )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθθθθ33332)32(--+=+=Ce C e e . (7) )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰-2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.(8)原方程变形为yx y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e y e x dy y y dyyy +⎰⋅⎰=⎰- )ln 1(ln 1C ydy y y +⋅=⎰yCy C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅-⎰=⎰--- ⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2). (10)原方程变形为y x y dy dx 213-=-. ])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C d y y y y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2.)sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(c o s 1)c o s s e c (c o s 1C x xC x d x x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2) )sin (11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x xy --=π.(3) )5(cot cos cot C dx e e e y xdxx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(s i n 1)s i n 5(s i n 1c o s c o s C e xC x d x e x xx +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e xy . (4) )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=. (5) )1(32323232C dxe ey dx x x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e xex x x x x +=+=--⎰.由y |x =1=0, 得e C 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 解由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1). 4.由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdvm21-=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t mk eC dt et mk ev tm k tmk dtm k dtm k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C ek mk tek k etmk tmk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此)(22122121222k mk e k mk te k k ev tm k tm k tmk +-=-即 )1(222121tmk ek mk t k k v ---=.5.由回路电压定律知01025sin 20=--i dtdi t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45s i n (25c o s 5s i n 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6.因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f xx f .因此 xC x C dx x xC dx eex f dxx dx x +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故xx x f 3132)(+=.7. (1)原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---.])c o s s i n ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-,原方程的通解为x Ce yx sin 1-=. (2)原方程可变形为x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x eyxdxxdx+⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x xCe C e e, 原方程的通解为311223-=-x Ce y .(3)原方程可变形为)21(31131134x ydx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d .])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([,原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)原方程可变形为x y dx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=⎰-- )4(44C dx xe e x +-=⎰-x Ce x 441-++-=, 原方程的通解为x Ce x y44411-++-=.(5)原方程可变形为)ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx ex e y dxx dxx +⎰⋅+-⎰=⎰--])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x xC 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 解原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为 )()(22v g x v vf x vdx dvx-=-, 即 dx x du v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得C x d u v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(,对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解. 9. (1) 令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =-, 即21ududx +=. 两边积分得x =arctan u +C . 将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ). (2) 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu . 两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1). (3)令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u=21. 两边积分得 C x u +=-1. 将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du u u u dx x )111(123++=. 两边积分得u u uC x ln 121ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy yx C x ln 121ln 221+--=+,即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1). 习题12-51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解: (1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0; 解这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为xQ xy y P∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y y x dx xyx=++⎰⎰02202)46(3,即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0; 解这里P =a 2-2xy -y 2, Q =-(x +y )2. 因为xQ y x y P∂∂=--=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(,即 a 2x -x 2y -xy 2=C .(3)e ydx +(xe y-2y )dy =0; 解这里P =e y, Q =xe y-2y . 因为xQ e y Py ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y xe dx e yy x=-+⎰⎰00)2(,即 xe y -y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0;解原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P∂∂=-=∂∂s i n c o s , 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy x y x dx yx=++⎰⎰0)cos cos (0,即 x sin y +y cos x =C . 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0;解这里P =x 2-y , Q =-x . 因为xQ y P∂∂=-=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 C x d y dx x yx=-⎰⎰02,即C xy x =-331. (6)y (x -2y )dx -x 2dy =0;解这里P =y (x -2y ), Q =-x 2. 因为y x y P4-=∂∂, x xQ 2-=∂∂, 所以此方程不是全微分方程. (7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0; 解这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C d e d =+⎰⎰θθρθρρ02022,即 ρ(e 2θ+1)=C . (8)(x 2+y 2)dx +xydy =0. 解这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y y P2=∂∂, y xQ =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解: (1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy ; 解方程两边同时乘以yx +1得 yx dydx dy dx ++=-, 即d (x -y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x -y =ln(x +y )+C . (2)ydx -xdy +y 2xdx =0; 解方程两边同时乘以21y 得 02=+-x d x y x d y y d x , 即0)2()(2=+x d y x d ,所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为C x y x =+22. (3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0; 解原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0, 两边同时乘以21y 并整理得 0)33(2=+-+x d y y d x y dy xdx , 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为C xy yx =--3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ; 解方程两边同时乘以221y x +得022=-++dx y x ydy xdx , 即0)]ln(21[22=-+dx y x d ,所以221yx +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x . (5)(x -y 2)dx +2xydy =0; 解原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x 得 0222=-+x dxy xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx .(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0. 解方程两边同时乘以x 得2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得 03)(2222=--dx x y dyx x yd , 即0)(32=-x yx d 所以2y x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=-x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:解方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy ,这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=.因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子.(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0;解这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2-2x 2y 2 , 所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =-是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程032323222232=-++dy y x y x dx y x x ,其通解为C dy yx y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232, 即 C yx y x =-+-)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0.解这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =-是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以441yx 得全微分方程 02112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy ,其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x=-+++⎰⎰14333142112,即C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程: (1)xy '+2y =4ln x ; 解原方程变为x xy x y ln 42=+', 其积分因子为 22)(x e x dxx =⎰=μ,在方程x xy x y ln 42=+'的两边乘以x 2得 x 2y '+2xy =4x ln x , 即(x 2y )'=4x ln x , 两边积分得C x x x x d x x y x +-==⎰222ln 2ln 4, 原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=.(2)y '-tan x ⋅y =x .解积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ,在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )'=x cos x , 两边积分得C x x x x d x x y x ++==⋅⎰c o s s i n c o s c o s , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12-61. 求下列各微分方程的通解: (1)y ''=x +sin x ; 解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰, 21312s i n 61)c o s 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰, 原方程的通解为 213s i n 61C x C x x y ++-=. (2)y '''=xe x ;解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰,21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰,3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰, 原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=. (3)211x y +=''; 解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx x xx x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1l n (21a r c t a n C x C x x x +++-=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=.(4)y ''=1+y '2;解令p =y ', 则原方程化为p '=1+p 2, 即dx dp p =+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y '=p =tan(x +C 1),211|)c o s (|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰,原方程的通解为21|)c o s (|ln C C x y ++-=.(5)y ''=y '+x ;解令p =y ', 则原方程化为p '-p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx , 即 y '=C 1e x-x -1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰, 原方程的通解为22121C x x e C y x +--=. (6)xy ''+y '=0;解令p =y ', 则原方程化为x p '+p =0, 即01=+'p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得x C e C e C p x dx x 1ln 111==⎰=--,即 xC y 1=', 于是 211ln C x C dx x C y +==⎰, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ''+'=y '2;解令p =y ', 则dydp p dx dy dy dp y =⋅='', 原方程化为 21p d y d p yp =+, 即dy y dp p p 112=-, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=-, 即22121y C p ±-. 当|y '|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=', 即dx dy y C ±=+21)(11,两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y '|=|p |<1时, 方程变为2211y C y -±=', 即dx dy y C ±=-21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(s i n 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ''-1=0;解令p =y ', 则dy dp p y ='', 原方程化为013=-d yd p py , 即pdp =y -3dy , 两边积分得 122212121C y p +-=-, 即p 2=-y -2+C 1, 故 21--±='y C y , 即dx dy y C ±=--211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=-,即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)y y 1='';解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=', 即dx dy C y ±=+11,两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=.(10)y ''=y '3+y '.解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 p p d y d p p +=3, 即0)]1([2=+-p dydp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解.由0)1(2=+-p dydp 得 arctan p =y -C 1, 即y '=p =tan(y -C 1), 从而 )s i n (ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰, 故原方程的通解为12a r c s i n C e y C x +=+.2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3y ''+1=0, y |x =1=1, y '|x =1=0;解令p =y ', 则dy dp p y ='', 原方程化为 013=+d y d p p y , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±='. 由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=', 分离变量得dx dy y y=-±21,两边积分得221C x y +=-±, 即22)(1C x y +-±=.由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y , 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0, y |x =0=0, y '|x =0=-1;解令p =y ', 则原方程化为02=-ap dx dp , 即adx dp p =21,两边积分得11C ax p +=-, 即11C ax y +-='. 由y '|x =0=-1得C 1=1, 11+-='ax y , 两边积分得 2)1l n (1C ax ay ++-=. 由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+-=ax ay . (3)y '''=e ax, y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0;解 11C e a dx e y ax ax +==''⎰. 由y ''|x =1=0得a e a C 11-=. 2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰. 由y '|x =1=0得a a e a e a C 2211-=. dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e ax e a x e a e a a a a ax +-+-=. 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-=, 故所求特解为 322232)22()1(2aa a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=. (4)y ''=e 2y , y |x =0=y '|x =0=0;解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y e dydp p2=, 即pdp =e 2y dy , 积分得p 2=e 2y +C 1, 即12C e y y +±='. 由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1, 故12-±='y e y , 从而d x d ye y ±=-112,积分得-arcsin e -y=±x +C 2.由y |x =0=0得22π-=C , 故 x x e y c o s )2s i n (=-=-π , 从而所求特解为y =-lncos x .(5)y y 3='', y |x =0=1, y '|x =0=2;解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y d yd p p 3=, 即dy y pdp 3=, 两边积分得12322221C y p +=, 即1232C y y +±='. 由y |x =0=1, y '|x =0=2得C 1=0, 432y y =', 从而dx dy y 243=-, 两边积分得24124C x y +=, 即42)4121(C x y +=. 由y |x =0=1得C 2=4, 故原方程的特解为4)121(+=x y .(6)y ''+y '2=1, y |x =0=0, y '|x =0=0.解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 12=+p d y d p p , 即2222=+p dydp , 于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dy dy e C C dy e e p ,即 121+±='-y e C y .由y |x =0=0, y '|x =0=0得C 1=-1, y e y 21--±='.故dx dy e y ±=--211,两边积分得 22)1l n (C x e e y y +±=-+.由y |x =0=0得C 2=0, x e e y y ±=-+)1ln(2,从而得原方程的特解y =lnch x .3. 试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线. 解 1221C x y +=', 21361C x C x y ++=. 由题意得y |x =0=1, 21|0='=x y . 由21|0='=x y 得211=C , 再由y |x =0=1得C 2=1, 因此所求曲线为 121613++=x x y . 4. 设有一质量为m 的物体, 在空中由静止开始下落, 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数, v 为物体运动的速度), 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.解以t =0对应的物体位置为原点, 垂直向下的直线为s 正轴, 建立坐标系. 由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m .将方程分离变量得d t v c mg mdv =-22, 两边积分得1||ln C kt mg cv mgcv +=-+(其中m gc k 2=)由v |t =0=0得C 1=0, kt mg cv mgcv =-+||ln , 即kt e mg cv mgcv =-+.因为mg >c 2v 2, 故kt e cv mg mg cv )(-=+, 即 )1()1(kt kt e mg e cv -=+,或 ktkt e e c mg dt ds +-⋅-=11, 分离变量并积分得211ln C e e ck mgs ktkt +++-=-. 由s |t =0=0得C 2=0, 故所求函数关系为kt kt ee ck mgs ++-=-11ln , 即)(ch ln 2t m g c c m s =. 习题12-71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x , x 2;解因为x xx =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ;解因为22=xx , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ;解因为332=x x ee , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ;解因为x x x e ee 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ;解因为x x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ;。

高等数学(同济第五版)课后答案第六章

=(3p 2
y−
1 2
y2
−
1 6p
y3)
p −3
p
= 16 3
p2
.
5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积;
(1)ρ=2acosθ ; 解:
所求的面积为
A=
1 2
π
∫−2π 2
(2acosθ )2dθ
π
=
4a
2
∫2
0
cos2θdθ
=πa2.
(2)x=acos3t, y=asin3t; 解
a
a
z 20. 利用题 19 和结论, 计算曲线 y=sin x(0≤x≤π)和 x 轴所围
成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积.
∫ ∫ .3 解
V = 2π π xsin xdx = −2π π xd cosx = 2π (−xcosx +sin x)π = 2π 2 .
0
0
0
w 21. 计算曲线 y=ln x 上相应于 3 ≤ x≤ 8 的一段弧的长度.
o 解设弦的倾角为 α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
.c A= A0+ A1.
e 显然当α
=π 2
时,
A1=0;
当α <π 2
时,
A1>0.
因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
h a ∫ z A0 =2 0
2axdx = 8 3
a
x3 a = 8 a2 . 03
曲线 ρ = 2 sinθ 与 ρ 2 =cos 2θ 的交点 M 的极坐标为 M ( 2 , π ) . 所求的面积为 26
A

同济大学《高等数学第五版》习题答案

习题1−11. 设A =(−∞, −5)∪(5, +∞), B =[−10, 3), 写出A ∪B , A ∩B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ∪B =(−∞, 3)∪(5, +∞),A ∩B =[−10, −5),A \B =(−∞, −10)∪(5, +∞),A \(A \B )=[−10, −5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B )C =A C ∪B C .证明因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ∪B C ,所以 (A ∩B )C =A C ∪B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈ f (A )∪f (B ),所以 f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒ ∃x ∈A ∩B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )∩f (B ), 所以 f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使, , 其中I X I f g =D Y I g f =D X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f −1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2) ⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f −1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以 f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f −1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f −1(f (A ))⊂A . 因此f −1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32−>x . 函数的定义域为) ,32[∞+−. (2)211xy −=; 解由1−x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞).(3)211x xy −−=; 解由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1, 0)∪(0, 1].(4)241x y −=; 解由4−x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(−2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). (7) y =arcsin(x −3);解由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+−=; 解由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞, 0)∪(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(−1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(−∞, 0)∪(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x −tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=−x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1, (−∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(−∞, 1), 有1−x 1>0, 1−x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y , 所以函数xx y −=1在区间(−∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(−l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(−l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(−l , 0)且x 1<x 2, 有−x 1, −x 2∈(0, l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (−x 2)<f (−x 1), − f (x 2)<−f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(−l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(−l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211x xy +−=; (4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=. 解 (1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x −2);(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =x cos x ;(5)y =sin 2 x .解 (1)是周期函数, 周期为l =2π.(2)是周期函数, 周期为2π=l . (3)是周期函数, 周期为l =2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;(2)xx y +−=11; (3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0); (4) y =2sin3x ;(5) y =1+ln(x +2);(6)122+=x xy . 解 (1)由31+=x y 得x =y 3−1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)由x x y +−=11得yy x +−=11, 所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11. (3)由d cx b ax y ++=得a cy b dy x −+−=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y −+−=. (4)由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin 3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5)由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)由122+=x x y 得y y x −=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y −=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即−M ≤f (x )≤M . 这这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 −M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=−1.解 (1)y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,3)3(sin 222===πy . (2)y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4), , .2x e y =1201==e y e e y ==212 (5)y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);(2) f (sin x );(3) f (x +a )(a >0);(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解 (1)由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[−1, 1].(2)由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a , 所以函数f (x +a )的定义域为[−a , 1−a ].(4)由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1−a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1−a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=010 00 1)]([x x x x g f ., 即()⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| ][101)(x e x x e e x f g x f ()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| ][1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AC +CD +DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1−37解 D 40sin hDC Ab ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++D 得h hS BC ⋅−=D 40cot 0, 所以 h hS L D D 40sin 40cos 20−+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS D 确定, 定义域为D 40cot 00S h <<. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0. 01(x 0−100)=90−75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0. 01=91−0. 01x .综合上述结果得到.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p(2).⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P (3) P =31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)n n x 21=; (2)nx n n 1)1(−=; (3)212nx n +=; (4)11+−=n n x n ; (5) x n =n (−1)n .解 (1)当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .(2)当n →∞时, n x nn 1)1(−=→0, 01)1(lim =−∞→nn n . (3)当n →∞时, 212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn . (4)当n →∞时, 12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n . (5)当n →∞时, x n =n (−1)n 没有极限. 2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问=? 求出N , 使当n >N 时, x n n x ∞→lim n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 . 0lim =∞→n n x n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π. ∀ε >0, 要使|x n −0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n −0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ; (2)231213lim =++∞→n n n ;(3)1lim 22=+∞→na n n (4). 19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n (1)分析要使ε<=−221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim 2=∞→n n . (2)分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<−++231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)分析要使ε<<++=−+=−+n a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<−+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→n a n n . (4)分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|ε<=−1101n , 只须1101−n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|<ε , 所以. 19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ n 个n 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|x a u n n =∞→lim ||||lim a u n n =∞→n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为, 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有, 从而 a u n n =∞→lim ε<−||a u n ||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε .这就证明了|. |||lim a u n n =∞→ 数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim =−∞→n n n n )1(lim −∞→ 5. 设数列{x n }有界, 又, 证明: . 0lim =∞→n n y 0lim =∞→n n n y x 证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又, 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有0lim =∞→n n y M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以.0lim =∞→n n n y x 6. 对于数列{x n }若x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明因为x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k >2K 1时, 有| x 2k −a |<ε ;∃K 2,当2k +1>2K 2+1时, 有| x 2k +1−a |<ε..取N =max{2K 1, 2K 2+1}, 只要n >N , 就有|x n −a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明: (1);8)13(lim 3=−→x x (2);12)25(lim 2=+→x x (3)424lim22−=+−−→x x x ; (4)21241lim321=+−−→x x x . 证明 (1)分析 |(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|, 要使|(3x −1)−8|<ε , 只须ε31|3|<−x .证明因为∀ε >0, ∃εδ31=, 当0<|x −3|<δ时, 有|(3x −1)−8|<ε , 所以.8)13(lim 3=−→x x (2)分析 |(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|, 要使|(5x +2)−12|<ε , 只须ε51|2|<−x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x −2|<δ时, 有|(5x +2)−12|<ε , 所以.12)25(lim 2=+→x x (3)分析 |)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x , 要使ε<−−+−)4(242x x , 只须ε<−−|)2(|x .证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x −(−2)|<δ时, 有ε<−−+−)4(242x x , 所以424lim 22−=+−−→x x x .(4)分析|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x , 要使ε<−+−212413x x , 只须ε21|)21(|<−−x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<−−<|)21(|0x 时, 有ε<−+−212413x x , 所以21241lim321=+−−→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+∞→x x x ; (2)0sin lim=+∞→xxx .证明 (1)分析333333||21212121x x x x x x =−+=−+, 要使ε<−+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<−+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)分析 xxx xx 1|sin |0sin ≤=−, 要使ε<−0sin x x, 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<−0sin xx, 所以0sin lim=+∞→x xx .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x −2|<δ时, |y −4|<0. 001？解由于x →2, |x −2|→0, 不妨设|x −2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<−x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x −2|<δ时, 就有|x 2−4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13122→+−=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y −1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−x x x , 只397301.04||=−>x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.6. 求,)(xxx f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x xx f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f ,,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=−所以极限存在.)(lim 0x f x → 因为1lim ||lim )(lim 00−=−==−−−→→→x xx x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00===+++→→→xx x x x x x x ϕ, ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠−所以极限不存在.)(lim 0x x ϕ→ 7. 证明: 若x →+∞及x →−∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则.A x f x =∞→)(lim证明因为, , 所以∀ε>0,A x f x =−∞→)(lim A x f x =+∞→)(lim ∃X 1>0, 使当x <−X 1时, 有|f (x )−A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )−A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )−A |<ε , 即.A x f x =∞→)(lim 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x −x 0|<δ 时, 有|f (x )−A |<ε .因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )−A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0−δ1<x <x 0时, 有| f (x )−A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )−A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x −x 0|<δ 时, 有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有| f (x )−A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )−A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x −3|<δ时, 有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0|1sin |||||−≤=x xx y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x −0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xxy 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104证明分析2||11221||−≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >−2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x −0|<δ时, 有M xx>+21, 所以当x →0时, 函数xxy 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由: (1)xx n 12lim+∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→xx n .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=−−→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数y =x cos x 在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(−∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如022cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51. 计算下列极限: (1)35lim 22−+→x x x ;解 9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解 01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x . (3)112lim 221−+−→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx xx x x 2324lim 2230++−→;解 2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim−+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22−−−∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim242−−+∞→x x x x x ; 解 013lim242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零)或 012111lim13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x xx x x . (9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x −−−→; 解 112lim )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131−=+++−=++−+−−=++−−++=−−−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim −+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x , 所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3).)12(lim 3+−∞→x x x 解 (因为分子次数高于分母次数).∞=+−∞→)12(lim 3x x x 3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x x x x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→x x x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4);x x x cot lim 0→ 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0−→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===−=−→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===−→→→xx x x x x x x x x x .(6)nn n x2sin2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 1)1(lim −→;解{}11)(10)1)(11)](1[lim )](1[lim )1(lim −−−→−−→→=−+=−+=−e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解[]22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→;解 []222)11(lim )1(lim e x x x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim −∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx −−−∞→∞→=−+=−))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I ′. 解4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而且11lim =∞→n 1)11(lim =+∞→nn ,由极限存在准则I, 111lim =+∞→n n .(2)()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n ,所以 ()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x +++−−=++−+=−+=−+2)1)(2(22221,而x n −2<0, x n +1>0, 所以x n +1−x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1−|x |≥(1−|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤−. 因为 ,1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=−→→x x x x 根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)[]11lim 0=+→xx x . 证明因为[]xx x 1111≤<−, 所以[]111≤<−x x x .又因为, 根据夹逼准则, 有11lim )1(lim 0==−++→→x x x []11lim 0=+→xx x .习题 1−71. 当x →0时, 2x −x 2 与x 2−x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2−x 3是高阶无穷小, 即x 2−x 3=o (2x −x 2).2. 当x →1时, 无穷小1−x 和(1)1−x 3, (2))1(212x −是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时, 1−x 和1−x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x , 所以当x →1时, 1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x −.证明 (1)因为1tan lim arctan lim00==→→y y xxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为()122sin2lim 22sin 2limcos cos 1lim 2211sec lim20222020===−=−→→→→x xx x x x xx x x x x x ,所以当x →0时, 2~1sec 2x x −.4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xxx 23tan lim0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim0→(n , m 为正整数);(3)xx x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→xx x x x xx x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1);⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f (2).⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, , 1lim )(lim 211==−−→→x x f x x 1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x 所以, 从而函数f (x )在x =1处是连续的.1)(lim 1=→x f x 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处, 因为f (−1)=−1, , , 所以函数在x =−1处间断, 但右连续.)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x )1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x 在x =1处, 因为f (1)=1, =f (1), =f (1), 所以函数在x =1处连续.1lim )(lim 11==−−→→x x f x x 11lim )(lim 11==++→→x x x f 综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在x =−1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); (3),1cos 2xy = x =0;(4), x =1.⎩⎨⎧>−≤−=1 311x x x x y 解 (1))1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11−=−+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令y =−2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3)因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 2→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)因为, 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x 3. 讨论函数x x x x f n n n 2211lim )(+−=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型.解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nnn . 在分段点x =−1处, 因为, , 所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x 1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x 在分段点x =1处, 因为, , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.1lim )(lim 11==−−→→x x f x x 1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x 4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理,存在x 0)()(lim 00>=→x f x f x x 0的某一去心邻域, 使当x ∈时f (x )>0, 从而当x ∈U (x )(0x U D )(0x U D0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)( 解(3)函数在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.⎩⎨⎧∉−∈=Q Qx x x x x f )(习题1−91. 求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限, 及.)(lim 0x f x →)(lim 3x f x −→)(lim 2x f x → 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(−∞, +∞)内除点x =2和x =−3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )}在点x 0也连续.证明已知, .)()(lim 00x f x f x x =→)()(lim 00x g x g x x =→ 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()(21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0−+→; (5)145lim1−−−→x xx x ;(6)ax ax a x −−→sin sin lim; (7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解 (1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以142(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim0000=++=++=++=++++−+=−+→→→→x x x xx x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +−−−=+−−+−−−=−−−→→→ 214154454lim1=+−⋅=+−=→xx x .(6)ax ax a x ax ax a x a x −−+=−−→→2sin 2cos2limsin sin lima a a a x ax ax ax ax cos 12cos 22sinlim 2coslim =⋅+=−−⋅+=→→. (7))())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .4. 求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→;(2)xxx sin lnlim 0→; (3)2)11(lim xx x+∞→;(4);x x x 2cot 20)tan 31(lim +→ (5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解 (1) 1lim 01lim1===∞→∞→e ee xxx x .(2) 01ln sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(3) []e e xx xx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim 11(lim .(4) []33tan312cot 222)tan 31(lim )tan 31(lim ex x xx xx =+=+→→.(5)21633621)631()63(−+−⋅−+−+−+=++x x x x xx x . 因为。

同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)

(7) yarcsin(x3);
解由|x3|1 得函数的定义域 D[24]. 1 (8) y 3 x arctan ; x 解由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D(0)(03).
(9) yln(x1);
解由 x10 得函数的定义域 D(1).
解 (1)是周期函数周期为 l2.
(2)是周期函数周期为 l . 2 (3)是周期函数周期为 l2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数周期为 l. 14. 求下列函数的反函数 (1) y 3 x 1 (2) y 1 x 1 x (3) y ax b (adbc0); cx d (4) y2sin3x; (5) y1ln(x2); 2x . (6) y x 2 1
解 (1)由 y 3 x 1 得 xy31所以 y 3 x 1 的反函数为 yx31.
1 y (2)由 y 1 x 得 x 所以 y 1 x 的反函数为 y 1 x . 1 x 1 x 1 x 1 y dy b 所以 y ax b 的反函数为 y dx b . (3)由 y ax b 得 x cx d cy a cx d cx a
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数.
解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 . 4 4 2 4 4 6 6 2 2
9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x (1) y , (, 1); 1 x (2)yxln x, (0, ).

同济第五版高数习题答案

习题3−11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点 , 使得y ′(ξ)=cot ξ=0. 由y ′(x )=cot x =0得 .因此确有, 使y ′(ξ)=cot ξ=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3−5x 2+x −2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3−5x 2+x −2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使 . 由y ′(x )=12x 2−10x +1=0得 .因此确有, 使.3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间上验证柯西中值定理的正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间上连续, 在可导, 且F ′(x )=1−sin x 在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点 , 使得.令 , 即 .化简得 . 易证 , 所以在内有解,即确实存在, 使得.4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )−y (a )=y ′(ξ)(b −a ), 即 (pb 2+qb +r )−(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b −a ). 化间上式得p (b −a )(b +a )=2p ξ (b −a ),故 .5. 不用求出函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)(x −4)的导数，说明方程f ′(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f ′(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f ′(ξ2)=0; 存在ξ 3∈(3, 4), 使f ′(ξ 3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ3都是方程f ′(x )=0的根. 注意到方程f ′(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ′(x )=0的全部根. 6. 证明恒等式: (−1≤x ≤1). 证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为, 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数. 因此 , 即.7. 若方程a 0x n +a 1xn −1+ ⋅ ⋅ ⋅ + an −1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nxn −1+a 1(n −1)xn −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1=0必有一个小于x 0的正根. 证明设F (x )=a 0x n+a 1xn −1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F ′(ξ)=0, 即方程 a 0nxn −1+a 1(n −1)xn −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +an −1=0必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ′′(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f ′(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f ′(ξ2)=0.又由于f ′(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f ′(ξ1)=f ′(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ′′(ξ )=0.9. 设a >b >0, n >1, 证明:nbn −1(a −b )<a n −b n <nan −1(a −b ) .证明设f (x )=x n, 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )−f (b )=f ′(ξ)(a −b ), 即a n−b n=n ξ n −1(a −b ).因为 nbn −1(a −b )<n ξn −1(a −b )< nan −1(a −b ),所以 nb n −1(a −b )<a n−b n< na n −1(a −b ) .10. 设a >b >0, 证明:.证明设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )−f (b )=f ′(ξ)(a −b ), 即 .因为b <ξ<a , 所以, 即 .11. 证明下列不等式:(1)|arctan a −arctan b |≤|a −b |;(2)当x >1时, e x>e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )−f (a )=f ′(ξ)(b −a ), 即 ,所以, 即|arctan a −arctan b |≤|a −b |.(2)设f (x )=e x, 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )−f (1)=f ′(ξ)(x −1), 即 e x−e =e ξ(x −1). 因为ξ >1, 所以e x−e =e ξ(x −1)>e (x −1), 即e x >e ⋅x . 12. 证明方程x 5+x −1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x −1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=−1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x −1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f ′(x )存在零点, 但f ′(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使解设 , 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使ϕ(b )−ϕ(a )=ϕ′(ξ)(b −a ),即 .因此14. 证明: 若函数.f (x )在(−∞, +∞)内满足关系式f ′(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x. 证明令, 则在(−∞, +∞)内有,所以在(−∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x.15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f ′(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n −1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:(0<θ<1). 证明根据柯西中值定理(ξ1介于0与x 之间),(ξ2介于0与ξ1之间),(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得(ξn介于0与ξn −1之间),所以由于ξn可以表示为ξn=θ x (0<θ<1), 所以 (0<θ<1).习题3−21. 用洛必达法则求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14);(15);(16).解(1).(2).(3) . (4).(5) .(6).(7) .(8).(9) .(10) (注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2).(11).(12) (注: 当x →0时, ).(13) .(14)因为,而,所以..(15)因为,而,所以.(16)因为 ,而,所以.2. 验证极限存在,但不能用洛必达法则得出.解, 极限是存在的.但不存在, 不能用洛必达法则.3. 验证极限存在, 但不能用洛必达法则得出.解, 极限是存在的.但不存在, 不能用洛必达法则.4. 讨论函数在点x =0处的连续性.解,,因为 ,而 ,所以.因此f (x )在点x =0处连续.习题3−31. 按(x −4)的幂展开多项式x 4−5x 3+x 2−3x +4. 解因为f (4)=−56,f ′(4)=(4x 3−15x 2+2x −3)|x =4=21, f ′′(4)=(12x 2−30x +2)|x =4=74, f ′′′(4)=(24x −30)|x =4=66, f (4)(4)=24,所以按(x −4)的幂展开的多项式为=−56+21(x −4)+37(x −4)2+11(x −4)3+(x −4)4.2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2−3x +1)3. 解因为f ′(x )=3(x 2−3x +1)2(2x −3),f ′′(x )=6(x 2−3x +1)(2x −3)2+6(x 2−3x +1)2=30(x 2−3x +1)(x 2−3x +2), f ′′′(x )=30(2x −3)(x 2−3x +2)+30(x 2−3x +1)(2x −3)=30(2x −3)(2x 2−6x +3), f (4)(x )=60(2x 2−6x +3)+30(2x −3)(4x −6)=360(x 2−3x +2), f (5)(x )=360(2x −3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f ′(0)=−9, f ′′(0)=60, f ′′′(0)=−270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=−1080, f (6)(0)=720,所以=1−9x +30x 3−45x 3+30x 4−9x 5+x 6. 3. 求函数按(x −4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为 ,,,,所以(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x −2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f ′(x )=x −1, f ′′(x )=(−1)x −2, f ′′′(x )=(−1)(−2)x −3, ⋅ ⋅ ⋅ ,;(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以.5. 求函数按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解因为f (x )=x −1, f ′(x )=(−1)x −2, f ′′(x )=(−1)(−2)x −3, ⋅ ⋅ ⋅ , ;(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以(0<θ<1).6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为f ′(x )=sec 2x ,f ′′(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f ′′′(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x , f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x ;f (0)=0, f ′(0)=1, f ′′(0)=0, f ′′′(0)=2,所以(0<θ<1).7. 求函数f (x )=xe x的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为 f ′(x )=e x+x e x,f ′′(x )=e x+e x +x e x =2e x +x e x, f ′′′(x )=2e x+e x+x e x=3e x+x e x, ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x+xe x; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以8. 验证当时, 按公式计算e x的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01.解因为公式右端为e x的三阶麦克劳林公式, 其余项为所以当时，按公式计算e x的误差..9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1) ; (2)sin 18°. 解 (1)设, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为(ξ介于27与x 之间).于是,其误差为.(2) 已知(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18° , 其误差为.10. 利用泰勒公式求下列极限: (1);(2) ;(3) .解 (1) .因为, 所以.(2).(3).习题3−41. 判定函数f (x )=arctan x −x 单调性.解因为 , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(−∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f ′(x )=1−sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3−6x 2−18x −7; (2) (x >0);(3) ; (4);(5) y =(x −1)(x +1)3; (6);(7) y =x n e −x(n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y ′=6x 2−12x −18=6(x −3)(x +1)=0, 令y ′=0得驻点x 1=−1, x 2=3.列表得可见函数在(−∞, −1]和[3, +∞)内单调增加, 在[−1, 3]内单调减少.(2),令y ′=0得驻点x 1=2, x 2=−2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y ′<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加.(3) , 令y ′=0得驻点, x 2=1, 不可导点为x =0.列表得(− +↘ ↗可见函数在(−∞, 0), , [1, +∞)内单调减少, 在上单调增加.(4)因为, 所以函数在(−∞, +∞)内单调增加.(5) y ′=(x +1)3+3(x −1)(x +1)2. 因为当时, y ′<0; 当时, y ′>0,所以函数在内单调减少, 在内单调增加.(6), 驻点为 ,不可导点为 ,x=a .3列表得可见函数在 ,, (a, +∞)内单调增加,在内单调减少.(7)y′=e−x x n−1(n−x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时,y′>0; 当x>n时,y′<0, 所以函数在[0, n]上单调增加,在[n, +∞)内单调减少.(8)(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅),(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).y′是以π为周期的函数,在[0, π]内令y′=0, 得驻点 ,, 不可导点为.列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y′在(−∞, +∞)的周期性可知函数在上单调增加,在上单调减少(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).4. 证明下列不等式:(1)当x >0时, ;(2)当x >0时, ;(3)当时, sin x +tan x >2x ;(4)当时,;(5)当x >4时, 2x>x 2;证明 (1)设, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即,也就是 .(2)设, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为, 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即,也就是.(3)设f (x )=sin x +tan x −2x , 则f (x )在内连续,f ′(x )=cos x +sec 2x −2 .因为在内cos x −1<0, cos 2x −1<0, −cos x <0, 所以f ′(x )>0, 从而f (x )在内单调增加, 因此当时, f (x )>f (0)=0, 即 sin x +tan x −2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设, 则f (x )在内连续,.因为当时, tan x>x, tan x+x>0, 所以f′(x)在内单调增加,因此当时,f(x)>f(0)=0, 即,也就是.(5)设f(x)=x ln2−2ln x, 则f (x)在[4, +∞)内连续,因为,所以当x>4时,f′(x)>0, 即f(x)内单调增加.因此当x>4时,f(x)>f(4)=0, 即x ln2−2ln x>0, 也就是也就是2x>x2.5. 讨论方程ln x=ax (其中a>0)有几个实根？解设f(x)=ln x−ax. 则f(x)在(0, +∞)内连续,, 驻点为 .因为当时,f′(x)>0, 所以f(x)在内单调增加;当时,f′(x)<0,所以f(x)在内单调减少.又因为当x→0及x→+∞时,f(x)→−∞, 所以如果,即 ,则方程有且仅有两个实根;如果 ,即 ,则方程没有实根.如果 ,即 ,则方程仅有一个实根.6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:f(x)=x+sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f(x)=x+sin x在(−∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上, f′(x)=1+cos x≥0,这就明f(x)在(−∞, +∞)内是单调增加的.f′′(x)=−sin x在(−∞, +∞)内不保持确定的符号,故f′(x)在(−∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性:(1) y=4x−x2 ;(2) y=sh x ;(3) (x >0); (4) y =x arctan x ;解 (1)y ′=4−2x , y ′′=−2,因为y ′′<0, 所以曲线在(−∞, +∞)内是凸的. (2)y ′=ch x , y ′′=sh x . 令y ′′=0, 得x =0.因为当x <0时, y ′′=sh x <0; 当x >0时, y ′′=sh x >0, 所以曲线在(−∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3) , .因为当x >0时, y ′′>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的.(4) , .因为在(−∞, +∞)内, y ′′>0, 所以曲线y =x arctg x 在(−∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3−5x 2+3x +5 ; (2) y =xe −x;(3) y =(x +1)4+e x;(4) y =ln(x 2+1);(5) y =e arctan x;(6) y =x 4(12ln x −7),解 (1)y ′=3x 2−10x +3, y ′′=6x −10. 令y ′′=0, 得 .因为当时, y ′′<0; 当时, y ′′>0, 所以曲线在内是是凸的, 在内是凹的, 拐点为.(2)y ′=e −x−x e −x, y ′′=−e −x−e −x +x e −x =e −x(x −2). 令y ′′=0, 得x =2.因为当x <2时, y ′′<0; 当x >2时, y ′′>0, 所以曲线在(−∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e −2).(3)y ′=4(x +1)3+e x, y ′′=12(x +1)2+e x.因为在(−∞, +∞)内, y ′′>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x的在(−∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4) ,. 令y ′′=0, 得x 1=−1, x 2=1.列表得可见曲线在(−∞, −1]和[1, +∞)内是凸的, 在[−1, 1]内是凹的, 拐点为(−1, ln2)和(1, ln2).(5) , . 令y ′′=0得,.因为当时, y ′′>0; 当时, y ′′<0, 所以曲线y =earctg x在内是凹的,在内是凸的, 拐点是.(6) y ′=4x 3(12ln x −7)+12x 3, y ′′=144x 2⋅ln x . 令y ′′=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ′′<0; 当x >1时, y ′′>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, −7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) (x >0, y >0, x ≠y , n >1); (2) ;(3)(x >0, y >0, x ≠y ).证明 (1)设f (t )=t n, 则f ′(t )=nt n −1, f ′′(t )=n (n −1)t n −2. 因为当t >0时, f ′′(t )>0, 所以曲线f (t )=t n在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有, 即.(2)设f (t )=e t, 则f ′(t )=e t, f ′′(t )=e t. 因为f ′′(t )>0, 所以曲线f (t )=e t在(−∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(−∞, +∞), x ≠y 有, 即.(3)设f (t )=t ln t , 则 f ′(t )=ln t+1, .因为当t >0时, f ′′(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有, 即.10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上. 证明,.令y ′′=0, 得x 1=−1,,.例表得可见拐点为(−1, −1), , . 因为, ,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y ′=3ax 2+2bx , y ′′=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ′′(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得, .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =−2处曲线有水平切线, (1, −10)为拐点, 且点(−2, 44)在曲线上. 解 y ′=3ax 2+2bx +c , y ′′=6ax +2b . 依条件有, 即.解之得a =1, b =−3, c =−24, d =16.13. 试决定y =k (x 2−3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y ′=4kx 3−12kx , y ′′=12k (x −1)(x +1). 令y ′′=0, 得x 1=−1, x 2=1.因为在x 1=−1的两侧y ′′是异号的, 又当x =−1时y =4k , 所以点(−1, 4k )是拐点.因为y ′(−1)=8k , 所以过拐点(−1, 4k )的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即 , .同理, 因为在x 1=1的两侧y ′′是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y ′(1)=−8k , 所以过拐点(−1, 4k )的法线方程为 . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即,.因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ′′(x 0)=0, 而f ′′′(x 0)≠0, 试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f ′′′(x 0)>0. 由f ′′′(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0−δ, x 0+δ), 在此邻域内有f ′′′(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ′′(x )−f ′′(x 0)=f ′′′(ξ)(x −x 0) (ξ介于x 0与x 之间),即 f ′′(x )=f ′′′(ξ)(x −x 0).因为当x 0−δ<x <x 0时, f ′′(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ′′(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3−51. 求函数的极值: (1) y =2x 3−6x 2−18x +7; (2) y =x −ln(1+x ) ; (3) y =−x 4+2x 2 ; (4) ; (5) ; (6);(7) y =e xcos x ; (8);(9) ; (10) y =x +tan x . 解 (1)函数的定义为(−∞, +∞), y ′=6x 2−12x −18=6(x 2−2x −3)=6(x −3)(x +1), 驻点为x 1=−1, x 2=3.列表可见函数在x =−1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值−47.(2)函数的定义为(−1, +∞), , 驻点为x =0. 因为当−1<x <0时, y ′<0; 当x >0时, y ′>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(−∞, +∞),y ′=−4x 3+4x =−4x (x 2−1), y ′′=−12x 2+4, 令y ′=0, 得x 1=0, x 2=−1, x 3=1.因为y ′′(0)=4>0, y ′′(−1)=−8<0, y ′′(1)=−8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (−1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(−∞, 1],,令y ′=0, 得驻点.因为当时,y′>0; 当时,y′<0, 所以为函数的极大值.(5)函数的定义为(−∞, +∞), , 驻点为 .因为当时,y′>0; 当时,y′<0, 所以函数在处取得极大值,极大值为 .(6)函数的定义为(−∞, +∞), , 驻点为x1=0, x2=−2.列表极小值可见函数在x=−2处取得极小值 ,在x=0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(−∞, +∞).y′=e x(cos x−sin x ), y′′=−e x sin x.令y′=0, 得驻点 ,, (k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).因为 ,所以是函数的极大值.因为y′′, 所以是函数的极小值.(8)函数的定义域为(0, +∞),.令y′=0, 得驻点x=e .因为当x<e时,y′>0; 当x>e时,y′<0, 所以为函数f(x)的极大值.(9)函数的定义域为(−∞, +∞), , 因为y′<0, 所以函数在(−∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为y ′=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2−3ac <0, 那么这函数没有极值 .证明y ′=3a x 2+2b x +c . 由b 2−3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到 y ′=3ax 2+2bx +c因3ac −b 2>0, 所以当a >0时, y ′>0; 当a <0时, y ′<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f ′(x )=a cos x +cos 3x , f ′′(x )=−a sin x −3 sin x .要使函数f (x )在处取得极值, 必有, 即 , a =2 .当a =2时,. 因此, 当a =2时, 函数f (x )在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为 . 4. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3−3x 2, −1≤x ≤4;(2) y =x 4−8x 2+2, −1≤x ≤3 ; (3) , −5≤x ≤1.解 (1)y ′=6x 2−6x =6x (x −1), 令y ′=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (−1)=−5, y (0)=0, y (1)=−1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (−1)=−5, 最大值为y (4)=80.(2)y ′=4x 3−16x =4x (x 2−4), 令y ′=0, 得x 1=0, x 2=−2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (−1)=−5, y (0)=2, y (2)=−14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=−14, 最大值为y (3)=11.(3), 令y′=0, 得 .计算函数值得, , y(1)=1,经比较得出函数的最小值为 ,最大值为 .5. 问函数y=2x3−6x2−18x−7(1≤x≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y′=6x2−12x−18=6(x−3)(x+1), 函数f(x)在1≤x≤4内的驻点为x=3.比较函数值:f(1)=−29, f(3)=−61, f(4)=−47,函数f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=−29.6. 问函数(x<0)在何处取得最小值？解, 在(−∞, 0)的驻点为x=−3. 因为, ,所以函数在x=−3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x=−3处取得最小值,最小值为.7. 问函数(x≥0)在何处取得最大值？解. 函数在(0, +∞)内的驻点为x=1.因为当0<x<1时,y′>0; 当x>1时y′<0, 所以函数在x=1处取得极大值.又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x长为y, 则2x+y=20, y=20−2x, 于是面积为S= xy=x(20−2x)=20x−2x2.S ′=20−4x=4(10−x), S′′=−4.令S′=0, 得唯一驻点x=10.因为S′′(10)−4<0, 所以x=10为极大值点,从而也是最大值点.当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V =π r 2h , 得h =V π−1r −2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh (0<x <+∞),.令S ′=0, 得驻点 . 因为 , 所以S 在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则 ,. 于是(),.令S ′=0, 得唯一驻点 .因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解由F cos α =(m −F sin α)μ 得(),,驻点为α= arctan μ.因为F的最小值一定在内取得,而F在内只有一个驻点α= arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F的最小值点.从而当α=arctan0.25=14°时,力F最小.12. 有一杠杆,支点在它的一端.在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?解设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F, 则有, 即 .,驻点为x=1.4. 由问题的实际意义知,F的最小值一定在(0, +∞)内取得,而F在(0, +∞)内只有一个驻点x=1.4, 所以F一定在x=1.4m处取得最小值,即最省力的杆长为1.4m.13. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时,做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l、底半径r、高h分别为l=R⋅ϕ, , .漏斗的容积为(0<ϕ<2π).，驻点为 .由问题的实际意义,V一定在(0, 2π)内取得最大值,而V在(0, 2π)内只有一个驻点,所以该驻点一定也是最大值点.因此当ϕ时,漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m, 吊臂长15m, 现在要把一个6m宽、2m高的屋架,水平地吊到6m高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h. 在直角三角形ΔEDG中15sin ϕ=(h−1. 5)+2+3tan ϕ,故,.令h′=0得唯一驻点°.因为 ,所以ϕ=54°为极大值点,同时这也是最大值点.当ϕ=54°时,m.所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高,现只要求水平地吊到6m处,当然能吊上去.15. 一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x元,纯收入为R元.当x≤1000时,R=50x−50×100=50x−5000, 且当x=1000时,得最大纯收入45000元.当x>1000时,,.令R′=0得(1000, +∞)内唯一驻点x=1800. 因为 ,所以1800为极大值点,同时也是最大值点.最大值为R=57800.因此,房租定为1800元可获最大收入.习题3−8描绘下列函数的图形:1. ; 解 (1)定义域为(−∞, +∞);(2),,令y ′=0, 得x =−2, x =1; 令y ′′=0, 得x =−1, x =1. (3)(4)作图:2. ;解 (1)定义域为(−∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形. (3) , , 当x ≥0时, 令y ′=0, 得x =1; 令y ′′=0, 得x =0, . (4)( 极大值(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3. ;解 (1)定义域为(−∞, +∞);(2),令y ′=0, 得x =1; 令y ′′=0, 得 ,.(3)(4)有水平渐近线y =0; (5)作图:4. ;解 (1)定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞);(2), ,令y′=0, 得 ;令y′′=0, 得x=−1.(3)列表(4)有铅直渐近线x=0;(5)作图:5. .解(1)定义域为(n=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数,周期为2 π . 可先作[0, π]上的图形,再根据对称性作出[−π, 0)内的图形,最后根据周期性作出[−π, π]以外的图形;(3), ,在[0, π]上,令y′=0, 得x=0, x=π ; 令y′′=0, 得 .(4)(5)有铅直渐近线及;(6)作图:习题3−71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解两边对x 求导数得8x +2yy ′=0, , .y ′|(0, 2)=0, y ′′|(0, 2)=−2. 所求曲率为.2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解, .所求曲率为曲率半径为.3. 求抛物线y =x 2−4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y ′=2x −4, y ′′=2.令y ′=0, 得顶点的横坐标为x =2. y ′|x =2=0, y ′′|x =2=2. 所求曲率为, 曲率半径为.4. 求曲线x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0处的曲率.解, .所求曲率为.5. 对数曲线y=ln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解, .,.令ρ′=0, 得 .因为当时, ρ<0; 当时,ρ>0, 所以是ρ的极小值点,同时也最小值点.当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为 .6. 证明曲线在点(x , y )处的曲率半径为 .解 , . 在点(x , y )处的曲率半径为.7. 一飞机沿抛物线路径 (y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg. 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解,; y ′|x =0=0,..向心力(牛顿).飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79×9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t, 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m, 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y ′=0.02x , y ′′=0.02..向心力为(牛顿).因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5×103×9.8−3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y=ln x在与x轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y=tan x在点处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y2=2px的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k>0, 函数在(0, +∞)内零点的个数为________.解应填写2.提示: , .在(0, +∞)内, 令f′(x)=0, 得唯一驻点x=e .因为f′′(x)<0, 所以曲线在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x=e一定是最大值点, 最大值为f(e)=k>0.又因为, , 所以曲线经过x轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f′′(x)>0, 则f′(0), f′(1), f(1)−f(0)或f(0)−f(1)几个数的大小顺序为( ).(A)f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0); (B)f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0);(C)f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0); (D)f′(1)>f(0)−f(1)>f′(0).解选择B .提示: 因为f′′(x)>0, 所以f′(x)在[0, 1]上单调增加, 从而f′(1)>f′(x)>f′(0).又由拉格朗日中值定理, 有f(1)−f(0)=f′(ξ), ξ∈[0, 1], 所以f′(1)> f(1)−f(0)>f′(0).3. 列举一个函数f(x)满足: f(x)在[a, b]上连续, 在(a,b)内除某一点外处处可导, 但在(a, b)内不存在点ξ, 使f(b)−f(a)=f ′(ξ)(b−a).解取f(x)=|x|, x∈[−1, 1].易知f(x)在[−1, 1]上连续, 且当x>0时f′(x)=1; 当x>0时, f′(x)=−1; f′(0)不存在, 即f(x)在[−1, 1]上除x=0外处处可导.注意f(1)−f(−1)=0, 所以要使f(1)−f(−1)=f′(ξ)(1−(−1))成立, 即f′(ξ)=0, 是不可能的.因此在(−1, 1)内不存在点ξ, 使f(1)−f(−1)=f′(ξ)(1−(−1)).4. 设, 求.解根据拉格朗日中值公式, f(x+a)−f (x)=f′(ξ )⋅a, ξ介于x+a与x之间.当x→∞时, ξ→∞, 于是.5. 证明多项式f (x)=x3−3x+a在[0, 1]上不可能有两个零点.证明f′(x)=3x2−3=3(x2−1), 因为当x∈(0, 1)时, f′(x)<0, 所以f (x)在[0, 1]上单调减少. 因此, f(x) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设 =0, 证明多项式f(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+anx n在(0,1)内至少有一个零点.证明设, 则F(x)在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F(0)=F(1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ, 使F(ξ )=0. 而F ′(x)=f(x), 所以f(x)在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)=0, 证明存在一点ξ∈(0, a), 使f(ξ)+ξf′(ξ)=0.证明设F(x)=xf(x), 则F(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且F(0)=F(a)=0. 由罗尔定理, 在(0, a)内至少有一个点ξ, 使F(ξ)=0. 而F(x)=f(x)+x f′(x), 所以f(ξ)+ξf′(ξ)=0.8. 设0<a<b, 函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a, b)使.证明对于f(x)和ln x在[a, b]上用柯西中值定理, 有, ξ∈(a, b),即, ξ∈(a, b).9. 设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f′(x)|<g′(x), 证明: 当x>a时, |f(x)−f(a)|<g(x)−g(a).证明由条件|f′(x)|<g′(x)得知, , 且有g′(x)>0, g(x)是单调增加的, 当x>a 时,g(x)>g(a).因为f (x)、g (x)都是可导函数, 所以f (x)、g (x) 在[a, x]上连续, 在(a, x)内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a, x), 使.因此, , |f (x)−f (a)|<g (x)−g (a).10. 求下列极限:(1); (2);(3) .(4)(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0). 解 (1) (x x)′=(ex l n x)′=ex l n x(ln x +1)=x x(ln x +1)..(2)(3) ,因为,所以.(4)令. 则, 因为=ln a 1+ln a 2+⋅ ⋅ ⋅+ln a n =ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ). 即=ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ), 从而 .11. 证明下列不等式:(1)当时,;(2):当x >0时, .证明 (1)令, . 因为,所以在内f (x )为单调增加的. 因此当时有], 即.(2)要证(1+x )ln(1+x )>arctan x , 即证(1+x )ln(1+x )− arctan x >0.设f (x )=(1+x )ln(1+x )− arctan x , 则f (x )在[0, +∞)上连续,.因为当x >0时, ln(1+x )>0, , 所以f ′(x )>0, f (x )在[0, +∞)上单调增加. 因此, 当x >0时, f (x )>f (0), 而f (0)=0, 从而f (x )>0, 即(1+x )ln(1+x )−arctan x >0 .12. 设, 求f (x )的极值.解 x =0是函数的间断点.当x <0时, f ′(x )=1; 当x >0时, f ′(x )=2x 2x(ln x +1).令f ′(x )=0, 得函数的驻点.列表:极小值函数的极大值为f (0)=2, 极小值为.13. 求椭圆x2−xy +y2=3上纵坐标最大和最小的点.解2x−y−xy′+2yy′=0, . 当时, y′=0.将代入椭圆方程, 得, y =±2 .于是得驻点x=−1, x=1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x=−1时, y=−2, 当x=1时, y=2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(−1, −2).14. 求数列的最大项.解令(x>0), 则,,.令f′(x)=0, 得唯一驻点x=e .因为当0<x<e时, f′(x)>0; 当x>e时, f′(x)<0, 所以唯一驻点x=e为最大值点.因此所求最大项为.15. 曲线弧y=sin x(0<x<π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解y′=cos x, y′′=−sin x,(0<x<π),.在(0, π)内, 令ρ′=0, 得驻点.因为当时, ρ′<0; 当时, ρ′>0, 所以是ρ的极小值点, 同时也是ρ的最小值点, 最小值为.16. 证明方程x3−5x−2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10−3 .解设f (x)=x3−5x−2, 则f′(x)=3x2−5, f′′(x)=6x .当x>0时, f′′(x)>0, 所以在(0, +∞)内曲线是凹的, 又f(0)=−2, , 所以在(0, +∞)内方程x3−5x−2=0只能有一个根.(求根的近似值略)17. 设f ′′(x)存在, 证明.证明. 18. 设f(n)(x)存在, 且f (x)=f′(x)= ⋅⋅⋅ =f (n)(x)=0, 证明f(x)=o[(x−x)n] (x→x). 证明因为=⋅⋅⋅,所以f (x )=o [(x −x 0)n] (x →x 0).19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ′′(x )≥0. 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1−t )x 1+tx 2]≤(1−t )f (x 1)+tf (x 2).证明设(1−t )x 1+tx 2=x 0. 在x =x 0点的一阶泰勒公式为(其中ξ介于x 与x 0之间).因为f ′′(x )≥0, 所以f (x )≥f (x 0)+f ′(x 0)(x −x 0).因此f (x 1)≥ f (x 0)+f ′(x 0)(x 1−x 0), f (x 2)≥f (x 0)+f ′(x 0)(x 2−x 0).于是有(1−t )f (x 1)+tf (x 2)≥(1−t )[ f (x 0)+f ′(x 0)(x 1−x 0)]+t [f (x 0)+f ′(x 0)(x 2−x 0)] =(1−t )f (x 0)+t f (x 0)+f ′(x 0)[(1−t )x 1+t x 2]−f ′(x 0)[(1−t )x 0+t x 0] =f (x 0)+f ′(x 0)x 0−f ′(x 0)x 0 =f (x 0),即 f (x 0)≤(1−t )f (x 1)+tf (x 2),所以 f [(1−t )x 1+tx 2]≤(1−t )f (x 1)+tf (x 2) (0≤t ≤1).20. 试确定常数a 和b , 使f (x )=x −(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小. 解 f (x )是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为.要使f (x )=x −(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就是要使极限存在且不为0. 为此令,解之得,.因为当,时,,所以当,时, f(x)=x−(a+b cos x)sin x为当x→0时关于x的5阶无穷小.。

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练习 10-1
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练习 9-3
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练习 8-1
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练习 8-2
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习题9−11. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q.解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分.2. 设,其中D1={(x, y)|−1≤x≤1, −2≤y≤2};又,其中D2={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系.解I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.I 2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V1是V位于第一卦限中的部分,故V=4V1, 即I1=4I2.3. 利用二重积分的定义证明:(1)∫∫ (其中σ为D的面积);证明由二重积分的定义可知,其中Δσi表示第i个小闭区域的面积.此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以.(2)∫∫ (其中k为常数);证明.(3),其中D =D 1∪D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.证明将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域和,n 1+n 2=n , 作和.令各和的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有,即 .4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:(1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线x +y =1所围成;解区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而≤.(2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x −2)2+(y −1)2=2 所围成;解区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而.(3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);解区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有[ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),因而 .(4)∫∫与其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.解区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而 ln(x +y )≥1, 因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),故 .5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得0≤xy (x +y )≤2,于是 ,即 .(2), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};解因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是可得,即 .(3), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};解因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得,即 .(4), 其中D ={(x , y )| x2+y 2≤4}.解在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.于是 ,,即 .习题9−21. 计算下列二重积分:(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是.(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2−x . 于是.(3)∫∫, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解.(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,..2. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1), 其中D是由两条抛物线 ,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤x≤1, }. 于是.(2)∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| −2≤y≤2, }. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1};解积分区域图如,并且D={(x, y)| −1≤x≤0, −x−1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x−1≤y≤−x+1}. 于是=e−e−1.(4)∫∫, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.解积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, }. 于是.3. 如果二重积分的被积函数f (x , y )是两个函数f1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x ,y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即证明 ,而 ,故 .由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| }, 或D ={(x , y )| },所以或.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )| },或D ={(x , y )|},所以 , 或 .(3)由直线y =x , x =2及双曲线(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| },或D ={(x , y )| }∪{(x , y )| },所以 , 或.(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解如图所示, 用直线x =−1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3,D 4. 于是用直线y =1, 和y =−1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域,证明:.证明积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 , 或.因此 .6. 改换下列二次积分的积分次序:(1);解由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以.(2);解由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, }, 所以.(3) ; 解由根据积分限可得积分区域如图.因为积分区域还可以表示为 , 所以(4);解由根据积分限可得积分区域, 如图.因为积分区域还可以表示为所以.(5)∫∫;解由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y≤x ≤ e }, 所以(6)(其中a ≥0)．解由根据积分限可得积分区域 , 如图.因为积分区域还可以表示为,所以 .7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x ,y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解如图, 该薄片的质量为.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解四个平面所围成的立体如图, 所求体积为.9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6−z 截得的立体的体积.解立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1−x }, 所求立体的体积为以曲面z =6−x 2−y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6−2x 2−y 2所围成的立体的体积.解由消去z , 得x2+2y 2=6−2x 2−y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以.11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x }; 解积分区域D 如图. 因为 , 所以.(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.(4){(x , y )| 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1}. 解积分区域D 如图. 因为 , 所以. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解积分区域D 如图所示. 因为,所以.(2) ; 解积分区域D 如图所示, 并且,所示.(3);解积分区域D如图所示,并且,所以(4).解积分区域D如图所示,并且,所以13. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(2);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(3);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(4).解积分区域D如图所示.因为 ,所以.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以.(2)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下 ,所以.(3), 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域. 解在极坐标下 , 所以. 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解因为积分区域可表示为 , 所以.(2) , 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下 , 所以.(3)∫∫, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y −a ≤x ≤y }, 所以.(4) , 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}. 解在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧( )与直线所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量. 解区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量. 17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }..18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下 , 所以.习题9−21. 计算下列二重积分:(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是.(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2−x. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1};解.(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,..2. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1), 其中D是由两条抛物线 ,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤x≤1, }. 于是.(2)∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| −2≤y≤2, }. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1};解积分区域图如,并且D={(x, y)| −1≤x≤0, −x−1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x−1≤y≤−x+1}. 于是=e−e−1.(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域.解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤y≤2, }. 于是.3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积,即f(x,y)=f1(x)⋅f2(y), 积分区域D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即证明,而,故.由于的值是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| }, 或D ={(x , y )| },所以或.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )| },或D ={(x , y )|},所以 , 或 .(3)由直线y =x , x =2及双曲线(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| },或D ={(x , y )| }∪{(x , y )| },所以 , 或.(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解如图所示,用直线x=−1和x=1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1, D2, D3,D4. 于是用直线y=1, 和y=−1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1, D2, D3, D4,如图所示.于是5. 设f(x, y)在D上连续,其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域,证明:.证明积分区域如图所示,并且积分区域可表示为D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}.于是, 或.因此.6. 改换下列二次积分的积分次序:(1);解由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以.(2);解由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, }, 所以.(3) ; 解由根据积分限可得积分区域如图.因为积分区域还可以表示为 , 所以(4);解由根据积分限可得积分区域, 如图.因为积分区域还可以表示为所以.(5)∫∫;解由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y≤x ≤ e }, 所以(6)(其中a ≥0)．解由根据积分限可得积分区域 , 如图.因为积分区域还可以表示为,所以 .7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解如图, 该薄片的质量为.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解四个平面所围成的立体如图, 所求体积为.9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6−z 截得的立体的体积.解立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1−x }, 所求立体的体积为以曲面z =6−x 2−y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6−2x 2−y 2所围成的立体的体积.解由消去z , 得x2+2y 2=6−2x 2−y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以.11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x }; 解积分区域D 如图. 因为 , 所以.(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.(4){(x , y )| 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1}. 解积分区域D 如图. 因为 , 所以. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解积分区域D 如图所示. 因为,所以.(2);解积分区域D如图所示,并且,所示.(3);解积分区域D如图所示,并且,所以(4).解积分区域D如图所示,并且,所以13. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(2);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(3);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(4).解积分区域D如图所示.因为 ,所以.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以.(2)∫∫，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下 , 所以.(3), 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域. 解在极坐标下 , 所以. 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解因为积分区域可表示为 , 所以.(2) , 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下 , 所以.(3)∫∫, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y −a ≤x ≤y }, 所以.(4) , 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}. 解在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧( )与直线所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量. 解区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量. 17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }..18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下 , 所以.9−31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y −1=0, z =0所围成的闭区域; 解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是 .(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解积分区域可表示为,于是.(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2−x 2所围成的闭区域; 解曲积分区域可表示为,于是.提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2−x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0),, z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解曲积分区域可表示为,于是 .提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z=xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解.3. 如果三重积分的被积函数f (x , y , z )是三个函数f1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即.证明.4. 计算,其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},于是.5. 计算 ,其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤1−x−y, 0≤y≤1−x, 0≤x≤1},于是.提示:.6. 计算, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解积分区域可表示为于是.7. 计算, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1},于是.8. 计算, 其中Ω是由锥面与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z:, 故D z的半径为, 面积为 , 于是=.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1,,于是.(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ,于是.10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r≤1,于是.(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x2+y2+(z−a)2≤a2, x2+y2≤z2所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一卦限内的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.别解: 用直角坐标计算.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域; 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域; 解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式, z ≥0所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6−x 2−y 2及解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6−ρ2,于是.(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)及z =x 2+y 2;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是.(4)及x 2+y 2=4z .解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解密度函数为 . 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 .9−31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y −1=0, z =0所围成的闭区域; 解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是 .(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解积分区域可表示为,于是.(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2−x 2所围成的闭区域; 解曲积分区域可表示为,于是.提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2−x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0),, z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解曲积分区域可表示为,于是.提示:区域Ω的上边界曲面为曲面c z=xy , 下边界曲面为平面z=0.2. 设有一物体,占有空间闭区域Ω={(x, y, z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}, 在点(x, y, z)处的密度为ρ(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量.解.3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积,即f(x, y, z)=f1(x)⋅f2(y)⋅f3(z), 积分区域Ω={(x, y, z)|a≤x≤b, c≤y≤d, l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即.证明.4. 计算,其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},于是.5. 计算 ,其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1−x −y , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是.提示:.6. 计算, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解积分区域可表示为于是.7. 计算, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1},于是.8. 计算, 其中Ω是由锥面与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z:, 故D z的半径为, 面积为 , 于是=.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ,于是.(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域. 解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ,于是.10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域. 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是.(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z −a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2所确定. 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.别解: 用直角坐标计算.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域; 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域; 解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式, z ≥0所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6−x 2−y 2及解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6−ρ2,于是.(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)及z =x 2+y 2;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是.(4)及x 2+y 2=4z .解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解密度函数为 . 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 .习题9−41. 求球面x 2+y 2+z 2=a 2含在圆柱面x 2+y 2=ax 内部的那部分面积. 解位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的.由曲面方程z =得 ,,于是.2. 求锥面z =被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面的面积.解由z =和z 2=2x 两式消z 得x 2+y 2=2x , 于是所求曲面在xOy 面上的投影区域D为x 2+y 2≤2x .由曲面方程得 , ,于是.3. 求底面半径相同的两个直交柱面x 2+y 2=R 2及x 2+z 2=R 2所围立体的表面积.解设A 1为曲面相应于区域D : x 2+y 2≤R 2上的面积. 则所求表面积为A =4A 1..4. 设薄片所占的闭区域D 如下, 求均匀薄片的质心:(1)D 由, x =x 0, y =0所围成;解令密度为μ=1. 因为区域D 可表示为 , 所以,,,所求质心为(2)D 是半椭圆形闭区域;解令密度为μ=1. 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以 .(椭圆的面积),,所求质心为 .(3)D 是介于两个圆r =a cos θ, r =b cos θ(0<a <b )之间的闭区域. 解令密度为μ=1. 由对称性可知 .(两圆面积的差),,所求质心是.5. 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y =x 2及直线y =x 所围成, 它在点(x , y )处的面密度μ(x , y )=x 2y , 求该薄片的质心.解,,质心坐标为 .6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a , 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心.解建立坐标系, 使薄片在第一象限, 且直角边在坐标轴上. 薄片上点(x , y )处的函数为μ=x 2+y 2. 由对称性可知 .,,薄片的质心坐标为 .7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度ρ=1):(1)z 2=x 2+y 2, z =1;解由对称性可知, 重心在z 轴上, 故 .(圆锥的体积),,所求立体的质心为 .(2)(A >a >0), z =0; 解由对称性可知, 重心在z 轴上, 故 .(两个半球体体积的差),,所求立体的质心为.(3)z =x 2+y 2, x +y =a , x =0, y =0, z =0.解,,,,所以立体的重心为 .8. 设球体占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤2Rz }, 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心.解球体密度为ρ=x 2+y 2+z 2. 由对称性可知质心在z 轴上, 即 .在球面坐标下Ω可表示为: , 于是,,故球体的质心为.9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D 如下, 求指定的转动惯量:(1), 求I y;解积分区域D 可表示为,于是 .提示: .(2)D 由抛物线与直线x =2所围成, 求I x和I y;解积分区域可表示为,于是,. (3)D 为矩形闭区域{(x , y )|0≤x ≤a , 0≤y ≤b }, 求I x和I y.解 ,.10. 已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b 和h , 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系.,.11. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面z =x 2+y 2和平面z =0, |x |=a , |y |=a 所围成,(1)求物体的体积; 解由对称可知.(2)求物体的质心; 解由对称性知 .. (3)求物体关于z 轴的转动惯量.解.12. 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度ρ=1).解建立坐标系, 使圆柱体的底面在xOy 面上, z 轴通过圆柱体的轴心. 用柱面坐标计算..13. 设面密度为常量μ的匀质半圆环形薄片占有闭区域, 求它对位于z 轴上点M 0(0, 0, a )(a >0)处单位质量的质点的引力F .解引力F =(F x, F y, F z), 由对称性, F y=0, 而,.14. 设均匀柱体密度为ρ, 占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2≤R 2, 0≤z ≤h }, 求它对于位于点M 0(0, 0, a )(a >h )处单位质量的质点的引力.解由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故F x=F y=0, 而.总习题九1. 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论: (1)设有空间闭区域Ω1={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, z ≥0},Ω2={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, x ≥0, y ≥0, z ≥0}, 则有________.(A ); (B );(C ); (D ). 解 (C ).提示: f (x , y , z )=x 是关于x 的奇函数, 它在关于yOz 平面对称的区域Ω1上的三重积分为零, 而在Ω2上的三重积分不为零, 所以(A )是错的. 类似地, (B )和(D )也是错的.f (x , y , z )=z 是关于x 和y 的偶函数, 它关于yOz 平面和zOx 面都对称的区域Ω1上的三重积分可以化为Ω1在第一卦部分Ω2上的三重积分的四倍.(2)设有平面闭区域D ={(x , y )|−a ≤x ≤a , x ≤y ≤a }, D 1={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a }, 则=________.(A ); (B ); (C ); (D )0.解 (A ).2. 计算下列二重积分:(1), 其中D 是顶点分别为(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形闭区域;解积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x +1}, 于是.(2), 其中D ={(x , y )|0≤y ≤sin x , 0≤x ≤π};解.(3) , 其中D 是圆周x 2+y 2=Rx 所围成的闭区域; 解在极坐标下积分区域D 可表示为,于是.(4), 其中D ={(x , y )|x 2+y 2≤R 2}. 解因为积分区域D 关于x 轴、y 轴对称, 所以..因为,所以.3. 交换下列二次积分的次序: (1);解积分区域为,并且D 又可表示为D ={(x , y )|−2≤x ≤0, 2x +4≤y ≤−x 2+4},所以.(2); 解积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤2y }∪{(x , y )|1≤y ≤3, 0≤x ≤3−y }, 并且D 又可表示为,所以.(3).解积分区域为,并且D 又可表示为,所以.4. 证明:.证明积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤a , 0≤x ≤y }, 并且D 又可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a },所以 .5. 把积分表为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D ={(x , y )|x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1}.解在极坐标下积分区域可表示为D =D 1+D 2+D 3,其中 ,,,所以.6. 把积分化为三次积分, 其中积分区域Ω是由曲面z =x 2+y 2, y =x 2及平面y =1,z =0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω: 0≤z ≤x 2+y 2, x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1,所以 .7. 计算下列三重积分: (1), 其中Ω是两个球x2+y 2+z 2≤R 2和x 2+y 2+z 2≤2Rz (R >0)的公共部分;解两球面的公共部分在xOy 面上的投影 ,在柱面坐标下积分区域可表示为,所以.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域; 解因为积分区域Ω关于xOy 面对称, 而被积函数为关于z 的奇函数,所以 .(3), 其中Ω是由xOy 面上曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面与平面x =5所围成的闭区域.解曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面的方程为y 2+z 2=2x . 由曲面y 2+z 2=2x 和平面x =5所围成的闭区域Ω在yOz 面上的投影区域为, 在柱面坐标下此区域又可表示为,所以.8. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积.解平面的方程可写为 , 所割部分在xOy 面上的投影区域为,于是.9. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解设所求矩形另一边的长度为H , 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为ρ=1g/cm 3.由对称性及已知条件可知 , 即,从而 ,即,。

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习题12−11. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x (y ′)2−2yy ′+x =0; 解一阶. (2)x 2y ′−xy ′+y =0; 解一阶.(3)xy ′′′+2y ′+x 2y =0; 解三阶.(4)(7x −6y )dx +(x +y )dy =0; 解一阶. (5);解二阶.(6) . 解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy ′=2y , y =5x 2; 解 y ′=10x .因为xy ′=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解. (2)y ′+y =0, y =3sin x −4cos x ; 解 y ′=3cos x +4sin x .因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x −4cos x =7sin x −cos x ≠0, 所以y =3sin x −4cos x 不是所给微分方程的解. (3)y ′′−2y ′+y =0, y =x 2e x;解 y ′=2xe x+x 2e x, y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x. 因为y ′′−2y ′+y =2e x +4xe x+x 2e x−2(2xe x+x 2e x)+x 2e x=2e x≠0, 所以y =x 2e x不是所给微分方程的解.(4)y ′′−(λ1+λ2)y ′+λ1λ2y =0, .解 , .因为=0,所以是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x −2y )y ′=2x −y , x 2−xy +y 2=C ; 解将x 2−xy +y 2=C 的两边对x 求导得 2x −y −xy ′+2y y ′=0, 即 (x −2y )y ′=2x −y ,所以由x 2−xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0, y =ln(xy ). 解将y =ln(xy )的两边对x 求导得, 即.再次求导得. 注意到由可得, 所以,从而 (xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件: (1)x 2−y 2=C , y |x =0=5;解由y |x =0=0得02−52=C , C =−25, 故x 2−y 2=−25. (2)y =(C 1+C 2x )e 2x, y |x =0=0, y ′|x =0=1; 解 y ′=C 2e 2x+2(C 1+C 2x )e 2x. 由y |x =0=0, y ′|x =0=1得 ,解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x.(3)y =C 1sin(x −C 2), y |x =π=1, y ′|x =π=0. 解 y ′=C 1cos(x −C 2). 由y |x =π=1, y ′|x =π=0得, 即,解之得C 1=1,, 故, 即y =−cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ′, 由条件y ′=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分.解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为 , 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(−x , 0), 从而有, 即yy ′+2x =0.6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解 , 其中k 为比例系数.习题12−111. 试用幂级数求下列各微分方程的解: (1)y ′−xy −x =1;解设方程的解为, 代入方程得,即 .可见 a 1−1=0, 2a 2−a 0−1=0, (n +2)a n +2−a n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),于是 , , ,, ⋅ ⋅ ⋅ ,,, ⋅ ⋅ ⋅.所以,即原方程的通解为 .(2)y′′+xy′+y=0;解设方程的解为,代入方程得,即,于是,, ⋅⋅⋅,,, ⋅⋅⋅.所以,即原方程的通解为.(3)xy′′−(x+m)y′+my=0(m为自然数);解设方程的解为,代入方程得,即 .可见 (a 0−a 1)m =0, (n −m )[(n +1)a n +1−a n ]=0 (n ≠m ), 于是 a 0=a 1, ,.所以, 即原方程的通解为(其中C 1, C 2为任意常数).(4)(1−x )y ′=x 2−y ;解设方程的解为, 代入方程得,即.可见 a 1+a 0=0, 2a 2=0, 3a 3−a 2−1=0, (n +1)a n +1−(n −1)a n =0(n ≥3), 于是 a 1=−a 0, a 2=0, , (n ≥4).因此原方程的通解为(C =a 0为任意常数). .(5)(x +1)y ′=x 2−2x +y .解设方程的解为, 代入方程得,即.于是 a 1=a 0,a 2=−1,,.因此原方程的通解为(C =a 0为任意常数).2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解:(1)y ′=y 2+x 3,;解根据初始条件, 可设方程的解为 , 代入方程得,即.比较两边同次幂的系数得, 2a 2=a 1, 3a 3=a 2+a 12, 4a 4=a 3+2a 1a 2+1, ⋅ ⋅ ⋅,于是 , ,,, ⋅ ⋅ ⋅.因此所求特解为.(2)(1−x )y ′+y =1+x , y |x =0=0;解根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得,即 .比较系数得,,.因此所求特解为.因为的和函数为(1−x )ln(1−x )+x , 所以特解还可以写成y =2x +(1−x )ln(1−x )+x .(3), x |t =0=a ,.解根据初始条件, 可设方程的解为.将, 和代入方程得.将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得, ,, ,,,, ,, ⋅ ⋅ ⋅.故所求特解为.习题12−21. 求下列微分方程的通解:(1)xy′−y ln y=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(ln y)=ln x+ln C,故通解为y=e Cx .(2)3x2+5x−5y′=0;解分离变量得5dy=(3x2+5x)dx,两边积分得,即,故通解为 ,其中为任意常数.(3);解分离变量得,两边积分得即arcsin y=arcsin x+C,故通解为y=sin(arcsin x+C).(4)y′−xy′=a(y2+y′);解方程变形为(1−x−a)y′=ay2,分离变量得,两边积分得,即,为任意常数.故通解为 ,其中C=aC1(5)sec2x tan ydx+sec2y tan xdy=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(tan y)=−ln(tan x)+ln C,故通解为tan x tan y=C .(6);解分离变量得10−y dy=10x dx,两边积分得,即,或10−y=10x+C,故通解为y=−lg(C−10x).(7)(e x+y−e x)dx+(e x+y+e y)dy=0;解方程变形为e y(e x+1)dy=e x(1−e y)dx,分离变量得,两边积分得,即−ln(e y)=ln(e x+1)−ln C,故通解为(e x+1)(e y−1)=C .(8)cos x sin ydx+sin x cos ydy=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(sin y)=−ln(sin x)+ln C,故通解为sin x sin y=C .(9);解分离变量得(y+1)2dy=−x3dx,两边积分得,即,故通解为4(y+1)3+3x4=C (C=12C).1(10)ydx+(x2−4x)dy=0.解分离变量得,两边积分得,即ln y4=ln x−ln(4−x)+ln C ,故通解为y4(4−x)=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:=0;(1)y′=e2x−y, y|x=0解分离变量得e y dy=e2x dx,两边积分得,即,或.=0得 ,,由y|x=0所以特解 .(2)cos x sin ydy=cos y sin xdx, ;解分离变量得tan y dy=tan x dx,两边积分得,即−ln(cos y)=−ln(cos x)−ln C,或cos y=C cos x .由得 ,, 所以特解为 .(3)y′sin x=y ln y, ;解分离变量得,两边积分得,即,或.由得 ,C=1,所以特解为 .(4)cos ydx+(1+e−x)sin ydy=0, ;解分离变量得,两边积分得,即ln|cos y|=ln(e x+1)+ln |C|,或cos y=C(e x+1).由得 ,,所以特解为 .=1.(5)xdy+2ydx=0, y|x=2解分离变量得,两边积分得,即ln y=−2ln x+ln C,或y=Cx−2.=1得C⋅2−2=1, C=4,由y|x=2所以特解为 .3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗,高为10cm, 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm2的孔,求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t时该已流出的水的体积为V, 高度为x, 则由水力学有, 即.又因为 ,故,从而,即,因此.又因为当t=0时,x=10, 所以 ,故水从小孔流出的规律为.令x=0, 得水流完所需时间约为10s.4. 质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t=10s时,速度等于50cm/s, 外力为4g cm/s2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知 ,并且法t=10s时,v=50cm/s, F=4g cm/s2, 故,从而k=20, 因此 .又由牛顿定律,F=ma, 即 ,故v dv=20t d t. 这就是速度与时间应满足的微分方程.解之得, 即 .由初始条件有 ,C=250. 因此.当t=60s时,.5. 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R成正比.由经验材料得知,镭经过1600年后,只余原始量R的一半.试求镭的量R与时间t的函数关系.解由题设知,, 即 ,两边积分得ln R=−λt+C1,从而.因为当t=0时,R=R0, 故R=Ce0=C, 即R=Re−λt.又由于当t=1600时,, 故 ,从而.因此.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,求这曲线方程.解设切点为P(x, y), 则切线在x轴,y轴的截距分别为2x, 2y, 切线斜率为,故曲线满足微分方程:, 即 ,从而ln y+ln x=ln C, xy=C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C=2×3=6, 曲线方程为xy=6.7. 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a, 船行方向始终与河岸垂直,又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图.设t时刻船的位置为(x, y), 此时水速为,故dx=ky(h−y)dt .又由已知,y=at, 代入上式得dx=kat(h−at)dt ,积分得.=0, 得C=0, 故 .由初始条件x|t=0因此船运动路线的函数方程为,从而一般方程为 .习题12−31. 求下列齐次方程的通解:(1);解原方程变为 .令 ,则原方程化为, 即 ,两边积分得, 即 ,将代入上式得原方程的通解, 即 .(2);解原方程变为 .令 ,则原方程化为, 即 ,两边积分得ln(ln u−1)=ln x+ln C, 即u=e Cx+1,将代入上式得原方程的通解y=xe Cx+1.(3)(x2+y2)dx−xydy=0;解这是齐次方程.令 ,即y=xu, 则原方程化为(x2+x2u2)dx−x2u(udx+xdu)=0, 即 ,两边积分得u2=ln x2+C,将代入上式得原方程的通解y2=x2(ln x2+C).(4)(x3+y3)dx−3xy2dy=0;解这是齐次方程.令 ,即y=xu, 则原方程化为(x3+x3u3)dx−3x3u2(udx+xdu)=0, 即 ,两边积分得, 即 ,将代入上式得原方程的通解x3−2y3=Cx .(5);解原方程变为 .令 ,则原方程化为, 即 ,两边积分得3ln(sh u)=2ln x+ln C, 即sh3u=Cx2,将代入上式得原方程的通解.(6).解原方程变为 .令 ,则原方程化为, 即 ,分离变量得,两边积分得ln(u+2e u)=−ln y+ln C, 即y(u+2e u)=C,将代入上式得原方程的通解, 即 .2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y2−3x2)dy+2xydx=0, y|=1;x=0解这是齐次方程.令 ,即y=xu, 则原方程化为(x2u2−3x2)(udx+xdu)+2x2udx=0,即, 或两边积分得−3ln |u|+ln|u+1|+ln|u−1|=ln|x|+ln|C|, 即u2−1=Cxu3,将代入上式得原方程的通解y2−x2=Cy3.由y|=1得C=1, 故所求特解为y2−x2=y3.x=0=2;(2), y|x=1解令 ,则原方程化为, 即 ,两边积分得,将代入上式得原方程的通解y2=2x2(ln x+C).=2得C=2, 故所求特解为y2=2x2(ln x+2).由y|x=1=1.(3)(x2+2xy−y2)dx+(y2+2xy−x2)dy=0, y|x=1解这是齐次方程.令 ,即y=xu, 则原方程化为(x2+2x2u−x2u2)dx+(x2u2+2x2u−x2)(udx+xdu)=0,即,或,两边积分得ln|u+1|−ln(u2+1)=ln|x|+ln|C|, 即u+1=Cx(u2+1),将代入上式得原方程的通解x+y=C(x2+y2).由y|=1得C=1, 故所求特解为x+y=(x2+y2).x=13. 设有连结点O(0, 0)和A(1, 1)的一段向上凸的曲线弧 ,对于上任一点P(x, y), 曲线弧与直线段所围图形的面积为x2, 求曲线弧的方程.解设曲线弧的方程为y=y(x). 由题意得,两边求导得,即.令 ,则有, 即 ,两边积分得u=−4ln x+C .将代入上式得方程的通解y=−4x ln x+Cx.由于A(1, 1)在曲线上,即y(1)=1, 因而C=1, 从则所求方程为y=−4x ln x+x.习题12−41. 求下列微分方程的通解:(1);解.(2)xy′+y=x2+3x+2;解原方程变为 ..(3)y′+y cos x=e−sin x;解.(4)y′+y tan x=sin 2x;解=cos x(−2cos x+C)=C cos x−2cos2x .(5)(x2−1)y′+2xy−cos x=0;解原方程变形为 ..(6);解.(7);解.(8)y ln ydx+(x−ln y)dy=0;解原方程变形为 ..(9);解原方程变形为 .=(x−2)[(x−2)2+C]=(x−2)3+C(x−2).(10).解原方程变形为 ..2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:=0;(1), y|x=0解.由y|=0, 得C=0, 故所求特解为y=x sec x .x=0=1;(2), y|x=π解.=1, 得C=π−1, 故所求特解为 .由y|x=π(3), ;解.由 ,得C=1, 故所求特解为 .=2;(4), y|x=0解.由y|=2, 得 ,故所求特解为 .x=0(5), y|=0.x=1解.=0, 得 ,故所求特解为 .由y|x=13. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点(x, y)处的切线斜率等于2x+y .=0.解由题意知y′=2x+y, 并且y|x=0由通解公式得=e x(−2xe−x−2e−x+C)=Ce x−2x−2.=0, 得C=2, 故所求曲线的方程为y=2(e x−x−1).由y|x=04. 设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k)的力作用1)的阻力作用.求质点于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为k2运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F=ma, 得 ,即 .由通解公式得.由题意,当t=0时v=0, 于是得 .因此即.5. 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2h(亨)和电源电压E=20sin5t V(伏)串联组成的电路.开关K合上后,电路中有电源通过.求电流i 与时间t的函数关系.解由回路电压定律知, 即 .由通解公式得.因为当t=0时i=0, 所以C=1. 因此(A).6. 设曲在右半平面(x>0)内与路径无关,其中f(x)可导,且f(1)=1,求f(x).解因为当x>0时,所给积分与路径无关,所以,即f(x)=2f(x)+2xf′(x)−2x,或.因此.由f(1)=1可得 ,故 .7. 求下列伯努利方程的通解:(1);解原方程可变形为, 即 .,原方程的通解为 .(2);解原方程可变形为, 即 .,原方程的通解为 .(3);解原方程可变形为, 即 .,原方程的通解为 .(4);解原方程可变形为, 即 .,原方程的通解为 .(5)xdy−[y+xy3(1+ln x)]dx=0.解原方程可变形为, 即 .,原方程的通解为 .8. 验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程,可经变量代换v=xy 化为可分离变量的方程,并求其通解.解原方程可变形为.在代换v=xy下原方程化为,即,积分得,对上式求出积分后,将v=xy代回,即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:(1);解令u=x+y, 则原方程化为, 即 .两边积分得x=arctan u+C.将u=x+y代入上式得原方程的通解x=arctan(x+y)+C, 即y=−x+tan(x−C).(2);解令u=x−y, 则原方程化为, 即dx=−udu.两边积分得.将u=x+y代入上式得原方程的通解, 即(x−y)2=−2x+C(C=2C).1(3)xy′+y=y(ln x+ln y);解令u=xy, 则原方程化为, 即 .两边积分得ln x+ln C=lnln u, 即u=e Cx.将u=xy代入上式得原方程的通解xy=e Cx, 即 .(4)y′=y2+2(sin x−1)y+sin2x−2sin x−cos x+1;解原方程变形为y′=(y+sin x−1)2−cos x.令u=y+sin x−1, 则原方程化为, 即 .两边积分得.将u=y+sin x−1代入上式得原方程的通解, 即 .(5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2)dy=0 .解原方程变形为.令u=xy, 则原方程化为, 即 .分离变量得.两边积分得.将u=xy代入上式得原方程的通解,).即2x2y2ln y−2xy−1=Cx2y2(C=2C1习题12−51. 判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解:(1)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y2)dy=0;解这里P=3x2+6xy2, Q=6x2y+4y2. 因为,所以此方程是全微分方程,其通解为,即.(2)(a2−2xy−y2)dx−(x+y)2dy=0;解这里P=a2−2xy−y2, Q=−(x+y)2. 因为,所以此方程是全微分方程,其通解为,即a2x−x2y−xy2=C.(3)e y dx+(xe y−2y)dy=0;解这里P=e y, Q=xe y−2y. 因为,所以此方程是全微分方程,其通解为,即xe y−y2=C.(4)(x cos y+cos x)y′−y sin x+sin y=0;解原方程变形为(x cos y+cos x)dy−(y sin x+sin y)dx=0.这里P=−(y sin x+sin y), Q=x cos y+cos x. 因为,所以此方程是全微分方程,其通解为,即x sin y+y cos x=C.解(5)(x2−y)dx−xdy=0;解这里P=x2−y, Q=−x . 因为,所以此方程是全微分方程,其通解为,即.(6)y(x−2y)dx−x2dy=0;解这里P=y(x−2y), Q=−x2. 因为, ,所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e2θ)dρ+2ρe2θdθ=0;解这里P=1+e2θ, Q=2ρe2θ. 因为,所以此方程是全微分方程,其通解为,即ρ(e 2θ+1)=C.(8)(x2+y2)dx+xydy=0.解这里P=x2+y2, Q=xy. 因为, ,所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解:(1)(x+y)(dx−dy)=dx+dy;解方程两边同时乘以得, 即d(x−y)=d ln(x+y),所以为原方程的一个积分因子,并且原方程的通解为x−y=ln(x+y)+C.(2)ydx−xdy+y2xdx=0;解方程两边同时乘以得, 即 ,所以为原方程的一个积分因子,并且原方程的通解为.(3)y2(x−3y)dx+(1−3y2x)dy=0;解原方程变形为xy2dx−3y3dx+dy−3x2dy=0,两边同时乘以并整理得, 即 ,所以为原方程的一个积分因子,并且原方程的通解为.(4)xdx+ydy=(x2+y2)dx;解方程两边同时乘以得, 即 ,所以为原方程的一个积分因子,并且原方程的通解为x2+y2=Ce2x.(5)(x−y2)dx+2xydy=0;解原方程变形为xdx−y2dx+2xydy=0,两边同时乘以得, 即 ,所以为原方程的一个积分因子,并且原方程的通解为, 即x ln x+y2=Cx.(6)2ydx−3xy2dx−xdy=0.解方程两边同时乘以x得2xydx−x2dy−3x2y2dx=0, 即yd(x2)−x2dy−3x2y2dx=0,再除以y2得, 即所以为原方程的一个积分因子,并且原方程的通解为.3. 验证是微分方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的积分因子,并求下列方程的通解:解方程两边乘以得,这里 ,.因为 ,所以是原方程的一个积分因子.(1)y(x2y2+2)dx+x(2−2x2y2)dy=0;解这里f(xy)=x2y2+2, g(xy)=2−2x2y2 , 所以是方程的一个积分因子.方程两边同乘以得全微分方程,其通解为,即, 或 .(2)y(2xy+1)dx+x(1+2xy−x3y3)dy=0.解这里f(x y)=2x y+1, g(x y)=1+2x y−x3y3 , 所以是方程的一个积分因子.方程两边同乘以得全微分方程,其通解为,即.4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy′+2y=4ln x;解原方程变为 ,其积分因子为,在方程的两边乘以x2得x2y′+2xy=4x ln x, 即(x2y)′=4x ln x,两边积分得,原方程的通解为 .(2)y′−tan x⋅y=x.解积分因子为,在方程的两边乘以cos x得cos x⋅y′−sin x⋅y =x cos x, 即(cos x⋅y)′=x cos x,两边积分得,方程的通解为 .习题12−61. 求下列各微分方程的通解:(1)y′′=x+sin x;解,, 原方程的通解为.(2)y′′′=xe x;解,,,原方程的通解为.(3);解,原方程的通解为.(4)y′′=1+y′2;解令p=y′, 则原方程化为p′=1+p2, 即 ,两边积分得arctan p=x+C1, 即y′=p=tan(x+C1),,原方程的通解为.(5)y′′=y′+x;解令p=y′, 则原方程化为p′−p=x,由一阶线性非齐次方程的通解公式得,即 y ′=C 1e x−x −1, 于是,原方程的通解为. (6)xy ′′+y ′=0;解令p =y ′, 则原方程化为 x p ′+p =0, 即 , 由一阶线性齐次方程的通解公式得,即,于是,原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 . (7)yy ′′+′=y ′2; 解令p =y ′, 则 , 原方程化为, 即,两边积分得, 即.当|y ′|=|p |>1时, 方程变为, 即 ,两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2, 即原方程的通解为.当|y ′|=|p |<1时, 方程变为, 即 ,两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2, 即原方程的通解为.(8)y 3y ′′−1=0; 解令p =y ′, 则 , 原方程化为, 即pdp =y −3dy ,两边积分得, 即p 2=−y −2+C 1,故, 即,两边积分得,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2. (9);解令p =y ′, 则, 原方程化为, 即 ,两边积分得, 即 ,故 , 即 ,两边积分得原方程的通.(10)y ′′=y ′3+y ′. 解令p =y ′, 则, 原方程化为, 即 . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解. 由得arctan p =y −C 1, 即y ′=p =tan(y −C 1), 从而,故原方程的通解为.2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y 3y ′′+1=0, y |x =1=1, y ′|x =1=0; 解令p =y ′, 则 , 原方程化为, 即,两边积分得, 即 .由y |x =1=1, y ′|x =1=0得C 1=−1, 从而 ,分离变量得, 两边积分得, 即.由y |x =1=1得C 2=−1, , 从而原方程的通解为.(2)y ′′−ay ′2=0, y |x =0=0, y ′|x =0=−1; 解令p =y ′, 则原方程化为, 即,两边积分得, 即 .由y ′|x =0=−1得C 1=1, , 两边积分得.由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为 .(3)y ′′′=e ax, y |x =1=y ′|x =1=y ′′|x =1=0; 解 . 由y ′′|x =1=0得 ..由y ′|x =1=0得 ..由y |x =1=0得 , 故所求特解为.(4)y ′′=e 2y, y |x =0=y ′|x =0=0; 解令p =y ′, 则, 原方程化为, 即pdp =e 2ydy ,积分得p 2=e 2y+C 1, 即.由y |x =0=y ′|x =0=0得C 1=−1, 故 , 从而,积分得−arcsin e −y=±x +C 2. 由y |x =0=0得, 故,从而所求特解为y =−lncos x . (5), y |x =0=1, y ′|x =0=2;解令p =y ′, 则 , 原方程化为, 即,两边积分得, 即.由y |x =0=1, y ′|x =0=2得C 1=0, , 从而,两边积分得, 即.由y |x =0=1得C 2=4, 故原方程的特解为 .(6)y ′′+y ′2=1, y |x =0=0, y ′|x =0=0. 解令p =y ′, 则, 原方程化为, 即 ,于是 ,即.由y |x =0=0, y ′|x =0=0得C 1=−1, .故,两边积分得.由y |x =0=0得C 2=0,,从而得原方程的特解y =lnch x .3. 试求y ′′=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线相切的积分曲线.解 ,.由题意得y |x =0=1, .由得, 再由y |x =0=1得C 2=1, 因此所求曲线为.4. 设有一质量为m 的物体, 在空中由静止开始下落, 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数, v 为物体运动的速度), 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.解以t =0对应的物体位置为原点, 垂直向下的直线为s 正轴, 建立坐标系. 由题设得. 将方程分离变量得,两边积分得(其中)由v |t =0=0得C 1=0, , 即.因为mg >c 2v 2, 故 , 即,或,分离变量并积分得.由s |t =0=0得C 2=0, 故所求函数关系为, 即 .习题12−71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ (1)x , x 2; 解因为不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的.(2)x , 2x ; 解因为 , 所以x , 2x 是线性相关的.(3)e 2x, 3e 2x ; 解因为 , 所以e 2x , 3e 2x是线性相关的.(4)e −x; e x ; 解因为不恒为常数, 所以e −x; e x是线性无关的.(5)cos2x , sin2x ; 解因为不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的.(6) , ;解因为不恒为常数, 所以, 是线性无关的.(7)sin2x , cos x ⋅sin x ; 解因为, 所以sin2x , cos x ⋅sin x 是线性相关的.(8)e xcos2x , e xsin2x ; 解因为不恒为常数, 所以e x cos2x , e xsin2x 是线性无关的.(9)ln x , x ln x ; 解因为不恒为常数, 所以ln x , x ln x 是线性无关的.(10)e ax, e bx(a ≠b ). 解因为不恒为常数, 所以e ax , e bx是线性无关的.2. 验证y 1=cos ωx 及y 2=sin ωx 都是方程y ′′+ω2y =0的解, 并写出该方程的通解. 解因为y 1′′+ω2y 1=−ω2cos ωx +ω2cos ωx =0, y 2′′+ω2y 2=−ω2sin ωx +ω2sin ωx =0, 并且不恒为常数, 所以y 1=cos ωx 与y 2=sin ωx 是方程的线性无关解, 从而方程的通解为y =C 1cos ωx +C 2sin ωx .提示: y 1′=−ω sin ωx , y 1′′=−ω2cos ωx ; y 2′=ω cos ωx , y 1′′=−ω2sin ωx .3. 验证及都是方程y ′′−4xy ′+(4x 2−2)y =0的解,并写出该方程的通解. 解因为 ,,并且不恒为常数, 所以与是方程的线性无关解,从而方程的通解为.提示: , ;, .4. 验证: (1)(C 1、C 2是任意常数)是方程y ′′−3y ′+2y =e 5x的通解;解令y 1=e x, y 2=e 2x,. 因为y 1′′−3y 1′+2y 1′=e x−3e x+2e x=0, y 2′′−3y 2′+2y 2′=4e 2x−3(2e 2x+2e 2x=0, 且不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程y ′′−3y ′+2y =0的线性无关解, 从而Y =C 1e x+C 2e 2x是齐次方程的通解. 又因为,所以y *是方程y ′′−3y ′+2y =e 5x的特解. 因此是方程y ′′−3y ′+2y =e 5x的通解.(2)(C 1、C 2是任意常数)是方程y ′′+9y =x cos x 的通解;解令y 1=cos3x , y 2=sin3x , . 因为y 1′′+9y 1=−9cos3x +9cos3x =0,y 2′′+9y 2=−9sin3x +9sin3x =0, 且不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程y ′′+9y =0的线性无关解, 从而Y =C 1e x+C 2e 2x是齐次方程的通解. 又因为,所以y *是方程y ′′+9y =x cos x 的特解.因此是方程y ′′+9y =x cos x 的通解.(3)y =C 1x 2+C 2x 2ln x (C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y ′′−3xy ′+4y =0 的通解;解令y 1=x 2, y 2=x 2ln x . 因为x 2y 1′′−3xy 1′+4y 1=x 2⋅2−3x ⋅2x +4⋅x 2=0,x 2y 2′′−3xy 2′+4y 2=x 2⋅(2ln x +3)−3x ⋅(2x ln x +x )+4⋅x 2ln x =0, 且不恒为常数, 所以y 1与y 2是方程x 2y ′′−3xy ′+4y =0的线性无关解, 从而y =C 1x 2+C 2x 2ln x 是方程的通解. (4)(C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y ′′−3xy ′−5y =x 2ln x 的通解;解令y 1=x 5,,. 因为x 2y 1′′−3xy 1′−5y 1=x 2⋅20x 3−3x ⋅5x 4−5⋅x 5=0, ,且不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程x 2y ′′−3xy ′−5y =0的线性无关解, 从而是齐次方程的通解.又因为,所以y *是方程x 2y ′′−3xy ′−5y =x 2ln x 的特解. 因此是方程x 2y ′′−3xy ′−5y =x 2ln x 的通解. (5)(C 1、C 2是任意常数)是方程xy ′′+2y ′−xy =e x的通解;解令 ,,. 因为,,且不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程xy ′′+2y ′−xy =0的线性无关解, 从而是齐次方程的通解.又因为,所以y *是方程xy ′′+2y ′−xy =e x的特解. 因此是方程xy ′′+2y ′−xy =e x的通解.(6)y =C 1e x+C 2e −x+C 3cos x +C 4sin x −x 2(C 1、C 2、C 3、C 4是任意常数)是方程y (4)−y =x 2的通解.解令y 1=e x, y 2=e −x, y 3=cos x , y 4=sin x , y *=−x 2. 因为 y 1(4)−y 1=e x−e x=0,y 2(4)−y 2=e −x −e −x=0, y 3(4)−y 3=cos x −cos x =0, y 4(4)−y 4=sin x −sin x =0, 并且,所以y 1=e x , y 2=e −x, y 3=cos x , y 4=sin x 是方程y (4)−y =0的线性无关解, 从而Y =C 1e x+C 2e −x+C 3cos x +C 4sin x 是方程的通解. 又因为y *(4)−y *=0−(−x 2)=x 2, 所以y *=−x 2是方程y (4)−y =x 2的特解.因此y =C 1e x+C 2e −x+C 3cos x +C 4sin x −x 2是方程y (4)−y =x 2的通解.提示:令k 1e x+k 2e −x +k 3cos x +k 4sin x =0, 则 k 1e x−k 2e −x−k 3sin x +k 4cos x =0, k 1e x+k 2e −x−k 3cos x −k 4sin x =0, k 1e x+k 2e −x+k 3sin x −k 4cos x =0.上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为,所以方程组只有零解, 即y 1=e x , y 2=e −x, y 3=cos x , y 4=sin x 线性无关.习题12−81. 求下列微分方程的通解: (1)y ′′+y ′−2y =0;解微分方程的特征方程为 r 2+r −2=0, 即(r +2)(r −1)=0,其根为r 1=1, r 2=−2, 故微分方程的通解为y=C1e x+C2e−2x.(2)y′′−4y′=0;解微分方程的特征方程为r2−4r=0, 即r(r−4)=0,其根为r1=0, r2=4, 故微分方程的通解为y=C1+C2e4x.(3)y′′+y=0;解微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r1=i, r2=−i, 故微分方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.(4)y′′+6y′+13y=0;解微分方程的特征方程为r2+6r+13=0,其根为r1=−3−2i, r2=−3+2i, 故微分方程的通解为y=e−3x(C1cos2x+C2sin2x).(5);解微分方程的特征方程为4r2−20r+25=0, 即(2x−5)2=0,其根为 ,故微分方程的通解为, 即 .(6)y′′−4y′+5y=0;解微分方程的特征方程为r2−4r+5=0,其根为r1=2−i, r2=2+i, 故微分方程的通解为y=e2x(C1cos x+C2sin x).(7)y(4)−y=0;解微分方程的特征方程为r4−1=0, 即(r−1)(r+1)(r2+1)=0其根为r1=1, r2=−1, r1=−i, r2=i, 故微分方程的通解为y=C1e x+C2e−x+C3cos x+C4sin x.(8)y(4)+2y′′+y=0;解微分方程的特征方程为r4+r2+1=0, 即(r2+1)2=0,其根为r1=r2=−i, r3=r4=i, 故微分方程的通解为y=(C1+C2x)cos x+(C3+C4x)sin x.(9)y(4)−2y′′′+y′′=0;解微分方程的特征方程为r4−2r3+r2=0, 即r2(r−1)2=0,其根为r1=r2=0, r3=r4=1, 故微分方程的通解为y=C1+C2x+C3e x+C4xe x.(10)y(4)+5y′′−36=0.解微分方程的特征方程为r4+5r2−36=0,其根为r1=2, r2=−2, r3=3i, r4=−3i, 故微分方程的通解为y=C1e2x+C2e−2x+ C3cos3x+C4sin3x.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y′′−4y′+3y=0, y|x=0=6, y′|x=0=10;解微分方程的特征方程为r2−4r+3=0, 即(r−1)(r−3)=0,其根为r1=1, r2=3, 故微分方程的通解为y=C1e x+C2e3x.由y|x=0=6, y′|x=0=10, 得,解之得C1=4, C2=2. 因此所求特解为y=4e x+2e3x.(2)4y′′+4y′+y=0, y|x=0=2, y′|x=0=0;解微分方程的特征方程为4r 2+4r +1=0, 即(2r +1)2=0,其根为, 故微分方程的通解为. 由y |x =0=2, y ′|x =0=0, 得,解之得C 1=2, C 2=1. 因此所求特解为 .(3)y ′′−3y ′−4y =0, y |x =0=0, y ′|x =0=−5; 解微分方程的特征方程为 r 2−3r −4=0, 即(r −4)(r +1)=0, 其根为r 1=−1, r 2=4, 故微分方程的通解为 y =C 1e −x+C 2e 4x. 由y |x =0=0, y ′|x =0=−5, 得,解之得C 1=1, C 2=−1. 因此所求特解为 y =e −x−e 4x .(4)y ′′+4y ′+29y =0, y |x =0=0, y ′|x =0=15; 解微分方程的特征方程为 r 2+4r +29=0, 其根为r 1, 2=−2±5i , 故微分方程的通解为 y =e −2x (C 1cos5x +C 2sin5x ).由y |x =0=0, 得C 1=0, y =C 2e−2xsin5x .由y ′|x =0=15, 得C 2=3.因此所求特解为y =3e −2xsin5x . (5)y ′′+25y =0, y |x =0=2, y ′|x =0=5; 解微分方程的特征方程为r2+25=0,其根为r1, 2=±5i, 故微分方程的通解为y=C1cos5x+C2sin5x.由y|x=0=2, 得C1=2, y=2cos5x+C2sin5x.由y′|x=0=5, 得C2=1.因此所求特解为y=2cos5x+sin5x.(6)y′′−4y′+13y=0, y|x=0=0, y′|x=0=3.解微分方程的特征方程为r2−4r+13=0,其根为r1, 2=2±3i, 故微分方程的通解为y=e2x(C1cos3x+C2sin3x).由y|x=0=0, 得C1=0, y=C2e2x sin3x.由y′|x=0=3, 得C2=1.因此所求特解为y=e2x sin3x.3. 一个单位质量的质点在数轴上运动,开始时质点在原点O处且速度为v, 在运动过程中,它受到一个力的作用,这个力的大小与质点到原点的距离成正比(比例系数k1>0)而方向与初速一至.又介质的阻力与速度成正比(比例系数k2>0). 求反映这质点的运动规律的函数.解设数轴为x轴,v方向为正轴方向.由题意得微分方程x′′=k1x−k2x′, 即x′′+k2x′−k1x=0,其初始条件为x|t=0=0, x′|t=0=v.微分方程的特征方程为r2+k2r−k1=0,其根为 , ,故微分方程的通解为由x |t =0=0, x ′|t =0=v 0, 得, 解之得因此质点的运动规律为4. 在如图所示的电路中先将开关K 拨向A , 达到稳定状态后再将开关K 拨向B , 求电压u c (t )及电流i (t ). 已知E =20V, C =0.5×10−6F(法), L =0.1H(亨), R =2000Ω. 解由回路电压定律得.由于q =Cu c , 故 , , 所以, 即 .已知,, 故. 微分方程的特征方程为,其根为r 1=−1.9×104, r 2=−103, 故微分方程的通解为 .由初始条件t =0时, u c =20, u c ′=0可得,。

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