专题、角(热考点分类)
人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答案
人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答案名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．两个概念概念1：全等形1．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：A与________对应；B与________对应；C与________对应；D与________对应．(第1题) 概念2：全等三角形2．如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．(第2题)3．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关系？为什么？(第3题)两个性质性质1：全等三角形的性质4．【·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由．(第4题)性质2：角平分线的性质5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝BC＋FC.(第5题)判定1：全等三角形的判定6．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)已知DE＝35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)．判定2：角平分线的判定7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)猜想写出AB＋AC与AE之间的数量关系并给予证明．(第7题)四个技巧技巧1：构造全等三角形法8．如图∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.(第8题)9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC＝∠DCB.(第9题)技巧2：构造角平分线法10．【中考·黄冈】已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.(第10题)技巧3：截长(补短)法11．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC ＝AB＋CD.(第11题)技巧4：倍长中线法12．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.(第12题)两种思想思想1：建模思想13．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做法的正确性．思想2：转化思想14．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？(第14题)答案1．M ；N ；Q ；P2．解：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD 是对应边；∠B 与∠C ，∠2与∠1，∠BAE 与∠CAD 是对应角．3．解：AD ⊥BC. 理由略． 4．解：(1)完成作图，如图所示．(第4题)证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°.∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB. ∴CD ＝EB ，即BE ＝CD. (2)BE ＝CD.理由如下：∵四边形ABFD 和四边形ACGE 都是正方形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB. ∴CD ＝EB ，即BE ＝CD.5．证明：如图，过点E 作EG ⊥AF ，垂足为点G.连接EF. ∵∠BAE ＝∠EAF ，∴AE 为∠BAF 的平分线． 又∵EB ⊥AB ，EG ⊥AF ，∴EB ＝EG.在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝EG ，AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AGE(HL )，∴AB ＝AG . ∵在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BC ＝AG.又∵点E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ＝EG .在Rt △EGF 和Rt △ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EG ＝EC ，EF ＝EF ，∴Rt △EGF ≌Rt △ECF(HL )． ∴GF ＝CF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BC ＋FC.(第5题)6．(1)证明：由题意得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°.∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD.在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ，∠CAD ＝∠BCE ，AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CEB(AAS )．(2)解：由题意得AD ＝4a ，BE ＝3a.由(1)知△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，CE ＝AD ＝4a ，∴DE ＝DC ＋CE ＝7a.∵DE ＝35 cm ，∴a ＝5 cm .答：砖块的厚度a 为5 cm .7．(1)证明：∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠E ＝∠AFD ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，BE ＝CF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC.(2)解：AB ＋AC ＝2AE.证明如下：由(1)可知AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD.在△AED 与△AFD 中，∵∠EAD ＝∠CAD ，∠E ＝∠AFD ＝90°，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴AE ＝AF.又∵BE ＝CF ，∴AB ＋AC ＝AE －BE ＋AF ＋CF ＝AE ＋AE ＝2AE.8．证明：过点B ，C 分别作CA ，BA 延长线的垂线，垂足分别为F ，G. 在△ABF 和△ACG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BFA ＝∠CGA ＝90°，∠FAB ＝∠GAC ，AB ＝AC ，∴△ABF ≌△ACG(AAS )． ∴BF ＝CG.在Rt △BEF 和Rt △CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CG ，BE ＝CD ， ∴Rt △BEF ≌Rt △CDG(HL )．∴∠AEB ＝∠ADC.点拨：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．证明：分别取AD ，BC 的中点N ，M ，连接BN ，CN ，MN ，则有AN ＝ND ，BM ＝MC.在△ABN 和△DCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝DN ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，∴△ABN ≌△DCN(SAS )． ∴∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC. 在△NBM 和△NCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧NB ＝NC ，BM ＝CM ，NM ＝NM ，∴△NBM ≌△NCM(SSS )． ∴∠NBC ＝∠NCB.∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN ， 即∠ABC ＝∠DCB.点拨：证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD ，BC 的中点就是把中点作为了已知条件．分散证明，也是几何证明中的一种常用技巧．10．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD 是∠EAF 的平分线． ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.11．证明：(方法一——截长法)如图①，在BC 上取一点F ，使BF ＝BA.连接EF ，∵CE ，BE 分别平分∠BCD ，∠CBA ，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. 在△ABE 和△FBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BF ，∠1＝∠2，BE ＝BE.∴△ABE ≌△FBE(SAS )． ∴∠A ＝∠5.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D. 在△EFC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠6＝∠D ，∠3＝∠4，EC ＝EC ，∴△EFC ≌△EDC(AAS )，∴FC ＝DC ，∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.(方法二——补短法)如图②，延长BA 至点F ，使BF ＝BC ，连接EF ，∵CE ，BE 分别平分∠BCD ，∠CBA ，∴∠1＝∠2＝12∠ABC ，∠3＝∠4＝12∠BCD. 在△BEF 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BC ，∠1＝∠2，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(SAS )．∴EF ＝EC ，∠F ＝∠3＝∠4.∵AB ∥CD ，∴∠7＝∠D.在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠7＝∠D ，∠F ＝∠4，EF ＝EC.∴△AEF ≌△DEC(AAS )，∴AF ＝CD.∵BC ＝BF ＝AB ＋AF ，∴BC ＝AB ＋CD.(第11题)12．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE. ∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS )．∴∠EBF ＝∠EAC ，BF ＝AC.过点A 作AG ⊥BC 于点G ，则∠AGC ＝∠AGB ＝90°.∵∠ABC ＝∠ACB ，AG ＝AG ，∴△AGC ≌△AGB.∴AC ＝AB.又∵∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠BAC ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF. ∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS )．∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.(第12题)13．证明：由做法知：在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA )．∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．14．解：连接BF ，EF.∵点F 是CD 的中点，∴CF ＝DF.在△BCF 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠C ＝∠D ，CF ＝DF ，∴△BCF ≌△EDF(SAS )．∴BF ＝EF.在△ABF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，BF ＝EF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△AEF(SSS )．∴∠BAF ＝∠EAF.∴AF 平分∠BAE.。
专题15三角形及全等三角形-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【解析版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题15三角形及全等三角形一．选择题（共16小题）1．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边【分析】根据两点确定一条直线判断即可．【解析】这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系、两点之间，线段最短、两点确定一条直线、垂线段最短，正确理解它们在实际生活中的应用是解题的关键．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．【解析】在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．3．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．【解析】∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答是解题的关键．4．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A．1B．2C．7D．8【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可得出结论．【解析】∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范围为：2＜d＜8，∴则d可能是7．故选：C．【点评】本题主要考查了组成凸五边形的条件，利用两点之间线段最短得到d的取值范围是解题的关键．5．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解析】根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．6．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解析】设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n﹣2）•180°是解题的关键．7．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解析】A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．8．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解析】∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．9．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解析】∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．10．（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．5，5，10【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解析】A.3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B.5+6＝11，不能组成三角形，不符合题意；C.5+6＞10，能组成三角形，符合题意；D.5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．11．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．70°【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．【解析】如图所示，∵直线a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．12．（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解析】当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设李锐两家的直线距离为x，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为3km，故选：A．【点评】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO 的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．【解析】在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和△DOC全等的证明过程．15．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F 与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．16．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解析】∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．二．填空题（共6小题）17．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为11．【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意可得：，解得：n＝11，故答案为：11．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．18．（2022•江西）正五边形的外角和为360度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．【解析】正五边形的外角和为360度，故答案为：360．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．19．（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝48度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．【点评】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．20．（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为135°．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【解析】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）．21．（2022•孝感）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件∠A＝∠D，使△ABC≌△DEF．【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF．【解析】添加条件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝15度．【分析】根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°，故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．三．解答题（共4小题）23．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD ＝CF．【分析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF，∴AC﹣DC＝DF﹣DC，即：AD＝CF．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，准确利用全等三角形的判定定理解答是解题的关键．24．（2022•陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．26．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB＝BC，∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE．（ASA）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题20 简单的三角恒等变换(解析版)
专题二十 简洁的三角恒等变换【高频考点解读】1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4的值．(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×－341＋－34＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．【热点题型】题型二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角， ∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【举一反三】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．【热点题型】题型三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要留意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小肯定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来推断角的大小时，肯定要留意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由3a ＝2c sin A ，依据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3.【热点题型】题型四 解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，精确 理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观看点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. ∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h. 【高考风向标】1．（2022·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．2．（2022·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)由于0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.4．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)由于函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.5．（2022·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)由于f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 6．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-27．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】23 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.8．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．9．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．（2021·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．11．（2021·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cos Acos B＝3 25，cos（α＋A）cos（α＋B）cos2α＝25，求tan α的值．【解析】(1)由于a2＋b2＋2ab＝c2，所以由余弦定理有cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.故C＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B）cos2α＝25，12．（2021·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1【随堂巩固】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2B ．－1－a2C.1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38.答案：388．sin 2B1＋cos 2B －sin 2B ＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3.∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是其次象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)由于f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z时，函数f (x )取得最大值1.。
八年级上册第一章三角形整章复习知识点和对应练习
T ——三角形一、知识梳理：专题一：三角形有关的线段；专题二：三角形有关的角；专题三：多边形及其内角和.二、考点分类专题一：三角形有关的线段考点一：三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2.三角形分类：（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【例1】【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cm ；B ．5cm ，6cm ，10cm ；C ．1cm ，1cm ，3cm ；D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11 ；B ．4＜x ＜7 ；C ．－3＜x ＜11 ；D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．考点二：三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．【例2】探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解：过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．① ② ③ ④ 探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长如图②在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图③，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图④，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．解析：根据AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，得出∠BAD ＝30°，再利用CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．考点三：三角形的稳定性【例3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n 边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n 边形的一个顶点可以作(n －3)条对角线，把多边形分成(n －2)个三角形，所以，要使一个n 边形木架不变形，至少需要(n －3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．专题二：三角形有关的角考点四：三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余【例4】探究点一：三角形的内角和【类型一】 求三角形内角的度数已知，如图①，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，若∠A ＝46°，∠D ＝50°.求∠ACB 的度数．① ② 解析：在Rt △DFB 中，根据三角形内角和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用如图②，在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C ＋∠DBC ＝∠F ＋∠DEF ，然后求解即可．解：∵CE ⊥AF ，∴∠DEF ＝90°，∴∠EDF ＝90°－∠F ＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C ＋∠DBC ＋∠CDB ＝∠F ＋∠DEF ＋∠EDF ，∴30°＋∠DBC ＝40°＋90°，∴∠DBC ＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．考点五：三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．【例5】探究点：三角形的外角【类型一】 应用三角形的外角求角的度数如图所示，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A .考点六：多边形及其内角和多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形． 多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n. 【例6】探究点一：多边形的概念【类型一】 多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D 的图形不是凸多边形．故选D. 方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A. 方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C. 方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．。
2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形
2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形一．解答题（共60小题）1．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．2．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．4．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）5．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）6．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）7．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．8．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）9．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）10．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？11．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）12．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）13．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）14．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．15．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．16．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE 的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．17．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．18．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）21．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．22．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C 的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）23．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）24．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）25．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）26．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）27．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）28．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．29．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）30．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）31．阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，＝＝，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．解：在△ABC中，∵＝∴b＝＝＝＝3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？32．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．33．如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°．若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）34．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）35．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．36．我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B＝30米，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC＝30°，B1B＝AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）37．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．38．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠P AB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）39．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）40．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）41．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．42．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．43．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）44．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．45．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．46．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）47．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）48．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）49．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．50．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）51．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB 的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）52．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）53．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA ＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）54．已知如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．55．如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m 的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）56．求下列各式的值：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．57．计算：．58．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）59．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．60．计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°。
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
历年高考数学真题精选29 直线与平面所成的角
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题29 直线与平面所成的角（学生版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离．2．（2019•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点． （Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．4．（2018•天津）如图，在四面体ABCD中，ABC∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，2AB=，23AD=，90∠=︒．BAD（Ⅰ）求证：AD BC⊥；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．5．（2018•天津）如图，//=，//CD FGEG AD且EG ADAD BC⊥，//AD BC且2=，AD CD且2===．DA DC DG=，DG⊥平面ABCD，2CD FG（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：//MN平面CDE；（Ⅱ）求二面角E BC F--的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60︒，求线段DP的长．6．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．8．（2017•上海）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5． （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．10．（2017•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，//AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．11．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．13．（2016•天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．14．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，17BB =E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ； （Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ； （Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题29 直线与平面所成的角（教师版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离．解：（1）依题意：1AA ⊥平面ABCD ，连接AC ，则1A C 与平面ABCD 所成夹角为1ACA ∠，15AA =Q ，22345AC =+=，∴△1ACA 为等腰三角形， 14ACA π∴∠=，∴直线1A C 和平面ABCD 的夹角为4π， （2）（空间向量），如图建立坐标系，则(0A ，0，0)，(3C ，4，0)，1(0A ，0，5)，(3M ，0，2)， ∴(3AC =u u u r ，4，0)，1(3A C =u u u u r ，4，5)-，(0MC =u u u u r，4．2)-，设平面1A MC 的法向量(n x =r，y ，)z ，由3450420n AC x y z n MC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，可得(2n =r ，1，2)， ∴点A 到平面1A MC 的距离222||10||3212AC n d n ===++u u u r rg r ． 2．（2019•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =， 又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/Q 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ．（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ， 依题意得DN PC ⊥，又Q 平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥， 又PA CD ⊥，CD DN D =I ，PA ∴⊥平面PCD ．解：（Ⅲ）连结AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ， 知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，PCD ∆Q 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN DA ∠==． ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点． （Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．方法一：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ， 平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥， 1//A F AB Q ，90ABC ∠=︒，1BC A F ∴⊥，BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥．解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形， 由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ， 则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角）， 不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，123A E =，3EG =， O Q 是1A G 的中点，故1152AG EO OG ===2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为35．方法二：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ， 平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，如图，以E 为原点，在平面ABC 中，过E 作AC 的垂线为x 轴， EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设4AC =，则1(0A ，0，，B，1B，32F ，(0C ，2，0)，32EF =u u u r，(BC =u u u r ，由0EF BC =u u u r u u u rg ，得EF BC ⊥．解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，由（Ⅰ）得(BC =u u u r ，1(0A C =u u u u r，2，-，设平面1A BC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则100BC n y AC n y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u u r rg ，取1x =，得n =r ， ||4sin 5||||EF n EF n θ∴==u u u r rg u u u r r g ， ∴直线EF 与平面1A BC35=．4．（2018•天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，23AD =，90BAD ∠=︒． （Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M Q 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故2213DM AD AM =+，AD ⊥Q 平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故2213DN AD AN =+在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得1132cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD 13（Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆Q 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，3CM =，又Q 平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角． 在Rt CAD ∆中，224CD AC AD =+=， 在Rt CMD ∆中，3sin CM CDM CD ∠==． ∴直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为3．5．（2018•天津）如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．（Ⅰ）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA u u u r 、DC u u u r 、DG u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0C ，2，0)， (2E ，0，2)，(0F ，1，2)，(0G ，0，2)，(0M ，32，1)，(1N ，0，2)．设0(,,)n x y z =u u r为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u rg u u r u u u r g ，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)n =-u u r ； 又3(1,,1)2MN =-u u u u r ，可得00MN n =u u u u r u u r g ．又Q 直线MN ⊂/平面CDE ， //MN ∴平面CDE ；（Ⅱ）解：依题意，可得(1,0,0)BC =-u u u r ，(1,2,2)BE =-u u u r ，(0,1,2)CF =-u u u r．设(,,)n x y z =r为平面BCE 的法向量，则0220n BC x n BE x y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，不妨令1z =，可得(0,1,1)n =r ． 设(,,)m x y z =r为平面BCF 的法向量，则020m BC x m CF y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，不妨令1z =，可得(0,2,1)m =r ．因此有cos ,||||m n m n m n <>==r rg r r r r gsin ,m n <>=r r．∴二面角E BC F --； （Ⅲ）解：设线段DP 的长为h ，([0,2])h ∈，则点P 的坐标为(0，0，)h ， 可得(1,2,)BP h =--u u u r ，而(0,2,0)DC =u u u r为平面ADGE 的一个法向量，故|||cos ,|||||BP CD BP DC BP DC <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r gsin 60=︒=，解得[0h ，2]． ∴线段DP．6．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．()I 证明：1A A ⊥Q 平面ABC ，1B B ⊥平面ABC ， 11//AA BB ∴，14AA =Q ，12BB =，2AB =，221111()()22A B AB AA BB ∴+-，又221122AB AB BB +2221111AA AB A B ∴=+， 111AB A B ∴⊥，同理可得：111AB B C ⊥， 又11111A B B C B =I ， 1AB ∴⊥平面111A B C ．()II 解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交11A C 于D ， AB BC =Q ，OB OC ∴⊥，2AB BC ==Q ，120BAC ∠=︒，1OB ∴=，3OA OC ==，以O 为原点，以OB，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则(0A ，3-，0)，(1B ，0，0)，1(1B ，0，2)，1(0C ，3，1)， ∴(1AB =u u u r ，3，0)，1(0BB =u u u r ，0，2)，1(0AC =u u u u r，23，1)，设平面1ABB 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则100n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，∴3020x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =可得(3n =-r ，1，0)， 1112339cos ,||||213n AC n AC n AC ∴<>===⨯u u u u r r u u u ur g r u u u u r r ．设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则139sin |cos ,|n AC θ=<>=u u u ur r ．∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值为39．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（1）证明：由题意，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点， 则12AE AD =，12BF BC =， 由于四边形ABCD 为正方形，所以EF BC ⊥． 由于PF BF ⊥，EF PF F =I ，则BF ⊥平面PEF ． 又因为BF ⊂平面ABFD ，所以：平面PEF ⊥平面ABFD ． （2）在平面PEF 中，过P 作PH EF ⊥于点H ，连接DH ， 由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH EF ⊥， 则PH ⊥面ABFD ，故PH DH ⊥．在三棱锥P DEF -中，可以利用等体积法求PH ， 因为//DE BF 且PF BF ⊥， 所以PF DE ⊥， 又因为PDF CDF ∆≅∆， 所以90FPD FCD ∠=∠=︒， 所以PF PD ⊥，由于DE PD D =I ，则PF ⊥平面PDE ， 故13F PDE PDE V PF S -∆=g ，因为//BF DA 且BF ⊥面PEF ， 所以DA ⊥面PEF ， 所以DE EP ⊥．设正方形边长为2a ，则2PD a =，DE a = 在PDE ∆中，3PE a ， 所以23PDE S ∆，故33F PDE V a -=， 又因为2122DEF S a a a ∆==g ，所以233F PDE V PH a a -==， 所以在PHD ∆中，3sin PH PDH PD ∠==， 即PDH ∠为DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为：3．8．（2017•上海）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5． （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．∴三棱柱111ABC A B C -的体积：1ABC V S AA ∆=⨯112AB AC AA =⨯⨯⨯ 1425202=⨯⨯⨯=． （2）连结AM ，Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5，M 是BC 中点， 1AA ∴⊥底面ABC ，11164522AM BC ==+=， 1A MA ∴∠是直线1A M 与平面ABC 所成角，11tan 55AA A MA AM ∠===， ∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连结EF ，CF ，E Q 为PD 的中点，//EF PA ∴，在四边形ABCD 中，//BC AD ，22AD DC CB ==，F 为中点， //CF AB ∴，∴平面//EFC 平面ABP ， EC ⊂Q 平面EFC ， //EC ∴平面PAB ．解：（Ⅱ）连结BF ，过F 作FM PB ⊥于M ，连结PF ，PA PD =Q ，PF AD ∴⊥，推导出四边形BCDF 为矩形，BF AD ∴⊥，AD ∴⊥平面PBF ，又//AD BC ，BC ∴⊥平面PBF ，BC PB ∴⊥，设1DC CB ==，由22PC AD DC CB ===，得2AD PC ==，22413PB PC BC ∴=-=-=，1BF PF ==，12MF ∴=， 又BC ⊥平面PBF ，BC MF ∴⊥，MF ∴⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12， 12MF =Q ，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， E ∴到平面PBC 的距离为14， 在,2,1,2PCD PC CD PD ∆===中， 由余弦定理得2CE =，设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则124sin CE θ==．10．（2017•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，//AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知//AD BC ， 故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥．在Rt PDA ∆中，由已知，得225AP AD PD += 故5cos AD DAP AP ∠==． 所以，异面直线AP 与BC 5． 证明：（Ⅱ）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ， 所以AD PD ⊥．又因为//BC AD ，所以PD BC ⊥， 又PD PB ⊥，所以PD ⊥平面PBC ．解：（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ， 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角． 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角． 由于//AD BC ，//DF AB ，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=．又AD DC ⊥，故BC DC ⊥， 在Rt DPF ∆中，可得5sin PD DFP DF ∠==． 所以，直线AB 与平面PBC 5．11．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示：Q 平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥；AC ∴⊥平面BCK ，BF ⊂平面BCK ； BF AC ∴⊥；又//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =； BCK ∴∆为等边三角形，且F 为CK 的中点； BF CK ∴⊥，且AC CK C =I ；BF ∴⊥平面ACFD ；（Ⅱ）BF ⊥Q 平面ACFD ；BDF ∴∠是直线BD 和平面ACFD 所成的角； F Q 为CK 中点，且//DF AC ； DF ∴为ACK ∆的中位线，且3AC =；∴32DF =； 又3BF =∴在Rt BFD ∆中，92134BD =+=，3212cos 21DF BDF BD ∠===； 即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为2112．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， N Q 为PC 的中点， //NG BC ∴，且12NG BC =， 又223AM AD ==，4BC =，且//AD BC ， //AM BC ∴，且12AM BC =， 则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，则//NM AG ，AG ⊂Q 平面PAB ，NM ⊂/平面PAB ，//MN ∴平面PAB ；法二、在PAC ∆中，过N 作NE AC ⊥，垂足为E ，连接ME ，在ABC ∆中，由已知3AB AC ==，4BC =，得2224332cos 2433ACB +-∠==⨯⨯，//AD BC Q ， 2cos 3EAM ∴∠=，则sin EAM ∠=，在EAM ∆中， 223AM AD ==Q ，1322AE AC ==，由余弦定理得：32EM ==， 2233()()4122cos 339222AEM +-∴∠==⨯⨯，而在ABC ∆中，2223341cos 2339BAC +-∠==⨯⨯，cos cos AEM BAC ∴∠=∠，即AEM BAC ∠=∠， //AB EM ∴，则//EM 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA AC ⊥，又NE AC ⊥， //NE PA ∴，则//NE 平面PAB ． NE EM E =Q I ，∴平面//NEM 平面PAB ，则//MN 平面PAB ；（2）解：在AMC ∆中，由2AM =，3AC =，2cos 3MAC ∠=，得22222cos 9423253CM AC AM AC AM MAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=g g ． 222AM MC AC ∴+=，则AM MC ⊥，PA ⊥Q 底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ⋂平面PAD AD =，CM ∴⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连接NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt PAC ∆中，由N 是PC的中点，得1522AN PC ==，在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =g g ，得224245542PA AM AF PM ⨯===+g ，45855sin 5252AF ANF AN ∴∠===．∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525．13．（2016•天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD 的中点为O ，连接OE ，OG ，在BCD ∆中， G Q 是BC 的中点，//OG DC ∴，且112OG DC ==， 又//EF AB Q ，//AB DC ， //EF OG ∴，且EF OG =，即四边形OGEF 是平行四边形，//FG OE ∴，FG ⊂/Q 平面BED ，OE ⊂平面BED ，//FG ∴平面BED ；（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=︒，由余弦定理可得BD =90ADB ∠=︒， 即BD AD ⊥，又Q 平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED ⋂平面ABCD AD =， BD ∴⊥平面AED ， BD ⊂Q 平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED ．（Ⅲ）//EF AB Q ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ， 又平面BED ⋂平面AED ED =， 由（2）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，sin ADE ∴∠=，AH AD ∴=，在Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==，∴直线EF 与平面BED14．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ； （Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ； （Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接1A B ，在△1A BC 中，E Q 和F 分别是BC 和1A C 的中点，1//EF A B ∴，又1A B ⊂Q 平面11A B BA ，EF ⊂/平面11A B BA ， //EF ∴平面11A B BA ；（Ⅱ）证明：AB AC =Q ，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥， 1AA ⊥Q 平面ABC ，11//BB AA ，1BB ∴⊥平面ABC ，1BB AE ∴⊥，又1BC BB B =Q I ，AE ∴⊥平面1BCB ，又AE ⊂Q 平面1AEA ，∴平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ， N Q 和E 分别为1B C 和BC 的中点，NE ∴平行且等于112B B ，NE ∴平行且等于1A A ，∴四边形1A AEN 是平行四边形， 1A N ∴平行且等于AE ，又AE ⊥Q 平面1BCB ，1A N ∴⊥平面1BCB ， 11A B N ∴∠即为直线11A B 与平面1BCB 所成角，在ABC ∆中，可得2AE =，12A N AE ∴==， 1//BM AA Q ，1BM AA =，1//A M AB ∴且1A M AB =，又由1AB BB ⊥，11A M BB ∴⊥，在RT △11A MB 中，2211114A B B M A M =+=， 在RT △11A NB 中，111111sin 2A N AB N A B ∠==， 1130A B N ∴∠=︒，即直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小为30︒15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH 如图： （2）作EM AB ⊥，垂足为M ，则： 10EH EF BC ===，18EM AA ==；∴226MHEH EM =-=，10AH ∴=；以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A ，0，0)，(10H ，10，0)，(10E ，4，8)，(0F ，4，8)； ∴(10,0,0),(0,6,8)EF EH =-=-u u u r u u u r；设(,,)n x y z =r为平面EFGH 的法向量，则： 100680n EF x n EH y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取3z =，则(0,4,3)n =r ； 若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：45sin |cos ,|1805AF n θ=<>==u u u r r g ； ∴直线AF 与平面α所成角的正弦值为45．。
2020中考物理热学重点：热量计算分类解析
热量计算分类解析热量的计算因为其考点的难度较小，所以在中考中很少单独考查，一般情况下都放在热机效率这一知识中，和机械能进行综合考查。
关于热量计算的考查，主要分为如下三类：第一类只涉及比热容公式Q＝cmΔt及其变形公式的相关计算；第二类是涉及比热容公式Q＝cmΔt和热值公式Q＝mq或Q＝Vq的结合计算，在这类计算中往往涉及燃料燃烧后能量的利用效率问题；第三类是热平衡问题的计算，这类问题中也往往涉及热量的利用效率问题。
第二类和第三类问题可以用一个式子综合分析，即Q吸＝ηQ放。
类型一基本公式应用型本类型主要用吸、放热公式Q＝cmΔt及其变形公式进行解题，使用公式时要正确理解“升高了”“升高到”的区别，从而能准确使用温度变化量Δt。
例1早晨，小华为奶奶整理床铺时，将装有1 kg水的热水袋取出，发现水的温度已从昨天晚上的90℃降低到20℃，则热水放出的热量为____________ [c＝4.2×103 J/(kg·℃)]。
水[解析] 热水放出的热量：Q＝cm(t－t0)＝4.2×103J/(kg·℃)×1 kg×(90℃－20℃)＝2.94×105J。
例2“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，同等条件下，“可燃冰”完全燃烧放出的热量达到煤气的数十倍，说明“可燃冰”的________很大。
以10倍的关系粗略计算，1 kg“可燃冰”完全燃烧放出的热量为________J，可以使________kg的水从20℃加热至60℃。
[c＝4.2×103 J/(kg·℃)，q煤气＝4.2×107 J/kg]答案：热值，4.2×108，2500类型二能量转移型内能的转移即发生了热传递，高温物体的部分内能转移给低温物体。
解答这类问题时要注意三点：①要分清吸热物体和放热物体；②要认清混合温度的含义，混合温度既是吸热物体的末温，也是放热物体的末温；③要注明公式中各物理量的角标。
高考数学复习考点题型专题讲解3 三角中的最值、范围问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题3 三角中的最值、范围问题高考定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.1.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π 答案 A解析法一f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π， 得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 法二 因为f (x )＝cos x －sin x ， 所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立， 即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4， 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 2.(2022·全国甲卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，196 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，196答案 C解析 由题意可得ω>0，故由x ∈(0，π)，得ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，πω＋π3.根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2<πω＋π3≤7π2，得136<ω≤196. 根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋π3≤3π，得53<ω≤83.综上，ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83.3.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________. 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <90°， 所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°， 所以0<tan A <33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A＝sin 120°cos A －cos 120°sin Asin A＝32tan A ＋12>2， 故ca的取值范围为(2，＋∞).4.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2＋b 2c2的最小值.解 (1)因为cos A 1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B ，所以cos A 1＋sin A ＝2sin B cos B1＋2cos 2B －1，所以cos A 1＋sin A ＝sin Bcos B，所以cos A cos B ＝sin B ＋sin A sin B ， 所以cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin B ＝－cos C ＝－cos2π3＝12. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＝π6.(2)由(1)得cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（A ＋B ）＝sin B ，且0<A ＋B <π2，所以0<B <π2，0<π2－(A ＋B )<π2，所以π2－(A ＋B )＝B ，解得A ＝π2－2B ，由正弦定理得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C＝sin 2A ＋sin 2B 1－cos 2C ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2B ＋sin 2B 1－sin 2B＝cos 22B ＋sin 2B cos 2B ＝（2cos 2B －1）2＋1－cos 2B cos 2B＝4cos 4B －5cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B ＋2cos 2B －5≥24cos 2B ·2cos 2B －5＝42－5，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 所以a 2＋b 2c2的最小值为42－5.热点一 三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.例1(2022·宁波调研)已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝2sin π6＝1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以，当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取到最大值2； 当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取到最小值－ 3.易错提醒 求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx ＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.训练1(2022·潍坊质检)在①函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，②函数y ＝f (x ) 的图象关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，③函数y ＝f (x )的图象经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且________，判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由.解f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)， 由已知函数f (x )的周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ). 若选①，则有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选②，则有2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π3(k ∈Z ). 又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选③，则有2×2π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－11π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，显然，函数f (x )在该区间上没有最大值. 热点二 与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1 由最值(或值域)求参数的范围例2 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72答案 B解析 因为ω>0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.故选B.考向2 由单调性求参数的范围例3 已知f (x )＝sin(2x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，那么φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π3答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x －φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，2π3－φ， 又由0<φ<π2，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8时，2x －φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－φ，7π4－φ， 由f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，可得7π4－φ>3π2，则φ<π4.综上，π6≤φ<π4.故选B.考向3 由函数的零点求参数的范围例4 已知a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，sin ωx ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，12，其中ω>0，若函数f (x )＝a·b －12在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤58，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58答案 D 解析f (x )＝sin 2ω2x ＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4.由函数f (x )在区间(π，2π)上没有零点，知其最小正周期T ≥2π， 即2πω≥2π，所以ω≤1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥k π，2ωπ－π4≤（k ＋1）π(k ∈Z )，解得k ＋14≤ω≤k 2＋58(k ∈Z ).因为0<ω≤1， 当k ＝0时，14≤ω≤58，当k ＝－1时，0<ω≤18，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58.故选D.规律方法 由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.训练2 (1)(2022·广州调研)若函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx (ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43C.⎝⎛⎦⎥⎤0，23D.(0，1](2)(2022·金华质检)将函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移π8个单位长度后，得到g (x )的图象，若函数y ＝g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，则正数ω的最大值为( )A.12B.1 C.32D.23答案 (1)A (2)A解析 (1)f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，当x ∈[0，π]时，π3≤ωx ＋π3≤ωπ＋π3. 又f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43， 故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.(2)依题意，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22＝1＋cos 22x 2＝3＋cos 4x4， 其图象向左平移π8个单位长度得到g (x )＝34＋14cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝34＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 ＝34－14sin 4x 的图象， 故g (ωx )＝34－14sin(4ωx ).令－π2＋2k π≤4ωx ≤π2＋2k π，k ∈Z ，由于ω>0，得－π8＋k π2ω≤x ≤π8＋k π2ω，k ∈Z .由于函数g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧－π8＋k π2ω≤－π12，π8＋k π2ω≥π4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤32－6k ，ω≤12＋2k ，k ∈Z ，所以当k ＝0时，ω＝12为正数ω的最大值.热点三 三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.例5(2022·滨州二模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝5. (1)求A 的大小；(2)若a ＝2，求b 2＋c 2的取值范围. 解 (1)由已知得6sin 2A ＋cos A ＝5，整理得6cos 2A －cos A －1＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－13.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝12，即A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a ＝2，A ＝π3得4＝b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2＝4＋bc ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝232＝433，即b ＝433sin B ，c ＝433sin C ，又C ＝2π3－B ，所以bc ＝163sin B sin C ＝163sin B sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝833sin B ·cos B ＋83sin 2B＝433sin 2B －43cos 2B ＋43＝83sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋43， 又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<23π－B <π2，解得π6<B <π2，所以π6<2B －π6<56π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4，所以b 2＋c 2＝4＋bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤203，8.易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等.训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知S ＝34(b 2＋c 2－a 2)，a ＝4.(1)求角A 的大小.(2)求△ABC 周长的取值范围. 解 (1)由S ＝34(b 2＋c 2－a 2)， 得12bc sin A ＝34(b 2＋c 2－a 2)＝34×2bc cos A ， 整理得tan A ＝3，因为A ∈(0，π), 所以A ＝π3.(2)设△ABC 的周长为L ， 因为a ＝4，A ＝π3， 由余弦定理得：42＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即42＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝14(b ＋c )2， 所以b ＋c ≤8， 又b ＋c >a ＝4，所以L ＝a ＋b ＋c ∈(8，12].一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 A解析 函数f (x )的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )， 则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.(2022·海南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sinC ＝2b sin C cos A ，则角A 的最大值为( ) A.π6B.π4 C.π3D.2π3答案 A解析 因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ， 由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，① 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，② ①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －cb＝cos Ccos B，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.43B.2 3 C.2 D. 3 答案 A解析 ∵在△ABC 中，2a －cb＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0. ∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3.即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.(2022·苏北四市模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3 B.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，8π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，8π3 答案 B解析 由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3， 又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点， 所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3， 所以α的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3.故选B. 6.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6答案 B解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2， 又对x ∈R ，都有f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故a 的最大值是π3，故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32，故ω取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8.已知函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136解析函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)， 由x ∈[0，π]，得ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ＋π3.又f (x )在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点， 则2π≤ωπ＋π3<52π， 解得53≤ω<136.9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 答案 9解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ， 所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1·sin 60°＋12c ·1·sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9， 当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a＋c的最小值为9.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π2，c＋b cos A－a cos B＝2a cos A，则ba＝________；内角B的取值范围是________.答案22⎝⎛⎦⎥⎤0，π4解析由c＋b cos A－a cos B＝2a cos A结合正弦定理得sin C＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，即sin(A＋B)＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，化简得2sin B cos A＝2sin A cos A.因为A≠π2，所以cos A≠0，则2sin B＝2sin A，所以ba＝sin Bsin A＝22，则由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝2b2＋c2－b222bc＝b2＋c222bc≥2bc22bc＝22，当且仅当b＝c时等号成立，解得0＜B≤π4.11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围. (1)证明由a＝b tan A及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ， 所以sin B ＝cos A ， 即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B ) ＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.12.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC 的形状. 解 (1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )， 又b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32. (2)在锐角△ABC 中，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形， S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3. 二、创新拓展练13.设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(2，2) D.(0，2) 答案 A解析 ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A . ∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A .又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2A <π2，0<A <π2，0<π－3A <π2，∴π6<A <π4， ∴22<cos A <32， 即2<2cos A <3，故选A.14.(多选)(2022·台州质检)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A.f (x )在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D.ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，103答案 CD解析 因为x ∈[0，2π]， 所以ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3. 设t ＝ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点， 则5π≤ 2πω＋π3<7π， 解得73≤ω<103， 故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π6ω＋π3.因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，故C 正确.15.(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，记S 为△ABC 的面积，则下列说法正确的是( ) A.若C ＝π3，则S 有最大值9 3 B.若A ＝π6，a ＝23，则S 有最小值3 3C.若a ＝2b ，则cos C 有最小值0D.若a ＋b ＝10，则sin C 有最大值2425答案 ABD解析 对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ， 因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确； 对于选项B ，对角A 用余弦定理得 12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ， 解得b ＝23或b ＝43， 因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确. 对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b 2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab ＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2C ≤2425，故D 正确，故选ABD.16.(2022·南京师大附中模拟)法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3，则∠O 1AO 3＝________；若△O 1O 2O 3的面积为3，则三角形中AB ＋AC 的最大值为________.答案 120° 4解析 由于O 1，O 3是正△ABC ′，△AB ′C 的外接圆圆心，故也是它们的中心， 所以在△O 1AB 中，∠O 1AB ＝30°，同理∠O 3AC ＝30°， 又∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 3＝120°； 由题意知△O 1O 2O 3为等边三角形，设边长为m ， 则S △O 1O 2O 3＝12m 2sin 60°＝34m 2＝3，解得O 1O 3＝m ＝2.设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，在等腰△BO 1A 中，∠O 1AB ＝∠O 1BA ＝30°，∠AO 1B ＝120°， 则AB sin 120°＝O 1Asin 30°，解得O 1A ＝c 3，同理得O 3A ＝b 3，在△O 1AO 3中，由余弦定理得O 1O 23＝O 1A 2＋O 3A 2－2O 1A ·O 3A ·cos 120°，即4＝c 23＋b 23－2·bc 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋c 2＋bc ＝12，即(b ＋c )2－bc ＝12， 故(b ＋c )2－12＝bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 解得b ＋c ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，故三角形中AB ＋AC 的最大值为4. 17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2). (1)若A ＝π3，求B 的大小；(2)若a ≠c ，求c －3ba 的最小值.解 (1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12，即a ＝b ， 所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B2sin A，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ， 所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去， 所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A ＝sin （A ＋B ）－3sin Bsin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin Bsin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2Asin A＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A ＝4cos 2A －6cos A －1 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos A －342－134.因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0， 即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。
高考政治 热点点拨(背景材料+考点链接+命题角度+专题
大力推进生态文明建设努力建设美丽中国专题综述2012年11月，党的十八大从新的历史起点出发，做出“大力推进生态文明建设”的战略决策，从10个方面绘出生态文明建设的宏伟蓝图。
十八大报告不仅在第一、第二、第三部分分别论述了生态文明建设的重大成就、重要地位、重要目标，而且在第八部分用整整一部分的宏大篇幅，全面深刻论述了生态文明建设的各方面内容，从而完整描绘了今后相当长一个时期我国生态文明建设的宏伟蓝图。
我们要深入学习领会、认真贯彻落实，为实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴而努力奋斗。
一、重要性关于生态文明建设的重要性，十八大报告明确指出：“建设中国特色社会主义，总依据是社会主义初级阶段，总布局是五位一体，总任务是实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴”。
“建设生态文明，是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计。
”“把生态文明建设放在突出地位，融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程。
”将生态文明建设与经济建设、政治建设、文化建设、社会建设相并列，形成建设中国特色社会主义五位一体的总布局。
【核心考点】1、中国共产党执政2、唯物辩证法的联系观、辩证唯物主义历史观价值观、实践观3、又好又快科学发展、树立正确的消费观【命题视角】1、党的十八大把中国特色社会主义事业总体布局由经济建设、政治建设、文化建设、社会建设“四位一体”拓展为包括生态文明建设的“五位一体”，这是总揽国内外大局、贯彻落实科学发展观的一个新部署。
“四位一体”拓展为“五位一体”，体现了中国共产党（）A. 为人民服务，对人民负责B. 审慎行使权力，科学民主决策C. 坚持与时俱进，科学执政D. 肩负人民重托，行使国家权力答案：C.2、中共十八大报告关于生态文明建设的论述如何体现一切从实际出发，实事求是？（1）一切从实际出发，实事求是就是指做事情要尊重物质运动的客观规律，从客观存在的事物出发，经过调查研究，找出事物本身固有的而不是臆造的规律性，以此作为我们行动的依据。
考点3.2 空间向量与空间角的计算问题(解析版)
考点3.2 空间向量与空间角的计算问题空间向量与空间角的计算问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的空间角问题在高考中逐步成为热点。
通过具体的问题背景，考察空间角、空间向量等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。
本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现空间向量与空间角的计算问题的实际应用。
解决基于问题情境的空间向量与空间角的计算问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。
解题要点：根据题目要求，建立立体几何模型，利用几何法或向量法进行实际问题分析求解。
基础知识a ，b ，a ，b >|＝a b a b与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平的法向量为n ，则sin θ＝|cos<a ,n >|＝a n a n的平面角为θ，平面α，β的法向量分别1n ，2n ，则|cos θ|＝|cos<1n ,2n >|＝1212n n n n空间向量与空间角的计算问题实际应用 （1） 单选题1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【思路导引】画出截面图，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意可知//m CD 、AB m ⊥． 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选：B ．2．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值ABCD【答案】D【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan(0)PHPAHAH xθ=∠==>，故当1x=tanθ，故选D．3．（2020·山东临沂市·高二期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同.若重力加速度g取29.8m/s，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）A．2.25N B．2.45N C．2.5N D．2.75N【答案】B【分析】根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等可构造方程求得结果.【详解】由题意知：8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，设每根绳子的拉力为T，则8cos6019.8T=⨯，解得： 2.45T=（N）.故选：B.4．（2020·济南市·山东省实验中学高二期中）空间直角坐标系O xyz-中，经过点()000,,P x y z，且法向量为(),,m A B C=的平面方程为()()()000A x xB y yC z z-+-+-=，经过点()000,,P x y z且一个方向向量为()(),,0nμυωμυω=≠的直线l的方程为000x x y y z zμυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z-+-=，经过()0,0,0的直线l的方程为321x y z==-，则直线l与平面a 所成角的正弦值为（）AB．35CD．7【答案】B【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值. 【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z ==-，故其方向向量为()3,2,1m =-， 故直线l 与平面a35==，故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.5．（2020·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为0Ax By Cz D +++=（,,,A B C D R ∈，且A ，B ，C 不同时为零），点()000,,P x y z 到平面α的距离d =，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P ABCD -中，底面中心O 到侧面PAB 的距离d 等于（ ） ABC ．2D ．5【答案】B 【分析】欲求底面中心O 到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A ，B ，P 的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】以底面中心O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示：则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)O A B P -，设平面PAB 的方程为0Ax By Cz D +++=，将点A ，B ，P 的坐标代入计算得0A =，B D =-，12C D =-，所以方程可化为102Dy Dz D --+=，即220y z +-=，所以d ==． 故选：B.【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．（2） 多选题6．（2020·长沙市·湖南师大附中）如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园.设备启动后，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年国庆，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，以下结论正确的有（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．线段AB 在水平地面上的正投影的长度为定值；C ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为37D ．β与水平地面所成角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，当02πθ<<时，θδ+为定值【答案】ACD 【分析】计算出OA 判断A ，考虑AB 分别与水平面平行和垂直时在水平面上的投影可判断B ，由OA 最大时，得线面角最大，从而得其正弦值判断C ，结合直观图可判断D ． 【详解】A．∵OB β⊥，∴OB AB ⊥，∴OA ，∴点A 在以O 的球面运动，A 正确；B ．由题意知A 在平面β内绕点B 作圆周运动，当AB 垂直于水平面时，投影长度为0，当AB 平行于水平面时，投影长度为AB ，∴线段AB 在水平地面上的正投影长度范围为[0,]AB ，B 错误；C ．当AB α⊥时，直线OA 与平面α的所成的角的正弦值为最大值，此时线面角为AOB ∠，sinAB AOB OA ∠===，C 正确． D ．画出该模型的直观图，∵β与水平面所成的角为θ，且02πθ<<，∴DCE θ∠=，∵直线OB 与水平面所成的角为δ，且//FC OB ，∴FCG δ∠=， ∵OB CD ⊥，∴FC CD ⊥，∴2FCG DCE π∠+∠=，即θδ+为定值，定值为2π，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查考查以实际问题为背景的立体几何题，明确线面关系，线面角的求解是解题关键，考查空间想象能力．运算与推理能力．7．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为0,2πθθπθ⎛⎫<<≠⎪⎝⎭，若空间向量a 满足(,,)a xi y j zk x y z R =++∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxyz （O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，则下列命题是真命题的有（ ）. A ．已知(1,3,2)a θ=-，(4,0,2)b θ=，则0a b ⋅= B ．已知(,,0)3a x y π=，(0,0,)3b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值C ．已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()121212,,a b x x y y z z θ+=+++D ．已知(1,0,0)3OA π=，(0,1,0)3OB π=，(0,0,1)3OC π=，则三棱锥O ABC -的表面积S =【答案】BC 【分析】根据“仿射”坐标的定义逐项判断即可. 【详解】(1,3,2)(4,0,2)(32)(42)421268412cos a b i j k i k i k i j j k k i θθθ⋅=-⋅=+-⋅+=+⋅+⋅+⋅-⋅-=因为0θπ<<，且2πθ≠，所以0a b ⋅≠，故A 错误；如图所示，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∠取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故B 正确； 根据“仿射”坐标的定义可得，()()()()()()()()111222111222121212121212,,,,,,a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k x x y y z z θθθ+=+=+++++=+++++=+++，故C 正确；由已知可得三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其表面积214122S =⨯⨯⨯=D 错误. 故选：BC. 【点睛】新定义概念题，考查对新概念的理解能力以及运算求解能力，基础题.8．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一月考）平面中两条直线l 和n 相交于O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 和n 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ）A ．若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B ．若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个D ．若p =q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线 【答案】ABC 【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A 选项，由于0p q ==，所以()0,0表示O 点，有且仅有一个，故A 选项正确. 对于B 选项，由于0pq =，且0p q +≠，当00p q =⎧⎨≠⎩或0p q ≠⎧⎨=⎩时，分别表示点()0,q 或(),0p ，有且仅有两个，故B 选项正确.对于C 选项，由于l 和n 相交与O ，所以直线l 和直线n 确定一个平面α，根据对称性可知，在平面α的上方和下方，各有两个“距离坐标”为(),p q 的点.故“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，所以C 选项正确. 对于D 选项，设l 和n 相交与O ，直线l 和直线n 相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足p q =，所以点M 的轨迹不只是一条过O 点的直线，所以D 选项错误. 由于p q =，故选：ABC 【点睛】本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.（3） 填空题9．（2016·上海金山区·高三一模）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB 1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是________________． 【答案】【解析】试题分析：黑电子狗爬行的路径为111111AA A D DC C C CB BA →→→→→，黄电子狗爬行的路径为111111AB BB B C C D D D DA →→→→→，周期均为6，因此黑“电子狗”爬完2015段即爬完第5段，此时位于B 点，黄“电子狗”爬完2014段即爬完第4段，此时位于1D ,1BD 考点：1．数列周期；2．异面直线；3．空间两点间距离10．（2019·全国高三其他模拟（文））半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________．【分析】先求出BC ，BG ，BF 的长度，在BFA ，求出正四面体的高AF ，在Rt BFO 中，求BO ；Rt BFA 中，求cos BAF ；EAO 中，由余弦定理求EO 即可. 【详解】 解：正四面体的棱长12BC =，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O ，F 为底面BCD 的中心，G 是边CD 中点，E 是半正多面体的一个顶点23BG BC BF BG ====AF ∴===设OA OB R ==，OF AF R R =-=在Rt OBF 中，222OB BF OF =+，2248)R R =+，R =Rt ABF中，cos 123AF BAF AB ∠===EAO中，cos cos 3EAO BAF ∠=∠= 由余弦定理，(222222cos 82822OE AE AO AE AO EAO =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯=OE =【点睛】考查半正多面体的外接球的半径的求法，中档题.11．（2021·江苏宿迁市·高二期末）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a 、b 、c 及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中2a =，1b c ==，60α=︒，90β=︒，120γ=︒，则该晶胞的对角线1AC 的长为__________.【分析】数形结合以及使用向量的方法，可得11AC AB AD AA =++，然后先平方再开方可得结果.【详解】如图所示：所以1111=+AC AC CC AB AD CC AB AD AA =++=++ 依题可知：1=21AB AA AD ==，， 11=60,90,18060A AB A AD BAD αβγ∠=∠=∠=-== 所以22221111=+2+22AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ++⋅⋅+⋅所以21=411+221cos 60+221cos 60211cos90AC ++⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯则21=10AC ，故1=10AC12．（2020·全国高三专题练习（理））我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)=-n 的直线方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，即2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)=--m 的平面的方程为___________．【答案】220x y z +--=【解析】试题分析：根据法向量的定义，若n 为平面α的法向量，则n ⊥α，任取平面α内一点P （x ，y ，z ），则PA ⊥n ，∵PA =（1-x ，2-y ，3-z ），n =(-1，-2，1)，∴（x -1）+2（y -2）+（3-z ）=0，即x+2y -z -2=0，故答案为x+2y -z -2=0．考点：本题主要考查类比推理的概念和方法，向量的坐标运算．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的坐标运算类似，因此可以利用求平面曲线方程的办法，通过构造向量，利用向量的运算确定空间平面方程．13．（2020·福建省泉州市泉港区第一中学高二期中）如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值.【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D ,设11BQ B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈. ()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-.()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----,()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ . 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.（4） 解答题14．（2018·上海市南洋模范中学高三期末）已知111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⨯⋅=++---，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一个平行四边形，(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =-（1）试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积，说明()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD -体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V -⨯⋅=，()AB AD AP ⨯⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ⨯⋅221424(1)(1)0=⨯⨯+⨯⨯+-⨯-⨯202-⨯⨯4(1)1-⨯-⨯(1)24--⨯⨯＝48．122(1)140AP AB ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，1422100AP AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD ==，24(1)2406AB AD ⋅=⨯+-⨯+⨯=， 222sin ()ABCD S AB AD BAD AB AD AB AD =∠=-⋅== 6AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA -==⨯． ∴()3P ABCD AB AD AP V -⨯⋅=，猜想：()AB AD AP ⨯⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。
(完整版)三角形证明全章热门考点整合应用
三角形证明全章热门考点整合应用三个概念概念1反证法1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设()A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．概念2互逆命题3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．概念3互逆定理4．下列三个定理中，存在逆定理的有()个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0B．1C．2D．35．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)等角的补角相等．六个性质性质1全等三角形的性质6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．(第6题)性质2等腰三角形的性质7．【2017·绍兴】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________.②求α，β之间的关系式．(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．(第7题)性质3等边三角形的性质8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD.(第8题)性质4直角三角形的性质9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．(第9题)性质5线段垂直平分线的性质10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.(第10题)性质6角平分线的性质11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.(第11题)四个判定判定1三角形全等的判定12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.(第12题)判定2等腰(边)三角形的判定13．【2017·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．(第13题)判定3直角三角形的判定14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．(第14题)判定4线段的垂直平分线与角平分线的判定15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．(第15题)四个技巧技巧1构造全等三角形16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.(第16题)技巧2构造等腰三角形的“三线合一”17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．(第17题)技巧3构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：DF＝DC.(第18题)技巧4构造角平分线上的点到角两边的垂线段19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.(第19题)一个应用——最短路线的应用20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．(第20题)第一章测评一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为()A.40°B.30°C.70°D.50°2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2017·浙江台州中考)如图,已知在△ABC中,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE4.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足为点D,且PC=4,则PD的大小是()A.1B.2C.4D.85.(2017·海南中考)已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.3条B.4条C.5条D.6条6.用反证法证明“在△ABC中,最多有一个直角或钝角”,第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角7.如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形.有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD;④∠ABE=60°.其中正确结论的个数为()A.4B.3C.2D.18.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A.65°B.60°C.55°D.45°9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则有下列结论:(1)AD上任意一点到AB,AC的距离相等;(2)∠BDE=∠CDF;(3)BD=CD,AD⊥BC.其中正确的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)10.如图,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定点P的方法正确的是()A.点P为∠A,∠B两角的平分线的交点B.点P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.点P为AC,AB两边上的高的交点D.点P为AC,AB两边的垂直平分线的交点二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2017·江西中考)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A=度.12.已知△ABC是等边三角形,AB=10 cm,则△ABC的面积是cm2.13.如图所示,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E 的度数是.14如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若∠CBA=32°,则∠DFE的度数是.15.如图所示,AB∥CD,O为∠A,∠C的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE=1,则AB与CD之间的距离是.16.如图所示,∠ABC=60°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是.三、解答题(共52分)17.(5分)(2017·湖南郴州中考)已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD.18.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.19.(6分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF ∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.21.(6分)如图所示,直线OA,OB表示两条相互交叉的公路,点M,N表示两个蔬菜基地.现要建立一个蔬菜批发市场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路OA,OB的距离相等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方?22. (7分)如图①,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图②,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.23.(7分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,且CD⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=EB.24. (9分)八年级(1)班的同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图),设计了如下方案:①∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.②∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(1)方案①、方案②是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.(2)在方案①PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.。
板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)
√A.a＝2b
B.b＝2a
C.A＝2B
D.B＝2A
解析 ∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B. 由cos C>0，得sin A＝2sin B. 根据正弦定理，得a＝2b.
√ A.α＋β＝π2
B.α－β＝π4
C.αan
α＝1－cossin2β2β＝cos2β＋csoisn22ββ－－s2insi2nβ
βcos
β＝cos
β＋sin βcos cos β－sin
β－sin β2
β
＝cos cos
β＋sin β－sin
ββ＝11＋ －ttaann
例 3 (1)某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75°的方向上，距 A 12 6 海里处，
灯塔 C 在 A 的北偏西 30°的方向上，距 A 8 3 海里处，游轮由 A 处向正北方向航行
到 D 处时再看灯塔 B 在南偏东 60°的方向上，则此时灯塔 C 与游轮的距离为
A.20 海里
√B.8 3 海里
ββ＝tanπ4＋β，
又因为 α∈0，π2，β∈0，π2， 所以 α＝π4＋β，即 α－β＝π4.
热点二 利用正弦、余弦定理解三角形
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
角平分线的性质(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册
专题12.9角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】角的平分线的性质(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.(2)符号语言：OC平分∠ADB，又 PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，∴PE=PF【知识点二】角的平分线的判定(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.(2)符号语言：PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，又 PE=PF∴OC平分∠ADB，【知识点三】角的平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB 于E.（2）分别以D、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，交CD 于点F ，过点E 作EG CD ∥，交AB 于点G ，连接CG ．（1）求证：90A AEG ∠+∠=︒；（2）求证：EC EG =；【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）证明90EGA ∠=︒，即可证明结论成立；（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．（1）证明：∵CD AB ⊥，∴90CDA ∠=︒EG CD ∥，∴90EGA CDA ∠=∠=︒∵180A AEG EGA ∠+∠+∠=︒1801809090A AEG EGA ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒（2）证明：∵90ACB ∠=︒，∴EC BC⊥BE 平分ABC ∠，EG AB ⊥，EC EG∴=【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥交于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ．若6PM =，则PN 的长度不可能是（）A ．18B ．7.2C ．6D ．4.5【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点P 作PD OA ⊥，如图所示，由角平分线的性质可得6PD PM ==，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得6PN PD ≥=，从而得到答案．解：过点P 作PD OA ⊥，如图所示：OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，6PM =，∴由角平分线性质可得6PD PM ==，点N 射线OA 上的一个动点，连接PN ，∴由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得6PN PD ≥=，∴综合四个选项可知，PN 的长度不可能是4.5，故选：D ．【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，点O 到BC 边的距离为3，且ABC 的周长为20，则ABC 的面积为．【答案】30【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，连接OA ，利用角平分线的性质求得3OM ON OD ===，然后利用ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 求解即可．解：过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，连接OA ，∵点O 到BC 边的距离为3，∴3OD =，∵ABC 的周长为20，∴20AB AC BC ++=∵ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OM AB ⊥，ON AC ⊥，∴3OM ON OD ===，∴ABC AOB AOC BOCS S S S =++ 111222AB OM AC ON BC OD =⋅+⋅+⋅()12AB AC BC OD =++⋅12032=⨯⨯30=，故答案为：30．【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明【例2】如图，DE AB ⊥于E DF AC ⊥，于F ，若BD CD BE CF ==、，（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）已知204，==AC BE ，求AB 的长．【答案】(1)见详解(2)12【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有,,,SAS ASA AAS SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）求出90E DFC ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定定理得出Rt BED Rt CFD ≌，推出DE DF =，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出,==AE AF BE CF ，即可求出答案．（1）证明：∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴90E DFC ∠=∠=︒，∴在Rt BED 和Rt CFD 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt BED Rt CFD HL ≌，∴DE DF =，∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴AD 平分BAC ∠；（2）解：∵90,,∠=∠=︒==AED AFD AD AD DE DF ，∴()Rt ADE Rt ADF HL ≌，∴AE AF =，∵20,4===AC CF BE ，∴20416AE AF ==-=，∴16412AB AE BE =-=-=．【变式1】如图，在ABC 中，70BAC ∠=︒，4AB =，2AC =，若2ABD ACD S S = ，则CAD ∠的度数为（）A ．45︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒【答案】C 【分析】作DE AB ⊥于点E ，作DF AC ⊥于点F ，根据2ABD ACD S S = 可证DE DF =，从而可知AD 是BAC∠的平分线，进而可求出CAD ∠的度数．解：如图，作DE AB ⊥于点E ，作DF AC ⊥于点F ，∵2ABD ACD S S = ，∴11222AB DE AC DF ⋅=⨯⋅．∵4AB =，2AC =，∴44DE DF=∴DE DF =，∴AD 是BAC ∠的平分线．∴11703522CAD BAC ∠=∠=⨯︒=︒．故选C ．【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在ABC 中，48ABC ∠=︒，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则EBF ∠=．【答案】24︒【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明BE 平分ABC ∠；过点E 作EM AB EN BC EO AC ⊥⊥⊥、、，根据角平分线的性质可得EM EO EN EO ==，，则有EM EN =，再根据EM AB EN BC ⊥⊥、，即可得出BE 平分ABC ∠即可解答．解：过点E 作EM AB EN BC EO AC ⊥⊥⊥、、，如图所示：三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，EM EO EN EO ∴==，，EM EN ∴=，EM AB EN BC ⊥⊥、，∴BE 平分ABC ∠，11482422EBF ABC ∴∠==⨯︒=︒，故答案为：24︒．【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值【例3】如图，ABC 和EBD △中，90ABC DBE AB CB BE BD ∠=∠=︒==，，，连接AE CD AE ，，与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE CD =；（2）求证：AE CD ⊥；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分CBE ∠；②MB 平分AMD ∠，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)②【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．（1）欲证明AE CD =，只要证明ABE CBD ≌；（2）由ABE CBD ≌，推出BAE BCD ∠=∠，由180NMC BCD CNM ∠=︒-∠-∠，18090ABC BAE ANB CNM ANB ABC ∠=︒-∠-∠∠=∠∠=︒，又，，可得90NMC ∠=︒；（3）结论：②；作BK AE ⊥于K BJ CD ⊥，于J ．利用角平分线的判定定理证明即可．（1）证明：∵ABC DBE ∠=∠，∴ABC CBE DBE CBE ∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE 和CBD △中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ABE CBD ≌（），∴AE CD =．（2）证明：∵ABE CBD ≌，∴BAE BCD ∠=∠，∵180180NMC BCD CNM ABC BAE ANB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠，，又CNM ANB ∠=∠，90ABC ∠=︒ ，∴90NMC ∠=︒，∴AE CD ⊥．（3）解：结论：②理由：作BK AE ⊥于K BJ CD ⊥，于J．∵ABE CBD ≌，∴ABE CDB AE CD S S == ，，∴1122AE BK CD BJ ⨯⨯=⨯•，∴BK BJ =，∵作BK AE ⊥于K ，BJ CD ⊥于J ，∴BM AMD ∠平分．不妨设①成立，则CBM EBM ≌，则AB BD =，显然不可能，故①错误．故答案为：②．【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且100ADC ∠=︒，则MAB ∠的度数是（）A ．50︒B ．40︒C ．45︒D ．55︒【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作MN AD ⊥于N ，根据角平分线的性质得出MN MC =，进而得出1402MAB DAB ∠=∠=︒．解：作MN AD ⊥于N ，∵90B C ∠∠==︒，∴AB CD ∥，∴18080DAB ADC ∠∠=︒-=︒，∵DM 平分ADC ∠，MN AD ⊥，MC CD ⊥，∴MN MC =，∵M 是BC 的中点，∴MC MB =，∴MN MB =，又MN AD ⊥，MB AB ⊥，∴1402MAB DAB ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在ABC 中，68BAC ∠=︒，72ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线与BAC ∠的外角平分线交于点D ，连接BD ，则BDC ∠的大小等于．【答案】34︒/34度【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出BD 平分ABH ∠，然后利用三角形外角的性质12BDC DBH DCB BAC ∠=∠-∠=∠，即可求解．解：过点D 作DH BC ⊥于H ，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，∵ACB ∠的平分线与BAC ∠的外角平分线交于点D ，∴DE DF DH ==，12BCD ACB ∠=∠，∴BD 平分ABH ∠，∴12DBH ABH ∠=∠，∵68BAC ∠=︒，∴BDC DBH DCB ∠=∠-∠1122ABH ACB =∠-∠()12ABH ACB =∠-∠12BAC =∠1682=⨯︒34=︒，故答案为：34︒．【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：（1）如图1，已知ABC ，利用直尺和圆规，作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）如图2所示，AD 是ABC 的角平分线E F 、分别是AB AC 、上的点，且180EDF BAC ∠+∠=︒，求证：DE DF =．【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可；（2）过点D 作DH AB ⊥于点H ，作DQ AC ⊥于点Q ，证明()AAS EHD FQD ≌，得出DE DF =，即可得出答案．（1）解：如图，作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ；（2）证明：如图，过点D 作DH AB ⊥于点H ，作DQ AC ⊥于点Q ，则90EHD FQD ∠=∠=︒，AD 平分BAC ∠，DH DQ ∴=，180EDF BAC ∠+∠=︒Q ，180AED AFD ∴∠+∠=︒，180DFQ AFD ∠+∠=︒ ，DEH DFQ ∴∠=∠，在EHD △和FQD △中DEH DFQ EHD FQD DH DQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS EHD FQD ∴ ≌，DE DF ∴=．【点拨】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC AB 、于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知4CE =，7AB =，ABE 的面积为（）A ．6B ．11C ．14D ．28【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E 到AC 和AB 的距离相等，点E 到AB 的距离等于EC 的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．解：由基本作图得到AE 平分BAC ∠，∴点E 到AC 和AB 的距离相等，∴点E 到AB 的距离等于EC 的长度，即点E 到AB 的距离为4，∴174142ABE S =⨯⨯= ．故选：C ．【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =．【答案】6【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MN AB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图，Rt ABC △中，90,40C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC ∠的大小为（）A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出50BAC ∠=︒，由作图得25BAD ∠=︒，由三角形的外角的性质可得65ADC ∠=︒，故可得答案解：∵90,40C B ∠=︒∠=︒，∴90904050BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，由作图知，AP 平分BAC ∠，∴11502522BAD BAC ∠=∠==︒⨯︒，又,ADC B BAD ∠=∠+∠∴402565,ADC ∠=︒+︒=︒故选：B【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若AD 是ABC 中BAC ∠的内角平分线，通过证明可得=AB BD AC CD，同理，若AE 是ABC 中BAC ∠的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在ABC 中，2,3,BD CD AD ==是ABC 的内角平分线，则ABC 的BC 边上的中线长l 的取值范围是【答案】12522l <<【分析】根据题意得到2=3AB AC ，设AB ＝2k ，AC ＝3k ，在△ABC 中，由三边关系可求出k 的范围，反向延长中线AE 至F ，使得AE EF =，连接CF ，最后根据三角形三边关系解题．解：如图，反向延长中线AE 至F ，使得AE EF =，连接CF ，2,3,BD CD AD == 是ABC 的内角平分线，2==3AB BD AC CD ∴可设AB ＝2k ，AC ＝3k ，在△ABC 中，BC ＝5，∴5k ＞5，k ＜5，∴1＜k ＜5，BE EC AEB CEF AE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE FCE SAS ∴≅ AB CF∴=由三角形三边关系可知，AC CF AF AC CF-<<+5k AF k∴<<522k k AE ∴<<∴12522l <<故答案为：12522l <<．【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是ABD ∠的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，45AEF ∠=︒．（1）求证：AE 平分BAF∠（2）如图2，连接CE 交BD 于点G ，若BAE 与CAE 的面积相等，求证：BG CF=【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．（1）根据BF 是ABD ∠的角平分线和，BD 为AC 边上的高，可得114522BAD ABD ∠=︒-∠，由45AEF ∠=︒得145452BAE ABE ABD ∠=︒-∠=︒-∠，即可证明12BAE BAD ∠=∠；（2）过点E 作EM AB ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，由角平分线性质可以得EM EN =，由BAE 与CAE 的面积相等可得AB AC =，证明(SAS)ABE ACE △≌△，得出135AEB CEB ∠=∠=︒，BE EC =，即可得出36090BEG CEF AEB AEC ∠=∠=︒-∠-∠=︒，再根据垂直模型证明ASA BEG CEF ≌（），即可得出结论．（1）证明：∵BD 为AC 边上的高，即90ADB ∠=︒，∴90ABD BAD ∠+∠=︒，∴1()452ABD BAD ∠+∠=︒，∴114522BAD ABD ∠=︒-∵45AEF ABF BAE ∠=∠+∠=︒，∴45BAE ABF ∠=︒-∠，∵12ABF ABD ∠=∠，∴1452BAE ABD ∠=︒-∠，∴12BAE BAF ∠=∠，即：AE 平分BAF ∠．（2）过点E 作EM AB ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，AE 平分BAC ∠，且EM AB ⊥，EN AC ⊥，EM EN ∴=．ABE ACE S S △△＝，AB AC ∴=，AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠，在ABE 和ACE △中，AB BC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE ACE ∴ ≌，AEB CEB ∴∠=∠，BE EC =，45AEF ∠=︒ ，135AEB AEC ∴∠=∠=︒，36090BEG CEF AEB AEC ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒，BD 为AC 边上的高，90ADB ∴∠=︒，FBD BFC BFC FCE ∴∠+∠=∠+∠，EBG ECF ∴∠=∠．在BEG 和CEF △中，BEG CEF BE CE EBG ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ASA BEG CEF ∴ ≌（）．BG CF ∴=.【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：思考如图12.3-3，任意作一个角AOB ∠，作出AOB ∠的平分线OC ．在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D 、E ，测量PD 、PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利．．．用全等的知识完成证明过程．．．．．．．．．．．．．（1）已知：点P 是AOB ∠的平分线OC 上一点，过点P 作PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ．求证：PD PE =．【知识应用】（2）如图2，BAC ∠的平分线与ABC 的外角BCD ∠的平分线相交于点O ，过点O 作OD AC⊥于点D ，OE AB ⊥于点E ，连接OB ．①证明：OB 平分CBE ∠；②若70CAB ∠=︒，则COB ∠=________．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②55︒【分析】（1）根据条件证明OPD OPE ≌V V ，从而PD PE =．（2）①过点O 作OF CB ⊥于点F ，由（1）的结论易证OD OF OE ==，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到OB 平分CBE ∠；②根据三角形的内角和180COB BCO CBO ∠=︒-∠-∠，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出1902COB BAC ∠=︒-∠，从而求解．（1）证明：OC 平分AOB ∠，AOC BOC ∴∠=∠，PD OA ⊥ ，PE OB ⊥，90ODP OEP ∴∠=∠=︒，在OPD △和OPE 中，AOC BOC ODP OPE OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，OPD OPE ∴V V ≌，PD PE ∴=；（2）①证明：过点O 作OF CB ⊥于点F，AO 是ABC ∠的平分线，OD AC ⊥，OE AB ⊥，OD OE ∴=，CO 是BCD ∠的平分线，OD AC ⊥，OF BC ⊥，OD OF ∴=，OF OE ∴=，OF BC ⊥ ，OE AB ⊥，BO ∴平分CBE ∠，②OB Q 平分CBE ∠，OC 平分BCD ∠，12CBO CBE ∴∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，()111180180180222COB CBO BCO CBE BCD CBE BCD ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠()()11118018018090222CAB ACB CAB ABC CAB CAB =︒-∠+∠+∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠19070552=︒-⨯︒=︒．故答案为：55︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．。
考点04 二面角(1月)(期末复习热点题型)(人教A版2019)(原卷版)
考点04 二面角一、单选题1．如图，在直四棱柱ABCD A B C D ''''-中，,1,,,AB AD AB AD AA AB E F '⊥==>，分别是侧棱,BB DD ''上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成的（锐）二面角为30°，则BE 最大值为A BCD ．12．如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =．当1A 、E 、F 、1C 共面时，平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为A ．15B ．12C ．2D ．53．如图，在正四面体ABCD 中，,,2BE EC CF FD DG GA ===，记平面EFG 与平面BCD ､平面ACD ､平面ABD ，所成的锐二面角分别为α､β､γ，则A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>4．如图，已知点E 、F 、G 、H 分别是正方体1111ABCD A B C D -中棱1AA 、AB 、BC 、11C D 的中点，记二面角E FG D --的平面角为α，直线HG 与平面ABCD 所成角为β，直线HG 与直线DG 所成角为γ，则A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．βαγ=>D ．γαβ>=5．已知二面角l αβ--，其中平面的一个法向量()1,0,1m =-，平面β的一个法向量()0,1,1n =-，则二面角l αβ--的大小可能为A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．306．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =．设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为AB ．1CD7．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则 A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>8．如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<9．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面1111D C B A 的中心，E 是棱AB 上的点，且14AE AB =，记直线OE 与直线BC 所成角为α，直线OE 与平面ABCD 所成角为β，二面角O AB C --的平面角为γ，则 A ．αβγ<< B ．βαγ<< C ．βγα<<D ．γβα<<10．已知111ABC A B C -是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，则平面ABC 与平面1AB D 所成的锐二面角为 A ．45° B ．60° C ．75°D ．30°11．正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF-的体积取得最大值时，记二面角1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．βγα>>12．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 上一动点（不含端点），记直线1PD 与直线AC 所成角为α，直线1PD 与平面ABCD 所成角为β，平面1PBD 与平面ABCD 所成的锐二面角为γ，则A ．,αβγβ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαβγ<>D ．,αββγ<<13．已知经过点111(,,)P x y z ，法向量为(,,)e A B C =的平面方程为111()()()0A x x B y y C z z -+-+-=，现给出平面α的方程为1x y z -+=，平面β的方程为1636x y z--=，则平面α、β成角的余弦值为A B ．3C D ．314．在三棱锥P ABC -中，面PAC ⊥面ABC ，90PAC ABC ∠=∠=︒，PA BC =，PB AC =，E 是AB 的中点．设ACBCλ=，若[]2,3λ∈，则二面角B PC E --的余弦值的范围为A ．34⎢⎣⎦B ．34⎣⎦C ．44⎣⎦D ．34⎢⎣⎦15．已知直三棱柱ABC ﹣A ’B ’C ’的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱AA ’上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B ’C 所成的角为β，二面角P ﹣B ’B ﹣C 的平面角为γ，则 A ．α＞β＞γ B ．α＜β＜γ C ．α＞γ＞βD ．β＞α＞γ二、多选题1．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是A ．(3,2,1)BD '=--B ．异面直线A D '与BD 'C ．平面A CD ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为372．直线a 的方向向量为a ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则下列命题为真命题的是 A ．若a n ⊥，则直线//a 平面α； B ．若//a n ，则直线a ⊥平面α； C ．若1cos ,2a n =，则直线a 与平面α所成角的大小为6π；D ．若1cos ,2m n =，则平面α，β的夹角为3π．3．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，已知直角边AB =，AC =，那么下列说法正确的是A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -C ．二面角A BCD --的正切值是3D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是144．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，15BB =，D 是11A C 的中点，点E 在棱1AA 上且靠近1A ，当1CE B E ⊥时，则A ．BE =B ．DE =C ．35ACE S =△D ．二面角11A BE D --的余弦值为21215．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，13AA =，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是A ．1B 的坐标为(2，2，3)B ．1BC =(-2，0，3)C ．平面11A BC 的一个法向量为(-3，3，-2)D ．二面角111B AC B --的余弦值为2211三、填空题1．如图，在空间四边形ABCD 中，4AB BD DA ===，22BC CD ==．设直线AB 与直线CD 所成角为α，当二面角A BD C --的大小在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变化时，则cos α的最大值是________．2．如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，2BC =则二面角A PB C--的余弦值大小为________．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D--的正切值________．4．若两个平面α，β的法向量分别是u=(1，0，1)，v=(-1，1，0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．5．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==．若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是________．6．在空间中，已知平面α过()3,0,0和()0,4,0及z 轴上一点()()0,0,0a a >，如果平面α与平面xOy 的夹角为45︒，则a =________．7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为________．8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上．若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =________．9．设平面ABC 的一个法向量为()1,1,0m =，平面ABD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则二面角C AB D --的大小为________．10．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均等于2，M 为线段1BB 上的动点，则平面ABC 与平面1AMC 所成的锐二面角余弦值的最大值为________．四、解答题1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =，直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1）已知点F 为PB 中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值．2．如图，已知四棱柱ABCD A B C D ''''-的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证：BD A H '⊥； （2）若3BAD π∠=，在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60，若存在，求||MA AA '的值；若不存在，请说明理由．3．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22CD AB ==，tan 2tan 3BAD BCD ∠=∠=，PA =4PC =，3PCD π∠=．（1）若E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ； （2）求二面角B PC D --的正弦值．4．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，2ABAD=，直线PA 与底面ABCD 成60角，点M ､N 分别是PA ､PB 的中点．（1）求异面直线DN 与BC 的夹角的余弦值； （2）求直线PA 与面PBC 所成的角正弦值； （3）求二面角P NC D --的大小的余弦值．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点 （1）求证：//DM 平面PAB ．（2）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．6．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=，且FA FC =．（1）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ； （2）求证：//FC 平面EAD ； （3）求二面角A FC B --的余弦值．7．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面,ABC 24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的正弦值．8．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，且::3:2:2AB BC CD =，60ABC ∠=︒，点E 是线段AB 上靠近点A 的一个三等分点，以DE 为折痕将ADE 折起，使点A 到达点1A 的位置，且12AC BC ==．（1）证明：平面1A DE ⊥平面BCD ；（2）求平面1A BE 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值．9．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，22AD DC BC ==，E 是11A B 的中点．（1）求证：//CE 平面1BDA ．（2）已知12AD AA ==，BD =．在1DD 上是否存在点F ，使得平面1BDA 与平面CEFCF 的长；若不存在，请说明理由． 10．如图所示，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，AD DC ⊥，224CD AD AB ===，SA SB SD ===（1）求证：BC ⊥平面SBD ；（2）若点M 是线段SC 上的动点，平面MAB 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为29，求AM ．11．已知在四棱锥P ABCD -中，//,,120,AD BC AB BC CD ABC G ==∠=是PB 的中点，H 为AC 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：//GH 平面PAD ； （2）求二面角D AG C --的余弦值．12．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点．（1）PB ∥平面AEC ；（2）设P A =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 的体积为6，求二面角D -AE -C 的余弦值． 13．如图所示，ABC 中，2B π∠=，四棱锥A BCDE '-是由ABC 沿其中位线DE 翻折而成，其中'∠A EB 为锐角，2PC PA '=．（1）证明：//A E '平面PBD ；（2）若4AB BC ==，二面角C A D E '--的大小为56π，求四棱锥A BCDE '-的体积．14．如图，三棱柱111ABC A B C -内接于圆柱1OO ，已知圆柱1OO 的轴截面为正方形，1AB AC ==，点P 在轴1OO 上运动．（1）证明：不论P 在何处，总有1BC PA ⊥；（2）当点P 为1OO 的中点时，求平面1A PB 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值． 15．斜三棱柱-ABC HDE 中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 是边长为1的等边三角形，DC BC ⊥，且DC DC 中点为M ，且F ，G 分别为CE ，AD 的中点．（1）证明：//FG 平面ABC ； （2）求二面角B AC E --的余弦值．。
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精品讲义、角考点、角的概念/角的表示方法角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两条边；规定用三个大写字母表示角，这三个大写字母应分别写在顶点、两边上的任意的点；三个字母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间，用一个大写字母表示角；要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母；例题1、下列说法中，正确的是（）A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；B、两条射线组成的图形叫做角；C、两条线段组成的图形叫做角；D、一条射线从一个位置移到另一个位置所形成的图形叫做角。
考点、平角与周角一个周角等于________º；一个平角等于_______º。
考点、角的度量与换算方法：角的计算也应该先算乘除，后算加减。
计算除法时，要先把度的余数化成都分，分的余数化成为秒再计算，计算乘法时，秒满60时转化为分，分满60时转化为度；两个度数相加，秒与秒、分与分、度与度对应相加，秒的结果若满60则转化为分，分的结果若满60则转化为度。
例题1（1）用度、分、秒表示32.260；（2）用度表示35025'48"例题2、20026'+35054'； （2）、900-43018'； （3）、（30°-23°15′40″）×3考点、钟表分针和时针夹角方法：时钟表盘面，共有60格（60分钟），一周360°，所以每走一格是6°；时针每走5格，分针要走60格（1小时），也就是时针每走1格，分针要走12格，反过来，分针走1格，时针要走121格，因此，可将时针与分针的夹角转化为它们之间相差多少格来解；1分钟=6° （分针） 1小时=30°（时针）例题1.在8:30时,估计时钟上的分针与时针之间的夹角为 （ ）A.60°B.70°C.75°D.85°2、我们今天数学考试8:00—10:00，钟表上分针和时针成60°的时间为：3、小王晚上六点多一点出门时，抬头看了一下钟表的时针与分针的夹角为135°，等他回来后，时针与分针的夹角仍为135°，且还未播放《新闻联播》，问小王出门有多长时间？4、某校七年级在下午3:00开展“阳光体育”活动，下午3:00这时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于度 ；5、钟面上，3点至4点之间，时针与分针何时重合？6、某人晚上离家外出时大约六点一刻，此时时针与分针的夹角是110°，回家时发现时间还未到7点，且时针与分针的夹角仍为110°，请你推算此人外出多长时间？考点、三角板旋转角的和差例题1、将两块直角三角板的顶点重合，如图所示，若∠AOD=138°,则∠B0C= °.例题2．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． （1）若∠DOB 与∠DOA 的比是2：11，求∠BOC 的度数． （2）若叠合所成的∠BOC=n °（0＜n ＜90），则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少？例题3、如下图，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中∠AOB= .1．将两块直角三角板的直角顶点重合，如图所示，若128AOD = ∠，则BOC =∠_________．2.如图所示的4×4正方形网格中，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= °．考点、角平分线的认识/计算从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线（angular bisector）提醒：角的平分线是射线几何写法：如上图射线OC是∠AOB的角平分线或OC平分∠AOB，记做：∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC如果给你任意一个角∠AOB，你有什么方法画出它的角平分线？例题1、你会用量角器画一个角的平分线？先用量角器量出这个角的大小，再以这个角的顶点为顶点，一边为始边，在角的内部画一条线，使它与始边所成的角的大小是原角的一半，这条射线就是这个角的平分线。
例题2、如图， ∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP 平分∠ABD ，求∠ABP 的度数。
1、如图,点O 是直线AB 上一点,∠AOC=40°,OD 平分∠AOC, ∠COE=70°.BO A（1）请你说明DO ⊥OE;（2）OE 平分∠BOC 吗?为什么?2．如图，已知AOB ∠=36︒,∠AOC=Rt ∠,OD 平分∠BOC ，则AOD ∠的度数是（ ）A 、27︒B 、35︒C 、25︒D 、36︒3. 如图，已知∠AOB 内部有三条射线,OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC . (1)若∠AOB = 90°，∠AOC = 40°，求∠EOF 的度数； (2)若∠AOB = a ，求∠EOF 的度数；(3)若将题中“平分”的条件改为“∠EOB =13∠COB ，∠COF =23∠COA ” ，且∠AOB=a ，直接写出∠EOF 的度数.ABO C EF4、已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC =40°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线． （1）求∠MON 的大小.（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？5．老师在黑板上随便画了两条直线AB 、CD ，相交于O ，还作了∠BOC 的平分线OE 和CD 的垂线OF （如图），量得∠DOE 被一直线分成2︰3两部分，小颖同学马上就知道∠AOF 为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°6．如图，已知OB ⊥OD ，∠BOC :∠COD :∠AOD=3:5:4,求∠BOC 的度数．7、已知直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=24°，求∠DOE 的度数；考点、余补角的性质第10题图C D A B O 第21题图互为邻补角的两个角之和为180°，即若∠A与∠B互为邻补角，那么∠A+∠B=180°，相反如果∠A+∠B=180，那么∠A和∠B不一定互为邻补角；例题1、已知∠α是锐角，∠β是钝角，且∠α和∠β互补，那么下列结论正确的是（）A．∠α的余角和∠β的补角互余 B．∠α的补角和∠β的余角互余C．∠α的余角和∠β的补角互补 D．∠α的补角和∠β的余角互补例题2. 已知一个角的余角的补角是这个角的补角的45，求这个角的13角的余角.例题3、已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF 平分∠AOE, ∠COF=34°,求∠BOD的度数. 1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数是。
2、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果∠1=53°42′，那么2=度．3、已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于（）A.45°B.60°C.90°D.180°4.已知∠α和∠β互余,∠α和∠γ也互余,那么∠β=∠γ,理由是.5.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）A.∠1＝∠3B.∠1＝180°－∠3C.∠1＝90°＋∠3D.以上都不对CBAEODF考点、对顶角的性质对顶角是一个角的两边的反向延长线所形成的的角，因此我们说对顶角相等，而相等的角不一定是对顶角；例题1、观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有对对顶角；（2）如图b，图中共有对对顶角；（3）如图c，图中共有对对顶角；（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；（5）若有2013条直线相交于一点，则可形成对对顶角．考点、图形折叠计算角度/例题1．将一张纸按如下左图的方式折叠，BC、BD为折痕，∠CBD的度数为（）（A）80°（B）90°（C）100°（D）110°C B AD 'E 'F EDCBA1．如上右图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30°的角有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2．将五边形纸片ABCDE 按如下左图方式折叠，折痕为AF ，点E ，D 分别落在E /，D /。
已知∠AFC ＝76°，则∠CFD /等于（ ）（A ）31° （B ）28° （C ）24° （D ）22°考点、方位角的计算1. 学校、电影院、公园在平面图形上的标点分别是A, B, C ，电影院在学校的正东方向、公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB 等于______________.知识点五、知识探索/旋转题例题1、把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起．1、如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O 重合在一起，像图①②那样放置． （1）若∠BOC=60°，如图①，猜想∠AOD 的度数； （2）若∠BOC=70°，如图②，猜想∠AOD 的度数； （3）猜想∠AOD 和∠BOC 的关系，并写出理由．例题3、观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？例题4．如下左图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋…＋∠9＝度。
9 8 7654321。