九年级数学下册28.2.1解直角三角形学案
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计3
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计3一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.1节《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容之一，主要让学生了解直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质的基础上进行学习的，是进一步培养学生解决实际问题能力的关键环节。
教材通过丰富的实例和练习，引导学生探索直角三角形的性质和解题方法，从而提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，对于如何灵活运用锐角三角函数来解直角三角形，以及如何将实际问题与数学知识相结合，仍需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学，引导他们主动探索和思考，提高他们的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形的性质，理解并熟练运用锐角三角函数来解直角三角形。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.通过对本节内容的学习，培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
2.难点：如何引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生进入学习情境，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生主动探索和思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
4.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对直角三角形性质的理解，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学，提高学生的学习兴趣。
2.实例材料：准备相关的实际问题，引导学生将数学知识应用于解决实际问题。
2019-2020学年九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形学案(新版)新人教版.doc
2019-2020学年九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形学案(新版)新人教版学习目标：1. 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2. 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.一、自主学习案在Rt△ABC中:∠C=90°，（1）根据∠A= 60°，斜边AB=30，你能求出这个三角形的其他元素吗?（2）根据AC=，AB=2，你能求出这个三角形的其他元素吗？（3）根据∠A=60°，∠B=30°，你能求出这个三角形的其他元素吗?二、课堂探究案（一）【解决问题】（经过学生的独立思考，然后小组合作交流，教师指导并修正结论，生生合作，师生合作解决上述3个问题.）（二）【知识归纳】：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫解直角三角形.1．在三角形中共有_____个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1) 三边之间的关系: a2 +b2 =_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____.sin B =_____，cos B =_____， tan B =_____.（学法指导：这些内容由学生自学后归纳，再小组合作交流，老师最后总结）（三）【知识探究】利用解直角三角形求边或角.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形.(1)若a＝2，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长.(2)若b＝20，∠B＝45°，求∠A的度数和边a、c的长.方法总结：解题时尽可能地选择包含所求元素与两已知元素的关系式求解。
28.2解直角三角形(1)学案
28．2解直角三角形（1）学案一．知识回顾。
1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′ D．不能确定2、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切值（） A．扩大4倍 B．扩大2倍C．保持不变 D．缩小4倍3、用科学计算器求sin24°的值，以下按键顺序正确的是（）A ． sin 2 4 = B． 2 4 sin =C． 2ndf sin 2 4 =D． sin 2 4 2ndf =4、sin30︒的值等于（）（A）12（B）22（C）32（D）15、已知在Rt ABC△中，390sin5C A∠==°，，则tan B的值为（）A．43B．45C．54D．346、特殊角的三角函数值：锐角三角函数300450600 sinAcosAtanA7、已知sin α=23，且α为锐角，则α=（ ）。
A 、 75°B 、60°C 、45°D 、30°8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c= 。
9、如图，3×3•网格中一个四边形ABCD ，•若小方格正方形的1，•则四边形ABCD 的周长_______．10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚ A ．43 B ．34 C ．53 D ．54二．探究新知。
1、在三角形中共有几个元素？ 。
2、直角三角形中，边与角有下列关系： （1）三边的关系： 。
（2）两锐角的关系：∠A+∠B= 。
（3）边和角之间的关系： a= ；b= ； c= 。
3、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．4、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，a=6，解这个三角形．5、如图,在Rt △ABC 中,a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a 、∠B,就可以求出其余三个未知元素b 、c、∠A.(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:c ba CBA第一步:由条件:用关系式求出第一步:由条件:用关系式求出求出用关系式由条件:、∠B第一步:(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.三．应用练习。
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计2
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计2一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.1节《解直角三角形》是直角三角形相关知识的重要组成部分。
本节内容主要让学生掌握解直角三角形的方法，包括使用勾股定理、锐角三角函数等知识。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的性质，如勾股定理和锐角三角函数。
但是，对于如何将这些知识应用到实际问题中，解决实际问题，部分学生可能还存在困难。
因此，在教学过程中，需要帮助学生将已知的理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：如何将理论知识应用到实际问题中，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题情境，引导学生主动探究，合作讨论，从而解决问题。
同时，通过案例教学，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题，以便在课堂上进行案例教学和练习。
2.准备多媒体教学设备，以便进行课件展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：解直角三角形。
例如，讲解一个房间的面积和周长已知，如何求其对角线的长度。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的方法，包括勾股定理和锐角三角函数。
通过PPT展示和解题步骤的讲解，使学生理解和掌握解直角三角形的方法。
3.操练（10分钟）让学生进行解直角三角形的练习。
可以选择一些基础题和提高题，让学生在练习中巩固所学知识。
新人教版数学九下教案28.2.1 解直角三角形
28．2解直角三角形及其应用28．2.1解直角三角形一、教学目标1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重难点重点：解直角三角形．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程（教学案）一、问题引入(教师多媒体演示本章引言中有关比萨斜塔倾斜的问题)教材图28.2－11972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如教材图28.2－1)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，你能求出∠A的度数吗？类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角，你能求出来吗？二、互动新授教师小结：如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.【探究】 (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？(2)知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？教材图28.2－2学生独自思考后，交流、讨论．师生共同分析：如教材图28.2－2，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：(1)三边之间的关系 a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)； (2)两锐角之间的关系 ∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系 sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac，cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c ，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.上述(3)中的A 都可以换成B ，同时把a ，b 互换．注意：利用这些关系，知道其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素．教师多媒体出示教材P73例1和例2，师生共同探究解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角．三、精讲例题【例】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)已知c ＝6，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ； (2)已知a ＝5，c ＝10，求b ，∠A ，∠B .【解析】 (1)是已知斜边和一个锐角．(2)是已知斜边和一条直角边，根据勾股定理和三角函数求解即可．【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴∠B ＝90°－∠A ，∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，∴a ＝c ·sin A ＝6×sin60°＝6×32＝3 3.∵cos A ＝b c ，∴b ＝c ·cos A ＝6×cos60°＝6×12＝3.(2)∵sin A ＝a c ＝510＝12， ∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°， 由勾股定理，得b ＝c 2－a 2＝5 3.四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、板书设计28．2.1 解直角三角形 1．三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2.2．两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°. 3．边角之间的关系：sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c ，cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c ，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.六、教学反思教师在教学中，要通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等环节来扩大学生探究交流的空间，发展学生的思维能力．数形结合是重要的数学思想和数学方法，同时本节内容又是数形结合的理想素材．解直角三角形在实际中有着广泛的作用，教师在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．导学方案一、学法点津在学习中时，学生要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．二、学点归纳总结 1.知识要点总结（1）直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角． （2）五个元素之间的关系：①三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)； ②两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； ③边角之间的关系：sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c ，cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c ，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.利用这些关系，知道其中两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素．二、规律方法总结)1．学习时，注意数形结合，自然体现数与形之间的联系． 2．“先求角后求边”和“宁乘不除”是解直角三角形的原则．课时作业设计一、选择题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，cos B ＝23，则斜边c 的长为( )．A ．6B ．4 C.83 D.432．在△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，sin A ＝23，则AC 的长是( )．A ．6B ．2 5C ．3 5D ．2133．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3b ，则sin A 等于( )．A.23 B.223 C.13 D.103二、填空题4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝1，c ＝4，则sin A 的值是__________． 5．已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ·tan 45°＝1，则∠B ＝__________． 6．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，b －a ＝8，c ＝82，则sin A ＝__________．三、解答题7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解题：(1)已知c ＝10，a ＝52，求∠A ； (2)已知a ＝18，∠B ＝60°，求c .【参考答案】1．A 2.B 3.B 4.14 5.45° 6.82827．(1)∵c ＝10，a ＝52， ∴sin A ＝a c ＝5210＝22.∴∠A ＝45°.(2)∵∠B ＝60°，a ＝18，cos B ＝ac ，∴c ＝a cos B ＝18cos 60°＝36.。
九年级数学下28.2.1解直角三角形学案(人教版)【DOC范文整理】
九年级数学下28.2.1解直角三角形学案(人教版)2.1解直角三角形学案一、新课导入课题导入如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为c，在Rt△ABc中，∠c=90°，Bc=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题.学习目标知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.学习重、难点重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.二、分层学习自学指导自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.自学时间：8分钟.自学要求：完成探究提纲.探究提纲：①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？如图，在Rt△ABc中，∠c=90°，设∠A、∠B、∠c所对的边分别为a、b、c，则有：a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90°.b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2.c.边角关系：sinA＝，sinB＝；cosA＝,cosB＝；tanA＝,tanB＝.③已知直角三角形中不是直角的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？已知其中两个元素.自学：学生可结合自学指导进行自学.助学师助生：①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.强化直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系.直角三角形的可解条件：必须已知除直角外的两个元素.①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.第二层次学习自学指导自学内容：教材P73例1、例2.自学时间：8分钟.自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠.自学参考提纲：①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边Ac、Bc，需求出的未知元素是：斜边AB、锐角A、锐角B.方法一：∵tanA==,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°.∵Ac=，Bc=,∴AB=.方法二：∵Ac=，Bc=,∴由勾股定理可得AB=.sinA==，∴∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°.这里∠B的度数也可用三角函数来求，你会吗？②比较上述解法，体会其优劣.③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b和一锐角B，则要求的未知元素有直角边a、斜边c、锐角A.④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.⑤练习：在Rt△ABc中，∠c=90°，根据下列条件解直角三角形：a.c=20,b=20；b.∠B=60°，c=14；c.∠B=30°，a=.自学：学生可结合自学指导进行自学.助学师助生：①明了学情：关注学生解直角三角形的思路是否清晰，是否会选择恰当的三角函数关系式.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.生助生：小组内相互交流、研讨.强化：解直角三角形的思路：首先，明确已知什么，要求的元素有哪些；其次，合理选择三角函数关系式，并正确进行变形；第三，尽可能选用题目的原始数据，以减少误差.三、评价学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑问？教师对学生的评价：表现性评价：从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等方面进行点评.纸笔评价：课堂评价检测.教师的自我评价.本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.评价作业一、基础巩固已知在Rt△ABc中，∠c=90°.若a=4,b=2,则c=；若a=10，c=10，则∠B=45°；若b=35，∠A=45°，则a=35；若c=20，∠A=60°，则a=.在△ABc中，Ac=2，AB=3，∠A=30°，则△ABc的面积等于A.B.c.D.3如图，在Rt△ABc中，∠c=90°，Ac=6，sinB=，那么AB的长是9.如图，在Rt△ABc中，∠BAc=90°，点D在Bc边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABc的周长.解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.在Rt△ABc中，AB=2，∠B=60°,∴Bc===4,Ac=AB•tanB=.∴△ABc的周长为2++4=6+.二、综合应用在Rt△ABc中，∠c=90°，tanA=，△ABc的周长为45c，cD是斜边AB上的高，求cD的长.解：在Rt△ABc中，∠c=90°，tanA==，AB+Ac+Bc=45c，∴Ac=45×=,sinA=.∴cD=Ac•sinA=×≈6.9.三、拓展延伸如图，在等腰直角三角形ABc中，∠c=90°，Ac=6，D 是Ac上一点，若tan∠DBc=，求AD的长.解：在Rt△BcD中,Bc=Ac=6,tan∠DBc=,∴cD=Bc•tan∠DBc=6×=.∴AD=Ac-cD=6-=.。
28.2.1 解直角三角形教案
28．2.1 解直角三角形本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的三角形内角和定理和勾股定理，研究解直角三角形的问题，既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础．解直角三角形是结合三角形内角和定理、勾股定理等知识，利用锐角三角函数对直角三角形的三条边以及两锐角这五个要素进行求解，在解直角三角形时注意借助相应的直角三角形来寻找已知元素与未知元素的关系式．【情景导入】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(见教材第85页第10题图)，现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这架梯子？【说明与建议】 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会解直角三角形来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师引导学生思考，为本节课学习解直角三角形做好铺垫． 【归纳导入】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝20°，c ＝10 cm. (1)根据“直角三角形两锐角互余”得∠B ＝70°． (2)由sinA ＝ac ，得a ＝c ·sinA ＝10sin20°cm.(3)由cosA ＝bc，得b ＝c ·cosA ＝10cos20°cm.通过以上填空，Rt △ABC 的三条边长及三个角全部知道了，这种由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．【说明与建议】 说明：通过解答此题说明已知直角三角形的一个锐角，可以求出另一个锐角，选择恰当的边角关系，还可以求出其他的边长．建议：让学生先自主探究，然后交流解题的方法并比较从中选择最合适的方法．命题角度1 在直角三角形中解直角三角形这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．注意以下知识和技巧的总结及运用： 理论依据：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2. (2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°.(3)边角之间的关系：sinA ＝a c ＝cosB ，cosA ＝b c ＝sinB ，tanA ＝a b ＝1tanB .(4)面积公式：S △ABC ＝12ab ＝12ch(h 为斜边上的高)．提示：当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，最好用已知数据．技巧方法：1.(宜昌中考)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC 的值为(B) A.23B.22C.43D.2232．(巴中中考)如图，点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是(A)A ．sinB ＝13B ．sinC ＝255C ．tanB ＝12D ．sin 2B ＋sin 2C ＝1命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形这类问题一般和三角形或圆的相关知识结合命题，题目没有直接告诉是直角三角形，通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．3．(黑龙江中考)如图，在△ABC 中，sinB ＝13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为(B)A. 2B.52C. 5D ．24．如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是CDB ︵的中点．若tan ∠ACB ＝2，AC ＝5，则BC 的长为(D)A. 5B ．2 5C ．1D ．2命题角度3 分类讨论解不定三角形在解直角三角形问题时，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．5．(内江中考)已知，在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝42，BC ＝5，则△ABC 的面积为2或14．双直角三角形所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形．其位置关系有两种：如图1，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β－tan α，我们把它叫做公式1.图1 图2 如图2，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β＋tan α，我们把它叫做公式2.课题28.2.1 解直角三角形授课人素养目标1.了解解直角三角形的意义和条件．2．帮助学生理解直角三角形中五个元素(直角除外)的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略.教学重点解直角三角形的意义以及一般方法.教学难点选择恰当的边角关系解直角三角形.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那么除直角∠C外的两个锐角和三条边之间有如下关系：两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.三边之间的关系：a2＋b2＝c2.边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，求∠A的度数．师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知条件和所求角之间的关系，分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数.通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，并一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数，通过求解的过程，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．解直角三角形的定义问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？师生活动：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数，利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解．问题：在活动一所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形的方法问题：回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？师生活动：如图，引导学生结合图形，梳理五个元素(直角除外)之间的关系，学生展示：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝ba，cosB＝ac，tanB＝ba.问题：从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素(至1.有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用．2．在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力.少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第73页例1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．解：AB＝22，∠B＝30°，∠A＝60°.师生活动：学生在教师的引导下，思考如何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径．最后给出简洁、规范的解题步骤．例2(教材第73页例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.∵tanB＝ba，∴a＝btanB＝20tan35°≈28.6.∵sinB＝bc，∴c＝bsinB＝20sin35°≈34.9.师生活动：由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路；然后由学生独立完成，再小组交流；最后由学生代表展示解题步骤．对于求c，如果学生采取不同方法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．【变式训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43，则CD的值为(D)1.通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．2．进一步训练解一般直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解．3．变式训练拓展学生思维，同时增强学生对所学知识的灵活应用能力.A ．2 B.45 C.43 D.65提示：延长AD ，BC ，两线交于点O ，得到两个直角三角形，解直角三角形即可． 2．在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝150°，则△ABC 的面积为(A) A ．37.5 B ．75 C ．100 D ．150提示：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D.在Rt △ADC 中利用特殊角求出高CD ，再计算三角形的面积．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，解这个直角三角形．解：如图：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，∴12ab ＝92 3. ∴a ＝3 3.∴tanA ＝a b ＝333＝ 3.∴∠A ＝60°.∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－60°－90°＝30°. ∴c ＝2b ＝6. 活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，sinA ＝12，则BC 的长为(A)A ．2B ．3 C. 3 D ．2 3通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(C) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边中线是3 cm ，sinA ＝13，则S △ABC ＝(D)A. 2 cm 2B ．2 2 cm 2C ．3 2 cm 2D ．4 2 cm 2提示：由中线长可以求出斜边，解直角三角形求出两直角边，再计算三角形面积．4．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝53，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长． (2)求tanC 的值． 解：(1)∵BD ⊥AC ， ∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝BDtanA＝3BD ＝3 3. (2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt △BCD 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 课堂小结1.课堂总结：(1)什么叫解直角三角形？(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳解直角三角形的定义以及直角三角形五元素之间的关系． 2．布置作业：教材第77页习题28.2第1题.引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力.。
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计1
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形》是九年义务教育课程标准人教版九年级数学下册第28章第2节的一部分。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行的。
本节主要让学生了解解直角三角形的意义和方法，学会使用锐角三角函数来解直角三角形，为以后学习三角函数和解其他三角形打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用锐角三角函数来解直角三角形，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
三. 教学目标1.了解解直角三角形的意义和方法。
2.学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
3.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
2.难点：如何引导学生理解和掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、实践法、讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习，从而掌握解直角三角形的方法和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备相关的练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些与直角三角形相关的图片和实例，引导学生回顾直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的意义和方法，引导学生理解解直角三角形的重要性。
通过示例，讲解如何使用锐角三角函数来解直角三角形。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践，运用锐角三角函数来解直角三角形。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验他们是否掌握了解直角三角形的方法和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
(完整版)人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形教案.doc
课题教学目标教学重点教学难点授课类型教具教学步骤28.2.1 解直角三角形授课人知识技能使学生理解直角三角形中五个元素( 直角除外 ) 的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．数学思考通过实际问题的情境，让学生感受到在生活、学习中解直角三角形知识的实际意义．问题解决通过学习解直角三角形，归纳出解直角三角形的两种类型．发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的情感态度策略．解直角三角形的意义以及一般方法．选择恰当的边角关系，解直角三角形．新授课课时多媒体教学活动师生活动设计意图如图 28－ 2－ 4， Rt△ABC 中的关系式 (∠ C＝90° )：两锐角的关系：∠A＋∠ B＝ 90°.三边之间的关系：a2＋ b2＝ c2.a b a边角关系： sinA＝c，cosA＝c，tanA＝b.回顾以前所学内容，回顾为本节课的教学内容做好准备 .图28－ 2－ 4【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为 B ，塔身中心线与垂直中活动 心线的夹角为∠ A ，过点 B 向垂直中心线 一： 引垂线， 垂足为 C ，如图 28－ 2－ 5.在 Rt 创设 △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， BC ＝ 5.2 m ，AB情境 ＝ 54.5 m ，求∠ A 的度数 .图 28－ 2－ 5导入 师生活动： 教师呈现问题并引导学生结合图形， 观察已知和新课所求角之间的关系， 分析得到通过求∠ A 的正弦来求∠ A 的度数 .1.解直角三角形的定义问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？ 师生活动： 已知直角三角形的斜边和一条直角边， 求它的锐角的度数，利用锐角的正弦 (或余弦 )的概念直接求解 .问题：在活动一所述的 Rt △ ABC 中，你还能求出其他未知的边和角吗？师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：一般地，直角三角形中， 除直角外， 共有五个元素，即三条边和两个锐角． 由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.解直角三角形的方法 问题：回想一下， 刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些活动知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？二：28－ 2－ 6，引导学生结合师生活动：如图实践( 直角除外 )之间的关图形，梳理五个元素探究系，学生展示：交流a 2＋b 2＝c 2(勾股定理 ).(1)三边之间的关系：新知A ＋∠B ＝ 90° .(2)两锐角之间的关系：∠(3)边角之间的关系：图 28－2－ 6a， cosA ＝ b， tanA ＝a，sinA ＝ c c bsinB ＝ b a b， cosB ＝ ， tanB ＝ .c c a问题：从上述问题来看， 在直角三角形中， 知道斜边和一条直角边这两个元素， 可以求出其余的三个元素． 一般地， 已知五个元素 (直角除外 )中的任意两个元素， 可以求其余元素吗？教师给出结论： 在直角三角形中， 知道除直角外的五个元素中的两个元素 (至少有一个是边 )，就可以求出其余三个未知元素 .通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题 .1.有条理地梳理直角三角形五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用 .2.在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力 .活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 教材 P73 例 1 如图 28－ 2－ 7，在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90°， AC＝ 2，BC＝6，解这个直角三角形 .师生活动：学生在教师的引导下，思考如图 28－ 2－ 7何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠ B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径 .【拓展提升】1.涉“斜”选“弦”的策略当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫做涉“斜”(涉及斜边 ) 选“弦” (选正弦、余弦 )的策略 .例 2 滨州中考在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，AB＝ 10，sinA＝3，5通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．进一步训练学生解一般直角三角形的4， tanA＝3，则 BC 的长为 (A) 思路和方法，并学会cosA＝5 4A.6 B． 7.5 C． 8 D． 12.5 从计算简便的角度2.无“斜”选“切”的策略活动四：课堂总结反思当已知和所求均未涉及到斜边时，应选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”(斜边 )选“切” (正切 )的策略 .例3 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，若∠ A＝ 60°， AC＝ 20 m，则BC 大约是 (结果精确到 0.1 m)( B)A.34.64 m B． 34.6 m C． 28.3 m D ． 17.3 m【达标测评】1.在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 40°，BC＝ 3，则 AC＝ (C)A.3sin40 °B． 3sin50°C．3tan40°D． 3tan50°32.在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，若 AB ＝ 5， sinA＝，则 AC 的长为 (B)A.3 B．4 C． 5D． 63.在△ ABC 中，若∠ C＝ 90°， sinA＝1，AB＝ 2，则△ ABC 的周2长为 __3＋ 3__.4.在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，有两边长分别为 3 和 4，则 sinA3 34 7的值为__5或4或5或4 __.5.如图28－2－ 8，在△ ABC 中， BD⊥ AC，选用适当的关系式求解 .通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“ 堂堂清”.第 3页(1)求 BD 和 AD 的长；图 28－ 2－ 8(2)求 tanC 的值 .引导学生从知识和方法两个1.课堂总结：请同学们回顾以下问题：方面总结自己的收获，理清(1)什么叫解直角三角形？(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？2.布置作业：教材第 77 页习题 28.2 第 1 题 .【知识网络】解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力 .活动提纲挈领，重点突出. 四：课堂总结反思【教学反思】① [授课流程反思]在创设情境中，由一个实际问题引入，自然过渡到直角三角形．在探究新知中，采用启发法、讨论法等教学方法，学生通过讨论、实践形成理论体系，对知识反思教学过程和教师表现，掌握较为牢固 .② [讲授效果反思]进一步提升操作流程和自身解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系则是难点，为了突破此难点，本节课选择了两个例题让学生素质 .探究、讨论、总结出选择边角关系的策略：涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切” ，避“除”就“乘”，能“正”不“余”. 因为有这些例题的引导，所以学生对于解直角三角形的两个类型的掌握，应该没有问题，建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.③ [师生互动反思]_____________________________________________ _____________________________________________ ④ [习题反思 ]好题题号错题题号。
人教版数学九年级下册-28.2.1 解直角三角形-教案
28.2.1解直角三角形（第1课时）教学设计一、教材分析本节课内容是新人教版教材九年级下册，第二十八章《锐角三角函数》的第二节《解直角三角形》第一课时，是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上进行的。
本节课既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。
教材首先从实际生活比萨斜塔入手，创设问题情境，抽象出数学问题，从而引出解直角三角形的概念，归纳解直角三角形的一般方法。
本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法：数学建模和转化化归，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解直角三角形的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系。
二、教学目标（一）知识与技能1.理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2.运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．（二）过程与方法目标通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”和“转化”思想。
（三）情感、态度和价值观通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识能应用于社会实践。
并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的。
三、学情分析九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都有待提高，因此要在本节课进行有意识的培养。
四、教学重难点教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形教学难点：选择适当的关系式解直角三角形五、教法与学法1、教学方法：利用多媒体辅助教学，通过观察，引导学生思考、讨论，通过归纳、概括等方法启发、诱导，帮助学生理解内容的本质，从而突破教学难点。
2、学习方法：观察、归纳、概括和讨论的学习方法，使他们不仅理解和掌握本节课的内容，而且进一步培养和提高他们各方面的能力，从而逐步由“学会”向“会学”迈进。
人教版九年级下册28.2.1解直角三角形优秀教学案例
（四）反思与评价
1.引导学生自我反思，培养自我评价能力。鼓励学生在学习过程中进行自我反思，评价自己的学习效果和解题策略，提高自我调整能力。
2.同伴评价，促进相互学习。组织学生进行同伴评价，让学生学会倾听他人的意见和建议，从他人的反馈中改进自己的学习方法和策略。
3.教师评价，指导学生发展方向。教师对学生的学习过程和结果进行评价，针对学生的薄弱环节给予指导和帮助，引导学生正确发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入：以测量学校旗杆的高度为例，引导学生思考如何利用直角三角形求解未知边长。让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
2.回顾已有知识：简要回顾锐角三角函数的概念和性质，为学生学习解直角三角形奠定基础。
3.问题导向教学，提高学生自主学习能力。通过设计富有思考性的问题，引导学生自主探究，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
1.分组讨论，促进合作交流。将学生分成若干小组，针对问题进行讨论和交流，促进学生之间的合作，提高团队协作能力。
2.分工合作，发挥个人特长。在小组合作中，引导学生分工合作，充分发挥各自的特长，共同完成任1.理解解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的方法和技巧。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高数学应用能力。
3.熟练运用勾股定理及其推导公式，解决与直角三角形相关的问题。
在知识与技能目标部分，我注重了以下几点：
首先，让学生理解解直角三角形的概念，明确解直角三角形的意义和作用。通过具体案例和实际问题，让学生感受到解直角三角形在生活中的应用，激发他们的学习兴趣。
3.作业评价：对学生的作业进行评价，及时给予指导和鼓励，促进学生不断提高。
九年级数学28.2.1 解直角三角形教案
28.2 解直角三角形及其应用28. 解直角三角形01 教学目标1.掌握解直角三角形的根据.2.能由条件解直角三角形.02 预习反应阅读教材P72～73，自学“探究〞、“例1〞与“例2〞，完成以下内容.(1)在直角三角形中，由直角三角形中的元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：三边之间的关系a 2＋b 2＝c 2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°； 边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b.(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 与斜边c ，用关系式 ∠A ＋∠B ＝90° 求出∠B ，用关系式sinA ＝ac 求出a.03 名讲坛类型1 两边，解直角三角形例1 (教材例1变式)根据以下条件解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝32； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝2 3. 【解答】 (1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝32， ∴sinA ＝BC AB ＝22.∴∠A ＝45°.∴∠B ＝90°－∠A ＝45°. ∴AC ＝BC ＝3.(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝23， ∴tanA ＝BCAC ＝3，AB ＝BC 2＋AC 2＝4 3.∴∠A ＝60°. ∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.【点拨】【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，垂足为点H ，如果AH ＝BC ，那么sin ∠BAC 的值是45.类型2 一边和一锐角，解直角三角形例2 (教材例2变式)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，∠A ＝45°，解这个直角三角形. 【解答】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝45°. 又∵sinA ＝BCAB，∠A ＝45°，AB ＝10，∴BC ＝5 2.∴AC ＝BC ＝5 2.例3 (教材例2变式)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，∠A ＝30°，解这个直角三角形. 【解答】 ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠B ＝90°－30°＝60°. ∵cosA ＝AC AB ，∴AB ＝AC cosA ＝1032＝2033. 又∵tanA ＝BCAC，∴BC ＝AC·tanA ＝10×tan30°＝10×33＝1033.【跟踪训练2】 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cosC ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是14a 2.04 稳固训练1.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是(A)A.2B.8C.2 5D.4 52.如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于(B)A.m·sin α米B.m·tan α米C.m·cos α米D.mtan α米3.如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝3，cos B ＝45，则AC ＝154.4.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA ＝35，BE ＝4，则DE 的值是8.5.如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，求AB 的长.解：过点C 作CD ⊥AB ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin ∠CAD ＝8×12＝4，AD ＝AC·cos ∠CAD ＝8×cos 30°＝8×32＝4 3. 在Rt △BDC 中，DB ＝CD·tan ∠BCD ＝4×1＝4， ∴AB ＝BD ＋DA ＝43＋4.05 课堂小结本节学习的数学知识：解直角三角形.。
人教版九年级数学下册：28.2.1解直角三角形(教案)
最后，总结回顾环节，我尝试让学生回顾今天学习的知识点，并鼓励他们提出疑问。然而，我发现自己在解答问题时，有时可能过于急躁，没有给学生充分的思考时间。在今后的教学中，我要更加耐心地引导学生，让他们在思考中深化理解。
4.增强学生的实际问题解决能力，通过将解直角三角形应用于现实生活中的案例分析，培养学生学以致用的意识，提升解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-本节课的核心内容是理解并掌握解直角三角形的方法，包括三角函数（正弦、余弦、正切）的运用和勾股定理的应用。
-重点一：三角函数的定义及其在直角三角形中的应用。举例：通过具体直角三角形，让学生理解并记住正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，如sinA =对边/斜边，cosA =邻边/斜边，tanA =对边/邻边。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-重点二：勾股定理的运用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。举例：给出具体边长，让学生计算斜边长度，或反之，给定斜边和一直角边，求解另一直角边的长度。
-重点三：实际案例的分析，将解直角三角形的理论应用于解决实际问题。举例：测量小树的高度、建筑物的高度等。
人教版精选九年级数学下册28.2.1 解直角三角形教案
28．2．1 解直角三角形1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c，即c ＝a cos B ＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】 构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：解直角三角形的综合【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合已知等腰三角形的底边长为2，周长为2＋2，求底角的度数．解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．解：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝2，∵周长为2＋2，∴AB ＝AC ＝1.过A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝22，在Rt △ABD 中，cos ∠ABD ＝BD AB ＝22，∴∠ABD ＝45°，即等腰三角形的底角为45°.方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型二】 解直角三角形与圆的综合已知：如图，Rt △AOB 中，∠O ＝90°，以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接AC 交OB 于点P .(1)求证：BP ＝BC ；(2)若sin ∠P AO ＝13，且PC ＝7，求⊙O 的半径． 解析：(1)连接OC ，由切线的性质，可得∠OCB ＝90°，由OA ＝OC ，得∠OCA ＝∠OAC ，再由∠AOB ＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 和Rt △ACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．解：(1)连接OC ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝90°，∴∠OCA ＋∠BCA ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＋∠BCA ＝90°，∵∠BOA ＝90°，∴∠OAC ＋∠APO ＝90°，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠BPC ＝∠BCA ，∴BC ＝BP ；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 中，∵sin ∠P AO ＝13，设OP ＝x ，AP＝3x ，∴AO ＝22x .∵AO ＝OE ，∴OE ＝22x ，∴AE ＝42x .∵sin ∠P AO ＝13，∴在Rt △ACE 中CE AE ＝13，∴AC AE ＝223，∴3x ＋742x＝223，解得x ＝3，∴AO ＝22x ＝62，即⊙O 的半径为6 2.方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的综合．本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.。
人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形(1)》教学设计
人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重要知识，也是高考的重点内容。
解直角三角形在实际生活中有广泛的应用，如测量高度、距离等。
本节课的内容包括了解直角三角形的边角关系，利用锐角三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的知识，对解直角三角形有一定的认知基础。
但是，解直角三角形的实际应用能力还需加强。
学生在学习本节课的内容时，需要将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的边角关系，掌握解直角三角形的方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的边角关系，解直角三角形的方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为解直角三角形的问题，运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索直角三角形的边角关系。
2.利用多媒体演示，帮助学生直观理解解直角三角形的过程。
3.运用实例分析法，让学生动手操作，提高解决问题的能力。
4.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体课件2.直角三角形模型3.实际问题案例七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直角三角形的图片，引导学生思考直角三角形的特征。
提问：直角三角形有哪些特殊的性质？让学生回顾已学的锐角三角函数知识。
2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的边角关系，引导学生理解解直角三角形的意义。
通过多媒体演示，让学生直观地感受解直角三角形的过程。
3.操练（10分钟）给出实际问题案例，让学生动手操作，尝试运用锐角三角函数解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结解直角三角形的步骤和方法。
人教版初中数学九年级下册学案28.2.1 解直角三角形
28．2．1 解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sinb a B a b Bc a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问 (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解这个三角形．四、学生展示：完成课本74页练习补充题1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。
28.2.1解直角三角形 教案-2020-2021学年人教版九年级数学下册
铁热木镇中学第二学期教案活动一：复习引入设计说明：通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题1、在三角形中共有几个元素？2、直角三角形ABC中，︒C,那么他们的边角关∴90=∠系、三边关系、角角之间有哪些等量关系呢？活动二探究新知1.定义：一般地，在直角三角形中,除直角外,共有5个元素，分别是三条边和两个锐角，由直角三角形中,除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程叫解直角三角形.注：已知的两元素中必有一边探究：为什么两个已知元素中至少有一条边（1）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？（2）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？追问①：在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？追问②：在直角三角形中已知一个锐角一条边能求出其余元素吗？追问③：在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？（教学说明：老师提出思考问题，积极思考，踊跃回答。
通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题。
以上三点正是解直角三角形的依据。
引出下面的问题）2.解直角三角形的依据(1)三边之间的关系：222c b a =+(2)两锐角之间的关系:︒=∠+∠90B A(3)边角之间的关系:SinA=c a cosA ＝c b tanA ＝b a3、解直角三角形有两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角。
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角活动三：例题讲解解：()()632342222=-=-=AC AB BC30609090=-=∠-=∠A B 3221==AB AC设计意图：本题知道一边以锐角，算其他知识点，学生很容易得出知道一角算另一角较简单，解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。
因此在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想。
其次，组织学生比较各种方法中那些较好，选一种板演解：方法1、方法2：在Rt △ABC 中，()()22622222=+=+=BC AC ABAB AC 21= ︒=∠∴30B︒=︒-︒=∠-︒=∠60309090B A设计意图: 这道题是知道两边的情况，学生独立完成然后师生点评，此题一题多解，培养学生多角度的解决知识，活动三、课堂互动练习326tan ===AC BC A 60=∠∴A30609090=-=∠-=∠A B 222==AC AB设计意图：学生在掌握了解直角三角形的方法之后学生讨论完成下面两道练习题，题目较简单，旨在让学生会会解直角三角形。
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28.2.1解直角三角形
【学习目标】
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系．
2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【重点难点】
重点：解直角三角形的解法．
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
【新知准备】 1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 、
∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 (2)三边之间关系
(3)锐角之间关系．
【课堂探究】
一、自主探究
探究1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°.现有一个长6m 的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m ）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A ＝75°，斜边AB ＝6，求∠A 的对边 BC 的长．
问题（2）可以归结为在Rt △ABC 中，已知AC ＝2.4，斜边AB ＝6，
求锐角a 的度数
A B α C
AD 探究2
（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？
（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？
解直角三角形： . 注意：
二、尝试应用
1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b
a
，
解这个三角形．
2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B =35°，b =20，
解这个三角形（结果保留小数点后一位）．
三、补偿提高
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =6， ∠BAC 的平分线 解这个直角三角形。
2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B ＝72°，c = 14.
【学后反思】
1.通过本节课的学习你有那些收获?
2. 你还有哪些疑惑？
A B C 26 A B C
a b =20 c 35° A C A B C b=20 a =30 c B A B C b
a c=14
7.333.5690,3.56,5.12
32030tan ,131020302222=-=∠=∠=====+=+=B A b a A b a c
187290,34.472cos 14cos ,cos ,3.1372sin 14sin ,sin =-=∠≈⨯=⨯==≈⨯=⨯==A B c a c
a B B c
b
c b B 28.2.1解直角三角形学案答案
【新知准备】
略
【课堂探究】
二、尝试应用
.
222,30609090,60,32
6tan .1===-=∠-=∠=∠∴===AC AB A B A AC BC A 解： .9.3435
sin 20sin ,sin .6.2835tan 20tan ,tan .
55359090.2≈==∴=≈==∴==-=∠-=∠ B b c c b B B b a a b B B A 解：
三、补偿提高
1.解
2.（1）解：根据勾股定理
（2）
cos AC CAD AD ∠===30CAD ∴∠=︒因为AD 平分∠BAC
60,30CAB B ∴∠=︒∠=
︒12,AB BC ∴==。