2020-2021学年云南省昆明市高考数学三模试卷(文科)及答案解析
2020届云南省昆明市数学(文科)三诊一模试卷及答案
物线的准线上，
∴点 P（﹣1，4），
∴直线 PF 的斜率为：
2，
又∵PF⊥AB，∴直线 AB 的斜率为 ，
∴直线 AB 的方程为：y﹣0 ሉ
，即 x﹣2y﹣1＝0，
故选：A． 10．（5 分）若直线 y＝ax 与曲线 y＝lnx﹣1 相切，则 a＝（ ）
A．e
B．1
C．
D．
【解答】解：
，设切点为（x，lnx﹣1），
C．2π
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
D．4π
可知该几何体是底面半径为 1，高是 2 的圆柱截去四分之一．
其体积为 V
．
故选：B． 6．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T＝（ ）
A．
B．
C．
【解答】解：k＝1，S＝0，T＝0； S＝0+1＝1，T＝1，k＝2；
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B．2﹣i
C．﹣2+i
D．﹣2﹣i
【解答】解：∵z 满足（1+2i）z＝5i，
∴z
ሉ
ሉ
ሉ
2+i
故选：A．
3．（5 分）在正项等比数列{an}中，若 a1＝1，a3＝2a2+3，则其前 3 项的和 S3＝（ ）
A．3
B．9
C．13
D．24
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为 q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3， ∴q2＝2q+3，解得 q＝3． 则其前 3 项的和 S3＝1+3+32＝13． 故选：C．
െൌ
则
，解得
．
故选：D． 11．（5 分）已知正四棱锥 P﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 찐
2020届云南省昆明市高考数学三模试卷(文科)(有答案)(加精)
云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．13．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．28．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=_______．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为_______．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为_______．三、解答题17．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x≤2，即B=（﹣∞，2]，则A∩B=（0，2]，故选：A．2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z==1﹣2i，则z=﹣2i，则|z|=2，故选：C3．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，x0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立，∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m，m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为15．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，求得PC 的最小值，可得PA 的最小值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由圆心C （a ，0）到直线l 的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜， 即0＜tan ∠APC ＜1，在Rt △APC 中，tan ∠APC==， 可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，当PC ⊥l 时，PC 取得最小值，且为，即有1＜， 解得a ＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．利用菱形的性质可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD⊥PO．又O是BD的中点，可得PB=PD．（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD与△BCD都是等边三角形．由平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5，=78，（x i﹣）（y i﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6，=﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是：=﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时，=﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3，=，=.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时，g（x）＞0，0＜x＜1时，g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l 的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．k l=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），k l==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S△GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)第三次高考模拟训练试题及答案解析一
最新高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．13．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A ．26B ．48C ．57D ．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π7．已知x ，y 满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．D ．28．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f （x ）（ ）A ．在[0，3]上是减函数B ．在[﹣3，0]上是减函数C ．在[0，π]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f （x ）=e x +ax 在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）=0，g （x ）=f （x+2），则不等式xg （x ）≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cos α=，则sin （﹣α）=_______．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别是x+1，x ，x ﹣1，且∠A=2∠C ，则△ABC 的周长为_______．16．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=1（a ＞0），过直线l ：2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB 为锐角，则a 的取值范围为_______．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m 3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C 相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中不等式解得：0＜x ＜3，即A=（0，3），由B 中不等式解得：x ≤2，即B=（﹣∞，2]，则A ∩B=（0，2]，故选：A ．2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z ，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i （1+z ）=2+i ，得1+z==1﹣2i ，则z=﹣2i ，则|z|=2，故选：C3．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p ：∃x 0＞0，x 0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C 52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C 31C 21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C 52=10种选法， 选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间在区间（0，+∞）上成立．（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]在区间（0，+∞）上成立，min∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1，OO=AA′=11A=∴O1因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m， m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC 的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ．利用菱形的性质可得AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO ．又O 是BD 的中点，可得PB=PD ．（2）底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，PO ⊥BD ．可得PO ⊥平面ABCD ，因此PO ⊥AC ，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5， =78，（xi ﹣）（yi﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6， =﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是： =﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3， =， =.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x 1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..• =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时， g（x）＞0，0＜x＜1时， g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），kl==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S △GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．2016年9月12日。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(文)试题
秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A ．3B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式. 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A ．B ．C ．3D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=u u u r u u u r ______．14．已知ABC V 内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且a =，b =4B π=，则c =_____．15．若“0x R ∃∈，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是______．16．某校同时提供A B 、两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_____分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共_____分．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从两个条件：①3n n n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD V 为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 19．（12分） 经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF V 的面积．20．（12分）近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．（i ）求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； （ii ）以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率；（2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大．。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(文)试题( 解析版)
2020年高考（文科）数学（5月份）三诊一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．244．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．145．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．85B．32C．43D．17．已知f（x）是定义在R上的减函数，则关于x的不等式f（x2﹣x）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．2√3B．2√2C．√3D．√29．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 10．若直线y＝ax与曲线y＝lnx﹣1相切，则a＝（）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 211．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x≥2”是假命题的x 的值可以是 ．（写出一个即可）14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF 是锐角△ABC 的欧拉三角形，若向△ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF 内的概率为 ．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a=√3②b=√3③△ABC的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．已知函数f(x)=ax−(a+2)lnx−2x(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求f（x1）+f（x2）的最小值．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]x=12−√22t，22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），以原点y=32+√22tO为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】通过分母实数化，求出z即可．解：∵z满足（1+2i）z＝5i，∴z=5i1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．24【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1＝1，a3＝2a2+3，可得q2＝2q+3，解得q．再利用求和公式即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3，∴q2＝2q+3，解得q＝3．则其前3项的和S3＝1+3+32＝13．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．14【分析】先根据平面向量的线性坐标运算求出a→−b→=（﹣1，﹣3），再根据数量积的坐标运算求解即可．解：∵a→=（1，1），b→=（2，4），∴a→−b→=（﹣1，﹣3），∴（a→−b→）•a→=−1﹣3＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查平面向量坐标运算的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一，再由圆柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一．其体积为V=34×π×12×2=32π．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A ．85B ．32C ．43D ．1【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环． 解：k ＝1，S ＝0，T ＝0； S ＝0+1＝1，T ＝1，k ＝2； S ＝1+2＝3，T =43，k ＝3；S ＝3+3＝6，输出T 43； 故选：C ．【点评】本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．7．已知f （x ）是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B ．（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）【分析】根据题意，由函数的单调性分析：f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，结合一元二次不等式的解法分析可得答案．解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的减函数，则f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，即x 2﹣2x ＜0，解可得0＜x ＜2，即不等式的解集为（0，2）； 故选：B ．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 8．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞1）与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为1的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则|MN |＝（ ） A ．2√3B ．2√2C ．√3D ．√2【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求． 解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝x +r ﹣1，联立{y =x +r −1(x −1)2+y 2=r 2，得x 2+（r ﹣2）x +1﹣r ＝0． 由1﹣r +x N ＝2﹣r ，得x N ＝1．由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +1＝0，即r ＝2．∴M （﹣1，0），N （1，2），则|MN |=√(−1−1)2+(0−2)2=2√2． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题．9．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△PAB 为“阿基米德三角形”．当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA ⊥PB ③PF ⊥AB ． 若经过抛物线y 2＝4x 焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0【分析】由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （﹣1，4），从而得到直线PF 的斜率为﹣2， 又PF ⊥AB ，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程．解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1， 由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4−0−1−1=−2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题． 10．若直线y ＝ax 与曲线y ＝lnx ﹣1相切，则a ＝（ ）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 2【分析】先对曲线求出导数，然后设切点，根据切点是公共点、切点处的导数是切线的斜率列出方程组，即可求出a 的值．解：y′=1x ，设切点为（x ，lnx ﹣1），则{ax =lnx −1a =1x ，解得a =1e 2． 故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法．利用切点是公共点、切点处的导数是切线斜率，构造方程组是此类问题的基本思路．属于基础题．11．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π【分析】根据条件作图，数形结合求出球O 的半径r 即可． 解：如图，V P ﹣ABCD =13S 正ABCD ⋅PH =13×（2√2）2•PH =323，则PH ＝8， 设球O 的半径为r ，则在Rt △AOH 中，AO 2＝AH 2+OH 2，即r 2＝（4﹣r ）2+22，解得r =52，则球O 的表面积为4πr 2＝4π×254=25π， 故选：A ．【点评】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12【分析】设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α），化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性即可得出．解：设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），∴DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α）＝2sin α+2cos2α＝2sin α+2（1﹣2sin 2α）＝﹣4(sinα−14)2+94，∴当sinα=14时，DE+EB取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x∈R且x≠0，x+1x≥2”是假命题的x的值可以是﹣1，（任意负数均可以）．（写出一个即可）【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x＝﹣1，带入．解：当x＞0时，x+1x≥2，当且仅当x=1取等号，当x＜0时，x+1x≤−2，当且仅当x=−1取等号，∴只需x取值为负数，即可．例如x＝﹣1时x+1x=−2【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来解决），属于基础题．14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF是锐角△ABC的欧拉三角形，若向△ABC所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF内的概率为14．【分析】做出，根据中点连线三角形与大三角形相似，面积比为相似比的平方即可求解．解：根据中位线定理，显然△DEF ∽△ABC ，且相似比为12．设A ＝“点落在△DEF 内”，Ω＝“点落在△ABC 内”， ∴P(A)=S(A)S(Ω)=(12)2=14． 故答案为：14．【点评】本题考查几何概型条件下的概率计算问题，注意抓住几何图形性质解题．属于中档题．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 √5 ．【分析】设P 的坐标，求出OP →，OF →的坐标，由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c2b⋅c，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP →=（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF →=（c ，0），由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c 2b⋅c ，可得x 0＝b ，y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：b 2a 2−3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√5，故答案为：√5．【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题．16．定义域为R的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx 2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是①③．【分析】由f（1+x）+f（1﹣x）＝0可知f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，可得f（1）＝0，再结合f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，可以作出函数的图象，根据图象逐一判断每个选项的正误即可得解．解：∵f（1+x）+f（1﹣x）＝0，∴f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，则f（1）+f（1）＝0，∴f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，∴可作出函数f（x）的图象如下所示，①﹣1＜f（x）＜1，∴|f（x）|＜1，即①正确；②取x1＝﹣1，x2＝2，满足f（x1）+f（x2）＝0，但x1+x2＝1≠0，即②错误；③函数f（x）在（0，4）内的零点为x＝1，2，3，有且仅有3个，即③正确．∴正确的是①③，故答案为：①③．【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．【分析】（1）如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，利用三角形中位线定理可得：EO∥BB1，EO=12BB1．D为CC1的中点，可得：EO∥CD，EO＝CD．利用平行四边形的性质可得：OD∥EC，利用线面平行的判定定理可得：OD∥平面ABC．（2）AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，及其侧棱AA1⊥平面ABC，可得A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D ，S△BB1D，点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．利用V A1−BB1D =V B−A1B1D，即可得出h．【解答】（1）证明：如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，E为AB的中点，O为AB1的中点，∴EO∥BB1，EO=12BB1．∵D为CC1的中点，∴CD=12CC1=12BB1．且CD∥BB1．∴EO∥CD，EO＝CD．∴四边形CDOE为平行四边形．∴OD∥EC，而OD⊄平面ABC，EC⊂平面ABC．∴OD∥平面ABC．（2）解：∵AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，AA1＝2AB＝4＝CC1．∴C1D＝2．∵侧棱AA1⊥平面ABC，∴A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D．S△BB1D=12×2×4=4．点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．则V A 1−BB 1D =V B−A 1B 1D ， ∴13×√3×4=13×√7h ，解得h =4√217．【点评】本题考查了直角与等边三角形三角形的性质、三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）【分析】（1）利用折线图能求出2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，利用列举法能求出该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．解：（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数为：x=2.1+2.7+3.1+3.9+4.55=3.26万亿元．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为：3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000，（单位：亿元），∴P（A）=3 8．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查古典概型、列举法、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a =√3②b =√3③△ABC 的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC 周长的取值范围．【分析】（1）运用余弦定理，结合条件可得所求角；（2）选①②，先通过正弦定理，再由三角函数的和差公式，结合三角函数的图象和性质，可得所求范围；选③，可通过三角形的面积公式，求得bc ＝4，再由余弦定理和基本不等式，计算可得所求范围．解：（1）b 2+c 2＝a 2+bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由A ∈（0，π），可得A =π3； （2）选①a =√3，又A =π3，可得a sinA =b sinB=c sinC=2，可设B =π3+d ，C =π3−d ，−π3＜d ＜π3，即有三角形ABC 的周长l ＝a +b +c ＝2sin B +2sin C +√3=2sin （π3+d ）+2sin （π3−d ）+√3＝2（√32cos d +12sin d +√32cos d −12sin d ）+√3=2√3cos d +√3，由cos d ∈（12，1]，可得周长l 的范围是（2√3，3√3]；选②b =√3，由A =π3，由正弦定理可得a =32sinB ，c =√3sinC sinB =√3sin(2π3−B)sinB =3cosB 2sinB +√32， 则周长为l ＝a +b +c =32sinB +3cosB 2sinB +3√32=6cos 2B 24sin B 2cos B 2+3√32 =32tan B 2+3√32，由B ∈（0，2π3），可得0＜B 2＜π3，即有0＜tan B 2＜√3， 可得△ABC 的周长的取值范围是（2√3，+∞）；若选③S △ABC =√3，由A =π3，可得S △ABC =12bc sin A =√34bc =√3，即bc ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣12， 则周长l ＝a +b +c =√(b +c)2−12+（b +c ），由b +c ≥2√bc =4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，所以l ≥√42−12+4＝6， 则△ABC 的周长的范围是[6，+∞）．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x (a ＞0)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求f （x 1）+f （x 2）的最小值．【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 的值分情况讨论，分别由导函数f '（x ）的正负得到函数f （x ）的单调性即可；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，所以f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），利用导数得到h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，所以当a ＞0且a ≠2时，f （x 1）+f （x 2）的最小值为−2e−2ln 2．解：（1）函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x(a ＞0)，定义域为（0，+∞），∴f '（x ）＝a −a+2x+2x2=ax 2−(a+2)x+2x2=(x−1)(ax−2)x， 由f '（x ）＝0得：x ＝1或x =2a，①若0＜a ＜2，则2a＞1，由f '（x ）＜0得，1＜x ＜2a ；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜1或x ＞2a，∴函数f （x ）在（1，0）和（2a，+∞）上单调递增，在（1，2a）上单调递减；②若a ＝2，则2a=1，此时f '（x ）=2(x−1)2x2≥0恒成立，∴函数f '（x ）在（0，+∞）上单调递增； ③若a ＞2，则0＜2a＜1，由f '（x ）＜0得，2a＜x ＜1；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜2a或x ＞1，∴函数f （x ）在（0，2a）和（1，+∞）上单调递增，在（2a，1）上单调递减；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，∴f （x 1）＝f （1）＝a ﹣2﹣lna ，f （x 2）＝f （2a）＝2﹣a +（a +2）ln a2−lna ，∴f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a 2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），则h （x ）＝（x +2）（lnx ﹣ln 2）﹣2lnx ， ∴h '（x ）＝lnx ﹣ln 2+1，由h '（x ）＜0得0＜x ＜2e，∴函数h （x ）在（0，2e）上单调递减；由h '（x ）＞0得x ＞2e，∴函数h （x ）在（2e，+∞）上单调递增，∴x ＞0时，h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，∴当a＞0且a≠2时，f（x1）+f（x2）的最小值为−2e−2ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：x 29+y 2＝1；（2）由（1可得A 1（﹣3，0），A 2（3，0），设P （6，t ），t ＞0， 则直线A 1P 的方程为：y =t 9（x +3），直线A 2P 的方程为：y =t 3（x ﹣3）， 设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），由{y =t9(x +3)x29+y 2=1整理可得：（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0，因为yA 1=0，所以y Q =6t9+t 2， 由{y =t3(x −3)x29+y 2=1整理可得（1+t 2）y 2+2ty ＝0，因为yA 2=0，所以y R =−2t1+t 2， 所以四边形A 1QA 2R 的面积S =12|A 1A 2||y Q ﹣y R |=12•6•（6t 9+t 2+2t 1+t 2）=24t(3+t 2)(9+t 2)(1+t 2)=24t(3+t 2)(3+t 2)2+4t2=243+t 2t +4t 3+t 2， 因为t ＞0，m =t 2+3t=t +3t≥2√3，所以S =24m+4m=3√3，解得m ＝2√3，即t =√3， 当t ＜0，由对称性可得t =−√3，综上所述：当点P （6，√3）或（6，−√3）时，四边形A 1QA 2R 面积为3√3．【点评】本题考查求椭圆方程的方法及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2＝0．（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，所以A（4ρ，θ），所以4ρ(sinθ+cosθ)=2，转换为ρ＝2sinθ+2cosθ（ρ＞0）．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤4的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．解：（1）f （x ）={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴不等式f （x ）≤4等价于{x ≤−1−3x −1≤4或{−1＜x ＜1x +3≤4或{x ≥13x +1≤4，解得−53≤x ≤﹣1或﹣1＜x ＜1或x ＝1，∴不等式的解集为[−53，1]；（2）由（1）可知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增， ∴f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2， ∴m ＝2， 即a 2+b 2+c 2＝2，根据柯西不等式得（a +b +c ）2≤（12+12+12）（a 2+b 2+c 2）＝6， 故|a +b +c|≤√6．【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学试题(文)(解析版)
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』1z i =+，∴z 对应的点为(1,1)， ∴点位于第一象限，故选：A.『点睛』本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2『答案』D『解析』因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）．A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系『答案』D『解析』对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．4.已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A.1-B. 1C. 12-D.12『答案』A『解析』因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-又tan()3αβ-=，tan 2β=， 故5tan -116α==-. 故选：A.5.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A.3B.C.2D.4『答案』C『解析』由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A. 216B. 108C.D. 36『答案』B『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V=⨯⨯⨯=．故选：B．7.执行如图所示的程序框图，若输出65S=，则输入的N可以是（）A. 3B. 4C. 5D. 6『答案』B『解析』依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化：1,1k S ==，第一次循环： 112,1S =+=1N >不成立，第二次循环：112k =+=，111,22S =+=，、2N >不成立； 第三次循环：213k =+=，114,133S =+=3N >不成立；第四次循环：314k =+=，311,44S =+=4N >不成立；第五次循环：415k =+=， 116,155S =+=5N >成立输出65S =.据此可得：4N =. 故选：B.8.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A.B. 3C. D. 6『答案』C『解析』由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b =当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.9.已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b >>B. a b c >>C. b c a >>D. b a c >>『答案』D 『解析』ln31b =>，433log 31,log 12a c =<=<， ∴b 最大，343,32a c ==，∴2142323a c a c -=⋅⇒=， 考察函数2xy =与3xy =图象，可得2110c a c a a <-⇒-<-<，∴a c >， ∴b a c >>，故选：D.的10.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDCC. PD AC ⊥D. 2PB AN =『答案』A『解析』由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A11.设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』B『解析』①()()f x f x -=是偶函数，①正确；②()f x π-|sin()|cos()x x ππ=-+-|sin |cos x x =-()f x ≠, 故()f x 的图象不关于直线2x π=对称，②错误；③去绝对值，则sin cos ,[2,2]()sin cos ,[2,22]x x x k k f x x x x k k πππππππ+∈+⎧=⎨-+∈++⎩)cos ,[2,2]4()),(2,22]4x x x k k f x x x k k πππππππππ++∈+=⎨⎪-∈++⎪⎩故[2,2]x k k πππ∈+，则()[f x ∈-，(2,22x k k ππππ∈++，则()(f x ∈-，综合得()[f x ∈-，即()f x 的最小值为1-，③错误；④由x ∈(,0)π-，化简()|sin |cos f x x x =+sin cos x x =-+)4x π=-，令4t x π=-，则5sin ,(,)44y t t ππ=∈--， 此时sin y t =有且仅有一个极小值点，故()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点. ④正确. 故选：B12.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A.B. C. 3D.32『答案』C『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ,准线l 与x 轴交于点E ，如图：在Rt FED 和Rt FEC ∆中，由勾股定理得：222222112DF EF ED p y p px =+=+=+， 222222222CF EF EC p y p px =+=+=+，又因为DF =，所以2211222222322DF p px p x p px p x CF++===++. 由抛物线定义知，11222x p p FA x +=+=，22222x p p FB x +=+=， 所以12232FA x pFBx p+==+.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=______．『答案』1『解析』如图所示：12AE AB AD =+，DB AB AD =-，所以()22111222⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅ ⎪⎝⎭AE DB AB AD AB AD AB AD AB AD ， 因为AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=，又2AB =，1AD =，所以2AB =，1AD =， 代入数据可得14112⋅==⨯-=AE DB . 故答案为：114.已知ABC 内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且a =b =4B π=，则c =_____．『答案』3『解析』因为a =b =4B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-可得2522c =+-⨯， 化简可得223=0c c --，解得3c =或-1c =（舍）. 故答案为：3.15.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．『答案』[0,)+∞ 『解析』“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．『答案』 (1). 180 (2). 190『解析』根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点）， 联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从两个条件：①3nn n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q 或3q =-（舍去），故2q ，由321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 解：（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点．（2）连接,,DE NE PO ，依题意：PC ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥，因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点，PO AD ⊥ 所以PO ⊥平面ABCD ．设AB x =，则363P ABCD V x -==，解得2x =，则PO 1ON =，所以111232D ONE N ODE V V --==⨯⨯⨯=，设D 到平面OEN 的距离为d ，12112OENS=⨯⨯=，所以13d =d =即点D 到平面α 19.经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =． （1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积． 解：（1）22:12x C y +=∴椭圆:C 长轴长2a =，半焦距1c =．点M 在C 上，∴122MF MF a +==1||MF MP =，∴2212||r PF MP MF MF MF ==+=+=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 根据题意画出图象：如图A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥∴22121110AF AF x y ⋅=+-=，又221112x y +=， 解得10x =，11y =±，若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得224,313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若11y =-，同理可求得2ABF 的面积：43S =． 综上所述，2ABF 的面积为：43． 20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．①求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； ②以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率； （2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大． 解：（1）①当天的销售量12n ≥时，利润12(500300)2400y =⨯-=；当天的销售量12n <且n N ∈时，利润500123005003600y n n =-⨯=-； 所以当天的利润y 关于销售量n 的函数解析式为5003600,12,()2400,12,n n y n N n -<⎧=∈⎨≥⎩．②记“当天的利润不低于1900元”为事件A ，由50036001900n -≥，解得11n ≥， 所以事件A 等价于当天的销售量不低于11箱； 所以263022181053()15075P A ++++==，即当天的利润不低于1900元的概率为5375． （2）若当天的进货量为11箱时，日销售量为8箱的利润为700元，日销售量为9箱的利润为1200元，日销售量为10箱的利润为1700元，日销售量不低于11箱的利润为2200元则日平均利润为：11[700101200141700202200(2630221810)]1940150y =⨯+⨯+⨯+⨯++++=（元）若当天的进货量为12箱时，日销售量为8箱的利润为400元，日销售量为9箱的利润为900元，日销售量为10箱的利润为1400元，日销售量为11箱的利润为1900元，日销售量不低于12箱的利润为2400元，则日平均利润为：215720[40010900141400201900262400(30221810)]1503y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++=（元）由于12y y >，所以小李今后应当每天购进11箱基围虾． 21.已知1()22xf x e x =--． （1）证明：()0f x >；（2）对任意1x ≥，sin 21ln 0x e x ax x +--->，求整数a 的最大值． （参考数据：sin10.8,ln20.7≈≈）解：（1）1()22xf x e x =--，则()2x f x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =， 当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增． 所以min 13()(ln 2)22ln 22ln 2022f x f ==--=->，所以()0f x >． （2）由sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >， 由ln 2sin10.812333e e =<<<=，得整数2a ≤， 因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明对任意1x ≥，sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立即可． 由（1）知122xe x >+，则有sin 12sin 2xex >+， 由此可得：sin 2221121ln 2sin 21ln 2sin 2ln 22x e x x x x x x x x x x x +--->++---=+---， 令212sin 2)l (n 2x x x x x g =+---，则1()2cos 22g x x x x'=+--， 又21()22sin 0g x x x''=+->，所以()g x '单调递增， 当1x >时，()(1)2cos112cos103g x g π''>=->-=，()g x 在(1)+∞上单调递增．故当1x ≥时，3()(1)2sin102g x g ≥=->，所以sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立， 综上所述：整数a 的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 『选修4—4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 解：（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +， 由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===， 所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=，由[0,)απ∈，所以sin α=. 『选修4—5：不等式选讲』23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++． （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．解：（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->.当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x > 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞.因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(文)试题附答案
秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B。
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学摸底试卷(文科)(附答案详解)
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学摸底试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图，若复数z在复平面内对应的点为E，则复数z−在复平面内对应的点为()A. EB. FC. GD. H2.已知集合A={−2,−1,0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B的元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 53.在正项等比数列{a n}中，已知a1，a3，a5成等差数列，则a3+a4a1+a2=()A. 1B. 2C. 4D. 84.已知直线l：x+my−1=0与圆(x−2)2+(y+1)2=4相交于A，B两点，当AB取得最大值时，则m=()A. −3B. −1C. 1D. 35.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于()A. 6πB. 8πC. 12πD. 14π6.双曲线x26−y23=1的顶点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. √2D. 17.函数y=xsinx(x∈[−π,π])的图象可能是()A.B.C.D.8. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的一条对称轴为x =π6，则ω的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知log 2a =(12)a ，b =ln 12，c =(12)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. a >b >cC. b >a >cD. a >c >b10. 在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用T(n)(单位：次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n 的函数.已知某算法的时间复杂度T(n)=20n 4+nlog 2n(n ∈N ∗)，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n 的最大值为( )A. 40B. 50C. 60D. 7011. 已知O 1是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的中心O 关于平面A 1B 1C 1D 1的对称点，则下列说法中错误的是( )A. O 1C 1与D 1C 是异面直线B. O 1C 1//平面A 1BCD 1C. O 1C 1⊥BDD. O 1C 1⊥平面BDD 1B 112. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息.某人在银行贷款金额为A 元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止.若月利率p 固定不变，按“复利”计算本息和，分n 个月还清(贷款1个月后开始第1次还款)，则此人每月还款金额为( )A. An 元 B.A(1+p)nn元C. A(1+p)n(1+p)n −1元D. Ap(1+p)n(1+p)n −1元二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y ≤2x +3y ≥3，则z =4x +y 的最大值等于______ ．14. 已知向量a ⃗ =(1,−1)，|b ⃗ |=4，a ⃗ ⋅b ⃗ =−2√2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ． 15. 随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物，为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株测量胸径(厘米)作为样本，得到样本频率分布直方图如图所示，这100株滇山茶胸径不超过m 厘米的占90%，超过m 厘米的占10%，将胸径超过m 厘米的作为重点监测对象，则m 约为______ 厘米.(精确到0.1)16. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，第一象限内的A ，B 两点都在C 上，O为坐标原点，若∠AFO =∠AFB =π3，且△AFB 的面积为3√3，则点A 的坐标为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinB +bcosA =c ．(1)求B ；(2)设a =√2c ，b =2，求c ．18.如图的四棱锥S−PMNE和四棱台PMNE−ABCD是由一个四棱锥S−ABCD被过各侧棱中点的平面所截而成.在四棱台PMNE−ABCD中，PA⊥平面ABCD，H是AD 的中点，四边形ABCH为正方形，AB=AP=2．(1)证明：CH⊥ED；(2)求四棱台PMNE−ABCD的体积．19.已知函数f(x)=e x+x2−x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：对任意x∈R，都有f(x)≥1．20.在甲、乙两位选手以往的比赛中随机抽取10局比赛，胜负情况依次如表：第i局比赛(i=1,2，…，10)12345678910胜者乙乙甲乙甲乙乙甲甲甲(1)从表中第5局到第10局的六局比赛中任选两局，求甲至少有一局获胜的概率； (2)甲、乙两位选手将要进行一场比赛赛制为三局两胜(当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，比赛每局均分出胜负.若以甲、乙两位选手表中10局比赛的结果作为样本，视样本频率为概率，求甲2：0获胜的概率．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√32，M 为C 上一点，△MF 1F 2面积的最大值为3√3． (1)求C 的标准方程；(2)设动直线l 过F 2且与C 交于A 、B 两点，过F 1作直线l 的平行线l′，交C 于R 、N 两点，记△RF 2A 的面积为S 1，△NF 2B 的面积为S 2，试问：S 1+S 2是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设P(3,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||PA|−|PB||．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−b|．(1)当a=1，b=2时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)设a>0，b>0，若f(x)的最小值为2，证明：1a +1b+1≥43．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为复数z对应的点与复数z−对应的点关实轴对称，故复数z−在复平面内对应的点为H．故选：D．利用共轭复数的定义以及复数的几何意义求解即可．本题考查了复数的几何意义的理解和应用，共轭复数定义的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵A={−2,−1,0，1，2}，B={x|−1≤x≤1}，∴A∩B={−1,0，1}，∴A∩B的元素个数为3．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B的元素个数．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为a1，a3，a5成等差数列，所以2a3=a1+a5，所以2a1q2=a1+a1q4，因为数列{a n}是正项等比数列，所以a1>0，q>0，所以q4−2q2+1=0，解得q=1或q=−1(舍)，所以a3+a4a1+a2=a1q2+a2q2a1+a2=q2=1．故选：A．由等差数列的性质和等比数列的通项公式可得关于q的方程，解方程可求得q的值，再由等比数列的通项公式将所求式子化简即可求解．本题主要考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：当直线l经过圆的圆心时，AB取得最大值，因为圆(x−2)2+(y+1)2=4的圆心坐标为(2,−1)，所以2−m−1=0，解得m=1．故选：C．当直线l经过圆心时，AB取得最大值，将圆心坐标代入直线方程，即可求解m的值．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为1，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为3的圆锥组成；故这个零件的体积V=13×π×22×3+π×12×2=6π．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：双曲线x26−y23=1的顶点(±√6,0)，渐近线方程为：x±√2y=0，所以双曲线x26−y23=1的顶点到渐近线的距离为：√6√1+2=√2．故选：C．求出双曲线的顶点坐标，渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法．点到直线的距离公式的应用，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置判断选项即可． 【解答】解：函数y =xsinx(x ∈[−π,π])是偶函数，排除B ，D ， 当x =π2时，y =π2，可知选项A 不正确； 故选C ．8.【答案】B【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx +π6)的一条对称轴为x =π6， 所以π6⋅ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，解得ω=6k +2，k ∈Z ； 又ω>0，所以ω的最小值为2． 故选：B ．根据正弦型函数的对称性，结合题意即可求出ω的最小值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵log 2a =(12)a >0，∴a >1， ∵ln 12<ln1=0，∴b <0，∵0<(12)0.2<(12)0=1，∴0<c <1， ∴a >c >b ， 故选：D ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题主要考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，是基础题．10.【答案】B【解析】解：只需要T(n)=20n 4+nlog 2n ≤1.3×108的最大n 即可， 当n =40时，T(40)=20×404+40×log 240≈5.12×107<1.3×108， 当n =50时，T(50)=20×504+50×log 250≈1.25×108<1.3×108， 当n =60时，T(60)=20×604+60×log 260≈2.592×108>1.3×108，综上所述，保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，n 的最大值为50． 故选：B ．只需要T(n)=20n 4+nlog 2n ≤1.3×108的最大n 即可． 本题考查对数的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2， 对于A ，O 1C 1∩平面CDD 1C 1=C 1，C 1∉D 1C ， ∴O 1C 1与D 1C 是异面直线，故A 正确； 对于B ，O 1(1,1，3)，C 1(0,2，2)，D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，设平面A 1BCD 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y +2z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0， 取y =1，得n⃗ =(0,1，1)， O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，且O 1C 1⊄平面A 1BCD 1，∴O 1C 1//平面A 1BCD 1，故B 正确； 对于C ，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，D(0,0，0)，B(2,2，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0)， O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴O 1C 1⊥BD ，故C 正确； 对于D ，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，O 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2≠0，∴O 1C 1与BD 1不垂直，∴O 1C 1与平面BDD 1B 1不垂直，故D 错误． 故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，利用向量法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12.【答案】D【解析】解：因为贷款金额为A 元，月利率为p ，分n 个月还清， 所以本息和一共为A(1+p)n 元，设每个月还款金额为Q 元，则A(1+p)n =Q +Q(1+p)+Q(1+p)2+⋯+Q(1+p)n−1，由等比数列求和公式可得A(1+p)n =Q[(1+p)n −1]1+p−1，所以Q =Ap(1+p)n(1+p)n −1，所以此人每月还款金额为Ap(1+p)n(1+p)n −1元． 故选：D ．由题意得到本息和一共为A(1+p)n 元，然后设每个月还款金额为Q 元，则A(1+p)n =Q +Q(1+p)+Q(1+p)2+⋯+Q(1+p)n−1，然后利用等比数列求和公式求解即可． 本题考查了函数在实际生活中的应用，主要考查了指数型函数模型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中得到数学模型，属于中档题．13.【答案】132【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y =2x +3y =3，解得A(12,32)，化目标函数z =4x +y 为y =−4x +z ，由图可知，当直线y =−4x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为4×32+12=132．故答案为：132．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14.【答案】120°【解析】解：根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 向量a ⃗ =(1,−1)，则|a ⃗ |=√1+1=√2，则有a⃗⋅b⃗ =√2×4×cosθ=−2√2，变形可得cosθ=−12，又由0°≤θ≤180°，则θ=120°，故答案为：120°．根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求出|a⃗|的值，由数量积的计算公式可得a⃗⋅b⃗ =√2×4×cosθ=−2√2，变形可得cosθ=−12，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．15.【答案】19.3【解析】解：胸径超过m厘米的占10%，即胸径超过m厘米的频率是0.1，落在[25,30]内的频率是5×0.004=0.02，落在[20,25]内的频率是5×0.012=0.06，所以m应落在[15,20)内，所以(20−m)×0.030=0.1−0.02−0.06，所以m≈20−0.667=19.333≈19.3厘米，故答案为：19.3．估计频率分布直方图求出落在[25,30]，[20,25]内的频率，再求出m的值．本题考查了频率分布直方图，频率的计算，用样本估计总体等知识，属于基础题．16.【答案】(12,√3)【解析】解：设|AF|=m，|BF|=n，∵∠AFO=∠AFB=π3，∴A(p−m2,√3m2)，B(p+n2,√3n2)，由抛物线的定义知，|AF|=p−m2+p2=m，∴m=23p，|BF|=p+n2+p2=n，∴n=2p，∵△ABF的面积为3√3，∴12mn⋅sin∠AFB=3√3，即mn=12，∴23p⋅2p=12，解得p=3，∴m=2，∴A(12,√3).故答案为：(12,√3).设|AF|=m，|BF|=n，可用含m，n，p的式子表示出点A和B的坐标，再由抛物线的定义，推出m=23p，n=2p，然后结合三角形的面积公式，求出p和m的值，从而得解．本题考查抛物线的定义与几何性质，三角形的面积公式，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAsinB=sinAcosB，又因为sinA≠0，cosB≠0，所以tanB=1，又0<B<π，所以B=π4．(2)由余弦定理b2=c2+a2−2accosB，a=√2c，可得4=c2+2c2−2√2c2×√22，解得c=2．【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=1，结合0<B<π，可求B的值．(2)由已知利用余弦定理即可解得c的值．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCH为是正方形，∴CH⊥AH，∵PA⊥平面ABCD，CH⊂平面ABCD，∴CH⊥PA，又AP∩AH=A，AH、AP⊂平面PADE，∴CH⊥平面PADE，而ED⊂平面PADE，∴CH⊥ED；(2)解：将四棱锥S−PMNE与四棱台PMNE−ABCD拼回成原四棱锥S−ABCD，根据题意，可知四边形ABCD与四边形PMNE都是直角梯形，∵P、M、N、E分别是四棱锥S−ABCD四条侧棱的中点，∴PE=12AD=2，PM=12AB=1，MN=12BC=1，SP=12SA=2，∴V S−PMNE=13×(PE+MN)×PM2×SP=1，V S−ABCD=13×(BC+AD)×AB2×SA=8．∴四棱台PMNE−ABCD的体积为V S−ABCD−V S−PMNE=8−1=7．【解析】(1)由已知可得CH⊥AH，CH⊥PA，由直线与平面垂直的判定可得CH⊥平面PADE，进一步可得CH⊥ED；(2)将两个几何体拼回成四棱锥，则四棱台的体积等于大四棱锥的体积减去小四棱锥的体积．本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】(1)解：根据题意可得，f′(x)=e x+2x−1，根据函数导数的几何意义即得，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程即为y−f(0)=f′(0)(x−0)∵f(0)=1，f′(0)=0，∴函数y=f(x)在点(0,1)处的切线方程即为：y−1=0⇔y=1．(2)证明：由(1)得，f′(x)=e x+2x−1，∴f“(x)=e x+2>0，即得f′(x)在R上单调递增，又因为f′(0)=0，所以当x>0时，f′(x)>f′(0)=0，此时函数f(x)单调递增；当x<0时，f′(x)<f′(0)= 0，此时函数f(x)单调递减；综上可得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减；在(0,+∞)上单调递增．即得f(x)min=f(0)=1，所以对任意的x∈R，都有f(x)≥1．【解析】(1)根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点(0,f(0))处的切线方程；(2)根据题意，只需证明函数f(x)在R上的最小值为1，即可．本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．20.【答案】解：(1)第5局到第10局的六局比赛中任选两局，总的情况共有C 62=15种， 甲获胜一局有C 41C 21=8种，甲获胜两局有C 42=6种，所以甲至少有一局获胜的概率为8+615=1415； (2)因为甲、乙两位选手10局比赛各获胜5局， 所以比赛中甲、乙每局获胜的概率均为12，要使得甲、乙两位选手进行比赛中甲2：0获胜，需使比赛前两局甲均获胜， 所以甲2：0获胜的概率为12×12=14．【解析】(1)分别求出第5局到第10局的六局比赛中任选两局的种数以及甲至少有一局获胜的种数，利用古典概型的计算公式求解即可；(2)分析可知，比赛中甲、乙每局获胜的概率均为12，所以需使比赛前两局甲均获胜，由概率公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，主要考查了古典概型的求解，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由题意，可知△MF 1F 2面积的最大值为bc ， 所以{bc =3√3c a=√32a 2=b 2+c 2，解得a =2√3，b =√3，c =3，所以椭圆的方程为x 212+y 23=1．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y =k(x −3)，(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −3)x 212+y 23=1，得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−12=0，所以△=48(1+k 2)>0恒成立， 所以x 1+x 2=24k 21+4k2，x 1x 2=36k 2−121+4k 2，由l′//l ，可知S △RF 2A =S △F 1F 2A ，S △NF 2B =S △F 1F 2B ， 所以S 1+S 2=S △F 1F 2A +S △F 1F 2B =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2| =3|k|⋅|x 1−x 2|=3|k|⋅√48(1+k 2)1+4k 2=12√3×√1+1k 21k 2+4，令√1+1k 2=t ，则t >1，所以S 1+S 2=12√3×tt 2+3≤12√3×2√3t =6，(当且仅当t 2=3时取等号)，即1+1k 2=3，k =±√22时，S 1+S 2取得最大值，最大值为6，当直线l 的斜率不存在时，不妨设A(3,√32)，B(3,−√32)，R(−3,√32)，N(−3,−√32)，则S 1+S 2=3√3<6，综上，当k =±√22时，S 1+S 2取得最大值，最大值为6．【解析】(1)将离心率，△MF 1F 2面积的最大值用a ，b ，c 表示出来，结合a ，b ，c 之间的关系，联立求解，解得a ，b ，c 的值，从而求出椭圆C 的标准方程．(2)分两种情况：直线l 的斜率存在和直线l 的斜率不存在，求S 1+S 2，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)消去参数得C ：(x −2)2+y 2=4．由√2ρsin(θ+π4)=3得√2ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=3，即ρsinθ+ρcosθ=3， 所以直线l 的直角坐标方程为x +y −3=0． (2)直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√22t(t 为参数)，代入曲线C 的方程得：(1−√22t)2+12t 2=4，整理得t 2−√2t −3=0．所以t 1+t 2=√2，t 1t 2=−3<0，所以t 1，t 2异号， 故||PA|−|PB||=||t 1|−|t 2||=|t 1+t 2|=√2．【解析】(1)消去参数能求出曲线C 的普通方程，直线l 的极坐标方程转化为ρcosα+ρsinα=3，由此能求出直线l 的直角坐标方程． (2)写出直线l 的参数方程{x =3−√22t y =√22t(t 为参数)，代入曲线C 的方程得：(1−√22t)2+12t 2=4，整理得t 2−√2t −3=0.利用韦达定理解答．本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段差的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】(1)解：将a =1，b =2代入f(x)≥5，得|x +1|+|x −2|≥5，等价于：{x ≤−11−2x ≥5或{−1<x <23≥5或{x ≥22x −1≥5解得：x ≤−2或x ≥3．所以不等式f(x)≥5的解集为(−∞,−2]∪[3,+∞)． (2)证明：f(x)=|x +a|+|x −b|≥|a +b|， 因为f(x)的最小值为2，且a >0，b >0，所以a +b =2．1a+1b+1=13(1a +1b+1)(a +b +1)=13(b+1a+a b+1+2)≥13(2√b+1a⋅ab+1+2)=43，当且仅当b+1a=a b+1，即当a =b +1，即a =32，b =12时取等号．【解析】(1)通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的焦距即可． (2)利用函数的最小值，结合基本不等式，转化证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想，逻辑推理能力，是中档题．。
2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(文科)(5月份)
（1）求直线 的极坐标方程；
（2）设动点 的极坐标为 ，射线 与直线 相交于点 ，且满足 ＝ ，求点 轨迹的极坐标方程．
[选修4--5：不等式选讲]
已知 ＝ ．
（1）解不等式 ；
（2）设 的最小值为 ，实数 ， ， 满足 ＝ ，证明： ．
参考答案与试题解析
2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（文科）（5月份）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
利用交集定义直接求解．
【解答】
∵集合 ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ．
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
通过分母实数化，求出 即可．
10.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
先对曲线求出导数，然后设切点，根据切点是公共点、切点处的导数是切线的斜率列出方程组，即可求出 的值．
【解答】
，设切点为 ，
则 ，解得 ．
11.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
根据条件作图，数形结合求出球 的半径 即可．
【解答】
如图， ，则 ＝ ，
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆 的左、右顶点，点 为直线 ＝ 上的动点，直线 ， 分别交椭圆于 ， 两点，求四边形 面积为 ，求点 的坐标．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]
云南省昆明市高三三模数学(文)试题(解析版)
2021届云南省昆明市高三三模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-≤≤，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1,0,1}-C ．[1,1]-D ．{2,1,0,1,2}-- 【答案】B【分析】根据交集的定义进行求解即可；【详解】因为集合{}11A x x =-≤≤，{2,1,0,1,2}B =--， 所以A B ={1,0,1}-，故选：B2．已知向量(0,3),(4,0)a b ==，则cos ,a a b 〈-〉=（ ） A ．35B ．45C ．35D ．45-【答案】A【分析】先求得a b -的坐标，再利用夹角公式求解. 【详解】因为向量(0,3),(4,0)a b ==， 所以(4,3)a b -=-， 所以3cos ,5a a b 〈-〉==，故选：A3．给出下列三个结论：①若复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则1a = ②若复数21iz i=+，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限 ③若复数z 满足||1z =，则z 在复平面内所对应点的轨迹是圆 其中所有正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】①根据复数是纯虚数，由20a a a ⎧-=⎨≠⎩求解判断；②先利用复数的除法化简复数，再利用复数的几何意义判断；③根据复数模的几何意义判断；【详解】①因为复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则200a a a ⎧-=⎨≠⎩，解得1a =，故正确； ②复数()()()2121111i i iz i i i i -===+++-，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z 满足||1z =，所以z 在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确； 所以正确结论的个数是2个， 故选：C4．2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇､腾冲银杏小镇､禄丰黑井古镇､剑川沙溪古镇､瑞丽畹町小镇､德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（ ） A ．13B ．23C ．15D ．16【答案】A【分析】6个云南特色小镇中任意选两个有15况，其中一个是安宁温泉小镇有5情况，根据古典概型概率公式即可求解．【详解】6个云南省特色小镇分别为,,,,,a b c d e f ，其中a 为安宁温泉小镇 则6个云南特色小镇中任意选两个的可能结果有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种其中一个是安宁温泉小镇有()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f 共5种 所以要求的概率为51153P == 故选：A5．ABC 为等腰三角形，且90C ∠=︒，则以A ，C 为焦点且过点B 的椭圆的离心率为（ ）A ．B C 1 D 1【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质，结合椭圆的定义、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】因为90C ∠=︒，所以设等腰直角ABC 中，2AC BC k ==，所以AB =，因为椭圆是以A ，C 为焦点且过点B ，因此22,22AC c k BA BC a k ==+==+，所以有,1)c k a k ==，因此该椭圆的离心率为1c e a ===， 故选：D6．已知等差数列{}n a 的公差为d ，有下列四个等式：①11a =-②1d =③120a a +=④33a =；若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】B【分析】假设其中一个等式不成立，结合等差数列的通项公式判断其他三个等式是否成立即可.【详解】假设①11a =-不成立时，②1d =成立，则由121111002a a a a d a +=⇒++=⇒=-，此时31132222a a d =+=-+=显然不成立，故本假设不成立；假设②1d =不成立，①11a =-成立，则由1211002a a a a d d +=⇒++=⇒=，此时3121223a a d =+=-+⨯=显然成立，故本假设成立，符合题意； 假设120a a +=不成立，即11102a a d d a ++≠⇒≠-，则由①11a =-，②1d =，可知31213a a d =+=≠，故本假设不成立； 假设33a =不成立，即33a ≠，由①11a =-②1d =，可得121110a a a a d+=++=-≠，故本假设不成立，故选：B7．已知圆周率π满足等式1111111143579111315π=-+-+-+-+.如图是计算π的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（）A．(1)kS Sk-=+B．(1)kS Sk-=-C．(1)21kS Sk-=+-D．(1)21kS Sk-=--【答案】D【分析】先写出展开式的第k项，然后结合流程图分析可得结果.【详解】依题意可知：111111(1)1435791121kkπ+-=-+-+-+++-，其中1(1)21kk+--是等式右边的第k项，由流程图可知，对于变量S，只需要在上一次求和的基础上加上1(1)21kk+--，又1(1)(1)2121k kk k+--=---，所以，空白框中应填入(1)21kS Sk-=--.故选D.8．已知平面α截球O3α的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π【答案】C【分析】根据条件求出球O 的半径即可.【详解】依题意得：截面圆半径3r =，设球O 的半径为R ，则球心O 到截面圆的距离3d R =-.如图，由勾股定理得：222(3)(3)R R =-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R ππ=. 故选：C.9．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线sin (0,0)6y A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（ ） A ．2sin 6y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．232353y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2342353y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．52sin 6y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据图2求出噪音的声波曲线对应的函数的解析式，再结合题意进行求解即可. 【详解】由2可知：()sin 6y f x A x πω⎛⎫==+⎪⎝⎭过5(0,1),(,0)6两点，所以有1(0)sin 11262y f A A A π⎛⎫===⇒=⇒= ⎪⎝⎭， 55561()2sin 0()()()6666655f k k Z k k Z ππωωπωπ⎛⎫=+=⇒+=∈⇒=-∈ ⎪⎝⎭， 当1k =时，()2sin 6y f x x ππ⎛⎫==+⎪⎝⎭，显然A 不符合题意，此时函数的周期为22ππ=，要想抵消噪音，只需函数()2sin 6y f x x ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向左或向右平移一个单位长度即可，即得到(1)2sin 2sin 66y f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或5(1)2sin 2sin 66y f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 符合， 显然选项B ，C 的振幅不是2，不符合题意， 故选：D【点睛】关键点睛：根据图象求出正弦型函数的解析式，结合题意利用平移解决问题是解题的关键.10．已知某物种经过x 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：0.18(0)xey k k -=⋅>，当0x =时，y 的值表示2021年年初的种群数量.若()*t t N ∈年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，则t 的最小值为(参考值：ln 3 1.09≈)（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】根据题意先求出2021年年初的种群数量，再列出不等式，根据取对数法进行求解即可.【详解】因为当0x =时，y 的值表示2021年年初的种群数量， 所以有8y k =，即2021年年初的种群数量为8k ，当()*t t N ∈年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14， 所以有0.10.10.10.1221182log 8log 28438tt t e t e k e e k ----≤⋅⇒≤⇒≤⇒≤⋅10.1ln ln 30.1 1.0910.93t t t ⇒-≤=-⇒-≤-⇒≥，所以t 的最小值为11，故选：C.【点睛】关键点睛：根据题意得到指数不等式，通过取二次对数进行求解是解题的关键.11．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在C 上，若123F PF π∠=，且||2OP a =(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】A【分析】根据平面向量加法的几何意义、双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线渐近线方程进行求解即可.【详解】不妨设点P 在C 的右支上，设12,PF m PF n ==，由双曲线的定义可知：2m n a -=，因为||2OP a =， 所以222221212121211()()4224OP PF PF OP PF PF OP PF PF PF PF =+⇒=+⇒⋅=++⋅，即222221162()342a m n mn m n mn mn a =++⋅=-+⇒=， 由余弦定理可知：22222221212121212cos 4()2222F F PF PF PF PF F PF c m n mn mn c a =+-⋅⋅∠⇒=-+-⋅⇒=，而222c a b =+，所以22a b a b =⇒=，因此C 的渐近线方程为y x =±， 故选：A【点睛】关键点睛：根据中点利用向量的加法的几何意义求解即解题的关键. 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()2*142,n n S S n n n -+=≥∈N ，则100a=（ ） A ．414 B ．406C ．403D ．393【答案】B【分析】利用两式相减得184n n a a n ++=+，再利用两式相减可得()282n n a a n +-=≥，由此可得286n a n =+，进一步可得答案.【详解】由()2121441nn n n S S n S S n -+⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩，两式相减得1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+.再由12184812n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得()282n n a a n +-=≥，由2116S S +=，得214a =，故{}2n a 为以14为首项，8为公差的等差数列，故()2141886n a n n =+-⨯=+， 故1008506406a =⨯+=. 故选：B【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列{}n a 的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件210,0,60,x y x y x y --≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为___________.【答案】1【分析】在平面直角坐标系内画出可行解域，平移直线12y x =，在可行解域内找到一点使得直线1122y x z =+在纵轴的截距离最小，把点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】在平面直角坐标系内画出可行解域，如下图所示：在可行解域平移直线12y x =，当直线1122y x z =+经过A 点时，该直线在纵轴的截距离最小，A 点坐标是方程组0210x y x y -=⎧⎨--=⎩的解，解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以min 1211z =-+⨯=. 故答案为：1.14．已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，2854a a a =，55b a =，则28b b +=___________.【答案】8【分析】先求得54a =，则554b a ==，进而可得28528b b b +==.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以22855544a a a a a =⇒=，又50a ≠，所以54a =.从而554b a ==，又{}n b 是等差数列，所以28528b b b +==. 故答案为：8.15．甲､乙两组数据如下表所示，其中*, a b N ∈，若甲､乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则(,)a b 为___________.(只需填一组)【答案】()6,6(其它答案；(5,7),(7,5),(4,8),(8,4))【分析】根据平均数和方差的定义，可得出,a b 所满足的条件，从而可解. 【详解】解：设甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，方差分别为12,s s ， 甲､乙两组数据的平均数相等，∴1247111210a b ++++=++++， 12a b ∴+=， 125x x ==，()()()()()22222211152545751155s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦， ()()()()()222222211525551055s a b ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦， 又2212s s >，()()225516a b ∴-+-<，又*, a b N ∈，所以满足条件的(,)a b 可以是()6,6(5,7),(7,5),(4,8),,(8,4))， 故答案为：()6,6(其它答案；(5,7),(7,5),(4,8),(8,4)). 16．已知函数ln ()1xxf x ae x=--两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】令ln ()10xxf x ae x=--=，转化为ln 0x axe x x --=有两个不同的根，令 ()ln x g x axe x x =--，转化为函数()g x 有两个零点，用导数法求解.【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=，则 ln 0x axe x x --=，令 ()ln xg x axe x x =--，则 ()()1111xxx g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭， 当 0a ≤时， ()0g x '<在()0,∞+上恒成立，()g x 递减，不可能有两个零点，当0a >时，存在0x 使得 ()00g x '=，即 01x ae x =， 当00x x <<时， ()00g x '<，当 0x x >时， ()00g x '>， 若()f x 两个不同的零点，即()g x 有两个零点，则 ()00g x <，即()0000001ln 1ln 1ln0xxg x ax e x x e x a=--=-=-<， 解得10a e<<， 故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c =，60A =︒，D 为BC 边上一点，2BD CD =. （1）若1CD =，求sin C ；（2）若ABC的面积为AD 的长. 【答案】（1）3；（2【分析】（1）直接由正弦定理求得sin C ；（2）利用面积公式求出4b =，利用向量中线公式求出1233AD AB AC =+，用数量积求出模长即可.【详解】解：（1）依题意得2BD =，则3BC =， 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin a cA C=，2sin C =，所以sin C =.（2）因为1sin 2ABCSbc A ===4b =，由2BD CD =可得，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，则2221441448424sin 601699999994AD AB AB AC AC =+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯⨯︒=， 所以221AD =. 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形.（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若2BC =，1AB =，160BCC ∠=︒，求四棱锥111C ABB A -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（223【分析】（1）根据平面11BCC B ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，得到AB ⊥平面11BCC B ，则1AB B C ⊥，根据四边形11BCC B 为菱形，得到11B C BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）过1C 作1C D BC ⊥，根据平面11BCC B ⊥平面ABC ，结合1C D BC ⊥，得到1C D ⊥平面ABC ，然后由1111111C A ABB ABC A B C C ABC V V V ---=-四棱锥三棱锥三棱锥求解.【详解】（1）因为平面11BCC B ⊥平面ABC ， 平面11BCC B 平面ABC BC =，又AB BC ⊥，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1AB B C ⊥，又因为四边形11BCC B 为菱形， 所以11B C BC ⊥， 而1ABBC B =，且AB ､1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC . （2）如图所示：过1C 作1C D BC ⊥，垂足为D ，则D 为BC 中点， 因为平面11BCC B ⊥平面ABC ， 平面11BCC B 平面ABC BC =，又1C D BC ⊥，1C D ⊂平面11BCC B ， 所以1C D ⊥平面ABC ，因为2BC =，160BCC ∠=︒，所以13C D ， 由1AB =，2BC =，13C D =190ABC ∠=︒， 所以1111111C A ABB ABC A B C C ABC V V V ---=-四棱锥三棱锥三棱锥11123123123232=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．19．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困.某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x ，消费支出y ，食品支出z (单位：千元)，整理数据(),(1,2,,8)i i x y i =得到下面的折线图，由数据(),(1,2,,8)i i y z i =得到下表.家庭（i ） 1 2 3 4 5 6 7 8 消费支出(y ) 27 30 33 35 37 40 42 44 食品支出(z )910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+(精确到0.01)，并解释ˆb 的现实生活意义； （2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重.通常一个家庭收入越少，家庭收入中(或总支出中)用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中(或总支出中)用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标.根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%~59%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数. 参考数据：81360i i x ==∑，81288i i y ==∑，8113310i i i x y ==∑，82116714i i x ==∑.附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）回归方程为ˆ0.68 5.36yx =+，ˆb 的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元；（2）15(户).【分析】（1）分析题意，按照求回归方程的步骤求出线性回归方程，并进行估计； （2）根据题意计算样本中达到最富裕的家庭的频率，即可估计全部家庭中达到最富裕的家庭的个数.【详解】解：（1）由题，可知813604588ii xx ====∑，812883688ii yy ====∑， 所以818222181331084536175ˆ0.6810.68167148452578ii i ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯===≈≈-⨯-∑∑， 故ˆˆ360.68145 5.36a y bx =-≈-⨯≈. 所以y 关于x 的回归方程为ˆ0.68 5.36yx =+. ˆb的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元. （2）由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：所以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为340158⨯=(户).【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出,x y ；②套公式求出b a 、；③写出回归方程y bx a =+；④利用回归方程y bx a =+进行预报；20．已知函数3f xmx n ，曲线()y f x =在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为3310x y -+=.（1）求实数m 、n 的值； （2）令223g x f xax a x ，函数()g x 的极大值与极小值之差等于43，求实数a 的值.【答案】（1）13m =，1n =；（2）12±.【分析】（1）本题首先可根据函数解析式得出23fxmx ，然后根据在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程得出()()41311f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，最后通过计算即可求出m 、n 的值； （2）本题首先根据3113f xx 得出3g x x a x a ，然后分为0a =、0a >、0a <三种情况，依次求出每种情况下的极大值与极小值，最后根据极大值与极小值之差等于43即可得出结果. 【详解】（1）因为3f xmx n ，所以23fxmx ，因为曲线()y f x =在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为3310x y -+=， 所以()()41311f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，即4331m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得13m =，1n =，3113f xx . （2）因为3113f xx ，所以3221313g x x ax a x ， 22233g xx ax a x a x a ，当0a =时，()0g x '≥，函数()g x 无极值，不满足题意，0a ≠；当0a >时，函数()g x 在(),3a -∞-、(),a +∞上单调递增，在()3,a a -上单调递减， 则函数()g x 的极大值为3391gaa ，极小值为3513g aa ， 因为函数()g x 的极大值与极小值之差等于43， 所以335491133a a ，解得12a =；当0a <时，函数()g x 在(),a -∞、3,a 上单调递增，在(),3a a -上单调递减，则函数()g x 的极大值为3513g aa ，极小值为3391g aa ，因为函数()g x 的极大值与极小值之差等于43， 所以335419133a a ，解得12a =-，综上所述，实数a 的值为12±. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据曲线的切线方程求参数以及根据极值求参数，考查导函数的应用，曲线在某点处的导函数即在这点处的切线斜率，考查利用导函数求极值，考查计算能力，考查分类讨论思想，是难题.21．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴交点为T ，点G 在E 上且GF x ⊥轴，GTF 的面积为18.（1）求E 的方程；（2）已知点(,0)M a ，(2,0)N a ，(4,0)(0)R a a >，点A 是E 上任意一点(异于顶点)，连接AM 并延长交E 于另一点B ，连接BN 并延长交E 于另一点C ，连接CR 并延长交E 于另一点D ，当直线AB 的斜率存在时，证明：直线AB 与CD 的斜率之比为定值. 【答案】（1）2y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据||TF p =，||GF p =，由GTF 的面积为18求解. （2）设()2,(0)A m m m ≠，直线AB 的方程为x ty a =+，与抛物线方程联立，依次求得点B ，C ，D 的坐标，再利用斜率公式求解. 【详解】（1）由题意得||TF p =， 因为点G 在E 上且GF x ⊥轴， 所以||GF p =，则1128GIFSp p =⨯=，解得12p =，所以E 的方程为2y x =.（2）证明：设()2,(0)A m m m ≠，直线AB 的方程为x ty a =+， 代入E 的方程，得20y ty a --=， 所以B my a =-，所以B a y m=-，所以22,a a B mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得()24,2C m m ，2242,a a D m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2222ABa m m m k a m a m m +==--，2222224224CD am m m k a m a m m +==--， 则2ABCDk k =， 所以直线AB 与CD 的斜率之比为定值2.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线12,:2x t C y t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:2cos (0)C a a ρθ=>. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设射线(0)3πθρ=≥与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于M 点(异于O )，若||||OM AB =，求a .【答案】（1）1C的极坐标方程为：222cos (sin cos )02ρθρθθ-++=，2C 的直角坐标方程为：222()x a y a -+=；（2）31a.【分析】（1）根据代入法把曲线1C 化成普通方程，进而利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式求出曲线1C 的极坐标方程，用坐标方程与直角坐标方程互化公式求出曲线2C 的直角坐标方程即可；（2）运用代入法得到一个一元二次方程，结合已知等式进行求解即可.【详解】解：（1）由222,22022x t y x x x x y y t t =⎧⎪⇒=-⇒--=⎨=-+⎪⎩所以曲线1C 的极坐标方程为：222cos (sin cos )0ρθρθθ-++=， 由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒=所以曲线2C 的直角坐标方程为：2222220()x y ax x a y a +-=⇒-+=.（2）将3πθ=代入222cos (sin cos )0ρθρθθ-++=，得2102ρ=，即(1)(0ρρ-=，解得11ρ=，2ρ=21||1AB ρρ=-=.又||2cos3OM a a π==，而||||OM AB =，所以31a .23．已知关于x 的不等式234|||1|()a b c x x x ++≤+-∈R 恒成立. （1）求234a b c ++的最大值； （2）当12a >-，13b >，12c >-，234a b c ++取得最大值时，证明：1113213142a b c ++≥+-+. 【答案】（1）最大值为1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出1x x +-的最小值即可求解. （2）先用“1”的灵活代换将111213142a b c +++-+等价变形为1111[(21)(31)(42)]2131423a b c a b c ⎛⎫++++-++⨯ ⎪+-+⎝⎭，再用均值不等式即可证明.【详解】解：（1）由题意，()min 234|||1|a b c x x ++≤+-，()111x x x x +-≥--=，2341a b c ∴++≤， ∴234a b c ++的最大值为1.（2）证明：1111111[(21)(31)(42)]2131422131423a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++-++⨯ ⎪+-++-+⎝⎭3121214242311332131422131423b a ac c b a b c a b c -++++-⎛⎫=++++++⨯≥ ⎪+-++-+⎝⎭ 当且仅当0a =，23b =，14c =-时取等号.。
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云南省高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2] B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．13．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．28．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞） D．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g （x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos ∠AFB为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=_______．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为_______．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为_______．三、解答题17．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2] B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x≤2，即B=（﹣∞，2]，则A∩B=（0，2]，故选：A．2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z==1﹣2i，则z=﹣2i，则|z|=2，故选：C3．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，x0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞） D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立，∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g （x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos ∠AFB为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m，m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n=2a n﹣1．可得当n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．na n=n•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n=2a n﹣1．∴当n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n=2n﹣1．na n=n•2n﹣1．∴数列{na n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，2T n=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．利用菱形的性质可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD⊥PO．又O是BD的中点，可得PB=PD．（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD与△BCD都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC ⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5，=78，（x i﹣）（y i﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6，=﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是：=﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时，=﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3，=，=.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时，g（x）＞0，0＜x＜1时，g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．k l=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△=|BA|•d．GAB【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），k l==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S△=|BA|•d=GAB=16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．。