第5章 数学推理
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5.2 证明定理的方法
5.2.1 蕴涵式的证明方法 常见的证明蕴涵式的方法. 1. 归谬法 对于蕴涵式P→Q,当P→Q的值为真且当Q为假时,P的值必为假. 由此启发,假定可以找到矛盾式(永假式)Q使得 P→Q的值为 真,即P→F为真,于是命题 P必然为假.从而可以得到P必然 为真.这就是归谬法的思想. 从数理逻辑来看,归谬法以下列两个逻辑等价式(归谬法原理) 作为基础: (P→Q)∧(P→Q)P (P→Q)∧(Q→P)P 在使用归谬法时可有如下三种分类: 第一种:推出与假设矛盾的命题.即欲证P为真,先假设P为真, 推出P为真.
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5.1.2 谓词逻辑的推理规则 谓词逻辑同样可以使用的推理定律有: 附加律:(A(A∨B)). 化简律:((A∧B)A,(A∧B)B). 假言推理:((A→B)∧AB). 拒取式:((A→B)∧BA). 析取三段论:((A∨B)∧BA). 假言三段论:((A→B)∧(B→C)(A→C)). 等价三段论:(AB)∧(BC)(AC). 构造性二难:(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D). 除上面的推理定律之外,谓词逻辑推理中特有的推理定律还有: (1)(xA(x))∨(xB(x))x(A(x)∨B(x)) (2)x(A(x)∨B(x))(xA(x))∨(xB(x)) (3)x(A(x)→B(x))(xA(x))→(xB(x)) (4)x(A(x)→B(x))(xA(x))→(xB(x))
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5. 平凡证明 假定蕴涵式P→Q的后件Q为真,则蕴涵式P→Q为真,因为该命 题形如T→T或F→T,而它们都为真.因此,若可以证明Q为真, 则可以给出P→Q的证明,这称为平凡证明.平凡证明在证明定理 的特殊情形以及在数学归纳法中是很重要的. 6. 附加前提证明法 这种附加前提证明法的根据是建立在下面定理的基础上: 定理5-1:(演绎定理)(P1∧P2∧…∧Pk∧P)Q当且仅当 定理 : (P1∧P2∧…∧Pk)P→Q. 定理 :(A1∧A2∧…∧Ak)B当且仅当 定理5-2: (A1∧A2∧…∧Ak∧B)是永真式,或者说(A1∧A2∧…∧Ak)B 当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak∧B)是矛盾式. 具体可以简写为如下: 原来要证明:(P1∧P2∧…∧Pk→Q)T 取否定:(P1∧P2∧…∧Pk→Q)F ((P1∧P2∧…∧Pk)∨Q))F 所以:P1∧P2∧…∧Pk∧QF
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2. 直接证明 可以通过证明"若P为真则Q也必然为真"来证明蕴涵式P→Q. 当前件(充分条件)为真,或假定前件为真,从而推出后件为真, 这样就证明P为真而Q为假的组合永远不会出现.这种证明方法称 为直接证明. 3. 间接证明 因为蕴涵式P→Q等价于它的逆否命题Q→P,所以可以通过证 明它的逆否命题 Q→P为真,来证明蕴涵式P→Q,这种类型 的论证称为间接证明.要证明(Q→P),可假定Q假(即Q 真),利用一切可用的前提,推理规则和已经证明的定理证出P 为假(P真). 4. 空证明 假定蕴涵式P→Q的前件P为假,则蕴涵式P→Q为真.因为该命 题形如F→T或F→T,所以它为真.因此,若可证明P为假,则可 以给出蕴涵式P→Q的证明,这称为空证明.空证明常用于证明一 些定理的特殊情形.
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谓词逻辑中还有如下的推理规则: (1)全称量词消去规则,它可表示为UI: xA(x) ∴A(c) 这里A是谓词,而c是辖域里的某一任意个体. (2)全称量词引入规则,它可表示为UG: A(c) ∴xA(x) 这里A是谓词,而c是辖域中的任意个体. (3)存在量词引入规则,它可以表示为EG: A(c) ∴xA(x) 这里A是谓词,c辖域里的某一个具体的个体. (4)存在量词消去规则,它可以表示为EI: xA(x) ∴A(c) 这里A是谓词,c是辖域里的某一具体个体.
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5.2.2 带量词的命题的证明方法 下面分类讨论在数理逻辑中如何构造带量词的命题的证明. 1. 存在性证明 1)构造性的存在性证明 所谓构造性的证明是通过在辖域内找出一个使得P(a)为真的元素a来给出xP (x)的存在性证明,这样的存在性证明称为构造性的. 2)非构造性的存在性证明 给出非构造性的存在性证明是可能的,非构造性就是不是找出使P(a)为真的元 素a,而是以某种其他方式来证明xP(x)为真.非构造性证明的一种常用方法 是使用归谬证明,先假设(xP(x))为真,推出矛盾,从而得xP(x)为真. 2. 全局性的证明 证明形如 xP(x)的命题为真,常用方法是:在辖域中任取y,若P(y)都为真, 则xP(x)为真. 3. 非全局性的证明 现欲证明形如xP(x)的命题为假. 由于(xP(x))x(P(x)),这就意味着,若能用构造性的存在性证 明求出一个包含在辖域内的个体a使得P(a)为假,则证明了x(P(x))为 真,所以( xP(x))为真,所以xP(x)就为假了.我们称一个使得P(a) 为假的个体a为反例.所以为了证明xP(x)为假,仅仅需要找到一个反例.但 是找反例并非证明.
5.1 推理规则
5.1.1 命题逻辑的推理规则 定义5-1: 定义 :称蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为推理的形式结构,A1,A2,…, Ak为推理的前提,B为推理的结论.若(A1∧A2∧…∧Ak)→B为永真式,则 称从前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确(或说有效),B是A1, A2,…,Ak的称有效结论或B可由A1,A2,…,Ak逻辑推出,否则称推理 不正确.若从前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确,则记为 (A1∧A2∧…∧Ak)B. 定义5-2: 定义 :证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1,A2,…,An,其中 的每个命题公式或者是已知的前提,或者是由某些前提应用推理规则得到的 结论,满足这样条件的公式序列A1,A2,…,An称为结论An的证明. 在证明中常用的推理规则有3条: (1)前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入已知的前提. (2)结论引入规则:在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作 为后续证明的前提. (3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式中的任何子公式都可用与 之等值的公式置换,得到证明的公式序列的另一公式.
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5.3 重要的证明方法—— 数学归纳法
P(1)是真的
5.3.1 数学归纳法概述
使用归纳法的证明由两步组成, 第一是验证命题P(1)是真的, 将命题中的每一个n直接用1代 替就能够办到,通常要验证一个 复杂的命题在n=1是真的,只 要对这个命题作一些不大的改写 就行了. 第二步要复杂得多,要求利用P (n)是真的假设来得到P(n+1) 是真的结论.
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7. 对形如(P1∧P2∧…∧Pk)→Q的证明 对形如( ∧ ∧ ∧ ) 的证明 由等价否定等值式和德摩根定律有(P1∧P2∧…∧Pk)→Q等价于: Q→(P1∨P2∨…∨Pk),所以在数理逻辑中,欲证 → (P1∧P2∧…∧Pk)→Q只要证某一i(i=1,2……k),有Q→Pi → 成立即可. 8. 对形如(P1∨P2∨…∨Pk)→Q的证明 对形如( ∨ ∨ ∨ ) 的证明 因为(P1∨P2 ∨…∨Pk)→Q(P1∨P2∨…∨Pk)∨Q (P1∧P2∧…∧Pk)∨Q (P1∨Q)∧(P2∨Q)∧…∧(Pk∨Q) (P1→Q)∧(P2→Q)∧…∧(Pk→Q) 所以为了证明形如(P1∨P2∨…∨Pk)→Q蕴涵式,可以用永真式 (P1→Q)∧(P2 →Q)∧…(Pk→Q)作为推理规则.
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9. 对形如 Q的证明 对形如P 的证明 有时候,为了证明其本身是一个等价式的定理,即形如PQ的命题,其中P和 Q都是命题,可以用下列四种方法: 方法一: 因为PQ((P→Q)∧(Q→P)),所以为了证明PQ为真,只要分别证 P→Q及Q→P为真即可.这是数学中常用的方法. 方法二: 用代换规则: 如果有PS1S2,…SnQ成立,则有PQ为真. 证明两集合相等时,常用此法,据外延公理而得证. 方法三: 使用规则PS1S2,…,SnQP. 例如证明数学分析中线积分路径无关定理. 方法四: 用一串逻辑等价等值式推出: PQT (PQ)(R1Sl)(R2S2)…(RnSn)T 如在集合论中证A包含于BA∩B=A可用此法.
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P(1)是真
输入
证明机器
输出
P(2)是真
P(n)是真
输入
证明机器
输出
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第5章 数学推理
5.1 5.2 5.3 5.4 推理规则 证明定理的方法 重要的证明方法—— 数学归纳法 递归的定义方法
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10. 形如 P2…Pk的证明 形如P1 的证明 有时候,定理可能是几个命题等价的形式.这样的定 理是说命题P1,P2 ,…,Pk都是等价的.这个定理 可以写成P1P2 …Pk形式. 它是说所有的n个命题都具有相同的真值.证明这些命 题互相等价的一种方式是使用等价式:(P1P2 …Pk)((P1→P2)∧(P2→P3)∧…∧ (Pk→P1)). 这个等价式说明,如果可以证明蕴涵式P1→P2, P3→P4,…,Pk→P1都为真,则命题P1,P2,…, Pk都是等价的.
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重要的推理定律有: (1)附加律(或称析取的引入):A(A∨B). (2)化简律(或称合取的消除):(A∧B)A,(A∧B)B. (3)假言推理(或称分离规则):(A→B)∧AB. (4)拒取式:(A→B)∧BA. (5)析取三段论:(A∨B)∧BA. (6)假言三段论(或称为传递规则):(A→B)∧(B→C)(A→C). (7)等价三段论:(AB)∧(BC)(AC). (8)构造性二难:(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D). 证明中可使用一些推理规则,如下: (1)附加规则:若有A,则可得到A∨B. (2)化简规则:若有A∧B,则可得到A,也可得到B. (3)合取引入规则:若有A和B,则可得到A∧B. (4)假言推理规则(分离规则):若有A→B和A,则可得到B. (5)拒取式规则:若有A→B和B,则可得到A. (6)假言三段论(传递规则):若有A→B及B→C,则可得到A→C. (7)析取三段论规则:若有A∨B和B,则可得到A. (8)构造性二难规则:若有A→B,C→D和A∨C,则可得到B∨D.
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5.2 证明定理的方法
5.2.1 蕴涵式的证明方法 常见的证明蕴涵式的方法. 1. 归谬法 对于蕴涵式P→Q,当P→Q的值为真且当Q为假时,P的值必为假. 由此启发,假定可以找到矛盾式(永假式)Q使得 P→Q的值为 真,即P→F为真,于是命题 P必然为假.从而可以得到P必然 为真.这就是归谬法的思想. 从数理逻辑来看,归谬法以下列两个逻辑等价式(归谬法原理) 作为基础: (P→Q)∧(P→Q)P (P→Q)∧(Q→P)P 在使用归谬法时可有如下三种分类: 第一种:推出与假设矛盾的命题.即欲证P为真,先假设P为真, 推出P为真.
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5.1.2 谓词逻辑的推理规则 谓词逻辑同样可以使用的推理定律有: 附加律:(A(A∨B)). 化简律:((A∧B)A,(A∧B)B). 假言推理:((A→B)∧AB). 拒取式:((A→B)∧BA). 析取三段论:((A∨B)∧BA). 假言三段论:((A→B)∧(B→C)(A→C)). 等价三段论:(AB)∧(BC)(AC). 构造性二难:(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D). 除上面的推理定律之外,谓词逻辑推理中特有的推理定律还有: (1)(xA(x))∨(xB(x))x(A(x)∨B(x)) (2)x(A(x)∨B(x))(xA(x))∨(xB(x)) (3)x(A(x)→B(x))(xA(x))→(xB(x)) (4)x(A(x)→B(x))(xA(x))→(xB(x))
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5. 平凡证明 假定蕴涵式P→Q的后件Q为真,则蕴涵式P→Q为真,因为该命 题形如T→T或F→T,而它们都为真.因此,若可以证明Q为真, 则可以给出P→Q的证明,这称为平凡证明.平凡证明在证明定理 的特殊情形以及在数学归纳法中是很重要的. 6. 附加前提证明法 这种附加前提证明法的根据是建立在下面定理的基础上: 定理5-1:(演绎定理)(P1∧P2∧…∧Pk∧P)Q当且仅当 定理 : (P1∧P2∧…∧Pk)P→Q. 定理 :(A1∧A2∧…∧Ak)B当且仅当 定理5-2: (A1∧A2∧…∧Ak∧B)是永真式,或者说(A1∧A2∧…∧Ak)B 当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak∧B)是矛盾式. 具体可以简写为如下: 原来要证明:(P1∧P2∧…∧Pk→Q)T 取否定:(P1∧P2∧…∧Pk→Q)F ((P1∧P2∧…∧Pk)∨Q))F 所以:P1∧P2∧…∧Pk∧QF
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2. 直接证明 可以通过证明"若P为真则Q也必然为真"来证明蕴涵式P→Q. 当前件(充分条件)为真,或假定前件为真,从而推出后件为真, 这样就证明P为真而Q为假的组合永远不会出现.这种证明方法称 为直接证明. 3. 间接证明 因为蕴涵式P→Q等价于它的逆否命题Q→P,所以可以通过证 明它的逆否命题 Q→P为真,来证明蕴涵式P→Q,这种类型 的论证称为间接证明.要证明(Q→P),可假定Q假(即Q 真),利用一切可用的前提,推理规则和已经证明的定理证出P 为假(P真). 4. 空证明 假定蕴涵式P→Q的前件P为假,则蕴涵式P→Q为真.因为该命 题形如F→T或F→T,所以它为真.因此,若可证明P为假,则可 以给出蕴涵式P→Q的证明,这称为空证明.空证明常用于证明一 些定理的特殊情形.
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谓词逻辑中还有如下的推理规则: (1)全称量词消去规则,它可表示为UI: xA(x) ∴A(c) 这里A是谓词,而c是辖域里的某一任意个体. (2)全称量词引入规则,它可表示为UG: A(c) ∴xA(x) 这里A是谓词,而c是辖域中的任意个体. (3)存在量词引入规则,它可以表示为EG: A(c) ∴xA(x) 这里A是谓词,c辖域里的某一个具体的个体. (4)存在量词消去规则,它可以表示为EI: xA(x) ∴A(c) 这里A是谓词,c是辖域里的某一具体个体.
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5.2.2 带量词的命题的证明方法 下面分类讨论在数理逻辑中如何构造带量词的命题的证明. 1. 存在性证明 1)构造性的存在性证明 所谓构造性的证明是通过在辖域内找出一个使得P(a)为真的元素a来给出xP (x)的存在性证明,这样的存在性证明称为构造性的. 2)非构造性的存在性证明 给出非构造性的存在性证明是可能的,非构造性就是不是找出使P(a)为真的元 素a,而是以某种其他方式来证明xP(x)为真.非构造性证明的一种常用方法 是使用归谬证明,先假设(xP(x))为真,推出矛盾,从而得xP(x)为真. 2. 全局性的证明 证明形如 xP(x)的命题为真,常用方法是:在辖域中任取y,若P(y)都为真, 则xP(x)为真. 3. 非全局性的证明 现欲证明形如xP(x)的命题为假. 由于(xP(x))x(P(x)),这就意味着,若能用构造性的存在性证 明求出一个包含在辖域内的个体a使得P(a)为假,则证明了x(P(x))为 真,所以( xP(x))为真,所以xP(x)就为假了.我们称一个使得P(a) 为假的个体a为反例.所以为了证明xP(x)为假,仅仅需要找到一个反例.但 是找反例并非证明.
5.1 推理规则
5.1.1 命题逻辑的推理规则 定义5-1: 定义 :称蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为推理的形式结构,A1,A2,…, Ak为推理的前提,B为推理的结论.若(A1∧A2∧…∧Ak)→B为永真式,则 称从前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确(或说有效),B是A1, A2,…,Ak的称有效结论或B可由A1,A2,…,Ak逻辑推出,否则称推理 不正确.若从前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确,则记为 (A1∧A2∧…∧Ak)B. 定义5-2: 定义 :证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1,A2,…,An,其中 的每个命题公式或者是已知的前提,或者是由某些前提应用推理规则得到的 结论,满足这样条件的公式序列A1,A2,…,An称为结论An的证明. 在证明中常用的推理规则有3条: (1)前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入已知的前提. (2)结论引入规则:在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作 为后续证明的前提. (3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式中的任何子公式都可用与 之等值的公式置换,得到证明的公式序列的另一公式.
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5.3 重要的证明方法—— 数学归纳法
P(1)是真的
5.3.1 数学归纳法概述
使用归纳法的证明由两步组成, 第一是验证命题P(1)是真的, 将命题中的每一个n直接用1代 替就能够办到,通常要验证一个 复杂的命题在n=1是真的,只 要对这个命题作一些不大的改写 就行了. 第二步要复杂得多,要求利用P (n)是真的假设来得到P(n+1) 是真的结论.
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7. 对形如(P1∧P2∧…∧Pk)→Q的证明 对形如( ∧ ∧ ∧ ) 的证明 由等价否定等值式和德摩根定律有(P1∧P2∧…∧Pk)→Q等价于: Q→(P1∨P2∨…∨Pk),所以在数理逻辑中,欲证 → (P1∧P2∧…∧Pk)→Q只要证某一i(i=1,2……k),有Q→Pi → 成立即可. 8. 对形如(P1∨P2∨…∨Pk)→Q的证明 对形如( ∨ ∨ ∨ ) 的证明 因为(P1∨P2 ∨…∨Pk)→Q(P1∨P2∨…∨Pk)∨Q (P1∧P2∧…∧Pk)∨Q (P1∨Q)∧(P2∨Q)∧…∧(Pk∨Q) (P1→Q)∧(P2→Q)∧…∧(Pk→Q) 所以为了证明形如(P1∨P2∨…∨Pk)→Q蕴涵式,可以用永真式 (P1→Q)∧(P2 →Q)∧…(Pk→Q)作为推理规则.
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9. 对形如 Q的证明 对形如P 的证明 有时候,为了证明其本身是一个等价式的定理,即形如PQ的命题,其中P和 Q都是命题,可以用下列四种方法: 方法一: 因为PQ((P→Q)∧(Q→P)),所以为了证明PQ为真,只要分别证 P→Q及Q→P为真即可.这是数学中常用的方法. 方法二: 用代换规则: 如果有PS1S2,…SnQ成立,则有PQ为真. 证明两集合相等时,常用此法,据外延公理而得证. 方法三: 使用规则PS1S2,…,SnQP. 例如证明数学分析中线积分路径无关定理. 方法四: 用一串逻辑等价等值式推出: PQT (PQ)(R1Sl)(R2S2)…(RnSn)T 如在集合论中证A包含于BA∩B=A可用此法.
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P(1)是真
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P(2)是真
P(n)是真
输入
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5.1 5.2 5.3 5.4 推理规则 证明定理的方法 重要的证明方法—— 数学归纳法 递归的定义方法
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10. 形如 P2…Pk的证明 形如P1 的证明 有时候,定理可能是几个命题等价的形式.这样的定 理是说命题P1,P2 ,…,Pk都是等价的.这个定理 可以写成P1P2 …Pk形式. 它是说所有的n个命题都具有相同的真值.证明这些命 题互相等价的一种方式是使用等价式:(P1P2 …Pk)((P1→P2)∧(P2→P3)∧…∧ (Pk→P1)). 这个等价式说明,如果可以证明蕴涵式P1→P2, P3→P4,…,Pk→P1都为真,则命题P1,P2,…, Pk都是等价的.
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重要的推理定律有: (1)附加律(或称析取的引入):A(A∨B). (2)化简律(或称合取的消除):(A∧B)A,(A∧B)B. (3)假言推理(或称分离规则):(A→B)∧AB. (4)拒取式:(A→B)∧BA. (5)析取三段论:(A∨B)∧BA. (6)假言三段论(或称为传递规则):(A→B)∧(B→C)(A→C). (7)等价三段论:(AB)∧(BC)(AC). (8)构造性二难:(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D). 证明中可使用一些推理规则,如下: (1)附加规则:若有A,则可得到A∨B. (2)化简规则:若有A∧B,则可得到A,也可得到B. (3)合取引入规则:若有A和B,则可得到A∧B. (4)假言推理规则(分离规则):若有A→B和A,则可得到B. (5)拒取式规则:若有A→B和B,则可得到A. (6)假言三段论(传递规则):若有A→B及B→C,则可得到A→C. (7)析取三段论规则:若有A∨B和B,则可得到A. (8)构造性二难规则:若有A→B,C→D和A∨C,则可得到B∨D.