第5章 数学推理
第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明
命题的定义：
判断一件事情的语句叫做命题。
1、只要对一件事情作出了判断， 不管正确与否，都是命题。 2、如果一个句子没有对某一件事情
作出任何判断，那么它就不是命题。
语句都是对某一件事情作出“是”或
“不是”的判断.其中问句，画图，感叹句， 祈使句不是命题！
下列语句是命题吗？ ①请你吃饭。 ②大象是红色的 ③同位角相等. ④连接A、B两点. ⑤你多大了？
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 题设是： 两个角是对顶角 结论是： 这两个角相等
④同位角相等. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
题设是：两个角是同位角 结论是：这两个角相等
★ 如：对顶角相等
题设
结论
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 题设 结论
问题5
下列语句是命题吗？如果是，请将它们 改写成“如果„„，那么„„”的形式.
（5）对顶角相等．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
问题7 下列哪些命题是正确的， 哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补； （5）对顶角相等．的真假
有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；
请同学们判断下列两个命题的真假
命题 :相等的角是对顶角． （3）你能举出反例吗？
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也 能被2整除”对么？
如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角” 对么？ 确定一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、 举反例等方法。
问题1 请同学们判断下列命题哪些是真命题？
高中数学 第5章 推理与证明 5.2 直接证明与间接证明 5.2.1 直接证明：分析法与综合法讲义(
5．2.1 直接证明：分析法与综合法[读教材·填要点]综合法和分析法综合法分析法定义 从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知”，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知”，执果索因，寻找充分条件[小问题·大思维]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．综合法的应用已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.[自主解答] 法一：∵a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤12.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．法二：∵a ，b ∈R ＋， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0.∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又因为a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．法三：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．保持例题条件不变，求证：4a ＋1b≥9.证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b＝4a ＋b a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋ab＋1 ≥5＋24b a ·ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．法二：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b＋1≥5＋24b a ·ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B . 证明：∵a 2＝b (b ＋c )，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋bc 2bc ＝c －b 2b，cos 2B ＝2cos 2B －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝b ＋c 2－2b b ＋c 2b b ＋c ＝c －b 2b ， ∴cos A ＝cos 2B .又A ，B 是三角形的内角，∴A ＝2B .分析法的应用当a ＋b >0时，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [自主解答] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．2．已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明：法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4⇐a－3a－6<a－5a－4⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)⇐18<20，因为18<20显然成立，所以原不等式a－3－a－4<a－5－a－6成立．法二：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证1a－3＋a－4<1a－5＋a－6，只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.又∵a－3>a－5，∴a－3>a－5，同理有a－4>a－6，则a－3＋a－4>a－5＋a－6.∴a－3－a－4<a－5－a－6.综合法与分析法的综合应用已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[自主解答] 法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 只需证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )． 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以原式成立．法二：因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2. 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3. 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法与分析法的适用X 围 (1)综合法适用的X 围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的X围：已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．3．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy ≤1x＋1y＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c. 证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．又x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1xy ，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. [证明] 法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0， 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0. 所以原不等式a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca 成立． 法二：(综合法) 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0.所以(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0. 所以2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )． 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，此过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 答案：B2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下列等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C解析：∵sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2＝1－cos B ＋C 2， ∴cos(B ＋C )＝1－2sin B sin C ，∴cos B cos C －sin B sin C ＝1－2sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1.又0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π，∴B ＝C . 答案：C3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法． 答案：综合法5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证______，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，试分别用综合法与分析法证明：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.证明：法一：(综合法) 左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝4＋2⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋xy＋1≥5＋4＝9. 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立．法二：(分析法)要证⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9成立，∵x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x . 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－x ≥9成立，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立， 所以原不等式成立．一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错； 对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错； 对于C ：若a 3>b 3且ab <0， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0，所以1a >1b，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则D 不成立．答案：C2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B3．已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( ) A ．0<A ＋B <πB ．0<A ＋B <π2C.π2<A ＋B <π D.π2≤A ＋B <π 解析：由cos A ＋cos B >0，得cos A >－cos B ， ∴cos A >cos(π－B )．∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减． ∴A <π－B .∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π. 答案：A4．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0. ∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.又abc ＞0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc＜0.答案：B 二、填空题5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0， 故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 解析：利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2， ∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c . 答案：c ＜a ＜b7．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． 解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2a －2·1a －2＋2＝4，当且仅当a ＝3时等号成立． －a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .答案：p >q8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________． 解析：∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立， 设μ＝x ＋1x＋3(x >0)． ∴只需a ≥1μ恒成立即可． 又∵μ＝x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时“＝”成立． ∴0<1μ≤15.∴a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 三、解答题9．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)①又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2. 又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5，所以a 2＝11，所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a 1＋1＝6，所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n ， 所以a n ＝3×2n －1.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0. (1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72. 证明：(1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9， 即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4. 根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2 b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1， 由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72. 因为a 2＋b 2＝m －2>0，1a 2＋4b 2＝2m －1>0， 所以m ≥72.。
数学(理科) 第五章 第5讲 合情推理和演绎推理
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的 推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并 能运用它们进行一些简单的推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
合情推理 推理
归纳推理 类比推理
演绎推理
由特殊到一般 由特殊到特殊 由一般到特殊
答案：C 【规律方法】演绎推理是一种必然性推理，只要前提和推 理形式正确，其结论也必然正确.
【互动探究】 2.(2016 年新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上 的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是__1__和__3___.
sin
2π 2n＋1
－
2
＋
sin
3π － 2 2n＋1
＋…＋sin 22nn＋π1－2＝________________.
解析：通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下面是 和项数有关的两项的乘积，即 n(n＋1)，故答案为43×n×(n＋1).
解析：因为[ 1]＋[ 2]＋[ 3]＝1×3，[ 4]＋[ 5]＋[ 6]＋ [ 7]＋[ 8]＝2×5，
[ 9]＋[ 10]＋[ 11]＋[ 12]＋[ 13]＋[ 14]＋[ 15]＝ 3×7……以此类推，第 n 个等式的等号右边的结果为 n(2n＋1)， 即 2n2＋n.
答案：2n2＋n
【规律方法】归纳推理的一般步骤：①通过对某些个体的 观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律；②从已 知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.如以上两小 题在进行归纳总结时，要看等号左边式子的变化规律，右边结 果的特点，根据以上规律写出所求等式，注意行数、项数及其 变化规律是解题的关键.
离散数学 第五章的课件
xF(x,y,z)yG(x,y,z)
tF(t,y,z)yG(x,y,z) tF(t,y,z)wG(x,w,z)
个体变项符号，其余部分不 变
（换名规则） （换名规则）
或者
xF(x,y,z)yG(x,y,z) xF(x,t,z)yG(x,y,z) xF(x,t,z)yG(w,y,z) （代替规则） （代替规则）
10
实例
例5.4 给定解释I如下： （a）个体域 D＝{2,3}. （b）D中特定元素 a =2 （c）D上的特定函数 f (x) ： f (2) =3, f (3)=2 . （d）D上的特定谓词 F (x) ： F (2)=0, F (3)=1; G (x,y)： G (2,2)= G(2,3)= G(3,2)=1，G(3,3)=0； L (x,y)： L (2,2)= L (3,3)=1， L (2,3)= L(3,2)=0； 求下列各式在I下的真值。 (2) x(F(f(x))∧G(x,f(x))) (F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3))∧G(3,f(3))) (F(3)∧G(2,3))∨(F(2)∧G(3,2)) (1∧1)∨(0∧1) 1
注意:(3)(4)说明量词的顺序不能随便颠倒
13
实例
例5.5 证明下列等值式。 (1) x(M(x)∧F(x)) x(M(x)→F(x)) (2) x(F(x)→G(x)) x(F(x)∧G(x)) (3) xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y)) (4) xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) xy(F(x)∧G(y)→L(x,y))
或
x(F(x,y) yG(x,y,z)) x(F(x,y) tG(x,t,z))
第5章_谓词逻辑_meng
④某一个星球存在生命。
H(x, y)：x存在y，个体变量x：星球，个体变量y：生命。 (x)(y)H(x, y)
5.2 谓词逻辑公式
由命题变元、命题常元、联结词、个体变元、 个体常量、谓词、函词、量词等组成的用以表 示复杂命题的符号串，称为一阶谓词逻辑公式 （first order predicate logic formula ），简称为谓词逻辑公式（predicate logic formula）或一阶逻辑公式（first order logic formula）。
5.1.3
函词(函数)
n元函词：
含有n个个体词的函词。 一般形式为f(x1,x2,…, xn)， 表示“由x1, x2, …和xn根据f确定的个体”。
函词对于谓词逻辑来说不是必须的!
可以借助于谓词等进行表示 但引入函数之后表示起来更方便
例
例5.2 表示如下命题中的谓词和函词。
例
例5.3-4 表示如下命题中的量词。
①空集包含于任意集合；
P(x, y)：x包含于y， 个体常量a：空集， 个体变量x：集合。 (x)P(a, x)；
②所有自然数非负；
Q(x)：x是负数，个体变量x：自然数。 (x)Q(x)；
③有一些人登上过月球；
P(x, y)：x登上过y， 个体常量a：月球， 个体变量x：人。 (x)P(x, a)；
人教版七年级数学下册第五章5.3.2《命题、定理、证明》教案
-在实际问题中识别和应用所学的命题、定理和证明方法。
举例：针对命题真假判断的难点，设计一些具有迷惑性的命题，让学生分析讨论，如“如果一个角的补角是直角，那么这个角是锐角”这一命题的真假。对于证明方法，通过具体例题展示反证法的步骤，解释反设的意义，并指导学生如何寻找矛盾点。在应用难点方面，给出一些综合性的问题，如“证明一个四边形是平行四边形”，引导学生结合所学定理和证明方法，逐步解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调命题的判断和定理的证明这两个重点。对于难点部分，如反证法，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与命题、定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠纸片来验证平行线的性质。
此外，课堂上的实践活动和小组讨论环节，学生们表现得非常积极，这说明他们对于参与到课堂活动中有着很高的热情。但在这一过程中，我也注意到有些学生过于依赖同伴，自己思考得不够深入。因此，我需要在活动中更好地引导他们独立思考，培养他们自主解决问题的能力。
还有一个值得注意的问题是，在新课讲授过程中，我是否把重点和难点讲解得足够清晰。从学生的反馈来看，有些地方还需要我进一步讲解和强调。在今后的教学中，我会更加关注学生的接受程度，及时调整教学方法和节奏，确保他们能够更好地掌握核心知识。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了命题的基本概念、定理的重要性以及证明的方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第五章 复合命题及其推理
“只有努力学习，才能取得好成绩。”可转换为 “只有没有取得好成绩，才没有努力学习。”
要领 否定式：调换否定前后件，不换联结词。
四、充分条件、必要条件假言命题和选言命题 间的转换
联言命题一般用并列、递进、转折、顺承 关系的复句表达，有时也用单句。 郭沫若是历史学家和文学家。 苏步青和华罗庚都是数学家。 和平和发展是中印两国人民的共同愿望。
2、构成
①联言支：即构成联言命题的支命题。 ②联言联项：即联结联言肢的联结词 二肢联言命题的逻辑形式：p并且q或 p∧q 联项有时可以省略
2、构成 ①选言支：即构成选言命题的支命题。 ②选言联项：即联结选言支并确定选言支之 间关系的联结词。 一个人的死，或重于泰山，或轻于鸿毛。 不是鱼死，就是网破。 他也许是数学家，也许是哲学家。
（二）选言命题的种类
1、相容选言命题 ①什么是相容选言命题 是反映若干可能的对象情况中至少有一种 存在的复合命题。 这场球赛失败的原因或者是队员技术水 平不高，或者是队员之间配合不好。 这场战争的失败或因兵力弱，或因指挥 失误。
二、假言命题的种类
（一）充分条件假言命题 1、什么是充分条件和充分条件假言命题 ①什么是充分条件 在情况p和q之间，有p必有q；无p未 必无q，这时p是q的充分条件。 A、p：摩擦 q：生热 B、p：x等于2 q：x的平方等于4 ◆“有之必然，无之未必不然”的条 件。
②什么是充分条件假言命题
就是反映一事物情况存在是另一事物 情况存在的充分条件的假言命题。
（二）复合命题推理的种类 联言推理、选言推理、假言推理和负 命题等值关系推理四种基本类型。
第二节
联言命题和选言命题
一、联言命题 （一）联言命题及其构成 1、什么是联言命题 是反映若干事物情况同时存在的复合 命题。
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
离散数学结构 第5章 一阶逻辑等值演算与推理复习
第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。
4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。
5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
第五章 复合判断及其演绎推理(一)
（一）充分条件假言判断及其真值 1、定义：是断定某一思维对象情况是另一思维对象情况的充分 条件的假言判断。 如果有思维对象情况p，就必然有思维对象情况q，而没有思 维对象情况p，则是否有思维对象情况q并不确定，这样p就是q的 充分条件。
2、逻辑形式：如果p，那么q。p→q。 例： 如果你不努力学习，你就不会取得好成绩。 如果张三贪污，那么他就犯了法。 如果得了肺炎，你就要发烧。 如果植物缺乏水分，那么它就会死亡。 3、真值情况： 充分条件假言判断的真假，当且仅当其前件真而后件假时，则 这个充分条件假言判断是假的。
例：
1、当且仅当一个三角形是等边的，则它是等角的。 2、当且仅当一个人触犯法律，他才应受到法律处罚。
2、逻辑形式：当且仅当p，则q。 p q。 （ p→q ）∧（ p←q ）。 3、真值情况： 充分必要条件假言判断的真假，当且仅当前件真而后件假、或 者前件假而后件真，则该充分必要条件假言判断就是假的。
例：
胡鞍钢和孙冶芳都是经济学家
所以，胡鞍钢是经济学家
（二）联言推理的合成式 (p，q)→（p ∧ q）。 如： 周强是127031班学生 徐翔是127031班学生
所以，周强、徐翔是127031班学生 中国共产党是伟大的党 中国共产党是光荣的党 中国共产党是正确的党 所以，中国共产党是伟大、光荣、正确的党
这些句子虽然表达的语法结构不同，有些表达方式在 语气方面存在着明显的差异，表现了说话者的某些倾向和 情感因素等等．但它们的逻辑结构却是一样的，即都具有 p∧q的形式。因为逻辑研究只是对语言材料一种形式的 抽象，它关注的是断定的意义而不是语句在其他表达上的 意义。以上这些语句有一个共同点，都是同时断定几个情 况成立，因而都表达联言判断。
《黄河》的导演要么姓白，要么姓孙。 不姓孙。 所以，姓白。（否定肯定式）
人工智能导论_第5章
i
i
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
i
概率论基础（贝叶斯定理 ）
• 设 A ， B1 ， B2 ， … ， Bn 为 一 些 事 件 ， P(A)>0 ， B1 ， B2 ， … ， Bn 互 不 相 交 ， P(Bi)>0, i=1, 2, …, n，且 P(B ) 1 ，则对 于k=1, 2, …, n，
n n
n n
，
n
n
P( B )
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
An B
P( A )
n
概率论基础（统计概率性质 ）
• 对任意事件A，有 0 P( A) 1 • 必然事件Ω 的概率P(Ω ) =1，不可能事件 φ 的概率P(φ ) = 0 P(~ A) 1 P( A) • 对任意事件A，有 P( A ) P( A ) P( A ) ... P( A ) • 设事件 A1 ， A2 ， …An （ k≤n ）是两两互 不相容的事件，即有，则 • 设A，B是两事件，则
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
第五章 不确定性推理
• 概述 • 概率论基础 • Bayes网络 • 主观Bayes方法 • 确定性方法 • 证据理论
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
概述
• 不精确思维并非专家的习惯或爱好所至， 而是客观现实的要求。
–很多原因导致同一结果 –推理所需的信息不完备 –背景知识不足 –信息描述模糊 –信息中含有噪声 –规划是模糊的 –推理能力不足 –解题方案不唯一
0 P( A) 1 P () 1 P( ) 0 –若二事件AB互斥，即，则 P( A B) P( A) P( B)
八年级数学上册第5章《几何证明初步》知识回顾(青岛版)
《几何证明初步》知识回顾“平行线的有关证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明.通过本章的复习，要掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算.一、定义与命题1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.3.真命题、假命题与反例真命题：正确的命题称为真命题.假命题：不正确的命题称为假命题.反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.4.公理、定理、证明公理：人们公认的真命题称为公理.定理：经过证明了的真命题称为定理.证明：推理的过程称为证明.例1在下列命题中，真命题是（）.A.两个钝角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题.两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件.所以选（D ）.说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式.二、平行线的判定和性质1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.例2 如图1，AB CD ∥，EF 分别交AB CD ，于M N ，，50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠，MG 交CD 于G .求∠1的度数.分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得1BMG =∠∠，所以只要根据已知条件求出BMG ∠的度数即可.解：因为AB CD ∥，所以1BMG =∠∠（两直线平行，内错角相等）.又50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠， 所以11(18050)6522BMG FMB ==-=o o o ∠∠. 所以165=o ∠.说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等.三、三角形内角和定理探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.例3 如图2，已知ABC △中，90BAC =o ∠，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点.求证：BED C >∠∠.分析：BED ∠与C ∠没有直接的联系，但BED ∠、C ∠都与BAC ∠有关，因此可以用BAC ∠作中间量进行过渡.证明：在ABC △中，90ABC C +=o ∠∠，因为AD BC ⊥，所以90ADB =o ∠，在ABD △中，90ADB =o ∠，所以90ABC BAD +=o ∠∠，所以C BAD =∠∠.因为BED BAD >∠∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， 所以BED C >∠∠.说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、三角形的外角三角形内角和定理的两个推论是：推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.例4 如图3，点P 是△ABC 内的一点，连接BP 、CP.求证：∠BPC>∠BAC.分析：要求证明∠BPC>∠BAC ，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC 和∠BAC 都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.证法一：如图3（1）所示，延长BP 交AC 于点D.由于∠BPC 是△DPC 的外角，所以∠BPC>∠CDP.由于∠CDP 是△ABD 的外角，所以∠CDP>∠BAC.所以∠BPC>BAC.证法二：如图3（2）所示，连接AP 并延长AP.因为∠1是△ABP 的外角，所以∠1>∠3.因为∠2是△APC 的外角，所以∠2>∠4.所以∠1+∠2>∠3+∠4.又因为∠1+∠2=∠BPC ，∠3+∠4=∠BAC ，所以∠BPC>∠BAC.点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.练习1、写出下列命题的条件和结论.（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.（2）对顶角相等.2、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB ；②BE=DF ；③∠B=∠D ；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.AC P D（1）（2） 图3 B4 1 323、在△ABC 中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数，并判断△ABC 的形状？4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.参考答案1、解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.求证：AD//BC.证明：因为AD=CB，∠B=∠D，BE=DF，所以△ADF≌△CBE.所以∠A=∠C，所以AD//BC.3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，所以∠B=70°，∠C=30°，所以△ABC为锐角三角形.4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.又∠2=∠3+∠4.所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.。
高中数学中的几何证明与形式化推理方法
立体几何证明实例分析
实例分析
通过具体实例分 析理解立体形状
的性质
空间关系
帮助理解空间中 的关系
应用实践
将理论知识应用 到实践中
提高能力
提高学生在立体 几何证明中的水
平和能力
立体几何证明注意事项
01 几何体表示
注意几何体的立体图形表示
02 投影关系
理解几何体各部分的投影关系
03 空间结构
把握空间结构和关系
● 07
第七章 结束
几何证明方法
在高中数学中，几何 证明是一项重要的学 习内容，通过严谨的 逻辑推理和形式化的 方法，可以证明几何 学中的各种定理和性 质，帮助我们深入理 解空间形状和关系。
几何证明常用方法
直角三角形 证明
利用勾股定理和 勾证法
平行线性质 证明
平行线与各角关 系的证明
圆的性质证 明
数学的严谨性
数学是一门注重严谨性和逻辑推理的科学。几何 证明通过形式化推理方法，可以帮助学生理解几 何概念和定理，提高他们的几何思维能力。形式 化推理方法的应用使得证明过程更加严密和有效， 从而加强学生对数学的理解和信心。
形式化推理方法的应用
严密性
证明过程清晰
广泛应用
数学推理
有效性
提高证明效率
几何证明在数学竞赛中的应用
提高学生推 理能力
锻炼逻辑思维
训练数学竞 赛技巧
掌握常见证明方 法
培养耐心和 细心
审题分析细节
加强解决问 题能力
应对复杂数学题 目
几何证明在科学研究中的应用
物理学
研究物体运动的轨迹 分析各种力的作用 探究空间中的电磁场
化学
确定分子结构的空间构型 推导化学反应机理 解释晶体结构的性质
形式逻辑逻辑导论第五章模态判断及其推理
形式逻辑逻辑导论第五章模态判断及其推理模态逻辑是形式逻辑的一个分支，研究的是将语句中的可能性、必然性等范畴引入到推理中。
在模态逻辑中，我们使用不同的符号来表示可能性和必然性，并利用这些符号来进行推理。
在模态逻辑中，我们引入了两个主要的符号：可能性符号“◇”和必然性符号“□”。
这两个符号可以用来修改命题，从而表示这个命题是可能的或者是必然的。
对于可能性符号，当我们在一个命题前加上“◇”，表示这个命题是可能发生的，即存在一些条件能够满足它。
例如，原命题P表示“今天会下雨”，那么“◇P”表示“今天可能会下雨”。
对于必然性符号，当我们在一个命题前加上“□”，表示这个命题是必然的，即在任何条件下都成立。
例如，原命题P表示“2+2=4”，那么“□P”表示“2+2一定等于4”。
在模态逻辑中，我们也可以使用这些符号来进行推理。
常见的推理模式有：可可能性、必然性蕴涵和反演等。
可可能性是指当一个命题可可能导致另一个命题成立时，我们可以得出这个命题是可能的结论。
例如，如果我们知道“今天下雨”，那么我们可以推断“今天天气阴沉”，即“◇P”可以推出“◇Q”。
必然性蕴涵是指当一个命题必然导致另一个命题成立时，我们可以得出这个命题是必然的结论。
例如，如果我们知道“2+2=4”，那么我们可以推断“3+3=6”，即“□P”可以推出“□Q”。
反演是指当一个命题是必然的时，我们可以推断它的否定也是必然的。
例如，如果我们知道“2+2=4”，那么我们可以推断“2+2≠5”，即“□P”可以推出“□¬P”。
除了这些常见的推理模式外，模态逻辑还有许多其他的推理规则和定理，用于推导模态逻辑中的命题。
这些规则和定理可以帮助我们更准确地理解和应用模态逻辑。
总之，模态逻辑研究的是在推理中引入可能性和必然性等概念，并利用模态符号进行推理。
通过研究模态逻辑，我们可以更深入地理解和分析命题之间的关系，从而进行更准确的推理和论证。
模态逻辑的应用范围非常广泛，不仅在逻辑学中有重要的地位，还涉及到哲学、数学、计算机科学等领域的研究。
第五章 统计推断
为研究电渗处理对草莓果实中钙离子含量的影响, 选用10个草莓品种来进行电渗处理与对照的对比试验, 结果如下,问电渗处理对草莓钙离子含量是否有影响?
电渗处理草莓果实钙离子含量
品种号
1
2
3
4
5
6
7
8
910电渗ຫໍສະໝຸດ 理22.2323.42
23.25
21.38
24.45
22.42
24.37
21.75
19.82
三,假设测验的基本方法 ①对所研究的总体首先提出一个无效假设 ②规定测验的显著水平α(一般α=0.05有时α=0.01) ③在承认上述无效假设正确的前提下,获得平均数的抽样分布,计 算假设正确的概率 ④根据"小概率事件实际上不可能发生"的原理接受或否定无效假 设 如小麦品种 旧品种:0=300kg/亩 σ=75kg 新品种:1=330kg/亩 y=330kg 第一步:首先提出假设: HA:1≠0 第二步:平均数的抽样分布,计算概率: = 15 ( kg ) σ y = σ / n = 75 / 25 样本容量n=25 H0:1=0=300kg
135.2
135.2
133.5
(二),成对资料平均数的假设测验
若试验设计是将性质相同 若试验设计是将性质相同的两个供试单位配成一对, 性质相同的两个供试单位配成一对 配成一对, 并设多个配对,然后对每一配对的两个供试单位分别随机 成对数据. 地给予不同处理,所得的观察值为成对数据 地给予不同处理,所得的观察值为成对数据.
1.提出假设.H0:1-2=0,即两条生产线的平均日产量无显著 差异.对HA:1-2≠0,即两条生产线上的平均日产量有显著差 异. 2.确定显著水平.α=0.01. .确定显著水平.α 0.01. 3.检验计算. y1 = 65 . 83 S 2 = 59.7299 y 2 = 59 .77 S 2 2 = 42.8747
数学的数学归纳法和逻辑
致谢
感谢所有对本书撰写和出版提供支持和帮 助的人们，没有你们的支持，本书将无法 完成。
● 07
第7章 数学的数学归纳法和 逻辑
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命题逻辑的推理
直接推理 假言推理
通过推理规则直接得出结论 如果...那么...的推理方式
间接推理
通过推导得出结论
命题逻辑的应用
计算机科学 哲学思辨
数学推理
用于逻辑电路设计 辩证论证过程
用于证明数学定理
● 03
第3章 谓词逻辑
谓词的定义和分类
谓词是逻辑中表达主体和谓语关 系的语言元素，分为谓词符号和 谓词项。谓词在逻辑推理中起到 重要作用。
选择合适的逻辑结构
02 算法设计
逻辑推理提高编程水平
03 错误排查
逻辑思维帮助解决问题
在数学建模中的应用
数学模型
逻辑严密 推理清晰
01
模型评估 04
逻辑论证 结果解释
数据分析
逻辑推理角色 统计推断
02
实验设计
逻辑思维方法
03
数据验证
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数学人教三年级上册数字黑洞“495”教案
数学人教三年级上册数字黑洞“495”教案一、教学内容本节课选自数学人教三年级上册，主要讲解数字黑洞“495”的相关知识。
具体章节为第五章《趣味数学》，内容涉及数字谜题、数字规律及简单的数学推理。
二、教学目标1. 让学生掌握数字黑洞“495”的解法，理解其中的数学规律。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维和推理能力。
三、教学难点与重点难点：理解数字黑洞“495”的规律，将其应用于实际问题。
重点：掌握数字黑洞“495”的解法，培养逻辑思维和推理能力。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示数字黑洞“495”的谜题，引导学生思考如何求解。
2. 例题讲解（15分钟）讲解数字黑洞“495”的解法，引导学生发现其中的数学规律。
3. 随堂练习（10分钟）出示类似的数字黑洞题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 互动讨论（10分钟）组织学生进行小组讨论，分享解题思路和心得体会。
6. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行回顾，巩固重点知识。
六、板书设计1. 数字黑洞“495”谜题2. 解题步骤3. 数学规律4. 课堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）求解数字黑洞“123”；（2）找出数字黑洞“789”的规律；（3）思考：如何求解任意三位数的数字黑洞？2. 答案：（1）数字黑洞“123”的解为：321；（2）数字黑洞“789”的规律：个位与百位互换，十位数字取相反数；（3）任意三位数的数字黑洞解法：将个位、十位、百位数字分别进行运算，得到一个新的三位数，重复此过程，直至得到一个三位数的数字黑洞。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数字黑洞“495”的解法掌握程度，以及课堂氛围和教学效果。
2. 拓展延伸：（1）研究更多数字黑洞的解法；（2）探索数字黑洞在其他领域的应用；重点和难点解析1. 教学内容的选取与组织；2. 教学目标的设定；3. 教学难点与重点的区分；4. 教学过程的安排；5. 板书设计；6. 作业设计；7. 课后反思及拓展延伸。
第5章基于谓词逻辑的机器推理
首先定义如下谓词： N(x):x是自然数。 I(x):x是整数。 E(x):x是偶数。
O(x):x是奇数。 GZ(x):x大于零。 s(x):x除以2。
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第5章基于谓词逻辑的机器推理
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5.1.1谓词、函数、量词（9）
将上述各语句翻译成谓词公式： （1）自然数都是大于零的整数。 F1: x (N(x)GZ(x) I(x)) （2）所有整数不是偶数就是奇数。 F2: x (I(x)(E(x) O(x))) （3）偶数除以2是整数。 F3: x (E(x) I(s(x))) 所有自然数不是奇数就是一半为整数的数。 G: x (N(x)(I(s(x)) O(x)))
全称量词 表示“对个体域中所有的（或任一个）个体” 。记为x
如：“凡是人都有名字” 用M（x）表示“x是人”，N（x）表示“x有名字” x（M（x） N（x））
存在量词 表示“在个体域中存在个体”。记为x
如：“存在不是偶数的整数” 用G（x）表示“x是整数”，E（x）表示“x是偶数”
x（G（x） ¬ E（x））
S(x): x是学生； P(x,y): x是y的父亲。
个体变元的变化范围称为个体域。
包揽一切事物的集合称为全总个体域。
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第5章基于谓词逻辑的机器推理
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5.1.1谓词、函数、量词（4）
函数：为了表达个体之间的对应关系，引入数
学中函数概念和记法。用形如f(x1，x2，…， xn)来表示个体变元对应的个体y，并称之为n 元个体函数，简称函数。
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第5章基于谓词逻辑的机器推理
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5.1.1谓词、函数、量词（6）
用谓词表示命题时，一般取全总个体域，再采用使用 限定谓词的方法来指出每个个体变元的个体域。
第5章 5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.2导数的四则运算法则素养目标学科素养1.掌握导数的运算法则．(重点)2．利用导数的运算法则解决有关问题．(难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学古希腊欧几里得在《几何原本》中所建立的几何体系，堪称“雄伟的建筑”“庄严的结构”“巍峨的阶梯”，它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁《神曲》中的诗句、黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美．导数公式及运算法则的和谐与对称具有一种崇高美，今天，让我们一起领略吧！导数的四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 特别地：①当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )； ②当f (x )＝1时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( ) × 提示：若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋c .(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) √ 提示：若y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′＝2cos x ＋sin x .(3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( )× 提示：因为f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，所以f ′(x )＝2x ＋3.1．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin xB 解析：y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 2．若y ＝cos x ＋e x ，则y ′＝( ) A ．－sin x ＋e x B ．sin x ＋e xC ．－sin x ＋1xD ．sin x ＋1xA 解析：y ′＝(cos x )′＋(e x )′＝－sin x ＋e x . 3．下列求导运算正确的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2′＝1－1x 3B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(x ·ln x )′＝1xD ．(3x )′＝3x log 3eB 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2′＝1－2x 3，(x ln x )′＝ln x ＋1，(3x )′＝3x ln 3，故A ，C ，D 均错误，B 正确．4．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin xB 解析：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x . 5．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 1 解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.【例1】求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3＋x 2－x ＋1； (2)y ＝x 4＋cos x ； (3)y ＝e x ＋ln x .解：(1)y ′＝(2x 3)′＋(x 2)′－(x )′＋(1)′＝6x 2＋2x －1. (2)y ′＝(x 4)′＋(cos x )′＝4x 3－sin x . (3)y ′＝(e x )′＋(ln x )′＝e x ＋1x.1．两个函数和(或差)的求导法则：设函数f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．2．熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．求下列函数的导数． (1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝5x －ln x ；解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′＝x 4＋2x 2. (2)y ′＝(5x )′－(ln x )′＝5x ln 5－1x .(3)y ′＝(log 5x )′＋(sin x )′＝1x ln 5＋cos x .【例2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝2x cos x －3x ln x ； (3)y ＝x ＋3x 2＋3.解：(1)(方法一)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)×3＝18x 2－8x ＋9.(方法二)∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(2)y ′＝(2x cos x －3x ln x )′＝(2x )′cos x ＋2x (cos x )′－3[x ′ln x ＋x (ln x )′]＝2x ln 2×cos x －2x sin x －3⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝2x ln 2×cos x －2x sin x －3ln x －3. (3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝1×(x 2＋3)－(x ＋3)×2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.两个函数积的求导法则：设函数f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 两个函数商的求导法则：设函数f (x )，g (x )是可导的，且g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.运算过程易出现失误的原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．另外在求导之前观察函数是否可以化简，再进行求导，可以避免使用商的求导法则，从而减少运算量．求下列函数的导数．(2)y ＝2xsin x.解：(1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x . (2)y ′＝(2x )′sin x －2x (sin x )′sin 2x ＝2x ln 2×sin x －2x cos xsin 2x.探究题1 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) 解析：设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2， ∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．探究题2 已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x ，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x 存在零点．令f ′(x )＝0，即2ax ＋1x ＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0， 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．解决有关切线问题的关注点：(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)， 所以f ′(x )＝2ax ＋b .又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)．即7x ＋y －3＝0.1．函数f (x )＝x 3－2x 2－3的导数为( ) A ．f ′(x )＝3x 2－4x B ．f ′(x )＝3x 2－4x －3 C ．f ′(x )＝3x 2－2x D ．f ′(x )＝3x 2－2x －3A 解析：∵f (x )＝x 3－2x 2－3, ∴f ′(x )＝3x 2－4x .故选A ． 2．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，则f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－1＋π2B ．π2＋1C ．1D ．－1D 解析：由f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，得f ′(x )＝cos x －sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2－sin π2＝－1.故选D ．3．函数f (x )＝x 3－x 2＋x 的图象在原点的切线方程为( ) A ．x －y ＝0B ．x ＋2y ＝0C．x＋y＝0 D．x－2y＝0A解析：由函数f(x)＝x3－x2＋x，则f′(x)＝3x2－2x＋1，所以f′(0)＝1，所以函数f(x)＝x3－x2＋x的图象在原点的切线方程为y－0＝1(x－0)，即x －y＝0.故选A．4．函数y＝x2cos x＋x2的导数为()A．y′＝2x cos x－x2sin x＋2xB．y′＝2x cos x＋x2sin x＋2xC．y′＝x2cos x－2x2sin x－2xD．y′＝x cos x－x2sin x－x2A解析：∵y＝x2cos x＋x2，∴y′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＋(x2)′＝2x cos x－x2sin x＋2x，故选A．5．已知函数f(x)＝x2＋x ln x.(1)求这个函数的导数f′(x)；(2)求这个函数在x＝1处的切线方程．解：(1)因为f(x)＝x2＋x ln x，所以f′(x)＝2x＋ln x＋1.(2)由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2＋1＝3，又f(1)＝1，所以切线方程为y－1＝3(x－1)，整理得3x－y－2＝0.1．熟练运用积、商的求导法则，不可混淆．2．函数解析式较复杂时，可以化简的要先化简再求导．课时分层作业(十五) 导数的四则运算法则 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 利用导数的加法与减法法则求导 1．(5分)已知f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝( ) A ．3x 2－3x B ．3x 2－3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．3x 2－3x ln 3D 解析：∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3x ln 3. 2．(5分)已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝( ) A ．0 B ．3－12C ．3＋12D ．1C 解析：∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋sin π3＝12＋32＝3＋12. 3．(5分)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A ．π6B ．3π4C ．π4D ．π3B 解析：f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，故切线的倾斜角为3π4.4．(5分)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0C 解析：由y ＝2sin x ＋cos x 可得y ′＝2cos x －sin x ，当x ＝π时，y ′＝－2，即切线的斜率为－2，所以切线方程为2x ＋y －2π＋1＝0. 5．(5分)函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A ．12(e x －e －x )B ．12(e x ＋e －x )C ．e x －e －xD ．e x ＋e －xA 解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫12e x ′＋⎝⎛⎭⎫12e －x ′＝12e x －12e －x ＝12(e x －e －x )． 知识点2 利用导数的乘法与除法法则求导 6．(5分)下列运算正确的是( ) A ．(ax 2－bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (－x )′ B ．(sin x ＋2x 2)′＝(sin x )′＋2′(x 2)′ C ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x D ．⎝⎛⎭⎫cos x x 2′＝(cos x )′－(x 2)′x 2A 解析：根据导数的四则运算法则易知A 正确． 7．(5分)函数y ＝cos x 1－x 的导数是( )A ．－sin x ＋x sin x (1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x (1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x 1－xC 解析：y ′＝(cos x )′(1－x )－cos x (1－x )′(1－x )2＝－sin x ·(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2.8．(5分)函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)的导数为0，那么x 等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2B 解析：y ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)·1x 2＝x 2－a 2x2.由x 2－a 2＝0得x ＝±a .9.(5分)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．3 解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.能力提升练能力考点 适度提升10.(5分)若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)C 解析：由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，若f ′(x )＝2x 2－2x －4x >0，则x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又x >0，∴x >2.11．(5分)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1D 解析：令f (x )＝a e x ＋x ln x ，则f ′(x )＝a e x ＋ln x ＋1，f ′(1)＝a e ＋1＝2，得a ＝1e ＝e －1.f (1)＝a e ＝2＋b, 可得b ＝－1.12．(5分)曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A ．π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2A 解析：曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为π22.13.(5分)曲线f (x )＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________．22－1 解析：f ′(x )＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.14.(5分)已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.1 解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1. 15.(5分)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 1 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.16.(5分)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12解析：∵点(1，a )在曲线y ＝ax 2－ln x 上， ∴切线与曲线在点(1，a )处相切．又∵f ′(x )＝y ′＝2ax －1x， ∴f ′(1)＝2a －1.∴切线的斜率为2a －1.又切线平行于x 轴，∴2a －1＝0，∴a ＝12. 17.(10分)求下列函数的导数：(1)y ＝3x －x 3；(2)y ＝sin x －2x 2；(3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝e xsin x. 解：(1)y ＝3x －x 3，则y ′＝(3x )′－(x 3)′＝32x －3x 2. (2)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(3)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x.(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x. 18.(10分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．解：由f (2x ＋1)＝4g (x )得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .于是有a ＋2＝2c ，①a ＋b ＋1＝4d .②由f ′(x )＝g ′(x )得2x ＋a ＝2x ＋c ，于是a ＝c .③ 由①与③有a ＝c ＝2.此时f (x )＝x 2＋2x ＋b ，由f (5)＝30得25＋10＋b ＝30，④于是b ＝－5，再由②得d ＝－12. 从而g (x )＝x 2＋2x －12， 故g (4)＝16＋8－12＝472.。
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P(1)是真
输入
证明机器
输出
P(2)是真
P(n)是真
输入
证明机器
输出
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5.3 重要的证明方法—— 数学归纳法
P(1)是真的
5.3.1 数学归纳法概述
使用归纳法的证明由两步组成, 第一是验证命题P(1)是真的, 将命题中的每一个n直接用1代 替就能够办到,通常要验证一个 复杂的命题在n=1是真的,只 要对这个命题作一些不大的改写 就行了. 第二步要复杂得多,要求利用P (n)是真的假设来得到P(n+1) 是真的结论.
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第5章 数学推理
5.1 5.2 5.3 5.4 推理规则 证明定理的方法 重要的证明方法—— 数学归纳法 递归的定义方法
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5.2 证明定理的方法
5.2.1 蕴涵式的证明方法 常见的证明蕴涵式的方法. 1. 归谬法 对于蕴涵式P→Q,当P→Q的值为真且当Q为假时,P的值必为假. 由此启发,假定可以找到矛盾式(永假式)Q使得 P→Q的值为 真,即P→F为真,于是命题 P必然为假.从而可以得到P必然 为真.这就是归谬法的思想. 从数理逻辑来看,归谬法以下列两个逻辑等价式(归谬法原理) 作为基础: (P→Q)∧(P→Q)P (P→Q)∧(Q→P)P 在使用归谬法时可有如下三种分类: 第一种:推出与假设矛盾的命题.即欲证P为真,先假设P为真, 推出P为真.
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重要的推理定律有: (1)附加律(或称析取的引入):A(A∨B). (2)化简律(或称合取的消除):(A∧B)A,(A∧B)B. (3)假言推理(或称分离规则):(A→B)∧AB. (4)拒取式:(A→B)∧BA. (5)析取三段论:(A∨B)∧BA. (6)假言三段论(或称为传递规则):(A→B)∧(B→C)(A→C). (7)等价三段论:(AB)∧(BC)(AC). (8)构造性二难:(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D). 证明中可使用一些推理规则,如下: (1)附加规则:若有A,则可得到A∨B. (2)化简规则:若有A∧B,则可得到A,也可得到B. (3)合取引入规则:若有A和B,则可得到A∧B. (4)假言推理规则(分离规则):若有A→B和A,则可得到B. (5)拒取式规则:若有A→B和B,则可得到A. (6)假言三段论(传递规则):若有A→B及B→C,则可得到A→C. (7)析取三段论规则:若有A∨B和B,则可得到A. (8)构造性二难规则:若有A→B,C→D和A∨C,则可得到B∨D.
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5.2.2 带量词的命题的证明方法 下面分类讨论在数理逻辑中如何构造带量词的命题的证明. 1. 存在性证明 1)构造性的存在性证明 所谓构造性的证明是通过在辖域内找出一个使得P(a)为真的元素a来给出xP (x)的存在性证明,这样的存在性证明称为构造性的. 2)非构造性的存在性证明 给出非构造性的存在性证明是可能的,非构造性就是不是找出使P(a)为真的元 素a,而是以某种其他方式来证明xP(x)为真.非构造性证明的一种常用方法 是使用归谬证明,先假设(xP(x))为真,推出矛盾,从而得xP(x)为真. 2. 全局性的证明 证明形如 xP(x)的命题为真,常用方法是:在辖域中任取y,若P(y)都为真, 则xP(x)为真. 3. 非全局性的证明 现欲证明形如xP(x)的命题为假. 由于(xP(x))x(P(x)),这就意味着,若能用构造性的存在性证 明求出一个包含在辖域内的个体a使得P(a)为假,则证明了x(P(x))为 真,所以( xP(x))为真,所以xP(x)就为假了.我们称一个使得P(a) 为假的个体a为反例.所以为了证明xP(x)为假,仅仅需要找到一个反例.但 是找反例并非证明.
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9. 对形如 Q的证明 对形如P 的证明 有时候,为了证明其本身是一个等价式的定理,即形如PQ的命题,其中P和 Q都是命题,可以用下列四种方法: 方法一: 因为PQ((P→Q)∧(Q→P)),所以为了证明PQ为真,只要分别证 P→Q及Q→P为真即可.这是数学中常用的方法. 方法二: 用代换规则: 如果有PS1S2,…SnQ成立,则有PQ为真. 证明两集合相等时,常用此法,据外延公理而得证. 方法三: 使用规则PS1S2,…,SnQP. 例如证明数学分析中线积分路径无关定理. 方法四: 用一串逻辑等价等值式推出: PQT (PQ)(R1Sl)(R2S2)…(RnSn)T 如在集合论中证A包含于BA∩B=A可用此法.
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2. 直接证明 可以通过证明"若P为真则Q也必然为真"来证明蕴涵式P→Q. 当前件(充分条件)为真,或假定前件为真,从而推出后件为真, 这样就证明P为真而Q为假的组合永远不会出现.这种证明方法称 为直接证明. 3. 间接证明 因为蕴涵式P→Q等价于它的逆否命题Q→P,所以可以通过证 明它的逆否命题 Q→P为真,来证明蕴涵式P→Q,这种类型 的论证称为间接证明.要证明(Q→P),可假定Q假(即Q 真),利用一切可用的前提,推理规则和已经证明的定理证出P 为假(P真). 4. 空证明 假定蕴涵式P→Q的前件P为假,则蕴涵式P→Q为真.因为该命 题形如F→T或F→T,所以它为真.因此,若可证明P为假,则可 以给出蕴涵式P→Q的证明,这称为空证明.空证明常用于证明一 些定理的特殊情形.
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5. 平凡证明 假定蕴涵式P→Q的后件Q为真,则蕴涵式P→Q为真,因为该命 题形如T→T或F→T,而它们都为真.因此,若可以证明Q为真, 则可以给出P→Q的证明,这称为平凡证明.平凡证明在证明定理 的特殊情形以及在数学归纳法中是很重要的. 6. 附加前提证明法 这种附加前提证明法的根据是建立在下面定理的基础上: 定理5-1:(演绎定理)(P1∧P2∧…∧Pk∧P)Q当且仅当 定理 : (P1∧P2∧…∧Pk)P→Q. 定理 :(A1∧A2∧…∧Ak)B当且仅当 定理5-2: (A1∧A2∧…∧Ak∧B)是永真式,或者说(A1∧A2∧…∧Ak)B 当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak∧B)是矛盾式. 具体可以简写为如下: 原来要证明:(P1∧P2∧…∧Pk→Q)T 取否定:(P1∧P2∧…∧Pk→Q)F ((P1∧P2∧…∧Pk)∨Q))F 所以:P1∧P2∧…∧Pk∧QF
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5.1.2 谓词逻辑的推理规则 谓词逻辑同样可以使用的推理定律有: 附加律:(A(A∨B)). 化简律:((A∧B)A,(A∧B)B). 假言推理:((A→B)∧AB). 拒取式:((A→B)∧BA). 析取三段论:((A∨B)∧BA). 假言三段论:((A→B)∧(B→C)(A→C)). 等价三段论:(AB)∧(BC)(AC). 构造性二难:(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D). 除上面的推理定律之外,谓词逻辑推理中特有的推理定律还有: (1)(xA(x))∨(xB(x))x(A(x)∨B(x)) (2)x(A(x)∨B(x))(xA(x))∨(xB(x)) (3)x(A(x)→B(x))(xA(x))→(xB(x)) (4)x(A(x)→B(x))(xA(x))→(xB(x))
5.1 推理规则
5.1.1 命题逻辑的推理规则 定义5-1: 定义 :称蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为推理的形式结构,A1,A2,…, Ak为推理的前提,B为推理的结论.若(A1∧A2∧…∧Ak)→B为永真式,则 称从前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确(或说有效),B是A1, A2,…,Ak的称有效结论或B可由A1,A2,…,Ak逻辑推出,否则称推理 不正确.若从前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理正确,则记为 (A1∧A2∧…∧Ak)B. 定义5-2: 定义 :证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1,A2,…,An,其中 的每个命题公式或者是已知的前提,或者是由某些前提应用推理规则得到的 结论,满足这样条件的公式序列A1,A2,…,An称为结论An的证明. 在证明中常用的推理规则有3条: (1)前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入已知的前提. (2)结论引入规则:在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作 为后续证明的前提. (3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式中的任何子公式都可用与 之等值的公式置换,得到证明的公式序列的另一公式.
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10. 形如 P2…Pk的证明 形如P1 的证明 有时候,定理可能是几个命题等价的形式.这样的定 理是说命题P1,P2 ,…,Pk都是等价的.这个定理 可以写成P1P2 …Pk形式. 它是说所有的n个命题都具有相同的真值.证明这些命 题互相等价的一种方式是使用等价式:(P1P2 …Pk)((P1→P2)∧(P2→P3)∧…∧ (Pk→P1)). 这个等价式说明,如果可以证明蕴涵式P1→P2, P3→P4,…,Pk→P1都为真,则命题P1,P2,…, Pk都是等价的.
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