离散型随机变量和分布列(基础+复习+习题+练习)

课题：离散型随机变量及其分布列

考纲要求：①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；②理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用. 教材复习

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变

量叫做离散型随机变量

若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量

3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间的一切值，这样的变量就

叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变

量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=

对于离散型随机变量在某一围取值的概率等于它取这个围各个值的概率的和.即

(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅

7.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列： 其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<). 8.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，

所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =， ()(1)k p A q q p ==-，那么

112311231()()()()()()

()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，

p q -=1)

称这样的随机变量ξ服从几何分布，

记作(,)g k p 1

k q

p -=，其中0,1,2,k =…，p q -=1 9.超几何分布：

一般地，设有N 件产品，其中有M （M ≤N ）件次品，从中任取n （n ≤

N ）件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么()P X k == （其中k 为非负整数）.如果一个随机变量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数10.求离散型随机变量分布列的步骤：1要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；()2分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；()3列表对应，给出分布列，并用分布

列的性质验证.

11.几种常见的分布列的求法：()1取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键

是概率的计算.所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等，对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.()2射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.

()3对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，

明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.

典例分析：

考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列 问题1．（2013）一个盒子里装有7卡片, 其中有红色卡片4, 编号分别为

1,2,3,4；白色卡片3, 编号分别为2,3,4. 从盒子中任取4卡片 (假设取到任何一 卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 在取 出的4卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.

考点二 由统计数据求离散型随机变量的分布列 问题2．（2010）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. ()1根据频率分布直方图，求重量 超过505 克的产品数量.

()2在上述抽取的40件产品中任取 2件，设Y 为重量超过505克的产 品数量， 求Y 的分布列.

()3从流水线上任取5件产品， 求恰有2件产品合格的重量 超过505克的概率.

考点二 两点分布

问题3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球.当两球全为

红色玻璃球时，记0X =；当两球不全为红色玻璃球时，记为1X =.试求X 的分布列.

考点三 超几何分布 问题4．（2012）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．()1求X 的分布列；()2求X 的数学期望EX ．

走向高考：

1.（2012）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． ()1求概率(0)P ξ=； ()2求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．