初中数学圆习题及答案
(易错题精选)初中数学圆的技巧及练习题附解析
（易错题精选）初中数学圆的技巧及练习题附解析一、选择题1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：··=，则∠CM DMDBC=2∠EAD=80°．【详解】如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°．∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M．∵AO⊥CD，∴··=，∴∠DBC=2∠EAD=80°．CM DM故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．3．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）A．123B．1536π-πC．30312π-D．48336π-π【答案】C【解析】【分析】易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．【详解】连接OE，OF．∵BD=12，AD：AB=1：2，∴AD=43，AB=83，∠ABD=30°，∴S△ABD=33,S扇形=603616,63393 3602OEBSππ⨯==⨯=V∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．4．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（ ）A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm 2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：由题意得：BC ，AC 分别是⊙O 的切线，B ，A 为切点，∴OA ⊥CA ，OB ⊥BC ，又∵∠C=90°，OA=OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∴OA=AC=4，故A ，B 正确；∴»AB 的长度为：904180π⨯=2π，故C 错误； S 扇形OAB =2904360π⨯=4π，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．5．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【解析】【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）A．934π-B．9942π-C．39324π-D．3922π-【答案】B【解析】【分析】连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S阴影=S 扇形-S△ODC即可求得．【详解】连接OD、OC，∵AB是直径,∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠CBD=∠CEB=45°，∴∠COD =2∠DBC=90°，∴S阴影=S扇形−S△ODC=2903360π⋅⋅−12×3×3=94π−92.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.7．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．8．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【解析】【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．Q圆的直径正好是大正方形边长，22，∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2【答案】D【解析】试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：S＝RLπ＝15π故选D.11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．12．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆，作出过点C的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求，观察图象可知，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.13．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A．32πB．83πC．6πD．以上答案都不对【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=()603616103603π⨯-=π． 故选D ．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形．14．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）A ．99︒B ．100︒C ．101°D ．102︒【答案】D【解析】【分析】 连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.【详解】解：连接OB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=56°，∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC ， ∴∠BOC=68°×2=136°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB，得到∠BOC的度数.15．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．50cm2B．50πcm2C．255cm2D．255πcm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，∴等腰三角形的斜边长＝22＝55，即圆锥的母线长为55cm，圆锥底面圆半105径为5，∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝1×10π×55＝255πcm2，2故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．16．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 等分⊙O ，分别以点B 、D 、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）A ．π+33B ．π-33C ．33π+ D ．33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB ，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴2211()2-3 ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-12×1×32）×6=π-332， 故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．17．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.18．如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2B 3C 2D ．12【答案】B【解析】【分析】 连接OA ，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出PA 的值.【详解】连接OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．详解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选B．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．20．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AHAO，∴AO＝336sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
【单元练】人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）A ．25B ．4C ．213D ．245C 解析：C【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．2．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104πB解析：B【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，∵OB=OC，∴OB2=OC2，∴22+(16-x) 2=62+x2，解得x=7，∴r2=OB2=22+92=85，∴圆的面积S=πr2=85π，故选：B．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．3．如图，分别以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是弧AEC中点，D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC长为（）A．2B．2C．2D．2D解析：D【分析】连接OE，交AC于点F，由勾股定理结合垂径定理求出AF的长，即可得到结论．【详解】解：连接OE ，交AC 于点F ，∵E 为AEC 的中点，∴OE AC ⊥，F 为AC 的中点，∵12AB =∴6OE AO ==设EF x =，则6OF x =-∵F 为AC 的中点，D 为半圆ADC 的中点，∴DF AC ⊥，DF AF =∵2DE =，∴2DF x AF =+=在Rt △AOF 中，222OA OF AF =+即2226(6)(2)x x =-++， ∴122x =+，222x =-∴2(2)822AC x =+=+或822-∵6AC >∴822AC =+故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出AF 是解题的关键． 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80πB解析：B【分析】 先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．【详解】解：∵2πr=8π，∴r=4，又∵母线l=5，∴圆锥的侧面积＝πrl ＝π×4×5＝20π．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．5．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．πA解析：A【分析】过A 作AD ⊥BC ，连接AF ，求出∠FAE ，再利用弧长计算公式计算EF 的长即可．【详解】解：过A 作AD 垂直BC ，连接AF ，如图，∵2,30,45AB B C =∠=︒∠=︒，可得2∴AC=2，∵AC=AF∴∠AFC=∠C=45°，∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°∴EF 的长为：152180π⨯=6π 故选：A【点睛】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式．6．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】 ①根据作图过程可得AC AD =，根据垂径定理可判断；②连接OC ，根据作图过程可证得△AOC 为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断； ③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点，∴AC AD =，根据垂径定理可知，AB ⊥CE ，CE=DE ，∴①正确；②连接OC ，∵AC=OA=OC ，∴△AOC 为直角三角形，∵AB ⊥CE ，∴AE=OE ，∴BE=BO+OE=3AE ，∴②正确；③∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE ，∴③正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．7．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．102解析：C【分析】 根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC ，∴∠D=∠B ，∵∠BAC=∠D ，∴∠B=∠BAC ，∴△ABC 是等腰三角形，∵AB 是直径，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．8．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2A解析：A【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，OD＝3，∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴2222=-=-=，BD OB OD.534∴AB＝2BD＝8．故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠=︒，则B的度数是（）A50A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150°C解析：C【分析】 延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，证明△△AOD BOD ≅，OD 是AOB ∠的角平分线，求得290345∠=︒-∠=︒，进行求解即可；【详解】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，45C ∠=︒，∴345∠=︒，∵DA DB =，OA OB =，∴△△AOD BOD ≅，∴OD 是AOB ∠的角平分线，又∵AO BO =，∴DH AB ⊥，∴290345∠=︒-∠=︒，又∵221∠=∠，∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可．二、填空题11．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解 解析：13,12⎛+ ⎝⎭332⎛ ⎝⎭【分析】先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M 的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH =、12CJ =，再根据勾股定理求得632JM =，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF =，即可得解．【详解】解：经历六次旋转后点M 落在点6M 处，过M 作MH x ⊥于点H ，过6M 作6M J x ⊥于点J ，连接6IM ，如图：∵在Rt AFH 中，1AF =，60AFH ∠=︒，30FAH ∠=︒∴1122FH AF == ∵已知点M 的纵坐标是312+，即312MH =+ ∴点M 的坐标是：13,12⎛ ⎝⎭； ∵在6Rt CJM 中，61CM =，660JCM ∠=︒，630CM J ∠=︒∴61122CJ CM ==，226632JM CM CJ =-= ∵点I 是正六边形的中心∴1IC IF ==∴32JF IF IC CJ =+-=∴点6M 的坐标是：33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案是：13,122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为_______________________． 【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（解析：()3,310【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．【详解】解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC 的垂直平分线为直线x=3，∵OA=OB ，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，∴M 点的坐标为（3，3），∵22(32)310MB =-+=∴⊙M 10．故答案为（3，3），10．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．13．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l经过点A，作CE⊥l 于点E，连接BE.则当直线l绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是________．【分析】以AC为直径作圆O连接BO并延长交圆O于点可得BO+O＞B从而可得BO+OE＞B即BE为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE⊥l于点E∴以AC为直径作圆O∵CE解析：225+【分析】以AC为直径作圆O，连接BO，并延长交圆O于点E'，可得BO+O E'＞B E'，从而可得BO+OE＞B E'，即BE为最大值，再由勾股定理求出BO的长即可解决问题．【详解】解：由题意知，CE⊥l于点E，∴以AC为直径作圆O，∵CE⊥AE,∴点E在圆O上运动，连接BO，并延长交圆O于点E'，如图，∴BO+O E'＞B E'，∵OE=O E'，∴BO+OE＞B E'，∴BE的长为最大值，∵AO=OC=OE，且AB=AC=4，∴122OE AC==又∵∠BAC=90°∴22222BO AO AB=+=+=4220∴25BO=∴BE=252+=+BO OE+故答案为：225【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE的外接贺是解答本题的关键．14．如图，点A，B，C在O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行∠=________︒．四边形，则AOC120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A，B，C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()3,0B ，以A 为圆心，2为半径作A ，点P 为A 上一动点，M 为OP 的中点，连接BM ，设BM 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为_________．2【分析】方法一：在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可；方法二：连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解：方解析：2【分析】方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，可求3OB BE ==，22345AE +=，由OM PM =，OB BE =，可得12BM PE =，由点P 在A 上运动，可知P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，由最大值与最小值求出72m =，32n =即可；方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+，可得m BN MN =+，n BN MN =-，作差计算22m n MN PA -===即可．【详解】解：方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，∵()3,0B ，()3,4A ，∴3OB BE ==，22345AE =+=，∵OM PM =，OB BE =，∴12BM PE =， ∵点P 在A 上运动， ∴P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，∴72m =，32n =， ∴2m n -=， 故答案为2．方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，BN MN BM BN MN -≤≤+，m BN MN =+，n BN MN =-，22m n MN PA -===．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，掌握三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，引辅助线构造准确图形是解题关键． 16．如图，已知点C 是半圆О上一点，将弧BC 沿弦BC 折叠后恰好经过点,O 若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E 交半圆O 于D 点连接CD如图根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE 再根据折叠的性质得到ED ＝EO 则OE ＝OB 则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°即∠AB 解析：23π 【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE ，再根据折叠的性质得到ED ＝EO ，则OE ＝12OB ，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°则∠AOC=60°，由于OC ＝OB ，则弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，然后根据扇形的面积公式及S 阴影部分＝S 扇形OAC 即可得到阴影部分的面积．【详解】如图：过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，∵OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∵半圆O 沿BC 所在的直线折叠，圆弧BC 恰好过圆心O ，∴ED ＝EO ，∴OE ＝12OB ， ∴∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°，∴∠AOC=60°；∵OC ＝OB ，∴弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝260223603ππ⋅= ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．17．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【详解】连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝40°，∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．BC=，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得18．在矩形ABCD中，43AB=6∠=︒，则AP的长为__________．或4或8【分析】取CD中点P1连接60APBAP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A点P1点B作圆与ADBC各有一个交点即这样的P点一共3个再运用勾解析：434或8．【分析】取CD中点P1，连接AP1，BP1，由勾股定理可求AP1＝BP1＝3△AP1B是等边三角形，可得∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°∵点P 1是CD 中点∴CP ＝DP 1＝23∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =；当点P 3在BC 上时，如图3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述，AP 的长为：43或4或8．故答案为：43或4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．10π【分析】连接OC 易得△ODE ≌△ECO 所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC 的面积即可【详解】解：如下图连接OC ∵∠AOB=90°CD ⊥OACE ⊥OB ∴四边形ODCE 为矩解析：10π【分析】连接OC ，易得△ODE ≌△ECO ，所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得扇形OBC 的面积即可．【详解】解：如下图连接OC ，∵∠AOB=90°、CD ⊥OA 、CE ⊥OB∴四边形ODCE 为矩形∴OD=CE ，OE 为公共边∴△ODE ≌△ECO∴△ODE 的面积=△ECO 的面积∴图中阴影部分的面积=2236361010360360O BC SOB πππ-==⨯=． 故答案为：10π．【点睛】本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE 的面积=△ECO 的面积．20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米． 65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析：6.5【分析】根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，根据垂径定理，得AD=6 m ，利用勾股定理可得：()22264AO AO =--，解得：AO =6.5m ．即圆弧半径为6.5米，故答案为：6.5．【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．解析：（1）见解析；（2）245 【分析】（1）连接OD ，由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠，再由OB=OD ，利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠，从而得出ODB CBD ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行，由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ，即可得证；（2）过D 作DH AB ⊥于H ，根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ，得出AH CE =，再根据勾股定理得出22221068BD AB AD -=-=，再利用等积法即可得出DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠．∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BE ．∴180BED ODE ∠+∠=︒．∵BE DE ⊥，∴90BED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 与O 相切；（2）过D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，∴DH DE =．∵AD CD =，∴AD CD =．∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△，∴AH CE =．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵10AB =，6AD =， ∴22221068BD AB AD =-=-=． ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅，∴245DH =． ∴245DE =． 【点睛】 此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．22．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．解析：证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 23．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．（1）求证：PT 是⊙O 的切线；（2）若3PT BT ==解析：（1）证明见解析；（2）364π- 【分析】 （1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．【详解】（1）证明：连接OT ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠2，∵∠PTA=∠B ，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT 与⊙O 相切；（2）∵3PT BT ==∴∠P=∠B=∠PTA ，∵∠TAB=∠P+∠PTA ，∴∠TAB=2∠B ，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，∴a 232＝(2a)2，解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 为等边三角形， 13312AOT S ∴=⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOTS S ππ⨯=-=-=-扇形． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．24．如图，已知AB 是O 的直径，四边形AODE 是平行四边形，请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）如图1，当点D 在圆上时，作BAC ∠的平分线；（2）如图2，当点D 不在圆上时，作BAC ∠的平分线．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形AODE 是平行四边形，结合圆的 半径相等，可知四边形AODE 是菱形，利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线；（2）延长OD 交于圆一点，连接该点与点A ，由此即可作出C BA ∠的平分线．【详解】解：（1）如图①：AD 即为所求．∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠；（2）如图②：延长OD 交于圆一点P ，连接AP ，同理可证AP 即为所求．【点睛】此题考查尺规作图，关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法．25．如图1是某人荡秋千的情形，简化成图2所示，起始状态下秋千顶端O 与座板A 的距离为2m （此时OA 垂直于地面），现一人荡秋千时，座板到达点B （OA 不弯曲）．（1）当BOA 30∠=时，求AB 弧的长度（保留π）；（2）当从点C 荡至点B ，且BC 与地面平行，3m BC =时，若点A 离地面0.4m ，求点B 到地面的距离（保号根号）．解析：（1）3m π；（2）127()52m -． 【分析】（1）利用弧长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出OD ，结合图形计算即可．【详解】解：（1）AB 弧线的长度=302()1803m ππ⨯=； （2）如图，∵OB=OC ，OD ⊥BC ，∴1322BD BC ==， 在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， ∴2222372()2OD OB BD =-=-=， ∴点B 到地面的距离=712720.4252-+=-， 答：点B 到地面的距离为127(5m -． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、弧长的计算、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键．26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 解析：（1）见解析；（2）433π- 【分析】（1）根据AB 是直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠BAE =90°，即可得到结果； （2）作OM ⊥AC ，垂足为M ，求得AM=3，根据扇形的面积计算公式计算即可；【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=∠CAE ，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，∴ BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：作OM ⊥AC ，垂足为M ．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∴∠AOM=∠COM=60°， ∴OM=12AO=1， ∴3 ∴AC=2AM=23∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =120414-231336023ππ． 【点睛】本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算，准确分析计算是解题的关键． 27．如图，ABC 内接于O ，60BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 相交于点H ．试证明：（1）FAH CAO ∠=∠；（2）四边形AHDO 是菱形．解析：（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．【详解】证明：（1）连接AD ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，∵AE ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠DAE=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，∴∠FAH=∠CAO ；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AC=2AM ，∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，∴AC=2AF ，∴AF=AM ，∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM ，∴△AFH ≌△AMO （ASA ），∴AH=AO ，∵OA=OD ，∴AH //CD ，∴四边形AHDO 是平行四边形，∵OA=OD ，∴四边形AHDO 是菱形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．28．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点． （1）如图，求ACB ∠的大小； （2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．解析：（1）52︒；（2）19︒【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，再根据圆周角定理得到ACB ∠的度数；（2）连接CE ，根据（1）的结论，先求出BCE ∠的度数，再由圆周角定理得到BAE BCE ∠=∠，再等腰三角形ABD 中求出底角ADB ∠的度数，再由外角和定理就可以求出EAC ∠的度数．【详解】解：（1）如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴360909076104AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，根据圆周角定理，1522ACB AOB ∠=∠=︒；（2）如图，连接CE ， ∵AE 是O 的直径， ∴90ACE ∠=︒， ∵52ACB ∠=︒， ∴905238BCE ∠=︒-︒=︒， ∴38BAE BCE ∠=∠=︒， ∵AB AD =， ∴71ABD ADB ∠=∠=︒， ∴19EAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查圆周角定理和切线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．。
人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》习题(含答案解析)
一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（ ）A ．20B ．35C ．40D ．55 3．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．434+B ．43C ．438+D ．63 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80π 5．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°6．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，过点O 作OM ⊥弦BC 于点M ，若O 的半径为4，则弦心距OM 的长为（ ）A ．23B ．3C ．2D ．22 7．已知O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 可取的整数值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠10．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A．22＋1 B．22＋2 C．42＋1 D．42-211．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线a的距离为2，点 P是直线a上的一个动点，PA 切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（）A．1 B．3C．2 D．512．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，OB=2，则弧BC的长为（）A．103πB．59πC．109πD．518π13．如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（）A．2 B．121313C．4 D．514．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则BC的长为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π 15．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．如图，用一张半径为10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm ，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm ，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm 2．17．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．18．半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB=BC ，连结OB 、OC ，延长CO 交弦AB 于D ，若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为______________．19．如图，点C ，D 是半圈O 的三等分点，直径43AB =．连结AC 交半径OD 于E ，则阴影部分的面积是_______．20．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.21．如图，AB AC 、分别为O 的内接正方形、内接正三角形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 的值为_______________________．22．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．23．如图，直线33y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．以A 为圆心，以AB 为半径作弧交x 轴于点A 1；过点A 1作x 轴的垂线，交直线 AB 于点B 1，以A 为圆心，以AB 1为半径作弧交x 轴于点 A 2；…，如此作下去，则点n A 的坐标为___________；24．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则OC ＝_____．25．扇形 的半径为6cm ，弧长为10cm ，则扇形面积是________．26．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________三、解答题27．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点M ，弦MN ∥BC 交AB 于点E ，且ME ＝NE ＝3．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝4，求⊙O 的直径AB 的长度．28．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ．（1）若40BAC ∠=︒，求ADC ∠的度数；（2）求证：2BAC DAC ∠=∠．29．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点． （1）如图，求ACB ∠的大小； （2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．（1）当t = 2时，点C的坐标为（，）；（2）当t >0时，过点C作x轴的垂线l．①判断当点P运动时，直线l的位置是否发生变化？请说明理由；②试说明点F到直线l的距离始终等于OP的长；（3）请直接写出t为何值时，CF=2BF．。
初中数学专题训练《圆》的综合练习题及解析
专题62 圆的综合（1）【典例分析】例1、如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB=2√5，BC=2，当CE+DE的值最小时，则CEDE的值为()A. 910B. 23C. √53D. 2√55【答案】A【解析】【试题解析】解：延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，则OC⊥BD，OC=√OB2+BC2=√5+4=3，∵CB⊥OB，∠COB=∠BOGΔCOB∽ΔBOG∴OBOC =BGBC∴OB⋅BC=OC⋅BG，∴BG=23√5，∴BD=2BG=43√5，∵OD2−OH2=DH2=BD2−BH2，∴5−(√5−BH)2=(43√5)2−BH2，∴BH=89√5，∴DH=√BD2−BH2=209，∵DH//BF，∴EFED =BFDH=2209=910，∴CEDE =910，故选：A．延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+ DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得EFDE =BFDH，便可得解．本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．例2、如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB.点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最大值为______．【答案】16【解析】【分析】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP=8，则AB的最大长度为16．【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C(3,4)，∴OC=√32+42=5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP=OA=OB=8，∵∠APB=90°，∴AB是直径，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．例3、如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．(1)证明：OD//BC；(2)若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；(3)在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．【答案】解：(1)连接OC，在△OAD和△OCD中，∵{OA=OC AD=CD OD=OD，∴△OAD≌△OCD(SSS)，∴∠ADO=∠CDO，又AD=CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OD//BC；(2)∵tan∠ABC=ACBC=2，∴设BC=a、则AC=2a，∴AD=AB=√AC2+BC2=√5a，∵OE//BC，且AO=BO，∴OE=12BC=12a，OA=12AB=√5a2，AE=CE=12AC=a，在△AED中，DE=2−AE2=2a，在△AOD中，AO2+AD2=(√5a2)2+(√5a)2=254a2，OD2=(OE+DE)2=(12a+2a)2=254a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切；(3)连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DFAD =ADBD，即DF⋅BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴ADOD =DEAD，即OD⋅DE=AD2②，由①②可得DF⋅BD=OD⋅DE，即DFOD =DEBD，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO ， ∵BC =1，∴AB =AD =√5、OD =52、ED =2、BD =√10、OB =√52，∴EF OB =DEBD ，即√52=√10，解得：EF =√22．【解析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．(1)连接OC ，证△OAD≌△OCD 得∠ADO =∠CDO ，由AD =CD 知DE ⊥AC ，再由AB 为直径知BC ⊥AC ，从而得OD//BC ；(2)根据tan∠ABC =2可设BC =a 、则AC =2a 、AD =AB =√AC 2+BC 2=√5a ，证OE 为中位线知OE =12a 、OA =12AB =√5a2、AE =CE =12AC =a ，进一步求得DE =√AD 2−AE 2=2a ，再在△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD =90°即可得；(3)先证△AFD∽△BAD 得DF ⋅BD =AD 2 ①，再证△AED∽△OAD 得OD ⋅DE =AD 2②，由①②得DF ⋅BD =OD ⋅DE ，即DFOD =DEBD ，结合∠EDF =∠BDO 知△EDF∽△BDO ，据此可得EFOB=DEBD ，结合(2)可得相关线段的长，代入计算可得．【好题演练】一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，且与y 轴交于点B ，过点B 作直线BC 平行于x 轴，点M(a,1)在直线BC 上，若在⊙O 上存在点N ，使得∠OMN =45°，则a 的取值范围是( )A. −1≤a ≤1B. −12≤a ≤12 C. −√2≤a ≤√2D. −√22≤a≤√22【答案】A【解析】解：∵点M(a,1)在直线BC上，∴OB=1，∵BC//x轴，∴BC⊥y轴，∴∠OBM=90°，当BM=OB=1时，△OBM是等腰直角三角形，则∠OMN=45°，此时a=±1；当BM>OB时，∠OMN<45°，∴a的取值范围是−1≤a≤1；故选：A．由题意得出∠OBM=90°，当BM=OB=1时，△OBM是等腰直角三角形，则∠OMN=45°，此时a=±1；当BM>OB时，∠OMN<45°，即可得出结论．本题是圆的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识；熟练掌握元的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．2.如图，半径为R的⊙O的弦AC=BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD=√2，则半径R的长为()A. 1B. √2C. √22D. 12【答案】A【解析】【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质等知识，注意数形结合思想的应用．由AC=BD以及圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE，再连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABE=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=√2R，得出半径的长．【解答】解：∵AC=BD，AC⏜=BD⏜，∴AD⏜=BC⏜，∴∠ABD=∠BAC，∴AE=BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴∠AOD=2∠ABE=90°，∵OA=OD=R，∴AD=√2R，∵AD=√2，则R=1，故选A．3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20∘，则∠BCD的度数为()A. 100∘B. 110∘C. 115∘D. 120∘【答案】B【解析】略4.如图，△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP的最小值为()A. 8√1313B. 12√1313C. 2D. 32【答案】C【解析】【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵AP⊥BP，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC=√BO2+BC2=5，∴PC=OC−OP=5−3=2．∴PC最小值为2．故选C．5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD⊥BP于D，交AB于E，连接AD，则下列关于线段AD的说法正确的是()A. 存在最大值，最大值为2√55B. 存在最小值，最小值为2√2−2C. 存在最小值，最小值为1−4√1717D. 存在最大值，但不存在最小值【答案】B【解析】解：∵CD⊥BP，∴∠CDB=90°，∴点D总在以BC为直径的圆上，∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离，∴当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴OC=2，∴OA=√OC2+CA2=2√2，∴AD=OA−OD=2√2−2，即线段AD存在最小值，最小值为2√2−2．故选B．根据垂线的定义得到∠CDB=90°，根据圆周角定理的推理得点D总在以BC为直径的圆上，所以当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，再根据勾股定理计算出OA，然后利用AD=OA−OD计算即可．本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆外一点到圆上的最大或最小距离；会利用勾股定理计算线段的长．二、填空题6.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60∘，点C为BD⏜的中点，则AC的长是．【答案】8√33【解析】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，证得△AEC≌△AFC，得出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：如图，过点C分别作CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD于点F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90∘，∵点C为BD⏜的中点，∴BC⏜=CD⏜，则∠BAC=∠DAC，∵∠BAC=∠DAC，∠E=∠AFC=90∘，AC=AC，∴△AEC≌△AFC，∴CE=CF．∵A，B，C，D四点共圆，∴∠D=∠CBE．在△CBE和△CDF中，∵{∠CBE=∠D,∠E=∠CFD,CE=CF,∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF．在△AEC和△AFC中，∵{∠E=∠AFC,∠EAC=∠FAC,AC=AC,∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，∴AE=AF=x+3，又AD=5，∴5=x+3+x，解得x=1，则AE=4．∵∠BAD=60∘，∴∠EAC=30∘，∴AC=2CE，又AC2=CE2+AE2，∴AC=8√33．7.如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2=AB⋅DC，则OD=______．【答案】√5−12【解析】解：在△AOB和△AOC中，∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠ABO=∠ACO，∵OA=OA，∴∠ACO=∠OAD，∵∠ADO=∠BDA，∴△ADO∽△BDA，∴ADBD =ODAD=AOAB，设OD =x ，则BD =1+x ， ∴AD1+x =xAD =1AB ， ∴AD =√x(x +1)，AB =√x(x+1)x，∵DC =AC −AD =AB −AD ，AD 2=AB ⋅DC ， (√x(x +1))2═√x(x+1)x(√x(x+1)x−√x(x +1))，整理得：x 2+x −1=0， 解得：x =−1+√52或x =−1−√52(舍去)，因此AD =√5−12， 故答案为：√5−12．可证△AOB≌△AOC ，推出∠ACO =∠ABD ，OA =OC ，∠OAC =∠ACO =∠ABD ，∠ADO =∠ADB ，即可证明△OAD∽△ABD ；依据对应边成比例，设OD =x ，表示出AB 、AD ，根据AD 2=AB ⋅DC ，列方程求解即可．考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．8. 如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点A 1，连接A 1C ，设A 1C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为______． 【答案】√33π【解析】 【分析】如图，连接BA 1，取BC 使得中点O ，连接OQ ，BD.利用三角形的中位线定理证明OQ =√32=定值，推出点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，OQ 为半径的圆弧，圆心角为120°，即可解决问题．本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，连接BA1，取BC的中点O，连接OQ，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴tan∠ABD=ADAB=√3，∴∠ABD=60°，∵A1Q=QC，BO=OC，∴OQ=12BA1=12AB=√32，∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，∴点Q的运动路径长=120⋅π⋅√32180=√33π.故答案为√33π.9.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm.半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC= 8cm．(1)当t=0s时，点A在半圆O_____，当t=8s时，点A在半圆O____；(2)当t=_____s时，⊙O与AC所在的直线第一次相切，点C到直线AB的距离为______cm；(3)当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？(4)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？【答案】(1)外，外(2)2，6(3)解：分两种情况：①如图，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC为半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2cm，所求运动时间为：t=2÷1=2(s)；②如图，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t=14÷1=14(s)；综上所述，当t为2秒或14秒时，△ABC的边AC与半圆O相切．(4)解：分两种情况：①如图2，当直线AB与半圆O所在的圆相切时，过C作CF⊥AB于F，在Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，∴CF=1BC=6，2又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8cm，所求运动时间t=8÷1=8(s)；②如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB=12，过O作OQ⊥AB，交直线AB于Q，在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，OB=6，则OQ=12即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8=32(cm)，所求运动时间t=32÷1=32(s)，综上所述，当t为8秒或32秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切．【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，利用了直线与圆相切的概念，能够将各种情况都考虑全是解题的关键．(1)由题意可知当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，求得线段AC的长度，由条件可知CO= 8，在Rt△ACO中可求得AO=4√7，所以点A在半圆O外，当t=8s时，点O与点C重合，在Rt△ACB中，可求得AO=AC=4√3，所以点A在半圆O外；(2)求出路程EC的长，即可以求出时间t=2，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；(3)随着半圆的运动分两种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间；(4)随着半圆的运动分两种情况：①当点O运动到点C时，AB与半圆相切，过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8；②当点O运动到B点的右侧时，且OB=12cm时，AB的延长线与半圆所在的圆相切，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q，利用直角三角形可求得点O运动了32cm，可求出时间t.【解答】解：(1)当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，∵DE=12，∴OE=OD=6，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=2AC，∴AB2=AC2+BC2，即3AC2=BC2，BC=4√3，∴AC=√33在Rt△ACO中，OC=8，则AO=4√7>6，所以点A在半圆O外，当t=8时，如图，此时点O与点C重合，在Rt△ACB中，AC=BC·tan30°=4√3，∵DE=12，∴OE=OD=OM=6，AO=AC>OM，所以点A在半圆O外，故答案为外，外；(2)由(1)知：OE=OD=6，∵OC=8，∴EC=8−6=2，∴t=2÷1=2，∴当t=2s时，⊙O与AC所在直线第一次相切；如图1，过C作CF⊥AB于F，Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，∴CF=1BC=6，2故答案为2，6；(3)见答案；(4)见答案．10.在平面直角坐标系中，M(6,8)，P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A(−2,0)、B(2,0)，连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是________ ．【答案】296【解析】【分析】本题考查了圆的综合，两点间的距离公司.解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大．【解答】解：设P点的坐标为(x,y)，则PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=2(x2+y2+4)=2(OP2+4)从图中可以看出OP最大时，应该是O，M，P三点一线时，这时OP=OM+2=√62+82+2=12，∴PA2+PB2的最大值=2(OP2+4)=2×(122+4)=296．故答案为296．三、解答题11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若A为EH的中点，求EF的值；FD(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．【答案】证明：(1)连接OD，如图1，∵OB=OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB①，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB②，由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD//AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，且OD是半径，∴DH是圆O的切线；(2)如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，∴由(1)可知：∠E=∠B=∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且点A是EH中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，∵AB=AC，∴D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AC，OD=12AC=12×3x=3x2，∵OD//AC，∴∠E=∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E=∠ODF，∠AFE=∠OFD，∴△AEF∽△ODF，∴EFFD =AEOD，∴AEOD =x32x=23，∴EFFD =23；(3)设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，∵EF=EA，∴∠EFA=∠EAF，∵OD//EC，∴∠FOD=∠EAF，则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，∴DF=OD=r，∴DE=DF+EF=r+1，∴BD=CD=DE=r+1，在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，∴BF=BD=r+1，∴AF=AB−BF=2OB−BF=2r−(1+r)=r−1，在△BFD和△EFA中，∵{∠BFD=∠EFA∠B=∠E，∴△BFD∽△EFA，∴EFFA =BFDF，∴1r−1=1+rr，解得：r1=1+√52，r2=1−√52(舍)，综上所述，⊙O的半径为1+√52．【解析】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；(2)如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=3x2，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；(3)设⊙O的半径为r，求出BF，DF，AF，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：EFFA =BFDF，即可得解．12.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．(1)求证：直线CD与⊙O相切；(2)如图2，记(1)中的切点为E，P为优弧AE⏜上一点，AD=1，BC=2.求tan∠APE的值．【答案】(1)证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：则∠OEC=90°，∵AD//BC，∠DAB=90°，∴∠OBC=180°−∠DAB=90°，∴∠OEC=∠OBC，∵CO平分∠BCD，∴∠OCE=∠OCB，在△OCE和△OCB中，{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCB OC=OC，∴△OCE≌△OCB(AAS)，∴OE=OB，又∵OE⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；(2)解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图所示：则四边形ABFD是矩形，∴AB=DF，BF=AD=1，∴CF=BC−BF=2−1=1，∵AD//BC，∠DAB=90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD、BC是⊙O的切线，由(1)得：CD是⊙O的切线，∴ED=AD=1，EC=BC=2，∴CD=ED+EC=3，∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2，∴AB=DF=2√2，∴OB=√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠BCH，∵∠APE=∠ABE，∴∠APE=∠BCH，∴tan∠APE=tan∠BCH=OBBC =√22．【解析】(1)证明：作OE⊥CD于E，证△OCE≌△OCB(AAS)，得出OE=OB，即可得出结论；(2)作DF⊥BC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得AB=DF，BF=AD=1，则CF=1，证AD、BC是⊙O的切线，由切线长定理得ED=AD=1，EC=BC=2，则CD=ED+EC= 3，由勾股定理得DF=2√2，则OB=√2，证∠ABE=∠BCH，由圆周角定理得∠APE=∠ABE，则∠APE=∠BCH，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．13.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．(1)求证：DO//AC；(2)求证：DE⋅DA=DC2；(3)若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值．【答案】解：(1)∵点D是BC⏜中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC//OD；(2)∵CD⏜=BD⏜，∴∠CAD=∠DCB，又∠CDA=∠ADC，∴△DCE∽△DAC，∴CDAD =DECD，∴CD2=DE⋅DA；(3)∵tan∠CAD=12，∴Rt△ACE中，tan∠CAD=CEAC =12，∴△DCE和△DAC的相似比为：12，设DE=a，则CD=2a，由CD2=DE⋅DA得AD=4a，AE=3a，∴AEDE=3，∵DO//AC，∴△AEC∽△DEF，故△AEC和△DEF的相似比为3，设EF=k，则CE=3k，CF=4k，又AC//DO，O为AB中点，∴F为BC中点，则BC=8k，Rt△ACE中，tan∠CAD=CEAC =12，CE=3k，∴AC=6k，Rt△ABC中，AC=6k，BC=8k，则根据勾股定理得到AB=10k，∴sin∠CDA=sin∠CBA=ACAB =35．【解析】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．(1)点D是BC⏜中点，OD是圆的半径，又OD⊥BC，而AB是圆的直径，则∠ACB=90°，故AC//OD；(2)证明△DCE∽△DAC，即可求解；(3)先证明△DCE和△DAC的相似比为：12，设DE=a，则CD=2a，AD=4a，AE=3a，得AEDE =3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF=k，则CE=3k，BC=8k，tan∠CAD=12，则AC=6k，AB=10k，即可求解．14.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD//BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．(1)求证：△DOE∽△ABC；(2)求证：∠ODF=∠BDE；(3)连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1S2=27，求sin A的值．【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∴∠DEO=∠ACB，∵OD//BC，∴∠DOE=∠ABC，∴△DOE～△ABC；(2)证明：∵△DOE～△ABC，∴∠ODE=∠A，∵∠A和∠BDC是BC⏜所对的圆周角，∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC，∴∠ODF=∠BDE；(3)解：∵△DOE～△ABC，，即S△ABC=4S△DOE=4S1，∵OA=OB，∴S△BOC=12S△ABC，即S△BOC=2S1，∵S1S2=27,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE，∴S△DBE=12S1，∴BE=12OE，即OE=23OB=23OD，．【解析】(1)根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；(2)根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；(3)根据△DOE～△ABC求出S△ABC=4S△DOE=4S1，求出S△BOC=2S1，求出2BE=OE，解直角三角形求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．15.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．【答案】解：(1)连接OD、DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB=DO．∵在⊙O中，DO=OB，∴DB=DO=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO=∠DBO=60°，∵BC=OB=BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD=∠BDC=12∠DBO．∵∠DBO=60°，∴∠CDB=30°．∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，∴CD是⊙O的切线；(2)答：这个确定的值是12．连接OP，如图：由已知可得：OP=OB=BC=2OE．∴OEOP =OPOC=12，又∵∠COP=∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴PEPC =OPOC=12．【解析】(1)连接OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，则DB=DO，再由圆的半径相等，可得DB=DO=OB，即△ODB是等边三角形，则∠BDO=60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB=30°，从而可得∠ODC=90°，按照切线的判定定理可得结论；(2)连接OP，先由已知条件得OP=OB=BC=2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明△OEP∽△OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。
初三圆练习题
初三圆练习题初三圆练习题初三是一个关键的学习阶段，学生们需要通过各种练习题来巩固知识，提高自己的学习能力。
其中，圆是数学中一个重要的概念，也是初中数学中的一个难点。
下面，我们就来看一些关于圆的练习题，帮助学生们更好地理解和掌握这个概念。
练习题一：求圆的周长和面积1. 已知一个圆的半径为5cm，求它的周长和面积。
解析：圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。
将半径r代入公式中，即可求得结果。
所以，这个圆的周长为10π cm，面积为25π cm²。
2. 已知一个圆的周长为12π cm，求它的半径和面积。
解析：根据圆的周长公式C=2πr，可以得到2πr=12π，化简得到r=6。
所以，这个圆的半径为6 cm。
根据圆的面积公式S=πr²，可以求得面积为36π cm²。
练习题二：判断圆与直线的位置关系1. 已知一个圆的半径为3 cm，圆心为(2, 4)，求直线y=2x+1与圆的位置关系。
解析：将直线的方程代入圆的方程(x-2)²+(y-4)²=3²，得到(2x+1-2)²+(2x+1-4)²=9。
化简得到(2x-1)²+(2x-3)²=9。
进一步化简得到8x²-16x+9=0。
解这个方程得到x=1或x=1.125。
将x的值代入直线的方程，可以求得对应的y值。
所以，直线与圆有两个交点。
2. 已知一个圆的半径为4 cm，圆心为(3, 5)，求直线y=2x-1与圆的位置关系。
解析：将直线的方程代入圆的方程(x-3)²+(y-5)²=4²，得到(2x-1-3)²+(2x-1-5)²=16。
化简得到(2x-4)²+(2x-6)²=16。
进一步化简得到8x²-32x+36=0。
解这个方程得到x=2或x=2.25。
将x的值代入直线的方程，可以求得对应的y值。
初中圆的简单练习题及答案
初中圆的简单练习题及答案一、选择题1．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA 切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于153045602．如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的1，那么这个圆柱的侧面积是100π平方厘米00π平方厘米500π平方厘米00平方厘米3．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为25寸13寸25寸26寸4．已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO 交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于62225．如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于2厘米22厘米4厘米8厘米6．相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为7厘米 16厘米 1厘米27厘米7．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于4534468．一居民小区有一正多边形的活动场．为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，比多边形的内角为圆心角，花台占地面积共为12π平方米．若每个花台的造价为400元，则建造这些花台共需资金2400元2800元3200元3600元9．如图，AB是⊙O直径，CD是弦．若AB＝10厘米，CD＝8厘米，那么A、B两点到直线CD的距离之和为12厘米 10厘米厘米6厘米10．某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为60?，AB ＝6厘米，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝30?，则工件的面积等于4π6π8π 10π11．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线且过圆心，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于312．已知⊙O的半径为3厘米，⊙O?的半径为5厘米．⊙O与⊙O?相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6厘米，则两圆的圆心距OO?的长为2厘米 10厘米2厘米或10厘米4厘米13．如图，两个等圆⊙O和⊙O?的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于304560014．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30，则∠ABD＝304050015．弧长为6π的弧所对的圆心角为60，则弧所在的圆的半径为621 1816．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为1 1+－417．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为18πππ3π18．如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有2条条条5条19．如图，正六边形ABCDEF的边长的上a，分别以C、F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是a a2a2a220．过⊙O内一点M的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM的长为3厘米厘米2厘米5厘米21．已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是12π 15π30π24π22．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB延长线交P．PC＝5，则⊙O的半径为16132343510623．如图：PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，有PA＝32，PB＝BC，那么BC的长是24．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形的面积之和是π1.5ππ .5π25．正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为6厘米 12厘米24厘米122厘米26．一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米，高为1米，那么这个油桶的侧面积为0.09π平方米 0.3π平方米 0.6平方米 0.6π平方米27．一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是66π平方厘米0π平方厘米8π平方厘米 15π平方厘米28．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数可以是60 0 120 15029．将一张长80厘米、宽40厘米的矩形铁皮卷成一个高为40厘米的圆柱形水桶的侧面，，则桶底的面积为1600平方厘米 1600π平方厘米6400平方厘米400π平方厘米30．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10厘米，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是6厘米厘米8厘米53厘米31．在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，那么S1∶S2等于2∶33∶44∶9∶1232．如图，⊙O的弦AB＝8厘米，弦CD平分AB于点E．若CE＝2厘米．ED长为8厘米厘米4厘米2厘米33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160，则∠BCD＝160 100802034．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F．若⊙O的半径为2，则BF的长为2 255．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15，则∠BAD的度数为70536．已知：点P直线l的距离为3，以点P为圆心，r 为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则半径r的取值范围是r＞1 r＞＜r＜1＜r＜537．边长为a的正方边形的边心距为a a aa38．如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为30π67π20π47π39．如图，扇形的半径OA＝20厘米，∠AOB＝135，用它做成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面的半径为3.75厘米 .5厘米 15厘米 0厘米40．如图，正六边形ABCDEF中．阴影部分面积为12平方厘米，则此正六边形的边长为2厘米4厘米厘米厘米41．已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是6002042．圆锥的高线长是厘米，底面直径为12厘米，则这个圆锥的侧面积是48π厘米 4平方厘米48平方厘米0π平方厘米43．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC是⊙O的切线，C为切点，PC＝26，PA＝4，则⊙O的半径等于1 244．已知圆柱的母线长为5厘米，表面积为28π平方厘米，则这个圆柱的底面半径是5厘米厘米2厘米3厘米45．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为1∶2∶∶2∶13∶2∶11∶2∶346．如图，若四边形ABCD是半径为1和⊙O的内接正方形，则图中四个弓形的面积和为厘米厘米厘米厘米47．如图，已知圆心角∠BOC＝100，则圆周角∠BAC的度数是初中数学-圆习题及答案1. 已知AB为⊙O的直径，BD?2CD，CE//AB切⊙O于C 点，交AD延长线于E点，若⊙O半径为2cm，求AE2.如图，PC、PD为大⊙O 求证：CE?BE?AC3. 如图，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，小圆的圆心O1在大圆⊙O2上，直线PEC切⊙O1于点C，交⊙O2于点P，E4.如图，?ABC⊥AK.5、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．P6、2.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．若AP不过圆心O，如图②，△PDC 又是什么三角形？为什么？7.如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C 是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么图①D图②8、如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
初三圆练习题
初三圆练习题圆是初中数学中的一个重要概念，对于初三学生来说，掌握圆的相关知识是必不可少的。
下面是一些初三圆的练习题，通过解答这些题目，可以帮助学生进一步巩固和提高对圆的理解和运用能力。
练习题一：1. 如图，△ABC中，AB = AC = 10cm，∠B = 90°。
以BC为直径作圆，则这个圆的半径为多少？A/|10/ |/ |B/____|C2. 如图，一个圆的周长是56π cm，那么这个圆的半径是多少？____| || * ||_____|练习题二：1. 如图，一个正方形□ABCD内接于一个圆，边长为6cm。
求这个圆的周长。
A____B| || || |D|____|C2. 如图，一个圆的直径为14cm，那么这个圆的周长是多少？____/ \| |\___/练习题三：1. 如图，一个圆通过四分之一圆和一个半圆，如图所示。
已知半圆的半径为7cm，求整个圆的面积。
___ ____/ --/ \| -- |\_________/2. 如图，一个正方形□ABCD的边长为8cm，一个圆以BC为直径并与□ABCD的其余三个顶点分别相切，求这个圆的面积。
___ E ____/ \| || |\_____F____/练习题四：1. 如图，在⊙O中，点A、B、C分别在半径OA、OB、OC上，且OA = OB = OC。
若∠BOC = 60°，求∠BAC的度数。
B/ \O A\ /C2. 如图，在⊙O中，直径AB = 24cm，半径OC = 6cm，点D在弧BC上，则∠ODA的度数为多少？A/ \O B\ /C以上是初三圆的练习题。
通过解答这些题目，可以提高孩子们对于圆的理解，并进一步巩固和应用所学的知识。
希望这些练习能帮助到你，祝愿你取得好成绩！。
初中数学人教版(五四制)九年级上册第三十一章 圆31.3 正多边形和圆-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A. 1∶∶B. ∶∶1C. 3∶2∶1D. 1∶2∶3【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】设圆的半径为R，如图(一)，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30∘,BD=OB⋅cos30∘=R，故BC=2BD=R；如图(二)，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2,即BE=R，故BC=R；如图(三)，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG=OA⋅cos60∘=R，AB=2AG=R，故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R: R:R=::1.2.【答题】使用同一种规格的下列地砖，不能进行平面镶嵌的是（）A. 正三角形地砖B. 正四边形地砖C. 正五边形地砖D. 正六边形地砖【答案】C【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故A不符合题意；B、正四边形每个内角是90°，能整除360°，能密铺，故B不符合题意；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，故C符合题意；D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故D不符合题意．选C.3.【答题】正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】根据题意画出图形,再根据正六边形的性质求出正六边形的一个内角度数,利用垂径定理求出这个内角度数的一半,再利用锐角三角函数的定义求出答案.4.【答题】同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】根据题意画出图形,设出圆的半径,再根据垂径定理,由正多边形及直角三角形的性质求解即可.5.【答题】用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（）A. 5B. 6D. 8【答案】C【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5-2）×180°=3×180°=540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5=108°，∴∠1=108°×2-180°=216°-180°=36°，∵360°÷36°=10，∵360°÷36°=10，∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10-3=7选C.6.【答题】一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）B.C. 1D.【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：设多边形的边数为n．因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形外角和为360°，根据题意得：（n-2）•180°=360°×2，解得：n=6故正多边形为6边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.选A.7.【答题】如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【答案】D【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可. 【解答】设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，=⊙O的周长，∴∠A3OA10==150°，∴∠A3A7A10=75°.选D.8.【答题】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质和切线的性质解答即可.【解答】解：连接OA，根据直线PA为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP－∠OAB=90°－60°=30°．9.【答题】正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A. 互余B. 互补C. 互余或互补D. 不能确定【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．选B.10.【答题】顺次连接正六边形的的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形（）A. 既是轴对称图形也是中心对称图形B. 是轴对称图形但不是中心对称图形C. 是中心对称图形但不是轴对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：此图形是等边三角形，等边三角形是轴对称图形但并不是中心对称图形，选B.11.【答题】圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）A. 扩大了一倍B. 扩大了两倍C. 扩大了四倍D. 没有变化【答案】D【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有发生变化.选D.12.【答题】如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：如图，可由正六边形的性质可知：∠F=∠E=120°，∠DAF=∠EDA=60°，然后根据切线的性质，可知∠OAF=∠ODE=90°，因此可得∠ODA=∠OAD=30°，再由三角形的内角和求得∠O=120°，因此可知的度数为120°，根据弧长公式可知的长为：.选C.13.【答题】一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A. 12 mmB. 12mmC. 6 mmD. 6mm【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．选A.14.【答题】以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角边，∴该三角形的面积是×1××=，选D.15.【答题】若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A.4B.2C.D.【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4选A.16.【答题】如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A. a2－πB. (4－π)a2C. πD. 4－π【答案】D【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4（1﹣）=4﹣π．选D.17.【答题】若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A.B.S1＜S2＜S3C.S1＞S2＞S3D.S2＞S3＞S1【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：首先假设周长都是12，则正三角形的边长为4，面积为；正方形的边长为3，面积为9,；正六边形的边长为2，面积为：，则.18.【答题】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：这个多边形的边数是360÷72=5，选B.19.【答题】如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°【答案】C【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108度，∴∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠BDC==36°，∴∠APB=∠DBC+∠ACB=72°，选C.20.【答题】正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A. 10B. 8C. 6D. 5【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆,根据正多边形的性质解答即可.【解答】解：一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．解：由题意可得：边数为360°÷36°=10，则它的边数是10故答案为10.。
人教版九年级数学上册圆一章正多边形和圆练习题及答案
初中数学试卷金戈铁骑整理制作九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36D.343.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63 B.43 C.332 D.332.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-26.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-38.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-49.用等分圆周的方法画出下列图案：图24-3-510.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高AD=23a ，外接圆半径OA=33a ，边心距OD=63a ， 所以AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 64.中心角是45°的正多边形的边数是__________.思路解析：因为正n 边形的中心角为n ︒360，所以45°=n︒360，所以n=8.答案：85.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 思路解析：因为正n 边形的外角为n ︒360，一个内角为nn ︒•-180)2(，所以由题意得n ︒360=32·nn ︒•-180)2(，解这个方程得n=5. 答案：52.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36D.34思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A. 答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大. 答案：B4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1思路分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12＝30°.(1)作法： ①作直径AC; ②作直径BD ⊥AC;③依次连结A 、B 、C 、D 四点, 四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点. 六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形. (2)证明：连结OE 、DE. ∵∠AOD ＝4360︒＝90°，∠AOE ＝6360︒＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°. ∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边. 三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63 B.43 C.332 D.33思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为33. 答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B. 答案：B3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长.答案：184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.答案：144.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为R 6，由题意得R 3=33AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3. 6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒•-180)2(，外角为n︒360，依题意得n n ︒•-180)2(-n︒360＝100°.解得n ＝9. 7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3思路分析：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，设大圆的圆心为O ，则点O 是正△O 1O 2O 3的中心，求出这个正△O 1O 2O 3外接圆的半径，再加上⊙O 1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为334cm，所以大圆的半径为334+2=3634(cm).8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-4答案：略.9.用等分圆周的方法画出下列图案：图24-3-5作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：(1)方法一：连结OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.(2)90°72°(3)∠MON=n360.。
初中数学【圆的基本性质】练习题
初中数学【圆的基本性质】练习题一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．205．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．167．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．208．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.59．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝度．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．答案一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦【解答】解：A、直线只有过圆心时，垂直于弦的直线平分这条弦，故选项错误；B、直线只有过圆心时，平分弧的直线垂直于弧所对的弦，故选项错误；C、被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，故选项错误；D、正确．故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AM⊥CD∵⊙A与x轴相切于点B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点∴OC＝1，CD＝3，DM＝CM＝1.5∴OM＝AB＝2.5，∴圆的半径R＝2.5，∴AC＝2.5∴AM＝＝2，即点A的坐标是（）．故选：C．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：D．4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．20【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝10，∴AD＝20，∴MN＝AD＝10，故选：A．5．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，故选：C．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC+BC﹣AB）＝1，∴AC+BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14．故选：B．7．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故选：D．8．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.5【解答】解：连接AE、AD，如图，∵BE是⊙O的直径．∴∠BAE＝90°，∵AB⊥CD，∴AE∥CD，∴∠ADC＝∠DAE，∴＝，∴DE＝AC＝3．故选：A．9．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12﹣5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF+OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故选：D．二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是3．【解答】解：∵PT切⊙O于点T，∴由切割线定理得PT2＝P A•PB，即42＝2×（2+AB）．解得AB＝6．∴⊙O的半径是3，故答案为：3．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为6．【解答】解：∵两条弦AB、CD相交于点P，∵PD•PC＝P A•PB，∴PD＝＝6．故答案为6．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC＝∠BCD﹣∠E＝105°，∴∠F＝∠EDC﹣∠A＝60°，故答案为：60°．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得：AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝AB＝×8＝4，故答案为：4．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝60度．【解答】解：连接OB，∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，∴∠COB＝∠C＝40°，∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝80°，△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，故答案为：60．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，故答案为：．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为5．【解答】∵AC平分∠BAD，∴＝，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，设AE＝x，则AC＝AE+CE＝4+x，∴62＝4（4+x），解得：x＝5．∴AE＝5．故答案为：5．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．∵点E是△ABC的内心，∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECB，又∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAC＝∠DCB∵∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝DC，∵BC＝4，∴DC＝DB＝2，∴DE＝2，故答案为2．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．【解答】（1）方法一：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵＝，∴∠BAE＝∠CAE，又AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；方法二：∵AB是直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵＝，∴DE＝BE，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠C＝∠CDE，∵ABED是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠C＝∠CBA，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．【解析】连接AD.∵CD⊥AB，∴弧AD＝弧AC ，∴∠ADC＝∠AGD.∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．。
初中数学—中考圆练习题及答案
一、选择题(共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共24分)：1.下列说法正确的是( )A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆C.圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆2.在同圆或等圆中，如果AB＝2CD，则AB与CD的关系是( )(A)AB＞2CD； (B)AB＝2CD； (C)AB＜2CD； (D)AB＝CD；3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有( ) 个A.3B.4C.5D.6P(2)(3)4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.10cm或20cm5.在半径为6cm的圆中,长为2πcm的弧所对的圆周角的度数为( )A.30°B.100C.120°D.130°6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( )A.80°B.100°C.120°D.130°7. ⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则AOBS∆等于( )cm22cm2 28.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则BD和DE的度数分别为( )A.15°,15°B.30°,15°C.15°,30°D.30°,30°9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd, 则两圆的位置关系为( )A.内切B.内切或外切C.外切D.相交10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )A.180°B.200°C.225°D.216°二、填空题:(每小题4分,共20分)：11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 .12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________.14.如图(4), ⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，EC的度数是40°，则∠BOD ＝ .AE15. 点A 是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点 A 的切线长为__________.16.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长63,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是__________.17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____ 18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的32,则弧长与原弧长的比为______. 19.如图(5),A 是半径为2的⊙O 外一点,OA=4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.20.如图(6),已知扇形AOB 的圆心角为60°,半径为6,C 、D 分别是AB 的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.三、解答题(第21~23题，每题8分,第24~26题每题12分，共60分)21.已知如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
圆练习题
题６题５1．如图，⊙O 的半径O A =6，以A 为圆心，O A 为半径的弧交⊙O 于B 、C 点，则B C =（）A ．B ．C ．D ．2．如图，A C 是⊙O 的直径，弦B D ⊥A O 于E ，连接B C ，过点O 作O F ⊥B C 于F ，若B D =8c m ，A E =2c m ，则O F 的长度是（）A ．3c mB ．c mC ．2.5c mD ．c m3．如图，A B 是⊙O 的直径，弦C D 交A B 于点P ，A P =2，B P =6，∠A P C =30°，则C D 的长为（）A ．B ．2C ．2D ．84．如图，⊙O 的半径为4，将⊙O 的一部分沿着弦A B 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，则折痕A B 的长为（）A ．4B ．6C ．2D ．35．如图，线段A B 是⊙O 的直径，弦C D ⊥A B ，垂足为H ，点M 是上任意一点，A H =2，C H =4，则c o s ∠C M D 的值为（）A ．B ．C ．D．（７月２９日）圆练习题题１题２题３题４6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ），半径为2，直线y =﹣x 与⊙P 相交于A 、B 两点，若弦A B 的长为2，则a 的值是（）A ．﹣2B ．﹣2+C ．﹣2﹣D ．﹣2﹣题９题８题７7．如图：四边形A B C D 内接于⊙O ，E 为B C 延长线上一点，若∠A =n °，则∠D C E =°．8．如图，已知在⊙O 中，半径O A =，弦A B =2，∠B A D =18°，O D 与A B 交于点C ，则∠A C O =度．9．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，=，∠C A D =30°，∠A C D =50°，则∠A DB =．10．如图，已知O C 是⊙O 半径，点P 在⊙O 的直径B A 的延长线上，且O C ⊥PC ，垂足为C ．弦CD 垂直平分半径A O ，垂足为E ，P A =6．求：（1）⊙O 的半径；（2）求弦C D的长．11．如图，线段A B是⊙O的直径，弦C D⊥A B于点H，P是上任意一点，A H=2，C H=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求s i n∠C P D．12．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作B E∥A C，交⊙O于点E，点D为射线B C上一动点，且A C平分∠B A D，连接C E．（1）求证：A D∥E C；（2）连接E A，若B C=6，则当C D=时，四边形E B C A是矩形．13．如图A B为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，C E⊥A B于点E，∠O C E的角平分线交⊙O于D点．（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；（2）若⊙O的半径为5，弦A C的长为6，连接A D，求线段A D、C D的长．14．已知：如图，△A B C内接于⊙O，A F是⊙O的弦，A F⊥B C，垂足为D，点E为弧B F上一点，且B E=C F，（1）求证：A E是⊙O的直径；（2）若∠A B C=∠E A C，A E=8，求A C的长．15．如图，A B是⊙O的直径，E D切⊙O于点C，A D交⊙O于点F，∠A C平分∠B A D，连接B F．（1）求证：A D⊥E D；（2）若C D=4，A F=2，求⊙O的半径．16．如图，已知三角形A B C的边A B是⊙O的切线，切点为B．A C经过圆心O 并与圆相交于点D、C，过C作直线C E丄A B，交A B的延长线于点E．（1）求证：C B平分∠A C E；（2）若B E=3，C E=4，求⊙O的半径．17．已知A B是⊙O的直径，弦C D与A B相交，∠B A C=38°，（I）如图①，若D为的中点，求∠A B C和∠A B D的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与A B的延长线交于点P，若D P∥A C，求∠O C D的大小．3．如图，A B 是⊙O 的直径，弦C D 交A B 于点P ，A P =2，B P =6，∠A P C =30°，2018年07月28日吴鹏强的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O 的半径O A =6，以A 为圆心，O A 为半径的弧交⊙O 于B 、C 点，则B C =（）A ．B ．C ．D ．解：设O A 与B C 相交于D 点．∵A B =O A =O B =6∴△O A B 是等边三角形．又根据垂径定理可得，O A 平分B C ，利用勾股定理可得B D ==3所以B C =6．故选：A ．2．如图，A C 是⊙O 的直径，弦B D ⊥A O 于E ，连接B C ，过点O 作O F ⊥B C 于F ，若B D =8c m ，A E =2c m ，则O F 的长度是（）A ．3c mB ．c m C ．2.5c m D ．c m解：连接O B ，∵A C 是⊙O 的直径，弦B D ⊥A O 于E ，B D =8c m ，A E =2c m ，在R t △O E B 中，O E 2+B E 2=O B 2，即O E 2+42=（O E +2）2解得：O E =3，∴O B =3+2=5，∴E C =5+3=8，在R t △E B C 中，B C =，∵O F ⊥B C ，∴∠O F C =∠C E B =90°，∵∠C =∠C ，∴△O F C ∽△B E C ，∴，即，解得：OF =，故选：D．则C D 的长为（）A ．B ．2C ．2D ．8解：作O H ⊥C D 于H ，连结O C ，如图，∵OH ⊥C D ，∴H C =H D ，∵A P =2，B P =6，∴A B =8，∴O A =4，∴O P =O A ﹣A P =2，在R t △O P H 中，∵∠O P H =30°，∴∠P O H =60°，∴O H =O P =1，在R t △O H C 中，∵O C =4，O H =1，∴C H ==，∴C D =2C H =2．故选：C．A ．4B ．6C ．2D ．3解：过O 作O C ⊥A B 于D ，交⊙O 于C ，连接O A ，R t △O A D 中，O D =C D =O C =2，O A =4，根据勾股定理，得：A D =，由垂径定理得，A B =2A D =4，故选：A ．5．如图，线段A B 是⊙O 的直径，弦C D ⊥A B ，垂足为H ，点M 是上任意一点，A H =2，C H =4，则c o s ∠C M D 的值为（）A ．B ．C ．D ．解：连接O C ，∵线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥A B ，A H =2，C H =4，在R t △O C H 中，设O C 为x ，可得：x 2=42+（x ﹣2）2，解得：x =5，4．如图，⊙O 的半径为4，将⊙O 的一部分沿着弦A B 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，则折痕A B 的长为（）∴c o s ∠A O C =，∵∠C M D =∠A O C ，∴co s ∠C M D =，故选：D ．6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ），半径为2，直线y =﹣x 与⊙P 相交于A 、B 两点，若弦A B 的长为2，则a 的值是（）A ．﹣2B ．﹣2+C ．﹣2﹣D ．﹣2﹣解：设⊙P 与y 轴相切于点C ，连接P C ，则有P C ⊥O C ．∵点P 的坐标为（2，a ），∴P C =2．①若点P 在直线y =x 上方，如图1，连接C P 并延长交直线y =x 于点E ，则有C E =O C ．∵C E ⊥O C ，C E =O C ，∴∠C O E =∠C E O =45°．过点P 作P D ⊥A B 于D ，由垂径定理可得：A D =B D =A B =×2=．在R t △A D P 中，P D ===1．在R t △P D E 中，s i n ∠P E D ===，解得：P E =．∴O C =C E =C P +P E =2+．∴a =﹣2﹣．二．填空题（共3小题）7．如图：四边形A B C D内接于⊙O，E为B C延长线上一点，若∠A=n°，则∠D C E=n°．解：∵四边形A B C D是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠D C B=180°，又∵∠D C E+∠D C B=180°∴∠D C E=∠A=n°故答案为：n8．如图，已知在⊙O中，半径O A=，弦A B=2，∠B A D=18°，O D与A B交于点C，则∠A C O=81度．解：∵O A=，O B=，A B=2，∴O A2+O B2=A B2，O A=O B，∴△A O B是等腰直角三角形，∠A O B=90°，∴∠O B A=45°，∵∠B A D=18°，∴∠B O D=36°，∴∠A C O=∠O B A+∠B O D=45°+36°=81°，故答案为：81．9．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠C A D=30°，∠A C D=50°，则∠A D B=70°．解：∵=，∠C A D=30°，∴∠C A D=∠C A B=30°，∴∠D B C=∠D A C=30°，∵∠A C D=50°，∴∠A B D=50°，∴∠A C B=∠A D B=180°﹣∠C A B﹣∠A B C=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．三．解答题（共8小题）10．如图，已知O C是⊙O半径，点P在⊙O的直径B A的延长线上，且O C⊥P C，垂足为C．弦C D垂直平分半径A O，垂足为E，P A=6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦C D的长．解：（1）设O C=x，∵弦C D垂直平分半径A O，∴O E=O A=x，∵P C⊥O C，C D⊥O P，∴∠P C O=∠C E O=90°，∴∠P+∠C O P=90°，∠E C O+∠C O P=90°，∴∠P=∠E C O，∴△C E O∽△P C O，∴，∴=，x=6则⊙O的半径为6；（2）由（1）得：O C=6，O E=3，由勾股定理得：C E==3，∵C D⊥O A，∴C D=2C E=6．解：（1）连接O C ∵AB ⊥CD ，∴∠C H O =90°，在R t △C O H 中，∵O C =r ，O H =r ﹣2，C H =4，∴r 2=42+（r ﹣2）2，∴r=5；（2）连接O D ．∵A B ⊥C D ，A B 是直径，∴==，∴∠AO C =∠C O D ．∵∠C P D =∠C O D ，∴∠C P D =∠C O A ，在R t △O C H 中，s i n ∠C O A ==．∴s i n ∠C P D =s i n ∠C O A =．11．如图，线段A B 是⊙O 的直径，弦C D ⊥A B 于点H ，P 是上任意一点，A H =2，C H =4．（1）求⊙O 的半径r 的长度；（2）求s i n ∠C P D．12．如图，点B ，C 为⊙O 上一动点，过点B 作B E ∥A C ，交⊙O 于点E ，点D 为射线B C上一动点，且A C 平分∠B A D ，连接C E ．（1）求证：A D ∥E C ；（2）连接E A ，若B C =6，则当C D =6时，四边形E B C A 是矩形．（1）证明：∵A C 平分∠B A D ，∴∠BA C =∠D A C ，∵∠E =∠B AC ，∴∠E =∠D A C M ∵BE ∥A C ，∴∠E =∠A C E ，∴∠A C E =∠D A C ，∴A D ∥E C ．（2）解：当四边形A C B E 是矩形时，∠A C B =90°，∴∠A C B =∠A C D =90°，∵∠B A C =∠D A C ，∴∠A B D =∠D ，∴A B =A D ，∴B C =C D =6，故答案为6．13．如图A B 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上半圆的一个动点，C E ⊥A B 于点E ，∠O C E 的角平分线交⊙O 于D 点．（1）当C 点在⊙O 上半圆移动时，D 点位置会变吗？请说明理由；（2）若⊙O 的半径为5，弦A C 的长为6，连接A D ，求线段A D 、C D 的长．解：（1）当C 点在⊙O 上半圆移动时，D 点位置不会变；理由如下：连接O D ．∵C D 平分∠O C E ，∴∠1=∠3，而O C =O D ，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴C E ∥O D ，∵C E ⊥A B ，∴O D ⊥A B ，∴=，即点D 为半圆A B 的中点．（2）∵在直角△A O D 中，O A =O D =5，∴A D =5．过点A 作C D 的垂线，垂足为G ，∵∠A C D =∠A O D =45°，∴△A G C 是等腰直角三角形，∵A C =6，∴A G =C G =3．在直角△A G D 中，D G ==4，∴C D =C G +D G =3+4=7，∴线段A D 的长度为5，线段C D 的长度为7．14．已知：如图，△A B C 内接于⊙O ，A F 是⊙O 的弦，A F ⊥B C ，垂足为D ，点E 为弧BF 上一点，且B E =C F ，（1）求证：A E 是⊙O 的直径；（2）若∠A B C =∠E A C ，A E =8，求A C 的长．（1）证明：∵B E =C F ，∴=，∴∠B A E =∠C A F ，∵A F ⊥B C ，∴A D C =90°，∴∠F A D +∠A C D =90°，∵∠E =∠A C B ，∴∠E +∠B A E =90°，∴∠A B E =90°，∴A E 是⊙O 的直径；（2）如图，连接O C ，∴∠A O C =2∠A B C ，∵∠A B C =∠C A E ，∴∠A O C =2∠C A E ，∵O A =O A ，∴∠C A O =∠A C O =∠A O C ，∴△A O C 是等腰直角三角形，∵A E =8，∴A O =C O =4，∴A C =4．15．如图，A B是⊙O的直径，E D切⊙O于点C，A D交⊙O于点F，∠A C平分∠B A D，连接B F．（1）求证：A D⊥E D；（2）若C D=4，A F=2，求⊙O的半径．（1）证明：连接O C，如图，∵A C平分∠B A D，∴∠1=∠2，∵O A=O C，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴O C∥A D，∵E D切⊙O于点C，∴O C⊥D E，∴A D⊥E D；（2）解：O C交B F于H，如图，∵A B为直径，∴∠A F B=90°，易得四边形C D F H为矩形，∴F H=C D=4，∠C H F=90°，∴O H⊥B F，∴B H=F H=4，∴B F=8，在R t△A B F中，A B===2，∴⊙O的半径为．16．如图，已知三角形A B C的边A B是⊙O的切线，切点为B．A C经过圆心O 并与圆相交于点D、C，过C作直线C E丄A B，交A B的延长线于点E．（1）求证：C B平分∠A C E；（2）若B E=3，C E=4，求⊙O的半径．（1）证明：如图1，连接O B，∵A B是⊙0的切线，∴O B⊥A B，∵C E丄A B，∴O B∥C E，∴∠1=∠3，∵O B=O C，∴∠1=∠2∴∠2=∠3，∴C B平分∠A C E；（2）如图2，连接B D，∵C E丄A B，∴∠E=90°，∴B C===5，∵C D是⊙O的直径，∴∠D B C=90°，∴∠E=∠D B C，∴△D B C∽△C B E，∴，∴B C2=C D•C E，∴C D==，∴O C==，∴⊙O的半径=．17．已知A B 是⊙O 的直径，弦C D 与A B 相交，∠B A C =38°，（I ）如图①，若D 为的中点，求∠A B C 和∠A B D 的大小；（Ⅱ）如图②，过点D 作⊙O 的切线，与A B 的延长线交于点P ，若D P ∥A C ，求∠O C D 的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵A B 是⊙O 的直径，弦C D 与A B 相交，∠B A C =38°，∴∠A C B =90°，∴∠A B C =∠A C B ﹣∠B A C =90°﹣38°=52°，∵D 为的中点，∠A O B =180°，∴∠A O D =90°，∴∠A B D =45°；（Ⅱ）连接O D ，∵D P 切⊙O 于点D ，∴O D ⊥D P ，即∠O D P =90°，由D P ∥A C ，又∠B A C =38°，∴∠P =∠B A C =38°，∵∠A O D 是△O D P 的一个外角，∴∠A O D =∠P +∠O D P =128°，∴∠A C D =64°，∵O C =O A ，∠B A C =38°，∴∠O C A =∠B A C =38°，∴∠O C D =∠A C D ﹣∠O C A =64°﹣38°=26°．。
初一数学综合算式圆球练习题
初一数学综合算式圆球练习题在我们的日常生活和学习中，数学的综合运用是非常重要的。
初中数学综合算式圆球练习题是帮助学生巩固基础知识，提高解题能力的一种有效方式。
本文将提供一些初一数学综合算式的圆球练习题，让学生能够更好地理解和应用数学概念。
练习题一：球的体积计算1. 某个球的半径为3cm，求它的体积是多少？2. 已知一个球的体积为113.04 cm^3，求它的半径是多少？3. 一个球的体积是26808 cm^3，求它的半径是多少？解答：1. 这个球的体积可以用公式V = (4/3)πr^3来计算。
带入半径r =3cm，我们可以得到V = (4/3)π(3^3) = 36π ≈ 113.04 cm^3。
2. 设该球的半径为r，根据公式可以得到(4/3)πr^3 = 113.04。
解方程得到r ≈ (3 × 113.04 / 4π)^(1/3) ≈ 3 cm。
3. 设该球的半径为r，根据公式可以得到(4/3)πr^3 = 26808。
解方程得到r ≈ (3 × 26808 / 4π)^(1/3) ≈ 12 cm。
练习题二：球的表面积计算4. 某个球的半径为5cm，求它的表面积是多少？5. 已知一个球的表面积为314 cm^2，求它的半径是多少？6. 一个球的表面积是1106 cm^2，求它的半径是多少？解答：4. 这个球的表面积可以用公式A = 4πr^2来计算。
带入半径r = 5cm，我们可以得到A = 4π(5^2) = 100π ≈ 314 cm^2。
5. 设该球的半径为r，根据公式可以得到4πr^2 = 314。
解方程得到r ≈ √(314 / 4π) ≈ 2.52 cm。
6. 设该球的半径为r，根据公式可以得到4πr^2 = 1106。
解方程得到r ≈ √(1106 / 4π) ≈ 4 cm。
练习题三：球的体积与表面积之间的关系7. 已知一个球的表面积为1256 cm^2，求它的体积。
初中数学圆的练习题大全
初中数学练习题——圆练习（一）一.填空（本题共26分，每空2分）1.在半径为10cm的⊙O中，弦AB长为10cm,则O点到弦AB的距离是______cm．3.圆外切等腰梯形的周长为20cm，则它的腰长为______cm.4.AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=4cm,,BD=9cm,则CD=______cm,BC=______cm. 5.若扇形半径为4cm，面积为8cm，则它的弧长为______cm.6.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为______.7.如图，PA=AB，PC=2，PO=5，则PA=______.8.斜边为AB的直角三角形顶点的轨迹是______.9.若两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系是______.10.若正六边形的周长是24cm,它的外接圆半径是______，内切圆半径是______.二.选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母填在括号内．1.两圆半径分别为2和3，两圆相切则圆心距一定为[ ]A.1cmB.5cmC.1cm或6cmD.1cm或5cm2.弦切角的度数是30°，则所夹弧所对的圆心角的度数是[ ]A.30°B.15°C.60°D.45°3.在两圆中，分别各有一弦，若它们的弦心距相等，则这两弦[ ]A.相等B.不相等C.大小不能确定D.由圆的大小确定∠PAD=[ ]A.10°B.15°C.30°D.25°5.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，连接AB、BC、OP，则与∠APO相等的角的个数是[ ]A.2个B.3个C.4个D.5个6.两圆外切，半径分别为6、2，则这两圆的两条外公切线的夹角的度数是[ ]A.30°B.60°C.90°D.120°7.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是[ ]A.60°B.120°C.60或120D.30°或150°A.7cmB.8cmC.7cm或8cmD.15cm三.（本题共6分）已知：如图，PBA是⊙O的割线，PC切⊙O于C，PED过点四.（本题7分）在同心圆O中，AB是大圆的直径，与小圆交于C、D，EF是大圆的弦，且切小圆于C，ED交小圆于G，若大圆半径为6，小圆半径为4，求EG的长．五.（本题8分）已知:如图AB为半圆O的直径，过圆心O作EO⊥AB,交半圆于F，过E作EC切⊙O于M，交AB的延长线于C，在EC上取一点D，使CD=OC 求证：DF是⊙O的切线．六.（本题8分）已知：如图△ABC内接于⊙O，∠BAC相邻的外角∠CAD的平分线AE交BC延长线于E，延长EA交⊙O于F，连BF七.（本题5分）已知:两圆内切于P，大圆的弦PA，PB分别交小圆于C、D，求证：PC·BD=PD·AC八.（本题8分）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD、AE的长．练习（二）一.选择题(每小题3分,共36分)1．圆的半径为5cm，圆心到一条直线的距离是7cm，则直线与圆（）A．有两个公共点，B．有一个公共点，C．没有公共点，D．公共点个数不定。
初中数学-圆习题及答案
初中数教-圆习题及问案之阳早格格创做1. 已知AB 为⊙O 的曲径，⋂⋂=CD BD 2，CE//AB 切⊙O 于C 面，接AD 延少线于E 面，若⊙O 半径为2cm ，供AE 的少. 2.如图，PC 、PD 为大⊙O 的弦，共时切小⊙O 于A 、B 二面，连AB ，延少接大⊙O 于E.（1） 供证：PE AC BE CE ⋅=⋅；（2）若PC=8，CD=12，供BE少.3. 如图，⊙O1战⊙O2接于A 、B 二面，小圆的圆心O1正在大圆⊙O2上，曲线PEC 切⊙O1于面C ，接⊙O2于面P ，E ，曲线PDF 切⊙O1于面D ，接⊙O2于面P ，F ，供证：AB ∥EF.4.如图，ABC ∆中，AB=4，AC=6，BC=5，O 、I 分别为ABC ∆的中心战内心，供证：OI ⊥AK.5、如图1战图2，MN 是⊙O 的曲径，弦AB 、CD•相接于MN•上的一面P ，•∠APM=∠CPM ．（1）由以上条件，您认为AB 战CD 大小闭系是什么，请道明缘由．（2）若接面P 正在⊙O 的中部，上述论断是可创造？若创造，加以道明；若没有创造，请道明缘由．(1) (2) 6、2.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，面P 是劣弧PC 上的一面（端面除中），延少BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请您推断PDC △是什么三角形？并道明缘由．（2）若AP 没有过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？7.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的二条半径，且OA ⊥OB ，面C 是OB 延少线上任性一面：过面C 做CD 切⊙O 于面D ，连结AD 接DC 于面E ．供证：CD=CE (2)若将图中的半径OB 地方曲线进取仄止移动接OA 于F ，接⊙O 于B’，其余条件没有变，那么上述论断CD=CE 还创造吗?为什么?(3)若将图中的半径OB 地方曲线进取仄止移动到⊙O 中的CF ，面E 是DA 的延少线取CF 的接面，其余条件没有变，那么上述论断CD=CE 还创造吗?为什么8、如图，正在⊙O 中，AB 是曲径，CD 是弦，AB ⊥CD.（1）P 是劣弧CAD 上一面（没有取C 、D 沉合），供证：∠CPD=∠COB ；（2）面P′正在劣弧CD 上（没有取C 、D 沉合）时，∠CP′D 取∠COB 有什么数量闭系？请道明您的论断.9．如图，正在仄里曲角坐标系中，⊙C 取y 轴相切，且C 面坐标为（1，0），曲线l 过面A （—1，0），取⊙C 相切于面D ，供曲线l 的剖析式.问案A O C D PB 图① AO CD PB 图②5、解题思路：（1）要道明AB=CD，只消道明AB、CD 所对于的圆心角相等，•只消道明它们的一半相等．上述论断仍旧创造，它的道明思路取上头的题目是一模一般的．解：（1）AB=CD缘由：过O做OE、OF分别笔曲于AB、CD，垂脚分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）做OE⊥AB，OF⊥CD，垂脚为E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF对接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD6、解题思路：（1）PDC△为等边三角形．缘由：ABC∵△为等边三角形∴，=AC BC又∵正在⊙O中PAC DBC∠=∠又AP BD∵=∴△≌△．APC BDC又AP∵过圆心O，AB AC∠=°=，60BAC∴°，30∠=∠=°PBC PAC∠=∠=30BAP BCP∴△为等边三角形．PDC（2）PDC△仍为等边三角形缘由：先证APC BDC△≌△（历程共上）又BAP BCP∵，PAC PBC∠=∠∠=∠又PC DC∵=∴△为等边三角形．PDC7、解题思路：本题主要考查圆的有闭知识，考查图形疏通变更中的商量本领及推理本领．解问：(1)道明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°正在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°正在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE(2)CE=CD仍旧创造．∵本去的半径OB地方曲线进取仄止移动∴CF⊥AO于F，正在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD仍旧创造．∵本去的半径OB地方曲线进取仄止移动．AO⊥CF延少OA接CF于G，正在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°连结OD ，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE8．（1）道明：对接OD，∵AB是曲径，AB⊥CD，∴∠COB=∠DOB=COD1.∠2又∵∠CPD=1，∴∠CPD=∠COB.COD∠2（2）∠CP′D取∠COB的数量闭系是：∠CP′D+∠COB=180°.道明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°.9．解：如图所示，对接CD，∵曲线l为⊙C的切线，∴CD⊥AD.∵C面坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1.又∵面A 的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°. 做DE ⊥AC 于E 面，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE=2121=CD ， 23=DE ，∴OE=OC-CE=21，∴面D 的坐标为（21，23）. 设曲线l 的函数剖析式为b kx y +=，则解得k=33，b=33，∴曲线l 的函数剖析式为y=33x+33. 0= —k+b ， 23=21k+b.。
初中数学圆的练习题
初中数学圆的练习题（正文开始）1. 已知直径为12 cm的圆的周长是多少？解析：圆的周长公式为C=πd，其中d为直径。
将已知直径12 cm代入公式可得周长C=π*12=36π(cm)。
2. 若正方形的边长为8 cm，求其内切圆的半径和周长。
解析：正方形的对角线等于内切圆的直径。
根据勾股定理可知对角线长度为8 cm * √2。
由于内切圆与正方形的四条边相切，所以半径等于对角线长度的一半，即r=8 cm * √2 / 2。
由此可得内切圆的半径为r = 4 cm *√2(cm)。
圆的周长公式为C=2πr，将半径代入可得周长C=2*π*4 cm *√2=8π√2(cm)。
3. 一个圆的半径是5 cm，求其面积和周长。
解析：圆的面积公式为A=πr²，其中r为半径。
将半径5 cm代入公式可得面积A=π*5²=25π(cm²)。
圆的周长公式为C=2πr，将半径代入可得周长C=2*π*5=10π(cm)。
4. 已知圆的周长是30π cm，求其半径和面积。
解析：圆的周长公式为C=2πr，将周长30π cm代入公式可得30π=2πr，取消π后得到r=15(cm)。
圆的面积公式为A=πr²，将半径15 cm代入公式可得面积A=π*(15)²=225π(cm²)。
5. 若一个半径为3 cm的圆与一个半径为4 cm的圆相切，求两圆的外切圆半径。
解析：两个圆相切时，外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
所以外切圆的半径为3 cm + 4 cm = 7 cm。
6. 在一个扇形中，圆心角的度数为60°，弧长为4π cm，求该扇形的面积。
解析：扇形的面积公式为A= 1/2 * r² * θ，其中r为半径，θ为圆心角的度数。
已知圆心角的度数为60°，所以θ=60°，又已知弧长为4π cm，根据圆的周长公式可得到 r=2cm。
将半径和圆心角代入扇形的面积公式，可得A=1/2 * 2² * 60° = 60 cm²。
判断圆形练习题
判断圆形练习题圆是初中数学中的一个基本概念，也是几何学中的一个重要对象。
判断一个图形是否是圆形，我们需要了解圆的特点和性质，通过观察图形的几何特征，进行分析和推理。
下面将给出一些判断圆形的练习题，我们一起来解答。
1. 练习题一：在平面上有一条线段AB和一个点O，已知AO的长度小于AB的长度。
请利用尺规作图工具判断以下论断是否正确，并给出你的理由。
论断：以线段AB的中点为圆心，以AO的长度为半径所画的圆能完全覆盖点O。
解析提示：根据题意，我们已知AO的长度小于AB的长度。
通过尺规作图工具，将线段AB平分，以线段的中点为圆心作圆。
解题步骤：1）以点A为圆心，以AO的长度为半径作圆，交AB于点C；2）以点C为圆心，以AC的长度作圆，交AB于点D。
解题理由：根据尺规作图，我们发现点D与点O不重合。
因此，论断不正确。
2. 练习题二：在平面上有一条线段AB和一个点O，已知AO的长度大于AB的长度。
请利用尺规作图工具判断以下论断是否正确，并给出你的理由。
论断：以线段AB的中点为圆心，以AO的长度为半径所画的圆能完全覆盖点O。
解析提示：根据题意，我们已知AO的长度大于AB的长度。
通过尺规作图工具，将线段AB平分，以线段的中点为圆心作圆。
解题步骤：1）以点A为圆心，以AO的长度为半径作圆，交AB于点C；2）以点C为圆心，以AC的长度作圆，交AB于点D。
解题理由：根据尺规作图，我们发现点D与点O重合。
因此，论断正确。
3. 练习题三：在平面上有一个等边三角形ABC，以及一个点O。
论断：以等边三角形ABC的任意顶点为圆心，以AB的长度为半径所画的圆能完全覆盖点O。
解析提示：根据题意，我们已知等边三角形ABC的边长相等。
需要判断以三角形的任意顶点为圆心所画的圆是否能完全覆盖点O。
解题理由：根据等边三角形的性质，我们可以知道三个顶点到三条边的距离相等。
因此，以等边三角形ABC的任意顶点为圆心所画的圆，其半径等于边长AB的长度。
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初中数学 -圆习题及答案
1.已知AB为⊙ O的直径，BD 2CD，CE//AB切⊙O于C点，交AD延长线于E
点，若⊙ O半径为2cm，求AE的长.
2.如图，PC、PD为大⊙ O的弦，同时切小⊙ O于A、B两点，连AB，延长交大⊙ O于E。
（1）求证：CE BE AC PE ；（2）若PC=8，CD=12，求BE长.
3.如图，⊙ O1和⊙ O2交于A、B两点，小圆的圆心O1在大圆⊙ O2上，直线PEC切⊙ O1于点C，交⊙ O2于点P，E，直线PDF切⊙ O1于点D，交⊙ O2于点P，F，求证：AB∥EF.
4.如图，ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，O、I 分别为ABC 的外心和内心，求证：OI⊥ AK.
5、如图 1 和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点
P，?∠APM∠= CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙ O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（1）（2）
6、2.已知：如图等边△ABC内接于⊙ O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP 至D，使BD AP，连结CD．
（1）若AP过圆心O ，如图①，请你判断△ PDC是什么三角形？并说明理由．
（2）若AP不过圆心O ，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
7. （1） 如图 OA 、OB 是⊙ O 的两条半径，且 OA ⊥OB ，点 C 是 OB 延长线上
任意一点：过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D ，连结 AD 交 DC 于点 E ．求证： CD=CE
（2） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于F ，交⊙ O 于 B '，
其他条件不变， 那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么
（3） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙ O 外的 CF ，点 E 是 DA
的延长线与 CF 的 交点，其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么
8、如图，在⊙ O 中，AB 是直径， CD 是弦， AB ⊥CD 。
理由：过 O 作 OE 、OF 分别垂直于 AB 、CD ，垂足分别为 E 、 F
∵∠ APM=∠CPM
1）P 是优弧 CAD 上一点（不与 C 、
∠COB ； ∠COB 有
么数量关系？请证明你的结论
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙ C 与y 轴相切，且 C 点坐标为（1，0），直线 l 过点 A
— 1，0），与⊙ C 相切于点 D ，求直线 l 的解析式
答案
5、解题思路： （1）要说明 AB=CD ，只要证明 AB 、
角相等， ?只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（ 1）AB=CD
对的圆
∴∠ 1=∠ 2
OE=OF
连结OD、OB且OB=OD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB
∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥ AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠ APM=∠CPN且OP=O，P ∠ PEO=∠ PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF
∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt △OBE≌Rt△ ODF，Rt△ OAE≌Rt△ OCF ∴∠ 1+∠ 2=∠3+∠ 4
∴AB=CD
6、解题思路：（1）△PDC 为等边三角形．理由：∵△ ABC为等边三角形
∴ AC BC ，
又∵ 在⊙ O中PAC DBC
又∵ AP BD
∴△ APC ≌△BDC ．
又∵ AP过圆心O，AB AC，BAC 60°
∴ BAP BCP 30°，PBC PAC 30°
∴△PDC 为等边三角形．
（2）△PDC 仍为等边三角形
理由：先证△APC≌△BDC （过程同上）
又∵ BAP BCP ，PAC PBC
又∵ PC DC
∴△PDC 为等边三角形．
7、解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能
力．
解答：(1) 证明：连结OD则OD⊥CD，∴∠ CDE+∠ODA=9°0
在Rt△AOE中，∠ AEO+∠A=90°
在⊙ O中，OA=O∴D ∠ A=∠ODA，∴∠ CDE=∠AEO 又∵∠ AEO=∠CED，
∠CDE=∠CED∴CD=CE (2)CE=CD仍然成立．
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴ CF⊥AO于F，
在Rt△AFE中，∠ A+∠AEF=90°．
连结OD，有∠ ODA+∠CDE=9°0 ，且OA=O．D ∠ A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE又∠AEF=∠CED∴∠CED=∠CDE∴CD=CE
(3)CE=CD仍然成立．
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠ AEG+∠GAE=9°0
连结OD，有∠ CDA+∠ODA=9°0 ，且OA=O∴D∠ ADO∠= OAD∠= GAE
∴∠CDE=∠CED∴CD=CE
8．( 1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴∠
COD
COB=∠DOB=1
2
2）∠ CP ′D 与∠ COB 的数量关系是：∠
CP ′D+∠COB=18°0
证明：∵∠ CPD+∠CP ′D=180°，∠ CPD=∠COB ， ∴∠ CP ′D+∠COB=18°0 。
9．解：如图所示，连接 CD ，∵直线 l 为⊙ C 的切线，∴ CD ⊥
∵C 点坐标为（ 1，0），∴ OC=1，即⊙ C 的半径为 1，∴ CD=OC=。
1
又∵点 A 的坐标为（— 1，0），∴ AC=2，∴∠ CAD=3°0
11
作 DE ⊥AC 于 E 点，则∠ CDE=∠CAD=3°0 ，∴ CE=1
CD 1
，
22
DE
3
，∴OE=OC-CE 1=，∴点 D 的坐标为（ 1 ， 3
）。
2 2 2 2 0=—k+b ，
设直线 l 的函数解析式为 y kx b ，则解得 k= 3
，b=
又∵∠ CPD=1
2
COD ∴∠
CPD=∠COB 。
AD 。
3，
33
∴直线l 的函数解析式为y= 3 x+ 3 .
33。