最新实验7微积分基本运算

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微积分第七章空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何与向量代数为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2．求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3．自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4．求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5．在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6．试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节向量及其运算一、向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。

微积分向量的乘法运算

求向量 x的坐标.
解设 x la,则 9 a x l(a a) 9l , l 1,
x a (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
问是否有 a b？
解
取
a
i,
b j,
c
i
j
k,
则有
a
c
b
c
1,
但
a
b.
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
例 (2)
2a与设ba的夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例解3((32)设()1c)aaoasb2bi||baa1j|||Pb1br2j|kb1a,向, (3量2P2)9xrj与3b(aa4共)a|b线12b2|,,且9a3.9 x334.9.,
l
(a
b ).
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a
b
aybz
azby
,
azbx
axbz , axby
a ybx
向量积的分解表达式
ay az , ax az , ax ay
by bz bx bz bx by
向量积的坐标表达式
1
记为
s W
a
b
,
F
M s
2
注意：a
b
中的“.”不能省.
若
a

微积分基础知识

= − cot x − x + C .
(6)
∫
∫
2 e dx
x x
解：原式 =
(7)
∫
2 e ( 2e ) +c ( 2e ) dx = +c = 1 + ln 2 ln( 2e )
x
x
x x
5 x + 3e x 2
x +1
dx
1 5x 3 e x 解：原式 = ∫ ( ( ) + ( )( ) )dx 2 2 2 2 1 5x 3 e x = ∫( ) dx + ( )∫( ) dx 2 2 2 2 1 5x 3 e x ( ) + ( ) + C. = 2(ln5 − ln2) 2 2(1− ln2) 2
2
(
f ( x )是 sec 2 x + sin x的一个原函数。的一个原函数。
)
及
f ( 0 ) = 5 , 得 C = 6,
所求曲线方程为 y = tan x − cos x + 6.
六、小结
F 1. 原函数的概念： ′( x) = f ( x) ；原函数的概念：
2. 不定积分的概念： f ( x)dx = F( x) + C ；不定积分的概念： ∫ 3. 基本积分表；基本积分表； 4. 求微分与求积分的互逆关系；求微分与求积分的互逆关系； 5. 不定积分的（线性）性质；不定积分的（线性）性质； 6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为求不定积分的基本方法：基本积分表中的积分。基本积分表中的积分。中的积分
(1)
∫ kdx = kx + C
是常数); ( k是常数

微积分常用公式及运算法则下

a⋅b = b⋅a
3．不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
a ⋅ (b + c) = a ⋅b + a ⋅ c (λa) ⋅ (µb) = λµ(a ⋅b)
4．单位向量
ea = a |a|
空间两点间的距离公式 | P1P2 |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
( ) 旋转而成的曲面的方程f ± x2 + y2 , z = 0;
若在f ( y, z) = 0中y保持不变而将z改写成
± x2 + z2 , 就得到曲线C绕y轴旋转而成的
( ) 曲面的方程f y, ± x2 + z2 = 0.
二次曲面图形及方程
1．椭球面
4
x2 + y2 + z2 =1 a2 b2 c2
x − x0 = y − y0 = z − z0 .
m
n
p
直线与平面的夹角
直线L与平面Π法线的方向向量分别是
s = (m, n, p), n = ( A, B,C),则夹角公式为:
sinϕ = | n ⋅ s | =
| Am + Bn + Cp |
| n || s | A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2
相互垂直的充要条件是:
s1 = (m1, n1, p1), s2 = (m2 , n2 , p2 ),则夹角公式为:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 相互平行的充要条件是:
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2

一元函数微积分的基本概念与运算

一元函数微积分的基本概念与运算微积分是数学中十分重要的一个分支。

其中，一元函数微积分是微积分的基础，也是我们初次接触微积分时需要理解和掌握的概念和运算。

本文将为大家简单介绍一元函数微积分的基本概念与运算。

一、函数的基本概念在学习一元函数微积分之前，我们需要先了解函数的基本概念。

所谓函数，就是一种描述变化关系的数学规律。

从输入值到输出值，函数都有严格的对应关系。

而这个对应关系就是函数的核心。

函数可以用数学符号表示，常见的符号为 y=f(x)，其中 y 代表输出值，x 代表输入值，f 表示函数名称。

例如 y=x²就是一个函数的表达式，它的输出值是输入值的平方。

我们可以通过绘制函数图像的方式来更直观地理解函数的定义和特点。

以 y=x²为例，当输入值 x=0 时，输出值 y=0，对应的点为坐标系的原点；当 x 取正值时，输出值 y 会随着 x 的增加而增加，图像呈现右侧开口的 U 形曲线；当 x 取负值时，输出值 y 也会增加，但函数的图像则向下移动。

二、导数的概念及计算方法导数是微积分的重要概念之一。

它表示一个函数在某一点处的变化速率，也就是函数斜率的大小。

导数可以用公式表示为：f'(x)=lim⁡(f(x+Δx)-f(x))/Δx (Δx->0)其中 f(x) 是函数在 x 点处的值，Δx 表示 x 增加的微小量，lim 表示取极限。

可以理解为，当Δx 足够小的时候，(f(x+Δx)-f(x))/Δx 的值就趋近于 x 点处的斜率，也就是导数。

导数有许多重要的应用，如求解函数的最值、曲线的凸凹性、速度加速度等。

因此掌握导数的计算方法是学习微积分的必要前提。

常见的导数计算方法有以下两种：1. 利用求导法则求导法则是一元函数微积分中常用的计算导数的方法。

它包括以下几条规则：（1）和差法则：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'（2）积法则：(f.g)'=f.g'+g.f'（3）商法则：(f/g)'=[f'g-fg']/g²（4）反函数法则：f⁻¹(x)'=1/f'(f⁻¹(x))通过组合这些法则，我们可以对各种函数求导，例如对y=x³+2x-1 求导：y'=3x²+22. 利用几何意义导数还有一个重要的几何意义，即为函数图像在某一点处的切线斜率。

高中数学中的微分与积分的基本概念与运算技巧

高中数学中的微分与积分的基本概念与运算技巧数学是一门抽象而又实用的学科，而微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积累的工具。

在高中数学中，微分与积分的基本概念与运算技巧是学生们必须掌握的重要内容。

本文将从微分与积分的定义、基本性质以及运算技巧等方面进行探讨。

首先，我们来看微分的基本概念。

微分是研究函数变化的工具，它描述了函数在某一点附近的变化率。

在微分的定义中，我们引入了极限的概念。

对于函数f(x)，如果存在一个常数a，使得当自变量x趋近于a时，函数值f(x)与常数L之差的绝对值可以任意小，那么我们称函数f(x)在点a处可微，记作f'(a)。

而f'(a)即为函数f(x)在点a处的导数，它表示了函数在该点的瞬时变化率。

微分的运算技巧主要包括求导法则和求导公式。

求导法则是指一些常见函数的导数计算方法，如常数函数的导数为零、幂函数的导数等。

而求导公式则是通过对函数进行代数运算得到的导数公式，如和差法则、乘法法则、链式法则等。

掌握这些求导法则和求导公式，可以帮助我们更快速地计算函数的导数。

与微分相对应的是积分，它是对函数的积累过程进行研究的工具。

在高中数学中，我们主要学习了定积分的概念与运算技巧。

定积分是对函数在一个区间上的积累，它可以表示函数曲线与坐标轴之间的面积。

定积分的计算需要我们掌握积分的定义和性质，以及一些常见函数的积分表达式。

在定积分的计算中，常用的积分方法包括换元法、分部积分法和简单的积分公式。

换元法是通过引入新的变量，将原积分转化为更容易计算的形式。

分部积分法则是对乘积函数进行积分，通过对乘积函数进行分解，将原积分转化为更简单的形式。

而简单的积分公式则是一些常见函数的积分表达式，如幂函数、三角函数等。

微分与积分是密切相关的，它们之间存在着微积分基本定理。

微积分基本定理将微分与积分联系在一起，它表明了求函数的原函数与求函数的定积分是相互逆过程。

根据微积分基本定理，我们可以通过求导来计算函数的原函数，也可以通过积分来计算函数的导数。

微积分基本定理

(理)1.6微积分基本定理【素养目标】1．利用图形直观了解并掌握微积分基本定理的含义，培养直观想象的核心素养。

2．会利用微积分基本定理求函数的积分，培养数学运算的核心素养。

【课前·预习案】[问题导学]知识点1.微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，【思考1】f(x)和F(x)有何关系？[提示]F′(x)＝f(x)．【思考2】利用定积分的几何意义求⎰20(2x＋1)d x 的值．[提示]由定积分的几何意义得⎰20(2x＋1)d x＝6. 【思考3】求F(2)－F(0)的值．[提示]F(2)－F(0)＝4＋2＝6.【思考4】你得出什么结论？[提示]⎰20f(x)d x＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．〖梳理〗微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．知识点2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)d x＝0.[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一。

（）(2)如果⎰b a f(x)d x＝⎰b a g(x)d x，那么是否一定有f(x)＝g(x)。

（）（3）⎰b a f(x)d x=⎰b a|f(x)|d x。

（）解析：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值，（1）错；当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，⎰102x d x＝⎰103x2d x，但f(x)≠g(x)，（2）错；⎰b a f(x)d x表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)，||f(x)是非负的，所以⎰b a|f(x)|d x表示在区间[a，b]上所有以||f(x)的图象为曲边的曲边梯形的面积和，（3）错；答案：（1）×（2）×（3）×2．π2π2-⎰(1＋cos x)d x等于()A．π B．2C ．π－2D ．π＋2解析：∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 答案：D 3．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.答案：D4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 解析：ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 答案：435．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析：∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k＝1. 答案：1【课堂·探究案】探究一求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x . 解：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.（2）因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 【方法总结】求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．【跟踪训练1】若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3.答案：B探究二分段函数的定积分【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【素养解读】解：图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.【方法总结】求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．【跟踪训练2】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解：ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究三定积分的应用【例3】已知x ∈(0,1]，t ∈[－1,1]，f (x )＝⎰1(1－2x＋2t )d t ，则f (x )的值域为________．解析：f (x )＝⎰1(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]|10＝2－2x∵x ∈(0,1]，∴f (x )∈[0,2)．答案：[0,2)【方法总结】解决定积分问题时，一要确定好积分变量，二要清楚积分上、下限，三要明确积分的几何意义，注意积分与平面图形面积的区别与联系，四要会用导数方法寻找原函数，五要用好积分性质和微积分基本定理．【互动探究】⎰1(t 2＋t )d x ＝________．解析：⎰1(t 2＋t )d x ＝(t 2＋t )x |10＝t 2＋t .答案：t 2＋t【跟踪训练3】求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解：所求面积为 S ＝5π4π2-⎰|sin x |d x＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.【本节小结】【基础巩固】1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑=n1i b －ans ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④解析：由定积分可得①②③④都正确。

微积分的基础知识与运算

微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章链式法则与微分中值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合函数的导数计算规则，对于求解复杂函数的导数具有重要作用。通过链式法则，我们可以更有效地计算复合函数的导数，提高求导的效率。
物理学
近似计算物理现象解决实际问题
工程学
估算工程参数优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工具
积分中值定理的概念
积分中值定理描述函数在某一区间上的平均值性质，其中有柯西中值定理、勒贝格积分中值定理等，为理解函数性质提供重要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和方法
理解应用场景
将理论知识应用到实践中
多练习计算
熟练运用微积分技巧
多与他人交流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等高级概念深入理解微积分的推导和应用
探索多元微积分
理解多元函数概念学习多元微分、多元积分等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值近似
牛顿-拉夫逊插值
曲线的插值与逼近
预处理法
提高数值解的精度
龙贝格积分法
加速定积分的收敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用

微积分的互逆运算

微积分的互逆运算
微积分研究中，求导和积分是重要的内容，也是最基本的概念。

求导是用来计算曲线的斜率的运算，而积分则是求导的反运算，它的作用是计算曲线下的面积。

求导和积分运算是微积分学中的重中之重，它们之间的关系可以用如下公式来表示：\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
其中，F(x)为求导函数，f(x)为原函数。

可以看到，求导和积分之间是互逆运算，即求导的反运算就是积分，而积分的反运算就是求导。

在求导和积分时，有一些重要的概念和定理，如极限定理、泰勒定理、分部积分定理等，这些定理充分说明了求导和积分的关系。

求导和积分运算是相互互逆的，也就是说，求导的结果可以作为积分的头部，积分的结果可以作为求导的头部。

例如，当我们想要求出某个函数的导数时，可以将该函数先积分，然后再求出积分的结果，从而得出该函数的导数。

有了上述求导和积分的关系，可以更好的理解微积分的概念，同时也可以更好的利用求导和积分来解决实际问题。

微积分研究中，求导和积分的互逆运算是重要的内容，是我们研究的基础，必须要掌握好。

微积分公式_微积分公式运算法则

有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦)(10) lim e x=处x _jioC六、高阶导数的运算法则1) ［u (X )±v (x )F )=u (X )±v (x y)-、lim a 0x m+a 1x m ：+川+a nXY b 0X m +b 1X mri||+b ma 。

b(系数不为0的情况)二、重要公式(1)］四沁/(2) lim (1 +x y 1=e (3) lim Va(a A 0)=1(4) lim 折=1n _^limarctan x = — y 2 (6)lim arctanx =—一J 产 2 (7) limarccotx=0X Y(8) lim arccot x =兀(9)lim e x = 0三、下列常用等价无穷小关系X T 0)sinx x tanx Xarcsixrf xarcta nx x仆赵］2ln (1 +x 卅 X e X 一1口 XaX —1 LI XI n a(1 + x f-1U e x四、导数的四则运算法则(u ±v ) =u ‘±v 'f u ) u v - uv'I —=I v 丿五、基本导数公式⑴(c ) =0⑶(sin X ) = cosx⑷(cosx ) = -sin x2⑸(tanx ) =sec x 2⑹(cot X ) = -csc X⑺(secx j =secx dan x(8) (cscx ) = - cscx cot x⑼(e x) =e xXX⑽(a ) =a ln a-1(11)(In X )=-x(12)(gx )=—X l n a， 1(13) (arcsin x ) = -j=2 山—x 2■ 1(14) (arccos x ) = - # 2丁1 —x 2, 1(15) (arctan x )= 1 +x 2I 1 (16) (arccot X ) = --- --------------- 2(")(X ) = 1(18)( J X ) =1(2)n(3) [u (ax+b)F)=a n u C X ax+b ) (4) [u( x)v(x)=送cfu J^ *x y(k)(x)k)七、基本初等函数的n阶导数公式(1)(x n)=n! (2) (e a r)(n)=a n€ax抽(3)(a X a x In n a八、sin (ax +b)nf 兀)=a sin ax +b + n ——fI 2丿[cos(ax+b)=a n cos ax+b+ n、—2J< 1 W 1j a n・ n!——=(-[)---------l ax+b 丿(ax +b )微分公式与微分运算法则⑵ d(x P 戶P x^dx⑴ d (C )=0⑷ d (cosx )= -sinxdx ⑸ d(tanx ) = sec xdx ⑺ d (secx )=secx tanxdx⑼ d (e^=e x dx1(12) d (log aX ) = ------ dxxln a1(15)d (arctanx )=-- 21 +xdx九、微分运算法则⑴ d (u ±v )=du ±dv⑶ d (uv ) = vdu +udv十、基本积分公式⑴ Jkdx =kx +c In (ax +b疔L(_1)n"气n-1)!⑶ d(sin x)=cosxdxnax + b)2(6)d(cotx)=—csc xdx⑻ d (cscx )= -cscx cot xdx⑽ d(a X ) = a X| nadx (11) d(ln xjdxx1 1(13) d (arcs in x^ .2 dx (14) d (arccos x ) = - -=== dxj1-x2j1-x21(16) d (arccot x ) = -2dx1 + x⑵ d(cu )=cduU x ⑵—+c4+1dx⑶ f一= ln|x| +c• xfe x d^e x+c (6)Jcosxdx=sinx+c1(11)f . dx = arcsin x + cftanxdx = Tn cosx +cJcotxdx = In sin x +cJsecxdx = In secx + tanx +cJ cscxdx = In cscx - cot x + c21 2d^-arcta nx+ca+x a a(7) jsin xdx = -cosx +c1 2⑼ J ———=Jcsc xdx = —cotx +csin X 1 2(8) f —— dx = [sec xdx=tanx + c 、cos x1(10) f ----- 2dx = arctanx + c '1+x 2X-a 十 X + a」dx=arcsin「cj r~2 2 7a -x ' J x2±a2dx = In x +J x±a2+c十三、分部积分法公式⑴形如fx n e ax dx，令U n=Xdv = e ax dx形如fx n sin xdx令un=Xdv =sin xdx形如Jx n cosxdx令u = x n，dv = cosxdx⑵形如fx n arctanxdx，令u= arctanx，dv =x n dx 形如fx n ln xdx，令u =1 n X，dv =x n dx⑶形如ax ■ax . ax ■fe sin xdx，fe cosxdx令u=e ,sin x,cos x均可。

微积分的基本概念与运算

三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式，如f(x)=sin(x)，则 f'(x)=cos(x)。
四则运算法则及复合函数求导法则
01
四则运算法则
02
复合函数求导法则
包括加法、减法、乘法、除法的导数运算法则，如 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)等。
若y=f(u)且u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为 y'={f[g(x)]}'=f'(u)*g'(x)。
导数几何意义及应用
导数几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。对于一元函数y=f(x)，其在点x0处的导数f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率。
导数应用
导数在数学、物理、工程等领域有广泛应用。例如，在求函数的极值、判断函数的单调性、解决最优化问题等方面都需要用到导数。此外，在物理学中，速度、加速度等概念也与导数密切相关。
通过求导可以得到物体的瞬时速度和加速度，进而研究物体的运动状态。
微分方程在力学中的应用
利用微分方程可以描述物体的运动规律，如牛顿第二定律的微分方程形式。
振动与波动问题的分析
微积分在振动与波动问题的分析中有着广泛的应用，如简谐振动的微分方程描述。
经济学中边际分析和弹性分析问题
边际分析
在经济学中，边际分析是一种重要的决策方法，通过求导得到边际成本、边际收益等经济量，进而研究经济现象的变化规律。
积分几何意义及应用
积分几何意义
定积分的几何意义是曲线与x轴所围成的面积，而不定积分的几何意义则是求曲线在某一点处的切线斜率。

微积分：微商的运算法则

x
)
1 cos
x 1(cos cos2 x
x)
sin x
secx tan x.
cos2 x
(secx) sec x tan x
同理
(cot
x)
1 sin2
x
csc2
x
(cscx) csc x cot x.
例4 求函数y log a x(a 1, a 0)的导数。
解 loga
例3 求函数 tan x、sec x的导数。
解 (tan x) ( sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 sec2 x. cos2 x
(tan x)
1 cos2
x
sec2
x.
(secx)
(1 cos
(tan x) sec2 x
(sec x) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(e x ) e x (ln x) 1
隐函数y f ( x)，求y.
解方程两边对x求导
3x 2 2 y 2xy 5 y4 y 0
y
3x2 2y 2x 5y4
.
例 2方程 y 5 2 y x 3x 7 0确定了
隐函数y f ( x)，求y(0).
解方程两边对x求导
5 y4 y 2 y 1 21x6 0
cos x sin x
cot
x.
1

微积分极限极其运算法则

x0 x
0
x0 x
x x

2
(3)将x换成 ( x), 则有 sin[ ( x)] 1 ( ( x) 0), (x)
如 lim sin(1 x) 1. x1 1 x
例11、求下列极限。
tan x (1) lim ;
x0 x
1 cos x
(3) lim x0
定义1：若 lim x x0
f (x)
0,则称f ( x)为x
x0时的无穷小.
定义2：M 0, 0,当0 x x0 时, f ( x) M则称
f ( x)为x
x0时
的
无
穷
大, 记
作
lim
x x0
f (x) .
定理1：（1）有限个无穷小之和是无穷小；（2）有限个无穷小之积是无穷小；
1, 证明:
f ( x0 )在U ( x0 )内是f ( x)的最大值.
定理4：(1)若
lim
n
xn

a,则它的任一子列
{
xnk
}的
极
限lim k
xnk
a;
(2)若 lim f ( x) A,则对于f ( x)的定 x x0
义域的点列{ xn },若xn x0(n ),
x
3 x3 a
(2) lim
.
xa 3 x a
4 极限存在准则与两个重要极限
定理1：(1)若当n N0时, 有yn xn zn , 且
lim
n
yn

lim
n
zn

a, 则 lim n
xn

a.

微积分的基本介绍

微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。

因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。

所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。

就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。

这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

《定积分与微积分基本定理》教案

《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分表示的是平面区域内曲线与x轴之间区域的面积1.2 定积分的性质介绍定积分的性质，如可加性、保号性等通过图形演示定积分的性质1.3 定积分的计算介绍定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的定积分第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的概念强调微积分基本定理是定积分与原函数的关系2.2 微积分基本定理的证明讲解微积分基本定理的证明过程强调证明中重要的极限概念2.3 微积分基本定理的应用介绍如何利用微积分基本定理求解定积分演示如何应用微积分基本定理解决实际问题第三章：定积分的换元法3.1 换元法的引入解释换元法的概念和作用强调换元法可以简化定积分的计算3.2 换元法的步骤介绍换元法的具体步骤通过例子演示换元法的应用3.3 换元法的常见类型介绍常见的换元法类型，如代数换元、三角换元等强调不同类型换元法的适用场景第四章：定积分的分部积分法4.1 分部积分的引入解释分部积分法的概念和作用强调分部积分法可以简化定积分的计算4.2 分部积分的步骤介绍分部积分的具体步骤通过例子演示分部积分的应用4.3 分部积分的常见类型介绍常见的分部积分类型，如基本分部积分、进位分部积分等强调不同类型分部积分的适用场景第五章：定积分的应用5.1 定积分在几何中的应用介绍定积分在几何中的应用，如计算曲线围成的面积强调定积分在几何中的重要性5.2 定积分在物理中的应用介绍定积分在物理中的应用，如计算物体的体积强调定积分在物理中的实际意义5.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在其他领域的应用，如经济学、生物学等强调定积分在不同领域中的广泛应用第六章：定积分的极限条件6.1 引入定积分的极限条件解释定积分的极限条件概念强调定积分的极限条件对于定积分计算的重要性6.2 定积分的收敛性讲解定积分的收敛性及其判断方法强调定积分的收敛性与发散性的区别6.3 定积分的绝对收敛与条件收敛介绍定积分的绝对收敛与条件收敛的概念强调判断定积分的绝对收敛与条件收敛的方法第七章：定积分的数值计算7.1 引入定积分的数值计算解释定积分的数值计算概念及意义强调定积分的数值计算在实际应用中的重要性7.2 梯形公式与辛普森公式介绍梯形公式与辛普森公式的概念及应用强调两种公式的优缺点及其适用场景7.3 数值计算方法的改进讲解数值计算方法的改进途径，如自适应细分法强调改进方法在提高计算精度方面的作用第八章：定积分在实际问题中的应用8.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的应用，如求解物体的速度、位移等问题强调定积分在物理学中的实际意义8.2 定积分在经济学中的应用介绍定积分在经济学中的应用，如计算最大收益、最优化问题等强调定积分在经济学中的重要作用8.3 定积分在其他领域中的应用介绍定积分在生物学、环境科学等领域的应用强调定积分在不同领域中的广泛应用价值第九章：定积分的进一步拓展9.1 双重定积分引入双重定积分概念强调双重定积分表示的是空间区域内曲面与坐标平面之间区域的体积9.2 双重定积分的计算介绍双重定积分的计算方法，如双重牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的双重定积分9.3 三重定积分与多重定积分介绍三重定积分与多重定积分的概念及计算方法强调多重定积分在更高维度问题中的应用回顾本章所学内容，强调定积分与微积分基本定理的关键点提醒学生注意定积分在实际问题中的应用10.2 定积分的拓展学习推荐学生进一步学习的内容，如数值计算方法、多重积分等强调定积分在数学及其它领域中的广泛应用，激发学生的学习兴趣重点和难点解析重点环节1：定积分的性质解析：定积分的性质是理解定积分概念的基础，包括定积分的可加性、保号性等。

微积分中的d的运算法则

微积分中的d的运算法则在微积分学中，d是一个符号，它是微分方程的关键要素和函数表示的关键要素。

它表示微分，通常是复杂函数中关于变量x的变化率。

通常，在微分形式f（x）中，d（x）表示微分变量x时关于变量x的变化率。

d的运算法则主要涉及d关于加减乘除及其括号运算法则，这些法则是微积分学中最基本的运算法则，为解决微积分问题提供了重要参考依据。

（一）d的加减乘递运算规则1.d的加法运算规则d（u＋v）= du）＋d（v）,中u和v均为函数，u，v的变量为x。

2.d的减法运算规则d（u-v）= d（u）－ d（v）,中u和v均为函数，u，v的变量为x。

3.d的乘法运算规则d（u×v）= u× d（v）＋v× d（u），其中u和v均为函数，u，v的变量为x。

4. d的递乘运算规则d（uv）= u× d（v）＋v× d（u），其中u和v均为函数，u，v 的变量为x。

（二）d的除法运算法则1.d的基本除法运算规则其中u和v均为函数，u，v的变量为x，且v（x）≠0。

d (u/v) = (v*d (u) - u*d (v))/(v^2)2.d的递减运算法则其中u和v均为函数，u，v的变量为x，且v（x）≠0。

d(u/v) = (u*d(v)-v^2*d(u))/(v^3)（三）d括号运算规则1.d括号加法运算规则这里， u（x）和v（x）表示任意函数，且其变量为x，且有d （u（x）＋v（x））= d（u）＋d（v）2.d括号减法运算规则这里， u（x）和v（x）表示任意函数，且其变量为x，则有d （u（x）－v（x））= d（u）－d（v）3.d括号乘法运算规则这里， u（x）和v（x）表示任意函数，且其变量为x，则有d （u（x）×v（x））= u（x）× d（v）＋ v（x）× d（u）4.d括号除法运算规则这里， u（x）和v（x）表示任意函数，且其变量为x，且v（x）≠0，则有d（u（x）÷v（x））= (u（x）× d(v)-v（x）d(u))/(v^2）以上是关于d的运算法则的简单介绍，这些法则是微积分中比较重要的内容，它们被广泛应用于微积分学中，常常可以用来解决微积分中比较复杂的问题。