数学物理方程总结

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数学物理方程知识点归纳

数学物理方程知识点归纳

数学物理方程知识点归纳数学和物理是息息相关的学科,数学在物理中起着重要的作用,许多物理规律都可以用数学方程式表达。

在学习物理时,掌握数学方程式是必不可少的,以下是数学物理方程知识点的归纳。

1.牛顿第一定律牛顿第一定律又称为惯性定律,它表明物体保持运动状态的惯性,只有外力才能改变物体的运动状态。

牛顿第一定律的数学表达式为F=ma,即力等于质量乘以加速度。

2.牛顿第二定律牛顿第二定律是物理学中最重要的定律之一,它描述了物体的运动状态和所受的力之间的关系。

牛顿第二定律的数学表达式为a=F/m,即加速度等于力除以质量。

3.牛顿第三定律牛顿第三定律又称为作用与反作用定律,它表明对于每一个作用力,都存在一个相等而反向的反作用力。

牛顿第三定律的数学表达式为F1=-F2,即作用力等于反作用力的相反数。

4.万有引力定律万有引力定律是描述物体之间万有引力作用的定律,它表明两个物体之间的引力与它们的质量成正比,与它们之间的距离的平方成反比。

万有引力定律的数学表达式为F=Gm1m2/d2,即引力等于万有引力常数乘以两个物体的质量除以它们之间的距离的平方。

5.波动方程波动方程是描述波动现象的方程,它可以用来描述声波、光波等波动现象。

波动方程的数学表达式为y(x,t)=Asin(kx-ωt+φ),即位移等于振幅乘以正弦函数,其中k是波数,ω是角频率,φ是初相位。

6.热传导方程热传导方程是描述热传导现象的方程,它可以用来描述物体内部的温度分布随时间的变化。

热传导方程的数学表达式为∂u/∂t=k∇2u,即温度变化率等于热扩散系数乘以温度梯度的二阶导数。

7.量子力学方程量子力学方程是描述微观粒子运动的方程,它可以用来描述电子、质子等粒子的运动和相互作用。

量子力学方程的数学表达式为Hψ=Eψ,即哈密顿算符作用于波函数等于能量乘以波函数。

8.电动力学方程电动力学方程是描述电场和磁场相互作用的方程,它可以用来描述电磁波、电荷运动等现象。

数学物理方程知识点

数学物理方程知识点

数学物理方程知识点
Chapter 1:绪论
1.偏微分方程的基本概念名词
2.三大类方程的典型物理模型:弦振动、热传导、
3.二阶方程的标准简化:用坐标变换化简二阶项、用v=ue!"!!"化简一次项
Chapter 2:波动方程
1.D’Alembert公式——Cauchy 初值问题:
半区域用延拓法或特征线法、非齐次方程右端用叠加原理、
2.分离变量法——矩形区域混合初边值问题:
方程分离、特征值与特征函数求解、初值用特征函数展开确定系数
非齐次方程右端用叠加原理、叠加原理一般公式
非齐次边界先化成齐次边界、边界条件最先考虑
3.三维波动方程球平均法——Cauchy 初值问题
三维积分公式的一般表达、极坐标表达
4.二维波动方程降维法——Cauchy 初值问题
二维积分公式的一般表达、极坐标表达
5.能量积分——解的唯一性和稳定性
6.解的无穷远渐进形态
Chapter 3:热传导方程
1.Fourier 变换法——Cauchy 初值问题:1 维或n 维公式
2.分离变量法——矩形混合初边值问题:
place 变换法
4.圆域上的热传导方程、极坐标、Bessel 函数
5.能量积分——解的唯一性和稳定性
6.极值原理——解的唯一性和稳定性
Chapter 4:调和方程
1.分离变量法——Drichlet 问题
圆域内外(内外Poisson 公式)、扇形区域、环形区域、矩形区域、球形区域
非齐次问题先齐次化,或用特征函数法
2.Green 公式、能量积分、变分原理、基本解、基本积分公式、平均值公式、极值原理、唯
一性和稳定性。

3.Green 函数:上班平面、球形区域。

数学物理方程的重点

数学物理方程的重点

一.无界问题的特征线法求解求解1.一维无界弦振动方程的达朗贝尔公式(特征线法在弦振动方程的应用)求解法 1.1齐次方程两端无界弦振动方程的求解 齐次弦振动方程及初始条件:⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ其方程为+∞<<-∞>=-x t u a u xx tt ,0,02,其特征方程为022=-⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ,2,1c at x =±所以at x +=ξ,at x -=ηηξu u u x +=,ηξu a u a u t ⨯-⨯=,ηηξηξξu u u u xx ++=2,ηηξηξξu a u a u a u tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x u u u u a u xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x u x x G x F x u t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰ )(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x u -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ(1)此公式为达朗贝尔公式 1.2单侧无界弦振动齐次方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧>=>==>>=-0,0),0(),()0,(),()0,(0,0,02t t u t t x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ先求出对应双侧无界弦振动方程⎩⎨⎧ψ=Φ=+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt 其中要求)(),(x x ψΦ为奇函数又已知其右侧函数表达式可以求出求出左侧表达式⎩⎨⎧<--≥=Φ0),(0),()(x x x x x ϕϕ,⎩⎨⎧<--≥=ψ0),(0),()(x x x x x ψψ 将其带入达朗贝尔公式可求出对应双侧无界弦振动方程的解⎰+-ψ+-Φ++Φ=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),( 只要令0)(21)]()([210),(,0=Φ+Φ-Φ⇒==⎰-db b a at at t x u x atat又令0>x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+---+>+-++=⎰⎰+--+-atx at x atx at x at x db b a at x at a a at x db b a at x at x t x u )(,)(21))](()([21,)(21)]()([21),(ϕϕϕϕϕϕ 此),(t x u 即为单侧无界弦振动齐次方程的解 1.3零初始条件的非齐次弦振动方程的求解⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x u x u t t x f u a u t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x u x u t u a u t xx tt 则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解(将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想)转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x u 0)()(0),(21),(),(τττττ 1.4有初始条件的非齐次无界弦波动方程的求解⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0),,(2x x u x x u x t t x f u a u t xx tt ψϕ 此方程要使用叠加原理进行求解设),(),(),(t x z t x v t x u +=其中分别满足以下方程⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x v x x v x t v a v t xx tt ψϕ(1)和⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-0)0,(,0)0,(,0),,(2x y x y x t t x f y a y t xx tt (2) 对于方程(1),使用达朗贝尔公式可以求得:其特征方程为022=+⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ,2,1c at x =±所以at x +=ξ,at x -=ηηξv v v x +=,ηξv a v a v t ⨯-⨯=,ηηξηξξv v v v xx ++=2,ηηξηξξv a v a v a v tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x v v v v a v xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x v x x G x F x v t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰)(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x 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ψϕ其特征方程为00,0222=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒-=⇒=+==++C dx dy B dx dy A dx dy dy dx d C B A y x y x y y x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ根据特征方程解的三种不同情况将其进行进一步的化简 2.2特征方程存在两个不同实根时的化简 先用公式法求出特征方程两个不同的实根A ACB B dx dy 242-±=,g A AC B B dx dy =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛2421,e A AC B B dx dy =--=⎪⎭⎫⎝⎛24221c gx y +=2c ex y +=可以用换元法对此偏微分方程进行化简x A AC B B y 242-+-=ξxAACB B y 242---=η将其带入=++yy xy xx Cu Bu Au=ξηu例1.化简下列方程并求解⎩⎨⎧===-+σφ)0,(,)0,(032t u t u u u u x xx tx tt3/2)/(032032222=-+⇒=-+⇒=-+x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ03/2)/(03)/(2)/(22=--⇒=--+dt dx dt dx dt dx dt dx,0,0,3,10,0,0,1,13)2(,)2(22121242===-=======-=+-=+=--=+±=⇒±=+±=tt xt xx t x tt tx xx t x tx t t x t x t t x c t t x dt dx ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηξηξηξξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u xt xt x x tx xx xx x x xx tt tt tt tt x x x t t t 32)3()3(2)()(96)3(3)3(1,3--=++-+-=++=+++++=+-=++---=+=+=-=+=)()(),(00)369()646()321(32ηξξηηηξηξξg f t x u u u u u u u u xx tx tt +==⇒=--+---+-+=-+2.3当特征方程存在2个相等实根A B dx dy 2)(2,1=12c x AB y =-),0(,2≠=-=B y x A By ηξ 0,0·,0,00====⇒=xx yy u C u A B 或如例1化简下列方程44=++xx tx tt u u u4/4)/(044044222=++⇒=++⇒=++x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ2/,04/4)/(04)/(4)/(22==+-⇒=+-+dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx,0,10,2,1,,2========-===-=xt xx tt t x tt xt xx t x x t x ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηξηξξηηξηξξηξηηξηξξξξηξηηξηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηηξξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u tx tx x t t x x t x t tx xx xx x x x x xx tt tt t t t t tt 222)(22422222---=+++++=++=++++==++++=0)480()880()4244(=⇒=+-++-+⨯-+ηηηηξηξξu u u u)2()2()()()(t x g t x xf g f u f u -+-=+=⇒=ξξηξη2.4当特征方程存在一对共轭复根时二.积分变换法求解无界一维波动方程、1维热传导方程和二维Laplace 方程 1.傅立叶变换的定义与性质 1.1傅立叶变换的定义)()())((w F dx e x f x f F iwx ==⎰+∞∞-1.2傅立叶变换的位移性质)()()()]([)(c x d ee c xf dx e c x f c x f F iwcRRc x iw iwx --=-=-----⎰⎰)()]([)()()]([)(w F e x f F e c x d e c x f e c x f F iwc Riwc c x iw iwc -----==--=-⎰1.3.傅立叶变换的相似性质dcx e cx f c dcx c ecx f dx ecx f cx f F Rcx c wi Rcx cw i Riwx⎰⎰⎰---===)(11)()()]([)(1)(1)]([1c wF c du e u f c cx f F u c wR ==-⎰1.3傅立叶变换的微分性质⎰⎰⎰-+∞∞-----===RiwxRiwx iwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )(|)()()('))('( )())(()())((0))('(w iwF x f iwF dx e x f iw dx e iw x f x f F Riwx iwx R===--=⎰⎰--⎰⎰⎰-+∞∞-----===Riwx iwx Riwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )('|)(')(')(''))(''( )()())(()())('())(''(22w F iw x f F iw x f iwF x f F ===dx e x f iw e x f x df e dx e x f x f F iwx Rn iwx n n Riwx Riwx n n -------⎰⎰⎰+===)()()()())(()1()1()1()()()()())(()())(())((1)(w F iw x f F iw x f iwF x f F n n n n ===-1.3.傅立叶变换的乘多项式性质⎰⎰⎰---=-==R Riwx iwx iwx Rdx e x f dw di dx e x f dw d i dx e x xf x xf F ))(())((1)())(( ))(())((())(())((w F dwdi x f F dw d i dx e x f dw d ix xf F R iwx ===⎰- ⎰⎰⎰---===R Riwx iwx Riwxdx e x f dw d i dx e x xf dw d i dx ex xxf x f x F ))(())(()())((2222)())(())(())((2222222222w F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F R iwx iwx R===⎰⎰-- dx e x f x dwd idx e x f xx dx e x f x x f x F iwx n RRiwx n Riwx n n ))(()()())((11-----⎰⎰⎰=== ⎰⎰====--Rn nn n n n R iwx n n n iwx n n nnw F dw d i x f F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F ))(()))((())(())(())((1.4傅立叶变换积分性质由傅立叶变换的微分性质)())((x f dt t f dx dx=⎰∞- ⎰∞-=xdt t f iw x f F )())(()(1))((1))((w F iwx f F iw dt t f F x==⎰∞- 1.5傅立叶变换的卷积性质卷积定义式⎰-=*Rdt t x g t f x g f )()()(卷积公式1)()()(w G w F g f F =*先做卷积再变换系数不变 证明:⎰⎰⎰⎰-----=-=*R iwt t x iw Riwx R Rdx e e dt t x g t f dx dte t x g t f x g f F )()()()()())((⎰⎰⎰⎰-----=-=*RRiwu iwt Rt x iw Riwt dt du e u g e t f dt dx e t x g e t f x g f F )()()()())(()()()())(())(())(()()(w G w F t f F u g F dt u g F e t f g f F Riwt ===*⎰-卷积公式2))()((2)()(x g x f F w G w F π=*先傅立叶变换再做卷积系数要乘系数2π 1.6 主要函数的傅立叶变换)(0,00,)(指数信号⎩⎨⎧<>=-x x e x f x β iw e iw dx e dx eex f F iw x iw x iwxx +=+-===∞++-+∞+-+∞--⎰⎰βββββ1|1))((0)(0)(02)(x ex f -=2.傅立叶变换法求解一维波动方程 2.1无界齐次波动方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧==>∈=-)3)(()0,()2)(()0,()1(0,,02x x u x x u t R x u a u txx tt ψϕ 分别对(1)、(2)、(3)式进行傅立叶变换)4(0),()()),((0),()()),((22=+⇒=-t w F aw t w u F t w F iaw t w u F tt tt)5))((())0,((x F w u F ϕ=)6))((())0,((x F w u F t ψ=)7()()()),((21iawt iawt e w C e w C t w u F -+=将(5)、(6)代入(7)式⎩⎨⎧-=+=--iawtawt t iawtiawt e awiC e w awiC t w u F e w C e w C t w u F 2121)()),(()()()),(( ⎩⎨⎧=-=+))(()()())(()()(2121x F w awiC w awiC x F w C w C ψϕ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)))((1))(((21)()))((1))(((21)(21x F iaw x F w C x F iaw x F w C ψϕψϕ iawt iawt e x F iawx F e x F iaw x F t w u F --++=)))((1))(((21)))((1))(((21)),((ψϕψϕ又由傅立叶变换的位移性质))(()())((x f F e dx e c x f c x f F iwc Riwx --=-=-⎰左边的项的位移系数可以求出at c iwat iwc -=⇒=-)8))(((21))((21at x F e x F iawt +=ϕϕ iwaw F w G at x G e w G e w G F e x F iwaiawt iawt iawt 2))(()()()())(())((21ψψ=+===用傅立叶变换的积分性质进一步化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞- ))((21))((1212))(()()(⎰+∞-===+=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x G w G ψψψ右边第一项的系数也可以用位移性质求出at c iwat iwc =⇒-=-))((21))((21at x F e x F iwt -=-ϕϕ iwaw F w H at x H e w H 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数学物理方程归纳总结

数学物理方程归纳总结

数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具,广泛应用于各个领域。

本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结,分析其数学意义和物理应用,并探讨其背后的原理和推导过程。

1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一,其运动状态只涉及一个方向的变化。

常见的一维运动方程有:- 位移公式:$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式:$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系:$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律,其中$S$ 表示位移,$V_0$ 表示初始速度,$a$ 表示加速度,$t$ 表示时间,$V$ 表示末速度。

这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值,可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。

2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论,在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。

牛顿三定律是牛顿力学的核心,其表述为:- 第一定律(惯性定律):物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。

- 第二定律(运动定律):物体受到的合力等于质量乘以加速度,即 $F = ma$。

- 第三定律(作用与反作用定律):任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。

根据牛顿第二定律,我们可以推导出一些重要的等式,用于解决各种力学问题。

例如,结合万有引力定律,我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$,其中 $T$ 是行星公转周期,$G$ 是引力常数,$M$ 是太阳的质量,$r$ 是行星与太阳的平均距离。

3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程,描述了电磁场的产生和传播规律。

麦克斯韦方程组包括四个方程:- 高斯定律:$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律:$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律:$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程:$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中,$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场,$\rho$ 表示电荷密度,$J$ 表示电流密度,$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数,$\mu_0$ 是真空中的磁导率。

数学物理方程知识点归纳

数学物理方程知识点归纳

数学物理方程知识点归纳
数学和物理是紧密相关的学科,数学物理方程是两个学科的交叉点。

下面将对数学物理方程的知识点进行归纳。

1. 微积分
微积分是数学物理方程中最基础的知识点之一。

微积分包括微分和积分两个部分。

微分是研究函数变化率的工具,积分是研究曲线下面积的工具。

微积分在物理学中有着广泛的应用,例如牛顿第二定律、万有引力定律等。

2. 偏微分方程
偏微分方程是数学物理方程中的重要知识点。

偏微分方程是描述物理现象的数学模型,例如热传导方程、波动方程等。

偏微分方程的求解需要使用到数学分析和数值计算等方法。

3. 矩阵和线性代数
矩阵和线性代数是数学物理方程中的另一个重要知识点。

矩阵是一种数学工具,可以用来表示线性方程组。

线性代数是研究向量空间和线性变换的学科。

矩阵和线性代数在物理学中有着广泛的应用,例如量子力学中的哈密顿算符等。

4. 微分方程
微分方程是数学物理方程中的重要知识点。

微分方程是描述物理现象的数学模型,例如运动方程、电路方程等。

微分方程的求解需要使用到微积分和数值计算等方法。

5. 概率论和统计学
概率论和统计学是数学物理方程中的另一个重要知识点。

概率论是研究随机事件的学科,统计学是研究数据分析和推断的学科。

概率论和统计学在物理学中有着广泛的应用,例如热力学中的熵等。

以上是数学物理方程的知识点归纳,这些知识点是物理学家和数学家研究物理现象和数学问题的基础。

数学物理方程知识点归纳

数学物理方程知识点归纳

数学物理方程知识点归纳数学物理方程是数学和物理学两门学科的交叉领域,其涉及到许多重要的知识点。

本文将从微积分、向量、力学、热力学和波动等方面,总结归纳数学物理方程的主要知识点。

一、微积分微积分是数学和物理学中非常重要的一个分支。

其中,微分和积分是微积分的两个基本概念。

微分是研究函数在某一点的变化率,积分则是求解函数的面积、体积或长度等量的方法。

微积分的一些重要公式包括:牛顿-莱布尼茨公式、柯西-黎曼方程、拉普拉斯公式等。

二、向量向量是几何学和物理学中非常重要的概念。

向量具有大小和方向两个属性,可以表示物理量的大小和方向。

向量的一些重要知识点包括:向量的加法和减法、向量的数量积和向量积、向量的投影、向量的夹角等。

三、力学力学是物理学中研究物体运动和相互作用的学科。

其中,牛顿三大定律是力学的基础。

牛顿第一定律指出物体在外力作用下保持静止或匀速直线运动;牛顿第二定律则确定了物体受力的大小和方向与其加速度成正比;牛顿第三定律则描述了力的相互作用。

四、热力学热力学是物理学中研究热量和能量转化的学科。

其中,热力学的一些重要概念包括:热力学系统、热力学过程、热力学态函数、热力学循环等。

热力学中的一些重要公式包括:热力学第一定律、热力学第二定律、热力学方程等。

五、波动波动是物理学中研究波的传播和相互作用的学科。

其中,波动的一些重要概念包括:波长、频率、波速、干涉、衍射、折射等。

波动的一些重要公式包括:波动方程、费马原理、赫兹实验等。

数学物理方程中的知识点非常丰富,包括微积分、向量、力学、热力学和波动等方面。

这些知识点是理解和应用物理学中的方程和定律的基础,对于物理学的学习和科学研究都具有重要的意义。

数理方程总结复习及练习要点报告

数理方程总结复习及练习要点报告
➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定,或者说,也能够使满足泛定方程的解 确定下来,这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解,进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
4
数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类,一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束,这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况,即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况,或者说这个物理量之前是什 么样的,这类约束主要体现于时间上我们人为定义 从何时开始针对于物理量的研究,或者说这个物理 量研究初始时的状况,即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束,所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性,即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ,这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的 问题称为数学物理定解问题,准确地说就是在给定 定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
-偏微分方程的阶数 最高的求导次数 -偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 -偏微分方程的线性与非线性
12
数理方程基本知识
➢ Gauss定理
v
v
v
v
对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
vv

数学物理方程公式总结

数学物理方程公式总结

===================== 无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22at at ππ⎡⎤⎡⎤======================= 傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d i x f F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i xi xx F x x edx eλλδδ∞--=-∞===⎰(() ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia iaia ia a e e a e e i --=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x edx +∞--∞=⎰()()i x f f x e dx λλ+∞--∞=⎰========================= 拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax cL ce p a p a=>-21[]L x s=21[]()x L e x s ββ-⋅=+[]22sin kL kt s k=+ []22cos sL kt s k==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==- Re Re s a > []22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+ Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=--> 1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]x L f d L f x sττ=⎰ [][()]nn n d L f L x f ds=- ..()[]pf x fs ds L x∞=⎰() 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰====================== 三个格林公式 高斯公式:设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成,函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数,则:V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数,它们在V 中有二阶偏导,则:SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数,它们在V 中有二阶偏导,则:()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0,M 是V 中的点,v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件,则有:000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1:泊松方程洛平问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续)连续) 的解为: 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1:拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续)连续)的解为: 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ============================调和函数1、定义:如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数;(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。

数学物理方程公式总结

数学物理方程公式总结

数学物理方程公式总结数学和物理是自然科学的两个重要分支,它们在研究自然界的规律时不可分割。

在数学和物理的学习过程中,我们经常会遇到大量的方程和公式。

这些方程和公式帮助我们理解和解决问题,归纳总结这些方程和公式有助于我们更好地掌握它们。

下面是一些数学物理方程公式的总结。

1.牛顿力学相关方程:- 运动方程: F = ma,其中 F 表示作用力,m 表示物体的质量,a 表示物体的加速度。

-牛顿第一定律:F=0,一个物体若无外力作用,则物体保持静止或匀速直线运动。

- 牛顿第二定律: F = ma,物体的加速度与作用力成正比,与物体的质量成反比。

-牛顿第三定律:F12=-F21,两个物体之间的作用力大小相等,方向相反。

2.热力学相关方程:-热力学第一定律:ΔU=Q-W,系统内部能量的变化等于吸热减去对外界做功。

-热力学第二定律:ΔS≥0,隔离系统内部的熵不会减少,或者说熵的增加不可逆。

-热力学第三定律:绝对零度时,熵为零。

3.电磁学相关方程:-库仑定律:F=k*(Q1*Q2)/r^2,两个点电荷之间的力与电荷大小成正比,与距离的平方成反比。

-高斯定律:Φ=E*A=Q/ε0,电场通过任意闭合曲面的通量与该曲面内的电荷成正比。

-法拉第电磁感应定律:ε=-ΔΦ/Δt,电磁感应产生的电动势与磁通量的变化率成正比。

4.波动与光学相关方程:-波速公式:v=λ*f,波速等于波长乘以频率。

- 光的折射定律: n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2),光线从一种介质进入另一种介质时,入射角和折射角与两种介质的折射率成正比。

5.直流电路相关方程:-欧姆定律:V=I*R,电压与电流和电阻的关系。

- 串联电阻的总电阻: R_total = R1 + R2 + ...,串联电阻的总电阻等于各个电阻之和。

- 并联电阻的总电阻: 1/R_total = 1/R1 + 1/R2 + ...,并联电阻的倒数总电阻等于各个电阻的倒数之和。

数学物理方程知识点总结

数学物理方程知识点总结

数学物理方程知识点总结一、牛顿运动定律牛顿的运动定律是经典物理力学的基础,它描述了物体在力的作用下的运动规律。

牛顿的三大运动定律分别是:1. 第一定律:一个物体如果受力作用,将保持静止或匀速直线运动,直到受到外力的作用而改变其状态。

2. 第二定律:物体的加速度与作用力成正比,与质量成反比。

即F=ma。

3. 第三定律:作用力与反作用力大小相等,方向相反,且在同一直线上。

这三个定律描述了物体在受力作用下的运动规律,它们被广泛应用于物体的运动研究和工程设计中。

二、电磁场方程电磁场方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用。

其中,麦克斯韦方程组是最基本的电磁场方程,它包括了电荷产生的电场和电流产生的磁场,并描述了它们随时间和空间的变化规律。

麦克斯韦方程组包括了4个方程,分别是:1. 静电场高斯定律:描述电荷产生的静电场。

2. 静磁场高斯定律:描述磁场的产生和分布。

3. 安培定律:描述电流产生的磁场。

4. 法拉第电磁感应定律:描述磁场的变化产生感应电场。

这些方程组成了电磁场的基本描述,它们被广泛应用于电磁场的研究和工程技术中。

三、热传导方程热传导方程描述了物体内部的热传导过程。

热传导方程可以描述物体内部温度分布和热量的传导规律。

通常情况下,热传导方程是一个偏微分方程,它描述了温度场随时间和空间的变化规律。

热传导方程一般形式为:δT/δt = αΔT其中,T表示温度场,t表示时间,α为热传导系数,ΔT为温度梯度。

这个方程被广泛应用于热传导问题的研究和工程设计中。

四、波动方程波动方程描述了机械波和电磁波在空间中的传播规律。

波动方程是一个偏微分方程,它描述了波动场随时间和空间的变化规律。

波动方程的一般形式为:∂^2ψ/∂t^2 = v^2∇^2ψ其中,ψ表示波动场,t表示时间,v为波速,∇^2为拉普拉斯算符。

波动方程描述了波动在空间中的传播和幅度变化规律,它被广泛应用于波动现象的研究和工程设计中。

总之,数学与物理方程是自然科学研究和工程技术发展的基础。

数学物理方程复习

数学物理方程复习

数学物理方程复习一.三类方程及定解问题(一)方程1.波动方程(双曲型)Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1(t);U(l,t)= Φ2(t);U(x,0)= Ψ1(x);Ut (x,0)=Ψ2(x)。

2.热传导方程(抛物型)Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1(t);U(l,t)= Φ2(t);U(x,0)= Ψ1(x).3.稳态方程(椭圆型)Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1(x);U(b,x)= Φ2(x);U(y,0)= Ψ1(y);Ut (y,a)=Ψ2(y)。

(二)解题的步骤1.建立数学模型,写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题(检验)(三)写方程的定解条件1.微元法:物理定理2.定解条件:初始条件及边界条件(四)解方程的方法1.分离变量法(有界区域内)2.行波法(针对波动方程,无界区域内)3.积分变换法(Fourier变换Laplace变换)Fourier变换:针对整个空间奇:正弦变换偶:余弦变换Laplace变换:针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一:在弦的横震动问题中,若弦受到一与速度成正比的阻尼,试导出弦阻尼振动方程。

解:建立如图所示的直角坐标系,设位移函数为U(x,t),取任意一小段△x进行受力分析,由题设,单位弦所受阻力为b U t(b为常数),在振动过程中有△x所受纵向力为:(T2COSa2-T1COSa1)横向力为:(T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x))(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力,又因为弦做横振动而无纵振动,由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0,T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x,t)即令△x→0时有:U tt+ aU t=a2U xx例二:设扩散物质的源强(即单位时间内单位体积所产生的扩散物质)为F (x,y,z,t),试导出扩散方程。

数学物理方程第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结-文档资料

数学物理方程第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结-文档资料

的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y),那么,将变换取为ξ =φ1 (x,y)和η =φ2 (x,y),方程(4.6)的系数 。 a 0 ; a 0 11 22 这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

Байду номын сангаас
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同,因此,如果 我们能选择到方程
a 2 a a 04 . 8 1 2 x y
2 1x 1 2 22 y
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类 §3 三类方程的比较
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
在前面的章节中,我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊,它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异,往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中,我们 将以这三类方程的知识为基础,研究一般形式的二阶 线性偏微分方程,并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
dy 2 (a a a a 12 12 11 22)/ a 11 dx dy 2 (a a a a 12 12 11 22)/ a 11 dx
4 .10 4 .11
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

现代数学物理方程

现代数学物理方程

这就是微分方程的适定性问题。
2、验证
u( x , y, t )
2
1 t x y
2 2
在锥
t x y 0
2 2 2
中都满足波动方程
u
2
t
2

u
2
x
2

u
2
y
2
.
证明:在该锥内
u t
2
(t x y )
2 2 2

3 2
t
3 2 5 2

sin 1 tg 1 sin 2 tg 2
u( x x , t )
.
于是得运动方程
x
u
2
t
2
g [ l ( x x )]
u( x x , t ) x
[l x ]
u( x , t ) x

u
2
[ l ( x x )] g
u( x , 0) t aF '( x at ) aG '( x at ) t 0 aF '( x ) aG '( x ) ( x ).
aF '( x ) aG '( x ) ( x ).
两边对 x 积分:
aF ( x ) aG ( x ) C
u
2
t
2
c u
2
这里c 通常是一个固定常数,代表波的传播速率。 在针对实际问题的波动方程中,一般都将波速表 示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实 物理世界中的色散现象。
(2)方程的导出 均匀弦的微小横振动 理想化假设:

数学物理方程

数学物理方程

⎧y ⎪
t=0
=d
= v0

⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒ vy = v0 − gt

y
=
v0t

1 2
gt 2
(2) 对斜向上抛:
⎧⎪x t=0 = v0 cosθ = c
⎨ ⎪⎩x
t=0
=
c'
=
0
⇒ vx = v0 cosθ ⇒ x = (v0 cosθ )t
⎧y ⎪
t =0
=
d
=
v0
sin θ
x
= SY[∂u(x + dx,t) − ∂u ] = SY ∂ [u(x + dx,t) − u(x,t)]= SY
∂ [u(x + dx,t) − u(x,t) dx] = SY
∂x
dx
∂2u ∂x2
dx
由牛顿第二定律: ma = F (a = ∂2u , m = ρdv = ρ sdx)
⇒ vy = v0 sinθ − gt
⎨ ⎪⎩ y t=0 = d ' = 0

y
=
v0
sin θ
t

1 2
gt 2
5
结论:不同的初始条件 ⇒ 不同的运动状态,但都服从
牛顿第二定律。
综上所述,定解问题的完整提法: 在给定的边界条件和初始条件下,根据已知的物理
规律,解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z) 和时刻t怎样变化,即求u(x,y,z,t)。
20
(3) 第三类边界条件:给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例:杆在x=0端固定,在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力,其边界条件为

数学物理方程总复习

数学物理方程总复习

⎤ ⎥⎦

ρ
gdx

ρ
∂ 2u ( x, ∂t 2
t)
dx
T
⎡ ⎢⎣
∂u(x + dx,t) ∂x

∂u( x, t ) ∂x
⎤ ⎥⎦

ρ
gdx

ρ
∂ 2u( x, t ) ∂t 2
dx
∂u ( x,t )
由于x产生dx的变化而引起的 用微分近似代替,即
∂x
的改变量,可
∂u(x + dx,t) ∂x
现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况
由于假定弦是柔软的,所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。
t时刻 位移NM记作u u(x,t)
弧段 Mq M ' 两端
所受的张力记作T,T’
根据牛顿第二定律 F = ma
在x轴方向弧段 Mq M ' 受力的总和为
T 'cos a '− T cos a = 0
行的外力,且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t),
显然
T 'cos a '− T cos a = 0
Fds

T
sin
a
+
T
'
sin
a
'−
ρ
gds

ρ
ds
∂2u ∂t 2
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x, t )
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
dx

数学物理方程小结

数学物理方程小结

解 法 二 : Fourier Fourier 法
数学物理方程小结
1.6‘定解问题
utt − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = 0 (−∞ < x < +∞)
utt (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % Fourier变换 % Fourier % % 定解问题: u (λ , 0) = ϕ (λ ), ut (λ , 0) = 0 %
方程具有傅立叶正弦级数解
nπ x u ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1

nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ An cos + Bn sin sin l l l n =1

数学物理方程小结
1.2定解问题
utt − a 2u xx = 0 u x (0, t ) = 0, u x (l , t ) = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), u ( x, 0) = ψ ( x) (0 < x < l ) t
数学物理方程小结
解 法 二 : Fourier Fourier 变 换 法 2.6’定解问题
ut − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), (−∞ < x < +∞)
Fourier 定解问题 解 Fourier
ut (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % % % % u (λ , 0) = ϕ (λ ),
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数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020浙江理工大学数学系第一章:偏微分方程的基本概念偏微分方程的一般形式:2211(,,,,,,)0n uu u F x u x x x ∂∂∂=∂∂∂ 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量,12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数偏微分方程的分类:线性PDE 和非线性PDE ,其中非线性PDE 又分为半线性PDE ,拟线性PDE 和完全非线性PDE 。

二阶线性PDE 的分类(两个自变量情形):2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂ (一般形式 记为 PDE (1))目的:可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部,从而据此分类(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩非奇异 0x yx yξξηη≠根据复合求导公式最终可得到:2221112222220u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂其中: 考虑22111222()2()0z z z za a a x x y y∂∂∂∂++=∂∂∂∂如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,)(,)x y x y ξφηψ=⎧⎨=⎩ 从而有11220A A ==在这里要用到下面两个引理: 引理1:假设(,)z x y φ=是方程22111222()2()0z z z z a a a x x y y∂∂∂∂++=∂∂∂∂ (1)的特解,则关系式(,)x y C φ=是常微分方程:22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= (2)的一般积分。

主引理2:假设(,)x y C φ=是常微分方程(2)的一般积分,则函数(,)z x y φ=是(1)的特解。

由此可知,要求方程(1)的解,只须求出常微分方程(2)的一般积分。

常微分方程(2)为PDE (1)的特征方程,(1)的积分曲线为PDE (1)的特征曲线。

22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+=11dydx= 记2121122(,)x y a a a ∆=- 则: 一维的波动方程:22222(,)(0,0)u u a f x t x L t t x ∂∂=+<<>∂∂一维的热传导方程222(,)(0,0)u u a f x t x L t t x ∂∂=+<<>∂∂高维的情况只需要把22ux∂∂改为laplace 的形式即可。

数学物理方程(泛定方程)加上相应的定解条件就构成了定界问题。

根据定解条件的不同,又可以把定解问题分为三类:初值问题(Dirichlet ):定解条件仅有初值条件 边值问题(Neumann ):定解条件仅有边值条件混合问题(Rbin BC ):定解条件有初值条件也有边值条件数学物理方程的解:如果一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数,并且带入数学物理方程使方程成为等式,称此函数为在该取值区域方程的解。

定界问题的适定性:如果一个定解为题的解存在,唯一且稳定,就称这个定界问题是适定的;反之,若有一个性质不满足,则称这个定界问题是不适定的。

所谓界存在,是指定解问题至少有一个解。

如果一个定界问题的解不存在,这个问题就完全失去了意义,但定界问题反应的是客观物理实际,在实际问题中解释存在的。

若定解问题的解不存在,说明所建立的定界问题是错误的,可能是在推导过程中有非次要因素被忽略掉了,导致泛定方程错误,还有可能定解条件给错了等。

这就需要重新考虑定解问题的提法。

解的唯一性从物理意义上讲是显然的,如果解存在但不唯一,将无法确定所求解是否是所需要的,当然也无法求近似解。

这表明问题的提法还不够确切,需要进一步分析。

所谓解的稳定性,是指当定解问题有微小变动时,解是否相应地有微小的变动,如果是这样,该解就是稳定的解;否则所得的解就没有实用价值,因为定解条件通常是利用实验方法所获得的,因而所得到的结果有一定的误差,如果因此导致解的变动很大,那么这种解显然不符合客观实际的要求。

而我们多学的定解问题都是经典问题,他们的适定性都是经过证明了的。

第二章:分离变量法分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分离开来,从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程;2、运用线性叠加原理,将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程;3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法,求出各个方程的通解;4、最后将这些通解“组装”起来。

分离变量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。

主要根据的理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。

最核心的思想是将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解。

下面就有界弦的自由振动的定解问题讨论观察注意其特点是: 方程齐次, 边界齐次.端点会引起波的反射,弦有限长,波在两端点之间往返反射。

两列反向行进的同频率的波形成驻波。

驻波的特点: (1) 没有波形的传播,即各点振动相位与位置无关,按同一方式随时间振动,可统一表示为()T t (2) 各点振幅随点而异,而与时间无关,用 X(x) 表示,所以驻波可用 ()()X x T t 表示设(,)()()u x t X x T t =且(,)u x t 不恒为零,带入方程和边界条件中得到''2''0XT a X T -=⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)由于(,)u x t 不恒为零,有:''''2()()()()X x T t X x a T t λ==-''()()0X x X x λ+=(2)2''()()0................T t a T t λ+=(3)利用边界条件:(0)()0()()0X T t X l T t =⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨=⎩(4) ''0(0)0,()0X X X X l λ⎧+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨==⎩(5) 参数λ成为特征值。

函数()X x 成为特征函数下面分三种情况讨论特征值问题 (i )0λ<方程的通解为12()X x C C e=+由边值条件得12120C C C C e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C1 =C 2=0 从而 ()0,0X x λ≡<无意义(ii )=0λ方程的通解12()X x C x C =+同样的到()0X x ≡,=0λ无意义(iii )0λ>时,通解12()X x C C =+由边值条件得1200C C =⎧⎪⎨=⎪⎩ 得到20,C ≠从而0l =n π= 即222,12,3,n n lπλ==⋯⋯,而由于2()sin,1,2,n πX x C x n l==再求T :22"22()()0nn n T t a T t lπ+= 其解为:()cos sin n at n at n n n l l T t A B ππ=+所以(,)(cossin )sin 1,2,3,n at n at n xn n n ll l u x t A B n πππ=+=⋯根据叠加原理可以得到:1(,)(cos sin )sin n at n at n x n n l l l n u x t A B πππ∞==+∑定解问题的解是Fourier 正弦级数,这是在 x =0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。

解的物理意义(,)(cos sin )sinna t na t n x n n n l l lu x t A B πππ=+u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。

n =1的驻波称为基波,n>1的驻波叫做n 次谐波.注意:分离变量法适用范围:偏微分方程是线性齐次的,并且边界条件也是齐次的。

其求解的关键步骤:确定特征函数和运用叠加原理。

对于不同类型的定解条件做了如下总结齐次化原理:(Duhamel )设3{(,,):0,0}x t R x t τπτ∈<<>>上的函数(,,)U x t τ关于自变量x ,t 二次可微(,,)U x t τ连同关于x 和t 的一阶和二阶偏导数都对(,,)x t τ在3{(,,)x t R τ∈:0,0}x t πτ<<>>上连续,且(,,)U x t τ满足:则函数0(,)(,,)tu x t U x t d ττ=⎰是下面方程的解:1、圆域上的laplace 方程定界问题20 (0, 02)u r a φπ∆=<<<< 边界条件(,)() (02)u a f φφφπ=≤≤想法是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标。

挖掘边界条件: r 的边界是0和a, j 的边界是0和2π.自然边界条件(0,)u φ=有限值,周期边界条件:(,0)(,2)u r u r π=,分离变量令()()u R r φ=Φ,带入极坐标Laplace 方程:222110u ur r r r r φ∂∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂∂⎝⎭得到:2r d rdR m R dr dr ''Φ⎛⎫=-⋅=- ⎪Φ⎝⎭ 于是可以化为下面两个常微分方程:20, (0)(2) (1)m π''Φ+Φ=Φ=Φ220(2)r R rR m R '''+-=、求解式(1)的本征函数得到:()cos()sin() (0,1,2,)m m A m B m m φφφΦ=+=在求解(2)式,形式上是欧拉方程,因此可以通过ln t r =来进行代换,得: 因此式(2)化简为:2()()0R t m R t ''-=它的通解是: m=0时,000()ln R t C D r =+ m ≠0时,()m m m m m R t C r D r -=+由自然边界条件“u(0,j)=有限值“ 可知0D =0和m D =0.所以,原Laplace 方程的通解为:01(,)(cos sin )m m m m u r A A m B m r φφφ∞==++∑再代入边界条件:(,)() (02)u a f φφφπ=≤≤01()(cos sin )m m m m f A A m B m a φφφ∞==++∑上式实际上就是f(j)的傅立叶级数展开式,所以待定系数可以确定: 2001()2A f d πξξπ=⎰二维Laplace 方程的一般解为:()()001(,)ln cos sin m m m m m m m u r C D r C r D r A m B m φφφ∞-==++++∑1)如果考虑圆内问题则其解为:()0(,)cos sin m m m m u r A m B m r φφφ∞==+∑2)如果考虑圆外问题则其解为:()0(,)cos sin m m m m u r A m B m r φφφ∞-==+∑3)如果考虑是圆环问题,则其解为一般解,其中的系数由边界条件确定。

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