卡尔曼滤波器的推导及工作流程
卡尔曼滤波五个公式推导过程
卡尔曼滤波五个公式推导过程1.系统的状态方程假设我们有一个线性动态系统，可以用如下的状态方程来描述：x(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)+w(k-1)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入变量矩阵，u(k-1)是输入变量向量，w(k-1)是过程噪声。
2.系统的测量方程假设我们的系统是通过一些传感器进行测量的，测量结果表示为：z(k)=Hx(k)+v(k)其中，z(k)是系统的测量向量，H是观测矩阵，v(k)是测量噪声。
3.状态估计的预测根据系统的状态方程，我们可以预测系统在下一个时刻的状态。
预测的结果表示为：x^(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)其中，x^(k)表示状态的预测向量。
4.测量更新在得到测量结果后，我们可以根据测量更新系统的状态估计。
计算出的状态估计称为卡尔曼增益。
卡尔曼增益的计算公式如下：K(k)=P^(k)H^T(HP^(k)H^T+R)^-1其中，P^(k)是状态协方差的预测值，R是测量噪声的协方差。
5.状态估计的更新通过卡尔曼增益，我们可以计算出最终的状态估计。
状态估计的更新公式如下：x(k)=x^(k)+K(k)(z(k)-Hx^(k))P(k)=(I-K(k)H)P^(k)其中，I是单位矩阵，P(k)是状态协方差的最优估计。
以上就是卡尔曼滤波的五个公式的推导过程。
通过这五个公式，我们可以根据系统的状态方程和测量方程，利用预测和更新步骤，得到最优的状态估计结果。
卡尔曼滤波在各个领域都有广泛的应用，如目标跟踪、定位导航等。
卡尔曼滤波及其算法实现
卡尔曼滤波及其算法实现一、卡尔曼滤波原理1.预测步骤：根据系统的动态模型，以当前时刻的状态估计值为输入，预测下一时刻的状态估计值，同时计算预测误差的协方差矩阵。
2.更新步骤：根据测量模型，将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式获得更新后的状态估计值，同时计算更新后的状态估计误差的协方差矩阵。
通过不断交替进行预测和更新步骤，卡尔曼滤波可以逐渐优化状态估计值，提供对真实状态的更准确估计。
二、卡尔曼滤波算法实现1.初始化：初始化状态估计值和协方差矩阵。
通常将状态估计值初始化为系统的初始状态，协方差矩阵初始化为一个较大的对角矩阵。
2.预测步骤：通过动态模型预测下一时刻的状态估计值和协方差矩阵。
这可以通过以下几个步骤实现：a.预测状态估计值：使用系统的动态模型和当前时刻的状态估计值，进行状态演化预测。
b.预测误差协方差：使用系统的动态模型和当前时刻的协方差矩阵，计算状态估计误差的协方差矩阵。
c.状态类比噪声：加入过程噪声，以考虑由于系统建模不完备引入的不确定性。
3.更新步骤：根据测量模型，将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式获得更新后的状态估计值和协方差矩阵。
这可以通过以下几个步骤实现：a.计算卡尔曼增益：使用预测误差协方差矩阵和测量模型的噪声协方差矩阵，计算卡尔曼增益。
卡尔曼增益表示预测误差与测量误差之间的权衡关系。
b.更新状态估计值：使用卡尔曼增益和测量偏差，通过加权平均的方式更新状态估计值。
c.更新误差协方差矩阵：使用卡尔曼增益和测量模型的噪声协方差矩阵，通过加权平均的方式更新预测误差的协方差矩阵。
通过不断交替进行预测和更新步骤，可以得到连续的状态估计值和协方差矩阵，用于对真实状态的估计。
总结：卡尔曼滤波是一种基于概率统计的动态系统估计算法，通过预测和更新步骤，逐渐优化对系统状态的估计。
实际应用中，还可以通过扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter）等方法来处理非线性系统和非高斯噪声，提高滤波的效果。
卡尔曼滤波的基本原理
卡尔曼滤波的基本原理1. 任务名称卡尔曼滤波的基本原理2. 引言卡尔曼滤波是一种用于估计动态系统状态的方法，它通过融合系统测量和模型预测的信息，提供对系统状态的最优估计。
该滤波器在众多领域，如导航、信号处理、机器人技术等方面得到了广泛应用。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的基本原理及其应用。
3. 卡尔曼滤波器的算法卡尔曼滤波器的算法主要由两个步骤组成：预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，根据系统的动力学模型，利用上一时刻的状态估计和模型进行预测；在更新步骤中，根据测量值和预测值之间的差异，对状态进行修正。
3.1 预测步骤预测步骤中，卡尔曼滤波器通过状态转移矩阵和控制向量对上一时刻的状态估计进行预测。
预测的状态向量可由以下公式表示：x k=Fx k−1+Bu k其中，x k表示当前时刻的状态估计，x k−1表示上一时刻的状态估计，F表示状态转移矩阵，B表示控制向量，u k表示当前时刻的控制输入。
预测的协方差矩阵可由以下公式表示：P k=FP k−1F T+Q其中，P k表示当前时刻的协方差矩阵，P k−1表示上一时刻的协方差矩阵，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
3.2 更新步骤更新步骤中，卡尔曼滤波器将测量值与预测值进行比较，通过计算卡尔曼增益，对预测的状态进行修正。
卡尔曼增益的计算公式如下所示：K k=P k H T(HP k H T+R)−1其中，K k表示卡尔曼增益，H表示测量矩阵，R表示测量噪声的协方差矩阵。
修正后的状态向量可由以下公式表示：x k=x k+K k(y k−Hx k)修正后的协方差矩阵可由以下公式表示：P k=(I−K k H)P k3.3 初始化在使用卡尔曼滤波器之前，需要对状态向量和协方差矩阵进行初始化。
通常情况下，初始状态向量和协方差矩阵可通过经验估计或历史数据进行初始化。
4. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器具有很广泛的应用领域，下面将介绍其中几个典型的应用。
4.1 导航在导航领域，卡尔曼滤波器常用于姿态估计、位置估计和速度估计等方面。
Kalman滤波原理及程序(指导手册)
Kalman 滤波原理及程序(手册)KF/EKF/UKF 原理+应用实例+MATLAB 程序本手册的研究内容主要有Kalman 滤波，扩展Kalman 滤波，无迹Kalman 滤波等，包括理论介绍和MATLAB 源程序两部分。
本手册所介绍的线性滤波器，主要是Kalman 滤波和α-β滤波，交互多模型Kalman 滤波，这些算法的应用领域主要有温度测量、自由落体，GPS 导航、石油地震勘探、视频图像中的目标检测和跟踪。
EKF 和UKF 主要在非线性领域有着重要的应用，目标跟踪是最主要的非线性领域应用之一，除了讲解目标跟踪外，还介绍了通用非线性系统的EKF 和UKF 滤波处理问题，相信读者可以通过学习本文通用的非线性系统，能快速掌握EKF 和UKF 滤波算法。
本文所涉及到的每一个应用实例，都包含原理介绍和程序代码（含详细的中文注释）。
一、四维目标跟踪Kalman 线性滤波例子在不考虑机动目标自身的动力因素，将匀速直线运动的船舶系统推广到四维，即状态[]T k yk y k xk x k X )()()()()( =包含水平方向的位置和速度和纵向的位置和速度。
则目标跟踪的系统方程可以用式（3.1）和（3.2）表示，)()()1(k u k X k X Γ+Φ=+（2-4-9）)()()(k v k HX k Z +=（2-4-10）其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Φ10001000010001T T ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΓT T TT 05.00005.022，TH ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100001，Tyy x x X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x Z ，u ,v 为零均值的过程噪声和观测噪声。
T 为采样周期。
为了便于理解，将状态方程和观测方程具体化：)(05.00005.0)1()1()1()1(10001000010001)()()()(1222k w T TT T k y k y k x k x T Tk yk y k x k x ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ )()()()()(01000001)()(12k v k y k y k x k x k y k x Z ⨯+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 假定船舶在二维水平面上运动，初始位置为（-100m,200m ），水平运动速度为2m/s ，垂直方向的运动速度为20 m/s ，GPS 接收机的扫描周期为T=1s ，观测噪声的均值为0，方差为100。
卡尔曼滤波算法的程序实现和推导过程汇编
卡尔曼滤波算法的程序实现和推导过程---蒋海林（QQ：280586940）---卡尔曼滤波算法由匈牙利裔美国数学家鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Emil Kalman）创立，这个数学家特么牛逼，1930年出生，现在还能走能跳，吃啥啥麻麻香，但他的卡尔曼滤波算法已经广泛应用在航空航天，导弹发射，卫星在轨运行等很多高大上的应用中。
让我们一边膜拜一边上菜吧，下面就是卡尔曼滤波算法的经典程序，说是经典，因为能正常运行的程序都长得差不多，在此向原作者致敬。
看得懂的，帮我纠正文中的错误；不太懂的，也不要急，让我慢慢道来。
最后希望广大朋友转载时，能够保留我的联系方式，一则方便后续讨论共同进步，二则支持奉献支持正能量。
void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel)///角速度，加速度{///陀螺仪积分角度（先验估计）Angle_Final = Angle_Final + (Gyro - Q_bias) * dt;///先验估计误差协方差的微分Pdot[0] = Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0];Pdot[1] = - PP[1][1];Pdot[2] = - PP[1][1];Pdot[3] = Q_gyro;///先验估计误差协方差的积分PP[0][0] += Pdot[0] * dt;PP[0][1] += Pdot[1] * dt;PP[1][0] += Pdot[2] * dt;PP[1][1] += Pdot[3] * dt;///计算角度偏差Angle_err = Accel - Angle_Final;///卡尔曼增益计算PCt_0 = C_0 * PP[0][0];PCt_1 = C_0 * PP[1][0];E = R_angle + C_0 * PCt_0;K_0 = PCt_0 / E;K_1 = PCt_1 / E;///后验估计误差协方差计算t_0 = PCt_0;t_1 = C_0 * PP[0][1];PP[0][0] -= K_0 * t_0;PP[0][1] -= K_0 * t_1;PP[1][0] -= K_1 * t_0;PP[1][1] -= K_1 * t_1;Angle_Final += K_0 * Angle_err; ///后验估计最优角度值Q_bias += K_1 * Angle_err; ///更新最优估计值的偏差Gyro_Final = Gyro - Q_bias; ///更新最优角速度值}我们先把卡尔曼滤波的5个方程贴上来：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……… (1)//先验估计 P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A ’+Q ……… (2)//协方差矩阵的预测Kg(k)= P(k|k-1) H ’ / (H P(k|k-1) H ’ + R) ……… (3)//计算卡尔曼增益 X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k) - H X(k|k-1)) ……… (4)通过卡尔曼增益进行修正 P(k|k)=（I-Kg(k) H ）P(k|k-1) ……… (5)//更新协方差阵这5个方程比较抽象，下面我们就来把这5个方程和上面的程序对应起来。
卡尔曼滤波方程的推导
Kalman 增益推导： Kalman 滤波器是一个最小均方误差估计器，先验状态误差估计可表示为
ˆ ( k | k )，我们最小化这个矢量幅度平方的期望值 E X (k ) X ˆ (k | k ) 2 ， X (k ) X
这等价于最小化后验估计协方差矩阵 P(k | k ) 的迹，通过展开合并 P(k | k ) 公式， 可得：
E[W (k )] 0或E[W (k )] W T E[W (k )W ( j )] Q(k ) kj E[V (k )] 0或E[V (k )] V T E[V (k )V ( j )] R(k ) kj
式（2）
1 (k j ) 其中 kj ，这里 Q(k ) 0 是激励噪声的一个 n n 维的协 0 ( k j )
我们通过式（11）求导的方式求得 P(k | k ) 的极值点：
tr ( P(k | k )) 2[ H (k ) P(k | k 1)]T 2 K (k ) S (k ) 0 ( K (k )) 注：这里协方差矩阵式对称矩阵 K (k ) P(k | k 1) H T (k ) S 1 (k )
1、 随机线性离散系统的状态方程和观测方程为：
X (k ) (k , k 1) X (k 1) B(k , k 1)U (k 1) (k , k 1)W (k 1) Z (k ) H (k ) X (k ) V (k )
式(1)
式中状态向量 X (k ) R n ，观测矢量 Z (k ) R m ，随机过程噪声 W (k ) R r ，随 机观测噪声 V (k ) R m ，状态转移矩阵 (k , k 1) R nn ，过程噪声输入矩阵
卡尔曼滤波器基本方程推导过程
卡尔曼滤波器基本方程推导过程卡尔曼滤波器基本方程推导过程主要涉及状态方程、观测方程、卡尔曼增益和状态估计等内容。
卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的递归滤波器，能够通过利用系统的动态模型和测量数据来实现对状态的最优估计。
首先，我们需要定义系统的状态方程和观测方程。
系统的状态方程可以用如下一阶线性动态系统表示：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k)其中，x(k)为系统状态向量，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，u(k)为系统输入，w(k)为过程噪声。
系统的状态方程描述了系统状态如何随时间演化。
系统的观测方程可以用如下线性观测系统表示：z(k) = Hx(k) + v(k)其中，z(k)为观测值，H为观测矩阵，v(k)为观测噪声。
观测方程描述了系统状态如何被观测到。
接下来，我们可以通过最小二乘法来推导卡尔曼滤波器的基本方程。
我们的目标是最小化状态估计值和真实状态之间的均方误差。
首先，定义状态估计误差为：e(k) = x(k) - x^(k)其中，x^(k)为状态估计值。
状态估计误差的动态方程为：e(k+1) = x(k+1) - x^(k+1) = (A-KH)e(k) + w(k) - Kh(k) + v(k)其中，K为卡尔曼增益。
接着，我们可以通过最小化状态估计误差的方差来推导卡尔曼增益的表达式。
最小化状态估计误差的方差可得到卡尔曼增益的计算公式：K = P*H^T(HP*H^T + R)^-1其中，P为状态估计误差的协方差矩阵，R为观测噪声的协方差矩阵。
卡尔曼增益的计算公式描述了如何根据系统的动态模型和测量数据来进行状态估计。
最后，我们可以通过状态估计误差的动态方程和卡尔曼增益的计算公式来得到卡尔曼滤波器的状态估计方程：x^(k+1) = (A-KH)x^(k) + KH(z(k) - Hx^(k))P(k+1) = (I-KH)P(k)(I-KH)^T + KRK^T其中，I为单位矩阵，P为状态估计误差的协方差矩阵。
卡尔曼滤波器公式推导
卡尔曼滤波器公式推导卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的优秀方法，它结合了系统的动力学模型和测量数据，能够提供精确的状态估计。
本文将以卡尔曼滤波器公式为基础，探讨其推导过程和应用。
我们需要明确卡尔曼滤波器的基本原理。
卡尔曼滤波器是一种递归算法，通过对系统状态进行预测和更新，不断修正估计值，从而实现对系统状态的精确估计。
其核心思想是将系统的动力学模型与测量数据进行融合，以获得更准确的状态估计。
卡尔曼滤波器的推导过程基于贝叶斯滤波理论，其中最重要的两个步骤是预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动力学模型，利用当前的状态估计和控制输入，推导出下一时刻状态的预测值。
而在更新步骤中，根据测量数据和预测值的差异，修正状态估计值，以获得更准确的状态估计。
卡尔曼滤波器的公式可以总结如下：1. 状态预测方程：x(k) = F * x(k-1) + B * u(k-1)其中，x(k)表示时刻k的状态向量，F表示状态转移矩阵，B表示控制输入矩阵，u(k-1)表示时刻k-1的控制输入。
2. 协方差预测方程：P(k) = F * P(k-1) * F' + Q其中，P(k)表示时刻k的状态协方差矩阵，Q表示过程噪声协方差矩阵。
3. 测量预测方程：y(k) = H * x(k)其中，y(k)表示时刻k的测量向量，H表示测量矩阵。
4. 卡尔曼增益方程：K(k) = P(k) * H' * (H * P(k) * H' + R)^(-1)其中，K(k)表示时刻k的卡尔曼增益矩阵，R表示测量噪声协方差矩阵。
5. 状态更新方程：x(k) = x(k) + K(k) * (y(k) - H * x(k))其中，x(k)表示时刻k的状态向量，y(k)表示时刻k的测量向量。
6. 协方差更新方程：P(k) = (I - K(k) * H) * P(k)其中，P(k)表示时刻k的状态协方差矩阵，I表示单位矩阵。
通过以上公式，我们可以看出卡尔曼滤波器的推导过程是基于系统的动力学模型和测量数据进行的。
卡尔曼滤波详细推导
卡尔曼滤波详细推导《卡尔曼滤波详细推导》引言卡尔曼滤波是一种用于估计动态系统状态的强大方法。
它基于贝叶斯定理和最小均方差原则，能够精确估计系统的状态，并优化其预测性能。
本文将详细推导卡尔曼滤波的过程和数学原理。
一、基本假设在卡尔曼滤波中，我们做出以下假设：1. 系统是线性的：状态转移方程和观测方程都是线性的。
2. 噪声是高斯且互相独立的：过程噪声和观测噪声都是高斯分布的，并且彼此之间互相独立。
二、状态空间模型状态空间模型是卡尔曼滤波的基本框架，它由状态转移方程和观测方程组成。
假设我们的系统有n个状态变量和m个观测变量，则状态转移方程和观测方程可以分别表示为：状态转移方程：x_k = A_k-1 * x_k-1 + B_k-1 * u_k-1 + w_k-1观测方程：z_k = H_k * x_k + v_k其中，x_k表示系统在时刻k的状态向量，A_k-1是状态转移矩阵，B_k-1是输入矩阵，u_k-1是外部输入向量，w_k-1是过程噪声向量。
z_k表示时刻k的观测向量，H_k是观测矩阵，v_k是观测噪声向量。
三、卡尔曼滤波的递推步骤卡尔曼滤波主要包含两个步骤：预测步骤和更新步骤。
预测步骤：1. 预测状态：根据上一时刻的状态估计和状态转移方程，计算当前时刻的状态的预测值：x_k|k-1 = A_k-1 * x_k-1|k-1 + B_k-1 * u_k-12. 预测误差协方差：根据上一时刻的状态估计的误差协方差和系统噪声，计算当前时刻状态的预测误差协方差：P_k|k-1 = A_k-1 * P_k-1|k-1 * A_k-1^T + Q_k-1更新步骤：1. 计算观测残差：根据观测方程和当前时刻的观测值，计算观测向量的预测值与观测向量之间的残差：y_k = z_k - H_k * x_k|k-12. 计算预测残差协方差：根据预测误差协方差和观测噪声，计算预测残差的协方差矩阵：S_k = H_k * P_k|k-1 * H_k^T + R_k3. 计算卡尔曼增益：根据预测残差协方差和观测残差，计算卡尔曼增益的矩阵形式：K_k = P_k|k-1 * H_k^T * S_k^-14. 更新状态估计：根据预测状态和卡尔曼增益，计算更新的状态估计：x_k|k = x_k|k-1 + K_k * y_k5. 更新误差协方差：根据卡尔曼增益，计算更新的误差协方差矩阵：P_k|k = (I - K_k * H_k) * P_k|k-1四、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波广泛应用于各种需要状态估计的领域。
卡尔曼滤波算法原理及应用
卡尔曼滤波算法原理及应⽤卡尔曼滤波是⼀种⾼效率的递归滤波器，它能够从⼀系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。
卡尔曼滤波在技术领域有许多的应⽤，常见的有飞机及太空船的导引、导航及控制。
卡尔曼算法主要可以分为两个步骤进⾏：预测和更新。
基于最⼩均⽅误差为最佳估计准则，利⽤上⼀时刻的估计值和状态转移矩阵进⾏预测，⽤测量值对预测值进⾏修正，得到当前时刻的估计值。
卡尔曼算法公式预测：1. ˆs(n |n −1)=A ˆs (n −1|n −1)2. P (n )=A ξ(n −1)A T +Q 更新：3. G (n )=P (n )C T [CP (n )C T +R ]−14. ξ(n )=(I −G (n )C )P (n )5. ˆs(n |n )=ˆs (n |n −1)+G (n )[x (n )−C ˆs (n |n −1)]利⽤上⾯五个式⼦可以递推得到状态的估计值ˆs (n |n )。
⽂章的组织如下：1.基本模型及假设2.卡尔曼算法原理及推导3.卡尔曼滤波算法举例4.Matlab 程序1.基本模型与假设状态⽅程（描述物体运动状态）s (n )=As (n −1)+w (n )测量⽅程（利⽤探测器等器件获取物体状态参数）x (n )=Cs (n )+v (n )其中w (n )为过程噪声，v (n )为测量噪声。
假设：w (n )，v (n )，为独⽴零均值的⽩噪声过程，即E [w (n )w T (k )]=Q (n ),n =k 0,n ≠k E [v (n )v T (k )]=R (n ),n =k 0,n ≠kv (n )和s (n )、w (n )不相关，即E [v (n )s (n )]=0E [v (n )w (n )]=02.卡尔曼算法原理及推导基于最⼩均⽅误差准则，通过观测值x (n )求真实信号s (n )的线性⽆偏最优估计。
已知上⼀时刻的估计值ˆs(n −1|n −1)利⽤状态⽅程对s (n )进⾏预测，最佳预测为{{ˆs(n|n−1)=Aˆs(n−1|n−1)利⽤测量⽅程对x(n)进⾏预测，最佳预测为ˆx(n|n−1)=Cˆs(n|n−1)=CAˆs(n−1|n−1)噪声不参与预测。
卡尔曼滤波原理及其应用
卡尔曼滤波卡尔曼滤波公式推导及应用摘要：卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm(最优化自回归数据处理算法)”。
它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统状态。
对于解决大部分问题，它是最优、效率最高甚至是最有用的。
它的的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航、控制，传感器数据融合甚至在局势方面的雷法系统及导航追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
关键字：卡尔曼滤波导航机器人一Kalmanl滤波器本质上来讲，滤波就是一个信号处理与变换（去除或减弱不想要的成分，增强所需成分）的过程，这个过程既可以通过硬件来实现，也可以通过软件来实现。
卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，基本思想是：以最小均方差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方差的估计。
二Kalman滤波起源及发展1960年，匈牙利数学家卡尔曼发表了一篇关于离散数据线性滤波递推算法的论文，这意味着卡尔曼滤波的诞生。
斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器，卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)、Kalman (1960)与Kalman and Bucy (1961)发表.卡尔曼滤波是一种有着相当广泛应用的滤波方法，但它既需要假定系统是线性的，又需要认为系统中的各个噪声与状态变量均呈高斯分布，而这两条并不总是确切的假设限制了卡尔曼滤波器在现实生活中的应用。
扩展卡尔曼滤波器（EKF）极大地拓宽了卡尔曼滤波的适用范围。
卡尔曼滤波器推导
卡尔曼滤波器推导卡尔曼滤波器是一种使用线性状态空间模型进行状态估计的滤波器。
它在控制系统、导航系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
本文将对卡尔曼滤波器的推导进行详细介绍。
首先，需要明确卡尔曼滤波器的基本思想和假设。
卡尔曼滤波器假设系统模型是线性的，且系统的噪声服从高斯分布。
滤波器的目标是通过测量值和模型来估计系统的状态，以实现对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器通过最小化估计误差的方差得到最优估计。
假设有一个线性状态空间模型，可以表示为：x(k) = A * x(k-1) + B * u(k-1) + w(k-1)z(k) = H * x(k) + v(k)其中，x(k)为系统在时刻k的状态向量，A为状态转移矩阵，B为外部输入矩阵，u(k)为外部输入向量，w(k-1)为状态转移噪声向量，z(k)为测量值向量，H为测量矩阵，v(k)为测量噪声向量。
卡尔曼滤波器的推导可以分为两个主要步骤：预测和更新。
1. 预测步骤：卡尔曼滤波器的预测步骤是基于上一个时刻的状态估计和状态转移模型来预测当前时刻的状态估计。
预测的目标是计算预测状态估计x_hat(k|k-1)和预测状态协方差矩阵P(k|k-1)。
预测状态估计：x_hat(k|k-1) = A * x_hat(k-1|k-1) + B * u(k-1)预测状态协方差：P(k|k-1) = A * P(k-1|k-1) * A^T + Q其中，x_hat(k-1|k-1)和P(k-1|k-1)为上一个时刻的状态估计和状态协方差矩阵，Q为状态转移噪声的协方差矩阵。
2. 更新步骤：卡尔曼滤波器的更新步骤是基于预测和测量值来计算当前时刻的最优状态估计和状态协方差矩阵。
更新的目标是计算最优状态估计x_hat(k|k)和最优状态协方差矩阵P(k|k)。
创新（测量残差）：y(k) = z(k) - H * x_hat(k|k-1)创新协方差：S = H * P(k|k-1) * H^T + R卡尔曼增益：K = P(k|k-1) * H^T * S^(-1)最优状态估计：x_hat(k|k) = x_hat(k|k-1) + K * y(k)最优状态协方差：P(k|k) = (I - K * H) * P(k|k-1)其中，z(k)为测量值，R为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波算法示例解析与公式推导
本文将对卡尔曼滤波算法进行示例解析与公式推导，帮助读者更好地理解该算法的原理和应用。
文章将从以下几个方面展开：一、卡尔曼滤波算法的概念卡尔曼滤波算法是一种用于估计动态系统状态的线性无偏最优滤波算法。
它利用系统的动态模型和观测数据，通过迭代更新状态估计值，实现对系统状态的精确估计。
卡尔曼滤波算法最初是由美国工程师鲁道夫·卡尔曼在20世纪60年代提出，随后得到了广泛的应用和研究。
二、卡尔曼滤波算法的原理1. 状态空间模型在卡尔曼滤波算法中，系统的动态模型通常用状态空间模型表示。
状态空间模型由状态方程和观测方程组成，其中状态方程描述系统的演化规律，观测方程描述观测数据与状态之间的关系。
通过状态空间模型，可以对系统的状态进行预测，并与观测数据进行融合，从而估计系统的状态。
2. 卡尔曼滤波的预测与更新卡尔曼滤波算法以预测-更新的方式进行状态估计。
在预测阶段，利用系统的动态模型和之前时刻的状态估计值，对当前时刻的状态进行预测；在更新阶段，将预测值与观测数据进行融合，得到最优的状态估计值。
通过迭代更新，可以不断优化对系统状态的估计，实现对系统状态的精确跟踪。
三、卡尔曼滤波算法的示例解析以下通过一个简单的例子，对卡尔曼滤波算法进行具体的示例解析，帮助读者更好地理解该算法的应用过程。
假设有一个匀速直线运动的物体，其位置由x和y坐标表示，观测到的位置数据带有高斯噪声。
我们希望利用卡尔曼滤波算法对该物体的位置进行估计。
1. 状态空间模型的建立我们建立物体位置的状态空间模型。
假设物体在x和y方向上的位置分别由状态变量x和y表示，动态模型可以用如下状态方程描述：x(k+1) = x(k) + vx(k) * dty(k+1) = y(k) + vy(k) * dt其中，vx和vy分别为x和y方向的速度，dt表示时间间隔。
观测方程可以用如下形式表示：z(k) = H * x(k) + w(k)其中，z(k)为观测到的位置数据，H为观测矩阵，w(k)为观测噪声。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
经典卡尔曼滤波算法公式
经典卡尔曼滤波算法公式卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的递归滤波器，被广泛应用于控制系统、定位导航等领域。
本文将介绍卡尔曼滤波算法的经典公式及其推导过程。
1.卡尔曼滤波算法介绍卡尔曼滤波算法以观测数据和系统模型为输入，通过递归地计算系统状态的最优估计值，并通过观测数据进行修正，得到真实状态的估计。
卡尔曼滤波算法基于以下两个假设：1)系统模型是线性的；2)系统噪声和观测噪声均为高斯分布。
2.卡尔曼滤波的数学模型假设我们的系统模型可以用如下状态方程表示：x(t+1)=A*x(t)+B*u(t)+w(t)---(1)其中，x(t)表示系统状态向量，u(t)表示控制输入向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，w(t)是状态噪声。
观测模型可以表示为：z(t)=H*x(t)+v(t)---(2)其中，z(t)是观测向量，H是观测矩阵，v(t)是观测噪声。
3.卡尔曼滤波算法的预测步骤预测步骤用于根据上一时刻的状态估计和控制输入，预测当前时刻系统的状态估计和协方差估计。
预测状态估计：x^(t)=A*x(t-1)+B*u(t-1)---(3)预测协方差估计：P^(t)=A*P(t-1)*A'+Q---(4)其中，x^(t)是预测的状态估计值，P^(t)是预测的协方差估计矩阵，Q是系统噪声的协方差矩阵。
4.卡尔曼滤波算法的更新步骤更新步骤利用观测数据来修正预测得到的状态估计。
计算卡尔曼增益：K(t)=P^(t)*H'*(H*P^(t)*H'+R)^(-1)---(5)其中，K(t)是卡尔曼增益，R是观测噪声的协方差矩阵。
更新状态估计：x(t)=x^(t)+K(t)*(z(t)-H*x^(t))---(6)更新协方差估计：P(t)=(I-K(t)*H)*P^(t)---(7)其中，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波算法的核心思想在于将多个时刻的信息进行融合，利用过去的状态估计和当前的观测数据来最优估计当前时刻的系统状态。
卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导
一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。
卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。
对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。
二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。
其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。
为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。
Kalman滤波的直接推导
Kalman 滤波的直接推导为了和大家更好的共同学习，这里稍稍整理了一下Kalman 滤波直接推导的过程和一些个人理解。
由于能力有限，难免会有误解之处，希望同学们可以不吝指正！在开始直接推导之前，我们需要关注几个非常重要的方程和性质。
我们设一个系统的下一个状态可以由前一个状态再外加一个噪声扰动得到。
即，可以获得如下系统的状态方程/1111k k k k k k X X W ----=Φ+Γ（equal1）式中的/1k k -Φ为1k t -时刻到k t 时刻的一步转移阵（所谓的一步转移阵就是反映下一时刻和上一时刻的变化关系），1k -Γ为系统的噪声驱动阵，1k W -为系统的激励噪声序列。
好了，现在我们知道了系统的状态方程。
那么我们怎么知道系统的状态的呢？这时我们就需要一个外部的检测设备，但是我们知道，检测设备检测的时候也会有噪声的干扰，那么，我们就将量测方程表现为下面这种形式：k k k k Z H X V =+（equal 2）式中的k Z 为k 时刻的测量值，k H 为量测阵，k V 为量测噪声序列，k X 为系统k 时刻的状态。
由于卡尔曼滤波要求所有的噪声干扰为高斯白噪声（所谓的高斯白噪声就是：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
可自行百度） 所以，上面的k V 和1k W -序列都要满足以下等式[]0,[,][,][]0,[,][,][,][,]0T k k j k j k kj T k k j k j k kj T k j k j E W Cov W W E W W Q E V Cov V V E V V R Cov W V E W V δδ⎫===⎪===⎬⎪==⎭（equal 3）好了，以上对于卡尔曼滤波直接推导的铺垫部分已经结束，接下来开始正式的直接推导过程。
在开始之前，我们需要认识一下著名的卡尔曼滤波五大基本方程（这个，如果真没办法，就只能背了！五个基本方程是卡尔曼滤波应用的核心，背下来还是益处多多的~~就不要偷懒了~~）它们分别是：1、状态一步预测方程：/1/11ˆˆk k k k k X X ---=Φ2、状态估计方程：/1/1ˆˆˆ()k k k k k k k k X X K Z H X --=+-3、滤波增益方程：1/1/1()T T k k k k k k k k k K P H H P H R ---=+4、一步预测均方误差方程：/1/11,1111T T k k k k k k k k k k P P Q -------=ΦΦ+ΓΓ5、估计均方误差方程：/1()()T T k k k k k k k k k k P I K H P I K H K R K -=--+（柴毅老师的ppt 中还列举了方程3，5的其他形式，这里暂不讨论，有兴趣的同学自行查阅资料~~）机智的编程大神应该已经发现，这方程这样写，顺序似乎有点问题啊。
卡尔曼滤波公式推导
卡尔曼滤波公式推导卡尔曼滤波器是一种基于最优估计的理论，用于对系统状态进行迭代更新的算法。
它被广泛应用于航空航天、自动化控制、信号处理、地球物理学、计算机视觉等领域。
下面将介绍卡尔曼滤波器的公式推导。
假设我们有一个线性系统，其状态空间模型为:$$x_t = f(t,x_{t-1},u_t) + v_t$$$$u_t = h(t,x_t) + w_t$$其中，$x_t$表示状态变量，$u_t$表示输入变量，$v_t$表示噪声变量，$f$和$h$是状态空间和输入空间的概率分布函数(PDF),$w_t$是输入变量的噪声变量。
假设我们有一个测量变量$y_t$,与状态变量$x_t$存在一定的关系，其模型为:$$y_t = g(t,x_t) + z_t$$其中，$y_t$表示测量变量，$z_t$表示噪声变量。
我们的目标是利用过去的测量值和当前的状态变量，估计出当前状态的最优值。
根据最优估计理论，我们可以通过迭代更新的方式来得到状态的最优估计值。
卡尔曼滤波器的基本原理是，利用系统的线性性质和测量模型，对状态变量进行递归估计，不断更新状态估计值，从而得到最优估计值。
具体来说，它通过两个步骤来实现状态估计的更新:1. 前向传播 (Forwardpropagation):根据当前状态的估计值和测量值，计算前向传播的结果。
具体来说，它计算出当前状态的前向传播值$x_t^f$,即:$$x_t^f = (f^Todot g^T)(t,x_t) + v_t$$其中，$odot$表示元素逐个相乘，$f^T$和$g^T$分别为状态空间和输入空间的转置矩阵。
2. 后向传播 (Backward propagation):根据前向传播的结果，计算后向传播的结果。
具体来说，它计算出当前状态的后向传播值$x_t^b$,即:$$x_t^b = (h^Todot f^T)(t,x_t) + w_t$$其中，$odot$表示元素逐个相乘，$h^T$为输入空间的转置矩阵。
卡尔曼滤波器原理详解
A· AT
Q
ˆk P
ˆk P
卡尔曼滤波
5
算法扩展 滤波器参数调整
在卡尔曼滤波器实际实现时，测量噪声R一般可以观 测得到，是滤波器的已知条件。观测测量噪声协方差 R可以通过离线试验获取。 而过程激励噪声协方差Q值比较难以确定，因为我们 无法直接观测到过程状态 xk 。有时候可以通过Q的 手动选择，人为的为过程“注入”一个足够的不确定 因素，来产生一个可以接受的结果。 也可以使用一个离线模拟滤波器与在线滤波器进行实 时对比的方式来实时优化滤波器的参数（Q和R）。 卡尔曼滤波
T ˆ ˆk )(I KkH ) Pk ( I KkH ) cov(xk x
Kk cov(vk ) Kk
T
卡尔曼滤波
3
算法推导
如果记
ˆk ˆk ) P cov(xk x
，则有：
T T ˆ ˆ Pk ( I KkH )Pk ( I KkH ) KkRKk
3.4
2、根据先验估计
这里的权重系数也成为卡尔曼增益。 至此卡尔曼滤波计算原型公式基本结束， 下面要确定出最优系数K和在最优系数下 的后验估计误差的协方差矩阵的递推方 法 权重 残差
卡尔曼滤波
3
算法推导
ˆk 推导后验协方差矩阵 P ˆ k 开始推导如下： 按照定义，我们从误差协方差 P
ˆ k cov(xk x ˆk ) P
ˆ k 趋向于零时，根据式3.2可知，Q=0 反之当 P
nx1
易知，此时系统完全抛弃测量值，取先验估计值 卡尔曼滤波
4
算法总结 算法描述
卡尔曼滤波器用反馈控制的方法估计过程状态。估计 过程某一时刻的状态，然后以（含噪声）测量值得方 式获得反馈，因此卡尔曼滤波器可以分为两个部分： 1、时间更新方程 负责向前推算当前状态向量和误差协方差估计的值， 为下一个时间状态构成先验估计。 2、测量更新方程 负责将先验估计和新的测量变量结合已构成改进后的 后验估计。 卡尔曼滤波
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将（3）式代入上述表达式，得到
将上述等式以卡尔曼滤波器状态转移方程的形式表示为：
其中， ，表示状态空间向量；
，是状态转移矩阵，由陀螺仪累积航向角度和前进速度的测量值实时更新；
， ，是状态转移方程的白噪声序列；系统过程噪声协方差矩阵为 ，用于表示状态转移方程的误差大小，本发明中 设定为常数矩阵，在仿真和实验过程中整定矩阵参数。
预测方程组为：
校正方程组为：
以GPS天线在大地导航坐标系下的定位坐标作为观测向量，结合坐标转换公式（1），得到卡尔曼滤波器的测量方程如下：
其中， ， ， ，
将（3）式代入（1）式，
=
， 表示OEM GPS板卡定位在水平面坐标系下的随机定位误差。测量向量的Fra bibliotek声方差矩阵为：
其中， ， 分别为 ， 的方差统计值。
综合上述推导，采用线性离散卡尔曼滤波器的递归差分方程进行状态向量预测和测量向量校正：
卡尔曼滤波器的推导及工作流程
设定k时刻拖拉机本体的真实航向角度为 ，拖拉机本体纵向方向上的真实前进速度是 ，拖拉机本体纵向方向上的真实加速度是 ，则
（3）
（）
（）
其中， 、 、 分别指航向角度、前进速度和加速度的测量值， 、 、 分别指航向角度、前进速度和加速度的测量偏差值， 、 、 分别指航向角度、前进速度和加速度的随机测量误差。
（2）
The definition used for 'Euler‐angles' here is equivalent to 'roll, pitch, yaw/heading' (also known as Cardan).The Euler‐angles are of XYZ Earth fixed type (subsequent rotation around global X, Y and Z axis, also known as aerospace sequence).From MTi manual.
假设AHRS测得的拖拉机三轴姿态角横滚角度、俯仰角度和航向角度分别为： ， ， ，则拖拉机车体坐标系下的空间矢量向大地导航坐标系转换的转换矩阵 为：
(1)
假设导航控制点到GPS天线的空间矢量在车体坐标系下的表达形式为 ，GPS天线在大地导航坐标系下的坐标为 ，导航控制点在大地导航坐标系下的坐标为 ，则有：