中学数学思维方法训练专题-分析与综合
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已知：橡树为A（-1，0），松树为 B（1，0）绞架为C， AD=2CA， yE
BC=CE，求DE的中点F。 F
-1
AO
C（绞架） 1
x
B
(橡树) (松树)
D
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解：设绞架C的坐标为(a,b)
CA=（-1，0）-（a,b)= (-1-a, -b)
yE
又AD=2CA =(-2-2a, -2b)
从前有个富于冒险精神的年轻人，在他的曾祖父的 遗物中发现了一张羊皮纸，上面记载了一项宝藏， 年轻人非常激动地读到：
第10页/共12页
第11页/共12页
感谢您的欣赏！
第12页/共12页
2、已知 f(x)=
那么
f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=___3____
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3、5个正方形组成一张十字形的纸，你能将它剪拼成 两个正方形吗？若能，怎样剪？
解:设剪拼成的两个正方形可看成 是一个长是宽2倍的长方形
长方形长为x,宽为 ,
原正方形的边长为a.
2002年高考文科第22题：
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（图1，图2）， 要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型，另一块剪拼成 一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线表示在 图中，并作简要说明；
图1
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图2
解：（Ⅰ）沿正三角形三边中点连线折起， 可拼得一正三棱锥；
取三角形三边之四等分点，过四等分点作边的垂线， 沿垂线剪下三个角， 余下部分沿三个边折起， 可剪拼成一个缺上底的正三棱柱，
而剪下的三个角恰好可拼成这个正三棱柱的上底。
图1Leabharlann Baidu
图2
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三、方法总结：
分析思维方法：分析在数学中特指从结果（结论）出发 追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。
结论
需知
条件
综合思维方法：综合是以已知性质和分析为基础的，从已 知出发逐步推求位未知的思考方法，即执果导因法。
条件
可知
第3页/共12页
结论
四、思维能力训练
1 、 集 合 A={a2,a+1,-3} ， B={a-3,2a-1} ， 若 A∩B={-3} ，
则a的值是（A ）
(Ａ)０ ( B)1 ( C)2 (D)3
∴x =5a2 ∴x2=10a2 =3a2+a2 所以只需沿十字形对角线裁剪即可
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五、知识拓展--------数学故事
“乘船至北伟…，西经…，即可找到一座荒岛，岛的北岸有一 大片草地，草地上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架，那 是我们过去用来吊死判变者的，从绞架走到橡树，并记住走了 多少步，继续朝前走刚才这么多步数的2倍，在这里打个桩，然 后回到松树那里，从松树走向绞架，同时记住所走的步数，到 了绞架那里，再继续朝前走这么多步，在这里打个桩，在两个 桩的正中挖掘，就可以找到宝藏了。”
设D点坐标为（ x,y） (x,y)-(-1,0)=(-2-2a, -2b)
C（绞架）
F -1
1
AO B
x
得D(-3-2a,-2b)
(橡树)
(松树)
同理得E点坐标为 D （2a-1,2b)
所以由中点坐标公式得F（-2，0）
这样就可找到宝藏。
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六、小结
1、掌握分析综合思维方法，逐步学会分析问题、解决问题、 提高问题的能力。
2、分析的思维方法的实质就是：正难则反。
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思考题： 如果给出的是一块任意三角形的纸片 （图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全 面积都与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼 方法，用虚线表示在图中，并作简要说明。
图（3）
第9页/共12页
（Ⅲ）剪拼的正三棱锥模型的推广，因为角平分线到两 边的距离相等，取任意三角形的内心，分别连结内心到 各顶点的三条线段，去三条线段的中点，过三点分别想 三边作垂线，沿垂线剪下三个角，余下部分沿三个边折 起；可剪拼成一个缺上底的直三棱柱，而剪下的三个角 恰好可拼成这个直三棱柱的上底。
BC=CE，求DE的中点F。 F
-1
AO
C（绞架） 1
x
B
(橡树) (松树)
D
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解：设绞架C的坐标为(a,b)
CA=（-1，0）-（a,b)= (-1-a, -b)
yE
又AD=2CA =(-2-2a, -2b)
从前有个富于冒险精神的年轻人，在他的曾祖父的 遗物中发现了一张羊皮纸，上面记载了一项宝藏， 年轻人非常激动地读到：
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感谢您的欣赏！
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2、已知 f(x)=
那么
f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=___3____
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3、5个正方形组成一张十字形的纸，你能将它剪拼成 两个正方形吗？若能，怎样剪？
解:设剪拼成的两个正方形可看成 是一个长是宽2倍的长方形
长方形长为x,宽为 ,
原正方形的边长为a.
2002年高考文科第22题：
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（图1，图2）， 要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型，另一块剪拼成 一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的 面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线表示在 图中，并作简要说明；
图1
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图2
解：（Ⅰ）沿正三角形三边中点连线折起， 可拼得一正三棱锥；
取三角形三边之四等分点，过四等分点作边的垂线， 沿垂线剪下三个角， 余下部分沿三个边折起， 可剪拼成一个缺上底的正三棱柱，
而剪下的三个角恰好可拼成这个正三棱柱的上底。
图1Leabharlann Baidu
图2
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三、方法总结：
分析思维方法：分析在数学中特指从结果（结论）出发 追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。
结论
需知
条件
综合思维方法：综合是以已知性质和分析为基础的，从已 知出发逐步推求位未知的思考方法，即执果导因法。
条件
可知
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结论
四、思维能力训练
1 、 集 合 A={a2,a+1,-3} ， B={a-3,2a-1} ， 若 A∩B={-3} ，
则a的值是（A ）
(Ａ)０ ( B)1 ( C)2 (D)3
∴x =5a2 ∴x2=10a2 =3a2+a2 所以只需沿十字形对角线裁剪即可
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五、知识拓展--------数学故事
“乘船至北伟…，西经…，即可找到一座荒岛，岛的北岸有一 大片草地，草地上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架，那 是我们过去用来吊死判变者的，从绞架走到橡树，并记住走了 多少步，继续朝前走刚才这么多步数的2倍，在这里打个桩，然 后回到松树那里，从松树走向绞架，同时记住所走的步数，到 了绞架那里，再继续朝前走这么多步，在这里打个桩，在两个 桩的正中挖掘，就可以找到宝藏了。”
设D点坐标为（ x,y） (x,y)-(-1,0)=(-2-2a, -2b)
C（绞架）
F -1
1
AO B
x
得D(-3-2a,-2b)
(橡树)
(松树)
同理得E点坐标为 D （2a-1,2b)
所以由中点坐标公式得F（-2，0）
这样就可找到宝藏。
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六、小结
1、掌握分析综合思维方法，逐步学会分析问题、解决问题、 提高问题的能力。
2、分析的思维方法的实质就是：正难则反。
第8页/共12页
思考题： 如果给出的是一块任意三角形的纸片 （图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全 面积都与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼 方法，用虚线表示在图中，并作简要说明。
图（3）
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（Ⅲ）剪拼的正三棱锥模型的推广，因为角平分线到两 边的距离相等，取任意三角形的内心，分别连结内心到 各顶点的三条线段，去三条线段的中点，过三点分别想 三边作垂线，沿垂线剪下三个角，余下部分沿三个边折 起；可剪拼成一个缺上底的直三棱柱，而剪下的三个角 恰好可拼成这个直三棱柱的上底。