112弧制解析

在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种 度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
1弧度与弧度制的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．
我们把用弧度来作为角的单位的制度称 为弧度制．
新 课 讲 解一：弧度制
实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所 对的弧长与半径的比是常数. 称这个常数为该角的弧度数.
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
l
R
l= 3rad
3rad
r
OrA
B
-3rad
l =3r
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时， 除了零角以外，所得到的量数都是不同的， 但它们既然是度量同一个角的结果，二者就 可以相互换算，公式如下：
1°= rad 180
0.01745 rad
1
rad=
180
57.30
wenku.baidu.com
=57°18′
常用的特殊角的换算
熟练下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30 45o 60 90o 120135 150o180o270 360o
弧0
度
π 6
π 43
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
o
1
rad
180
180 o 1rad ( )
口答练习. 填写下表：
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 数
弧 度
0 64
2 3 5
3 23 46
3 2
2
数
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通 常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省略。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。
0,
2
2 ,
2
周角： {θ|θ=360°}
2
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}
[0, )
2
(, )
2
[0, )
0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
[0,2 )
0° 30° 45° 60° 90° 120°
0
2
6
4
3
2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3
5
π
7
5
4
4
6
6
4
3
270° 300° 315° 330° 360°
3 5
23
7
11
4
6
2π
例1、用弧度表示终边在轴线上的角的集合
y
{ 2k , k z}
o
x
y
{ 2k , k z}
身高：7.41英尺 体重：308.6磅
身高：2.26米 体重：140千克
1米=3.28043英尺 1千克=2.2046磅
你知道1米的由来吗？
1790年5月由法国科学家组成的特别委员 会，建议以通过巴黎的地球子午线全长的 四千万分之一作为长度单位——米，1791 年获法国国会批准。
1960年第十一届国际计量大会对米的定 义作了如下更改：“米的长度等于氪－ 86原子的2P10和5d1能级之间跃迁的辐射 在真空中波长的1650763．73倍”。
1、角度制的定义
我们把圆周分成360等份，那么每一等份所对的 圆心角的度数就是1°. 这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制.
角度制中，1°＝60′，1′＝60″，
1' ( 1 )0, 60
1'' ( 1 )' 60
2、弧长公式:
l n r
180
n° l
r
l
3、扇形的面积公式：
S扇形
n
360
1米的由来
▪ 随着科学技术的进步，70年代以来， 对时间和光速的测定，都达到了很 高的精确度。因此，1983年10月在 巴黎召开的第十七届国际计量大会 上又通过了米的新定义：“米是1／ 299792458秒的时间间隔内光在真 空中行程的长度”。
复习引入
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度 量角，1°的角是如何定义的？
360°=2 rad 180°= rad
弧度制与角度制比较：
(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单制， 角度制是以“度”为单位来度量角的单位制； 1弧度≠1º； 0弧度=0º，但0弧度与0º不同；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
或rad可以略去不写。
（2）、把 —3 π 弧度化成度。 5
解： 3 rad 3 180 108
5
5
（3）、把-35°化成弧度。
解：
－35o － 180 rad × 35 －
7 rad
36
（4）、把 —4 π 弧度化成度。 3
解： 4 rad 4 × 180 o 240 o
3
3
填一填： 注意： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换 算要熟记。
弧度制与角度制比较：
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径 无关的定值。
角度制与弧度制互换示范
（1）、把67°30′化成弧度。
解： 6730' 67 1
6730'
2
rad 67
1
3 rad
3
180
28
8
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字
例2、用弧度制表示常见区间角
（1）第一象限角构成的集合 （2）第二象限角构成的集合
（3）第三象限角构成的集合
（4）第四象限角构成的集合 （5）第一、四象限角及x轴的非负半轴构
成的集合 （6）第一、二象限角及y轴的非负半轴构
成的集合
引人弧度制的意义
用弧度来度量角，实现角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
R2
l OS
R
弧度制引入的必要性
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进率非 十进制，总给我们带来不少困难；另外，角 度制也不利于三角函数的研究，那么我们能 否重新选择角的单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢，并且有利于对三角函数的研究呢？
o
x
2
y
22kk,k,kZZ
o
x
y o
x
3
22
2k
,
k
Z
注意：（1）关键抓住 180o
（2）弧度数与角度数是不可以混合写的
× × 如：k 360o 或2k 60o 3
鉴别：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°}