新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 学案(知识点考点汇总及配套练习题)
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数 本章 总结提升
规律方法
用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法:
(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的
差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角
等)“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,
消除角与角之间的差异.
∴f(x)的单调递增区间为
π
π
π − 3 , π + 6
(k∈Z).
(2)∵f(x)=sin 2
π
π
∴2ω· +
3
6
=
π
+6
π
+kπ(k∈Z).
2
3 1
∴ω=2k+2.
又
1
0<ω<2,∴-3<k<1.
1
∴k=0.∴ω=2.
1
+2的图象的一条对称轴为直线
π
x=3,
变式训练5
(2022 天津河西高一期末)已知 α∈
(π<α<2π).
2+2cos
2
2
2
4cos2
2
2
2
(2cos2 +2sin cos )(sin -cos )
解原式=
2
2
2
2|cos |
2
2
2=
2
2
|cos |
2
cos cos
2 =- 2
.
|cos |
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 重点难点归纳总结
第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (2)5.1.1任意角 (2)5.1.2弧度制 (8)5.2三角函数的概念 (14)5.2.1三角函数的概念 (14)5.2.2同角三角函数的基本关系 (21)5.3诱导公式 (27)第一课时诱导公式二、三、四 (27)第二课时诱导公式五、六 (32)5.4三角函数的图象与性质 (36)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (36)5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (41)第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性 (41)第二课时正、余弦函数的单调性与最值 (48)5.4.3正切函数的性质与图象 (53)5.5三角恒等变换 (58)5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (58)第一课时两角差的余弦公式 (58)第二课时两角和与差的正弦、余弦公式 (62)第三课时两角和与差的正切公式 (68)第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (72)5.5.2简单的三角恒等变换 (76)5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) (81)5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (81)5．6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象 (81)第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换 (81)第二课时函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与性质的应用 (85)5.7三角函数的应用 (89)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一任意角的概念1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．3．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．2．正角、负角、零角是根据什么区分的？提示：根据组成角的射线的旋转方向．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小答案：D3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．答案：390°－150°60°知识点二角的加法1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.答案：①④②③知识点三象限角与终边相同的角1．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．各象限角的集合3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°答案：B3．－179°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C[例1](A．锐角都是第一象限角B．第一象限角一定不是负角C．小于180°的角是钝角、直角或锐角D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角[解析]锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．[答案]AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．[例2] (1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．[解] (1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k ＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与 2 021°角终边相同的角为k ·360°＋2 021°，k ∈Z .令－360°≤k ·360°＋2 021°＜360°，k ∈Z ，∴k 可取－6，－5，将k 的值代入k ·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[例3] (°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 第二象限角α需满足k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A 、B 、C.[答案] ABC(2)已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[母题探究]1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：∵k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，∴k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°，∴α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，∴α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角．1．给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k ·360°(其中k ∈Z ，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．2．分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．5.1.2 弧度制知识点一 度量角的两种制度1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．知识点二角度制与弧度制的换算1．弧度数的计算2．弧度与角度的换算1．一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π.()(4)1 rad 的角比1°的角要大．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(多选)下列转化结果正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°答案：ABD知识点三 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR ；(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2．在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，则扇形的弧长l ＝r |α|＝1×30＝30(cm)．( )(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )答案：(1)× (2)×2．已知扇形的半径r ＝30，圆心角α＝π6，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．答案：5π 75π[例1] ( (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°. [解] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°. (2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n °，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[注意] 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．[例2] ≤α＜2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．[注意] (1)注意角度与弧度不能混用； (2)各终边相同的角需加2k π，k ∈Z .[，则扇形圆心角(正角)的弧度数为( )A.12 B.π2 C.14D.π4[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12r 2α＝4， ①2r ＋rα＝10， ②由②得，r ＝102＋α，③ 把③代入①，得2α2－17α＋8＝0. 解得α＝12或α＝8(舍去)． 故扇形圆心角的弧度数为12. [答案] A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝l r ，S ＝12lr ＝12αr 2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．扇形的弧长公式的应用如图，点P ，Q 从点A (4，0)同时出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6.[问题探究]1．点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P ，Q 第一次相遇所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，∴第一次相遇时用了4 s.2．点P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P 运动到角4π3的终边与圆相交的位置，点Q 运动到角－2π3的终边与圆相交的位置，∴点P 走过的弧长为4π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝8π3.3．若点Q 也按逆时针方向转，则点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P ，Q 第一次相遇的时间为t s ，则t ·π3－t ·π6＝2π，解得t ＝12 s ．所以第一次相遇时用了12 s.[迁移应用]某时针的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．设秒针端点A 转过的路程为d cm ，所形成的扇形面积为S cm 2，分别求d 与S 关于时间t (s)的函数，其中t ∈[0，60]．解：∵秒针的旋转方向为顺时针，∴t s 后秒针端点A 转过的角α＝－πt30 rad ， ∴秒针端点A 转过的路程为d ＝|α|·r ＝πt6(cm)，∴形成的扇形面积为S＝12|α|·r2＝5πt12(cm2)，∴d＝πt6(t∈[0，60])，S＝5πt12(t∈[0，60])．5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即yx＝tan_α(x≠0)三角函数正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∈Z三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( ) (2)如图所示，sin α＝y .( )(3)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知角α的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________．答案：－12 －32 33 知识点二 三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( ) 答案：(1)√ (2)×2．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角． 答案：三知识点三 诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2k π，右边角为α；(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α.其中k ∈Z .[例1] 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin αcos β＝( )A ．－3665 B ．－313 C.413D.4865(2)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15D ．－15[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，故由定义知sin α＝513，cos β＝－35， ∴sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.(2)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. [答案] (1)B (2)A利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角α终边上一点P (x ，y )是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)；(2)若已知角α终边上一点P (x ，y )不是单位圆上的点，则首先求r ＝ x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)；(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．题型二三角函数值符号的判定[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)． [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0.由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.[答案] (1)B (2)>正弦、余弦函数值的正负规律题型三诱导公式一的应用[例3] ((1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． [解] (1)因为cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝32， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝32， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝12， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝12，所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图①，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝ON ，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，如图②，则tanα＝AT (或AT ′)．我们把有向线段OM ，ON 和AT (或AT ′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．[问题探究]1．设角α＝x rad ，且0<x <π2 ，于是x ，sin x ，tan x 都是实数，请你给x 一个具体的值，比较三个实数的大小．提示： 我们先给x 一个具体的值来进行比较：取x ＝π6，则sin x ＝12，tan x ＝33.因为12＝36<π6，所以sin π6<π6.又tan π6＝33＝236>π6，所以tan π6>π6.从而可得sin π6<π6<tan π6.即当x ＝π6时，sin x <x <tan x .2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的任意x 都成立？提示：设角α的顶点与圆心O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图所示．过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过x 轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A 作该单位圆的切线AT ，交α的终边于点T ，连接AP ，则MP ＝sin x ，AT ＝tan x ，S △OAP <S 扇形AOP <S △OAT .因为S △OAP ＝12OA ·MP ＝12sin x ， S 扇形AOP ＝12x ·12＝12x ， S △OAT ＝12OA ·AT ＝12tan x ， 所以12sin x <12x <12tan x ，即sin x <x <tan x .因此当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x <x <tan x ．这在后面的学习中会经常用到．[迁移应用]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.解：(1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z.5.2.2 同角三角函数的基本关系知识点 同角三角函数的基本关系基本关系式的变形公式sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.tan α＝sin αcos α⇒ ⎩⎨⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对∀x ∈R ，sin 24x ＋cos 24x ＝1.( ) (2)对∀x ∈R ，tan x ＝sin xcos x .( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．化简1－sin 2π5的结果是( )A ．cos π5 B ．－cos π5 C ．sin π5 D ．－sin π5答案：A3．已知cos α＝－513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．答案：1254．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于________．答案：1题型一利用同角基本关系式求值角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值 [例1] (链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝15，求cos α，tan α 的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，求cos α的值．[解] (1)∵sin α＝15＞0，∴α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612. (2)由已知得⎩⎨⎧sin αcos α＝2， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，∴cos α＜0，∴cos α＝－55.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解：[注意]当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．角度二已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值[例2]已知tan α＝2.(1)求sin α－3cos αsin α＋cos α的值；(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. [解](1)法一(代入法)：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝2cos α－3cos α2cos α＋cos α＝－13.法二(弦化切)：∵tan α＝2.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－3sin αcos α＋1＝tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13.(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2sin2α－sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tan α＋1tan2α＋1＝2×4－2＋14＋1＝75.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[例3]已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[解](1)由sin α＋cos α＝－13得(sinα＋cos α)2＝19，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，sinαcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝17 9，所以sin α－cos α＝17 3.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.[注意]求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．[例4](链接教科书第184页练习4题)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α.[解]sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．角度二 三角恒等式的证明[例5] 求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1.[证明] 法一：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝右边．所以等式成立．法二：右边＝sin αcos α＋1sin αcos α－1＝sin α＋cos αsin α－cos α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝左边．所以等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc ，或证d b ＝ca 等； (5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“左边右边＝1”．5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四知识点诱导公式二、三、四1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα2．公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tan α3．公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα诱导公式的记忆方法与口诀(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝π2不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．已知cos(π＋θ)＝36，则cosθ＝()A.36B．－36C.336D．－336答案：B3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________． 答案：－44．cos(－30°)＝________，sin 2π3＝________． 答案：32 32题型一给角求值问题[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值： (1)cos 17π6；(2)tan(－855°)；(3)tan 3π4＋sin 11π6. [解] (1)cos 17π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－tan π4－sin π6＝－1－12 ＝－32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[例2] ((1)cos （－α）tan （7π＋α）sin （π－α）；(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）. [解] (1)原式＝cos αtan （π＋α）sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]＝sin α·cos （－α）（－cos α）·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[例⎭⎪⎫α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[解] 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33－23＝－2＋33.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33－23＝－3＋23.2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解：由题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－33＋23＝2－33.解决条件求值问题的两技巧第二课时 诱导公式五、六知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六可用语言概括(1)函数值：π2±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值； (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式五、六的记忆方法与口诀(1)记忆方法：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．下列与sin θ的值相等的是( ) A ．sin(π＋θ) B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θD ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ答案：C3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则cos α＝________．答案：124．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)＝________． 答案：－15[例1] (1)已知tan α＝3，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． [解] (1)sin （α－π）＋cos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．[例2] (sin （4π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos （2π－α）－tan （5π－α）sin （3π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α，tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，∴原式＝sin αsin α－cos αcos α－－tan αsin αcos α＝－sin 2αcos 2α＋1cos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少；(2)函数的种类尽可能的少； (3)分母不含三角函数的符号； (4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[例3] 求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α. [证明] 左边＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．[例4]f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．[解] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，所以cosα·sin α＝18，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （α）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；二看函数名称：一般是弦切互化；三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦函数、余弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象1．“五点法”只是画出y ＝sin x 和y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；若x ∈R ，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y ＝sin x ，x ∈R 和y ＝cos x ，x ∈R 的图象．2．将y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度得y ＝cos x ，x ∈R 的图象，因此y ＝sin x ，x ∈R 与y ＝cos x ，x ∈R 的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝sin x 的图象关于y 轴对称．( ) (2)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (3)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π答案：B。
人教高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)人教高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.2、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ） A ．12B ．−12C ．−2D ．2答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果. ∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D.3、设0<α<π，sinα+cosα=713，则1−tanα1+tanα的值为（ ）A ．177B ．717C ．−177D ．−717 答案：C分析：依题意可知π2<α<π，得到cosα−sinα<0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cosα−sinα的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 由sinα+cosα=713，平方得到1+sin2α=49169，∴sin2α=49169−1=−120169=2sinαcosα，0<α<π， ∴ π2<α<π，∴cosα<0，而sinα>0， ∴cosα−sinα<0； 令t =cosα−sinα(t <0)， 则t 2=1−sin2α，∴t 2=1−sin2α=1+120169=289169，t <0∴t =−1713∴ 1−tanα1+tanα=cosα−sinαcosα+sinα=137(cosα−sinα)=137×(−1713)=−177，故选：C ．4、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1，故选：C.5、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203)答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π，由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.6、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12 =cos π6=√32. 故选：D.7、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D8、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（ ）A．y=cos(−x)B．y=−cosxC．y=cos|x|D．y=|cosx|答案：B分析：根据f(−x)、−f(x)、f(|x|)与|f(x)|的图象特征依次判断即可得到结果.对于A，y=cos(−x)=cosx，图象与y=cosx重合，A错误；对于B，∵y=f(x)与y=−f(x)图象关于x轴对称，∴y=−cosx与y=cosx图象关于x轴对称，B正确；对于C，当x≥0时，y=cos|x|=cosx，可知其图象不可能与y=cosx关于x轴对称，C错误；对于D，将y=cosx位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，就可以得到y=|cosx|的图象，可知其图象与y= cosx的图象不关于x轴对称，D错误.故选：B.9、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为1，根据定义逐项判断即可得出结论.2若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 10、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可.由f(−x)=−sin(−x)+xcosx+x2=−−sinx−xcosx+x2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.又f(π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C填空题11、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.12、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．答案：125分析：通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果.∵两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿，∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，∴小轮转动4820=125周.所以答案是：125.13、若cosα=−35,α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).∵cosα=−35,α为第二象限的角，∴sinα=√1−cos2α=45，∴sin(π−α)=sinα=45.所以答案是：45.小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.14、若α∈(π2，π)，且cos2α−sinα=14，则tanα=_____.答案：−√33分析：根据同角平方和关系可解得sinα=12，进而根据角的范围可得α=5π6，进而可求.因为cos2α−sinα=14，所以4(1－sin2α)－4sinα－1=0即4sin 2α+4sin α－3=0 ，∴解得sin α=12或sin α=−32（舍去）．∵α∈(π2，π)，∴α=5π6，因此tan α=tan5π6=−√33． 所以答案是：−√33 15、已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=__．答案：−31√250分析：先求出cos(2α+π3)=−725，sin(2α+π3)=2425，再利用和差角公式即可求解. ∵cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)． ∴(α+π6)∈(0，π2)，(2α+π3)∈(0，π)．cos(2α+π3)=2cos(α+π6)−1=2×(35)2−1=−725． ∴sin(2α+π3)=√1−cos(2α+π3)=2425．∴cos(2α+7π12)=cos(2α+π3+π4)=cos(2α+π3)cos π4−sin(2α+π3)sin π4 =−725×√22−2425×√22=−31√250． 所以答案是：−31√250. 解答题16、已知函数y =asin (2x −π3)+b (a >0).(1)求出该函数的单调递减区间；(2)当x ∈[0,π2]时，f (x )的最小值是−2，最大值是√3，求实数a ，b 的值.答案：(1)[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z(2)a =2，b =−2+√3分析：(1)利用整体代入法即可求解y =asin (2x −π3)+b 的单调减区间；(2)结合x ∈[0,π2]，利用正弦函数的性质求出sin (2x −π3)的取值范围，然后结合已知条件求解即可. (1)结合已知条件和正弦函数性质，由2k π+π2≤2x −π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z .(2)令t =2x −π3，∵0≤x ≤π2，∴−π3≤t ≤2π3，∴由正弦函数性质得，−√32≤sint =sin(2x −π3)≤1，故f (x )min =−√32a +b =−2，f (x )max =a +b =√3，由{−√32a +b =−2a +b =√3，解得{a =2b =−2+√3. 17、已知函数f (x )={cosx,−π⩽x <0,sinx,0⩽x ⩽π.（1）作出该函数的图象； （2）若f (x )=12，求x 的值；（3）若a ∈R ，讨论方程f (x )=a 的解的个数．答案：（1）图见解析；（2）x =−π3或π6或5π6；（3）当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3． 分析：（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论x 的范围根据解析式即可求解；（3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，结合图象即可得出. （1）f (x )的函数图象如下：（2）当−π≤x <0时，f (x )=cosx =12，解得x =−π3，当0≤x ≤π时，f (x )=sinx =12，解得x =π6或5π6，综上，x =−π3或π6或5π6； （3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，则由（1）中函数图象可得，当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3．18、已知函数f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1的最大值为1.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域.答案：(1)[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z(2)[0,1]分析：(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，ωx ＋φ整体替换进行单调区间的求解；(2)求出ωx ＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒（1）f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1 =cosx +√3sinx +a =2sin (x +π6)+a ．由f(x)max=2+a=1，解得a=−1．又f(x)=2sin(x+π6)−1，则2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z，所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z；（2）由x∈[0，π2]，则x+π6∈[π6，2π3]，所以12≤sin(x+π6)≤1，所以0≤2sin(x+π6)−1≤1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．。
高中数学 第五章 三角函数 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)学案(含解析)新人教A版必修第一册-
5.6 函数y＝A sin(ωx＋φ)【素养目标】1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)2．从φ、ω、A的变化总结图象．(直观想象)3．能由y＝sin x平移和伸缩变换为y＝A sin(ωx＋φ)及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理) 【学法解读】在本节学习中，借助实例构建三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的形式，利用PPT观察φ，A，ω对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，学会由y＝sin x如何变化为y＝A sin(ωx＋φ)，提升数学素养中的直观想象．必备知识·探新知基础知识知识点1参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．(3)A(A>0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响．思考1：(1)如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？(2)函数y＝sinωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？提示：(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度．(2)可以，只要横向“伸”或“缩”1ω倍y＝sin x的图象即可．知识点2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A ． (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5)x ＝0时的相位φ称为初相．思考2：若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的A <0或ω<0时怎么办？提示：当A <0或φ<0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.知识点3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性 T ＝2πω对称中心 (k π－φω，0)(k ∈Z ) 对称轴x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )__奇偶性__当__φ＝k π(k ∈Z )__时是奇函数当__φ＝k π＋π2(k ∈Z )__时是偶函数__单调性__由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得单调递增区间由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，应用了什么数学思想？提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，要把ωx ＋φ看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．基础自测1．下列说法中正确的个数是( A )①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y ＝sin(3x ＋π4)．②y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin2x . ③y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝12sin x .A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin[3(x ＋π4)]＝sin(3x ＋34π)，故①不正确；②y ＝sin2x 应改为y ＝sin 12x ，故②不正确；③y ＝12sin x 应改为y ＝2sin x ，故③不正确．故选A ．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A >0，ω>0)的最大值为5，则A ＝( C ) A ．5 B ．－5 C ．4D ．－43．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴方程是__x ＝3π4＋k π(k ∈Z )__.5．函数y ＝3sin(12x －π6)的频率为__14π__，相位为__12x －π6__，初相为__－π6__.关键能力·攻重难题型探究题型一 “五点法”作图例1 用“五点法”画函数y ＝2sin(3x ＋π6)的简图．[分析] 列表时，取值要简单(与y ＝sin x 中五点比较)．[解析] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13(X －π6)．列表X 0 π2 π 3π2 2π x －π18π9 5π18 4π9 11π18 y2－2描点作图，再将图象左右延伸即可．[归纳提升] 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x －φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可．【对点练习】❶ 已知f (x )＝2sin(x 2＋π3)．(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值． [解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[4k π－5π3，4k π＋π3]，k ∈Z .(3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.题型二 三角函数的图象变换例2 如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π3)＋1的图象？[分析] 本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．[解析] 解法一：y ＝sin x ――――――――→向右平移π3个单位长度y ＝sin(x －π3)――――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π3)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变 y ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.解法二：y ＝sin x ―――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin2x ―――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝sin2(x －π6)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变y ＝3sin2(x －π6) ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.[归纳提升] 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．【对点练习】❷ 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( D )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)[解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3)．故选D ．题型三 由图象确定函数的解析式例3 (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( D )A ．f (x )＝2sin(12x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(12x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x －π6)D ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A (π2，1)，B (π，－1)，则ω＝__2__，φ＝ __－5π6__.[分析] (1)由图象可以确定最大值为2，周期为π，再利用一个点的坐标求φ. (2)曲线上由A 到B 是周期的12，从而求出ω，再求φ.[解析] (1)由图象可知，A ＝2，T ＝4(5π12－π6)＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，所以sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A (π2，1)，B (π，－1)，可得从点A到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin(2×π2＋φ)＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1，所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .再结合五点法作图，可得φ＝－5π6.[归纳提升] 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.【对点练习】❸ 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( A )A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(2x ＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π3)[解析] 由图知，A ＝2，周期T ＝2[π3－(－π6)]＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点(π3，2)，所以2＝2sin(2×π3＋φ)，所以sin(2π3＋φ)＝1，所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0得φ＝－π6，所以y ＝2sin(2x －π6)．题型四 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性例4 在函数y ＝2sin(4x ＋2π3)的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是__(π12，0)__.[分析] 利用整体代换法求解．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin(4x ＋2π3)图象的对称中心坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．取k ＝1得(π12，0)满足条件．[归纳提升] 正弦型函数对称轴与对称中心的求法对称轴对称中心 y ＝A sin(ωx ＋φ)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求对称轴令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ) 求对称中心的横坐标称轴方程为__x ＝－π24__.[解析] 由4x ＋2π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．误区警示例5 函数y ＝2sin(－2x ＋π3)的相位和初相分别是( C )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π3[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误错误原因相位和初相分别是－2x ＋π3，π3错解均忽视了相位和初相的概念：概念中要求A >0，ω>0.当不满足条件时应设法创造出条件.y ＝2sin(－2x ＋π3)＝－2sin(2x －π3)∴相位和初相分别是2x －π3，－π3[错因分析] 此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A >0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A >0，ω>0”再求．[正解] ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin[π－(－2x ＋π3)]＝2sin(2x ＋2π3)∴相位和初相分别是2x ＋2π3，2π3.[方法点拨] 要正确理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A 、ω、φ的意义．学科素养函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[分析] 本题关键是对图象的对称轴为x ＝π8这一条件的利用，由图象一对称轴为x ＝π8得：当x ＝π8时2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )进而可求φ值．[解析] (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8，解得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin(2x －3π4)，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是 [k π＋5π8，k π＋9π8](k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时函数有最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时函数有最小值－1.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知，故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是课堂检测·固双基1．将函数y ＝sin(x ＋π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( D )A ．y ＝cos2xB ．y ＝sin(2x ＋π4)C ．y ＝sin(12x ＋π8)D ．y ＝sin(12x ＋π4)2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的振幅为12，周期为2π3，初相为π6，则该函数的表达式为( C )A ．y ＝12sin(x 3＋π6)B ．y ＝12sin(x 3－π6)C ．y ＝12sin(3x ＋π6)D ．y ＝12sin(3x －π6)3．函数y ＝cos(2x －π6)＋1的一个对称中心为( D )A ．(π6，0)B ．(π3，0)C ．(π6，1)D ．(π3，1)4．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将y ＝cos(2x ＋π4)的图象( B )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对x 而言”的原则．则y ＝cos2x 只需向左平移π8个单位即可．而y ＝cos(2x ＋π4)需右移π8个单位，得到y ＝cos2x .5．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__[197π2，201π2)__. [解析] T ＝2πω为其最小正周期，则(49＋14)T ≤1<(50＋14)T 时，有50个最大值点，所以ω∈[197π2，201π2)．。
高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ） A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C2、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（ ） A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125 所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125，解得tanα=−43或tanα=−34， 又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|， 故tanα=−43， 故选：C3、已知函数f(x)=cos 2ωx 2+√32sinωx −12(ω>0,x ∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0,512]B ．(0,56)C ．(0,512]∪[56,1112]D ．(0,512]∪(56,1112] 答案：C分析：先化简函数解析式，由π<x <2π得，求得πω+π6<ωx +π6<2πω+π6，利用正弦函数图象的性质可得2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π，求解即可. f(x)=cosωx+12+√32sinωx −12=√32sinωx +12cosωx =sin(ωx +π6)．由π<x <2π得，πω+π6<ωx +π6<2πω+π6， ∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，且πω+π6>π6， ∴2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π ， 解得0<ω⩽512或56⩽ω⩽1112，则ω的取值范围是(0,512]∪[56,1112].故选：C ．4、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ）A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ． 故选：A ．5、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2， 所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B6、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度 答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A. 7、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57. 又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时，sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 8、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A. 多选题9、若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ） A ．tanα=−sinαcosαB ．√1−2sinαcosα=sinα−cosαC ．cosα=−√1−sin 2αD ．√1+2sinαcosα=sinα+cosαE ．sinα=−√1−cos 2α 答案：BC解析：利用sin 2α+cos 2α=1,tanα=sinαcosα，结合三角函数在各个象限的符号，代入每个式子进行化简、求值.对A ，由同角三角函数的基本关系式，知tanα=sinαcosα，所以A 错；对B ，C ，D ，E ，因为α是第二象限角，所以sinα>0,cosα<0，所以sinα−cosα>0,sinα+cosα的符号不确定，所以√1−2sinαcosα=√(sinα−cosα)2=sinα−cosα，所以B ，C 正确；D ，E 错． 故选：BC.小提示：本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力. 10、下列各式中，值为12的是（ ）A ．cos 2π12−sin 2π12B ．tan22.5∘1−tan 222.5∘C ．2sin195°cos195°D ．√1+cos π62答案：BC分析：运用二倍角公式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值的求法即可得到答案. 选项A ，cos 2π12−sin 2π12=cos (2×π12)=cos π6=√32，错误； 选项B ，tan22.5°1−tan 222.5°=12⋅2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，正确；选项C ，2sin195∘cos195∘=sin390∘=sin (360∘+30∘)=sin30∘=12，正确；选项D ，√1+cos π62=√1+√322=√2+√32，错误.故选：BC.11、（多选）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则（ ）A ．θ∈(π2,π)B ．cosθ=−35 C ．tanθ=−34D ．sinθ−cosθ=75答案：ABD分析：已知式平方求得sinθcosθ，从而可确定θ的范围，然后求得sinθ−cosθ，再与已知结合求得sinθ,cosθ，由商数关系得tanθ，从而可判断各选项．因为sinθ+cosθ=15①，所以(sinθ+cosθ)2=sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ=125，所以2sinθcosθ=−2425．又θ∈(0,π)，所以sinθ>0，所以cosθ<0，即θ∈(π2,π)，故A 正确．(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，所以sinθ−cosθ=75②，故D 正确．由①②，得sinθ=45，cosθ=−35，故B 正确．tanθ=sinθcosθ=−43，故C 错误． 故选：ABD ． 填空题12、当θ∈(0,π2)时，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为_________．答案：√32##12√3 分析：先由已知条件求出sin (5π6−θ)，然后利用诱导公式可求得结果. ∵θ∈(0,π2)，∴5π6−θ∈(π3,5π6)， ∴sin (5π6−θ)=√1−cos 2(5π6−θ)=√32， ∴sin (θ+π6)=sin [π−(5π6−θ)]=sin (5π6−θ)=√32． 所以答案是：√3213、已知sinα=2cosα，则sin 2α+2sinαcosα=______． 答案：85##1.6分析：根据题意，由同角三角函数关系可得tanα的值，而sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α，最后利用齐次式化成关于tanα的分式即可解.解：由sinα=2cosα，得tanα=sinαcosα=2， 则sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=22+2×222+1=85.所以答案是：85.14、已知f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，f (π6)=f (π3)，且f (x )在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=______.答案：143分析：由题意可得函数的图象关于直线x=π4对称，再根据f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，可得π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，由此求得ω的值．依题意，当x=π6+π32=π4时，y有最小值，即sin(π4ω+π3)=−1，则π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，所以ω=8k+143(k∈Z).因为f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，所以π3−π4≤T2=πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143.所以答案是：143解答题15、已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3sin2x+√3.(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x∈[−π6,π6]，时，a−f(x)≤0恒成立，求a的最大值.答案：(1)最小正周期π，单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z(2)最大值为0分析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简f(x)为f(x)=2sin(2x+π3)，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据x的范围可求2x+π3∈[0,2π3]，进而可求f(x)的值域，故可求a的范围.（1）f(x)=2sinxcosx−2√3sin2x+√3=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z).∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z.（2）∵x∈[−π6,π6]，∴2x+π3∈[0,2π3]，∴sin (2x +π3)∈[0,1]，f (x )=2sin (2x +π3)∈[0,2].由a −f (x )≤0恒成立，得a ≤(f (x ))min ，即a ≤0.故a 的最大值为0.。
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第五章三角函数【考纲要求】序号考点课标要求1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
了解2三角函数的概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。
理解②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。
理解③结合具体实例，了解的实际意义，能借助图象理解的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
理解3同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系：理解4三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦的意义理解②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
理解③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）掌握5三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握5.1 任意角和弧度制知识点总结5.1 任意角和弧度制1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示：如图射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。
（3）角的分类提示：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于2.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
3.角的单位制4.弧长公式及扇形面积公式5.常用角之间的换算6.象限角和轴线角（1）象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--第五章 三角函数章末总结
第五章三角函数章末总结体系构建题型整合题型1 同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用例1 已知f(α)=sin2(π−α)⋅cos(2 π−α)⋅tan(−π+α)sin(−π+α)⋅tan(−α+3 π).（1）化简f(α);（2）若f(α)=18,且π4＜α＜π2,求cosα−sinα的值;（3）若α=−47 π4,求f(α)的值.答案：（1）f(α)=sin 2α⋅cosα⋅tanα(−sinα)(−tanα)=sinα⋅cosα.（2）由f(α)=sinα⋅cosα=18可知,(cosα−sinα)2=cos2α−2 sinα⋅cosα+sin2α=1−2 sinα⋅cosα=1−2×18=34,因为π4＜α＜π2,所以cosα＜sinα,即cosα−sinα＜0,所以cosα−sinα=−√32.（3）因为α=−47 π4=−6×2 π+π4,所以f(−47 π4)=cos(−47 π4)⋅sin(−47 π4)=cos(−6×2 π+π4)⋅sin(−6×2 π+π4)=cosπ4⋅sinπ4=√22×√22=12.方法归纳1.牢记两个基本关系式sin2α+cos2α=1及sinαcosα=tanα，并能应用这两个关系式进行三角函数的化简、求值、证明．2．诱导公式可概括为k⋅π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.迁移应用1.（2021湖南长沙雅礼中学高一月考）已知sin(−π+θ)+2 cos(3 π−θ)=0 ,则sinθ+cosθsinθ−cosθ= .答案： 13解析： 因为sin(−π+θ)+2 cos(3 π−θ)=0 , 所以−sinθ−2 cosθ=0 , 所以tanθ=−2 ,所以sinθ+cosθsinθ−cosθ=tanθ+1tanθ−1=−2+1−2−1=13 .题型2 三角函数的图象与性质例2（1）函数y =cos(2x +π3) 图象的对称轴方程可能是( ) A.x =−π6B.x =−π12C.x =π6D.x =π12（2）函数f(x)=(1−cos x)sin x 在[−π,π] 上的图象大致为( )A. B.C.D.（3）若0＜α＜π2,g(x)=sin(2x +π4+α) 是偶函数,则α 的值为 . 答案：（1）A （2）C （3）π4解析： （1）令2x +π3=kπ(k ∈Z) ,得x =kπ2−π6(k ∈Z) ,令k =0 ,得该函数图象的一条对称轴为直线x =−π6 .（2）因为函数f(x)=(1−cos x)sin x 为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除B. 当0＜x ＜π2 时,f(x)＞0 ,所以排除A . f(π2)=(1−cos π2)sin π2=1 ,所以排除D , 故选C.（3）若g(x)=sin(2x +π4+α) 为偶函数, 则π4+α=kπ+π2,k ∈Z ,所以α=kπ+π4,k ∈Z . 因为0＜α＜π2 ,所以α=π4 . 方法归纳正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 迁移应用2.设函数f(x)=√2sin(2x −π4),x ∈R .（1）求函数f(x) 的最小正周期和单调递增区间; （2）求函数f(x) 在区间[π8,3 π4] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时x 的值.答案：（1）函数f(x) 的最小正周期T =2 π2=π ,由2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2(k ∈Z) 得,kπ−π8≤x ≤kπ+3 π8(k ∈Z) ,所以函数f(x) 的单调递增区间是[kπ−π8,kπ+3 π8](k ∈Z) .（2）令t =2x −π4 ,则由π8≤x ≤3 π4可得0≤t ≤5 π4,所以当t =5 π4,即x =3 π4时,ymin=√2×(−√22)=−1 ,当t =π2, 即x =3 π8时,y max =√2×1=√2 .题型3 两角和与差的正弦、余弦与正切公式、二倍角公式的应用例3 （2021辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若tan(α−β)=13,tanβ=14,则tan 2α= . 答案： 7736解析： 由已知得tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13+141−13×14=711 ,所以tan 2α=2 tanα1−tan 2α=2×7111−(711)2=7736 .例4 求证：cos 2α1tan α2−tan α2=14sin 2α .答案：证明 左边=cos 2αtanα21−tan 2α2=12cos 2α⋅2 tanα21−tan 2α2=12cos 2α⋅tanα=12cosα⋅sinα=14sin 2α= 右边, 所以原等式成立. 方法归纳1.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”．2.三角恒等式证明的常用方法：（1）执因索果法：证明的形式一般为化繁为简; （2）左右归一法：证明左、右两边都等于同一个式子;（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;（4）比较法：设法证明“左边－ 右边＝0 ”或“左边/右边＝1 ”;（5）分析法：从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到得到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立. 迁移应用3.已知sin(π4+α)sin(π4−α)=16,α∈(π2,π) ,则sin 4α1+cos 2α 的值为 . 答案： −4√215解析：因为sin(π4+α)sin(π4−α)=16 ,所以sin(π4+α)⋅cos(π4+α)=16 ,因为2 sin(π4+α)⋅cos(π4+α)=sin(π2+2α) ,所以sin(π2+2α)=13 ,即cos 2α=13 .又α∈(π2,π) ,所以2α∈(π,2 π) ,所以sin 2α=−√1−cos 22α=−√1−(13)2=−2√23,所以sin 4α1+cos 2α=2 sin 2α⋅cos 2α1+1+cos 2α2=2×(−2√23)×131+1+132=−4√215.4.(sin 2α+cos 2α−1)(sin 2α−cos 2α+1)sin 4α= .答案： tanα 解析： 原式=sin 22α−(cos 2α−1)22 sin 2α⋅cos 2α=sin 22α−cos 22α+2 cos 2α−12 sin 2α⋅cos 2α=−2 cos 22α+2 cos 2α2 sin 2α⋅cos 2α=1−cos 2αsin 2α=2 sin 2α2 sinαcosα=sinαcosα=tanα .题型4 三角恒等变换的综合应用例5 （2021吉林辽源高一月考）已知函数f(x)=2√3sin xcos x +2 cos 2x −1 . （1）求函数f(x) 的单调递增区间;（2）当x ∈[0,π2] 时,求函数f(x) 的最大值及相应的x 的值. 答案： （1）f(x)=2√3sin xcos x +2 cos 2x −1=√3sin 2x +cos 2x =2 sin(2x +π6) ,令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z) , 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z) ,所以f(x) 的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z) . （2）由x ∈[0,π2] 可得π6≤2x +π6≤7 π6,所以当2x +π6=π2,即x =π6时,f(x) 取得最大值,最大值为2. 方法归纳利用二倍角公式降幂,利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为f （x ）=Asin （ωx +φ）+B(f(x)=Acos(ωx +φ)+B) 的形式,然后把ωx +φ 看作一个整体,利用正弦（余弦）函数的性质求解. 迁移应用5.（2021贵州铜仁高一月考）已知函数f(x)=sin 2x +2√3⋅sin xcos x −12cos 2x,x ∈R .（1）求f(x) 的最小正周期和单调递减区间;（2）若x 0(0≤x 0≤π2) 为f(x) 的一个零点,求sin 2x 0 的值.答案： （1）f(x)=sin 2x +2√3sin xcos x −12cos 2x =12(1−cos 2x)+√3sin 2x −12cos 2x =√3sin 2x −cos 2x +12 =2 sin(2x −π6)+12 则f(x) 的最小正周期T =2 π2=π .令π2+2kπ≤2x −π6≤3 π2+2kπ,k ∈Z 得,π3+kπ≤x ≤5 π6+kπ,k ∈Z ,所以函数f(x) 的单调递减区间为[π3+kπ,5 π6+kπ],k ∈Z .（2）若f(x0)=0,则2 sin(2x0−π6)+12=0,即sin(2x0−π6)=−14,因为0≤x0≤π2,所以2x0−π6∈[−π6,5 π6],所以cos(2x0−π6)=√154,所以sin 2x0=sin[(2x0−π6)+π6]=sin(2x0−π6)cosπ6+cos(2x0−π6)sinπ6=−14×√32+√154×12=√15−√38题型5 函数y=Asin（ω x+φ）性质的应用例6 （2021四川泸县第四中学高一月考）函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递增B.函数f(x)的最小正周期为2 πC.函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称D.函数f(x)的图象可以由y=√2sinωx的图象向右平移5 π6个单位长度得到答案：D解析：由题图可得T4=7 π12−π3=π4,所以T=π,由2 πT=ω,得ω=2,因为f(x)的图象过(π3,0),(7 π12,−√2)两点,所以√2sin(π3×2+φ)=0⇒sin(π3×2+φ)=0⇒π3×2+φ=kπ(k∈Z),φ=kπ−2 π3(k∈Z),又|φ|＜π2,所以当k=1时,φ=π3,所以函数f(x)=√2sin(2x+π3).由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z),解得kπ−5 π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),当k=0时,f(x)的单调递增区间为(−5 π12,π12),所以A中说法错误;函数f(x)的最小正周期T=π,所以B中说法错误;由2x+π3=kπ(k∈Z)得,x=kπ2−π6(k∈Z),当k=1时,x=π3,所以f(x)图象的一个对称中心为(π3,0),所以C中说法错误;因为f(x)=√2sin(2x+π3)=√2sin[2(x+π6)],所以函数f(x)的图象可以由y=√2sin 2x的图象向右平移5 π6个单位长度得到,所以D中说法正确.故选D. 方法归纳根据函数的图象求解析式,先由图象的最高点、最低点确定A的值,根据函数的周期确定ω的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定φ的值．进行函数图象平移变换时,应注意“左加右减”.迁移应用6.（多选）（2021江苏苏州星海中学高一调研）把函数y=sin 2x的图象沿x轴向左平移π6个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断,其中正确的有( )A.f(x)=2 sin(2x+π6)B.函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称C.函数f(x)在[0,π6]上是增函数D.若函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为√3,则a=2√3答案：B; D解析：将函数y=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图象,再将纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2 sin(2x+π3)的}图象,所以A不正确;y=f(π3)=2 sin(2×π3+π3)=2 sinπ=0,所以函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以B正确;由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得−5 π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调增区间为[−5 π12+kπ,π12+kπ],k∈Z,当k=0时,f(x)的增区间为[−5 π12,π12],所以C不正确;y=f(x)+a=2 sin(2x+π3)+a,当0≤x≤π2时,π3≤2x+π3≤4 π3,故−√32≤sin(2x+π3)≤1,所以当2x+π3=4 π3,即x=π2时,函数f(x)取得最小值−√3,所以y min=−√3+a=√3,所以a=2√3,所以D正确.故选BD.题型6 三角函数的实际应用例7 如图所示,一条直角走廊宽2米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N两点,过墙角D作DP⊥AC于点P,DQ⊥BC于点Q,且∠CAB=θ.（1）若平板车卡在直角走廊内,试求平板面EF的长（用θ表示）;（2）若平板车想顺利通过直角走廊,其长度（设为l）不能超过多少米?答案： （1）由直角三角形中三角函数的定义得, DM =2sinθ,DN =2cosθ,MF =1tanθ,EN =tanθ ,所以EF =DM +DN −MF −EN =2sinθ+2cosθ−1tanθ−tanθ=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ(0≤θ≤π2) .（2）若平板车想顺利通过直角走廊,则对任意角θ(0≤θ≤π2) ,平板车的长度不能超过l 的最小值. 设sinθ+cosθ=t,1≤t ≤√2 ,则sinθcosθ=t 2−12,所以l =2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ=4t−2t −1=4(t−1)+2t −1=4t+1+2t −1 ,因为y =4t+1,y =2t 2−1都是减函数,所以当t =√2 时,l 取得最小值4√2−2 .故若平板车想顺利通过直角走廊,则其长度不能超过(4√2−2) 米. 方法归纳在三角函数的实际应用中,要根据题干信息构造三角函数式,在一个三角函数式中同时含有sinθ+cosθ、sinθcosθ 时,需要用换元法求解,应注意新元的取值范围 迁移应用7.如图,某动物种群数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．（1）求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式;（其中t 以年初以来的月为计量单位） （2）估计当年3月1日该动物种群数量.答案： （1）设种群数量y 关于时间t 的解析式为y =Asin(ωt +φ)+B(A ＞0,ω＞0,|φ|≤π2) ,则{−A +B =700,A +B =900, 解得A =100,B =800 .又T =2×(6−0)=12 ,所以ω=2 πT=π6 ,所以y =100 sin(π6t +φ)+800 . 又当t =6 时,y =900 ,所以900=100 sin(π6×6+φ)+800, 即sin(π+φ)=1,解得sinφ=−1,因为|φ|≤π2,所以φ=−π2,所以y=100 sin(π6t−π2)+800.（2）当t=2时,y=100 sin(π6×2−π2)+800=750,即当年3月1日该动物种群数量约是750.高考链接1.（2020课标Ⅱ,2,5分）若α为第四象限角,则( )A.cos 2α＞0B.cos 2α＜0C.sin 2α＞0D.sin 2α＜0答案：D解析：由α为第四象限角可得,3 π2+2kπ＜α＜2 π+2kπ,k∈Z,所以3 π+4kπ＜2α＜4 π+4kπ,k∈Z,此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin 2α＜0,cos 2α的值可正、可负、可为零,故选D.2.（2020课标Ⅰ,7,5分）设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )A.10 π9B.7 π6C.4 π3D.3 π2答案：C解析：由题图可得,函数f(x)的图象过点(−4 π9,0),代入函数f(x)的解析式可得,cos(−4 π9ω+π6)=0,又(−4 π9,0)是函数f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点,所以−4 π9ω+π6=−π2,解得ω=32,所以函数f(x)的最小正周期T=2 πω=2 π32=4 π3,故选C.3.（2020课标Ⅰ,9,5分）已知α∈(0,π),且3 cos 2α−8 cosα=5,则sinα=( )A.√53B.23C.13D.√59答案：A解析：由3 cos 2α−8 cosα=5得,6 cos2α−8 cosα−8=0,即3 cos2α−4 cosα−4=0,解得cosα=−23或cosα=2（舍去）,∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos2α=√53.故选A.4.（多选）（2020新高考Ⅰ,10,5分）如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )A.sin(x +π3)B.sin(π3−2x) C.cos(2x +π6) D.cos(5 π6−2x) 答案： B ; C 解析：由题图可知T2=2 π3−π6=π2 ,所以T =π ,则|ω|=2 πT=2 ππ=2 ,所以A 错误.不妨取ω=2 ,则y =sin(2x +φ) ,当x =2 π3+π62=5 π12时,y =−1 ,所以2×5 π12+φ=3 π2+2kπ(k ∈Z) ,解得φ=2kπ+2 π3(k ∈Z) ,则函数的解析式为y =sin(2x +2 π3+2kπ)=sin(2x +π6+π2)=cos(2x +π6)=sin(π3−2x) ,故B 、C 正确.又cos(2x +π6)=−cos(5 π6−2x) ,故D 错误.故选BC.5.（2020天津,8,5分）已知函数f(x)=sin(x +π3) .给出下列结论： ①f(x) 的最小正周期为2 π ; ②f(π2) 是f(x) 的最大值;③把函数y =sin x 的图象上所有点向左平移π3 个单位长度,可得到函数y =f(x) 的图象.其中所有正确结论的序号是( ) A.①B.①③C.②③D.①②③ 答案： B解析：因为f(x)=sin(x +π3) ,所以T =2 π|ω|=2 π ,故①中结论正确; f(π2)=sin(π2+π3)=sin5 π6=12≠1 ,故②中结论不正确;将函数y =sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到y =sin(x +π3) 的图象,故③中结论正确.故选B.6.（2018天津,6,5分）将函数y =sin(2x +π5) 的图象向右平移π10 个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[3 π4,5 π4] 上单调递增B.在区间[3 π4,π] 上单调递减C.在区间[5 π4,3 π2] 上单调递增D.在区间[3 π2,2 π] 上单调递减答案： A解析：将y =sin(2x +π5) 的图象向右平移π10 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y =sin[2(x −π10)+π5]=sin 2x ,当2kπ−π2≤2x ≤2kπ+π2(k ∈Z) ,即kπ−π4≤x ≤kπ+π4(k ∈Z) 时,y =sin 2x 单调递增,令k =1 ,则x ∈[3 π4,5 π4] ,所以y =sin 2x 在[3 π4,5 π4] 上单调递增,故选A.7.（2019课标Ⅱ,9,5分）下列函数中,以π2 为周期且在区间(π4,π2) 单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 答案： A解析：对于选项A,作出f(x)=|cos 2x| 的部分图象,如图1所示,则f(x) 在(π4,π2) 上单调递增,且最小正周期T =π2 ,故A 正确.对于选项B,作出f(x)=|sin 2x| 的部分图象,如图2所示,则f(x) 在(π4,π2) 上单调递减,故B 不正确. 对于选项C,因为f(x)=cos|x|=cos x ,所以其最小正周期T =2 π ,故C 不正确.对于选项D,作出f(x)=sin|x| 的部分图象,如图3所示,显然f(x) 不是周期函数,故D 不正确.故选A.图1图2图38.（2019课标Ⅰ,5,5分）函数f(x)=sin x+xcos x+x2在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.答案：D解析：因为f(−x)=sin(−x)−xcos(−x)+(−x)2=−sin x+xcos x+x2=−f(x),所以f(x)是奇函数.又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0 ,故选D.9.（2019天津,7,5分）已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π) 是奇函数,将y =f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图象对应的函数为g(x) .若g(x) 的最小正周期为2 π ,且g(π4)=√2 ,则f(3 π8)= ( )A.-2B.−√2C.√2D.2答案： C解析：因为f(x)=Asin(ωx +φ) 为奇函数,所以φ=kπ,k ∈Z ,又|φ|＜π ,所以φ=0 ,所以f(x)=Asinωx ,则g(x)=Asin ωx 2 .由g(x) 的最小正周期T =2 π 得,ω2=2 πT =1 ,所以ω=2 . 又g(π4)=Asin π4=√22A =√2 ,所以A =2 , 所以f(x)=2 sin 2x , 所以f(3 π8)=2 sin 3 π4=√2 ,故选C.10.（2020北京,14,5分）若函数f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,则常数φ 的一个取值为 .答案： π2解析： ∵f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,∴cos x =1 ,解得x =2 kπ,k ∈Z ,且sin(x +φ)=sin(2kπ+φ)=sinφ=1 ,∴φ=π2+2nπ,n ∈Z , ∴φ 可取π2 .。
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总
第五章三角函数5.1任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 -5.1.1任意角 ......................................................................................................... - 1 -5.1.2弧度制 ......................................................................................................... - 7 -5.2三角函数的概念................................................................................................... - 13 -5.2.1三角函数的概念........................................................................................ - 13 -5.2.2同角三角函数的基本关系........................................................................ - 21 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 27 -5.3诱导公式(2) ........................................................................................................ - 33 -5.4三角函数的图象与性质....................................................................................... - 39 -5.4.1正弦函数、余弦函数的图象.................................................................... - 39 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 45 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 51 -5.4.3正切函数的性质与图象............................................................................ - 57 -5.5三角恒等变换....................................................................................................... - 74 -5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式.................................................... - 74 -5.5.2简单的三角恒等变换................................................................................ - 79 -5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) ........................................................................................... - 85 -5.7三角函数的应用................................................................................................... - 99 - 5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一角的概念⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．解题方法探究探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋512)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．易错点归纳一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角αn的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，α3是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜α3＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在区域，故α3为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制知识点一角度制与弧度制设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr 180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的1360为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二 扇形的弧长、面积初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？ 知识梳理 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝n π180，则解题方法探究探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角． [解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °； α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×π180＝－194π. (2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7.(3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 76π54π43π32π53π74π116π2π探究二 用弧度制表示角[例2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z.对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．探究三 扇形的弧长、面积公式的应用 [例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1. ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度． [解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3， ∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3.(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)．则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)． ∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l ＝|α|R .面积公式为S ＝12lR ＝12|α|R 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．易错点归纳一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便． [典例] 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． (1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每1 s 转过的弧长是多少？[解析] 设大齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r . 根据题意设大齿轮的周长L ＝48. 小齿轮的周长l ＝20. 故2πR 2πr ＝4820，即R r ＝4820.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ， ∴θr ＝2πR ，θ＝R r ×2π＝4820×2π＝245π. (2)大轮的转速v 1＝3 r/s ， 故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)． 二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π. [答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念知识点一 三角函数的定义如图所示，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A 的坐标为(1,0)，点P 的坐标为(x ，y )．射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP .当α＝π6时，点P的坐标是什么？当α＝π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine function)，记作sin α，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosine function)，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangent function)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.其中r＝x2＋y2.知识点二三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式π6与136π终边有什么关系？sinπ6与sin136π.cosπ6与cos136π，tanπ6与tan136π之间有什么关系？知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.解题方法探究探究一利用三角函数定义求三角函数值[例1][教材P178例1拓展探究](1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.[解析]由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝(4a2)＋(－3a)2＝5|a|.①当a＞0时，r＝5a，sin α＝yr＝－3a5a＝－35，cos α＝xr＝4a5a＝45，则2sin α＋cosα＝－2 5.②当a＜0时，r＝－5a，2sin α＋cos α＝2×－3a －5a ＋4a －5a ＝25. 综上，2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a ＞0，25，a ＜0.[答案] ±25(2)求43π的正弦、余弦和正切值．[解析] 在直角坐标系中作∠AOB ＝43π，如图．∠AOB 的终边OB 与单位圆的交点B . 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴sin 43π＝－32，cos 43π＝－12，tan 43π＝ 3.(3)已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上一点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．[解析] 设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 1＝－22.∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1.(4)已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．[解析] 法一：(单位圆)设直线y ＝2x 与单位圆x 2＋y 2＝1的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝55，y 1＝255，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－55，y 2＝－255.①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x 1＝55， sin α＝y 1＝255，tan α＝y 1x 1＝2.②当角α的终边在第三象限时， cos α＝x 2＝－55，sin α＝y 2＝－255， tan α＝y 2x 2＝2.法二：(定义法)在直线y ＝2x 上任取一点P (t,2t )(t ≠0)，则r ＝t 2＋(2t )2＝5|t |. ①若t ＞0时，则r ＝5t ，从而sin α＝2t 5t ＝255， cos α＝t 5t ＝55，tan α＝yx ＝2.②若t ＜0，则r ＝－5t ， 从而sin α＝2t －5t ＝－255，cos α＝t －5t＝－55， tan α＝y x ＝2.1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，第二步，计算r：r＝|OP|＝x2＋y2，第三步，求值：由sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)求值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题[例2]判断下列各式的符号．(1)sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°；(2)tan 191°－cos 191°；(3)sin 2cos 3tan 4.[解析](1)∵2 005°＝1 800°＋205°＝5×360°＋205°，2 006°＝5×360°＋206°，2 007°＝5×360°＋207°，∴它们都是第三象限角，∴sin 2 005°<0，cos 2 006°<0，tan 2 007°>0，∴sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°>0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，∴tan 191°－cos 191°>0.(3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．探究三利用公式一求值[例3]求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan(－15π4)；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.[解析](1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤易错点归纳一、单位圆的妙用——比较函数值的大小在单位圆中，由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.如果α在第一象限，作PM⊥x轴于M点．则|PM|＝y，|OM|＝x.过A点作QO的切线，交OP的延长线于T点由于ATMP＝OAOM，即ATOA＝MPOM＝yx＝tan α，OA＝1，∴tan α＝AT.即此时，可用线段MP 、OM 、AT 的长度来表示sin α、cos α、tan α的值．[典例] 如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α＜sin α＜tan αB ．tan α＜sin α＜cos αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．cos α＜tan α＜sin α[解析] 在坐标系中作∠AOC ＝π4，OC 与单位圆的交点为C .作∠AOP ＝α，OP 与单位圆的交点为P .如图． 作PM ⊥x 轴于M 点，由OP 和OC 相比较可知． MP ＞OM .过A 点作切线AT ， 则AT ＞MP .又sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . ∴tan α＞sin α＞cos α.故选A. [答案] A二、利用三角函数的定义运算出错[典例]已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．[解析]因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|PO|＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|.当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．5.2.2同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数基本关系式如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.由此想到sin α、cos α、tan α之间有什么关系？知识梳理(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋kπ，k∈Z)．(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．解题方法探究探究一利用基本关系式求值[例1][教材P183例6拓展探究](1)已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解析] 法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2 cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1， 即cos 2α＝15；当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255； 当α为第四象限角时，cos α＝55，代入①得sin α＝－255. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝sin αcos α，两边分别平方，得tan 2α＝sin 2αcos 2α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＝1cos 2α，即cos 2α＝11＋tan 2α.当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－ 11＋tan 2α＝－11＋(－2)2＝－55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝255.当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝11＋tan 2α＝11＋(－2)2＝55，∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－255.(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517， tan α＝sin αcos α＝158.(3)已知tan α＝3，求：①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②sin 2α－3sin αcos α＋1.[解析] ①原式＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1.②原式＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1＝32－3×31＋32＋1＝0＋1＝1.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类 (1)依据：cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝sin αcos α时，不存在符号的选取问题．(2)分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.探究二三角函数式的化简[例2]化简下列各式．(1) 1－cos θ1＋cos θ＋1＋cos θ1－cosθ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π；(2)sin x1－cos x·tan x－sin xtan x＋sin x.[解析](1)原式＝(1－cos θ)2sin2θ＋(1＋cos θ)2sin2θ＝1－cos θ|sin θ|＋1＋cos θ|sin θ|＝2|sin θ|.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴原式＝2sin θ.(2)原式＝sin x1－cos x·sin xcos x－sin xsin xcos x＋sin x＝sin x1－cos x·sin x(1－cos x)sin x(1＋cos x)＝sin x1－cos x·1－cos x|sin x|＝sin x|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)，－1，x∈⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π，2kπ＋3π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋3π2，2kπ＋2π(k∈Z).1．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．对三角函数式化简的原则 (1)使三角函数式的次数尽量低． (2)使式中的项数尽量少． (3)使三角函数的种类尽量少． (4)使式中的分母尽量不含有三角函数． (5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．探究三 三角恒等式的证明[例3] 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. [证明] 法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝1＋(sin 2α＋cos 2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝(1－2sin α＋sin 2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边． ∴原式成立．法二：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，则⎩⎨⎧sin α＝1－x ，cos α＝y .由sin 2α＋cos 2α＝1，消去α得(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2＝2x ，∴左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2＝右边． ∴原式成立．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．易错点归纳一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin 2α＋cos 2α＝1可变换成(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1，其中sin α＋cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系．若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．[典例] 已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32·(2k ＋1)≥0， ①sin θ＋cos θ＝－34k ， ②sin θ·cos θ＝2k ＋18. ③由平方关系可建立关于k 的等式．∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， ④ ∴将②③代入④，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0， 解得k ＝－109或k ＝2. 将k 值代入Δ≥0验证． ∵k ＝2不满足①式，故舍去，∴k ＝－109.(2)切化弦，再通分．tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θ·cos θ， 把(1)求得的k 值代入．由(1)知sin θ·cos θ＝2k ＋18＝－1172， ∴tan θ＋1tan θ＝1sin θ·cos θ＝－7211. 二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解[典例] 已知sin θ＋cos θ＝15，且0＜θ＜π，求sin θ－cos θ. [解析] ∵sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝125， 解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925. ∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0， ∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝75.纠错心得 此题易错为忽略“0＜θ＜π”的条件，错解为sin θ－cos θ＝±75.当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围．确定三角函数值的符号．5.3 诱 导公式(1)知识点一 诱 导公式(二)如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.知识点二诱导公式(三)如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？知识梳理公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.知识点三诱导公式(四)如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？知识梳理公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．解题方法探究探究一给角求值[例1]求下列各三角函数的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－16π3)；(3)sin 43π·cos(－196π)·tan214π.[解析](1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°) ＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝2 2.法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°) ＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝2 2.(2)法一：cos(－16π3)＝cos16π3＝cos(4π3＋4π)＝cos 4π3＝cos(π＋π3)＝－cos π3＝－12. 法二：cos(－16π3)＝cos(2π3－6π)＝cos 2π3 ＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.(3)原式＝sin 4π3·cos(2π＋7π6)·tan(4π＋5π4) ＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin(π＋π3)·cos(π＋π6)·tan(π＋π4) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·tan π4 ＝(－32)×(－32)×1＝34.利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：探究二 给值求值[例2] [教材P 195第8题拓展探究](1)已知sin(π3－x )＝13，则sin(43π－x )＝________. [解析] sin(43π－x )＝sin[π＋(π3－x )]＝－sin(π3－x )＝－13. [答案] －13(2)已知sin(π3－x)＝13，且0＜x＜π2，则tan(23π＋x)＝________.[解析]∵0＜x＜π2，∴－π6＜π3－x＜π3.又sin(π3－x)＝13＞0，∴0＜π3－x＜π3.cos(23π＋x)＝cos[π－(π3－x)]＝－cos(π3－x)＝－1－sin2(π3－x)＝－1－(13)2＝－223，sin(23π＋x)＝sin[π－(π3－x)]＝sin(π3－x)＝13，∴tan(23π＋x)＝sin(23π＋x)cos(23π＋x)＝13－223＝－24.[答案]－24(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．探究三化简三角函数式[例3]化简cos(4n＋14π＋x)＋cos(4n－14π－x)(n∈Z)．[解析]原式＝cos(nπ＋π4＋x)＋cos(nπ－π4－x)．(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos[(2k＋1)π＋π4＋x]＋cos[(2k＋1)π－π4－x]＝－cos(π4＋x)－cos(－π4－x)＝－2cos(π4＋x)；(2)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝cos(2k π＋π4＋x )＋cos(2k π－π4－x ) ＝cos(π4＋x )＋cos(－π4－x )＝2cos(π4＋x )． 故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos (π4＋x )，n 为奇数2cos (π4＋x )，n 为偶数.利用诱 导公式化简三角函数式的注意点(1)当碰到kx ±α(k ∈Z )的形式时，要注意对k 分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如k π－α＝2k π－(k π＋α)，k ∈Z .易错点归纳一、角的终边关系与诱 导公式的拓展在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：α与β的终边关于x 轴对称 α＋β＝2k π(k ∈Z ) α与β的终边关于y 轴对称 α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) α与β的终边关于直线y ＝x 对称 α＋β＝4k ＋12π(k ∈Z ) α与β的终边关于直线y ＝－x 对称α＋β＝4k －12π(k ∈Z ) α与β的终边在同一条直线上α－β＝k π(k ∈Z ) α与β的终边垂直α－β＝4k ±12π(k ∈Z )[典例] 化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(k ∈Z )．[解析] 原式＝(－1)k ＋1sin θ·(－1)k ＋1cos (－θ)(－1)k sin (－θ)·(－1)k cos θ＝(－1)2k ＋2sin θcos θ(－1)2k sin (－θ)cos θ＝－1. [答案] －1 二、盲目套用公式[典例] 若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．[解析] 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. [答案] m ＋1m －1纠错心得 此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱 导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．5.3 诱 导公式(2)知识点 诱 导公式(五)、(六)如图，作P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，以OP 5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理 公式五(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α.公式六(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α.(3)公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．解题方法探究探究一 利用诱 导公式求值[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________.(3)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值．[解析] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23.(3)因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，所以a 2＋925＝1(a <0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×－4535＝2. [答案] (1)C (2)23 (3)见解析已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱 导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．探究二 化简三角函数式 [例2] 化简：sin (4π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos (2π－α)－tan (5π－α)sin (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解析] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α。
新教材高中数学第五章三角函数 正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修第一册
5．4.3 正切函数的性质与图象[目标] 1.能够作出y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．[重点] 正切函数的性质．[难点] 正切函数的图象、性质及其应用．知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象[填一填]正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线．[答一答]1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2,k ∈Z 有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知,两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线,写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π,k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π2<x <k π,k ∈Z }．(3)满足tan x >0的集合为{x |k π<x <k π＋π2,k ∈Z }．知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质[填一填](1)定义域是{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z }．(2)值域是R ,即正切函数既无最大值,也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数,最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数．(5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2,k π＋π2),k ∈Z 内是增函数．(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称,正切曲线都是中心对称图形,其对称中心坐标是(k π2,0)(k ∈Z ),正切函数无对称轴．[答一答]4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π,π2＋k π),k ∈Z 内都是增函数,但在整个定义域上不具有单调性．5．正切函数图象与x 轴有无数个交点,交点的坐标为(k π,0)(k ∈Z ),因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π,0)对称,还关于点(π2＋k π,0)(k ∈Z )对称,因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π2,0)(k ∈Z )．类型一 利用正切函数图象求定义域及值域[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2,k ∈Z 得,x ≠k π＋π4,k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z ,其值域为(－∞,＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得,tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知,在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上,满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3,所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ,其值域为[0,＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组),然后求出x 的范围.(2)求值域要用换元的思想,把tan x 看作可取任意实数的自变量.[变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ,x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π,∴所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4,k ∈Z ,即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ,y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增,∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增, ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1. 类型二 正切函数的周期性[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧0，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ,作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图,如图所示,易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.一般地,函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0,ω>0)的最小正周期为T ＝πω,常常使用此公式来求周期,也可以借助函数图象求周期.[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2,则a ＝±23. 解析：T ＝π|3a |＝π2,所以a ＝±23.类型三 正切函数的单调性及应用[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2,k ∈Z 得,2k π－π2<x <2k π＋3π2,k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2,k ∈Z ,无单调递减区间． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4, tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5, 又0<π4<2π5<π2,而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增, 所以tan π4<tan 2π5,所以－tan π4>－tan 2π5,即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5.(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体,利用y ＝tan x 的单调性求解,但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3,k ∈Z . (2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4>tan ⎝⎛⎭⎫－95π.解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6,由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2,k ∈Z ,得4k π－4π3<x <4k π＋8π3,k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3,k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4, tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5, 又0<π5<π4<π2,y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增, ∴tan π5<tan π4,∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭⎫－95π. 类型四 正切函数图象与性质的综合应用[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2,已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．[解] (1)由题意,知函数f (x )的最小正周期T ＝π2,即π|ω|＝π2.因为ω>0,所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称,所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2,k ∈Z , 即φ＝k π2＋π4,k ∈Z .因为0<φ<π2,所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π,k ∈Z ,得－3π4＋k π<2x <k π＋π4,k ∈Z .即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2,k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛－3π8＋k π2，⎭⎫π8＋k π2,k ∈Z ,无单调递减区间．(3)由(1),知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3, 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π,k ∈Z .即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2,k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0,不但包含y ＝tan x 的零点,而且包括直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点. [变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0,若－π2<θ<π2,求θ的值．解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0,其中k ∈Z ,所以2x ＋θ＝k π2,令x ＝π3,得θ＝k π2－2π3,k ∈Z .又－π2<θ<π2,当k ＝1时,θ＝－π6,当k ＝2时,θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1．若tan x ≥0,则( D ) A ．2k π－π2<x <2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．2k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )D ．k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2,得x ＝k π6＋π12,令k ＝－2得x ＝－π4.故选C ．3．函数y ＝1tan (π－x )是( A )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )．解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知,同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x ),x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ,在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数,所以值域为(－3,1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为x ＝k π＋π2,k ∈Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z },值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π,函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增,不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．。
高中数学第五章三角函数两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修第一册
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课程标准(1)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式，了解它们的内在联系．(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一 两角和的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的余弦公式C(α＋β)cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R要点二 两角和与差的正弦公式❶名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin (α＋β)＝____________________α，β∈R 两角差的正弦S(α－β)sin (α－β)＝____________________α，β∈R 要点三 两角和与差的正切公式助学批注批注❶ 理顺公式间的联系：批注❷ 公式T (α±β)的符号规律：基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(3)存在α，β角，使得cos (α＋β)＝cos α－cos β.( )(4)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.( )2．已知sin α＝√55，且α∈(0，π2)，则sin (α＋π4)＝( )A．－√1010B．√1010C．－3√1010D．3√10103．已知tanα＝2，则tan (α－π4)＝( )A．－3 B．3C．－13 D．134．cos105°＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 给角求值例1 求下列各式的值：(1)sin47°−sin17°cos30°cos17°；(2)sin17°cos13°＋sin73°cos77°；(3)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°.方法归纳给角求值问题的解题策略巩固训练1 (1)cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝________.(2)1−tan 27°tan 33°tan27°+tan33°＝________．题型 2 给值求值例2 (1)已知cos α＝45，0＜α＜π2，则sin (α＋π4)＝( )A ．√210B ．7√210C ．－√210D ．－7√210(2)已知sin (3π4＋α)＝513，cos (π4－β)＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos (α＋β)．方法归纳给值求值的解题策略巩固训练2 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则tan (π4－α)＝( )A ．－7B ．－17C ．17D ．7(2)已知α∈(0，π2)，sin (α－π6)＝13，则sin α的值为________________．题型 3 给值求角例3 已知sinα＝√55，sinβ＝√1010，且α，β∈(0，π2)，求角α＋β的大小．方法归纳给值求角的方法一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cosθ，若θ∈(－π2，π2)，则通常求sinθ，否则容易导致增解．巩固训练3 若α，β均为锐角，且tanα＝2，tanβ＝3，则α＋β等于( )A．π4B．3π4C．5π4D．7π4第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式新知初探·课前预习[教材要点]要点二sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ[基础自测]1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．解析：因为α∈(0，π2)，sinα＝√55，所以cosα＝√1−sin2α＝√1−(√55)2＝2√5 5，因此sin (α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝√55×√22+2√55×√22＝3√1010.答案：D3．解析：∵tanα＝2，∴tan (α－π4)＝tanα−tanπ41+tanαtanπ4＝2−11+2＝13.答案：D4．解析：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝1 2×√22−√32×√22＝√2−√64.答案：√2−√64题型探究·课堂解透例1 解析：(1)∵sin47°＝sin (30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.(2)sin17°cos13°＋sin73°cos77°＝sin17°cos13°＋cos17°sin13°＝sin (17°＋13°)＝1 2 .(3)∵tan12°+tan33°1−tan12°tan33°＝tan (12°＋33°)＝tan45°＝1.∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1.巩固训练1 解析：(1)由诱导公式可得：cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝sin15°cos45°＋sin45°cos15°＝sin (15°＋45°)＝sin60°＝√3 2.(2)1−tan27°tan33°tan27°+tan33°＝1tan27°+tan33°1−tan27°tan33°＝1tan(27°+33°)＝1tan60°＝√33.答案：(1)√32 (2)√33例2 解析：(1)由cosα＝45，0＜α＜π2，得sinα＝35，所以sin (α＋π4)＝√22sinα＋√22cosα＝√22×35+√22×45＝7√210.(2)∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0.又∵sin (3π4＋α)＝513，cos (π4－β)＝35，∴cos (3π4＋α)＝－1213，sin (π4－β)＝－45.∴cos (α＋β)＝sin [π2＋(α＋β)]＝sin [(3π4＋α)－(π4－β)]＝sin (3π4＋α)cos (π4－β)－cos (3π4＋α)sin (π4－β)＝513×35－(－1213)×(－45)＝－3365.答案：(1)B (2)见解析巩固训练2 解析：(1)由于sinα＝35，α∈(π2，π)，所以cosα＝－√1−sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，tan (π4－α)＝1−tanα1+tanα＝1+341−34＝7.(2)由题意可知，因为α∈(0，π2)，所以α－π6∈(－π6，π3)，所以cos (α－π6)＝√1−sin2(α−π6)＝2√23，则sinα＝sin(α－π6+π6)＝sin(α－π6)cosπ6＋cos(α－π6)sinπ6＝1 3×√32+2√23×12＝√3+2√26.答案：(1)D (2)√3+2√26例3 解析：∵sinα＝√55，sinβ＝√1010，且α，β∈(0，π2)，∴cosα＝√1−sin2α＝2√55，cosβ＝√1−sin2β＝3√1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2√55×3√1010−√55×√1010＝5√5050＝5√210＝√22，又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.巩固训练3 解析：tan (α＋β)＝tanα+tanβ1−tanαtanβ＝2+31−2×3＝－1.因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，则α＋β∈(0，π)，故α＋β＝3π4.答案：B。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数三角函数的概念教案
考点学习目标核心素养三角函数的概念理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值数学抽象、数学运算三角函数值的符号判断掌握各象限角的三角函数值的符号规律逻辑推理诱导公式一及应用掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P１77—P１8１，并思考以下问题：１．任意角的三角函数的定义是什么？２．如何判断三角函数值在各象限内的符号？３．诱导公式一是什么？１．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）定义正弦纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y余弦横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x正切比值错误!叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝错误!（x≠0）三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（１）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．（２）要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．２．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．３．公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式（公式一）：sin（α＋k·２π）＝sin__α，cos（α＋k·２π）＝cos__α，tan（α＋k·２π）＝tan__α，其中k∈Z.■名师点拨（１）公式一的实质公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等．因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．（２）公式一的作用利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0°～３60°范围内与其终边相同的角的三角函数值（方法是先在0°～３60°的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，最后得出结果）．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）已知α是三角形的内角，则必有sin α>0，cos α≥0．（）（２）若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角．（）（３）对于任意角α，三角函数sin α、cos α、tan α都有意义．（）（４）三角函数值的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关．（）（５）同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√（５）√已知sin α＝错误!，cos α＝—错误!，则角α所在的象限是（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限答案：B已知角α的终边经过P（—b，４），且cos α＝—错误!，则b的值为（）Ａ．３Ｂ．—３Ｃ．±３Ｄ．５解析：选Ａ．由x＝—b，y＝４，得r＝错误!，所以cos α＝错误!＝—错误!，解得b＝３（b＝—３舍去）．sin 780°＝________．cos错误!＝________．答案：错误!错误!求任意角的三角函数值（１）已知角α的终边与单位圆的交点为P错误!（y<0），求tan α的值．（２）已知角α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上，求sin α，cos α的值．【解】（１）因为点P错误!（y<0）在单位圆上，则错误!＋y２＝１，所以y＝—错误!，所以tan α＝—错误!.（２）设射线y＝２x（x≥0）与单位圆的交点为P（x，y），则错误!解得错误!即P错误!，所以sin α＝y＝错误!，cos α＝x＝错误!.１．（变条件）本例（２）中条件“角α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上”变为“角α的终边为射线y＝—错误!x（x≥0）”，求角α的正弦、余弦和正切值．解：由错误!得x２＋错误!x２＝１，即２５x２＝１6，即x＝错误!或x＝—错误!.因为x≥0，所以x＝错误!，从而y＝—错误!.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为（错误!，—错误!）．所以sin α＝y＝—错误!，cos α＝x＝错误!，tan α＝错误!＝—错误!.２．（变条件）本例（２）中条件“α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上”变为“α的终边落在直线y ＝２x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：（１）若α终边在第一象限内，解答过程同本例（２）．（２）若α终边在第三象限内，设点P（x，２x）（x＜0）是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝错误!＝—错误!x（x＜0），所以sin α＝错误!＝错误!＝—错误!，cos α＝错误!＝错误!＝—错误!.综上可知，sin α＝±错误!，cos α＝±错误!.错误!已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法（１）先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．（２）在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝错误!，cos α＝错误!.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（３）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为错误!，则tan α＝________．解析：设点A的横坐标为x，则由错误!＝１，解得x＝±错误!，因为角α为第二象限角，所以x＝—错误!，cos α＝—错误!，所以tan α＝错误!＝—错误!.答案：—错误!三角函数值符号的判定判断下列各式的符号：（１）tan １２0°sin ２69°；（２）cos ４tan错误!.【解】（１）因为１２0°角是第二象限角，所以tan １２0°<0．因为２69°角是第三象限角，所以sin ２69°<0．所以tan １２0°sin ２69°>0．（２）因为π<４<错误!，所以４弧度角是第三象限角，所以cos ４<0，因为—错误!＝—6π＋错误!，所以—错误!是第一象限角，所以tan错误!>0，所以cos ４tan错误!<0．错误!正弦、余弦函数值的正负规律１．若—错误!＜α＜0，则点（tan α，cos α）位于（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｂ．由—错误!＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．２．（２0１9·安徽太和中学第一次教学质量检测）已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是（）Ａ．第一象限角B．第二象限角Ｃ．第三象限角D．第四象限角解析：选Ｄ．由|cos θ|＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，所以角θ是第四象限角，故选D.公式一的简单应用求下列各式的值：（１）cos错误!＋tan错误!；（２）sin 8１0°＋tan １１２５°＋cos ４２0°.【解】（１）原式＝cos错误!＋tan错误!＝cos 错误!＋tan错误!＝错误!＋１＝错误!.（２）原式＝sin（２×３60°＋90°）＋tan（３×３60°＋４５°）＋cos（３60°＋60°）＝sin 90°＋tan ４５°＋cos 60°＝１＋１＋错误!＝错误!.错误!利用公式一求解任意角的三角函数的步骤１．sin ５8５°的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．sin ５8５°＝sin（３60°＋２２５°）＝sin ２２５°.由于２２５°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为错误!，所以sin ２２５°＝—错误!.２．tan错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝错误!.３．sin错误!＋cos 错误!·tan ４π＝________．解析：原式＝sin错误!＋cos错误!·tan（４π＋0）＝sin 错误!＋cos 错误!×0＝错误!.答案：错误!１．若角α是第三象限角，则点P（２，sin α）所在象限为（）Ａ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由α是第三象限角知，sin α<0，因此P（２，sin α）在第四象限，故选Ｄ．２．若cos α＝—错误!，且角α的终边经过点P（x，２），则P点的横坐标x是（）Ａ．２错误!B．±２错误!Ｃ．—２错误!D．—２错误!解析：选Ｄ．r＝错误!，由题意得错误!＝—错误!，所以x＝—２错误!.故选Ｄ．３．cos １４70°＝____________．解析：cos １４70°＝cos（４×３60°＋３0°）＝cos ３0°＝错误!.答案：错误!４．求下列三角函数值：（１）sin 错误!π＋cos 错误!π；（２）sin２错误!＋tan２错误!tan 错误!.解：（１）sin 错误!π＋cos 错误!π＝sin错误!＋cos错误!＝sin 错误!＋cos 错误!＝错误!＋错误!＝１．（２）原式＝sin２错误!＋tan２错误!·tan错误!＝sin２错误!＋tan２错误!·tan 错误!＝错误!错误!＋错误!错误!×１＝错误!＋错误!＝错误!.[A 基础达标]１．（２0１9·陕西山阳中学期末考试）点A（x，y）是60°角的终边与单位圆的交点，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ａ．因为tan 60°＝错误!，所以错误!＝错误!，故选Ａ．２．如果α的终边过点（２sin ３0°，—２cos ３0°），那么sin α＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选D.依题意可知点（２sin ３0°，—２cos ３0°），即（１，—错误!），则r＝错误!＝２，因此sin α＝错误!＝—错误!.３．已知角α的终边经过点P（m，—6），且cos α＝—错误!，则m＝（）Ａ．8 Ｂ．—8Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｂ．由题意得r＝|OP|＝错误!＝错误!，故cos α＝错误!＝—错误!，解得m＝—8．４．给出下列函数值：１sin（—１000°）；２cos错误!；３tan ２，其中符号为负的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．因为—１000°＝—３×３60°＋80°，所以—１000°是第一象限角，则sin（—１000°）>0；因为—错误!是第四象限角，所以cos错误!>0；因为２rad≈２×５7°１8′＝１１４°３6′是第二象限角，所以tan ２<0．故符号为负的个数为１．５．若tan α<0，且sin α>cos α，则α的终边在（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｂ．由tan α<0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0，满足sin α>cos α；若α是第四象限角，则sin α<0，cos α>0，不满足sin α>cos α，故选Ｂ．6．计算sin（—１４１0°）＝________．解析：sin（—１４１0°）＝sin（—４×３60°＋３0°）＝sin ３0°＝错误!.答案：错误!7．若sin α·cos α＜0，则α在第________象限．解析：由sin α·cos α＜0，知sin α＞0且cos α＜0或sin α＜0且cos α＞0．若sin α＞0且cos α＜0，则α在第二象限，若sin α＜0且cos α＞0，则α在第四象限．答案：二或四8．已知角α的终边经过点P（３，—４t），且sin（２kπ＋α）＝—错误!，其中k∈Z，则t的值为____________．解析：因为sin（２kπ＋α）＝—错误!（k∈Z），所以sin α＝—错误!.又角α的终边过点P（３，—４t），故sin α＝错误!＝—错误!，解得t＝错误!错误!.答案：错误!9．计算：（１）sin ３90°＋cos（—660°）＋３tan ４0５°—cos ５４0°；（２）sin错误!＋tan π—２cos 0＋tan 错误!—sin 错误!.解：（１）原式＝sin（３60°＋３0°）＋cos（—２×３60°＋60°）＋３tan（３60°＋４５°）—cos （３60°＋１80°）＝sin ３0°＋cos 60°＋３tan ４５°—cos １80°＝错误!＋错误!＋３×１—（—１）＝５．（２）原式＝sin错误!＋tan π—２cos 0＋tan错误!—sin错误!＝sin 错误!＋tan π—２cos 0＋tan 错误!—sin 错误!＝１＋0—２＋１—错误!＝—错误!.１0．已知角α的终边上一点P（m，错误!），且cos α＝错误!，求sin α，tan α的值．解：由题意得x＝m，y＝错误!，所以r＝|OP|＝错误!，所以cos α＝错误!＝错误!＝错误!，解得m＝错误!（负值舍去），则r＝２错误!，所以sin α＝错误!＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!＝错误!.[B 能力提升]１１．函数y＝错误!＋错误!＋错误!的值域是（）Ａ．{—１，0，１，３} Ｂ．{—１，0，３}Ｃ．{—１，３} Ｄ．{—１，１}解析：选Ｃ．当x是第一象限角时，y＝３；当x是第二象限角时，y＝—１；当x是第三象限角时，y＝—１；当x是第四象限角时，y＝—１．故函数y＝错误!＋错误!＋错误!的值域是{—１，３}．１２．（２0１9·重庆一中期末）已知α是第三象限角，且cos错误!>0，则错误!的终边所在的象限是（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｄ．由α是第三象限角知：２kπ＋π<α<２kπ＋错误!（k∈Z）．所以kπ＋错误!<错误!<kπ＋错误!（k∈Z）．因此，当k是偶数时，错误!是第二象限角；当k是奇数时，错误!是第四象限角．又cos 错误!>0，因此错误!是第四象限角，故选Ｄ．１３．（２0１9·四川南充期末考试）已知角α的终边经过点P（３，４）．（１）求tan（—6π＋α）的值；（２）求错误!·sin（α—２π）·cos（２π＋α）的值．解：设x＝３，y＝４则r＝错误!＝５，所以sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!，（１）tan（—6π＋α）＝tan α＝错误!.（２）原式＝错误!·sin α·cos α＝sin２α＝错误!错误!＝错误!.１４．已知错误!＝—错误!，且lg（cos α）有意义．（１）试判断角α的终边所在的象限；（２）若角α的终边与单位圆相交于点M错误!，求m的值及sin α的值．解：（１）由错误!＝—错误!，可知sin α＜0，由lg（cos α）有意义可知cos α＞0，综上可知角α的终边在第四象限内．（２）因为点M错误!在单位圆上，所以错误!错误!＋m２＝１，解得m＝±错误!.又由（１）知α是第四象限角，所以m＜0，所以m＝—错误!.由正弦函数的定义可知sin α＝—错误!.[C 拓展探究]１５．已知角α的终边上的点P与点A（a，b）关于x轴对称（a≠0，b≠0），角β的终边上的点Q 与点A关于直线y＝x对称，求错误!＋错误!＋错误!的值．解：由题意可知P（a，—b），则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝—错误!；由题意可知Q（b，a），则sin β＝错误!，cos β＝错误!，tan β＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝—１—错误!＋错误!＝0．。
高中数学新人教A版必修第一册课件：第五章三角函数5
解 (1)以时间 t 为横坐标，活动人数 y 为纵坐标，在平面直角坐标系中 画出散点图，如图所示．
根据图象，可考虑用函数 y＝Asin(ωt＋φ)＋h 描述人数与时间之间的对应 关系．
从图象和数据，可知 A＝50，h＝100，T＝12，φ＝0. 由 T＝2ωπ＝12，得 ω＝π6. 所以这个活动室的活动人数 y 与时间 t 的函数关系式为 y＝50sin6πt＋100，t∈[0,24]． (2)由 y≥140，即 y＝50sin6πt＋100≥140， 得 sinπ6t≥45，
5. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝Asinωt＋6π(A>0，ω≠0)的 图象如图所示，则当 t＝510秒时，电流强度是( )
A．－5 安 B．5 安 C．5 3安 D．10 安 答案 B
解析 由图象可知 A＝10，T＝2×3400－3010＝510，∴2ωπ＝510，∴ω＝100π. ∴I＝10sin100πt＋6π.当 t＝510秒时，I＝10sin100π×510＋π6＝5(安)．
(1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒钟内小球能往返振动多少次？
解 (1)令 t＝0，得 h＝3sinπ4＝3 22，所以小球开始振动的位置为离开平 衡位置向上32 2 cm 处．
(2)由题意知，t∈[0，π]，当 h＝3 时，t＝π8，即最高点为π8，3； 当 h＝－3 时，t＝58π，即最低点为58π，－3. (3)T＝22π＝π≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次． (4)f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次．
所以 900＝100sinπ6×6＋φ＋800， 所以 sin(π＋φ)＝1，所以 sinφ＝－1，所以取 φ＝－π2. 所以 y＝100sinπ6t－π2＋800. (2)当 t＝2 时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.
高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章三角函数图像和性质教案
正余弦正切函数的图像和性质【知识要点】1正弦、余弦、正切函数的图像和性质2、对称轴与对称中心：siny x=的对称轴为2x kππ=+，对称中心为(,0)k k Zπ∈；cosy x=的对称轴为x kπ=，对称中心为2(,0)kππ+；【典型例题】例、求函数)33sin(2π+-=xy的定义域、值域，指出它的周期．并画出简图.例3、已知函数()cos()34k f x x π=+，如果使()f x 的最小正周期在23(,)34内，求正整数k 的取值集合.例4、已知函数()sin(2)14f x x π=-+，求函数()f x 的最大值、最小值以及周期.例5、求下列函数图像的对称轴方程和对称中心坐标 （1）15sin()23y x π=+（2）1cos(2)36y x π=+例6、比较5sin 8π，5cos 8π，5tan 8π的大小例7、已知4k <-，则函数22sin cos 2y x k x k =-++-的最小值【经典练习】1、下列各区间，使函数)sin(π+=x y 的单调递增的区间是 （ ） A ．[π2，π] B ． ［0，π4］ C ． ［－π，0］ D ． [π4，π2]2、函数的最大值2sin 2+=x y 和最小值分别为（ ） A 、2,－２ Ｂ、４，０ Ｃ、２，０ Ｄ、４，－４3、若函数3cos()3y x πω=+的周期为T ，且T ∈(2,3),则整数ω=4、已知3()sin 3f x ax b x =++，且(3)7f -=，则(3)f = 5、画出下列函数在一个周期上的图像 （1）2sin(2)4y x π=+ （2）1cos()23y x π=+6、判断下列函数的奇偶性 （1）()cos(2)cos()2f x x x ππ=+•+（2）2()1(sin 1sin f x g x x =+7、函数sin()4y x π=+的单调增区间和取到最大值x 的集合8、设函数()sin f x A B x =+，若0<B ，()f x 的最大值是32，最小值为12-，求 A 和B9、设1tan 4tan ,442++-=≤≤-x x y x 求函数ππ的最大值10、设()f x 定义域为R ，且最小正周期为32π的函数，且当,2x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，cos ,0()2sin ,0x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩，求15()4f π-的值【课后作业】1、函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数 （ ）A 、]4,4[ππ-B 、]43,4[ππC 、]2,0[πD 、],2[ππ2、函数3sin(2)6y x π=+的最小正周期是（ ）A 、4πB 、2πC 、πD 、2π3、3()tan sin 7f x a x b x =-+，且(1)14f =，则(1)f -= 4、()cos()6f x x πω=-的最小正周期为5π，其中0>ω,则ω= 5、使函数cos y x =是增函数，且sin y x =是减函数的区间是 6、求函数12sin()243y x π=-的单调区间和最大值、最小值x 的集合7、函数cos y k x b =+的最大值为2，最小值为-4，求k ，b 的值8、求函数27sin sin 4y x x =+-的最大值。
人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册讲义(知识点考点汇总及配套习题,含解析)
人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 -1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 -1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -1.4空间向量的应用........................................................................................................... - 59 -1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 -第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 -第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 -章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -2.1.1倾斜角与斜率.................................................................................................. - 113 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 -2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 -2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 -2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -2.4.1圆的标准方程.................................................................................................. - 171 -2.4.2圆的一般方程.................................................................................................. - 180 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 -2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 -第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 -3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................. - 267 -3.3 抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ...................................................................................... - 281 -3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................. - 291 - 章末复习 ............................................................................................................................. - 303 - 全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算国庆期间，某游客从上海世博园图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量3.(1)向量的加法、减法①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示] 没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →) 即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．( ) (2)相等向量一定是共线向量．( ) (3)三个空间向量一定是共面向量．( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行．(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________.－53[因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.] 4．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]【例1】 (1)给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.[跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD 1111为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P -ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →；②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．(1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →， ∴y ＝z ＝－12. ②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点，∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →，∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎨⎧ λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.] (2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a－415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.[探究问题]1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如P A →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．] 2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB→－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________.56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .] 4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，求k 的值． [解] ∵两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴k e 1＋e 2＝t (e 1＋k e 2)，则(k －t )e 1＋(1－tk )e 2＝0.∵非零向量e 1，e 2不共线，∴k －t ＝0,1－kt ＝0，解得k ＝±1.1.1.2 空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. (3)数量积的运算律(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝k a，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.]3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]【例1】 (1)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA →. ∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又P A →＝PD →＋DA →，∴P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .【例3】 (1)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b 夹角〈a ，b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos ∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14，又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos 〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值． (2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3.即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.[探究问题]1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2 注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角α-AB -β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12 D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.]2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角α-AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →， ∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值． [解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. (1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0 ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22]＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长度为22a . (3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a ·32a ·cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23.从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.1.2 空间向量基本定理(1)共面向量定理：如果两个向量1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x ，y ，z )是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA →，OB →，OC →}不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面．( ) (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量． ( ) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)×2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c[答案] D3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD → B ．AB →，AA 1→，AB 1→ C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→ C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]4．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [由m 与n 共线，得1x ＝－1y ＝11，∴x ＝1，y ＝－1.]【例1】 (1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．(1)C [如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.](2)[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立，∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)， 即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面．∴⎩⎨⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．[跟进训练]1．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a 或bC [由题意和空间向量的共面定理， 结合p ＋q ＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ， 得a 与p ，q 是共面向量， 同理b 与p ，q 是共面向量，所以a 与b 不能与p ，q 构成空间的一个基底； 又c 与a 和b 不共面，所以c 与p ，q 构成空间的一个基底．]【例2】 如图，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO (图略)，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF→＝12CB →＝12OA →＝12a .基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底． (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．[跟进训练]2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A ．－23，16，16B ．23，－16，16。
人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数的概念教案
《5.2.1 三角函数的概念（第一课时）》教学设计教学目标1．了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；2．经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义．教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sinα，cosα和tanα的认识．课前准备PPT课件教学过程（一）创设情境引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．图1问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？ 预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论．预设答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向．（二）新知探究引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A 的坐标为(1，0)，点P 的坐标为(x ，y )．射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP ．问题2：当α=6π时，点P 的坐标是什么？当α=2π或3π2时，点P 的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 预设的师生活动：在学生求出α=6π时点P 的坐标后追问以下问题． 追问：（1）求点P 的坐标要用到什么知识？（2）求点P 的坐标的步骤是什么？点P 的坐标唯一确定吗？（3）如何利用上述经验求α=3π2时点P 的坐标？ （4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？预设答案：（1）直角三角形的性质；（2）画出6π的终边OP ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于M ，在Rt △OMP 中，利用直角图2三角形的性质可得点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，； （3）可以发现，∠MOP =3π，而点P 在第二象限，可得点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，； （4）对于R 中的任意一个角α，它的终边OP 与单位圆交点为P (x ，y )，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：f ：实数α（弧度）对应于点P 的纵坐标y ，g ：实数α（弧度）对应于点P 的横坐标x ．根据上述分析，f ：R →[－1，1]和g ：R →[－1，1]都是从集合R 到集合[－1，1]的函数． 设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．问题3：请同学们先阅读教科书第178～179页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sin α，cos α和tan α分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？（3）为什么说当α≠2π＋k π时，tan α的值是唯一确定的？ （4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R ？而正切函数的定义域是{x ∈R |x ≠2π＋k π，k ∈Z }？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sin α →点P 的纵坐标y ；余弦函数的对应关系：cos α →点P 的横坐标x ；正弦函数的对应关系：tan α →xy （2）分别表示y ，x ，；引入符号log a b 表示a x =b 中的x ．（3）当α≠2π＋k π时，如果α确定，那么α的终边确定，终边与单位圆的交点P 确定，P 点的横、纵坐标x 、y 就会唯一确定，因此x y 的值也是唯一确定的，所以tan α的值也是唯一确定的．（4）当α＝2π＋k π时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以xy ＝tan α无意义．除此之外，对于任意角α，P 点的横、纵坐标的值x ，y 都是存在且唯一确定的．设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号log a b 表示a x =b 中的x ），理解三角函数符号的意义．问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为y 1，并把按本节三角函数定义求得的x 的正弦记为z 1．y 1与z 1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论．预设答案：作出Rt △ABC ，其中∠A =x ，∠C =90°，再将它放入直角坐标系中，使点A 与原点重合，AC 在x 轴的正半轴上，可得出y 1=z 1的结论．对于余弦、正切也有相同的结论．设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性． 例1 利用三角函数的定义求3π5的正弦、余弦和正切值． 预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．预设答案：在直角坐标系中，作∠AOB =3π5（图3）．易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，． 所以，sin 233π5-=，cos 213π5=，tan 33π5-=． 设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．练习：在例1之后进行课堂练习：（1）利用三角函数定义，求π，2π3的三个三角函数值． （2）说出几个使cos α＝1的α的值．预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．预设答案：（1）sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0；sin2π3＝－1，cos 2π3＝0，tan 2π3不存在．（2）α＝0，2π，－2π等．设计意图：检验学生对定义的理解情况．例2 如图4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(x ，y )，点P 与原点的距离为r ．求证：sin α=r y ，cos α=r x ，tan α=x y ． 师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sin α，cos α吗？（2）在你所作出的图形中，r y ，r x ，xy 各表示什么，你能找到它们与做任意角α的三角函数的关系吗？图3预设答案：如图5，设角α的终边与单位圆交于点P 0(x 0，y 0)．分别过点P ，P 0作x 轴的垂线PM ，P 0M 0，垂足分别为M ，M 0，则|P 0M 0|=|y 0|，|PM |=|y |，|OM 0|=|x 0|，|OM |=|x |，△OMP ∽△OM 0P 0．于是r PM M P ||1||00 ，即|y 0|=ry ||．因为y 0与y 同号，所以y 0=r y ， 即sin α=r y ．同理可得cos α=r x ；tan α=x y ． 设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP ，△OM 0P 0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？预设的师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．预设答案：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(x ，y )，点P 与原点的距离为r ，则r y 、r x 、xy 分别叫做角α的正弦、余弦、正切． 设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．练习：在例2之后进行课堂练习：（3）已知点P 在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s ．求2 s 时点P 所在的位置．图5图4预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业．预设答案：以坐标原点为圆心O ，OP 所在直线为x 轴正方向建立平面直角坐标系．2 s 时点P 所在位置记为Q ．因为点P 是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为1rad/s ，所以圆心角∠POQ ＝－2 rad ．所以2 s 时，点P 在该坐标系中的位置为（2cos 2，－2sin 2）．设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．（三）布置作业（四）目标检测设计（1）利用三角函数定义，求6π7的三个三角函数值． （2）已知角θ的终边过点P (－12，5)，求角θ的三角函数值．预设答案：（1）sin6π7＝－21，cos 6π7＝－23，tan 6π7＝33； （2）sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ＝－512．设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．1、最困难的事就是认识自己。
人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第5章 三角函数 正弦函数、余弦函数的图象
解 y=sin|x|=
为偶函数,首先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的
sin,0 ≤ ≤ 2π
图象,再将x∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图象,即得x∈[-2π,0]的部分.
如图所示即为所求图象.
规律方法
图象变换的规律
(1)平移变换
①函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移
弦函数的性质——正切函数的图象性质.这是我们学习本单元的知识明线,
具体内容结构如图所示:
本学习单元的最终目标是掌握三角函数的图象与性质,具体掌握“五
点法”画出正、余弦函数的图象,并根据图象研究三角函数的性质,培养数
学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.
1.了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法.(数学抽
|a|个单位长度得到的;
②函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移
|b|个单位长度得到的.
(2)对称变换
①函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的
部分关于x轴为对称轴翻折到x轴上方得到;
②函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其
5π
+2kπ,k∈Z}.
6
5π
+ 2π,∈Z}
6
.
1
y= .
2
(2)在同一平面直角坐标系中,作函数y=sin x和y=lg x的图象,根据图象判断
出方程sin x=lg x的解的个数.
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数 函数y=Asin(ω_φ)的图象与性质
6
3
≤ ≤ π,所以()在[0, π]上的单调
（2）若存在 ∈
2
[−π, π],()
3
− ≤ 0成立,求的取值范围.
2
3
2
3
解因为存在 ∈ [−π, π],() − ≤ 0成立,即∃ ∈ [−π, π], ≥ ()成立,由（1）
知,() = sin
()min =
+
()的单调递增区间为[− + , + ], ∈ .故答案为
，
[− + , + ] ∈ .
[解析]函数() = ( − ) + , > , ∈ ,由() = − ,() = ,且| − |的
A.() = 2 cos
3
B.() = 2 sin
(
3
π
+ )
3
3
2π
)
3
6
5π
)
12
C.() = 2 sin ( +
D.() = 2 sin ( +
,故 = ,由
= = ,解得 = ,则() = ( + ),∵函数()的图象过点( , ),则
= ≠ ,所以图象不关于点( , )成中心对称,故B错误；
+ ∈ [−
, ],因为正弦函数 = 在[−
, ]不单
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数 正切函数的性质与图象
【例1】 求下列函数的定义域和值域:
1 π
(1)f(x)=tan( x- );
2 3
(2)f(x)=
3-tan.
1 π
解(1)依题意得2x-3
π
≠kπ+2,k∈Z,所以
所以函数的定义域是 ≠
5π
x≠2kπ+ 3 ,k∈Z.
5π
2π + 3 ,∈Z
期的区别在哪里?
问题10:正切函数的奇偶性如何?若与其他函数通过运算复合构成新的函
数,如何判断新函数的奇偶性?
【例 4】 (1)求函数
1
f(x)= tan
2
3
π
−
5
的最小正周期;
(2)已知函数f(x)=asin x+btan x+2 018,若f(2 019)=-1,求f(-2 019)的值.
分析(1)根据正切函数的最小正周期求解;(2)根据函数y=asin x+btan x是奇
2
< ≤
π
π + ,
3
∈ ,其值域
规律方法
求正切函数定义域的方法及注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还
要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠
π
2 +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等
式,常利用正切函数的图象求解.解形如tan x>a的不等式的步骤:
2
说f(x)=tan x在定义域内递增.
,不能
重难探究•能力素养全提升
问题1:函数性质的研究除了根据图象来研究这个方式外,当直接作图有困
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第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 -5.1.1 任意角 ......................................................................................................... - 1 - 5.1.2 弧度制 ....................................................................................................... - 10 - 5.2 三角函数的概念................................................................................................... - 18 -5.2.1 三角函数的概念 ........................................................................................ - 18 - 5.2.2 同角三角函数的基本关系 ........................................................................ - 28 - 5.3 诱 导公式(1) ........................................................................................................ - 36 - 5.3 诱 导公式(2) ........................................................................................................ - 44 - 5.4 三角函数的图象与性质 ....................................................................................... - 51 -5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 .................................................................... - 51 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 60 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 67 - 5.4.3 正切函数的性质与图象 ............................................................................ - 76 - 5.5 三角恒等变换..................................................................................................... - 101 -5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................................. - 101 - 5.5.2 简单的三角恒等变换 .............................................................................. - 108 - 5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ......................................................................................... - 116 - 5.7 三角函数的应用................................................................................................. - 135 -5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角内 容 标 准学 科 素 养1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理2.能区分正角、负角和零角．3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角.授课提示：对应学生用书第76页[教材提炼]知识点一 角的概念预习教材，思考问题⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角预习教材，思考问题角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角预习教材，思考问题30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[自主检测]1．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°答案：D3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角．解析：若α是锐角，则0°<α<90°，所以180°<α＋180°<270°，从而α＋180°是第三象限角．答案：三4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得13≤k<43.又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°授课提示：对应学生用书第77页探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋512)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．写出下列说法所表示的角：(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；(3)向右转体3周．解析：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°.探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．解析：(1)如题图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．(2)如题图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．授课提示：对应学生用书第78页一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角αn的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，α3是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜α3＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在区域，故α3为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制内容标准学科素养1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．数学运算数学抽象2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.授课提示：对应学生用书第79页[教材提炼]知识点一角度制与弧度制预习教材，思考问题设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr 180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的1360为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二扇形的弧长、面积预习教材，思考问题初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？知识梳理扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝nπ180，则[自主检测] 1．2 rad的角的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B2．若一扇形的圆心角为25π，半径为20 cm，则扇形的面积为()A．40π cm2B．80π cm2 C．40 cm2D．80 cm2解析：因为扇形的圆心角为25π，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形＝12αR2＝80π cm2，故选B.答案：B3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度．(1)60°＝________，150°＝________；(2)π6＝________，2π3＝________.解析：根据角度与弧度的互化公式知60°＝π3，150°＝5π6，π6＝30°，2π3＝120°.答案：(1)π35π6(2)30°120°4．终边在y轴上的角的集合用弧度表示为________．答案：{β|β＝kπ＋π2，k∈Z}授课提示：对应学生用书第80页探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角． [解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °； α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×π180＝－194π. (2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7. (3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6π4π3π223π34π56ππ角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度76π54π43π32π53π74π116π2π(1)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝712π，试比较它们的大小．(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？解析：(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12，显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180π)°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.(2)－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．探究二用弧度制表示角[例2]用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z. 对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．解析：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z . 因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π. 又56π<107π90<3π2， 所以2 014°＝107π90∈S .探究三 扇形的弧长、面积公式的应用[例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1. ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度． [解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3， ∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3.(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)． 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)．∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝12lR＝12|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．授课提示：对应学生用书第81页一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便．[典例]已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？[解析]设大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r.根据题意设大齿轮的周长L＝48.小齿轮的周长l＝20.故2πR2πr＝4820，即Rr＝4820.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ，∴θr＝2πR，θ＝Rr×2π＝4820×2π＝245π.(2)大轮的转速v1＝3 r/s，故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)． 二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π. [答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念内 容 标 准学 科 素 养 1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义． 直观想象 数学抽象 数学运算2.掌握三角函数在各象限的符号．3.掌握诱 导公式(一)及其应用.授课提示：对应学生用书第81页[教材提炼]知识点一 三角函数的定义预习教材，思考问题如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.当α＝π6时，点P的坐标是什么？当α＝π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine function)，记作sin α，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosine function)，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangent function)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.其中r ＝x 2＋y 2.知识点二 三角函数值在各象限的符号 预习教材，思考问题若一个角的终边任意一点为P (x ，y )，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点三 诱 导公式 预习教材，思考问题π6与136π终边有什么关系？sin π6与sin 136π.cos π6与cos 136π，tan π6与tan 136π之间有什么关系？知识梳理 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 由此得到一组公式(公式一)： sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α， 其中k ∈Z .[自主检测]1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α等于( )。