高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
16种求极限的方法及一般题型解题思路分享
千里之行，始于足下。
16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。
在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。
本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。
1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。
这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。
2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。
3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。
4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。
5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。
6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。
7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。
9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。
这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。
10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。
11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。
12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。
13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。
14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。
为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。
以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。
这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
高等数学极限计算方法总结
高等数学极限计算方法总结《高等数学极限计算方法总结》嘿，我的好兄弟好姐妹！今天咱来唠唠高等数学里那个让人又爱又恨的极限计算。
这玩意儿看着头疼，其实掌握了方法，那就是小意思！首先，咱来说说最简单直接的代入法。
啥叫代入法呢？就是直接把极限点的值往函数里塞，要是能算出一个确定的数，那恭喜你，答案到手啦！比如说，给你个函数 f(x) = x + 2，让你求 x 趋于 3 时的极限，那你就直接把 3 代进去，3 + 2 = 5，是不是超级简单？这就好比你去商店买东西，老板说这个东西价格就是 x 元，你问 x 是多少，老板说 5 块，你掏钱走人，干脆利落！接下来，是约分法。
有些函数的式子看起来复杂得要命，但是别怕，咱找找分子分母有没有相同的因子，约掉它！就像你整理房间，把没用的杂物清理掉，一下子就清爽了。
比如说，(x² - 1)/(x - 1)，当 x 趋于1 时，分子可以因式分解变成 (x + 1)(x - 1)，然后和分母一约，就剩下x + 1 啦，再把 1 代进去，得 2 。
这感觉，就像你解开了一团乱麻，爽歪歪！再说说有理化法。
要是遇到那种带根号的式子，别慌！把分子或者分母有理化一下。
想象一下，根号就像个调皮的小孩，咱得把他收拾得乖乖的。
比如(√x - 1)/(x - 1)，分子分母同时乘以(√x + 1) ，然后一通化简，就能算出极限啦。
这就好比你驯服了一只小怪兽，让它乖乖为你服务。
还有重要的等价无穷小替换法。
这个可厉害了！当 x 趋于 0 时，sin x 等价于 x ，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 x²/2 等等。
就像你有一堆长得不一样但价值差不多的宝贝，关键时刻能互相替换。
但要注意，只能在乘除关系中用哦，加减可不行，不然会出错的，这就像你穿衣服，搭配对了好看，搭错了可就尴尬啦！最后，是洛必达法则。
这可是个大杀器！当分子分母同时趋于 0 或者无穷大的时候，对分子分母分别求导，直到能算出极限为止。
高数极限求解方法
高数极限求解方法极限是数学中一个重要的概念，它在微积分和其他数学领域中都有广泛的应用。
对于学习高等数学的学生来说，掌握好极限的求解方法是至关重要的。
本文将介绍一些常见的高等数学极限求解方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
1. 极限的定义在介绍具体的求解方法之前，先来回顾一下极限的定义。
在数学中，当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值，这个确定的值就称为极限。
一般用符号$\\lim_{x \\to a} f(x) = L$表示。
2. 重要极限求解方法2.1 代入法代入法是求解极限中最基础、最直观的方法之一。
当函数在某一点未定义，或者无法直接计算极限时，可以尝试通过代入法来解决。
即可将自变量代入函数中进行计算，得到极限值。
2.2 因式分解法在某些情况下，可以通过因式分解的方法来简化极限的求解过程。
将函数进行因式分解后，往往能够更容易地计算极限值。
2.3 洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限求解方法，适用于求解$\\frac{0}{0}$或$\\frac{\\infty}{\\infty}$形式的极限。
通过对函数的导数进行比较来确定极限值。
2.4 三角函数化简法当遇到包含三角函数的极限问题时，可以尝试通过将三角函数化简为简单形式来解决。
常用的化简技巧包括倍角公式、和差化积公式等。
2.5 泰勒展开法泰勒展开法是一种高阶近似求解方法，通过将函数在某一点处展开成无穷级数，利用展开式的有限项来逼近函数在该点的极限值。
3. 实例分析下面通过几个具体的实例来演示以上介绍的极限求解方法：3.1 代入法计算$\\lim_{x \\to 2} (x^2 - 4)$。
直接将x代入函数得到$\\lim_{x \\to 2} (x^2 - 4) = 0$。
3.2 洛必达法则计算$\\lim_{x \\to 0} \\frac{e^x - 1}{x}$。
利用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到$\\lim_{x \\to 0} \\frac{e^x - 1}{x} = 1$。
16种求极限的方法总结
16种求极限的方法总结说起考研数学，你觉得最难的是哪个?据调查，数学中求极限的问题一直困扰着广大考生，2015年的考研马上就要到了，海文考研专门为大家梳理了16种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。
解决极限的方法如下：1、等价无穷小的转化只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x 展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、无穷大比上无穷大面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
高等数学经典求极限方法
高等数学经典求极限方法求极限的各种方法1．约去零因子求极限x 4-1例1：求极限limx →1x -1【说明】x →1表明x 与1无限接近，但x ≠1，所以x -1这一零因子可以约去。
(x -1)(x +1)(x 2+1)【解】lim =lim (x +1)(x 2+1) =6=4x →1x →1x -12．分子分母同除求极限x 3-x 2例2：求极限lim 3x →∞3x +1【说明】∞型且分子分母都以多项式给出的极限, 可通过分子分母同除来求。
∞1-1x 3-x 21=lim =【解】lim 3x →∞3x +1x →∞3+3x 3【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；⎧⎪0n n -1a x +a n -1x + +a 0⎪(2) lim n m =⎨∞m -1x →∞b x +b x + +b m m -10⎪a n⎪⎩b nm >n m3．分子(母) 有理化求极限例3：求极限lim (x 2+3-x 2+1)x →+∞【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】lim (x +3-x +1) =limx →+∞22(x 2+3-x 2+1)(x 2+3+x 2+1)x +3+x +122x →+∞=lim2x +3+x +122x →+∞=0例4：求极限limx →0+tan x -+sin x3【解】limx →0+tan x -+sin x tan x -sin x=lim 33x →0x x (+tan x ++sin x )=limx →0tan x -sin x 1tan x -sin x 1=lim = 33x →0x →024x x +tan x ++sin xlim1【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键4．应用两个重要极限求极限11sin x两个重要极限是lim =1和lim (1+) x =lim (1+) n =lim (1+x ) x =e ，第x →∞n →∞x →0x →0x n x1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
考研数学：求极限的16种方法
考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。
在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。
以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。
代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。
方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。
通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。
方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。
通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。
方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。
通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。
方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。
通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。
方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。
通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。
方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。
通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。
方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。
通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。
方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。
通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。
方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。
高数求极限的方法总结
高数求极限的方法总结
求极限的方法总结如下：
1. 代入法：将极限中的变量代入函数中进行计算，看是否能得到确定的值。
2. 夹逼定理：当函数夹在两个其他已知函数之间时，如果这两个函数的极限相等，则函数的极限也相等。
3. 幂指函数的极限：根据函数的幂指形式，分别考虑底数和指数的极限。
4. 分子分母除以最高幂次项：将分子和分母都除以最高幂次项，可以简化计算，并得到函数的极限。
5. 极限的四则运算法则：对于四则运算中的极限，可以将它们分别计算求得极限，然后应用四则运算法则得到最终结果。
6. 奇偶函数的极限：奇函数的极限可表示为对称轴两侧的函数极限之和，偶函数的极限可表示为对称轴两侧的函数极限相等。
7. 自然对数的极限：自然对数的极限是1。
8. e的极限：e是一个常数，其极限是e。
9. 无穷小量的极限：无穷小量的极限为0。
10. 级数的极限：当级数的通项趋于0，且满足柯西准则时，级数收敛。
请注意，在应用这些方法时，需要注意条件的合理性和适用范围，并进行必要的证明。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
首先说下我的感觉,假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面：首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
极限分为一般极限,还有个数列极限,（区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种）。
解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！你还能有补充么？）1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。
首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E 的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
高数极限求解方法与技巧总结
第一章 极限论极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。
因为有关函数的可积、连续。
可导等性质都是用极限来定义的。
毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。
衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。
重点是求极限。
⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩极限的定义数列极限极限的性质函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法1.利用单调有界原理单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。
可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。
利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。
2、求极限。
说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。
例1 设0110,0,()0,1,2n n naa x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。
分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。
解：由基本不等式，11()2n n nax x x +=+≥，所以可知数列n x 有下界；下面证单调性，可知当2n ≥时，有2111()()22n n n n n n nx a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。
综合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞存在；令lim n n x A →∞=，带入等式解得A =评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性的过程中并没有用传统的作差或作商的方法，而是用了1n x +≥这一代换（原因鉴，掌握这一套路。
例2设21ln ln ln nn k x n k k==-∑，证明{}n x 的极限存在。
高数求极限的方法总结
高数求极限的方法总结在高等数学中，求极限是一个非常重要的概念，也是数学分析的基础。
在学习高数的过程中，我们经常会遇到各种各样的极限求解问题，而不同的函数求极限的方法也各有特点。
在这篇文档中，我将对高数求极限的方法进行总结，希望能够为大家提供一些帮助。
首先，我们来谈谈函数极限的定义。
当自变量 x 的取值无限接近某一数值 a 时，如果函数 f(x) 的取值也无限接近某一数值 A，那么就称函数 f(x) 在 x 趋向于 a 时的极限为 A，记作 lim(x→a) f(x) = A。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的函数极限求解方法，比如利用极限的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。
其次，利用极限的性质是我们在求解函数极限时经常使用的方法之一。
根据极限的性质，我们可以利用函数极限的四则运算性质、复合函数极限的性质、函数极限的比较性质等来简化极限的求解过程，从而更快速地得到极限的结果。
这种方法在实际应用中非常方便，可以大大简化计算的复杂度。
另外，夹逼定理也是一个常用的极限求解方法。
夹逼定理的核心思想是通过确定两个函数的极限，从而确定另一个函数的极限。
当我们无法直接求解某个函数的极限时，可以尝试利用夹逼定理来确定该函数的极限，这种方法在一些特殊的极限求解中非常有效。
此外，洛必达法则也是一个常见的极限求解方法。
当我们在求解函数极限时遇到不定型的极限形式时，可以尝试利用洛必达法则来简化求解过程。
通过对函数极限的导数形式进行比较，我们可以得到极限的结果，这种方法在一些特殊的函数极限求解中非常实用。
最后，泰勒展开是一个更加高级的极限求解方法。
通过对函数进行泰勒展开，我们可以将函数表示为无穷级数的形式，从而更加方便地进行极限求解。
这种方法在一些复杂的函数极限求解中非常有用，可以帮助我们更准确地确定函数的极限。
总的来说，高数求极限的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题来选择合适的方法进行求解，从而更快速、更准确地得到函数的极限结果。
求高极限数的方法总结
求高极限数的方法总结
假如高等数极限是棵树木得话，那么极限就是他的根，高数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎。
可见这有多重要，那么小编就带大家一起获取高数的方法吧。
求高数极限的方法总结
1、利用定义求极限。
2、利用柯西准则来求。
柯西准则：要使{xn}有极限的`充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即：夹挤定理。
5、利用变量替换求极限。
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞
7、利用单调有界必有极限来求。
8、利用函数连续得性质求极限。
9、用洛必达法则求，这是用得最多的。
10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。
高等数学求极限的方法
高等数学求极限的方法高等数学中，求极限是一个非常重要的知识点，它是数学分析、微积分和数值计算的基础。
在数学中，极限表示的是某个变量无限趋近于某个特定的值时，函数的值会趋近于什么。
而在实际应用中，求解极限往往是解决问题的关键步骤之一。
下面我将介绍一些常用的求极限的方法。
1. 代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一，它适用于函数在某一点定义，且该点处函数值可直接计算的情况。
具体步骤是：将变量逐渐趋近于某个特定的值，然后把这个特定值代入含有极限的函数中计算。
2. 夹逼定理：夹逼定理是求解极限常用的方法之一，它适用于复杂的极限问题，可以通过其它已知的极限来计算。
具体步骤是：通过找到比较函数，将待求的极限问题夹在两个比较函数之间，然后利用夹逼定理，推导出待求的极限值。
3. 等价无穷小替换法：等价无穷小替换法是求解极限的一种常用方法，它适用于函数含有无穷小量，并且无法直接求得极限的情况。
具体步骤是：将待求的极限中的无穷小量进行替换，使得替换后的式子可以计算出极限。
往往可以将函数和其等价的无穷小量进行比较，得到极限的值。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限最常用的方法之一，它适用于函数为不定型的情况。
具体步骤是：将待求的极限转化为形式上是0/0或∞/∞的极限，然后对两个函数求导数，再将导数求极限。
该法则适用于函数求导后的极限可以直接计算的情况。
5. 泰勒展开法：泰勒展开法是求解极限问题的一种常见方法，它适用于函数在某一点附近可以展开成无穷级数的情况。
具体步骤是：将待求的极限展开成泰勒级数，然后根据级数的收敛性来计算极限。
该方法适用于函数在某一点附近的近似计算。
6. 函数的性质法：函数的性质法是求解极限的一种常用方法，它利用函数的性质来计算极限。
具体步骤是：通过函数上下确界的性质，来推导出极限的值。
该方法适用于函数在某一区间上有特殊的性质，可以直接得到极限的结果。
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限limx→∞x3-x23x3+1∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x xx x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限limx→∞(x+1x-1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。
limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
高中求极限的方法总结
高中求极限的方法总结1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候运用，但是不是说肯定在加减时候不能用,前提是需要证明拆分后极限依旧存在,e的*次方-1或者(1+*)的a次方-1等价于A*等等。
全部熟记(*趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法那么(大题目有时候会有默示要你运用这个方法)。
首先他的运用有严格的运用前提!需要是*趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求*趋近状况下的极限，当然n趋近是*趋近的一种状况而已，是须要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)需要是函数的导数要存在!(假如告知你g(*),没告知你是否可导，径直用，无疑于找死!!)需要是0比0无穷大比无穷大!当然还要留意分母不能为0。
洛必达法那么分为3种状况：0比0无穷比无穷时候径直用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的缘由，LN*两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LN*趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的'*次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意!)E的*开展sina，开展cosa,开展ln1+*,对题目简化有很好援助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原那么最大项除分子分母!!!看上去繁复,处理很简约!5、无穷小于有界函数的处理方法,面对繁复函数时候,尤其是正余弦的繁复函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法。
面对特别繁复的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要应付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
高等数学中求极限的方法小结
高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且limlim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-11~,(1)1~x x x x x αα+--+-．例1 求01cos limarctan x xx x→-．解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时， 故，原式220112lim 2x xx →==例2 求1230(1)1limcos 1x x x →+--．解12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此: 原式202123lim 132x xx→==-．例3 求 3131limtan x x→+-．解 0,x →时3111~,tan ~3x x x x +-，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim2ln(1)x x e x x →-+．解 0,1~,ln(1)~x x e x x x →-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解 330ln(1)lim 1n x x x ax →-+= 而左边225311003331lim lim n n x x x x x x nax nax--→→-+--=， 故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim()x af x F x →''存在，那么()()limlim ()()x ax a f x f x F x F x →→'=' . [1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6 求22201cos lim()sin x xx x →-. 分析 秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）. ()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-== 33000sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x→→→-+-==， 由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=. 例7 求201lim x x e x x→--.解 22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'--- .例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）. 例9 求02lim sin x x x e e xx x-→---.解 原式0002limlim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-. 例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解 原式1112422limlimlim02211x x x x x x x x x →→→---===∴---原式=∞. 例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-.解 原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim 33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====. 例12 求0cot lim ln x xx+→.解 原式22200sin cos 1lim lim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞. 例13 求22201cos lim()sin x xx x →-. 解 原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x→→--+== 223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型： 例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx x π→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=， 故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x x x x ππ→→--===-.“00”型：例16 求0lim xx x +→. 解 原式ln 0lim ln ln 0lim lim 1x xxx e x x xx x e e e +→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e ee x e e x →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→.解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 0lim lim x xxx e x xxx x e e e -+→++-→→===，而tan ~0lim (tan ln )lim (ln )0x x x x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1. 2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n + 阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+n R (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值. [1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限30sin cos limsin x x x xx→-.解 由于公式的分母33sin ~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是 3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20 323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x →∞→∞++++==++++++， 2222111lim lim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+， ()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+.解 原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解 111sin sin sin 11n n ni i i i i i n n n n n o n iπππ===≤≤+++∑∑∑， 1011sin 12lim lim sin nn n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n n ππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰， 根据夹逼定理 1sin2lim1nx i i n n iππ→∞==+∑. 2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δ1n δ-，…的极限为0.证 任取01δ<<，为使n x a ε-<，而nn x a δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦， ln ln nn δεδε<⇒<即n x a ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:宁波大红鹰学院学生数学课程论文()0.99...lim 0.99...1n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解 原式111111lim 1...23341n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ 11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ =32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()0lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()0lim lim 11x x f x x ++→→=+=， 因为()()0lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在. 例26 ()0lim 0x x xxαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx x x x x x ， 因为0lim )(lim00==-+-→→xxx x x x x x αα，所以,原式=0. 2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例27 求xe x x 1lim 0-→.解 记()ln 1x t =+ 1xe t -=，则原式=1001limlim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为. 例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭. 解 原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解 原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度 )(ln ∞→<<x ex x xnλ例30 求()lim 0nx x x n eλλ→∞>为正整数，.解 原式=1lim n x x nx e λ-→∞=()221!limlim0n xn xx x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim0nx xn x →∞>.解 01lim lim ln lim 11===∞→-∞→∞→n x n x x n x nxnx x x .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x 次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x e x x xn λ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用. 2.11 换元法例32 1lim (1)xx x→-∞+.解 令x t =-，则原式=1lim 1t t t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim t t t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e 2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim（2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf = （3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则n n x f x f )]([lim )](lim[= （4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ;n n n x y A B →∞+=+那么，()lim ;n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅当()01,2,...n y n ≠=且0b ≠时，limn n n x A y B→∞= 2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()21f x x =- ,在区间[]0,1上求()01limniii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()11limni i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰1201x dx =-⋅⎰4π=.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()baf x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adx x f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A fx x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2lim.x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 解 ()()()000limxxx x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limxx x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dx x +∞-∞+⎰.解21dx x +∞-∞+⎰ =[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=. 2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}n x :2，12n x -+，222++，……．极限存在吗？ 解 由已知可得{}n x 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim n n x →∞存在．又12n n x x -=+，1lim lim 2n n n n x x -→∞→∞=+记lim =t,2n n x t t →∞=-则，即可证2n x <，得到 2=t . 2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即 ()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'fπ.解 ()'fπ ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f，()''0=-2f ，则 ()()20limx f x xx →-=.A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2解 ()20lim x f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-. 所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)limx f x f f x→-'=0(1)(2) (2010)lim x x x x x x→++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1lim (cos 1)x dx dx+→+-.解 原式11lim (cos 1)(sin 1)21x f x x x +→'=----11sin 1lim (cos 1)21x x f x x +→-'=--- 11lim (cos 1)2x f x +→'=-- 11(lim cos 1)2x f x +→'=--1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解 令1t n=,则原式2320001sin sin 1cos lim (1)lim lim 3t t t t t t t t t t t →→→--=-==， 所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。
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高数中求极限的16种方法
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面。
首先，对极限的总结如下:
极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）
2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，
尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。
这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。
第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数
快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
元会夹杂其中13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14
还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。
一般是从0到1的形式。
15单调有界的性质对付递推数列时候使用
证明单调性！！！！！！16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！！！）。