第三章_曲线拟合算法的研究汇总

第三章 曲线拟合算法的研究

3.1 引言

随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。

3.2 圆锥曲线拟合算法的研究

在经济型数控系统中，对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生[26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆弧逼近，然后才能进行数控加工[28]。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是：圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到C 1连续，基本上能满足要求；所有数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。

由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要求光顺[9-10]。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。

本章提出的对圆锥曲线的插补，是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利用数控系统的圆弧插补功能进行插补。

3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9]

在平面直角坐标系中，二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。其中系数A 、B 、

C 、

D 、

E 、

F 为实常数，且A 、B 、C 不同时为零。

022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax

(3.1)

式（3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。令

AC B 42-=∆ （3.2）

称上式为二元二次方程（3.1）的判别式。

0<∆ 时，（3.1）式为椭圆型曲线（包括圆、椭圆和虚椭圆）； 0=∆ 时，（3.1）式为抛物线型曲线（包括两平行直线和虚直线）；

0>∆ 时，（3.1）式为双曲型曲线（包括两相交直线）。

在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。通过利用坐标变换（即坐标轴的平移和旋转），可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲线的形状和位置。 一、坐标轴的平移

只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做坐标轴的平移，简称平移或移轴。

将旧坐标系oxy 平移到y x o ''',那么平面上任一点M 在旧坐标系与新坐标系的坐标

),(y x 和),(''y x 具有关系：

⎩

⎨

⎧+'=+'=00

y y y x x x （3.3）

其中),(00y x 是新坐标系中的原点o '在旧坐标系里的坐标。公式（3.3）叫做平移变换公式。

二、坐标轴的旋转

坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。

把旧坐标系oxy 绕原点o 旋转同一个角度θ到y x o '''，那么平面上的任一点M 在旧坐标系与新坐标系下的坐标),(y x 和),(''y x 之间具有关系：

⎩⎨

⎧'+'='-'=θ

θθ

θcos sin sin cos y x y y x x （3.4）

公式（3.4）叫做旋转变换公式。

适当选择坐标系，二次曲线方程经过坐标系的旋转和平移变换，可简化成几种标准方程。

1．中心二次曲线方程可以简化成下面5种标准方程之一：

a) 122

22=+b y a x （椭圆）；

b) 122

22-=+b

y a x （虚椭圆）；

c) 022

22=+b

y a x （点椭圆或称变态椭圆）；

d) 122

22=-b

y a x （双曲线）；

e) 022

22=-b

y a x （两相交直线，或称变态双曲线）。

2．无心二次曲线的标准方程为：

px y 22= （抛物线）

3．线心二次曲线方程可化简成下面3种标准方程之一： a) 22a y =（两平行直线）； b) 22a y -=（两平行共轭虚直线）； c) 02=y （两重合直线）。

由实际的工程应用可知，在实际的加工中只有椭圆、双曲线、抛物线和直线具有工程价值。数控机床具有直线和圆弧的插补功能，所以在本章中只考虑椭圆、双曲线和抛物线的拟合算法。实现椭圆、双曲线、抛物线的拟合算法主要步骤为：

1）参数输入

遵照数控NC 程序编程规范，以最少输入参数唯一定义曲线为准则，设计了曲线的输入参数，见表1。

2）曲线标准化

利用坐标系平移、旋转变换，将曲线变换到可以利用最简方程表示的坐标系下，并求解方程，详见附录1。为了便于计算，最后确定采用下列形式作为各曲线的标准方程式。

抛物线：b ax y +=2

椭圆：⎩⎨⎧==θ

θsin cos b y a x

曲线类型 参数说明

抛物线 顺逆方向、起点、终点、焦点坐标

椭圆

顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于X 轴的

转角

双曲线 顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于X 轴的转角

表1 平面圆锥曲线输入参数列表

双曲线：⎩

⎨⎧==θθ

btg y a x sec

3）求取曲线的极值点、拐点，对曲线进行分割，建立有序的型值点序列。型值点的排序规则为：

抛物线：以A i x x -为标准，按递增顺序排列； 椭圆：以A i θθ-为标准，按递增顺序排列； 双曲线：以A i θθ-为标准，按递增顺序排列；

注：A x 为起点横坐标，i x 为第i 个点横坐标；A θ为起点极角，i θ第i 个极角。 4）取i P ，1+i P 两个型值点，进行双圆弧曲线拟合。

5）如果拟合结果的法向误差满足规定误差，则转6）,否则，则转7）。

6）将拟合结果送入输出链表中，如果曲线全部拟合完成，则结束，否则转4）。 7）在i P ，1+i P 之间按照0.618,0.382的比率插入新的型值点，再转4）。 上述，为曲线拟合的主要步骤，下面详细的介绍一下双圆弧拟合算法。

3.2.2 曲线的常用双圆弧拟合算法[17-25]

按平面曲线给定一列有序型值点（节点），每相邻节点之间由两条相切圆弧构成，两圆弧分别通过一个节点，且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线的双圆弧拟合。双圆弧拟合有六个参数需要确定：两节点i P ，1+i P ；两节点i P ，1+i P 处的切线斜率；双圆弧的切点T ；双圆弧切点处的公切线斜率。前四个参数可由曲线的参数方程按给定参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数的求法而不同，但不难证明两圆弧相切点位置结论：相切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧——轨迹弧（过相邻两节点的弧，且在两节点处切线夹角等于曲线在两节点处切线夹角）。

为确保双圆弧的正确拟合，要求：

1) 两拟合圆弧应满足保凸要求，即两相邻节点i P ，1+i P 处切线M P M P i i 1,+需有实交点（沿某切线方向前进时，与另一切线的反向延长线的交点，称为实交点，反之为虚交点）；

2) 拟合的圆弧段需要采用劣弧，即两节点连线1+i i P P 与两切线M P M P i i 1,+构成的三角形中πβα<+（见图8，图9，图10）。