几种周期性函数证明
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
(完整版)专题函数的周期性
专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。
函数周期性的几个重要结论
函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=抽象函数的对称性1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
函数的周期性解读
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
函数周期性公式大总结
（1）F（x + a）=-f（x）周期为2A。
在本文中，我们证明（F + x）= 2a-f（x）= F-X（F-X）。
（2）SiNx的功能周期公式为t = 2π。
SiNx是正弦函数，周期为2π（3）cosx的函数周期公式为t = 2π，cosx为余弦函数，周期为2π。
（4）TaNx和Cotx的周期公式为t =π，TaNx和Cotx分别为切线和Cotx（5）secx和CSCX的周期公式为t = 2π，secx和CSCX为secx和余割。
扩展数据：以下方法分为几个步骤（1）确定F（x）的域是否有界；（2）根据函数周期的定义，我们可以知道非零实数T在关系f （x + T）= f（x）中与X无关，因此可以求解方程f（x）-f（x）= 0，如果我们可以求解独立于X的非零常数t，则可以得出结论：函数f（x）是周期函数，如果不存在t，则f （x）是非周期性函数。
（3）通常用相反的证明方法证明。
（如果f（x）是周期函数，则推论矛盾，因此f（x）是非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B（a≠0）是一个非周期函数。
证明如果f（x）= ax + B是周期函数，则存在t（≠0），使其成立。
A（x + T）+ B = ax + Bax +在AX = 0，在at = 0且a≠0，t = 0与t≠0矛盾的情况下，﹤f（x）是一个非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B是一个非周期函数。
证明：如果f（x）是周期函数，则必须有一个t（≠0）对，并且必须有（x + T）= f（x）。
当x = 0时，f（x）= 0，但是x + T≠0，νf（x + T）= 1，νf（x + T）≠f（x）且f（x + T）= f （x）。
函数周期性的题型和解题方法
函数周期性的题型和解题方法在高一数学教材中，函数的基本性质重点讲了函数的单调性和奇偶性，对于函数的另一个重要性质——周期性却基本没怎么涉及，但是不管是平时考试还是高考，函数周期性都是非常重要的考点，并且以不同方式告诉函数的周期。
在函数周期性的学习中，我们首先要能快速识别给出的函数是否是周期函数，其次需要学会利用函数周期性来解题。
一、判断周期函数若f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是以T为周期的周期函数。
在学习过程中，需要重点掌握以下几个函数的周期：①f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|；特别地，f(x+a)=f(x-a)，T=|2a|；②f(x+a)=-f(x)，T=|2a|；③f(x+a)=±1/f(x)，T=|2a|；④若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么f(x)的一个周期为T=2|a-b|；⑤若f(x)的图像有两个对称中心(x1,y1)和(x2,y2)，那么f(x)的一个周期为T=2|x1-x2|；⑥若f(x)的图像既是轴对称又是中心对称图形，若对称轴是x=a，对称中心是(b,c)，则T=4|a-b|。
二、求值利用函数周期性求函数值，通常会告诉函数在某个区间上的解析式，但是所求的函数值是在已知区间外的，此时需要利用周期性将所求函数值转换到已知的区间内。
比如上面的例题，利用周期性将f(-6)转化为f(0)，将f(6)转化为-f(-1)的值。
三、求周期求函数的周期，除了掌握周期性的定义以及(一)中所讲的几种基本类型外，作出函数也是一个非常重要的方法。
作出图像后，直接在图像上找到图像循环部分对应点的横坐标之间的最小距离就是该函数的最小正周期，也是解题中最常用到的周期值。
四、周期性＋奇偶性本题中，先根据关系式f(x-4)=-f(x)算出f(x)的周期为T=8，再根据单调性和奇偶性作出满足要求的一个函数图像，并根据函数图像分析解决问题。
如果f(x)的对称轴是直线x=a，其图像与直线y=b相交于x1,x2两点，那么必有x1+x2=2a。
三角函数的周期性与奇偶性
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。
一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。
这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。
这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。
2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。
也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。
这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。
需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。
二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。
2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。
3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。
但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。
周期函数怎么判断
周期函数怎么判断三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。
推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。
扩展资料周期函数的判定方法1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的`，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。
(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有s in(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
函数的周期性
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
数学函数6个周期性公式推导
数学函数6个周期性公式推导数学函数的周期性是指函数在一定区间内以其中一种规律重复出现的性质。
下面将推导出六个常见的周期性函数公式，即正弦函数、余弦函数、正切函数、指数函数、对数函数和常函数的周期性公式：1.正弦函数的周期性公式推导：正弦函数的定义为f(x) = sin(x)，其中x为实数。
根据正弦函数的属性，它的最小正周期为2π，即sin(x) = sin(x + 2π)。
进一步推导，可以得到sin(x) = sin(x + 2πk)，其中k为任意整数。
因此，正弦函数的周期性公式为sin(x) = sin(x + 2πk)，k为整数。
2.余弦函数的周期性公式推导：余弦函数的定义为f(x) = cos(x)，其中x为实数。
根据余弦函数的属性，它的最小正周期也为2π，即cos(x) = cos(x + 2π)。
进一步推导，可以得到cos(x) = cos(x + 2πk)，其中k为任意整数。
因此，余弦函数的周期性公式为cos(x) = cos(x + 2πk)，k为整数。
3.正切函数的周期性公式推导：正切函数的定义为f(x) = tan(x)，其中x为实数。
根据正切函数的属性，它的最小正周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。
进一步推导，可以得到tan(x) = tan(x + πk)，其中k为任意整数。
因此，正切函数的周期性公式为tan(x) = tan(x + πk)，k为整数。
4.指数函数的周期性公式推导：指数函数的定义为f(x)=a^x，其中a为正实数、且a≠1，x为实数。
指数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为任意正数。
因此，指数函数的周期性公式为f(x+T)=f(x)，其中T为正数。
5.对数函数的周期性公式推导：对数函数的定义为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数、且a≠1，x为正实数。
对数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即f(x + T) = f(x)，其中T为任意正数。
函数周期性常见公式
函数周期性常见公式在数学和物理学等领域，周期性是一个非常重要的概念。
周期性描述了一个函数在一定时间或空间范围内重复出现的特性。
在此文档中，我们将介绍几个函数的周期性常见公式。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期性函数。
它们的图像在一个固定的时间范围内以一定的频率重复。
正弦函数可以用以下公式表示：f(x) = A * sin(Bx + C) + D其中： - A 是振幅，表示波峰和波谷之间的距离； - B 是频率，表示波形的周期性； - C 是相位角，表示波形在 x 轴上的偏移； - D 是垂直偏移，表示波形在 y 轴上的位置。
余弦函数与正弦函数类似，可以用以下公式表示：f(x) = A * cos(Bx + C) + D2. 周期性直线函数周期性直线函数是一种线性函数，其图像在固定时间范围内以固定的频率重复。
一个周期性直线函数可以用以下公式表示：f(x) = mx + b其中： - m 是斜率，表示直线的倾斜程度； - b 是 y 轴截距，表示直线与 y 轴的交点。
3. 双曲线函数双曲线函数也是一种常见的周期性函数。
双曲线函数的图像在一个固定的时间范围内以指数增长的方式重复。
一个双曲线函数可以用以下公式表示：f(x) = A * sinh(Bx + C) + D其中： - A 是振幅，表示双曲线的峰值； - B 是频率，表示双曲线的周期性； -C 是相位角，表示双曲线在 x 轴上的位置偏移； -D 是垂直偏移，表示双曲线在 y轴上的位置。
4. 指数函数指数函数是一种以指数增长的方式展开的函数，它的图像在一个固定的时间范围内呈现指数增长或指数衰减的特性。
指数函数可以用以下公式表示：f(x) = A * e^(Bx) + C其中： - A 是比例系数，表示指数函数的增长或衰减速度； - B 是指数，指数函数中的幂； - C 是垂直偏移，表示指数函数在 y 轴上的位置。
5. 周期性阶梯函数周期性阶梯函数是一个由水平线段组成的周期性函数。
高三数学周期函数知识点
高三数学周期函数知识点数学是一门需要不断学习和理解的学科，而高三数学是中学阶段最后一年的内容，对于学生们来说尤为重要。
其中，周期函数是数学中的重要知识点之一。
本文将详细介绍高三数学中周期函数的相关知识。
一、什么是周期函数周期函数是指具有周期性的函数。
所谓周期性，即函数在一定的区间内具有重复的特征。
具体说，对于函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么我们称f(x)为周期函数，T为它的周期。
二、常见的周期函数1. 正弦函数正弦函数是最常见的周期函数之一。
它的函数图像是一条在坐标系上波浪形状的曲线。
常见的正弦函数表示为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
2. 余弦函数余弦函数与正弦函数非常类似，也是一种周期函数。
它的函数图像同样是在坐标系上呈波浪形状的曲线。
常见的余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
3. 正切函数正切函数是另一种常见的周期函数。
它的函数图像呈现出波浪形状的周期性变化。
常见的正切函数表示为y = A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
三、周期函数的性质周期函数具有许多重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质。
1. 周期的性质周期函数的最显著特点就是它具有周期性。
函数图像在一个周期内呈现出相同的特点和变化规律。
周期可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。
2. 奇偶性周期函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数的特点是在函数图像上关于坐标原点对称，即满足f(-x)=-f(x)。
偶函数的特点是在函数图像上关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。
3. 对称轴周期函数的对称轴是指函数图像中的一条直线，使得将图像分为两部分后，对称轴上的对应点在函数图像上关于对称轴对称。
对称轴可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。
四、应用举例周期函数广泛应用于实际生活和工程领域中，下面以几个具体的例子来说明。
函数的周期性常见结论归类
函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校 周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。
（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-= 若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。
初三数学函数的周期性判断方法
初三数学函数的周期性判断方法函数是数学中的重要概念之一，而函数的周期性则是数学函数中一个重要的性质。
对于初三的学生来说，掌握函数的周期性判断方法对于解题和应用都起到了关键作用。
本文将介绍几种常见的函数周期性判断方法，帮助初三学生更好地理解和应用函数的周期性。
1. 函数的周期性概念函数的周期性是指函数图像在横轴方向上的重复性。
如果存在一个正数T，对于函数f(x)的所有x值，满足f(x+T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数，其周期为T。
2. 正弦函数和余弦函数的周期性判断正弦函数和余弦函数是初中阶段最常见的周期函数。
对于正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)，它们的周期都是2π。
因此，只需将给定函数和sin(x)或cos(x)进行比较，若满足f(x+2π) = f(x)，则函数具有周期性。
3. 多项式函数的周期性判断多项式函数是初中阶段学习的另一类常见函数。
对于多项式函数f(x)，我们可以根据其次数和系数判断其周期性。
a. 若f(x)为零次函数（常数函数），即f(x) = a（a为常数），则该函数是周期函数。
由于常数函数的图像是一条水平直线，其重复周期为无穷大。
b. 若f(x)为一次函数，即f(x) = ax + b（a和b为常数），则函数f(x)是非周期函数，其图像是一条直线。
c. 若f(x)为二次及以上次数的多项式函数，即f(x) = ax^n + bx^(n-1) +...+ c（a，b，c为常数，n≥2），则函数f(x)是非周期函数。
由于二次及以上次数的多项式函数的图像通常是曲线，除非具有特殊性质，否则不具有周期性。
4. 指数函数和对数函数的周期性判断指数函数和对数函数也是初中阶段涉及的常见函数类型。
对于指数函数f(x) = a^x（a>0，a≠1），其没有周期性，即不是周期函数。
5. 反比例函数的周期性判断反比例函数也是初中阶段学习的一种函数类型。
对于反比例函数f(x) = k/x（k≠0），其没有周期性，即不是周期函数。
例谈求函数周期的几种常见方法
例谈求函数周期的几种常见方法董㊀强(西安市第八十五中学ꎬ陕西西安７１００６１)摘㊀要:周期性是函数的基本性质ꎬ文章通过高考真题和一些模拟题对函数周期的几种常见求法进行总结.关键词:周期性ꎻ公式法ꎻ函数ꎻ高考题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００１２－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:董强(１９８５－)ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:西安市教育科学研究 十四五 规划２０２１年度小课题: 思维型教学理论指导下的教师专业成长研究 (项目编号:２０２１ＸＫＴ－ＺＸＳＸ１６２).㊀㊀一般地ꎬ对于函数ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ设其定义域为Ｄꎬ若存在非零常数Ｔꎬ使得∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)都成立ꎬ那么就称函数ｙ＝ｆ(ｘ)为周期函数ꎬＴ为函数ｆ(ｘ)的一个周期.当Ｔ为函数ｆ(ｘ)的周期时ꎬｋＴ(ｋɪＺ)也是该函数的周期.对于三角函数ꎬ可以通过公式求得其周期ꎻ对于抽象函数ꎬ可以根据周期函数的定义ꎬ合理运用所给函数性质ꎬ求出其周期.１三角函数的周期性(公式法)三角函数是典型的周期函数ꎬ对于三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｔａｎ(ωｘ＋φ)(ｘɪＲ)而言ꎬ它们的周期分别是２πωꎬ２πωꎬπωꎻ而函数ｙ＝Ａ｜ｓｉｎ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｃｏｓ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｔａｎ(ωｘ＋φ)｜的周期均为πω.例１㊀(２０１５年天津理第１５题第(１)问)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎ２(ｘ－π６)ꎬｘɪＲ.求ｆ(ｘ)的最小正周期.解析㊀ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ２－１－ｃｏｓ(２ｘ－π３)２＝１２(１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ)－１２ｃｏｓ２ｘ＝３４ｓｉｎ２ｘ－１４ｃｏｓ２ｘ＝１２ｓｉｎ(２ｘ－π６).所以ｆ(ｘ)周期Ｔ＝２π２＝π.评析㊀求解三角函数问题的一般思路是先通过三角函数恒等变形将函数式进行化简ꎬ再由公式求出三角函数的周期.本题先利用降幂公式将已知函数化简ꎬ再利用辅助角公式将其转化为同一个角的三角函数ꎬ从而利用公式法求得周期.㊀例２㊀(２０１５年重庆理第１８题第(１)问)已知２１函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ.求ｆ(ｘ)的最小正周期和最大值.解析㊀ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓｘｓｉｎｘ－３２(１＋ｃｏｓ２ｘ)＝１２ｓｉｎ２ｘ－３２ｃｏｓ２ｘ－３２＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)－３２.所以ｆ(ｘ)的最小正周期为πꎬ最大值为２－３２.评析㊀在求解三角函数的问题时常需进行恒等变形ꎬ常用方法有降幂法和变量归一法ꎬ本题利用诱导公式㊁二倍角公式㊁辅助角公式化简ｆ(ｘ)后ꎬ即可求出ｆ(ｘ)的最小正周期及最大值.２利用函数周期的定义求周期对于一些抽象函数ꎬ充分利用函数周期的定义是求函数周期的常见方法.例３㊀(２０１２年山东)定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).当－３ɤｘ<－１时ꎬｆ(ｘ)＝－(ｘ＋２)２ꎻ当－１ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ.则ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.３３５㊀㊀Ｂ.３３８㊀㊀Ｃ.１６７８㊀㊀Ｄ.２０１２解析由ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)知ꎬ函数ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ结合题设有ｆ(－３)＝ｆ(３)＝－１ꎬｆ(－２)＝ｆ(４)＝０ꎬｆ(－１)＝ｆ(５)＝－１ꎬｆ(０)＝ｆ(６)＝０ꎬｆ(１)＝１ꎬｆ(２)＝２ꎬ所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(６)＝１＋２－１＋０－１＋０＝１.所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝ｆ(１)＋ｆ(２)＋３３５ˑ１＝１＋２＋３３５＝３３８.评析㊀由函数周期的定义知ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ故需要算出一个周期内的６个函数值ꎬ再将待求式子分成周期的倍数ꎬ利用分段函数来计算前６个函数值就可以了.例４㊀设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且对任意实数ｘꎬ恒有ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).当ｘɪ[０ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２.求证:ｆ(ｘ)是周期函数.证明㊀因为ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.评析㊀证明一个函数是周期函数ꎬ只需证明存在一个非零常数Ｔꎬ使ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ).在周期性与奇偶性相结合的函数综合问题中ꎬ周期性起到转换自变量值的作用ꎬ奇偶性起到调节函数值符号的作用.㊀３利用抽象函数的对称性求周期函数的对称性往往和周期性密不可分ꎬ如果一个函数既有对称轴ꎬ又有对称中心ꎬ那么这个函数是一个周期函数ꎬ可结合函数周期的定义推出其周期.例５㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且它的图象关于直线ｘ＝１对称ꎬ求证:ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.证明㊀由函数ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝１对称ꎬ有ｆ(ｘ＋１)＝ｆ(１－ｘ)ꎬ即有ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ＋２).又函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ故有ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).从而ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).即ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.例６㊀已知定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)ꎬ对任意ｘɪＲꎬ都有ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)成立ꎬ若函数ｙ＝ｆ(ｘ＋１)的图象关于直线ｘ＝－１对称ꎬ则ｆ(２０１３)＝(㊀㊀).３１Ａ.０㊀㊀Ｂ.２０１３㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.－２０１３解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ＋１)关于ｘ＝－１对称知ꎬｙ＝ｆ(ｘ)关于ｘ＝０对称ꎬ故ｆ(ｘ)为偶函数.在ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)中ꎬ令ｘ＝－３ꎬ得ｆ(３)＝ｆ(－３)＋ｆ(３).即ｆ(－３)＝０.所以ｆ(３)＝０ꎬｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).所以Ｔ＝６.ｆ(２０１３)＝ｆ(６ˑ３３５＋３)＝ｆ(３)＝０.故选Ａ.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)对任意ｘɪＲ都有ｆ(ｘ＋６)＋ｆ(ｘ)＝２ｆ(３)ꎬｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ且ｆ(４)＝４ꎬ则ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀㊀Ｂ.－４㊀㊀㊀Ｃ.－８㊀㊀㊀Ｄ.－１６解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ可知ｆ(ｘ)关于点(０ꎬ０)对称.故ｆ(ｘ)为奇函数.令ｘ＝－３ꎬ则ｆ(３)＋ｆ(－３)＝２ｆ(３)ꎬｆ(－３)＝ｆ(３).又ｆ(－３)＝－ｆ(３)ꎬ所以ｆ(３)＝０.所以ｆ(６＋ｘ)＋ｆ(ｘ)＝０.所以ｆ(１２＋ｘ)＝－ｆ(６＋ｘ)＝ｆ(ｘ).于是ｆ(ｘ)是一个周期为１２的周期函数.因此ｆ(２０１２)＝ｆ(－４)＝－ｆ(４)＝－４.故选Ｂ.例８㊀已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ(ｘ)ꎬ满足ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ且在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ若方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)在区间[－８ꎬ８]上有四个不同的根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４ꎬ则ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝.解析㊀因为函数ｆ(ｘ)在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ又ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数ꎬ故ｆ(０)＝０ꎬｆ(ｘ)的图象关于坐标原点对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[－２ꎬ２]上的特征图象(如图１).由ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)得ｆ(４－ｘ)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝２对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[２ꎬ６]上的特征图象.因为ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ－８)＝－ｆ(ｘ－４)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)是以８为周期的周期函数.根据函数的周期性得到ｆ(ｘ)在[－８ꎬ８]上的特征图象(如图１所示).图１根据图象不难看出ꎬ方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)的两根关于直线ｘ＝２对称ꎬ另两根关于直线ｘ＝－６对称ꎬ故四个根的和为２ˑ(－６)＋２ˑ２＝－８.评析㊀例５~例８是根据函数的对称性求得函数的周期.一般地ꎬ有以下一些常用的结论:(１)若ｘ＝ａꎬｘ＝ｂ都是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(２)若(ａꎬ０)ꎬ(ｂꎬ０)都是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(３)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ(ｂꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝４ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(４)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则直线ｘ＝ａ＋ｎＴ２(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎻ(５)若(ａꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则点(ａ＋ｎＴ２ꎬ０)(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心.参考文献:[１]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(数学)[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０１５.[责任编辑:李㊀璟]４１。
函数周期性规律及公式
函数周期性规律及公式函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种输入输出的关系。
在实际问题中，很多现象具有一定的周期性规律，而函数周期性规律及公式恰好可以描述这种周期性。
本文将介绍函数的周期性规律以及常见的周期性函数的公式。
一、函数的周期性规律函数的周期性是指函数图像在一定区间内重复出现相同的模式。
具体来说，对于一个周期为T的函数，当自变量x从一个周期的起点变化到终点时，函数的取值会出现一个循环，然后再从起点开始重新循环。
周期性是一种重复性，可以将函数图像想象成一个周期性图像，不断重复。
函数的周期性规律可以由函数的公式来确定。
实际上，函数的周期性规律与函数的周期相关。
周期是函数重复性的基本特征，同时也决定了函数的重复间隔。
对于周期性函数来说，周期性规律可以表达成数学公式，这些公式可以用来描述函数图像的重复性。
二、常见的周期性函数公式1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最常见的周期性函数之一。
它的图像可以描述成一条连续的曲线，沿着x轴周期性地上下振动。
正弦函数的周期是2π，公式为：y = A * sin(B * x + C) + D其中，A代表振幅（即最大纵向距离），B代表频率（即单位区间内的周期数），C代表相位偏移（即图像的水平位移），D代表垂直位移（即图像在y轴上的位置）。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数与正弦函数非常相似，只是相位偏移不同。
余弦函数的周期也是2π，公式为：y = A * cos(B * x + C) + D其中，A、B、C和D的含义与正弦函数相同。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是另一种常见的周期性函数。
它的图像具有一系列无限多个垂直渐近线，周期为π，公式为：y = A * tan(B * x + C) + D同样，A、B、C和D分别代表振幅、频率、相位偏移和垂直位移。
除了上述三个函数以外，还有很多其他的周期性函数，如指数函数、对数函数等等。
函数周期性的五类经典题型
函数周期性的五类经典题型周期性函数的定义很简单：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，那么我们称f(x)具有周期性，T称为f(x)的一个周期，kT（k为整数且不为0）也是f(x)的周期，其中最小正数周期称为f(x)的最小正周期。
有几种特殊的抽象函数也是周期函数，它们的周期分别是：①f(x)=f(x+a)，以T=a为周期；②f(x+a)=-f(x)，以T=2a为周期；③f(x+a)=±1，以T=2a为周期；④f(x+a)=f(x-a)，以T=2a为周期；⑤f(x+a)= (1-f(x))/(1+f(x))，以T=2a为周期；⑥f(x+a)=- (1+f(x))/(1-f(x))，以T=4a为周期；⑦f(x+a)=(1-f(x))/(1-f(x))，以T=4a为周期。
判断一个函数是否为周期函数时，需要看是否存在一个常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)成立。
例如对于函数sin(x)，它的周期为2π。
对于已知函数f(x)，如果其定义在(－∞，＋∞)上是奇函数，且对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)=log2(x+1)，那么f(－2013)+f(2014)=-1.偶函数y=f(x)是R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3)，那么f(-6)=f(0)=f(6)=7(a-1)。
对于定义在R上的函数f(x)，如果f(x)=3x，当x≤1时；f(x)=f(x-1)-f(x-2)，当x>1时，那么f(2016)=6045.已知函数f(x)的定义域为R，当x1时，f(x+2)=f(x-2)，且f(111+x)=f(111-x)，那么f(6)=f(-6)=f(114)=f(-114)=62.。
求函数f周期的几种常见方法解读
求函数f周期的几种常见方法解读(总7页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March求函数f(x)周期的几种常见方法函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．1 定义法根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．(1)∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T是f(x)的周期．周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．(1)∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a](2)∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．2 特殊值法当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效．f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．3 变量代换法例4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x代x＋1995，得f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；(1)在(1)中以x＋1代x，得f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，∴f(x－1)＝－f(x＋2)．(3)在(3)中以x＋1代x，得f(x)＝－f(x＋3)；(4)在(4)中以x＋3代x，得f(x＋3)＝－f(x＋6)．(5)将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．4 递推法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．(1)在(1)中以x＋2代x，得f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，∴f(x)＝－f(x＋6)．(3)在(3)中以x＋6代x，得f(x＋6)＝－f(x＋12)．(4)(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．5 消去法例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝f (7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得f(x)＝f(10－x)；(1)在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得f(x)＝f(14－x)．(2)由(1)和(2)，得f(10－x)＝f(14－x)．(3)在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)．∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．6 结构类比法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解：可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明：于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．7 公式法例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．证明(1)∵ f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线，∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为P'(x'，y'),同理可证 f(x)＝f(2b－x)．解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，∴f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．由例8可得到如下的定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a ＜b)对称，且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为2.7－2.5＝4．。
函数周期性的几个重要结论(2020年7月整理).pdf
函数周期性的几个重要结论（2020年7月整理）.pdf1、f(x±T)=f(x)(T≠0)y=f(x)的周期为T,kT(keZ)也是函数的周期2、f(x+a)=f(x+b)y=f(x)的周期为T=b-a3、f(x+a)=-f(x)y=f(x)的周期为T=2a4、f(xa)=(x)=y=f(x)的周期为T-2a5、f(x+a)=-y=f(x)的周期为T-2a6、f(x+a)=y-f(x)周期为T=3a7、f(x+a)=(x)+1y=f(x)的周期为T=2a8、f(x+a)=y=f(x)的周期为T-4a9、f(x+2a)=f(x+a)-f(x)y=f(x)的周期为T=6a10、若p>0.f(px)=f(px-),则-号11、y=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(>a)y=(x)周期T=2(b-a)推论：偶函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)→y=f(x)周期T=2a12、y=f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(>a)y=f(x)周期T=2(b-a)推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)y=f(x)周期T=4a13、y=f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称中心(b,0)(b>a)f(x)的函数对称性的几个重要结论：（一）函数y-f(x)图象本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=(x+),则fx)具有周期性；若(a+x)=(b-x),则(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”1、f(a+x)=f(b-x)y=f(x)图象关于直线x_(a+x)+(b-x)_a+b对推论1：f(a+x)=f(a-x)y=f(x)的图象关于直线x=a对称推论2、f(x)-f(2a-x)y=f(x)的图象关于直线x-a对称推论3、f(-x)=f(2a+x)y=f(x)的图象关于直线x=a对称2、f(a+x)+f(b-x)-2cy-f(x)的图象关于点(，c)对称推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b→y=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)-f(2a-x)=2by=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(-x)+f(2a+x)=2by=f(x)的图象关于点(a,b)对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)图象关于Y轴对称2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y=f(x)与y=-f(x)图象关于X轴对称4、互为反函数y-f(x)与函数y-f(x)图象关于直线y-x对称5.函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图象关于直线x=b对称推论1：函数y=f(a-x)与y=f(a-x)图象关于直线x-0对称推论2：函数y-f(x)与y-f(2a-x)图象关于直线x-a对称推论3：函数y-f(-x)与y-f(2a+x)图象关于直线x=-a对称。
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高考题目精选
(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是
(A)（0,62+） (B)（1,22）
(C) (62-,62+） (D) （0,22）
【答案】A
【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。
【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a 可以取最大值，可知AD=3，SD=21a -，则有21a -<2+3，即22843(62)a <+=+，即有a<62+
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;
综上分析可知a ∈（0,62+）。