第17章勾股定理导学案17.2勾股定理的逆定理第5课时

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第十七章勾股定理学案

- 1 -18.1 勾股定理（一）（一）课前预习 1．直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。

（二）、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，你能否利用右图：赵爽弦图证明呢？1．已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c +=勾股定理的内容是：。

（三）学以致用在Rt△ABC 中，已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1．在Rt△ABC 中，90C ∠=︒ ， ⑴如果a =6，b =8，求c 的值； ⑵如果a =5，b =12，求c 的值； ⑶如果a =9，c =41，求b 的值；练习 1．若一个直角三角形的两直角边分别为9和12，则第三边的长为（） A.13 B. 13 C. 5 D.15 2．若一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为24，则另一直角边长为（） A.8 B.10 C.50 D.36 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ︰b =3︰4，c=10，求a ，b 的值。

注意：⑴只有在直角三角形中，才能用勾股定理；⑵在用勾股定理求第三边时，要分清直角三角形的斜边和直角边；（四）当堂检测：1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．2．在Rt△ABC，∠C=90°；⑴ 已知a =b =5，求c ；⑵已知c =17，b =8，求a ；⑶ 已知a ∶b =1∶2，c=5，求a ； ⑷已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

3．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，求斜边的长？4.一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长？5.已知，如图在正ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ．求ΔABC 的面积．BDbaD C C A- 2 -EFDCBA18.1 勾股定理（二）（一）回顾复习：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。

17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计

《17.2勾股定理的逆定理》教学设计Y qzx Bmm【内容和教材分析】内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理.教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一.【教学目标】知识与技能1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理．2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系．3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形．过程与方法1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程．2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．情感、态度与价值观1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系．2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．【教学重难点及突破】重点1．勾股定理的逆定理及运用.2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.难点1．勾股定理的逆定理的证明.2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性.【教学突破】1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题.2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断.3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”.4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形，再回答问题.【教学设计】一、复习导入师：上一节课我们学习了勾股定理，请同学们回忆一下：勾股定理的内容是什么？生：如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c，那么三边满足的关系为a2+b2=c2.师：勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即直角边为a,b斜边为c,则三边满足a2+b2=c2（带领学生集体复习勾股定理）.思考：勾股定理的题设、结论分别是什么? 生：题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a2+b2=c2师：如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置，即如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形？本节课我们一起来研究这个问题.板书课题：17.2勾股定理的逆定理设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，自然地引出勾股定理的逆定理.二、教学新知1.发现勾股定理的逆定理.观察发现：师生共同学习古埃及人画直角的方法：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

第十七章05节勾股定理勾股定理的逆定理

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目录
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
1、a=15 ，b=8 ，c=17
2、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
第十七章05节勾股定理
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3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
2
45°
∠A
约36.5°
∠B
∠C
90°
约22.5°
90°
90°
约53.5°
约67.5°
45°
A
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理-逆定理(有答案)

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲勾股定理－逆定理第一部分知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

第17章勾股定理

第十七章勾股定理知识点回顾：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；知识点一：勾股定理 1.勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．(注意：前提条件是直角三角形！！！) 例题：1.在Rt △ABC 中， 90=∠C ，中AC=3，BC=4，则AB=（）A.5B.7C.12D.25 2.（常考题）在直角三角形ABC 中，斜边AB =1，222AC BC AB ++的值是（） A .2 B .4 C .6 D .8 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A.13B.8C.25D.64 4.（易错题）若△ABC 中，AB =13，AC =15，高AD =12，则BC 的长是（）A.14B.4C.10或18D.14或4 5.（常考题）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）8.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（） A .4cm B .34cm C . 6cm D . 36cm 9.在直角坐标系中，点P （2，3）到原点的距离是2.勾股定理的图形结合题（难点）例题：1.如图，在△ABC中，三边长a、b、c的大小关系是（）3.（常考题，难）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为2cm.4.（必考题，难）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。

若大正方形边长是13cm，小正方形边长为7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______cm.（）A.169B.25C.19D.135.（常考题，难）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为第1题第2题第3题第4题第5题6.（常考题）如图，数轴上点A表示的数是.7.8.（必考题）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格点的顶点叫格点，以格点作为顶点分别按下列要求画三角形.(1)使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图①中画出一个即可） (2)使三角形的三边长分别为3，22，5；（在图②中画出一个即可）知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足22b a +=2c ，那么这个三角形是直角三角形。

2020春人教版数学八年级下册(RJ)导学案17.2 第2课时勾股定理的逆定理的应用

第十七章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.一、知识回顾1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？2.快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理的应用典例精析例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.变式题如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-5）2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-14）分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？针对训练1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用典例精析教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-14）例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.变式题1 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.针对训练1.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．教学备注配套PPT讲授4.课堂小结（见幻灯片27）5.当堂检测（见幻灯片20-26）教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片15-19）二、课堂小结1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.当堂检测勾股定理的逆定理的应用应用认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题航海问题与勾股定理结合解决不规则图形等问题方法教学备注5.当堂检测（见幻灯片20-26）5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下。

第十七章勾股定理教案

第十七章勾股定理17． 1勾股定理第 1课时勾股定理(1)认识勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．要点勾股定理的内容和证明及简单应用．难点勾股定理的证明．一、创建情境，引入新课让学生画一个直角边分别为 3 cm和 4 cm的直角△ ABC，用刻度尺量出斜边的长．再画一个两直角边分别为 5 和 12 的直角△ ABC，用刻度尺量出斜边的长．你能否发现了32＋42与 52的关系， 52＋ 122与 132的关系，即32＋ 42＝ 52，52＋ 122＝ 132，那么就有勾2＋股2＝弦2.关于随意的直角三角形也有这个性质吗？由一学生朗诵“毕达哥拉斯察看地面图案发现勾股定理”的传说，指引学生察看身旁的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？拼图实验，研究新知1．多媒体课件演示教材第22～ 23 页图 17.1 － 2 和图 17.1 － 3，指引学生察看思虑．2．组织学生小组合作学习．问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．指引学生用拼图法初步体验结论．生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．师：这不过猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．概括考证，得出定理(1) 猜想：命题1：假如直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a2＋ b2＝ c2.(2)能否是全部的直角三角形都有这样的特色呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到当前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下边我们就看一看我国数学家赵爽是如何证明这个定理的．①用多媒体课件演示．②小组合作研究：a．以直角三角形ABC的两条直角边a， b 为边作两个正方形，你能经过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？b．它们的面积分别如何表示？它们有什么关系？c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验先人赵爽的证法．想想还有什么方法？师：经过拼摆，我们证明了命题 1 的正确性，命题 1 与直角三角形的边相关，我国把它称为勾股定理．即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．二、例题解说【例 1】填空题．(1)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；(2)在 Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；(3)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；(4) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；(5) 已知等边三角形的边长为 2 cm，则它的高为________cm，面积为2________cm.【答案】 (1)17(2) 7 (3)68 (4)6 ， 8， 10 (5) 33【例 2】已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边．剖析：已知两边中，较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，所以应分两种状况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，领会分类议论思想．【答案】119或 13三、稳固练习填空题．在 Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)假如 a＝ 7，c＝ 25，则 b＝ ________；(2)假如∠ A＝ 30°， a＝ 4，则 b＝ ________；(3)假如∠ A＝ 45°， a＝ 3，则 c＝ ________；(4)假如 c＝ 10， a－ b＝ 2，则 b＝ ________；(5)假如 a， b，c 是连续整数，则 a＋ b＋ c＝ ________；(6)假如 b＝ 8，a∶ c＝ 3∶ 5，则 c＝ ________．【答案】 (1)24(2)4 3 (3)3 2 (4)6(5)12(6)10四、讲堂小结1．本节课学到了什么数学知识？2．你认识了勾股定理的发现和考证方法了吗？3．你还有什么疑惑？本节课的设计关注学生能否踊跃参加研究勾股定理的活动，关注学生可否在活动中踊跃思虑、能够研究出解决问题的方法，可否进行踊跃的联想( 数形联合 ) 以及学生可否有条理地表达活动过程和所获取的结论等．关注学生的拼图过程，鼓舞学生联合自己所拼得的正方形考证勾股定理．第 2 课时勾股定理(2)能将实质问题转变为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实质问题．要点将实质问题转变为直角三角形模型．难点如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实质问题．一、复习导入问题 1：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，起码需要多长的梯子？师生行为：学生疏小组议论，成立直角三角形的数学模型．教师深入到小组活动中，聆听学生的想法．生：依据题意，( 如图 )AC 是建筑物，则AC＝ 12 m， BC＝ 5 m， AB 是梯子的长度，所以在Rt△ ABC222222m.中， AB＝ AC＋BC＝ 12 ＋ 5 ＝ 13，则 AB＝ 13所以起码需 13长的梯子．m师：很好！由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a， b，就能够求出斜边 c 的长．由勾股定理可得2＝ac2－b2或 b2＝c2－ a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就能够求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边便可求出第三边的长．问题 2：一个门框的尺寸以下图，一块长 3 m、宽 2.2 m的长方形薄木板可否从门框内经过？为何？学生疏组议论、沟通，教师深入到学生的数学活动中，指引他们发现问题，找寻解决问题的门路．生 1：从题意能够看出，木板横着进，竖着进，都不可以从门框内经过，只好试一试斜着可否经过．生 2：在长方形 ABCD中，对角线 AC是斜着能经过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否能经过．师生共析：解：在 Rt△ABC中，依据勾股定理22222＝ 5. AC＝ AB＋ BC＝1＋ 2所以 AC＝5≈ 2.236.因为 AC>木板的宽，所以木板能够从门框内经过．二、例题解说【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是43米，则这两棵树之间的垂直距离是米，水平距离是________米．剖析：由∠ CAB＝ 30°易知垂直距离为 2 3米，水平距离是 6 米．【答案】2 36【例 2】教材第25 页例 2三、稳固练习________1．如图，欲丈量松花江的宽度，沿江岸取B， C 两点，在江对岸取一点BC＝ 50 米，∠ B＝ 60°，则江面的宽度为________．A，使AC垂直江岸，测得【答案】 50 3米2．某人欲横渡一条河，因为水流的影响，登岸地址 C 偏离欲抵达地址 B 200 米，果他在水中游了520 米，求河流的度．【答案】480 m四、堂小1．自己在的收有哪些？会用勾股定理解决的用；会结构直角三角形．2．本是从出，化直角三角形，并用勾股定理达成解答．是一用，程中要充足学生的主性，鼓舞学生手、，将化直角三角形的数学模型的程，激了学生的学趣，了学生独立思虑的能力．第 3勾股定理(3)1．利用勾股定理明：斜和一条直角相等的两个直角三角形全等．2．利用勾股定理，能在数上找到表示无理数的点．3．一步学将化直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决的．要点在数上找表示2，3，5，⋯的表示无理数的点．点利用勾股定理找直角三角形中度无理数的段．一、复入复勾股定理的内容．本研究勾股定理的合用．：在八年上册，我曾通画获取：斜和一条直角相等的两个直角三角形全等．你能用勾股定理明一？学生思虑并独立达成，教巡指，并．先画出形，再写出已知、求以下：已知：如，在Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求：△ ABC≌△ A′ B′ C′ .22明：在 Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，依据勾股定理，得BC＝AB－AC，B′C′＝A′ B′2－ A′C′2. 又 AB＝ A′ B′， AC＝ A′ C′，∴ BC＝ B′ C′，∴△ ABC≌△ A′ B′C′ ( SSS) ．：我知道数上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数上表示出13所的点？教可指学生找像度2，3，5，⋯的包括在直角三角形中的段．：因为要在数上表示点到原点的距离2， 3 ，5，⋯，所以只要画出2，3，5，⋯的段即可，我不如先来画出2，3，5，⋯的段．生：2的段是直角都 1 的直角三角形的斜，而5的段是直角 1 和 2 的直角三角形的斜．：13的段可否是直角正整数的直角三角形的斜呢？生： c＝13，两直角分a， b，依据勾股定理a2＋ b2＝ c2，即 a2＋ b2＝13. 若 a， b 正整数，13 必分解两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，a＝2，b＝3，所以13的段是直角分2， 3 的直角三角形的斜．：下边就同学在数上画出表示13的点．生：步以下：1．在数上找到点A，使 OA＝ 3.2．作直l 垂直于 OA，在 l 上取一点B，使 AB＝ 2.3．以原点O心、以OB半径作弧，弧与数交于点C，点 C 即表示13的点．二、例解【例 1】机在空中水平行，某一刻好到一个男孩正上方 4800 米，了 10 秒后，机距离个男孩 5000 米，机每小行多少千米？剖析：依据意，能够画出如所示的形， A 点表示男孩的地点，C， B 点是两个刻机的地点，∠ C 是直角，能够用勾股定理来解决这个问题．解：依据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得2＝AB22222AC＋ BC，即 5000＝ BC＋ 4800 ，所以 BC＝ 1400 米．飞机飞翔 1400 米用了 10 秒，那么它 1 小时飞翔的距离为 1400× 6×60＝ 504000( 米 ) ＝504( 千米 ) ，即飞机飞翔的速度为504千米/时．【例 2】在沉静的湖面上，有一棵水草，它超出水面 3 分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草挪动的水平距离为 6 分米，问这里的水深是多少？解：依据题意，获取上图，此中D是无风时水草的最高点， BC为湖面， AB 是一阵风吹过水草的位22222置， CD＝ 3 分米， CB＝ 6 分米， AD＝ AB， BC⊥ AD，所以在Rt△ACB中， AB ＝AC＋ BC，即 (AC＋ 3)＝AC 222分米．＋ 6 ， AC＋ 6AC＋ 9＝ AC＋36，∴ 6AC＝ 27， AC＝ 4.5 ，所以这里的水深为【例 3】在数轴上作出表示17的点．解：以17为长的边可看作两直角边分别为 4 和 1 的直角三角形的斜边，所以，在数轴上画出表示17的点，以以下图：师生行为：由学生独立思虑达成，教师巡视指导．此活动中，教师应要点关注以下两个方面：①学生可否踊跃主动地思虑问题；②可否找到斜边为17，此外两条直角边为整数的直角三角形．三、讲堂小结1．进一步稳固、掌握并娴熟运用勾股定理解决直角三角形问题．2．你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理获取一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应．本节课的教课中，在培育逻辑推理的能力方面，做了仔细的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生察看、实验、研究得出结论的自然持续，着重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到讲堂教课中间，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培育了学生擅长提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力．勾股定理的逆定理第 1 课时勾股定理的逆定理( 1)1．掌握直角三角形的鉴别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的研究方法．要点研究勾股定理的逆定理，理解并掌握互抗命题、原命题、抗命题的相关观点及关系．难点概括猜想出命题 2 的结论．一、复习导入活动研究(1)总结直角三角形有哪些性质；(2)一个三角形知足什么条件时才能是直角三角形？生：直角三角形有以下性质： (1) 有一个角是直角； (2) 两个锐角互余； (3) 两直角边的平方和等于斜边的平方； (4) 在含 30°角的直角三角形中， 30°的角所对的直角边是斜边的一半．师：那么一个三角形知足什么条件时，才能是直角三角形呢？生 1：假如三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．生 2：假如一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b 与斜边 c 拥有必定的数目关系即 a2＋ b2＝c2，我们能否能够不用角，而用三角形三边的关系来判断它能否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？问题：听说古埃及人用以下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，而后以 3 个结、 4 个结、 5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，此中一个角即是直角．这个问题意味着，假如围成的三角形的三边长分别为3， 4， 5，有下边的关系：2223＋ 4＝5 ，那么围成的三角形是直角三角形．画画看，假如三角形的三边长分别为， 6，，有下边的关系： 2.5 2＋ 62＝ 6.5 2，画cm cm cm出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，cm， cm，再试一试．生 1：我们不难发现上图中，第 1 个结到第 4 个结是 3 个单位长度即 AC＝3；同理 BC＝4， AB＝5.因为 32＋ 42＝ 52，所以我们围成的三角形是直角三角形．生 2：假如三角形的三边长分别是 2.5 cm， 6 cm， 6.5 cm. 我们用尺规作图的方法作此三角形，经过丈量后，发现 6.5 cm的边所对的角是直角，而且222 2.5 ＋6 ＝ 6.5 .再换成三边长分别为 4 cm， 7.5 cm， 8.5 cm的三角形，能够发现 8.5 cm的边所对的角是直角，且有 42＋ 7.5 2＝8.5 2.师：很好！我们经过实质操作，猜想结论．命题 2假如三角形的三边长a， b， c 知足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形．再看下边的命题：命题 1假如直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a2＋ b2＝ c2.它们的题设和结论各有何关系？师：我们能够看到命题 2 与命题 1 的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互抗命题．假如把此中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的抗命题．比如把命题 1 当作原命题，那么命题 2 是命题 1 的抗命题．二、例题解说【例 1】说出以下命题的抗命题，这些命题的抗命题成立吗？(1)同旁内角互补，两条直线平行；(2)假如两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；(3)线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等；(4)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半．剖析： (1) 每个命题都有抗命题，说抗命题时注意将题设和结论调动即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，抗命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．解略．三、稳固练习教材第 33 页练习第 2题．四、讲堂小结师：经过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？学生讲话，教师评论．本节课的教课方案中，将教课内容精简化，推行分层教课．依据学生原有的认知结构，让学生更好地领会切割的思想．设计的题型前后响应，使知识有序推动，有助于学生理解和掌握；让学生经过合作、沟通、反省、感悟的过程，激发学生研究新知的兴趣，感觉研究、合作的乐趣，并从中获取成功的体验，真实表现学生是学习的主人．将目标分层后，知足不一样层次学生的做题要求，达到稳固讲堂知识的目的．第 2 课时勾股定理的逆定理( 2)1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．2．理解逆定理、互逆定理的观点．要点勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的观点．难点理解互逆定理的观点．一、复习导入师：我们学过的勾股定理的内容是什么？生：假如直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝ c2.师：依据上节课学过的内容，我们获取了勾股定理抗命题的内容：假如三角形的三边长 a ，b， c 知足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形．师：命题 2 是命题 1 的抗命题，命题 1 我们已证明过它的正确性，命题 2 正确吗？如何证明呢？师生行为：让学生试着找寻解题思路，教师可指引学生理清证明的思路．师：△ ABC的三边长a， b， c 知足 a2＋ b2＝c2. 假如△ ABC是直角三角形，它应与直角边是a， b 的直角三角形全等，实质状况是这样吗？我们画一个直角三角形A′ B′ C′，使 B′ C′＝ a， A′ C′＝ b，∠ C′＝ 90° ( 如图 ) ，把画好的△A′ B′ C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？22222222生：我们所画的 Rt△A′B′C′，(A′B′)＝a＋ b，又因为 c ＝ a ＋ b ，所以 (A′ B′ ) ＝c，即 A′B′＝ c.△ABC 和△ A′ B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠ C＝∠ C′＝ 90°，所以△ ABC 为直角三角形．即命题 2 是正确的．师：很好！我们证了然命题2 是正确的，那么命题 2 就成为一个定理．因为命题 1 证明正确此后称为勾股定理，命题2 又是命题 1 的抗命题，在此，我们就称定理 2 是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．师：可能否是原命题成立，抗命题必定成立呢？生：不必定，如命题“对顶角相等”成立，它的抗命题“假如两个角相等，那么它们是对顶角”不行立．师：你还可以举出近似的例子吗？生：比如原命题：假如两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．抗命题：假如两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．明显原命题成立，而抗命题不必定成立．二、新课教授【例 1】教材第 32 页例 1【例 2】教材第 33 页例 2【例 3】一个部件的形状以下图，按规定这个部件中∠A 和∠ DBC 都应为直角．工人师傅量出了这个部件各边的尺寸，那么这个部件切合要求吗？剖析：这是一个利用直角三角形的判断条件解决实质问题的例子．2 2 ＝9＋16 2A 是直角．解：在△ ABD 中， AB ＋ AD ＝ 25＝ BD ，所以△ ABD 是直角三角形，∠2 2 2 2DBC 是直角．在△ BCD 中，BD ＋BC ＝ 25＋ 144＝ 169＝13 ＝ CD ，所以△ BCD 是直角三角形，∠ 所以这个部件切合要求．三、稳固练习1．小强在操场上向东走80 m 后，又走了 60 m ，再走 100 m 回到原地．小强在操场上向东走了80 m 后，又走 60 m 的方向是 ________．【答案】向正南或正北2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇立刻从相距 13 海里的 A ， B 两个基地前往拦截， 6 分钟后同时抵达 C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40°，求甲巡逻艇的航向．11222【答案】解：由题意可知：AC＝ 120× 6×60＝ 12， BC＝ 50× 6×60＝ 5， 12＋ 5＝13 . 又 AB＝13，222ACB＝90°，∴∠ CAB＝ 40°，航向为北偏东 50° .∴ AC＋ BC＝ AB，∴△ ABC是直角三角形，且∠四、讲堂小结1．同学们对本节的内容有哪些认识？2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．本节课我采纳以学生为主体，指引发现、操作研究的教课方案，切合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的踊跃性，有益于培育学生着手、察看、剖析、猜想、考证、推理的能力，确实使学生在获取知识的过程中获取能力的培育．1、一知半解的人，多不谦逊；见多识广有本事的人，必定谦逊。

新人教版第十七章勾股定理教案

新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。

3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。

教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。

教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。

教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

今天我们就来一同探索勾股定理。

二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。

他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。

下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。

已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

勾股定理全章教案

17.1勾股定理（1）一、教学目标：1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。

2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。

3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。

二、教学重点、难点：重点：探索和验证勾股定理过程；难点：通过面积计算探索勾股定理。

三、教学方法及教学手段：采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。

四、教学过程：1．创设情境，导入课题多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。

2．自主探索，合作交流活动一：动脑想一想小明用一边长为cm 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。

②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 1），你能知道斜边的长吗？③观察图形，并填空：⑴正方形P 的面积为2cm ，正方形Q 的面积为2cm ，正方形R 的面积为2cm 。

⑵你能发现图中正方形P 、Q 、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示21cm ）⑴正方形P 的面积为2cm ，正方形Q 的面积为2cm ，正方形R 的面积为2cm 。

⑵正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系是什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P 、Q 、R 的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。

八年级下 - 第17章勾股定理

初中数学第17章勾股定理努力学习，改变自己，从easy 精英学习网开始第十七章勾股定理17.1 勾股定理：a ²+b ²=c ²应用：①已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ）②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

17.2 勾股定理的逆定理（1）逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足，a ²+b ²=c ²，那这个三角形是直角三角形。

应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（2）勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②常见勾股数，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等（3）直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° ②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°+∠C=90°⇒BC=21AB ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°+D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD （4）经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）（5）证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

（6）证明的一般步骤①根据题意，画出图形。

②根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案

第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。

教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。

教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形几何语言：在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。

121334归纳：转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳：方程思想例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

第十七章勾股定理(单元解读)八年级数学下册(人教版)

教材内容 ---教学目标定位
1.经历股定理及其逆定理的探索过程;知道这两个定理的联系与区别能运用这两个定理解决一些简单的实际问题. 2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几何问题. 3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立. 4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感:通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的信心.
知识结构
◆本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.在第二节中结合勾股定理逆定理的内容展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
知识结构
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜想→证明的基本流程.
教材内容 ---地位和作用
◆勾股定理既是对直角三角形性质的丰富与深化，又是学习锐角三角函数的基础;是“以形求数、以数溯形”的重要工具;在解决面积问题、三角形问题、四边形问题圆的问题中都有勾股定理的“倩影”. ◆勾股定理的证明和应用历来都是中考命题的重点.近年来各地中考中有关勾股定理方面的命题主要有以下几个方面:利用股定理解决门框是否能通过的问题、利用勾股定理解决梯子移动的问题、利用勾股定理解决芦苇倾斜的问题、利用勾股定理在数轴上表示无理数、利用勾股定理建立方程、折叠问题、最短路径问题等。尤其是“利用勾股定理建立方程解决问题”几乎在每个省份的考查中都有体现.

八年级数学下册第十七章勾股定理勾股定理的逆定理教案新人教版

17.2勾股定理的逆定理【教学目标】知识与技能:1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.过程与方法:经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.情感态度与价值观:通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.【重点难点】重点:理解并掌握勾股定理的逆定理,并会应用.难点:勾股定理的逆定理的证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课小明做了一个长为40 cm,宽为30 cm的长方形模型,高兴地交给了老师,老师接过小明的模型,用刻度尺度量了模型的长宽所在的对角线,量得对角线的长为56 cm,然后老师指着模型对小明说:“这个角不是直角,你做的模型不合格.”小明不高兴地问老师:“老师,只通过直尺度量就能判断一个角不是直角吗?”同学们有这样的疑问吗?老师通过直尺度量判断直角有没有根据?带着这些问题,我们学习本节知识.二、探究归纳活动1:互逆命题、互逆定理1.问题1:下面几组数分别是一个三角形的边长a、b、c(单位:cm).①3、4、5;②4、7、9;③6、8、10.(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)尺规作图:分别以每组数为三边长作出三角形.(3)用量角器量一量,它们是直角三角形吗?提示:(1)①③满足a2+b2=c2,②不满足(2)略(3)①③是直角三角形,②不是直角三角形.2.思考:根据上面的几个例子,你能提出一个数学命题吗?3.归纳:如果一个三角形的三边长a,b,c满足_________________,那么这个三角形是___________.答案:a2+b2=c2直角三角形4.问题2:阅读,命题1 : 如果一个三角形是直角三角形,两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.命题2 :如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(1)观察命题2与命题1,你有什么发现?发现:两个命题的______、______正好相反,命题1的____是命题2的______;命题1的______是命题2的______.我们把像这样的两个命题叫做________.如果把其中一个叫______,那么另一个叫做它的________.(2)你能举出互逆命题的例子吗?(3)如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明.提示:(1)题设结论题设结论结论题设互逆命题原命题逆命题(2)略(3)不一定略5.思考:一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时,这个三角形才是直角三角形呢?提示:三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2时,这个三角形是直角三角形.活动2:1.问题:已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,求证△ABC是直角三角形.证明:如图,画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=______,A′C′= ______,∠C′= ______°.∵BC=3,AC=4,∴BC=______=3 ,AC=______=4,由勾股定理,得A′B′2=B′C′2+A′C′2=______+______=______,∴A′B′=______,∵AB=5,∴AB=______ ,在△ABC和△A′B′C′中,∵∴△ABC≌△A′B′C′()∴∠C′= ______= ______°∴△ABC是直角三角形.提示:BC AC 90B′C′A′C′ 32 42 255A′B′BC=B′C′,AC=A′C′,AB= A′B′SSS∠C 902.思考:若△ABC的三边不是3、4、5,而是a,b,c,但同样满足a2+b2=c2,你能证明△ABC是直角三角形吗? 提示:略3.思考:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理吗?提示:是归纳:1.如果三角形的三边长是a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,可以用来判定直角三角形,我们把它称为勾股定理的逆定理.2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理“互为逆定理”.活动3:勾股数思考:我们知道3、4、5是一组勾股数,那么3k、4k、5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a、b、c是一组勾股数,那么ak、bk、ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?提示:是6.应用举例【例1】下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等,其中是假命题的有________(填序号).分析:要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.解:①对顶角相等是真命题;②同旁内角互补是假命题;③全等三角形的对应角相等是真命题;④两直线平行,同位角相等是真命题;故是假命题有②.答案:②总结:要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.【例2】观察以下几组勾股数,并寻找规律:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26;…,根据以上规律的第⑦组勾股数是()A.14、48、49B.16、12、20C.16、63、65D.16、30、34分析:根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系,如果是第n组数,则这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是:n(n+2),第三个数是:(n+1)2+1.根据这个规律即可解答.解:选C.根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2(n+1),第二个数是n(n+2),第三个数是(n+1)2+1,故可得第⑦组勾股数是16,63,65.总结:勾股数满足的条件只要三个整数中,满足较小两个整数平方的和等于较大整数的平方,那么这三个整数就是一组勾股数.【例3】如图四边形ABCD是一块草坪,量得四边长AB=3 m,BC=4 m,DC=12 m,AD=13 m,∠B=90°,求这块草坪的面积.分析:连接AC,可以把四边形分割成两个三角形,由勾股定理及逆定理说明△ACD为直角三角形,利用三角形面积公式可求四边形ABCD的面积.解:连接AC,在Rt△ABC中,AB=3 m,BC=4 m,∠B=90°,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴AC=5 m.在△ADC中,AC=5 m,DC=12 m,AD=13 m∵AC2+DC2=169,AD2=169,∴AC2+DC2=AD2 ,∴△ACD为直角三角形,即∠ACD=90°.所以四边形的面积=S Rt△ABC+S Rt△ADC=AB×BC+AC×DC=×3×4+×5×12=36(m2)即这块草坪的面积是36 m2.总结:应用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法1.排序:把三条线段按由小到大排列;2.计算:看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方;3.结论:判断能否构成直角三角形.三、交流反思这节课我们学习了互逆命题(定理),探索了勾股定理的逆定理,掌握了直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理),并能进行简单应用,理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别.四、检测反馈1.下列各组数中,是勾股数的为()A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,92.分别有下列几组数据:①6、8、10②12、13、5③7、8、15④40、41、9.其中是勾股数的有()A.4组B.3组C.2组D.1组3.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: __________________.4.下列命题中,其逆命题成立的是________.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.5.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确.(1)如果a3>0,那么a2>0;(2)如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形;(3)如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;(4)关于某条直线对称的两条线段一定相等.6.如图在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求:(1)AC的长度;(2)△ABC的面积.7.如图是一块地的平面图,AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m,∠ADC=90°,求这块地的面积.五、布置作业教科书第34页习题17.2第1,2,5题六、板书设计17.2勾股定理的逆定理一、互逆命题(定理)二、勾股数三、勾股定理的逆定理四、例题讲解五、板演练习七、教学反思勾股定理的逆定理这节课的教学,我采用了体验探究的教学方式.在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题;再让学生通过画图、测量、判断、找规律,猜想出一般的结论;然后由学生想、画、剪、叠,去验证结论……使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思想和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.对互逆命题,原命题,逆命题,互逆定理,逆定理等概念的讲解可随题点化,而详细讲解、随堂练习可做为第二课时的重点,挤出更多时间来做勾股定理逆定理的相应练习,特别是应加大有灵活度和难度的生活习题的练习,拓宽学生知识面,提高学生的发散思维能力.。

(新人教版)数学八年级下册第十七章勾股定理单元复习讲义学案

人教版初中数学八年级下册第十七章句股定理章节复习教学设计一、教学目标z1.复习与回顾本擎的重要知识点；2.勾股定理及其逆定理的用途和相互关系；3.总结本章的重要思想方法及其应用；4.勾股定理及逆定理的综合运用．二、教学过程z 知识网络如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b ，斜边长为c ，那么①a 2+bi＝ι，l .句股定理的变式：（l)c＝乓亏V;(2)a 2=c 2－旷；（3)b 2=C 2-a 2; ( 4 )a ＝正亡,T;(5)b=lc 亡歹．实际问题｜｜｜二二二二｜勾股定理（直角三角形边长的计算）＇逆命题实际问题｜｜勾股定理（判定直角三角形）｜←一一一一｜的逆定理知识梳理一、勾股定理已知直角三角形中的任意两边，均可求出第三边长；已知直角三角形的一边，可确定另两边的数量关系；证明含平方关系的问题等．如果三角形的三边长α，b,c 满足②α2+b 2=/，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a 2+b 2=c 2.两直角边的平方和等于斜边的平方．a：勾般因因回回a i +b i =c 2 c =U 工b2a 2=c 2-b 2 a ＝♂习Tb 2=c 2-a 2b =Jcf"习二、句股定理的实际应用利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(l）读懂题意，分析己知、未知间的关系；(2）构造直角三角形；(3）利用勾股定理等列方程；(4）解决实际问题．转T也题进臼川构’学l l l E ’我旬欣纯理利用三、利用句股定理表示无理数的方法：(1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．(2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数．l i-2-1IA2--1 o 1 2s : 4类似地，利用勾股定理，可以作出长为-./2，飞／言，-./5，…的线段按照同样方法，可以在数轴上画出表示飞斤，d ，飞／言，{'ii,-./5，…的点A一－··四、折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：(I）设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x); (2）用已失I］线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3）在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4）解这个方程，从而求出所求线段长．c AB五、原命题与逆命题'-l唾晦哩，也DEc题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．六、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b, c满足矿＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形AbB c七、句股数如果三角形的三边长a,b, c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数固回回因因常见勾股数：3.4, 5; 6, 8, 10; 5, l2, l3; 8, 15, l7; 7, 24, 25等等．回国团团团回因一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数．如：3, 4, 5; 6, 8, 10: 9, 12, 15; 12, 16, 20…考点梳理考点解析考点1：句股定理的简单应用例1.在Rt.6.ABC中，LC=90。

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。

（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。

如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

17.2.12勾股定理逆定理(教案)

3.引导学生运用勾股定理逆定理解决实际问题，增强学生的数学应用意识和创新意识。
4.培养学生团队合作精神，提高沟通交流能力，增强数学课堂互动。
5.激发学生对数学学科的兴趣，树立正确的数学观念，培育数学美感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解和掌握勾股定理逆定理的内容，即一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
（2）对于特殊情况的判断，如：一个三角形的两边长分别为1.5和2，第三边长为3.5，判断这个三角形是否为直角三角形（1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25，3.5^2 = 12.25，不是直角三角形）。
（3）解决实际问题，如：一个直角三角形的两个直角边长分别为6和8，求斜边长。将勾股定理逆定理与勾股定理相结合，得出斜边长为10。
17.2.12勾股定理逆定理（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册第17章第2节，主要教学内容为勾股定理逆定理。具体内容包括：
1.理解并掌握勾股定理逆定理的概念：如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
此外，我在课堂上观察到，学生们对于自己发现问题和解决问题的过程非常感兴趣。在小组讨论环节，他们积极思考，互相交流，提出了很多有趣的观点和解决方案。这让我意识到，在今后的教学中，应该多设计一些开放性的问题和实践活动，激发学生的创新思维和探究欲望。
最后，今天的课堂总结环节，学生们提出了不少疑问，这说明他们在课堂学习中还有未完全理解的地方。在今后的教学中，我要更加关注学生的反馈，及时解答他们的疑问，确保他们对知识点有全面、深入的理解。

第17章勾股定理教学设计

第17章勾股定理教学设计教学设计思想：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。

教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。

对于勾股定理的逆定理，教学中通过相应的画图验证，使该定理成为学生经历探索活动后的必然结果。

然后给出例题，引导学生先自己研究，然后同学相互交流、研讨，最后师生一起规范作答。

最后通过练习加强学生对逆定理的理解。

教学目标：1．掌握勾股定理及其逆定理2．经历探索和验证勾股定理的过程，发展对图形性质或数量关系猜想及检验的能力，体会拼图验证的合理性。

3．体会勾股定理逆定理的探究和证明过程。

4．能够运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题。

教具准备：多媒体，纸，剪刀课时安排3课时教学过程：第一课时：教学重难点：重点：勾股定理难点：勾股定理的验证教学环节：一、创设问题的情境，激发兴趣引入课题通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家）在勾股定理方面的贡献。

激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．二、一起探究（出示投影），观察书中图17—3—1（1）答：1．以AC 为边的正方形中有_______个小方格，面积为______个单位。

以BC 正方形中有_______个小方格，面积为______个单位。

以AB 正方形中有_______个小方格，面积为______个单位。

这三个正方形的面积之间有怎样的关系?2．图17—3—1（2）中，分别以AC 、BC 、AB 为边的三个正方形的面积之间有怎样的关系？3．你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt △ABC 三边之间怎样的关系吗？把它写出来。

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勾股定理的逆定理（第5课时）
【学习目标】：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

【学习重点】：掌握勾股定理的逆定理及证明。

【学习难点】：勾股定理的逆定理的证明
【学习过程】
一、温故知新1、如何判定一个三角形是直角三角形？
二、自学探究
1、在练习本上用尺规画以线段a ，b ， c . 为边的三角形，并判断分别以上述a 、b 、c 为边的三角形的形状. ⑴ a =3，b =4 c =5 ⑵ a ＝2.5，b ＝6，c ＝6.5， ⑶ a =4， b =7.5 , c =8.5
2、猜想：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足222c b a =+，那么这个三角形是三角形猜想的题设是： __________ 猜想的结论是： ____________________________________ 该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好 .
3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题．．．，那么另一个叫做它的命题.譬如： ①原命题：若a ＝b ,则a 2＝b 2；逆命题： .（正确吗？答）
②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答）由此可见：原命题正确，它的逆命可能也可能 .
正确的命题叫真命题．．．，不正确的命题叫假命题．．．
4、验证猜想
已知：△ABC 中，BC 2＋AC 2＝AB 2
；
求证：∠C ＝90°.
证明：作Rt △A ′B ′C ′,使∠C ′＝90°，
B ′
C ′＝BC ＝a , A ′C ′＝AC ＝b .
通过证明，我发现勾股定理的逆命题是的，它也是一个，我们把它叫做勾股定理的 .
三、回顾与归纳
1、勾股定理是直角三角形的定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的定理.
2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：
①先算两条短边的再算最长边的；把作比较；作出 .
②勾股数:我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）是一组勾股数吗？
比一比看谁能说出的勾股数多？
3、判断由线段a ，b ，c 组成的△ABC 是不是直角三角形.
(1) a =40，b =41，c =9 (2) a =13，b =14，c =15 (3) a ∶b ∶c =
13∶3∶ 2 (4) 12+=n a ，12-=n b ，n c 2=（n >1且n 为整数）
4.说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

四、学练感悟
1、本节课都学习了什么内容？
2、还有哪些不懂？
3、应用勾股定理逆定理注意什么？
五、当堂检测
1、任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

2、一个三角形的三边之比为3；4：5，这个三角形的形状是__________.
3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是__________.
4、适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )
①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580
; ④1、3、2； ⑤.4,2,2===c b a （6）32，42，52
A. 2个;
B. 3个;
C. 4个;
D. 5个.
5、三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形.
6、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果3a ＞0，那么2a ＞0；（） ⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；（） ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；（） ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

（）
7、已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是三角形.
8、如图，一个四边形零件，AC=3,BC=4,AD=12，BD=13.∠C ＝90° （1） AD 与AB 有什么位置关系？（2）求四边形ABCD 的面积．变式：如果把题目中的AB 线段去掉，直接求四边形ABCD 的面积，应该如何思考？ A
C B D
4 12
13 3。

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