八年级数学上册探索勾股定理(第二课时)教案北师大版.doc

探索勾股定理教学设计第（二）课时

教学设计思想：

本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论. 本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理. 初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性. 设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高. 为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共

同提高的目的 .

教学目标

( 一 ) 知识与技能

1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2. 运用勾股解决一些实际问题 .

( 二 ) 过程与方法

1. 学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.

2. 在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.

( 三 ) 情感、态度与价值观

利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献. 借助对学生进行爱国主义教育 . 并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.

教学重点

勾股定理的证明及其应用.

教学难点

勾股定理的证明.

教学方法

教师引导和学生自主探索相结合的方法.

在用拼图的方法验证勾股定理的过程中. 教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的

问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题 .

教具准备

1. 每个学生准备一张硬纸板、投影片三张.

教学过程

Ⅰ．创设问题情景，引入新课

［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（ a+b）（ a－b） =a2－ b2；完全平方公式（ a± b）2=a2±2ab+b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？

［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边．例如（a+b）（ a 222 2

－b） =a － ab+ab－ b =a －b ，所以平方差公式是成立的．

［生］还可以用拼图的方法来推出．例如：（ a+b）2=a2+2ab+b2．我们可以用一个边长为 a 的正方形，一个边长为 b 的正方形，两个长和宽分别为 a 和 b 的长方形可拼成如下图所

a+b）2；又可以表示的边长为（ a+b）的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为（示为

a2+2ab+b2．所以（ a+b）2=a2+2ab+b2．

［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观．上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理．同时又利用一些特例验证了勾股定理，

但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确．因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系．

Ⅱ．讲授新课

1．拼一拼

（ 1）在一张硬纸板上画 4 个如下图所示全等的直角三角形．并把它们剪下来．

（ 2）用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边

c 为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？

（对于上面 2 个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来．鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自

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己拼出的图形，联系（a+b） =a +2ab+b 的拼图推证方法说明勾股定理）．

［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为 c 的正方形．观察图形我们不难

发现，大的正方形的边长是（ a+b）．要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示

这个大正方形的面积即可．

1

大正方形面积可以表示为：（a+b）2，又可以表示为： 2 ab×4+（b－a）．

1

对比这两种表示方法，可得出

2 2 2 2

c = 2 ab×4+（ b－a）．化简、整理得 c =a +b ．因此我

们得到了勾股定理．

［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为 b－ a，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方

1 1

法，既可以表示为 c 2，又可以表示为 2 ab×4+（b－a）2．对比两种表示方法可得 c 2= 2 ab×4+ （b－ a）2．化简得 c2=a2+b2．同样得到了勾股定理．

［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献．在后面的课题学习中，我们还要继续研究它．

在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了．有人做过统计，说有五百余种． 1940 年，国外有人收集了勾股定理的365 种证法，编了一本书．其实，勾股定理的

证法不止这些，作者之所以选用了365 种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简

直到了每天一种的地步．

［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关

系，样吗？

是这

［师］是的． 1876 年 4 月 1 日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并

且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881 年加菲尔德当

上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？

［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第

一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．

［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．

［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．

［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表

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示为 2（a+b）·（a+b），又可以表示为2 ab×2+c2．对比两种表示方法可得2（a+b）·（a+b）

1

= 2 ab×2+c2．化简，可得a2+b2=c2．

［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．

2．议一议

［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系．那么锐角三角形或钝角三角形的三边

是否也满足这一关系呢？

观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是