中小学优质课件导数的概念与运算课件.ppt
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导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习,我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习,我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习,我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习,我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示,其中f为函数,x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限,几何和物理意义的理解。通过导数的定义,我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念,导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念,具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用,我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论,陈红,2019 导数在现代物理中的应用,张立,2020 从函数到导数,王海,2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用,以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率,表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限,衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率,可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
导数的概念及运算课件
Δx
.
如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则称 f(x)
在区间(a,b)内可导.在区间(a,b)内,f ′(x)构成一个新的函
数,这个函数称为函数 f(x)的导数.
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
4.导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0),就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的_切__线__的__斜__率__. 导数的物理意义:物体的运动方程 s=s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0),就是物体在 t0 时刻的__瞬__时__速__度____.
答案:A
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
点评:求曲线在某点处的切线方程,应先求该点处的导数 值,得到切线斜率.再写出切线方程.
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
导数公式及运算法则 [例 3] 设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…, fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2013(x)等于( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
A.2
B.-1
C.1
D.-2
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
解析:lim x→0
f1-2fx1-2x=lxi→m0
f1--2x2-x f1=-1,
即y′|x=1=-1,
则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1,故选B.
答案:B
第三章 第一节
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第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数,且(f(x0))′=0. (2)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是 周期函数. (3)f1x′=-f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线 相切只有一个公共点.
3.在桥梁设计中,桥墩一般设计成圆柱形,因为其各向受力均衡,而且在相
同截面下,浇筑用模最省.假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时,采用由内向
外扩张式浇筑,即保持圆柱高度不变,截面半径逐渐增大,设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t).若圆柱的体积以均匀速度 c 增长,则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A.成正比,比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召,甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理,已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示. (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多? (2)在接近 t0 时,哪个厂的污水排放量减少得更快? 答案:(1)乙 (2)甲
在日常生 活中, 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费,也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y=f(x)在x=x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=li m Δx→0
ΔΔxy=
li m fx0+Δx-fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 ,相应的切线方程为 意义 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
在日常生 活中, 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费,也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3.在桥梁设计中,桥墩一般设计成圆柱形,因为其各向受力均衡,而且在相
同截面下,浇筑用模最省.假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时,采用由内向
外扩张式浇筑,即保持圆柱高度不变,截面半径逐渐增大,设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t).若圆柱的体积以均匀速度 c 增长,则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A.成正比,比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召,甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理,已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示. (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多? (2)在接近 t0 时,哪个厂的污水排放量减少得更快? 答案:(1)乙 (2)甲
在日常生 活中, 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费,也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y=f(x)在x=x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=li m Δx→0
ΔΔxy=
li m fx0+Δx-fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 ,相应的切线方程为 意义 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
在日常生 活中, 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费,也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
导数的概念及运算ppt课件演示文稿(1)
原函数
f(x)=
x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
f(x)=xa(a为常数) f(x)=ax(a>0且a¹1) f(x)=logax(a>0且a¹1) f(x)=ex f(x)=ln x f(x)=sin x f(x)=cos x
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5),
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数,当t无限趋近于0时,化 简 f a 4t f a 5t =________.
t
f a 4t f a 5t 解: t f a 4t f a f a f a 5t t f a 4t f a f a 5t f a 4 5, 4t 5t
[ g x ]2
f x2 f x1 x2 x1
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m,n]上的平均变化率为________.
f x 2. 若f′(x0)=2,则当k无限趋近于0时,
0
k f x0 2k
=________.
3. 函数y=x3+cos x的导数为________.
6. 复合函数的导数 一般地,若y=f(u),u=ax+b,则y′x=y′u〓u′x, 即
导数的基本公式与运算法则PPT优秀课件
补充例题: 求下列函数的导数:
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1, 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4), (5cos x) = 5(cos x),又(x4) = 4x3,(cos x) = - sin x, (ex) = ex, (1) = 0,
1 y ' sin( x 2 y 2 ) (2 x 2 yy ')
1 y ' 2 x sin( x 2 y 2 ) 2 y sin( x 2 y 2 ) y '
[1 2 y sin( x 2 y 2 )] y ' 1 2 x sin( x 2 y 2 )
练 习 : 求 下 列 函 数 的 导 数 ( 课 堂 练 习 ) ( 1 ) y ( 1 x 2 ) 3 ; ( 2 ) y c o s 3 x ; ( 3 ) y x 2 3 x 2 ; ( 4 ) l g c o s ( 3 2 x 2 )
解: (1) y ' 6x(1 x2)2
2.2.3 高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导,
所得到的一个新函数,称为函数 y = f(x) 的二阶导数,
记作 f (x) 或 y 或
d2y dx2 .
如对二阶导数再求导,则
称三阶导数,记作
f
(x)
或
d d
3y x3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4),y(5),···,y(n) 或 d 4 y , ···,d n y ,
(4)y2x33xsinxe2
解:
课件12:§3.1 导数的概念及运算
tan α=k<0,所以 α 的最小值是34π,故选 B. 答案:B
(2)已知函数 f(x)=(x+a)ln x,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 与直线 2x-y=0 平行,求 a 的值. 解:由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2, 所以 f′(1)=2. 因为 f′(x)=ln x+ax+1,所以 f′(1)=ln 1+a+1=a+1=2,a=1.
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
解析:∵y=sin x+ex,∴y′=cos x+ex,
∴y′x=0=cos 0+e0=2,
∴曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x-0), 即 2x-y+1=0.故选 C. 答案:C
4.已知直线 y=2x+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点(1,3),则 实数 b 的值为________. 解析:因为函数 y=x3+ax+b 的导函数为 y′=3x2+a, 所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为 3+a, 所以33+ =a1= +2a, +b, 解得ab= =- 3. 1, 答案:3
答案:(-∞,1]
5.设曲线 y=1x在点(1,1)处的切线与曲线 y=ex 在点 P 处的切线垂 直,则点 P 的坐标为________.
方法技巧
一般已知曲线上一点 P(x0,y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂 直),确定该切线的斜率 k,再求出函数的导函数,然后利用导数的 几何意义得到 k=f′(x0)=tan α,其中倾斜角 α∈[0,π),根据范围进 一步求得角度 α 或有关参数的值.
即时应用
1.若幂函数 f(x)=mxa 的图象经过点 A14,12,则它在点 A 处的切线
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一,是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支,是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛,不仅限于数学和物理领域,还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用,如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域,导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域,导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系,即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质,利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础,在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导, 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$,则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ,可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ,是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率, 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ,对于可微函数,其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容,掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的,其核心思想是利用偏导数和全微分的概念,将隐函 数转化为显函数,然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中,导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时,导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域,导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分, 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质,如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础,包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ,是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率, 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ,对于可微函数,其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容,掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的,其核心思想是利用偏导数和全微分的概念,将隐函 数转化为显函数,然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中,导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时,导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域,导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分, 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质,如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础,包括加法、减法、乘法和除法 。
导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件
3.1 导数的概念
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1.曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率. 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx,2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ,并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M, 设割线的倾斜角为 ,割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
; /gongxw/8432.html 齐鑫金融
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)- t0 = Dt 内,物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度.如果物体的运动规律是 s =s(t ),那么物 体在时刻t 的瞬时速度v,就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内, 当 Dt0 时平均速度.
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1.曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率. 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx,2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ,并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M, 设割线的倾斜角为 ,割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
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平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)- t0 = Dt 内,物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度.如果物体的运动规律是 s =s(t ),那么物 体在时刻t 的瞬时速度v,就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内, 当 Dt0 时平均速度.
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点,但需 满足一定的条件。在极值点处,导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零,且在 这一点的一阶导数存在,那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点,需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正,则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内,曲线是凹的;二阶导数小 于零的区间内,曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时,表示函数在该区 间内单调递增;当二阶导数小于零时,表示 函数在该区间内单调递减。因此,通过分析 二阶导数的正负,可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中,导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律,以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中, 导数可以用来计算结构的应力和应变,评估结构的强度和稳定性。在控制理论中,导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性,优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况,极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零,通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件,结合函数单调性判断,确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度,是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点,但需 满足一定的条件。在极值点处,导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零,且在 这一点的一阶导数存在,那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点,需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正,则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内,曲线是凹的;二阶导数小 于零的区间内,曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时,表示函数在该区 间内单调递增;当二阶导数小于零时,表示 函数在该区间内单调递减。因此,通过分析 二阶导数的正负,可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中,导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律,以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中, 导数可以用来计算结构的应力和应变,评估结构的强度和稳定性。在控制理论中,导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性,优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况,极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零,通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件,结合函数单调性判断,确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度,是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0,则函数在此区间单调递增;如果导数小于0, 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在,即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率,它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导,可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率,它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上,导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值,表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中,许多物理量都可以表示为函数形式,如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化,从而揭示物理现象的本 质。例如,速度是位移函数的导数,加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积,其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即,若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导,则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商,其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即,若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$, 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
小学数学导数的基本概念与运算课件
拐点的判定条件:函数在某点的二 阶导数为零,且三阶导数不为零。
导数的零点与方程的根
导数为零的点称为临界点或驻点 导数的零点不一定是方程的根 导数的符号决定了函数在零点附近的单调性 通过导数的零点可以判断方程的根的类型
导数在实际问题中的应用案 例
第五章
速度与加速度的计算
导数在速度计算中的应用:通过导数描述物体运动的速度和加速度,进而解决实际问题
导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用:研究边际成本和边际收益,分析经济行为的变化趋势。 导数在物理学中的应用:解释速度、加速度、功率等物理量的变化规律,研究物体的运动状态。 导数在工程学中的应用:优化设计、控制工程、信号处理等领域,提高工程质量和效率。 导数在金融学中的应用:评估投资组合的风险和回报,预测股票价格的变化趋势。
第一章
导数的定义与意义
第二章
导数的概念
导数定义:函数 在某一点处的切 线斜率
导数意义:表示 函数在某一点处 的变化率
导数应用:研究 函数的单调性、 极值和最值等
导数运算:求导 公式和法则
导数在数学中的意义
导数是函数局部性质的一种量度
导数可以用来研究函数的单调性、极值和最值等性质
导数在几何上可以用来求切线的斜率 导数在物理和工程中有着广泛的应用,如速度、加速度、电流强度等物理 量的计算
分析。
导数在数学建模中的应用
导数在经济学中的应用:研究边际成本、边际收益等经济变量,分析经济现象。 导数在物理学中的应用:描述速度、加速度、温度等物理量的变化规律,解决物理问题。 导数在生物学中的应用:研究种群增长、传染病传播等生物学现象,预测未来趋势。 导数在工程学中的应用:优化设计、控制工程系统等,提高工程效率。
课件10:§3.1 导数的概念及运算
=( )
A.-2
B.1
C.3
D.4
解析:对于 y=x3+mx+n,y′=3x2+m,所以 k=3+m,又 k+1
=3,பைடு நூலகம்+m+n=3,可解得 n=3. 答案:C
4.已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x)的导 函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为________. 解析:因为 f′(x)=a(l+ln x),所以 f′(1)=a=3.
[典例引领] 角度一 求切线方程 例 2-1 (1)已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1,f(1))处 的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为________. (2)曲线 f(x)=x3-2x2+2(12≤x≤52),过点 P(2,0)的切线方程为 ________.
答案:(1)1 (2)y=-x+2
角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标 例 2-2 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是________. 解析:设切点 P 的坐标为(x0,y0),因为 y′=ln x+1, 所以切线的斜率为 k=ln x0+1, 由题意知 k=2,得 x0=e,代入曲线方程得 y0=e. 故点 P 的坐标是(e,e). 答案:(e,e)
(3)函数 f(x)的导函数 f(x+Δx)-f(x) 称函数 f′(x)=____Δl_xi→m__0 ________Δ__x__________为 f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)=c(c 为常数) f(x)=xn(n∈Q*)
f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0 且 a≠1)
导数计算ppt课件
(3)y=1x+x22+x33;
解: (1)方法一:y′=(x+1) ′(x-1)+(x+1)(x-1) ′=(x-1)+(x+1)=2x 方法二:y=x2-1 y′=(x2-1) ′=(x2) ′-1′=2x (2)y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx +x2cosx.
[例 2] 求函数 y=sin4x4+cos44x的导数.
[解析] ∵y=sin44x+cos44x =(sin24x+cos24x)2-2sin24xcos24x =1-12sin22x=1-12·1-2cosx=34+14cosx, ∴y′=34+14cosx′=-14sinx.
请您欣赏
励志名言
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第 一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第 一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
一、合作探究——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
学习目标:
• 1.了解常见函数的导数公式的推导过程。 • 2.掌握常见函数的导数公式及导数运算法
解: (1)方法一:y′=(x+1) ′(x-1)+(x+1)(x-1) ′=(x-1)+(x+1)=2x 方法二:y=x2-1 y′=(x2-1) ′=(x2) ′-1′=2x (2)y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx +x2cosx.
[例 2] 求函数 y=sin4x4+cos44x的导数.
[解析] ∵y=sin44x+cos44x =(sin24x+cos24x)2-2sin24xcos24x =1-12sin22x=1-12·1-2cosx=34+14cosx, ∴y′=34+14cosx′=-14sinx.
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法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第 一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第 一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
一、合作探究——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
学习目标:
• 1.了解常见函数的导数公式的推导过程。 • 2.掌握常见函数的导数公式及导数运算法
导数的概念及运算 经典课件(最新)
lim
h0
f(x0+h)-h f(x0-h)=(
)
A.-3
B.-6
C.-9
D.-12
(2)用定义法求函数 f(x)=x2-2x-1 在 x=1 处的导数.
高中数学课件
【解析】 (1)f′(x0)=-3,
则 lim h 0
f(x0+h)-f(x0-h) h
=
f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)
高中数学课件
导数的概念及运算 课件
高中数学课件
【最新考纲】
1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y= x的导 数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求 简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数.
高中数学课件
(3)导数定义
lim
x0
f(x0+ΔxΔ)x-f(x0)=f′(x0)等价于
lim
x0
f(x)x--fx(0 x0)=f′(x0).
高中数学课件
[强化训练 1.1] (1)(2019 年福建闽侯二中期中)已知函数 f(x)=2ln3x+8x+1,则
lim
x0
f(1-2ΔxΔ)x -f(1)的值为(
高中数学课件
(4)y′=(lnx)′(x2(+x12+)1-)ln2x(x2+1)′
=1x(x(2+x21+)1-)22xlnx=x2(x(1-x22+ln1x))2+1. (5)令 u=2x-5,y=lnu,
则 y′=(lnu)′u′=2x-1 5·2=2x-2 5,即 y′=2x-2 5. 【反思·升华】 求导运算,一是熟记公式及运算法则,二是掌握求复合函数导数的 步骤,遵从“由外到内”的原则,三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化 简或变形,从而使求导运算更简单.
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高考考纲透析: (文科)
• (1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几 何意义。(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+) 的导数公式,会求多项式函数的导数。(4)理解极大 值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求 多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上 的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际 问题的最大值和最小值。
高考风向标:
导数的概念及运算,利用导数研究函数 的单调性和极值,函数的最大值和最小 值,尤其是利用导数研究函数的单调性 和极值,复现率较高。
知识提要: 1.导数的概念:
(1)已知函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增 量⊿x,那么函数y相应地有增量
y
⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 x 就叫做函数y=f(x)
和y g(x)在交点(0,2)处有公切线。(1)
求 a, b, c 的值,(2)求 y f (x) 在R上的极
大值和极小值。
热点题型3: 函数的单调性(理科)
• 已知函数
ax 6 f (x)
x2 b
的图象在点
• M(-1,f(x))处的切线方程为x+2y+5=0.
• (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函 数y=f(x)的单调区间.
..
nCnn
(
n
N*).
【课堂小结】
1 . 了解导数的概念,初步会用定义式解决 一些问题;
2. 会用定义式求导数;
3. 了解导数的几何意义;
4. 掌握常见函数的导数公式,并会正确运 用;
掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导 法则。
【典型题例分析】
热点题型1: 函数的最值
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a, (I)求f(x)的单调递减区间;
例1
若f
/
(
x0
)
2,
求
lim
k o
f (x0
k) 2k
f (x0 ) .例2源自求下列函数的导数: (1)y=x2sinx; (2)y=ln(x+ 1 x2 );
(3)y=
ex ex
1; 1
x cosx (4)y= x sin x
;
(5)y=(1+cos2x)2;(6)y=sinx3+sin3x.
例3 设函数y=ax3+bx2+cx+d在的图象与y轴 交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,试确 定函数的解析式 。
例4 利用导数求和:
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n N*);
(2)Sn=
C1 n
2Cn2
3C3n
....
热点题型3: 函数的单调性 (文科)
(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值 为20,求它在该区间上的最小值.
变式新题型1: 已知 f (x) ax3 6ax b, x [1,2] 的最大值为3,最小值为 29 ,求 a, b 的值。
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f (x) ax3 bx2 3x 在 x 1
'
u
'v uv v2
'
(v 0)
6.复合函数的导数:设函数u= (x)在点x处
有导数u′x= ′(x),函数y=f(u)在点x的对应
点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f( (x))
在点x处也有导数,且 y'x y'u u'x
f′x( (x))=f′(u) ′(x).
或
处取得极值.(1)讨论 f (1)和 f (1)是函数 f (x)的极大值还是极小值;(2)过点 A(0, 16)作曲线y f (x)的切线,求此切线方程.
变式新题型2:
已知 f (x) x3 ax2 bx c和 g(x) x2 3x 2
若y f (x在) 点 x 1处有极值,且曲线y f (x)
高考数学复习 强化双基系列课件
81《导数的概念与运算》
高考考纲透析:(理科)
• (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、 光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定 义和导数的几何意义;理解导函数的概念。(2)熟记基本 导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了 解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理 解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在 某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧 异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和 最小值。
;
1.导数的概念:
(3)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点
都可导,就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导,由这
些导数值构成的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的
导函数,
记作
f / (x)
=
y/
=
y lim x0 x
lim x0
f (x x) x
f (x)
。
2.求导数的方法:
(1)求函数的增量⊿y;
y
(2)求平均变化率 x ;
(3)求极限 lim y 。
x0 x
3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处 的切线的斜率,即斜率为 f / (x0 ) 。过点P的切
线方程为:y- y0= f / (x0 ) (x- x0).
;(log a
x)'
1 x
log a
e;
(e x )' e x ; (a x )' a x ln a 。
5.导数的四则运算法则:
[u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
[u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x)
[Cu(x)] Cu '(x)
u v
导数的物理意义:如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位 移s的导数在t0的值,
v= s / (t0 )
4.几种常见函数的导数:
C' 0(C为常数);(x n )' nxn1( n Q );
(sin x)' cosx ; (cosx)' sin x ;
(ln x)' 1 x
在x0到x0+⊿x之间的平均变化率;
(2)当⊿x→0时,
y x
有极限,就说函数y=f(x)
在x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在x0处的导
数(或变化率),记作
f
/ (x0 )
y lim xo x
lim
xo
f (x0
x) x
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0