实变函数及泛函分析概要第1~3章复习

A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征}
有限集 无限集
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y… 表示集合中的元素。
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定理1.1 分配律
E ( A ) ( E A )
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 2）[0,1]中的有理数全体
={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
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可数集性质： 定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。 （即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
定义
称集合:E {E的孤立点全体} E E
' '
为E的闭包, 记为E.
E' E
若 E E ，则称 E为完全集．
'
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定义3.3
闭集的(等价)定义 若EE ,则E为闭集.
R中只有空集和R既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
定义域 D(f) 值域 R(f)
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原 像
像
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单射,满射,一一对应(一一映射)
若x1, x2 X , x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 )
称f为单射；
若（ f X）＝Y , 即y Y , x X , 有f ( x) y
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差：A B或A \ B {x : x A但x B}
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
A B
注：A B A B
c
( A B) B A不一定成立
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3.可数集合
1).可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为
0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
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注：A可数当且仅当 A可以写成无 穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
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定理3.3
任何集E的导集 E`为闭集
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可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
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例:有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {( x, y) | x A, y B}
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定义
若Ec为开集，则称E为闭集。
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定理3.2 E为闭集的充分必要条件是
E' E
证明:
由于E E E E {E的孤立点全体 }
' '
故E E等价于E E
'
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E ( A ) ( E A )

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定理1.2 (De Morgan公式)
( A )
c

A

c
( A )
c

A Leabharlann Baidu

c
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
笛卡尔乘积
A B {(a, b) : a A, b B}
A
i 1

n
i
{( x1 , x2 ,, xn ) : xi Ai , i 1,2,, n}
{( x1 , x2 ,, xn ,) : xi Ai , i 1,2,, n,}
A
i 1
{( x, y) | y B}
xA
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
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例 4 代数数全体是可数集
整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。 常见可数集举例:
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则称f为满射；
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若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。
2 对等与势
定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在 着A到B的一一映射f（f既单又满）， 则称A与B对等,
记作
A ~ B
~ 约定 注：称与A对等的集合为与A有相同 的势（基数），记作 A
势是对有限集元素个数概念的推广
Department of Mathematics
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第一章复习
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第一节
集及其运算
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集合:具有某种特定性质的事物的总体.
通常用大写英文字母A，B，X，Y… 等表示.
i
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第二节 映射.集的对等.可 列集
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一.映射
1.定义
Def 2.1 设集合X, Y , f - -对应规则, x X, 有唯一 确定的y与之对应, 则称f为定义在X上的一个映射 f , 记为f : X Y , x X , f ( x) : x y f ( x)
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第三节一维开 集· 闭集 及其性质
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定义3.1 若集合 E 的每一个点都 E 的内点， 则称E为开集。
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4.开集的性质
A
B
定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。