实变函数及泛函分析概要第1~3章复习
实变函数与泛函分析概要第1~3章复习
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第五节 集的势·序集
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5. 连续势集的定义
定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，
其势记为 ， 显然：n 0
例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ (a,b)
存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
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定理3.3 任何集E的导集 E`为闭集
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闭集性质:
任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。
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例8 f(x)是直线上的连续函数当且仅当 对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
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2 连续势集的性质（卡氏积）
有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集
定理：设A {(x1, x2, , xn, ) : xi (0,1)},则A
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推论 n维Euclid空间Rn的势为
平面与直线有“相同多”的点
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推论
例1 闭区间[0,1]与闭正方形[0,1;0,1]
（即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
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可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
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例:有限个可数集的卡氏积是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
实变函数与泛函分析概要1
实变函数与泛函分析概要1
实变函数是一种数学变换，指将实数域上的一个实变函数f（x）映射到实数域上的另一个函数的过程。
它的基本定义：当一组实数
x1，x2，x3，x4...映射到一组对应的实数y1，y2，y3，y4...时，f （x）就是一个实变函数。
由此可见，实变函数之所以叫做实变函数，就是因为它们把实数向量X变换成实数向量Y。
实变函数在数学中有着重要的应用，它能够帮助我们描述和解决各种复杂的实际问题，有助于更好地理解和预测自然界中的现象和过程。
它可以被用来分析物理问题、化学问题、生物学问题、社会学问题等，以及解决金融、经济等方面的问题。
泛函分析（Functional Analysis）是指一种拥有与实变函数类似的变换能力的数学分析方法。
它有效而精确地分析了实变函数的特性，如极限、变量变化和连续性，通过特征定义形成一种新的函数，从而解决问题。
它也可以用于描述和研究实变函数特性的变化及其影响，以及实变函数的变换后的性质。
泛函分析有着广泛的应用，它可以用来研究各种弹性系统、热力学系统、量子力学系统、动力学系统、复杂网络等。
它用于研究各种物理系统的性质，如分子结构、热力学过程、流体流动、声学波等，以及分析解决非线性方程的特殊方面。
实变函数和泛函分析在许多领域都有着重要的应用，其中一些重要的领域就是理论物理学、应用数学、工程科学和计算机科学等。
它们可以帮助我们描述客观事物的形成、变化和发展，并研究解决复杂
的实际问题，为数学的发展做出重要的贡献。
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x mA χ，所以1)(in f=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m nk m A nm A k χχ，故0)(i n f su p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(i nf lim x nA nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互不相交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 互不相交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|min 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i ni B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈所以 })(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即ka a x f 1)(+≤≤，且E x ∈因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥}1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，k a x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n nk +≤∞=9设f(x)是定义于e 上的实变函数，a 为常数，证明e(x){f(x)>=a}=∩e{x/f(x)>a -1/n} 由于对任意n 都有e{f(x)≥a}⊂e{f(x)>a-1/n},故e{f(x)≥a}⊂∩e{f(x)>a -1/n} 又对任意x ∈∩e{f(x)>a -1/n}，有f(x)>a-1/n,令n→∞，可得f(x)≥a（详细：如果f(x)<a ，则令δ=a -f(x)>0,当N>[1/δ]+1时，得f(x)>f(x),矛盾） 所以x ∈e{f(x)≥a}，因此∩e{f(x)>a -1/n}⊂e{f(x)≥a}，综上 e{f(x)≥a}=∩e{f(x)>a-1/n}8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是可数的。
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
实变函数论与泛函分析课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ，故0)(i n f s u p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(in f l i m x nA nχ=0 ，从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i n i B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲1第1章预备知识1.1集合的一般知识1.1.1概念、集合的运算上限集、上极限下限集、下极限1.1.2映射与逆映射1.1.3可列集可列集集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构1.2.1建立实数的原则及实数的序关系阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理上确界sup E（定义1.5）下确界inf E确界原理（定理1.7）1.2.3实数集的度量结构数列极限与函数极限单调有界原理区间套定理Bolzano-Weierstrass定理Heine-Bore定理Cauchy收敛准则1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛逐点收敛（定义1.11）一致收敛（定义1.12）Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质极限与积分可交换次序1.4 Lebesgue积分1.4.1一维点集的测度开集、闭集有界开集、闭集的测度m G m F外测度内测度可测集（定义1.16）1.4.2可测函数简单函数（定义1.18）零测度集按测度收敛1.4.3 Lebesgue积分有界可测集上的Lebesgue积分Levi引理Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）R可积、L可积1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理1.5 空间Lp空间（定义1.28）Holder不等式Minkowski不等式（性质1.16）2第2章度量空间与赋范线性空间2.1度量空间的基本概念2.1.1距离空间度量函数度量空间（X，ρ）2.1.2距离空间中点列的收敛性点列一致收敛按度量收敛2.2度量空间中的开、闭集与连续映射2.2.1度量空间中的开集、闭集开球、闭球内点、外点、边界点、聚点开集、闭集2.2.2度量空间上的连续映射度量空间中的连续映射（定义2.7）同胚映射2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性2.3.1度量空间的可分性稠密子集（定义2.9）可分性2.3.2度量空间的完备性度量空间中Cauchy列（定义2.11）完备性完备子空间距离空间中的闭球套定理（定理2.9）闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性列紧集、紧集（定义2.13）全有界集2.4 Banach压缩映射原理压缩映像不动点Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用隐函数存在性定理（例2.31）2.5 线性空间2.5.1线性空间的定义线性空间（定义2.17）维数与基、直和2.5.2线性算子与线性泛函线性算子线性泛函（定义2.18）零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间2.6.1赋范线性空间的定义及例子赋范线性空间Banach空间（定义2.20）2.6.2赋范线性空间的性质收敛性——一致收敛绝对收敛连续性与有界性2.6.3有限维赋范线性空间N维实赋范线性空间3Riesz定理（引理2.2）第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子算子、线性算子、泛函、线性泛函线性算子连续←→有界有解线性算子的范数（定义3.3）有界线性算子空间L(X, Y)L(X, Y)的完备性3.2共鸣定理及其应用有界线性算子列的一致收敛、强收敛稀疏集、第一纲Baire纲定理算子列的一致有界原理（定理3.8）算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理次可加正齐次泛函Hahn-Banach定理（定理3.12）Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子3.4.1共轭空间共轭空间（注定理3.6 p.93）嵌入子空间、等距同构（定义3.7）自反空间（定义3.8）嵌入算子（定理3.15）弱收敛点列（定义3.9）共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）线性算子列弱收敛3.4.2共轭算子共轭算子（定义3.12）共轭算子的性质3.5开映射、逆算子及闭图像定理逆算子的有界性开映射Banach开映射定理Banach逆算子定理乘积赋范线性空间闭图像闭算子闭图像定理→算子连续3.6算子谱理论简介复Banach 空间线性算子的正则点谱点：特征值、连续谱、剩余谱正则集——开集谱——有界闭集谱半径（定义3.17）全连续算子（定义3.18）Riesz-Schauder定理4第4章内积空间4.1基本概念内积空间Schwaraz不等式内积空间 Hilbert空间4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质直交、直交补（定义4.2）直交投影最佳逼近元极小化向量定理（定理4.2）4.2.2投影定理投影定理（定理4.3）直交分解4.3直交系标准直交系元素x 关于的Fourier级数（定义4.6）Bessel不等式（定理4.5）标准直交系是完全的（定义4.7）Parseval等式（定理4.7）Gram-Schmidt标准正交化法4.4 Hilbert空间上的有界线性泛函4.4.1 Riesz定理Riesz定理4.4.2Hilbert空间上的共轭算子共轭算子（定义4.8）共轭算子的性质4.5自共轭算子自共轭算子（定理4.13）4.6投影算子、正算子和酉算子投影算子（定义4.10）投影算子<->自共轭算子<->幂等算子（定理4.19）正算子（定义4.11）平方根算子（定理4.21）酉算子（定理4.22）。
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf 0=≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m nk m A nm A k χχ，故0)(inf sup =≥∈x m A nm N b χ ，即)(inf lim x n A nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交. （ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|min 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i ni B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥}1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ =}1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈=}1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要第一章集合根本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集根本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开〔闭〕集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、根本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原那么：P0是E的聚点⇔P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 〔n→∞〕2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，那么A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。
T3：〔A∪B〕′=A′∪B′.3、开〔闭〕集性质〔§3中T1、2、3、4、5〕T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。
〔Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此〕T2：〔开集与闭集的对偶性〕设E是开集，那么CE是闭集；设E是闭集，那么CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：〔Heine-Borel有限覆盖定理〕设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F〔即Fс∪ｉєＩUi〕，那么ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F〔即F⊂ｍ∪Ui〕〔iєI〕4、开〔闭〕集类、完备集类。
《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案
第一章习题参考解答3.等式(A -B) ⋃C =A - (B -C) 成立的的充要条件是什么？解： 若(A -B) ⋃C =A - (B -C)，则 C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A .即， C ⊂A .反过来, 假设C ⊂A , 因为B -C ⊂B . 所以,A -B ⊂A - (B -C) . 故,( A -B) ⋃C ⊂A - (B -C) .最后证， A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C事实上，∀x ∈A - (B -C) , 则x ∈A 且x ∉B -C 。
若x ∈C，则x ∈(A -B) ⋃C ；若x ∉C，则 x ∉B ，故 x ∈A -B ⊂ (A -B) ⋃C. 从而, A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C.C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A -∅=A . 即 C ⊂A .反过来，若C ⊂A ，则因为B -C ⊂B 所以A -B ⊂A - (B -C) 又因为C ⊂A ，所以C ⊂A - (B -C) 故 (A -B) ⋃C ⊂A - (B -C)另一方面，∀x ∈A - (B -C) ⇒x ∈A 且x ∉B -C ，如果x ∈C则x ∈(A -B) C ；如果x ∉C, 因为x ∉B -C ，所以x ∉B 故x ∈A -B . 则x ∈(A -B) ⋃C . 从而A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C于是， (A -B) ⋃C =A - (B -C)⎧1,x ∈A4.对于集合A，定义A 的特征函数为χA (x) =⎨，假设A1 , A2 , , A n 是⎩0, x ∉A一集列，证明：（i）χliminf A(x) = lim inf χA (x)n n n n（ii）χ(x) = lim sup χA (x)limsup An n n n证明：（i）∀x∈lim inf A n =⋃(⋂A n )，∃n0 ∈N，∀m ≥n0 时，x ∈A m .n n∈N m≥n所以 χA (x) = 1，所以 inf χA(x) = 1故lim inf χA (x) = supinf χA(x) = 1 m m≥nm n n b∈N m≥n m= i i1 1 ，使 m n n m nn n =1 1 1∀x ∉ lim inf A n ⇒ ∀n ∈ N ，有 x ∉ ⋂ A n ⇒ ∃k n ≥ nnm ≥n有 x ∉ A k ⇒ χ A = 0 ⇒ inf χ A (x ) = 0 ，故 s u p n f i χ A (x ) = 0，即 limn f iχ A (x ) =0 ，mk nm ≥n mb ∈N m ≥nmn n从而 χliminf A (x ) = lim inf χ A(x )nnnni -1 5. 设{A n } 为集列， B 1 = A 1 ， B i = A i - ⋃ A j (i > 1) 证明j 1（i ） {B n } 互相正交n n（ii ） ∀n ∈ N , A i = B ii =1i =1n -1 证明：（i ）∀n , m ∈ N , n ≠ m ；不妨设n>m ，因为 B n = A n - A i ⊂ A n - A m ，又因 i =1为 B ⊂ A ，所以 B ⊂ A - A ⊂ A - B ， 故 B B = ∅ ，从而 {B }∞相互正交.n nnn（ii ）因为 ∀i (1 ≤ i ≤ n )，有 B i ⊂ A i ，所以⋃ B i ⊂ ⋃ A i ，现在来证： ⋃ A i ⊂ ⋃ B i当n=1 时， A 1 = B 1 ； i =1i =1i =1i =1nn当 n ≥ 1时，有： A i = B ii =1i =1n +1 n n +1 n n n 则 A i = ( A i ) A n +1 = ( A i ) ( A n +1 - A i ) = ( B i ) (B n +1 - B i )i =1i =1i =1i =1i =1i =1n事实上， ∀x ∈ ⋃ A ，则∃i (1 ≤ i ≤ n ) 使得 x ∈ A ，令i = min i | x ∈ A 且1 ≤ i ≤ ni =1i 0 -1 n i 0 -1 n n则 x ∈ A i 0 - A i = B i 0 ⊂ B i ，其中，当 i 0 = 1 时， A i = ∅ ，从而， A i = B ii =1i =1i =1i =1i =16. 设 f (x ) 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明：∞（i ） E {x | f (x ) > a }= { f (x ) ≥ a + }n =1 n(ii) ∞E {x | f (x ) ≥ a }= { f (x ) > a - }n =1 n证明：（i ） ∀x ∈ E {x | f (x ) > a } ⇒ x ∈ E 且 f (x ) > a⇒ ∃n ∈ N ,使得f (x ) ≥ a + 1 > a 且x ∈ E ⇒ x ∈ E {x | f (x ) ≥ a + 1}⇒ x ∈ n ∞ E {x | f (x ) ≥ a + }⇒ E {x | f (x ) > a } ⊂ n∞E {x | f (x ) ≥ a + } n =1 n n =1 n反过来，∀x ∈ ∞E {x {x | f (x ) ≥ a + 1},∃n ∈ N x ∈ E {x | f (x ) ≥ a + 1} n =1 n nm n m m= n 0 1 1即 f (x ) ≥ a + 1 n∞> a 且x ∈ E 1故 x ∈ E {x | f (x ) > a }所 以 ⋃ E {x | f (x ) ≥ a + n =1 } ⊂ E {x | f (x ) > a } 故nE {x | f (x ) > a } ∞ E {x | f (x ) ≥ a + 1}n =1 n7. 设{ f n (x )} 是E 上的实函数列，具有极限 f (x ) ，证明对任意常数 a 都有：E {x | f (x ) ≤ a } = ∞lim inf E {x | f(x ) ≤ a + 1} = ∞lim inf E {x | f (x ) < a + 1} k =1 n n k k =1 n n k证明： ∀x ∈ E {x | f (x ) ≤ a },∀k ∈ N ，即 f (x ) ≤ a ≤ a + 1，且 x ∈ Ek因为 lim f n →∞(x ) = f (x )，∃n ∈ N ，使∀m ≥ n ，有 f n(x ) ≤ a + 1 ，故 kx ∈ E {x | f m (x ) ≤ a + 1}(∀m ≥ n ) k 所以x ∈ E {x | f m m ≥n (x ) ≤ a + 1} kx ∈ E {x | f (x ) ≤ a + 1}= lim inf E {x | f (x ) ≤ a + 1}，由 k 的任意性：n ∈N m ≥n m k n mk∞ ∞ x ∈ lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }，反过来，对于∀x ∈ lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }，k =1 n k k =1 n k ∀k ∈ N ，有 x ∈ lim inf E {x | f (x ) ≤ a + 1} =E {x | f (x ) ≤ a + 1} ， 即n m k n ∈N m ≥n m k∃n ∈ N ，∀m ≥ n 时，有： f (x ) ≤ a + 1 且 x ∈ E ，所以， lim f (x ) ≤ f (x ) ≤ a + 1且 m k m mkx ∈ E . 又令k → ∞ ，故 f (x ) ≤ a 且x ∈ E 从而 x ∈ E {x | f (x ) ≤ a }∞ 1故 E {x | f (x ) ≤ a }= lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }k =1 n k8.设{ f n (x )} 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即f 1 (x ) ≤ f 2 (x ) ≤ ≤ f n (x ) ≤∞若 f n (x ) 有极限函数 f (x ) ，证明： ∀a ∈ R ， E { f (x ) > a } = ⋃ E { f n (x ) > a }n 1证明： ∀x ∈ E { f (x ) > a }，即： x ∈ E 且 f (x ) > a ，因为lim f (x ) = n →∞f (x )所以∃n 0 ∈ N ,∀n ≥ n 0 ，恒有： f n (x ) > a 且x ∈ E ，从而， x ∈ E { f n(x ) > a }∞⊂ E { f n (x ) > a }n =1nn n k1 2 3 n n∞反过来， ∀x ∈ E { f n (x ) > a },∃n 0 ∈ N ，使 x ∈ E { f n (x ) > a }，故∀n ≥n 0 ，因此，n =1lim f (x ) = n →∞f (x ) ≥ f (x ) > a 且 x ∈ E ,即， x ∈ E { f (x ) > a }，∞从而， E { f (x ) > a } = E { f n (x ) > a }n =110．证明： R 3 中坐标为有理数的点是不可数的。
应用泛函分析复习小结精讲
应用泛函分析复习小结精讲第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。
第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数1第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1）A∪A=A,A∩A=A;2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ；3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ；4) 设X为基本集，则A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \B = A ∩ B C又若A?B，则A C?B C。
集合的运算法则：2交换律A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C；( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C；分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B)= A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义 2.1(闭区间套)设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n1）渐缩性，即[a1,b1]?[a2,b2]?L?[a n,b n]?L;2) 区间长度数列{b n?a n }趋于零，即lim(b n?a n)=0n→∞4定理 2.1 (区间套定理)设{[a n,b n]}为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n,b n](n=1,2,L)，即ξ∈ ∩[a n,b n]，并且n=1lim a n= lim b n=ξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。
2019南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义.doc
南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义专业课复习资料（最新版）封面节第一节集合的概念节第二节集合的运算第一章集合1. 集合的基本概念及运算} : { \ B x A x x B A B A 但或差：Pr.( ) ? A B B AABcB A B A 注：A S A C s 余：（其中S为全集）,简记为A c交和、并、交（ Vehn 图）2. 集簇的交和并} : { B x A x x B A 或} , : { A x x A为指标集， } { } | { A A 或集簇：} {nA特别当时，称集簇为集列，记为N} : { B x A x x B A 且} , : { A x x A簇的交例例注：在本书中我们未把0包含在N内, }, 1 1 : {1 1N n x x An n n设] 0 , 1 [1nnA) 1 , 2 (1nnA( ( ] ) -2-1-1/n -1 0 1-1/n 1例( ( 用互相包含说明 ) ] [1] [1na fna fE E记设 }, ) ( : { , :] [ax f E x E R E fa f ( [a-1/n a) , ( ) , [11nna a) (] [11na fnE)) , [ (11nna ( [ ( [ [a-1/ n-1 a-1/n a-1/ n+1 a例例则记设 }, ) ( : { , :] [a x f E x E R E fa f] [1] [1na fna fEE( [a a+1/n) ) , ( (11nna) (][11na fnE) , [ ) , (11nna a} , : ) , {( B b A a b a B A } , , , 2 , 1 , : ) , , , , {(2 11n i A x x x x Ai i nii} , , 2 , 1 , : ) , , , {(2 11n i A x x x x Ai i nnii3. c cA A ) (De Morgan公式注：通过取余集，使A与A c c cA A ) (} , , : {nA x N n N x 使是一个集合序列设 , , , ,2 1 nA A A4. 上、下极限集( ){ : }{ : }limsuplimn nnnnn nA Ax x Ax A x A在无限多个 1 N N nnA例：设A 2n =[0,1]A 2n+1 =[1,2];则上极限集为[0,2］下极限集( ){ : }{ : }lim liminfn nnnnnA Ax x Ax n x A有当 1 N N nnA例：设A 2n =[0,1]A 2n+1 =[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1} 1 1limlimnn nnnn nnA A A A1} , , : {N N nnnAA x N n N x 使上极限集( ){ : }limsuplimn nnnnAAx x A} , , : {nA x N n N x 有极限集如果集列的上极限集与下极限集相等，即} {nAA A Annnnlimlim列则称该集列收敛单调增集列 ...。
实变函数与泛函分析全册精品完整课件
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五大论：
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理
论.
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教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
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《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生 的数学素养
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课程难度与考核方式
内容抽象，难度较大 平时表现分+考试分数， 比例 认真学习则无须担心考核
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nE R ?，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意nE R ?，mE 都存在。
（× ）3、设nE R ?，则*m E 可能小于零。
（× ）4、设A B ?，则**m A m B ≤。
（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。
实变与泛函分析初步自学考试大纲
实变及泛函分析初步自学考试大纲第一章 集合（一）重点集合的概念, 集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；单射, 满射, 一一映射, 映射基本性质, 集合的势, 对等, 对等基本性质, 基数, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质, 不存在基数最大的无限集；nR 中的距离, 邻域, 区间, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；收敛点列, 聚点, 聚点的等价定义, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质；δG 集合, σF 集合, δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。
识记：集合的概念, 集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；单射, 满射, 一一映射, 集合的势, 对等, 对等基本性质, 基数, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质, 不存在基数最大的无限集；nR 中的距离, 邻域, 区间, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；收敛点列, 聚点, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质, δG 集合, σF 集合, δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。
理解：集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；一一映射, 映射基本性质, 集合对等的基本性质, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质；nR 中的距离, 邻域, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；聚点, 聚点的等价定义, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质；δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。
实变函数与泛函分析第1讲
三、集合与元素的关系
如果 是集合 的元素，则说 属于 ，记作 ,或说A含有a．
如果 不是集 的元素，则说 不属于 ，记作 ，或说A不含有a．
四、集合与集合的关系
1．包含：
是 的子集
若 且 ，就称A是 的真子集，规定空集是任何集的子集．
2．相等
材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集论知识．
一、集合的概念及其表示
集合也称作集,是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几
何学中的“点”、“直线"那样,只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：
“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称
由 个元素 所组成的集合，可表示为
由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为 ．
不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
2．描述法
当集 是具有某性质 的元素之全体时，我们用下面的形式表示 ：
方程 的解x的全体组成的数集是
注：有时我们也把集 具有性质 改写成 具有性质 ．例如，设
是定义在集合 上的一实函数， 是一个实数，我们把集 写成
第一章 集合§1集合的表示
由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性
而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括
实变函数论)的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学
课程．因此,在现代数学教育中,对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教
为一个集合,其中每个个体事物叫做该集合的元素．”
一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合
实变函数与泛函分析基础第七章(1-3)
则 ρ(x, y) 是 B(A) 上的度量，事实上， ρ(x, y)显然满足1 ，以下证明也满足2 . 对另一连续函数 z∈B(A), 由
0 0
x(t ) y(t ) x(t ) z(t ) y(t ) z(t )
sup x( t ) z( t ) sup y( t ) z( t )
其次注意到在递增11nnnggg?所以于是11nnngxgxg?????????????????????????11nnngmxgmxg??????????????????????????0lim
现代分析学
实变函数论与泛函分析基础
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子
§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
都是 R 中的元素，由Cauchy不等式
n n 2 2 x y x y k k k k k 1 k 1 k 1 n 2
n
再令右端 n→∞，即得
xk yk k 1
n
2
2 2 x y k k k 1 k 1
2 2 2 2 xk 2 x . y y k k k k 1 k 1 k 1 k 1
1 2
2 2 xk yk k 1 k 1
再令左端的 n→∞，即得
2 2 x y x y k k k k k 1 k 1 k 1 n 2
由此可得
2 2 x y x 2 x y y k k k kk k 2 k 1 k 1 k 1 k 1
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m n k m A nm A k χχ，故)(inf sup =≥∈x m A nm N b χ ，即)(inf lim x n A nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交. （ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =； 当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数与泛函分析习题精解(宋国柱主编)PPT模板
第六章距离空 间
第一篇《实变函数与泛函 分析概要》习题与解答
第七章赋范线性空间及线性算子
第八章希尔伯特空间及其自伴算 子
02
第二篇《抽象分析基础》习题与解答
基第 础二 》篇 习《 题抽 与象 解分 答析
01
第一章集、 直线上的点
集
04
第四章勒贝 格积分
02
第二章勒贝 格测度
202X
实变函数与泛函分析习题精解 (宋国柱主编)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 1
目录
01
第一篇《实变函数与泛函分析概要》 习题与解答
第一篇《实变函数与泛函分析概要》习题与解答
第一章集与点 集
第二章勒贝格 测度
第三章可测函 数
第四章勒贝格 积分
第五章函数空间 L<sup>p</su p>
05
第五章距离 空间·赋范 线性空间
03
第三章可测 函数
06
第六章线性 算子和线性
泛函
第二篇《抽 象分析基础》 习题与解答
参考文献
附录南京大学攻读硕士学位研究生入学考 试实变函数试题选解1981～1985年， 1995年
202X
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定义
称集合:E {E的孤立点全体} E E
' '
为E的闭包, 记为E.
E' E
若 E E ，则称 E为完全集．
'
2019/1/25 福州大学数学与计算机学院聂建英
定义3.3
闭集的(等价)定义 若EE ,则E为闭集.
R中只有空集和R既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
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第三节一维开 集· 闭集 及其性质
2019/1/25 福州大学数学与计算机学院聂建英
定义3.1 若集合 E 的每一个点都 E 的内点， 则称E为开集。
2019/1/25
福州大学数学与计算机学院聂建英
4.开集的性质
A
B
定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
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可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
2019/1/25
福州大学数学与计算机学院聂建英
例:有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {( x, y) | x A, y B}
E ( A ) ( E A )
2019/1/25
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定理1.2 (De Morgan公式)
( A )
c
A
c
( A )
c
A
c
019/1/25 福州大学数学与计算机学院聂建英
若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。
2 对等与势
定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在 着A到B的一一映射f（f既单又满）， 则称A与B对等,
记作
A ~ B
~ 约定 注：称与A对等的集合为与A有相同 的势（基数），记作 A
势是对有限集元素个数概念的推广
Department of Mathematics
2019/1/25 福州大学数学与计算机学院聂建英
第一章复习
2019/1/25
福州大学数学与计算机学院聂建英
第一节
集及其运算
2019/1/25
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集合:具有某种特定性质的事物的总体.
通常用大写英文字母A，B，X，Y… 等表示.
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差：A B或A \ B {x : x A但x B}
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
A B
注：A B A B
c
( A B) B A不一定成立
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i
2019/1/25
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第二节 映射.集的对等.可 列集
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一.映射
1.定义
Def 2.1 设集合X, Y , f - -对应规则, x X, 有唯一 确定的y与之对应, 则称f为定义在X上的一个映射 f , 记为f : X Y , x X , f ( x) : x y f ( x)
A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征}
有限集 无限集
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y… 表示集合中的元素。
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定理1.1 分配律
E ( A ) ( E A )
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定义
若Ec为开集，则称E为闭集。
2019/1/25
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定理3.2 E为闭集的充分必要条件是
E' E
证明:
由于E E E E {E的孤立点全体 }
' '
故E E等价于E E
'
2019/1/25
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3.可数集合
1).可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为
0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
2019/1/25
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注：A可数当且仅当 A可以写成无 穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
{( x, y) | y B}
xA
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
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例 4 代数数全体是可数集
整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。 常见可数集举例:
2019/1/25
定义域 D(f) 值域 R(f)
2019/1/25
原 像
像
福州大学数学与计算机学院聂建英
单射,满射,一一对应(一一映射)
若x1, x2 X , x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 )
称f为单射；
若（ f X）＝Y , 即y Y , x X , 有f ( x) y
2019/1/25 福州大学数学与计算机学院聂建英
定理3.3
任何集E的导集 E`为闭集
2019/1/25
福州大学数学与计算机学院聂建英
笛卡尔乘积
A B {(a, b) : a A, b B}
A
i 1
n
i
{( x1 , x2 ,, xn ) : xi Ai , i 1,2,, n}
{( x1 , x2 ,, xn ,) : xi Ai , i 1,2,, n,}
A
i 1
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 2）[0,1]中的有理数全体
={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
2019/1/25 福州大学数学与计算机学院聂建英
可数集性质： 定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。 （即可数集 是无限集中具有最小势的集合)