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高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。

（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案

高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

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高等数学基础第一次作业点评1责任教师：许院年第1章函数第 2 章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. f ( x) ( x) 2， g (x)xB.f ( x)x 2 ， g( x) xC. f ( x) ln x 3 ， g(x) 3ln xD. f ( x)x 1， g( x)x 2 1x1点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。

而与自变量或因变量所用的字母无关。

⒉设函数 f ( x) 的定义域为 ( , ) ，则函数f ( x) f ( x) 的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C.y 轴D.y x点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于 Y 轴对称。

⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. y ln(1 x 2 )B.yx cos xC. ya x a xD. yln(1 x)2f ( x) f (x) ，则函数为偶函点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。

若数；若 f ( x)f ( x) ，则函数为奇函数。

⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．A. y x 1B. y xC.y x2D.y1, x 0 1 ,x点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。

⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. limx 21B.lim ln(1 x)2xx2x 0C.lim sin xD. lim x sin1xxxx点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如 C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。

⒍当 x0 时，变量（ C ）是无穷小量．A.sin xB.1xxC.x sin1D. ln( x 2)x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数 f ( x) 在点 x 0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x 0 连续。

《高等数学(二)》作业及参考答案

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为。

高等数学新作业参考答案

参考答案：线性代数一 1、222061⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、 1 3.、14 4、8 5、2 6、 17、( 2, 4, 3 )T(或它的非零倍数) 8、1，4，-6 9、-3 10、112120200-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 二参考答案：1、B2、C3、A4、D5、B6、A7、C8、D9、A 10、C 11、B 12、C 13、D 14、D 三1参考答案：0345341002220692D -=-3453222692=-.96= 2参考答案：.14310(|)153010164001A E --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦14310010110021101--⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦103540010110001121--⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100223010110001121⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 1223110121A -⎡⎤⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦或 det()1A =-， *223110121A ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-1223 110121A ⎡⎤⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3参考答案：∵12111211120236170044001124220000000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴等价方程为 124223444 2x x x x x x x xx =-+⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩其一组基础解系为:12(2100),(2011)T Tξξ=-=- 通解为2211ξξk k x += （1k 、2k 是任意常数）4参考答案：12030112,02A a ⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故当且仅当a =2时，有解。

当2=a 时，得12223232 2x x x x x x=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩是任意），所以)( 112203是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=5参考答案： B 的特征值为,1121==μ2211(),39μ==.91)det(21==μμB6参考答案：f 的矩阵为 5 2.2 5A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的特征值为17λ=，23λ= 对应的特征向量依次可取为,) 1 ,1 ( ,) 1 ,1 ( 21T T -==ξξ 故所求正交矩阵可取为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1- 11 121P 7参考答案：特征多项式为 363||3 634-84E A λλλλ--=-+-)1(2-=λλA 的特征值是120λλ==，31λ=属于120λλ==的线性无关特征向量可取为 12 (210), (101)TTξξ==属于31λ=的特征向量可为3 (334)Tξ=-故A 可相似于对角阵001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所求可逆矩阵P 可取为 123213[]103014P ξξξ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦它使得P -1AP =D8参考答案：证明一：设有数321,,x x x 使1122330x x xβββ++=即121122133()()()0x x x x x x ++-++=a a a 由123,,a a a 线性无关，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+00 0312121x x x x x x该方程组只有零解0321===x x x 故321,,βββ线性无关。

(完整版)高等数学课后习题答案-20211108152903

高等数学课后习题答案第一部分：导数与微分1. 题目：求函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x + 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。

解答思路：我们需要求出函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $。

根据导数的定义，我们可以通过对函数进行求导来得到导数表达式。

然后，将 $ x = 2 $ 代入导数表达式中，即可得到 $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的导数值。

具体步骤如下：对 $ f(x) $ 进行求导，得到 $ f'(x) $ 的表达式。

将 $ x = 2 $ 代入 $ f'(x) $，得到 $ f'(2) $ 的值。

2. 题目：求函数 $ g(x) = e^x \sin x $ 在 $ x = 0 $ 处的导数。

解答思路：同样地，我们需要求出函数 $ g(x) $ 的导数 $ g'(x) $。

由于 $ g(x) $ 是两个函数的乘积，我们需要使用乘积法则来求导。

然后，将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，即可得到 $ g(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。

具体步骤如下：对 $ g(x) $ 使用乘积法则求导，得到 $ g'(x) $ 的表达式。

将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，得到 $ g'(0) $ 的值。

3. 题目：求函数 $ h(x) = \frac{x^2 1}{x + 1} $ 在 $ x =0 $ 处的导数。

解答思路：对于这个题目，我们需要使用商法则来求导。

我们需要求出函数 $ h(x) $ 的导数 $ h'(x) $。

然后，将 $ x = 0 $ 代入$ h'(x) $，即可得到 $ h(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。

具体步骤如下：对 $ h(x) $ 使用商法则求导，得到 $ h'(x) $ 的表达式。

高数练习册答案(完整版)

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解由11+-=x x y 得 y y x -+=11 交换x 、y 得反函数为xxy -+=114．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w wv v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u uv v yx w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加三．计算题1、（1）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数（2）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错四．（1）证明令12+=n nx n ε<=<+=-nn n n n x n 11022只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错；四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→xxxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1sin ≤x 所以 0sin lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０三、1.（1）0sin 77limtan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解：（4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式（2）()1()1111lim(1)lim 1xx x x x x e ---•-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式=（3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-•---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e •→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n nn n n n n nn•→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式四．1.证明：2......n n n π<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。

《高等数学》练习题库及答案,DOC(word版可编辑修改)

A、B、eC、-eD、-e—1 12、下列有跳跃间断点 x=0 的函数为（）
A、xarctan1/xB、arctan1/x C、tan1/xD、cos1/x 13、设 f（x)在点 x0 连续，g(x)在点 x0 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x）+g(x）在点 x0 必不连续 B、f(x）×g（x)在点 x0 必不连续须有 C、复合函数 f[g（x）］在点 x0 必不连续 D、在点 x0 必不连续
C、-1/2D、1
48、两椭圆曲线 x2/4+y2=1 及(x—1)2/9+y2/4=1 之间所围的平面图形面积等于（)
A、лB、2лC、4лD、6л
49、曲线 y=x2—2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、лB、6л/15
C、16л/15D、32л/15
50、点（1，0,-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
5．下列命题正确的是（)
A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界
C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛
6． lim sin(x2 1) （）
x1 x 1
A.1B。0
C。2D.1/2
7．设 lim(1 k )x e 6 则 k=（)
x
x
A。1B.2
C.6D。1/6
8。当 x 1 时,下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（)
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2,求 dρ/dψ|ψ=л/6=（)
8、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`（0）=()
9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（)
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word 版可编辑修改) 10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1）=（）

高等数学习题及答案

高等数学习题及答案高等数学学习题及答案高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，它涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个分支。

在学习高等数学的过程中，习题是非常重要的一环。

通过解题，可以巩固知识，提高解决问题的能力。

本文将为大家提供一些高等数学学习题及其答案，希望能对大家的学习有所帮助。

一、微积分1. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 2的极值点和极值。

解：首先求导得到f'(x) = 3x^2 - 4x - 3。

令f'(x) = 0，解得x = -1，x = 3/2。

将这两个解代入原函数，得到f(-1) = 8，f(3/2) = -25/8。

所以极小值为-25/8，对应的极小点为x = 3/2；极大值为8，对应的极大点为x = -1。

2. 计算曲线y = 2x^3 - 3x^2 + 2的弧长。

解：弧长公式为L = ∫√(1 + (dy/dx)^2) dx。

首先求导得到dy/dx = 6x^2 - 6x。

将dy/dx代入弧长公式，得到L = ∫√(1 + (6x^2 - 6x)^2) dx。

对该积分进行计算，最后得到弧长L = √(1 + 36x^4 - 72x^3 + 36x^2) dx。

二、线性代数1. 求矩阵A = [1 2; 3 4]的逆矩阵。

解：逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I为单位矩阵。

对矩阵A进行求逆运算，得到逆矩阵A^-1 = [-2 1; 3/2 -1/2]。

2. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A + B和矩阵AB。

解：矩阵A + B = [1+5 2+6; 3+7 4+8] = [6 8; 10 12]；矩阵AB = [1*5+2*71*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]。

三、概率论1. 从一副标准扑克牌中随机抽取5张牌，求出现至少一对的概率。

高等数学教材新版答案

高等数学教材新版答案【前言】高等数学是大学教育中必不可少的一门基础课程，它关系到学生对数学思维和解题方法的培养。

而教材则是学生学习的主要参考资料。

新版高等数学教材的问世，为学生提供了更全面、深入的学习内容。

然而，在学习过程中，许多学生会遇到一些难题，而答案的准确性和可靠性就显得非常重要。

本篇文章将为大家提供一份新版高等数学教材的答案，以帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

【第一章微分学】1. 选择题：1) A2) B3) C4) D5) A2. 填空题：1) lim(x→2) (x^2 - 4) = 02) f'(x) = 3x^2 - 6x3) dy/dx = 1/(2x - 1)4) ∫(e^x)/(1 + e^x) dx = x - ln(1 + e^x) + C5) f(x) = e^(ax), f''(x) = a^2e^(ax)3. 计算题：1) ∫(x^2 - 4x + 3) dx = x^3/3 - 2x^2 + 3x + C2) 求函数f(x) = 3x^2 - 6x的极值点和极值。

解：f'(x) = 6x - 6，令f'(x) = 0，得极值点x = 1。

由f''(x) = 6 > 0，可知x = 1是极小值点，极小值为f(1) = -3。

【第二章重积分与曲线积分】1. 选择题：1) D2) B3) C4) A5) D2. 填空题：1) ∬(x^2 + y^2) dxdy = πa^4/22) ∬(x^2 + y^2)dA在D区域内的积分，D为圆心在原点，半径为a 的圆，积分结果为πa^4/2。

3) ∮(x^2 + y^2)ds = 2πa^34) 曲线积分∮(y^2 + z^2)ds，其中C为平面上的一条光滑闭合曲线，积分结果为0。

5) 曲面积分∬(x^2 + y^2) dS，其中S为平面上的光滑曲面，积分结果为0。

高等数学(第三版)各章实验作业题答案

1. 作出函数[]53()3123,2,2f x x x x x =+-+∈-的图像．第1题图2. 求下列各极限．（1）1lim 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭; （2）sin lim x x x →∞;（3）0sin lim x x x →; （4）10lim x x e +→．解（1）11lim 1enn n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）sin lim 0x x x →∞=；（3）0sin lim 1x xx →=；（4）12lim e x x e →3. 求方程20.2 1.70x x --=的近似解（精确到0.0001）．解 1 1.2077x ≈-，2 1.4077x ≈． 4. 探究高级计算器的其他功能．（略）1. 求函数3(21)y x x =-的导数；操作：在命令窗口中输入：>> syms xy=x^3*(2*x -1); dy=diff(y) 按Enter 键，显示：dy = 3*x^2*(2*x -1)+2*x^3 继续输入：>> simplify(dy) % 将导数化简按Enter 键，显示： ans =8*x^3-3*x^2即 3283y x x '=-． 2. 求函数()ln 1y x x =-+的二阶导数；操作：在命令窗口中输入： >> syms xy=1-log(1+x); dy=diff(y,x,2) 按Enter 键，显示： dy = 1/(1+x)^2即 21(1)y x ''=+． 3.函数4322341y x x x x =-+-+在区间[-3,2]上的最小值．操作：在命令窗口中输入：>>x=fminbnd('x^4-2*x^3+3*x^2-4*x+1',-3,2) y=x^4-2*x^3+3*x^2-4*x+1 按Enter 键，显示： x =1 y =-11．求下列不定积分（1）在命令窗口中输入： >> syms xint(x/(sqrt(x^2+1)),x)按键Enter 键，显示结果： ans = (x^2+1)^(1/2)即c +.（2）在命令窗口中输入： >> syms xint(x^3*cos(x))按键Enter 键，显示结果：ans =x^3*sin(x)+3*x^2*cos(x)-6*cos(x)-6*x*sin(x) 即332cos =sin 3cos 6cos 6sin x xdx x x x x x x x c +--+⎰. 2．求下列定积分（1）在命令窗口中输入： >> int((-3*x+2)^10,x,0,1) 点击Enter 键，显示结果： ans = 683/11 即1100683(-3+2)d =11x x ⎰. （2）在命令窗口中输入： >> int(x*sin(x),x,0,pi/2)点击Enter 键，显示结果： ans = 1 即 π20sin d =1x x x ⎰.3．求广义积分0e d x x x -∞⎰.操作：在命令窗口中输入： >>int(x*exp(x),x,-inf,0)按Enter 键，显示结果： ans =-1 即e d =1xx x -∞-⎰.1. 230y y y '''++=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y -4*Dy -5*y=0','x') 显示：y =C1*exp(5*x)+C2*exp(-x)即满足所给初始条件的特解为：512xx y c e c e -=-．2. 232sin xy y e x '''-=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y -3*Dy=2*exp(3*x)*sin(x)','x') 显示：y = -3/5*exp(3*x)*cos(x)-1/5*exp(3*x)*sin(x)+1/3*exp(x)^3*C1+C2即满足所给初始条件的特解为：33312311cos sin 553xxxy e x e x c e c =--++．整理得：33213cos +sin 5xxy e x x ce c =-++（）（令113c c =）3. +cos x y y y e x '''+=+，00x y ==，032x y ='=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y+Dy+y=exp(x)+cos(x)','y(0)=0', 'Dy(0)=3/2', 'x') 显示：y = -1/3*exp(-1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x)+1/3*exp(x)+sin(x)即满足所给初始条件的特解为：211cos()sin 323x xy e e x -=-++．1. 绘制平面曲线ln y x =．操作：在命令窗口中输入： >> x=1:0.02: exp(2); y=log(x); plot(x,y);按Enter 键，显示下图：2. 绘制空间曲面2232z x y =-. 操作：在命令窗口输入 >>[x,y]=meshgrid(-4:0.5:4); z=-3*x.^2-2*y.^2; surf(x,y,z)按Enter 键，显示下图：3. 绘制空间曲线23,23.t t t x e y e z e ---⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩操作：在命令窗口输入>>t=0:0.01:1;x=exp(-t);y=exp(-2*t)/4;z=3*exp(-3*t)/9;plot3(x,y,z)按Enter键，显示下图：实验6作业题1. 求函数cos z xy =的偏导数. 操作：在命令窗口中输入：>> dz_dx=diff('cos(x*y)', 'x ') 显示dz_dx = -sin(x*y)*y 继续输入：>> dz_dy=diff('cos(x*y)', 'y ') 显示：dz_dy =-sin(x*y)*x即sin zx xy x∂=-∂， sin z x xy y ∂=-∂2. 计算函数23y x y =-的极值.操作：在matlab 中依次选择“File\New\M -File ”，在弹出的M 文件编辑窗口中在命令窗口中输入：clear all;clc syms x y;z=x^3-6*x-y^3+3*y;dz_dx=diff(z,x); %计算z 对x 的偏导数 dz_dy=diff(z,y); %计算z 对y 的偏导数 [x0,y0]=solve(dz_dx,dz_dy); %求驻点x0,y0A_=diff(z,x,2); %计算z 对x 的二阶偏导数B_=diff(diff(z,x),y); %计算z 对x,y 的二阶混合偏导数 C_=diff(z,y,2); %计算z 对y 的二阶偏导数 x0=double(x0); %数据转换 y0=double(y0);n=length(x0); %计算x0中元素的个数 for i=1:nA_x=subs(A_, x,x0(i)); %把x=x0(i)(即x0的第i 个元素值)代入z 对x 的二阶偏导数A=subs(A_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)(即y0的第i 个元素值)代入z 对x 的二阶偏导数,得到AB_x=subs(B_, x,x0(i)); %把x=x0(i)代入z 对x 、y 的二阶混合偏导数 B=subs(B_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)代入二阶混合偏导数,得到B C_x=subs(C_, x,x0(i)); %把x=x0(i)代入z 对y 的二阶偏导数C=subs(C_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)代入z 对y 的二阶偏导数，得到C D=A*C-B^2;text=['原函数在(',num2str(x0(i)), ', ',num2str(y0(i)), ')处' ]; if D>0fm=subs(x^3-6*x-y^3+3*y,{x,y},{x0(i),y0(i)}); %求函数值 if A>0disp([text, '有极小值',num2str(fm)]) %在命令窗口中输出 elsedisp([text, '有极大值',num2str(fm)])end end if D==0disp([text, '的极值情况还不确定，还需另作讨论' ]) end end保存后，选择M 文件编辑窗口中的“Debug\run ”，显示如下结果：原函数在(1.4142,-1)处有极小值-7.6569 原函数在(-1.4142,1)处有极大值7.65693. 计算(2)d d Dx y x y -⎰⎰，D ：顶点分别为(0,0)，(1,1)和(0,1)的三角形闭区域；操作：在命令窗口中输入： >>syms x y;S=int(int(2*x-y,y,0,1-x),x,0,1) 显示： S=1/6即：二重积分1(2)d d =6Dx y x y -⎰⎰.实验7作业题1. 将函数xx f -=11)(展开为幂级数，写出展开至6次幂项. 操作：在命令窗口中输入： >> clear;clc syms x; f=1/(1-2*x); taylor(f,7,x) 显示：ans = 1+2*x+4*x^2+8*x^3+16*x^4+32*x^5+64*x^6即65432643216842111x x x x x x x ++++++=-. 2. 求函数2()tf t e =的拉氏变换.操作：在命令窗口中输入： >> clear;clc syms x;laplace(exp(2*t)) 显示： ans = 1/(s -2)即 21)(2-=s e L t. 3.求函数22()56s F s s s +=-+的拉氏逆变换.操作：在命令窗口中输入： >>syms silaplace((s+2)/(s^2-5*s+6)) 显示：ans =-4*exp(2*t)+5*exp(3*t)即 12256s L s s -+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦234e 5e t t =-+.。

新编高等数学教材习题答案

新编高等数学教材习题答案一、实数与复数1. 实数答案：实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。

有理数包括整数、分数和循环小数，可以表示为有限位数或无限循环的小数。

无理数是不能表示为有限小数或无循环小数的数，例如根号2、圆周率π等。

2. 复数答案：复数是由实数和虚数共同构成的数。

其中，实数部分和虚数部分分别用a和b表示，复数可以写为a + bi的形式，其中i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可以表示为有限位数或无限循环的小数。

二、极限和连续函数1. 极限答案：极限是数列或函数在某一点或趋向于某一点时的趋近情况。

数列的极限指数列中的数字当n趋近于无穷大时的极限值。

函数的极限指当自变量趋近于某一值时，函数的值趋近于某一值。

在数学中，使用极限来研究数列和函数的性质及其变化趋势。

2. 连续函数答案：连续函数是指在定义域内的每一点，函数值都与极限值相等。

也就是说，如果一个函数在某一点处的函数值等于该点的极限值，那么该函数在这一点处是连续的。

连续函数在数学分析和应用中具有重要的作用，能够描述物理现象、经济模型等实际问题。

三、微分与积分1. 微分答案：微分是导数的另一种称呼。

导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，描述了函数曲线在该点处的切线斜率。

通过求导可以得到函数的导函数，导函数可以描述函数的变化趋势、极值点等重要信息。

微分在数学和物理学中具有广泛的应用，例如在求速度、加速度等问题时经常用到微分的概念。

2. 积分答案：积分是导数的逆运算。

它是确定在给定区间上函数与坐标轴之间的面积或曲线长度的过程。

积分可以看作是对函数的求和操作，通过求积分可以反推得到函数的原函数。

积分在数学、物理、经济等领域广泛应用，例如在求曲线下的面积、质量、功等问题中都需要用到积分。

【篇幅较短，可再根据文章长度要求进行补充和扩展】。

(完整版)高等数学课程作业答案

高等数学(1)课程作业_A1.(4分)图片201• C. (C)答案C2.(4分)图片126答案B3.(4分)图片63 答案B4.(4分)图片433 答案A5.(4分)图片2-2 答案B6.(4分)图片366答案A7.(4分)图片337答案D8.(4分)图片499答案C9.(4分)图片265答案C10.答案B11.(4分)图片339• D. (D) 答案D 12.(4分)图片476答案D 13.答案B14.(4分)图片173 答案B15.(4分)图片158• B. (B) 答案B16.• A. (A) 答案A 17.(4分)图片2• D. (D) 答案D 18.(4分)图片3-7 答案C 19.答案C20.(4分)图片153• C. (C) 答案C21.(4分)图片228 • C. (C) 答案C22.答案D 23.(4分)图片68 • C. (C) 答案C24.(4分)图片429 答案B(4分)图片553• B. (B) 答案B1.(4分)图片145答案B2.(4分)图片87 • A. (A) 答案A(4分)图片390答案B4.(4分)图片514答案C5.(4分)图片47 答案B6.(4分)图片3-147.(4分)图片475答案B8.(4分)图片181 答案C9.(4分)图片371答案A10.(4分)图片40711.(4分)图片557答案C12.(4分)图片4-4 答案C13.(4分)图片35答案B14.(4分)图片4-30答案C15.(4分)图片114答案B16.(4分)图片48答案C17.(4分)图片474 答案D 18.(4分)图片3-3 答案D 19.(4分)图片3-4•答案A20.答案D 21.(4分)图片72答案C22.(4分)图片173 答案B23.答案B24.(4分)图片479答案C25.(4分)图片482答案D高等数学(1)课程作业_A一单选题1. 图片234标准答案：(B)2. 图片4-10标准答案：(A)3. 图片475标准答案：(B)4. 图片3-5标准答案：(D)5. 图片235标准答案：(A)6. 图片59标准答案：(B)7. 图片4-15用户未作答标准答案：(D)8. 图片48标准答案：(C)9. 图片304标准答案：(B)10. 图片372标准答案：(C)11. 图片339标准答案：(D)12. 图片4-11标准答案：(C)13. 图片2-7标准答案：(C) 14. 图片401标准答案：(D)15. 图片257标准答案：(D)16. 图片407标准答案：(B)17. 图片4-3标准答案：(D)18. 图片4-6标准答案：(D)19. 图片4-8标准答案：(C)20. 图片441标准答案：(D)21. 图片2-4标准答案：(A)22. 图片179标准答案：(D)23. 图片4-12标准答案：(C)24. 图片476标准答案：(D)25. 图片346标准答案：(D)1. 图片4-24标准答案：(C)2. 图片4-12标准答案：(C)3. 图片2-8标准答案：(B)标准答案：(A)5. 图片4-28标准答案：(C)6. 图片372标准答案：(C)7. 图片4标准答案：(A)8. 图片3-1标准答案：(B)9. 图片349标准答案：(D)10. 图片228标准答案：(C)11. 图片520标准答案：(B)12. 图片144标准答案：(D)13. 图片155标准答案：(B)14. 图片101标准答案：(D)15. 图片234标准答案：(B)16. 图片2-9标准答案：(C)17. 图片151标准答案：(A)18. 图片61标准答案：(D)标准答案：(D)20. 图片434标准答案：(A)21. 图片442标准答案：(A)22. 图片476标准答案：(D)23. 图片119标准答案：(D)24. 图片4-17标准答案：(B)25. 图片242标准答案：(C)1. 图片151标准答案：(A)2. 图片4-5标准答案：(A)3. 图片33标准答案：(D)4. 图片4-21标准答案：(A)5. 图片481标准答案：(D)6. 图片3-11标准答案：(B) 7. 图片4-8标准答案：(C)8. 图片2-5标准答案：(C)9. 图片476标准答案：(D)10. 图片171标准答案：(B)11. 图片214标准答案：(A)12. 图片4-11标准答案：(C)13. 图片46标准答案：(A)14. 图片4-17标准答案：(B)15. 图片3-14标准答案：(B)16. 图片122标准答案：(C)17. 图片48标准答案：(C)18. 图片2-1标准答案：(A)19. 图片234标准答案：(B)20. 图片4-15标准答案：(D)21. 图片441标准答案：(D)标准答案：(C)23. 图片4-30标准答案：(C)24. 图片155标准答案：(B)25. 图片235标准答案：(A)1. 图片234标准答案：(B) 2. 图片2-8用户未作答标准答案：(B) 3. 图片180标准答案：(A) 4. 图片188标准答案：(D) 5. 图片4-6标准答案：(D) 6. 图片119标准答案：(D) 7. 图片4-29标准答案：(A)用户未作答标准答案：(A) 9. 图片307标准答案：(C) 10. 图片124标准答案：(A) 11. 图片4-23本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 12. 图片402标准答案：(D) 13. 图片4-26标准答案：(D) 14. 图片64标准答案：(C) 15. 图片476标准答案：(D) 16. 图片70标准答案：(A) 17. 图片4-16标准答案：(C) 18. 图片257标准答案：(D) 19. 图片3-15标准答案：(A) 20. 图片3-1标准答案：(B) 21. 图片214标准答案：(A) 22. 图片475标准答案：(B) 23. 图片520标准答案：(B) 24. 图片2-5标准答案：(C) 25. 图片57标准答案：(D)1. 图片119标准答案：(D) 2. 图片3-2标准答案：(C) 3. 图片242标准答案：(C) 4. 图片339标准答案：(D) 5. 图片401标准答案：(D) 6. 图片4-28标准答案：(C) 7. 图片498标准答案：(D) 8. 图片4-25标准答案：(C) 9. 图片188标准答案：(D) 10. 图片234标准答案：(B) 11. 图片499标准答案：(C) 12. 图片3-5标准答案：(D) 13. 图片4-22标准答案：(D) 14. 图片3-1标准答案：(B) 15. 图片307标准答案：(C) 16. 图片235标准答案：(A) 17. 图片257标准答案：(D) 18. 图片214标准答案：(A) 19. 图片4-21标准答案：(A) 20. 图片476标准答案：(D) 21. 图片399标准答案：(A) 22. 图片212标准答案：(B) 23. 图片3-12标准答案：(D) 24. 图片4-13标准答案：(C) 25. 图片151标准答案：(A) 1. 图片4-5标准答案：(A) 2. 图片2-9标准答案：(C) 3. 图片4-19标准答案：(A) 4. 图片401标准答案：(D) 5. 图片346标准答案：(D) 6. 图片4-26标准答案：(D) 7. 图片3-14标准答案：(B) 8. 图片124标准答案：(A) 9. 图片148标准答案：(C) 10. 图片3-2标准答案：(C)标准答案：(C) 12. 图片3-11标准答案：(B) 13. 图片307标准答案：(C) 14. 图片61标准答案：(D) 15. 图片481标准答案：(D) 16. 图片3-4标准答案：(A) 17. 图片2-7标准答案：(C) 18. 图片2-3标准答案：(C) 19. 图片101标准答案：(D) 20. 图片4-20标准答案：(B) 21. 图片56标准答案：(C)标准答案：(B) 23. 图片475标准答案：(B) 24. 图片180标准答案：(A) 25. 图片3-13标准答案：(C) 1. 图片151标准答案：(A) 2. 图片3-14标准答案：(B) 3. 图片523标准答案：(C) 4. 图片304标准答案：(B) 5. 图片4-13标准答案：(C) 6. 图片407标准答案：(B) 7. 图片434标准答案：(A)标准答案：(C) 9. 图片4-30标准答案：(C) 10. 图片402标准答案：(D) 11. 图片3-5标准答案：(D) 12. 图片57标准答案：(D) 13. 图片4-6标准答案：(D) 14. 图片4-16标准答案：(C) 15. 图片4-14标准答案：(B) 16. 图片3-2标准答案：(C) 17. 图片4-7标准答案：(A) 18. 图片214标准答案：(A)标准答案：(C) 20. 图片499标准答案：(C) 21. 图片242标准答案：(C) 22. 图片4-23标准答案：(C) 23. 图片180标准答案：(A) 24. 图片228标准答案：(C) 25. 图片119标准答案：(D) 1. 图片46标准答案：(A) 2. 图片4-16标准答案：(C) 3. 图片520标准答案：(B) 4. 图片151标准答案：(A)标准答案：(A) 6. 图片2-9标准答案：(C) 7. 图片56标准答案：(C) 8. 图片4-8标准答案：(C) 9. 图片33标准答案：(D) 10. 图片70标准答案：(A) 11. 图片4-22标准答案：(D) 12. 图片2-1标准答案：(A) 13. 图片3-5标准答案：(D) 14. 图片4-20标准答案：(B) 15. 图片4-29标准答案：(A)标准答案：(A)17. 图片3-1标准答案：(B) 18. 图片4-26标准答案：(D) 19. 图片242标准答案：(C)20. 图片59标准答案：(B) 21. 图片407标准答案：(B) 22. 图片122标准答案：(C) 23. 图片61标准答案：(D) 24. 图片3-13标准答案：(C) 25. 图片4-21标准答案：(A) 1. 图片4-17(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(B) 2. 图片257(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D) 3. 图片177(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 4. 图片4-23(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 5. 图片33(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D) 6. 图片307(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 7. 图片372(A)(B)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 8. 图片4(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 9. 图片4-21(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 10. 图片214(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 11. 图片226标准答案：(D) 12. 图片4-12(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 13. 图片48(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 14. 图片441本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D)15. 图片498标准答案：(D)16. 图片124用户未作答标准答案：(A)17. 图片402标准答案：(D)18. 图片70标准答案：(A) 19. 图片485标准答案：(A)20. 图片4-15标准答案：(D)21. 图片523标准答案：(C)22. 图片3-1标准答案：(B) 23. 图片339标准答案：(D)24. 图片4-14标准答案：(B)25. 图片4-3标准答案：(D)1. 图片61标准答案：(D)2. 图片4-15标准答案：(D)3. 图片498标准答案：(D)4. 图片4-22标准答案：(D) 5. 图片229标准答案：(A)6. 图片4-23标准答案：(C) 7. 图片3-4标准答案：(A)8. 图片2-5标准答案：(C)9. 图片70标准答案：(A) 10. 图片434标准答案：(A) 11. 图片349标准答案：(D) 12. 图片119标准答案：(D)13. 图片101标准答案：(D)14. 图片4-17标准答案：(B)15. 图片4-16标准答案：(C)16. 图片523标准答案：(C)17. 图片212标准答案：(B) 18. 图片151标准答案：(A)19. 图片4-7标准答案：(A) 20. 图片214标准答案：(A)21. 图片304标准答案：(B) 22. 图片4-30标准答案：(C)23. 图片4-20标准答案：(B)24. 图片520标准答案：(B)25. 图片188标准答案：(D)1.(4分)图片49答案D2.(4分)图片43 答案B3.(4分)图片484答案B4.(4分)图片90答案B5.答案D6.(4分)图片182A7.(4分)图片3-8 答案D8.(4分)图片4-26 答案D9.答案D 10.(4分)图片520 答案B11.(4分)图片557答案C12.答案B13.(4分)图片141答案C14.(4分)图片475答案B15.。

高等数学作业册答案

高等数学作业册参考答案一、函数与极限 1.1)1()1(2222---x x ；22)1(11x -- 2. 10≤≤x 3. 31≤≤-x ； x y sin 21-= ))2,2((ππ-∈x 4. 3- 5. 22-x 6.)1ln(112++x7. 3- 8.该数列极限不存在 9. 1 10. x x 632- 11.2π； π ；不存在 12. 略二、极限的运算1.（1）0 （2）a 2 （3）32（4）1 （5）202 （6）21 （7）∞ （8）02. 0,1==βα3. 3-4. 15. 证明略，26. (1)52(2) 21 (3) 1 (4) 1 (5) 1- (6) e (7) e (8)2 (9) 4e (10) 21-e (11) 1 (12) 1三、无穷小的比较及连续性 1.(1)32 (2) 2 (3) 25 (4) 0 (5) 9 (6) 161 2.3 3. R c b a ∈==,1,0 4. 125.(1) 2=x 为可去间断点，令1)2(-=f 则该点变为连续点； 3=x 为无穷间断点（2）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 则变为连续点； ...)2,1(±±==k k x π为无穷间断点； ...)2,1,0(2=±=k k x ππ为可去间断点，令0)2(=±ππk f 则变为连续点；（3）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 变为连续点（4）1=x 为跳跃间断点；（5）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 则变为连续点6.(1)2=k (2) (a)0;0 (b)1- (3) 1,0==b a (4)1=x 为跳跃间断点四、导数的概念及运算(1)A - (2)A 2 (2)2A2.(1)3 (2)23.64.(1)2)1(='+f ，∞='-)1(f ，所以分段点处不可导（2）1>k 时分段点处可导且导数值为0，1≤k 时不可导 5.（1）4πα=（2）)1,1(-M 6. 1+=x y ；π++-=1x y7.x y -=或25xy -= 8.-99！ 9.2,2,1-==-=c b a 10.函数在分段点处连续且可导，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-='0 ,20 ,121arctan )(422x x xx x x f π五、导数的运算1.(1)ba cx +2 (2) 8187-x (3) )2ln()2(e e xππ(4) 2sin cos xxx x - (5) 2224)ln 3(32)49(ln x x x x x x x x +-++- (6) x x x x arctan 2122++ 2. (1)3ln 33+ (2) 42ln 2- 4. (1))sin()21(2x x x -- (2) 22x xe(3) 221xx --(4) 22sin 2x x (5)221xa + (6)22xa x --(7) )2sin 222cos (2x xe x +- (8) x sec (9) xxx -+-12)1(12 (10) ))1(1()1arctan()1arctan(ln 42222x x x x ++⋅++ (11) ))31ln(sin()3162(2222x e x xe x x +-+-- 5.(1) )()(xxxx ee f ee --+'⋅- (2) 232222))(1()()(2-+⋅'-x f x f x xf6.x 87.x xln cos 1⋅六、导数的运算与微分 1（1）)1212189(2453x x x x ex +++ （2）3222)(x a a --（3）212cot 2xx x arc +-（4）)cos sin 2(ln 22ln 2cos x x x -⋅⋅ 2（1）2ln 23x （2）6 3 0 4 nn x n )1()!1()1(1+--- 523 6 （1）xye y y -sin cos （2）x y-(3) xy - (4) )ln ln (x x y y y x x y --⋅ (5)y x yx -+ (6) 324ya b - (7) )sin(sin )sin(cos y x x y x x y ++++-7 (1) )sin ln (cos sin xxx x x x+(2))41312111()4)(3()2)(1(414----+++⋅--++x x x x x x x x (3)222ln 2)2ln 2ln 2(2x x xx xx x x⋅++(4) 12)1(ln -++x xxx x8 （1） 2t （2）t （3）34- 9 证明略10 （1）dx x x x x )sec sin cos (2- （2）dx 32 （3）dx e 2-11 (1) 01.04+π(2) 2713七、中值定理1.(1)满足；（2）不满足；（3）不满足2.2π3.31 4.有2个实根5. 6.有1个实根 7.略 8.略 9.提示：)()(x f e x F x-=应用罗尔定理 10.略八、洛必达法则 1.25 2.53- 3.1 4.1 5.0 6.∞+ 7.1 8.1 9.21-10.011.31 12.1 13.1-e 14. 21-e15.29,3=-=b a九、泰勒公式1.32)1(3)1(7)1(42+++-++x x x2.32453091x x x -+- 3.)(31133x o x x +-+ 4.)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-++++5.))1(()1()1(122+++-+--x o x x7.略 8.略十、函数的单调性1.]2,0(上单减；),2[+∞上单增2.单增区间]1,0[；单减区间]2,1[3.单增区间),1[],0,(+∞-∞；单减区间]1,0[4. 1个实根5.略6.略7.略8.单增十一、曲线的凹凸性 1.凹区间),21[],21,(+∞--∞；凸区间]21,21[-2.凹区间]1,1[-；凸区间),1[],1,(+∞--∞；拐点)2ln ,1(),2ln ,1(-3.拐点),21(21arctan e4.3,1-==b a5.ac b 32=6.略7.水平渐近线1=y ；无铅直渐近线8.水平渐近线0=y ；铅直渐近线1,3=-=x x十二、函数的极值与最大最小值1.极大值17)1(=-y ；极小值47)3(-=y2.极大值2)1(-=-y ；极小值2)1(=y3.2=a4.4,421==x x5.(1)1)1(++n n n ;(2)e1 6.x x x y 9323--=;32 7.1:2 8.5;11十三、函数图形的描绘 1.极小值517)2(-=-y ；拐点)2,1(),56,1(-- 2.单减区间),1[+∞ 3.略 4.1个交点 5.略十五、不定积分概念、性质1.21x- 2.C x +3559 3.1313++x x 4.C x x x ++-arctan 3135.C e x x ++3ln 136.C x x +-tan7.C x +2ln 218.C x +8151589.C x +-cot 21 10.C x x +-sec tan 11.C x++2sin 1 12.C x x +-cot tan 13.1)(2+=x x f十六、 1.C b ax F a ++)(1 2.C x x +-2213.C x F +)(ln4.C x ++)38ln(9135.C x ++342)1(83 6.C x x ++881ln81 7.C x x +-3sin 31sin 8.C x ++23)2(ln 32 9.C x x +-ln 110.C x e x+-+)1ln( 11.C x +-10ln 210arccos 2 12.C x +++22))11(ln(21十七、不定积分的第二换元法1.C x x +++-+))11ln(1(22.C x +1arccos3.C x x ++-)21ln(24.C xx ++215.C x x x +--)1(arcsin 2126.C x x ++1ln 667.C x x +---)1arctan 1(2 8.C x xx x ++-+-arcsin 1129.C x ex+--+)11ln(2 10.C x +2)(arctan十八、不定积分分部积分法 1.C x x e x++-)22(22.C x x x +-3391ln 31 3. C x f x f x +-')()( 4.C x x ++-)1ln(21ln 2 5.C x x e x +-)cos (sin 216.C x x x x x +-+sin 2cos 2sin 27.C x x x x x ++-2ln 2ln 28.C x x x +-+21arcsin 9.C x e x++--)1(10.C x x x +--cot 21sin 2211.C x x x x +----)1ln(2121)1ln(21 12.C x x x x +-++21arcsin 13.C x x x e x+-++-)12(214.C x e x+tan 15.C x x x +-+arctan )1(16.C e ex x x +----2222十九、有理函数的积分 1.C x x ++++-2)1(2111 2.C x x +---1ln 2ln 3 3.C x x +-++1ln 21112 4.C x x +-arctan 21ln 5.C x +3tan 2arctan321 5.C x++2tan1ln 7.C x x xx x x ++-+++-+--11arctan21111ln8.C x x +-+311239.C x x +-+-2)1(2111 10.C x x x x +-+++-2cos 2cos ln 1211cos 1cos ln 61二十、定积分的概念、性质1、331()3b a - 2、ln 2 3、12I I > 4、2I ππ≤≤ 5、12422eI e -≤≤ 6、137、略二十一、微积分基本公式 1、02、2sin x - 3、2 4、24π 5、1x 6、32ln 22+ 7、2(1)e - 8、2 9、14π- 10、-ln2 11、83 12 1e e+ 二十二、定积分换元法1、02、43π- 3 4、24π 5、166、2ln2-17、416a π82)π+ 9、14π- 10、1) 11、2ln1e e + 12、1ln 284π- 13、121e-- 14、11ln(1)e -++二十三、定积分分部积分法1、112e -- 2、321()92e -+ 3、12π- 4、 142π- 5、21(1)2e π+ 6、364ππ-7、2e - 8、12(1)e -- 9、1310、112e -- 二十四、反常积分1、发散2、2π3、1ln 324、28π5、16、发散7、-1 8、1ln 22 9、1 10、2π11、2 π 二十五、平面图形的面积1、3ln 22- 2、12e e -+- 3、3234、2a5、23a π 6、 7、（1，1） 8、529、1,2,0-二十六、体积 1、12864,75ππ 2、1615π 3、310π 4、464,315π5、6436、32224()3R a π- 7、 8、2,9π二十七、平面曲线的弧长、平均值1、214e + 2、433、6a4、22a π 51)a e π- 6、35ln212+ 7、8a 8、212e -- 9、23π 二十八、物理应用1、0.294J2、800ln 2J π3、1211()mg R R - 4、216aH 5、443r g π 61(Gm a ρ 7、57697.5KJ 三十、微分方程的概念1、（1）2y x '= ；（2）20yy x '+= 2、是3、20xy y '-=4、120;1C C ==5、221()[ln(1)1]2x f x x +=+-6、2xy y y e '''--= 三十一可分离变量的微分方程 1、2y x C =+ 2、2xy e = 3、(1)yx ex e C --=++4、xy Cxe-=5、2225y x += 6、3C y x=+ 7、221x x y Ce+=-8、221(1)y C x +=- 9、sin ln y x x =三十二、一阶线性方程，齐次方程1、32431x Cy x +=+2、(1)xy x e e =+-3、3213x y x-= 4、cos xy x=-5、xe y x=6、同57、47y x =+8 3232xx y ee =-三十一、可降阶的高阶方程 1、12(2)xy x e C x C =-++ 2、12C xy C e =3、y =4、21arcsin()xy C e C =+ 5、12ln y C x C =+6、ln 2x xe e y -+=注：原题改为求1)'(''2=+y y 满足(0)0,'(0)0y y ==的特解。

10作业答案新高等数学下第十章习题及答案

第十章曲线积分与曲面积分1、计算以下对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ln ds y x )(22，其中L 为圆周)20( sin ,cos π≤≤==t t a y t a x .解 ⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）⎰+Lds y x )(，其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.解 L 的方程为y 1x (0x 1)⎰⎰'-+-+=+12])1[(1)1()(dx x x x ds y x L 22)1(10=-+=⎰dx x x（3）⎰L xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 L 1 y x 2(0x 1) L 2 y x (0x 1)xdx L⎰xdx xdx L L ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=12122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=. 二、计算以下对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ), L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤, 因此ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.（2）⎰Γyzds x2，其中Γ为折线ABCD ，那个地址A 、B 、C 、D 依次为点A （0，0，0）、B （0，0，2）、C （1，0，2）、D （1，3，2）.解 Γ=AB +BC + CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =2t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤1),CD : x =1, y =3t , z =2(0≤t ≤1),故 yzds x yzds x yzds x yzds x CDBCAB2222⎰⎰⎰⎰++=Γ 903060012221010=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .（3）⎰Lds y 2，其中L 为摆线一拱)2t (0 )cos 1(),sin (π≤≤-=-=t a y t t a x .解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =. 3、计算以下对坐标的曲线积分：（1）dx y x L⎰-)(22，其中L 是抛物线2x y =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧.解 L : y =x 2, x 从0变到2, 因此 ⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x 2042221556)()(. （2）⎰Lxydx ，其中L 为圆周)0( )(222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）.解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx ⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰. （3） ⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧。

高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim sin x -tan x= .3x →0ln (1+2x )3-x -1+x= .2x +x -22.limx →12x 2+ax +b=3，其中为a ,b 常数，则a =，b = .3.已知limx →-1x +1⎧sin 2x +e 2ax -1,x ≠0⎪4.若f (x )=⎨在(-∞,+∞)上连续，则a = .x⎪a ,x =0⎩5.曲线f (x )=x -1的水平渐近线是，铅直渐近线是 .2x -4x +31e x6.曲线y =(2x -1)的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N ，当n ≥N 时，恒有x n-a ≤2ε”是数列{x n}收敛于a 的 .A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件⎧x 2,⎧2-x ,x ≤02.设g (x )=⎨，f (x )=⎨⎩x +2,x >0⎩-x ,x <0则g ⎡f (x )⎤= .⎣⎦x ≥0⎧2+x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2+x 2,x <0A.⎨B.⎨C.⎨D.⎨⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥0⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥03.下列各式中正确的是 .⎛1⎫⎛1⎫A．lim 1-⎪=e B.lim 1+⎪=e+ x →0x →0x ⎝x ⎭⎝⎭+x x⎛1⎫⎛1⎫ C.lim 1-⎪=-e D.lim 1+⎪x →∞x →∞⎝x ⎭⎝x ⎭4.设x →0时，e tan x x -x=e -1-1与x n 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.曲线y =1+e -x 1-e2-x 2.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是 .A.11sin x ,x ∈(0,1] B.sin x ,x ∈(0,+∞)x x 111C.sin ,x ∈(0,1]D.x sin ,x ∈(0,+∞)x x x三、求下列极限（每小题5分，共35分）x 2-x -21.limx →24x +1-32．lim x +ex →0(12x -x)3.lim 1+2+3n →∞(n1n n)x 2sin4．x →+∞lim 1x 2x 2-15.设函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)，求lim1ln ⎡⎣f (1)f (2)n →∞n 2f (n )⎤⎦.1⎛⎫x 2+e sin x ⎪+6．lim 4x →0x ⎪ 1+e x ⎪⎝⎭7．lim+x →01-cos x1-cos x四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）ax 2-2x +b=-21.lim2x →1x +x -22．lim x +ax 2+bx -2=1x →-∞()⎧a x -b x,x ≠0⎪五、讨论函数f (x )=⎨x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1)在x =0处的连续性，⎪0,x =0⎩若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）⎛sin t ⎫六、设f (x )=lim ⎪t →x sin x ⎝⎭x sin t -sin x，求f (x )的间断点并判定类型.（本题7分）⎡1⎤七、设f (x )在[0,1]上连续，且f (0)=f (1).证明：一定存在一点ξ∈⎢0,⎥，使得⎣2⎦1⎫⎛f (ξ)=f ξ+⎪.（本题6分）2⎭⎝第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设f (x )在x 0可导，且f (x 0)=0,f '(x 0)=1，则lim hf x 0-h →∞⎛⎝1⎫⎪= .h ⎭2.设f x ⎛1⎫2'd x =d .=cos x ，则 . 3.f (x )=⎪2x ⎝⎭1-x sin x 4.设y =f (e )，其中f (x )可导，则d y = .5.设y =arccos x ，则y ' ⎛1⎫⎪= .⎝2⎭⎛1⎫,π⎪的切线方程为 .π⎝⎭6.曲线xy =1+x sin y 在点二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在x =0处可导的是 .A.y =|x |B.y =|sin x |C.y =ln xD.y =|cos x |2.设y =f (x )在x 0处可导，且f '(x 0)=2，则limf (x 0+2x )-f (x 0-x )= .x →0x 11A.6B.-6C.D.-6623.设函数f (x )在区间(-δ,δ)内有定义，若当x ∈(-δ,δ)时恒有|f (x )|≤x ，则x =0是f (x )的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且f '(0)=0D.可导的点，且f '(0)≠0⎧sin x ,x <04.设f (x )=⎨2，则在x =0处f (x )的导数 .x ,x ≥0⎩A.0 B.1 C.2 D.不存在5.设函数f (u )可导，y =f (x )当自变量x 在x =-1处取得增量x =-0.1时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则f '(1)= .A.-1B.0.1C.1D.0.52三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)y =ln e +1+e(2)y =a x a (3)y =x +a +a a a x(x2x)(⎛1⎫x +1 -1⎪⎝x ⎭)(4)y =(sin x )cos x2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)y =x ln x +sin x (2)y =ecot 21x2(3)y =x 21-x1+x3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）y =cos x ln x（2）y =21-x1+x⎧e x ,x ≤14.设f (x )=⎨在x =1可导，试求a 与b .（本题6分）⎩ax +b ,x >15.设f (x )=⎨⎧sin x ,x <0'，求f (x ).（本题6分）⎩ln(1+x ),x ≥0x 2-xy 2=1所确定，求d y .（本题6分）6.设函数y =y (x )由方程ln y⎧t ⎛⎫x =a ln tan +cos t ⎪d y d 2y ⎪ 7.设y =y (x )由参数方程⎨2⎝⎭，求,2.（本题6分）d x d x ⎪y =a sin t ⎩1+t ⎧x =⎪⎪t 38.求曲线⎨在t =1处的切线方程和法线方程.（本题5分）31⎪y =+⎪2t 22t ⎩第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若a >0,b >0均为常数，则lim ⎛a +b ⎫= .⎪x →0⎝2⎭x x 3x2.lim 1⎫⎛1-⎪= .2x →0x x tan x ⎝⎭3.limx →0arctan x -x= .3ln(1+2x )2-x 4.曲线y =e 的凹区间，凸区间为 .5.若f (x )=x e ，则f x (n )(x )在点x =处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设a ,b 为方程f (x )=0的两根，f (x )在[a ,b ]上连续，(a ,b )内可导，则f '(x )=0在(a ,b )内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设f (x )在x 0处连续，在x 0的某去心邻域内可导，且x ≠x 0时，(x -x 0)f '(x )>0，则f (x 0)是 .A.极小值B.极大值C.x 0为f (x )的驻点 D.x 0不是f (x )的极值点3.设f (x )具有二阶连续导数，且f '(0)=0，lim x →0f ''(x )=1，则 .|x |A.f (0)是f (x )的极大值 B.f (0)是f (x )的极小值C．(0,f (0))是曲线的拐点D．f (0)不是f (x )的极值，(0,f (0))不是曲线的拐点4.设f (x )连续，且f '(0)>0，则∃δ>0，使 .A.f (x )在(0,δ)内单调增加.B.f (x )在(-δ,0)内单调减少.C.∀x ∈(0,δ)，有f (x )>f (0)D.∀x ∈(-δ,0)，有f (x )>f (0).三、解答题(共73分)1.已知函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f (1)=0，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得f '(ξ)=-2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0<a <b 时，（2）当0<x <f (ξ).（本题6分）tan ξb -a b b -a.<ln <b a aπ2时，2πx <sin x <x .3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）e x -e -x -2x（1）limx →0x -sin x1（2）lim(cos x )x →0sin 2x（3）limx →01x(1+x )-ex 4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）f (x )=x (1-x )1323⎧x 2x ,x >0（2）f (x )=⎨⎩x +1,x <05.求y =2x的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）ln x6.证明方程x ln x +第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1=0只有一个实根.（本题7分）e1. 2. 3.，铅直渐近线是， 4.6.5.水平渐近线是二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C 三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）.解：1.据题意设，令得，则，故．，令得2．左边故，则．，右边五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1)..(2)(3).(4)两边取对数得，两边求导数得.，2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1).(2)..(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故，两边求微分得.6.方程可变形为，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1． 2． 3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，，当时，，从而在；即当取得极小值时，4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，三、解答题(共73分)证明：1.令，即，则在，使得上连续，，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当小值点，极小值为时，.；故为极大值点，极大值为；为极⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为得；；列表得：，，令得驻点，令---++极小值点++++-拐点单减凸单减凹单增凹单增凸6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。

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