一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法

解一元二次方程的方法
方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
③ 9(2m+3)2 4(2m5)2 = 0
能力拓展 能力
解关于x的方程: 解关于x的方程: ① ②
6 m x + 5 mx 6 = 0
2 2
( 其中 m ≠ 0 )
x x 2=0
2
小结: 小结:
1,
ax2+c=0 ax2+bx=0
====> 直接开平方法
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法(配方法) 公式法(配方法) 2,公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用, 2,公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用, 是最简单的, 但不一定 是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑 能否应用"直接开平方法" 因式分解法" 能否应用"直接开平方法","因式分解法"等简单方 若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法) 法,若不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法) 3,方程中有括号时,应先用整体思想考虑有没有简单 ,方程中有括号时, 方法,若看不出合适的方法时, 方法,若看不出合适的方法时,则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法. 一般形式再选取合理的方法.
③配方
(配上一次项系数一半的 配上一次项系数一半的 平方) 平方
5 x 6
2
49 = . 36
49 . 36
开平方, 开平方,得: x 5 = ±
④写成(x+m)2 =k(k≥0) ) 的形式 ⑤开平方 ⑥写出方程的两个解
6
1 ∴ x1 = 2 , x 2 = . 3
用公式法解
b ± b2 4ac x= 2a
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握 要作为一种基本技能来掌握. 要方法 要作为一种基本技能来掌握
一元二次方程也是刻画现实世界的有 效数学模型. 效数学模型
一元二次不 等式解法
三个"二次"的关系 三个"二次"
一元二次不等式, 一元二次不等式,一元二次方程与二次函数 的关系: 为例. 的关系:以 a>0为例. 为例
当二次项系数含有参数时,一定要注意对参 小结 当二次项系数含有参数时 一定要注意对参 数的讨论(讨论依据 二次项系数是否等于0). 讨论依据:二次项系数是否等于 数的讨论 讨论依据 二次项系数是否等于
a 2 1 < 0 (1) a 2 1 = 0; ( 2 ) < 0.
一元二次不等式ax 小结 一元二次不等式 2+bx+c<0(a>0)的解集就是 的解集就是 二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)位于 轴下方的 的图象( 二次函数 的图象 抛物线)位于x轴下方的 点所对应的x值的集合 值的集合. 点所对应的 值的集合.
ax2+bx+c=0 + = (a>0) > =b2-4ac y=ax2+bx+c = + (a>0) >
两个不等实根x 两个相等的实 两个不等实根 1, x2,(x1<x2) 根x1=x2, > 0 = 0
无实根 < 0
x1
x2
x
x1 =x2 x
x R
ax2+bx+c>0解 解 {x|x>x2或x<x1} 集 ax2+bx+c<0解 解 集 {x|x1<x<x2}
小结: 小结:本节我们学习了一元 二次不等式, 二次不等式,以及可以转化 为一元二次不等式的不等式 的解法, 的解法,注意三个二次之间 的关系. 的关系.
�
2
方法1 方法1 方法2 方法2 方法3 方法3
用因式分解法解
3x 5x = 2
2
解题步骤
①方程右边为零 ②方程左边因式分解 B=0的形式 成A.B=0的形式 ③A=0或B=0 或 ④写出方程的两个根
移项,得 解:移项 得
3x2 5x 2 = 0
方程左边因式分解,得 方程左边因式分解 得
(x2)(3x+1) =0
解一元二次不等式的一般步骤: 小结 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将二次项系数变为大于 的标准形式 将二次项系数变为大于0的标准形式 将二次项系数变为大于 的标准形式; (2)解方程,画出二次函数的草图; 解方程,画出二次函数的草图; 解方程 (3)观察图像,利用"大于取两边,小于取中间"得出不等式解 观察图像,利用"大于取两边,小于取中间" 观察图像 集.
3x 5 x = 2
2
解题步骤
①将方程化成一般式, 将方程化成一般式 并写出a,b,c 并写出
移项,得 解:移项 得 3x2 5x 2 = 0 这里a=3,b=-5,c=-2 这里
2
∴ b 2 4ac = ( 5) 4 × 3 × (2) ②求出 2-4ac的值 求出b 的值
=49
(特别注意 2-4ac<0) 特别注意b < 特别注意 ③代入求根公式 ④写出方程的两个根
(5) ± 49 5 ± 7 = ∴x = 2×3 6
1 ∴ x1 = 2 , x 2 = . 3
例1.选择适当的方法解下列方程: 1.选择适当的方法解下列方程: 选择适当的方法解下列方程
① ( x 2) ②
2
2
=9
t 4t = 5
先考虑开平方法, 先考虑开平方法, 再用因式分解法; 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法. 最后才用公式法和配方法.
{x|x≠x1}
不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是 的解集是{x|-3<x<1}, 例5 不等式 的解集是 求实数a的范围 的范围. 求实数 的范围 分析:由题意得 是方程(1-a)x2-4x+6=0 分析:由题意得x1=-3,x2=1是方程 是方程 的两根. 的两根
变式练习1 不等式(a 变式练习 不等式 2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是 的解集是 R,求实数 的范围. 求实数a的范围 求实数 的范围