幻方填入规律

幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n 方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。

1、奇数阶幻方

n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方

n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先

说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，和制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

下面是8阶幻方的作法：(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56

57 58 59 60 61 62 63 64

(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。

单偶阶幻方

n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。

以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

98 80 82 89 91 48 30 32 39 41 79 81 88 95 97 29 31 38 45 47

85 87 94 96 78 35 37 44 46 28

86 93 100 77 84 36 43 50 27 34

(2) 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。

92 99 1 8 15 67 74 51 58 65

98 80 7 14 16 73 55 57 64 66

4 6 88 9

5 22 54 5

6 63 70 72

85 87 19 21 3 60 62 69 71 53

86 93 25 2 9 61 68 75 52 59

17 24 76 83 90 42 49 26 33 40

23 582 89 91 48 30 32 39 41

79 81 1320 97 29 31 38 45 47

10 1294 96 78 35 37 44 46 28

11 18 100 77 84 36 43 50 27 34

(4) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)

92 99 1 8 15 67 74 26 58 65

98 80 7 14 16 73 55 32 64 66