近世代数复习提纲

近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

1、群的定义（四个等价定义）

2、基本性质

（1）单位元的唯一性；

（2）逆元的唯一性；

（3）11111(),()ab b a a a -----==；

（4）ab ac b c =?=；

（5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。

3、元素的阶

使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。

（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。

（2）若m a e =，则

①||a m ≤；

②||a m =?由n a e =可得|m n 。

（3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。

（4）||||r n a n a d =?=

，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d

。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而

n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以

n k d ，故n k d =。

注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。

2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。

二、群的几种基本类型

1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。

2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。

3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。

（1）变换群的单位元是A 的恒等变换。

（2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。

（3）一般地，变换群不是交换群。

（4）任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。

解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ?????????

（1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。

（2）||!n S n =。

（3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。

（4）11221()()k k i i i i i i -= 。

（5）任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。

（1）循环群是交换群（P61.1）。

（2）素数阶群是循环群（P70.1）。

（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。

（4）当||G =∞时，2102{,,,,,,}G Z G a a e a a a --??== ； 当||G n =时，021{,,,,}n n G Z G e a a a a -??== 。

（5）||||G a =

（6）当||G =∞时，G 有且仅有两个生成元1,a a -； 当||G n =时，G 有且仅有()n ?个生成元，这里()n ?表示小于n 且与n 互素的正整数个数。且当(,)1m n =时，m a 是G 的生成元。

（7）若G 与G 同态，则

1? G 也是循环群；

2? 当()a a ?=时，()G a =；

3? G 的阶整除G 的阶。

例3（P79、3）

三、子群

1、定义：设H 是群G 的非空子集，若H 关于G 的于是也构成群，则称H 是G 的子群，记作H G ≤。

2、等价条件

（1）群G 的非空子集H 是子群?,a b H ?∈，有1,ab a H -∈ ?,a b H ?∈，有1ab H -∈

（2）群G 的非空有限子集H 是子群?,a b H ?∈，有ab H ∈。

3、运算

（1）若12,H H G ≤，则12H H G ≤ （可推广到任意多个情形）。

（2）若12,H H G ≤，则12H H 未必是G 的子群。

（3）若12,H H G ≤，则12121122{|,}H H h h h H h H =∈∈未必是G 的子群。

（4）若12,H H G ≤，则12H H -不是G 的子群。

4、陪集

设H G ≤，则G 的子集{|}aH ah h H =∈叫做H 的包含a 的左陪集；G 的子集{|}Ha ha h H =∈叫做H 的包含a 的右陪集。

（1）一般地，aH Ha ≠。

（2）1aH bH b a H -=?∈；1Ha Hb ab H -=?∈；()aH Ha H a H =?∈。

（3）()aH Ha G a H ≤?∈。

（4）()()()[()()]aH bH Ha Hb aH bH Ha Hb φφ≠≠?== 。

（5）{|}aH a G ∈是G 的一个分类，{|}Ha a G ∈也是G 的一个分类。即

a G

G aH ∈= ，且()()aH bH φ= （当aH bH ≠时）

或

a G

G Ha ∈= ，且()()Ha Hb φ= （当Ha Hb ≠时）

5、指数：

群G 的子群H 的左陪集（右陪集）个数叫做H 的指数，记作[:]G H 。 当||G <∞时，有||||[:]G H G H =。

6、不变子群

设H 是群G 的子群，若a G ?∈，都有aH Ha =，则称H 是G 的不变子群，记作H G 。

群G 的子群H 是不变子群?a G ?∈，有1a Ha H -= ?,a G h H ?∈?∈，有1a ha H -∈。 例4（P74、1）

例5（P74、3）

1?不变子群的交是不变子群。

2?交换群的子群是不变子群。

3?群G 的中心(){|,}C G a G x G xa ax =∈?∈=是G 的不变子群。

4?设12,H H G ≤且有一个是不变子群，则12H H G 。

7、商群 设H G ，令{|}G H aH a G =∈，,aH bH G H ?∈，定义

()()()aH bH ab H = 则它是G H 的代数运算，叫做陪集的乘法。G H 关于陪集的乘法作成群，叫做G 关于H 的商群。

当||G <∞时，有||||||

G G H H =。 四、群同态 设?是群G 到G 的同态满射，则

1、G 也是群；

2、()e e ?=；

3、11()[()]a a ??--=；

4、|()|||a a ?；

5、ker {|()}a G a e G ??=∈= ；

6、ker (:ker ())G G a a σ

?σ???→；

7、()H G H G ?≤?≤；

8、()H G H G ?? ；

9、1()H G H G ?-≤?≤；

10、1()H G H G ?-? 。 注：若H G ，则映射:()a aH a G ?→?∈是G 到G H 的同态满射，叫做自然同态。

环论部分

一、基本概念

1、环的定义

设R 是一个非空集合，“＋”与“。”分别是加法与乘法运算，若

（1）R 关于“＋”作成交换群（叫做加群）；

（2）R 关于“。”封闭；

（3）,,a b c R ?∈，有()()a b c a b c = ；

（4）,,a b c R ?∈，有

()a b c a b a c +=+

()b c a b a c a +=+

则称R 关于“＋”与“。”作成环。

2、基本性质

（1）()a b c a b a c -=- ，()b c a b a c a -=- ；

（2）000a a == ；

（3）()()()a b a b a b -=-=- ；

（4）()()a b a b --= ；

（5）1111(),()n n n n a b b a b a b b b a b a b a ++=++++=++ ；

（6）1111()()m n m n

i j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑ ；

（7）,()m n m n m n mn a a a a a +== ；

（8）当R 是交换环时，,a b R ?∈，有

1111()n n n n n n n n a b a C a b C ab b ---+=++++ 。

3、环的几种基本类型 设R 是环

（1）交换环：,a b R ?∈，有ab ba =。

例6（P89.2）

（2）有单位元环：存在1R ∈，使得a R ?∈，有11a a a ==。

（3）无零因子环：,a b R ?∈，当0,0a b ≠≠时，0ab ≠。 注：无零因子环的特征：无零因子环R 中的非零元关于加法的阶，叫做R 的特征。

1? 无零因子环R 的特征，或是∞或是素数；

2? 当无零因子环R 的元素个数||R 有限时，R 的特征整除||R 。

（4）整环：有单位元无零因子的交换环。

（5）除环：有单位元1(0)≠，且非零元都有逆元。

（6）域：交换的除环。

二、两类特殊的环

1、模n 剩余类环：{[0],[1],[2],,[]}n Z n = 。

（1）n Z 是有单位元的交换环，且[1]是n Z 的单位元；

（2）[]n a Z ?∈，[][0]a ≠，则[]a 不是零因子?(,)1a n =；

（3）n Z 无零因子?n 是素数；

（4）[]n a Z ?∈，[][0]a ≠，则[]a 不是零因子?[]a 是可逆元；

（5）n Z 是域?n 是素数。

2、多项式环：1010[]{()|,,,}n n n R x f x a x a x a a a a R ==+++∈ 。 例7（P109.2）

三、理想

1、定义：设U 是环R 的非空子集，若

（1）,a b U ?∈，有a b U -∈；

（2）,a U r R ?∈?∈，有,ar ra U ∈。

则称U 是环R 的理想子环，简称理想。

注：1? 理想一定是子环，但子环不一定是理想。

2? 环的中心是子环，但未必是理想。

2、运算

（1）若12,U U 是环R 的理想，则12U U 也是环R 的理想（可推广到任意多个情形）。

（2）若12,U U 是环R 的理想，则12U U 未必是环R 的理想。

（3）若12,U U 是环R 的理想，则12121122{|,}U U u u u U u U +=+∈∈也是环R 的理想。

（4）若12,U U 是环R 的理想，则12U U -不是环R 的理想。

3、生成理想：设A 环R 的一个非空子集，则R 的所有包含A 的理想的交仍是R 的理想，这个理想叫做由A 的理想，记作()A 。

（1）()A 是R 的包含A 的最小理想。

（2）当{}A a =时，记()()A a =，叫做由a 生成的主理想。

1? 当R 是交换环时，(){|,}a ra na r R n Z =+∈∈； 2? 当R 是有单位元环时，1(){|,}m

i i i i i a x ay x y R ==∈∑；

3? 当R 是有单位元的交换环环时，(){|}a ra r R =∈。

（3）12{,,,}n A a a a = ，记12()(,,,)n A a a a = 。且有

1212(,,,)()()()n n a a a a a a =+++

例8（P113.例3）

例9（P114.3）

4、最大理想：设U 是环R 的理想，且U R ≠。若包含U 的环R 的理想，只有U 与R ，则称U 是环R 的最大理想（极大理想）。

（1）环R 的理想()U R ≠是最大理想 ? 当R 的理想B 适合U R ?B ?时，必有U B =或R B =。

（2）环R 的理想()U R ≠是最大理想 ? 商环R U 只有平凡理想。

（3）设R 是有单位元的交换环，则R 的理想()U R ≠是最大理想 ?商环R U 是域。

例10（P119.1）

已知：{|,}R a bi a b Z =+∈。 求证：(1)R i +是域。

证明：因为R 是有单位元的交换环，所以(1)a bi i ?+∈+，存在()x yi Z i +∈使得

()(1)()()a bi x yi i x y x y i +=++=-++

所以,a x y b x y =-=+，由此可见，当,x y 奇偶性相同时，,a b 同为偶数；当,x y 一奇一偶时，,a b 同为奇数。

反之，当,a b 的奇偶性相同时，取,22

a b a b x y +-==，就有 ()(1)(1)a bi x yi i i +=++∈+

所以

(1){|,i a bi a b Z +=+∈且,a b 奇偶性相同}≠R 设U 是R 的理想，且(1)i U +?，若(1)U i ≠+，则存在a b i U +∈，但(1)a bi i +?+，所以,a b 奇偶性不同，从而1,a b +奇偶性相同，因而有

(1)(1)a bi i U ++∈+?

于是1(1)()a bi a bi U =++-+∈，因而U R =，从而(1)i +是R 的最大理想。故(1)R i +是域。