实数知识点总结及练习题

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩

⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪

⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()

32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧

实数第一章 勾股定理

姓名 座号 班级

一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+

二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

三、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9，12，15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

第二章 实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3

π

+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

二、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ±

”

，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a

注意a 的双重非负性：

a ≥0

3、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数：a+b=0，a=—b ，

2、绝对值：若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=- b a b a <⇔<-0

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

2、性质：（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2

)0(<-a a （3）)0,0(≥≥∙=

b a b a ab （)0,0(≥≥=∙b a ab b a ）

（4）

)0,0(>≥=b a b a b a （)0,0(>≥=b a b a

b

a ） 六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律

加法交换律 a b b a +=+

加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(

练习题

一、填空题:

1.下列各数：① 3.141、② 0.33333……、③

75-、④ π、⑤ 25±、⑥ 3

2-

、⑦ 0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)中，其中是有理数的有 ；是无理数的有 。(填序号)

2.

9

4

的平方根是 ；0.216的立方根是 。 3.算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。

4.比较大小：① 3.2； ②3130 5。

5.一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 倍。

6.有理数和无理数统称 ；数轴上的点与 一一对应。

7.①当x 时，式子3+x 有意义；②满足53<<-x 的整数x

是 。

8.化简：=-π3 ；=-4.12 。

9.

35-的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。

10.若03)2(2=-++b a ，则3

b a ＝ ;若5.2102=x ，那么未知数x 的值

是 ． 二、选择题：

1. 196的算术平方根是( )

A. 14

B. 16

C. ±14

D. 14

2.无理数是( )

A. 无限循环小数

B. 带根号的数

C. 除有限小数以外的所有实数

D.除有理数以外的所有实数

3.364--的平方根是( )

A. 2

B. ±2

C. ±4

D. 不存在 4.在下列各式中，正确的是( ) A.

2)2(2±=± B.

4.0064.03

-=- C.

2)2(3

3=- D.

0)2()2(332=+-

5. x 是2)9(-的平方根，y 是64的立方根，则x ＋y 的值为( ) A. 3 B. 7 C. 3，7 D. 1，7

6.当a a -=2时，实数a 在数轴上的对应点在( )

A. 原点右侧

B. 原点左侧

C. 原点或原点右侧

D. 原点或原点左侧 7．计算5

1

5

202145+-

所得的和结果是（ ） A ．0 B ．5- C ．5 D ．53

8.下列等式中：①，8

1161= ②，

2233=-)( ③，4)4(2

±=- ④，610-=0.001 ⑤， 4

3

64273

-=-

⑥， 33

88-=-⑦，

（—5）２

＝２５中正确的有（ ）个。 A,2 B ，3 C ，4 D.5